स्पोराडिक समूह

गणित में, स्पोराडिक समूह 26 असाधारण समूह (गणित) में से एक है, जो परिमित सरल समूहों के वर्गीकरण में पाया जाता है।

साधारण समूह एक समूह G होता है जिसमें सतहीय समूह और G को छोड़कर कोई सामान्य उपसमूह नहीं होता है। वर्गीकरण प्रमेय में कहा गया है कि परिमित सरल समूहों की सूची में 18 गिने-चुने अनंत वर्ग सम्मिलित हैं^{[lower-alpha 1]} और 26 अपवाद जो इस प्रकार के एक व्यवस्थित प्रतिरूप का पालन नहीं करते हैं। ये 26 अपवाद स्पोराडिक समूह हैं। उन्हें स्पोराडिक सरल समूहों या स्पोराडिक परिमित समूहों के रूप में भी जाना जाता है। क्योंकि यह पूर्ण रूप से लाइ प्रकार का समूह नहीं है, टिट्स समूह को कभी-कभी स्पोराडिक समूह के रूप में माना जाता है,^[1] इस स्थिति में 27 स्पोराडिक समूह होंगे।

मॉन्स्टर समूह स्पोराडिक समूहों में सबसे बड़ा है, और छह अन्य स्पोराडिक समूहों को छोड़कर सभी इसके उपखंड हैं।^[2]

नाम

1860 के दशक में एमिल लियोनार्ड मैथ्यू द्वारा स्पोराडिक समूहों में से पांच की खोज की गई थी और अन्य 21 1965 और 1975 के बीच पाए गए थे। इनमें से कई समूहों के निर्माण से पहले उनके अस्तित्व की भविष्यवाणी की गई थी। अधिकांश समूहों का नाम उस गणितज्ञ (कों) के नाम पर रखा गया है जिन्होंने सबसे पहले उनके अस्तित्व की भविष्यवाणी की थी। पूरी सूची है:^[1]^[3]^[4]

आरेख स्पोराडिक समूहों के बीच उप-संबंधों को दर्शाते है। एक संबंधक रेखा का अर्थ है कि निचला समूह ऊपरी का एक उपभाग है, जिसके बीच में कोई स्पोराडिक उपभाग नहीं है।

प्रथम पीढ़ी,

द्वितीय पीढ़ी,

तृतीय पीढ़ी,

पारियाह

* मैथ्यू समूह मैथ्यू समूह M₁₁ (M11), मैथ्यू समूह M₁₂ (M12), मैथ्यू समूह M₂₂ (M22), मैथ्यू समूह M₂₃ (M23), मैथ्यू समूहM₂₄ (M 24)

जांको समूह J₁ (J1), जांको समूह J₂ या HJ (J2), जानको समूह J₃ या HJM (J3), जानको समूह J₄ (J4)
कॉनवे समूह कॉनवे समूह Co₁ (Co1), कॉनवे समूह Co₂ (Co2), कॉनवे समूह Co₃ (Co3)
फिशर समूह फिशर समूह Fi₂₂ (Fi22), फिशर समूह Fi₂₃ (Fi23), फिशर समूह Fi₂₄' या F₃₊ (Fi24)
हिगमैन-सिम्स समूह HS
मैकलॉघलिन समूह (गणित) MCL
आयोजित समूह He या F₇₊ या F₇
रुदवालिस समूह Ru
सुजुकी समूह (गणित) सुज या F₃₋
O'N समूह O'N (ON)
हरदा-नॉर्टन समूह HN या F₅₊ या F₅
ल्यों समूह लाइ
थॉम्पसन समूह (गणित) Th या F_3|3 या F₃
बेबी मॉन्स्टर समूह B या F₂₊ या F₂
फिशर-ग्रिस मॉन्स्टर समूह M या F₁

