सहानुभूतिपूर्ण समूह

सभी विशिष्ट एबेलियन उपसमूह चक्रीय के साथ परिमित समूहों के लिए, सममिती प्ररूप का समूह देखें।

गणित में, नाम सममिती समूह दो अलग-अलग, लेकिन निकटता से संबंधित, गणितीय समूहों के संग्रह को संदर्भित कर सकता है, जो धनात्मक पूर्णांक n और क्षेत्र F (सामान्य रूप से C या R) के लिए Sp(2n, F) और Sp(n) को दर्शाता है। बाद वाले को सुसंहति सममिती समूह कहा जाता है और इसे $\mathrm {USp} (n)$ द्वारा भी निरूपित किया जाता है। कई लेखक आंशिक भिन्न संकेतन चयन करते हैं, जो सामान्य रूप से 2 के कारकों से भिन्न होते हैं। यहां उपयोग किए जाने वाले संकेतन सबसे सामान्य आव्यूह के आकार के अनुरूप हैं जो समूहों का प्रतिनिधित्व करते हैं। कार्टन के साधारण लाई बीजगणित के वर्गीकरण में, जटिल समूह Sp(2n, C) के लाई बीजगणित को Cn निरूपित किया जाता है, और Sp(n), Sp(2n, C) का सुसंहति वास्तविक रूप है। ध्यान दें कि जब हम (सुसंहति) सममिती समूह का उल्लेख करते हैं तो यह निहित होता है कि हम (सुसंहति) सममिती समूहों के संग्रह के बारे में अन्तः क्रिया कर रहे हैं, जो उनके आयाम n द्वारा अनुक्रमित हैं।

"सममिती समूह" नाम पिछले अस्पष्ट नामों (रेखा) जटिल समूह और एबेलियन रैखिक समूह के प्रतिस्थापन के रूप में हरमन वेइल के कारण है, और "जटिल" का ग्रीक एनालॉग है।

मेटाप्लेक्टिक समूह R पर सममिती समूह का दोहरा आवरण है; इसमें अन्य स्थानीय क्षेत्रों, परिमित क्षेत्रों और एडेल वलय के अनुरूप हैं।

Sp(2n, F)

सममिती समूह एक उत्कृष्ट समूह है जिसे क्षेत्र F पर 2n-आयामी सदिश समष्टि के रैखिक परिवर्तनों के समुच्चय के रूप में परिभाषित किया गया है जो एक गैर-पतित विषम सममित द्विरेखीय रूप को संरक्षित करता है। इस तरह के एक सदिश समष्टि को एक सममिती सदिश समष्टि कहा जाता है, और एक अमूर्त सममित सदिश समष्टि V के सममित समूह को Sp(V) द्वारा दर्शाया जाता है। V के लिए एक आधार निर्धारित करने पर, सहानुभूतिपूर्ण समूह आव्यूह गुणा के संचालन के अंतर्गत F में प्रविष्टियों के साथ 2n × 2n सममिति आव्यूह का समूह बन जाता है। इस समूह को Sp(2n, F) या Sp(n, F) द्वारा निरूपित किया जाता है यदि द्विरेखीय समघात को व्युत्क्रमणीय मैट्रिक्स विषम सममित आव्यूह Ω द्वारा दर्शाया जाता है, तो

$\operatorname {Sp} (2n,F)=\{M\in M_{2n\times 2n}(F):M^{\mathrm {T} }\Omega M=\Omega \},$

जहां M^T का स्थानान्तरण है। प्रायः Ω को परिभाषित किया जाता है

$\Omega ={\begin{pmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\\\end{pmatrix}},$

जहां I_nपहचान आव्यूह है। इस मामले में, Sp(2n, F) उन ब्लॉक आव्यूह के रूप में व्यक्त किया जा सकता है $({\begin{smallmatrix}A&B\\C&D\end{smallmatrix}})$, कहाँ $A,B,C,D\in M_{n\times n}(F)$, तीन समीकरणों को संतुष्ट करना:

${\begin{aligned}-C^{\mathrm {T} }A+A^{\mathrm {T} }C&=0,\\-C^{\mathrm {T} }B+A^{\mathrm {T} }D&=I_{n},\\-D^{\mathrm {T} }B+B^{\mathrm {T} }D&=0.\end{aligned}}$

चूँकि सभी symplectic matrices में निर्धारक होते हैं 1, सममिती समूह विशेष रैखिक समूह का एक उपसमूह है SL(2n, F). कब n = 1, एक आव्यूह पर सममिती की स्थिति संतुष्ट होती है अगर और केवल अगर निर्धारक एक है, ताकि Sp(2, F) = SL(2, F). के लिए n > 1, अतिरिक्त शर्तें हैं, अर्थात Sp(2n, F) तब का एक उचित उपसमूह है SL(2n, F).

सामान्य रूप से, मैदान F वास्तविक संख्याओं का क्षेत्र है R या जटिल संख्याएँ C. ऐसे मामलों में Sp(2n, F) वास्तविक/जटिल आयाम का वास्तविक/जटिल झूठ समूह है n(2n + 1). ये समूह जुड़े हुए स्थान हैं लेकिन सुसंहति समूह | गैर-सुसंहति हैं।

केंद्र (समूह सिद्धांत)। Sp(2n, F) आव्यूह के होते हैं I_2n और −I_2n जब तक विशेषता (बीजगणित) नहीं है 2. के केंद्र के बाद से Sp(2n, F) असतत है और इसका भागफल मॉड्यूलो केंद्र एक साधारण समूह है, Sp(2n, F) को सरल झूठ समूह माना जाता है#परिभाषा पर टिप्पणियाँ।

संबंधित लाई बीजगणित की वास्तविक रैंक, और इसलिए लाई समूह की Sp(2n, F), है n.

का झूठ बीजगणित Sp(2n, F) समुच्चय है

${\mathfrak {sp}}(2n,F)=\{X\in M_{2n\times 2n}(F):\Omega X+X^{\mathrm {T} }\Omega =0\},$

कम्यूटेटर # रिंग थ्योरी से लैस है जो इसके लाई ब्रैकेट के रूप में है। मानक तिरछा-सममित द्विरेखीय रूप के लिए $\Omega =({\begin{smallmatrix}0&I\\-I&0\end{smallmatrix}})$, यह झूठ बीजगणित सभी ब्लॉक मैट्रिसेस का समुच्चय है $({\begin{smallmatrix}A&B\\C&D\end{smallmatrix}})$ शर्तों के अधीन

${\begin{aligned}A&=-D^{\mathrm {T} },\\B&=B^{\mathrm {T} },\\C&=C^{\mathrm {T} }.\end{aligned}}$

Sp(2n, C)

जटिल संख्याओं के क्षेत्र में सममिती समूह एक सुसंहति समूह है | गैर-सुसंहति, बस जुड़ा हुआ, सरल झूठ समूह।

Sp(2n, R)

Sp(n, C) वास्तविक समूह का जटिलीकरण (झूठ समूह) है Sp(2n, R). Sp(2n, R) एक वास्तविक, सुसंहति समूह है | गैर-सुसंहति, कनेक्टेड स्पेस, सरल झूठ समूह। इसके अतिरिक्त के अंतर्गत पूर्णांकों के समूह के लिए एक मौलिक समूह समूह समरूपता है। एक साधारण लाई समूह के वास्तविक रूप के रूप में इसका लाई बीजगणित स्प्लिट लाई बीजगणित है।

के कुछ और गुण Sp(2n, R):

• झूठ बीजगणित से घातीय मानचित्र (झूठ सिद्धांत)। sp(2n, R) समूह के लिए Sp(2n, R) विशेषण फलन नहीं है। हालांकि, समूह के किसी भी तत्व को दो घातीयों के उत्पाद के रूप में दर्शाया जा सकता है। दूसरे शब्दों में,

$\forall S\in \operatorname {Sp} (2n,\mathbf {R} )\,\,\exists X,Y\in {\mathfrak {sp}}(2n,\mathbf {R} )\,\,S=e^{X}e^{Y}.$