टिट्स समूह T को कभी-कभी स्पोराडिक समूह के रूप में भी माना जाता है (यह लगभग नहीं बल्कि वस्तुतः लाइ प्रकार का समूह है), यही कारण है कि कुछ स्रोतों में स्पोराडिक समूहों की संख्या 26 के अतिरिक्त 27 दी गई है।^[1] कुछ अन्य स्रोतों में, टिट्स समूह को न तो स्पोराडिक और न ही लाइ प्रकार के रूप में माना जाता है।^{[lower-alpha 2]} टिट्स समूह (n = 0)-वर्ग ²F₄(2)′ दिक्परिवर्ती समूह ²F₄(2²ⁿ⁺¹)′ के अनंत वर्ग का है; इस प्रकार परिभाषा के अनुसार स्पोराडिक नहीं। n > 0 के लिए ये परिमित सरल समूह लाई प्रकार ²F₄(2²ⁿ⁺¹) के समूहों के साथ मेल खाते हैं, जिन्हें ²F₄ प्रकार के री समूह के रूप में भी जाना जाता है।

सभी स्पोराडिक समूहों के लिए परिमित क्षेत्रों पर आव्यूह समूह प्रतिनिधित्व का निर्माण किया गया है।^[5] स्पोराडिक समूहों और लगभग संबंधित समूहों के लिए वर्ण सारणी कोनवे et al. (1985) में उनके बाहरी स्वसमाकृतिकता और शूर गुणक के क्रमों के साथ-साथ अधिकतम उपसमूहों और विभिन्न निर्माणों की सूची प्रत्येक स्पोराडिक समूह के लिए अलग-अलग संयुग्मन वर्ग विल्सन et al. (1999) का एटलस ऑफ फाइनाइट समूह रिप्रेजेंटेशन में सूचीबद्ध हैं।। विशेषता P ≥ 0 के क्षेत्रों न्यूनतम विश्वसनीय प्रतिनिधित्व या मॉड्यूलर प्रतिनिधित्व सिद्धांत के परिमाण की गणना भी सभी स्पोराडिक समूहों और उनके कुछ समुपयोग समूहों के लिए की गई है। ये जेंसन (2005) विस्तृत हैं।

स्पोराडिक समूह शब्द का सबसे पहला उपयोग Burnside (1911, p. 504) हो सकता है जहां वह मैथ्यू समूहों के विषय में टिप्पणी करता है: "ये स्पष्ट रूप से स्पोराडिक सरल समूह संभवतः अभी तक प्राप्त की तुलना में निकटवर्ती परीक्षण का भुगतान करेंगे।"

दाईं ओर का आरेख रोनन (2006, p. 247) पर आधारित है। यह स्पोराडिक समूहों के कई गैर-स्पोराडिक सरल उपश्रेणियों को नहीं दिखाता है।

संगठन

सुखी वर्ग

26 स्पोराडिक समूहों में से 20 को मॉन्स्टर समूह के अंदर उपसमूहों या उपसमूहों के गुणक समूह (अनुभाग (समूह सिद्धांत) S) के रूप में देखा जा सकता है। इन बीसों को रॉबर्ट ग्रिस ने सुखी वर्ग कहा है, और इन्हें तीन पीढ़ियों में संगठित किया जा सकता है।^[6]^{[lower-alpha 3]}

प्रथम पीढ़ी (5 समूह) : मैथ्यू समूह

n = 11, 12, 22, 23 और 24 के लिए M_n, n बिंदुओं पर सकर्मक क्रमपरिवर्तन समूह हैं। वे सभी M₂₄, के उपसमूह हैं जो 24 (संख्या) बिंदुओं पर क्रमचय समूह है।^[7]

द्वितीय पीढ़ी (7 समूह) : लीच जालक

24 (संख्या) आयामों में एक जालक के स्वसमाकृतिकता समूह के सभी उपखंडों को लीच जालक कहा जाता है:^[8]

Co₁ अपने केंद्र {±1} द्वारा स्वसमाकृतिकता समूह का गुणक है
Co₂ प्रकार 2 (अर्थात, लंबाई 2) सदिश का स्थिरक है
Co₃ प्रकार 3 (अर्थात, लंबाई √6) सदिश का स्थिरक है
सुज स्वसमाकृतिकता का समूह है जो एक जटिल संरचना को संरक्षित करता है (मॉड्यूलो इसका केंद्र)
McL एक प्रकार के 2-2-3 त्रिकोण का स्थिरक है
HS एक प्रकार के 2-3-3 त्रिभुज का स्थिरक है
J₂ स्वसमाकृतिकता का समूह है जो चतुष्कोणीय संरचना को संरक्षित करता है (मॉड्यूलो इसका केंद्र)।

तृतीय पीढ़ी (8 समूह) : मॉन्स्टर के अन्य उपसमूह

उपसमूहों से मिलकर बनता है जो मॉन्स्टर समूह M से निकटता से संबंधित हैं:^[9]

B या F₂ में दोहरा आवरण होता है जो M में क्रम 2 के तत्व का केंद्रक होता है
Fi₂₄′ में एक तिहरा आवरण है जो M में क्रम 3 के एक तत्व का केंद्रीकरण है (संयुग्मन वर्ग "3A" में)
Fi₂₃ Fi₂₄' का एक उपसमूह है
Fi₂₂ का दोहरा आवरण है जो Fi₂₃ का एक उपसमूह है
Th = F₃ के गुणनफल और क्रम 3 के एक समूह M में क्रम 3 के एक तत्व का केंद्रक है (संयुग्मता वर्ग 3C में)
HN = F₅ के गुणनफल और क्रम 5 के समूह M में क्रम 5 के तत्व का केंद्रक है
He= F₇ के गुणनफल और क्रम 7 के एक समूह M में क्रम 7 के एक तत्व का केंद्रक है।
अंत में मॉन्स्टर समूह ही इस पीढ़ी में माना जाता है।

(यह श्रृंखला आगे भी जारी है: M₁₂ का गुणनफल और क्रम 11 के एक समूह M में क्रम 11 के एक तत्व का केंद्रक है।)

टिट्स समूह, यदि स्पोराडिक समूह के रूप में माना जाता है,तो इस पीढ़ी में सम्मिलित होगा: वहाँ एक उपसमूह S₄ ×²F₄ (2) ' है जो B के 2C² उपसमूह को सामान्य करते है, जिससे एक उपसमूह 2·S₄ ×²F₄ (2) ' बनता है, जो मॉन्स्टर के निश्चित Q₈ उपसमूह को सामान्य करते है। ²F₄ (2) ' भी फिशर समूह Fi₂₂ का एक उपभाग है, और इस प्रकार Fi₂₃ और Fi₂₄’ का भी, और बेबी मॉन्स्टर B का भी। ²F₄ (2) ' भी (पारिया) रुदवालिस समूह Ru का एक उपभाग है, और स्पोराडिक सरल समूहों में कोई भागीदारी नहीं है, अतिरिक्त इसके कि पहले से ही उल्लेख किया गया है।

परियाह

छह अपवाद J₁, J₃, J₄, O'N, Ru और Ly, हैं, जिन्हें कभी-कभी पारियाह कहा जाता है।^[10]^[11]

स्पोराडिक समूह क्रमों की तालिका (w/ टिट्स समूह)