• सभी के लिए S में Sp(2n, R):

$S=OZO'\quad {\text{such that}}\quad O,O'\in \operatorname {Sp} (2n,\mathbf {R} )\cap \operatorname {SO} (2n)\cong U(n)\quad {\text{and}}\quad Z={\begin{pmatrix}D&0\\0&D^{-1}\end{pmatrix}}.$

गणित का सवाल D सकारात्मक-निश्चित आव्यूह है | सकारात्मक-निश्चित और विकर्ण आव्यूह। ऐसे का समुच्चय Zs का एक गैर-सुसंहति उपसमूह बनाता है Sp(2n, R) जबकि U(n) एक सुसंहति उपसमूह बनाता है। इस अपघटन को 'यूलर' या 'ब्लोच-मसीहा' अपघटन के रूप में जाना जाता है। आगे के सममिती आव्यूह गुण उस विकिपीडिया पृष्ठ पर पाए जा सकते हैं।

• एक झूठ समूह के रूप में, Sp(2n, R) की कई गुना संरचना है। के लिए कई गुना Sp(2n, R) एकात्मक समूह के मैनिफोल्ड #कार्टेशियन उत्पादों के लिए डिफियोमोर्फिज्म है U(n) आयाम के सदिश स्थान के साथ n(n+1).

इनफिनिटिमल जेनरेटर

सममिती झूठ बीजगणित के सदस्य sp(2n, F) हैमिल्टनियन आव्यूह हैं।

ये आव्यूह हैं, $Q$ ऐसा है कि

$Q={\begin{pmatrix}A&B\\C&-A^{\mathrm {T} }\end{pmatrix}}$

कहाँ B और C सममित आव्यूह हैं। व्युत्पत्ति के लिए उत्कृष्ट समूह देखें।

सममिती आव्यूह का उदाहरण

के लिए Sp(2, R), का समूह 2 × 2 निर्धारक के साथ matrices 1, तीन सममिती (0, 1)-मैट्रिसेस हैं:<ब्लॉककोट>${\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}}\quad {\text{and}}\quad {\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}.$</ब्लॉककोट>

एसपी (2एन, आर)

यह पता चला है कि $\operatorname {Sp} (2n,\mathbf {R} )$ जेनरेटर का उपयोग करके काफी स्पष्ट विवरण हो सकता है। अगर हम जाने दें $\operatorname {Sym} (n)$ सममित को निरूपित करें $n\times n$ मैट्रिसेस, फिर $\operatorname {Sp} (2n,\mathbf {R} )$ से उत्पन्न होता है $D(n)\cup N(n)\cup \{\Omega \},$ जहां <ब्लॉककोट>${\begin{aligned}D(n)&=\left\{\left.{\begin{bmatrix}A&0\\0&(A^{T})^{-1}\end{bmatrix}}\,\right|\,A\in \operatorname {GL} (n,\mathbf {R} )\right\}\\[6pt]N(n)&=\left\{\left.{\begin{bmatrix}I_{n}&B\\0&I_{n}\end{bmatrix}}\,\right|\,B\in \operatorname {Sym} (n)\right\}\end{aligned}}$के उपसमूह हैं $\operatorname {Sp} (2n,\mathbf {R} )$^{पेज 173पीजी 2}.

सममिती ज्यामिति के साथ संबंध

सममिती ज्यामिति , सिंपलेक्टिक मैनिफोल्ड ्स का अध्ययन है। एक सममिती मैनिफोल्ड पर किसी भी बिंदु पर स्पर्शरेखा स्थान एक सममिती सदिश स्थान है। जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है, एक सममिती सदिश स्पेस के परिवर्तनों को संरक्षित करने वाली संरचना एक समूह (गणित) बनाती है और यह समूह है Sp(2n, F), समष्टि के आयाम और क्षेत्र (गणित) पर निर्भर करता है जिस पर इसे परिभाषित किया गया है।