समूह	आविष्कारक	^[12] वर्ष	पीढ़ी	^[4]^[13] क्रम		^[1]^[4] गुणनखंडित क्रम	^[14] न्यूनतम विश्वसनीय ब्राउर वर्ण का परिमाण	$(a,b,ab)$ ^[15]^[5] उत्पादक	^[16] Further conditions
M or F₁	फिशर, ग्रिस	1973	3rd	808017424794512875886459904961710757005754368000000000	≈ 8×10⁵³	2⁴⁶ · 3²⁰ · 5⁹ · 7⁶ · 11² · 13³ · 17 · 19 · 23 · 29 · 31 · 41 · 47 · 59 · 71	196883	2A, 3B, 29	None
B or F₂	फिशर	1973	3rd	4154781481226426191177580544000000	≈ 4×10³³	2⁴¹ · 3¹³ · 5⁶ · 7² · 11 · 13 · 17 · 19 · 23 · 31 · 47	4371	2C, 3A, 55	$o{\bigl (}(ab)^{2}(abab^{2})^{2}ab^{2}{\bigr )}=23$
Fi₂₄ or F₃₊	फिशर	1971	3rd	1255205709190661721292800	≈ 1×10²⁴	2²¹ · 3¹⁶ · 5² · 7³ · 11 · 13 · 17 · 23 · 29	8671	2A, 3E, 29	$o{\bigl (}(ab)^{3}b{\bigr )}=33$
Fi₂₃	फिशर	1971	3rd	4089470473293004800	≈ 4×10¹⁸	2¹⁸ · 3¹³ · 5² · 7 · 11 · 13 · 17 · 23	782	2B, 3D, 28	None
Fi₂₂	फिशर	1971	3rd	64561751654400	≈ 6×10¹³	2¹⁷ · 3⁹ · 5² · 7 · 11 · 13	78	2A, 13, 11	$o{\bigl (}(ab)^{2}(abab^{2})^{2}ab^{2}{\bigr )}=12$
Th or F₃	थॉमसन	1976	3rd	90745943887872000	≈ 9×10¹⁶	2¹⁵ · 3¹⁰ · 5³ · 7² · 13 · 19 · 31	248	2, 3A, 19	None
Ly	लियोन्स	1972	Pariah	51765179004000000	≈ 5×10¹⁶	2⁸ · 3⁷ · 5⁶ · 7 · 11 · 31 · 37 · 67	2480	2, 5A, 14	$o{\bigl (}ababab^{2}{\bigr )}=67$
HN or F₅	हराडा, नॉर्टन	1976	3rd	273030912000000	≈ 3×10¹⁴	2¹⁴ · 3⁶ · 5⁶ · 7 · 11 · 19	133	2A, 3B, 22	$o([a,b])=5$
Co₁	कोनवे	1969	2nd	4157776806543360000	≈ 4×10¹⁸	2²¹ · 3⁹ · 5⁴ · 7² · 11 · 13 · 23	276	2B, 3C, 40	None
Co₂	कोनवे	1969	2nd	42305421312000	≈ 4×10¹³	2¹⁸ · 3⁶ · 5³ · 7 · 11 · 23	23	2A, 5A, 28	None
Co₃	कोनवे	1969	2nd	495766656000	≈ 5×10¹¹	2¹⁰ · 3⁷ · 5³ · 7 · 11 · 23	23	2A, 7C, 17	None
ON or O'N	ओ' नान	1976	Pariah	460815505920	≈ 5×10¹¹	2⁹ · 3⁴ · 5 · 7³ · 11 · 19 · 31	10944	2A, 4A, 11	None
Suz	सुज़ुकी	1969	2nd	448345497600	≈ 4×10¹¹	2¹³ · 3⁷ · 5² · 7 · 11 · 13	143	2B, 3B, 13	$o([a,b])=15$
Ru	रुडवालिस	1972	Pariah	145926144000	≈ 1×10¹¹	2¹⁴ · 3³ · 5³ · 7 · 13 · 29	378	2B, 4A, 13	None
He or F₇	हेल्ड	1969	3rd	4030387200	≈ 4×10⁹	2¹⁰ · 3³ · 5² · 7³ · 17	51	2A, 7C, 17	None
McL	मैकलॉघलिन	1969	2nd	898128000	≈ 9×10⁸	2⁷ · 3⁶ · 5³ · 7 · 11	22	2A, 5A, 11	$o{\bigl (}(ab)^{2}(abab^{2})^{2}ab^{2}{\bigr )}=7$
HS	हिगमैन, सिम्स	1967	2nd	44352000	≈ 4×10⁷	2⁹ · 3² · 5³ · 7 · 11	22	2A, 5A, 11	None