एक सममिती सदिश स्पेस अपने आप में सममिती मैनिफोल्ड है। सममिती समूह के एक समूह क्रिया (गणित) के अंतर्गत एक परिवर्तन, एक अर्थ में, एक sympletomorphism का एक रैखिक संस्करण है जो एक अधिक सामान्य संरचना है जो एक सिम्प्लेक्टिक मैनिफोल्ड पर परिवर्तन को संरक्षित करता है।

Sp(n)

सुसंहति सममिती समूह Sp(n) का चौराहा है Sp(2n, C) साथ $2n\times 2n$ एकात्मक समूह:

$\operatorname {Sp} (n):=\operatorname {Sp} (2n;\mathbf {C} )\cap \operatorname {U} (2n)=\operatorname {Sp} (2n;\mathbf {C} )\cap \operatorname {SU} (2n).$

इसे कभी-कभी लिखा जाता है USp(2n). वैकल्पिक रूप से, Sp(n) के उपसमूह के रूप में वर्णित किया जा सकता है GL(n, H) (इनवर्टिबल चार का समुदाय आव्यूह) जो मानक हर्मिटियन रूप को संरक्षित करता है Hⁿ:

$\langle x,y\rangle ={\bar {x}}_{1}y_{1}+\cdots +{\bar {x}}_{n}y_{n}.$

वह है, Sp(n) केवल क्लासिकी समूह#Sp(p, q) – चतुष्कोणीय एकात्मक समूह है, U(n, H). दरअसल, इसे कभी-कभी हाइपर्यूनिटरी ग्रुप भी कहा जाता है। साथ ही Sp(1) मानदंड के चतुष्कोणों का समूह है 1, के बराबर SU(2) और स्थलाकृतिक रूप से एक 3-क्षेत्र |3-वृत्त S³.

ध्यान दें कि Sp(n) पिछले खंड के अर्थ में एक सममिती समूह नहीं है - यह एक गैर-पतित तिरछा-सममित को संरक्षित नहीं करता है H- द्विरेखीय समघात ऑन Hⁿ: शून्य रूप को छोड़कर ऐसा कोई रूप नहीं है। बल्कि, यह एक उपसमूह के लिए आइसोमोर्फिक है Sp(2n, C), और इसलिए दो बार आयाम के सदिश समष्टि में एक जटिल सममिती रूप को संरक्षित करता है। जैसा कि नीचे समझाया गया है, का झूठ बीजगणित Sp(n) जटिल symplectic झूठ बीजगणित का सुसंहति वास्तविक रूप है sp(2n, C).

Sp(n) (वास्तविक) आयाम वाला एक वास्तविक झूठ समूह है n(2n + 1). यह सुसंहति जगह है और बस जुड़ा हुआ है। का झूठ बीजगणित Sp(n) चतुष्कोणीय तिरछा-हर्मिटियन मैट्रिसेस द्वारा दिया गया है, का समुच्चय n-by-n चतुष्कोणीय आव्यूह जो संतुष्ट करते हैं

$A+A^{\dagger }=0$

कहाँ A^† का संयुग्मी स्थानांतरण है A (यहाँ एक चतुष्कोणीय संयुग्म लेता है)। लाइ ब्रैकेट कम्यूटेटर द्वारा दिया जाता है।

महत्वपूर्ण उपसमूह

कुछ मुख्य उपसमूह हैं:

$\operatorname {Sp} (n)\supset \operatorname {Sp} (n-1)$

$\operatorname {Sp} (n)\subset \operatorname {U} (n)$

$\operatorname {Sp} (2)\subset \operatorname {O} (4)$

इसके विपरीत यह स्वयं कुछ अन्य समूहों का एक उपसमूह है:

$\operatorname {SU} (2n)\supset \operatorname {Sp} (n)$

$\operatorname {F} _{4}\supset \operatorname {Sp} (4)$

$\operatorname {G} _{2}\supset \operatorname {Sp} (1)$

लाई बीजगणित की समरूपताएं भी हैं sp(2) = so(5) और sp(1) = so(3) = su(2).

सममिती समूहों के बीच संबंध

प्रत्येक जटिल, अर्ध-सरल झूठ बीजगणित का एक वास्तविक रूप होता है (झूठ सिद्धांत)#विभाजित वास्तविक रूप और एक वास्तविक रूप (झूठ सिद्धांत)#सुसंहति वास्तविक रूप; पूर्व को बाद के दो का जटिल कहा जाता है।

का झूठ बीजगणित Sp(2n, C) सेमीसिंपल लाई बीजगणित है और इसे निरूपित किया जाता है sp(2n, C). इसका वास्तविक रूप (झूठ सिद्धांत)#विभाजित वास्तविक रूप है sp(2n, R) और उसका वास्तविक रूप (झूठ सिद्धांत)#सघन वास्तविक रूप है sp(n). ये झूठ समूहों के अनुरूप हैं Sp(2n, R) और Sp(n) क्रमश।

बीजगणित, sp(p, n − p), जो के झूठ बीजगणित हैं Sp(p, n − p), सुसंहति फॉर्म के बराबर मेट्रिक हस्ताक्षर हैं।

भौतिक महत्व

उत्कृष्ट यांत्रिकी

सुसंहति सममिती समूह Sp(n) उत्कृष्ट भौतिकी में पोइसन ब्रैकेट को संरक्षित करने वाले विहित निर्देशांक की समरूपता के रूप में सामने आता है।

की एक प्रणाली पर विचार करें n कण, हैमिल्टनियन यांत्रिकी के अंतर्गत विकसित हो रहे हैं। हैमिल्टन के समीकरण जिनकी स्थिति एक निश्चित समय पर चरण स्थान में विहित निर्देशांक के सदिश द्वारा निरूपित की जाती है,

$\mathbf {z} =(q^{1},\ldots ,q^{n},p_{1},\ldots ,p_{n})^{\mathrm {T} }.$

समूह के तत्व Sp(2n, R) एक निश्चित अर्थ में, इस सदिश पर विहित परिवर्तन हैं, यानी वे हैमिल्टनियन यांत्रिकी के रूप को संरक्षित करते हैं। हैमिल्टन के समीकरण।अगर

$\mathbf {Z} =\mathbf {Z} (\mathbf {z} ,t)=(Q^{1},\ldots ,Q^{n},P_{1},\ldots ,P_{n})^{\mathrm {T} }$

नए विहित निर्देशांक हैं, फिर, समय व्युत्पन्न को इंगित करने वाले बिंदु के साथ,

${\dot {\mathbf {Z} }}=M({\mathbf {z} },t){\dot {\mathbf {z} }},$

कहाँ

$M(\mathbf {z} ,t)\in \operatorname {Sp} (2n,\mathbf {R} )$

सभी के लिए t और सभी z चरण समष्टि में। रीमैनियन कई गुना के विशेष मामले के लिए, हैमिल्टन के समीकरण उस मैनिफोल्ड पर geodesic ्स का वर्णन करते हैं। निर्देशांक $q^{i}$ अंतर्निहित कई गुना, और क्षण पर रहते हैं $p_{i}$ स्पर्शरेखा बंडल में रहते हैं। यही कारण है कि इन्हें पारंपरिक रूप से अपर और लोअर इंडेक्स के साथ लिखा जाता है; यह उनके स्थानों को अलग करना है। इसी हैमिल्टनियन में विशुद्ध रूप से गतिज ऊर्जा होती है: यह है $H={\tfrac {1}{2}}g^{ij}(q)p_{i}p_{j}$ कहाँ $g^{ij}$ मीट्रिक टेंसर का व्युत्क्रम है $g_{ij}$ रीमैनियन मैनिफोल्ड पर। वास्तव में, किसी भी चिकने मैनिफोल्ड के कोटैंजेंट बंडल को एक कैनोनिकल तरीके से एक सिम्प्लेक्टिक मैनिफोल्ड दिया जा सकता है, जिसमें सिम्प्लेक्टिक फॉर्म को टॉटोलॉजिकल वन-फॉर्म के बाहरी डेरिवेटिव के रूप में परिभाषित किया जाता है।

क्वांटम यांत्रिकी

की एक प्रणाली पर विचार करें n कण जिनकी कितना राज्य इसकी स्थिति और संवेग को कूटबद्ध करती है। ये निर्देशांक निरंतर चर हैं और इसलिए हिल्बर्ट समष्टि, जिसमें राज्य रहता है, अनंत-आयामी है। यह अक्सर इस स्थिति के विश्लेषण को पेचीदा बना देता है। चरण समष्टि में हाइजेनबर्ग चित्र के अंतर्गत स्थिति और गति ऑपरेटरों के विकास पर विचार करना एक वैकल्पिक दृष्टिकोण है।

कैनोनिकल निर्देशांक के सदिश का निर्माण करें,

$\mathbf {\hat {z}} =({\hat {q}}^{1},\ldots ,{\hat {q}}^{n},{\hat {p}}_{1},\ldots ,{\hat {p}}_{n})^{\mathrm {T} }.$

विहित रूपान्तरण संबंध को बस के रूप में व्यक्त किया जा सकता है

$[\mathbf {\hat {z}} ,\mathbf {\hat {z}} ^{\mathrm {T} }]=i\hbar \Omega$

कहाँ

$\Omega ={\begin{pmatrix}\mathbf {0} &I_{n}\\-I_{n}&\mathbf {0} \end{pmatrix}}$

और I_n है n × n शिनाख्त सांचा।

कई भौतिक स्थितियों के लिए केवल द्विघात हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी), यानी हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) के रूप की आवश्यकता होती है

${\hat {H}}={\frac {1}{2}}\mathbf {\hat {z}} ^{\mathrm {T} }K\mathbf {\hat {z}}$

कहाँ K एक है 2n × 2n वास्तविक, सममित आव्यूह। यह एक उपयोगी प्रतिबंध साबित होता है और हमें हाइजेनबर्ग तस्वीर को फिर से लिखने की अनुमति देता है

${\frac {d\mathbf {\hat {z}} }{dt}}=\Omega K\mathbf {\hat {z}}$

इस समीकरण के समाधान को कैनोनिकल कम्यूटेशन रिलेशन को बनाए रखना चाहिए। यह दिखाया जा सकता है कि इस प्रणाली का समय विकास सममिती समूह #Sp.282n.2C R.29|वास्तविक सममिती समूह की समूह क्रिया (गणित) के बराबर है, Sp(2n, R), चरण स्थान पर।

यह भी देखें

• ऑर्थोगोनल समूह
• एकात्मक समूह
• अनुमानित एकात्मक समूह
• सिम्प्लेक्टिक मैनिफोल्ड, सिम्प्लेक्टिक आव्यूह, सिम्प्लेक्टिक सदिश स्पेस, सिम्प्लेक्टिक प्रतिनिधित्व
• उत्कृष्ट झूठ समूहों का प्रतिनिधित्व
• हैमिल्टनियन यांत्रिकी
• मेटाप्लेक्टिक समूह
• Θ10

संदर्भ

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• Hall, Brian C. (2015), Lie groups, Lie algebras, and representations: An elementary introduction, Graduate Texts in Mathematics, vol. 222 (2nd ed.), Springer, ISBN 978-3319134666
• Fulton, W.; Harris, J. (1991), Representation Theory, A first Course, Graduate Texts in Mathematics, vol. 129, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-97495-8.
• Goldstein, H. (1980) [1950]. "Chapter 7". Classical Mechanics (2nd ed.). Reading MA: Addison-Wesley. ISBN 0-201-02918-9.
• Lee, J. M. (2003), Introduction to Smooth manifolds, Graduate Texts in Mathematics, vol. 218, Springer-Verlag, ISBN 0-387-95448-1
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• Ferraro, Alessandro; Olivares, Stefano; Paris, Matteo G. A. (March 2005), "Gaussian states in continuous variable quantum information", arXiv:quant-ph/0503237.