J₄	जान्को	1976	Pariah	86775571046077562880	≈ 9×10¹⁹	2²¹ · 3³ · 5 · 7 · 11³ · 23 · 29 · 31 · 37 · 43	1333	2A, 4A, 37	$o{\bigl (}abab^{2}{\bigr )}=10$
J₃ or HJM	जान्को	1968	Pariah	50232960	≈ 5×10⁷	2⁷ · 3⁵ · 5 · 17 · 19	85	2A, 3A, 19	$o([a,b])=9$
J₂ or HJ	जान्को	1968	2nd	604800	≈ 6×10⁵	2⁷ · 3³ · 5² · 7	14	2B, 3B, 7	$o([a,b])=12$
J₁	जान्को	1965	Pariah	175560	≈ 2×10⁵	2³ · 3 · 5 · 7 · 11 · 19	56	2, 3, 7	$o{\bigl (}abab^{2}{\bigr )}=19$
T (or [[Ree group#Ree groups of type 2F4\| $2 F 4 (2)'$ ]])	टिट्स	1964	3rd	17971200	≈ 2×10⁷	2¹¹ · 3³ · 5² · 13	104^[17]	2A, 3, 13	$o([a,b])=5$
M₂₄	मैथ्यु	1861	1st	244823040	≈ 2×10⁸	2¹⁰ · 3³ · 5 · 7 · 11 · 23	23	2B, 3A, 23	$o{\bigl (}ab(abab^{2})^{2}ab^{2}{\bigr )}=4$
M₂₃	मैथ्यु	1861	1st	10200960	≈ 1×10⁷	2⁷ · 3² · 5 · 7 · 11 · 23	22	2, 4, 23	$o{\bigl (}(ab)^{2}(abab^{2})^{2}ab^{2}{\bigr )}=8$
M₂₂	मैथ्यु	1861	1st	443520	≈ 4×10⁵	2⁷ · 3² · 5 · 7 · 11	21	2A, 4A, 11	$o{\bigl (}abab^{2}{\bigr )}=11$
M₁₂	मैथ्यु	1861	1st	95040	≈ 1×10⁵	2⁶ · 3³ · 5 · 11	11	2B, 3B, 11	None
M₁₁	मैथ्यु	1861	1st	7920	≈ 8×10³	2⁴ · 3² · 5 · 11	10	2, 4, 11	$o{\bigl (}(ab)^{2}(abab^{2})^{2}ab^{2}{\bigr )}=4$

↑ The groups of prime order, the alternating groups of degree at least 5, the infinite family of commutator groups ²F₄(2²ⁿ⁺¹)′ of groups of Lie type (containing the Tits group), and 15 families of groups of Lie type.
↑ For example, in Eric W. Weisstein, "Tits Group", MathWorld there is a link from the Tits group to "Sporadic Group", as opposed to in Eric W. Weisstein, "Sporadic Group", MathWorld, where the Tits group is not listed among the 26 sporadic groups. Both sources checked on 2018-05-26.
↑ Conway et al. (1985, p. viii) organizes the 26 sporadic groups in likeness:
"The sporadic simple groups may be roughly sorted as the Mathieu groups, the Leech lattice groups, Fischer's 3-transposition groups, the further Monster centralizers, and the half-dozen oddments."

संदर्भ

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↑ Griess, Jr. (1998, p. 146)
↑ Gorenstein, Lyons & Solomon (1998, pp. 262–302)
↑ ^4.0 ^4.1 ^4.2 Ronan (2006, pp. 244–246)
↑ ^5.0 ^5.1 Wilson et al. (1999, ATLAS: Sporadic Groups)
↑ Griess, Jr. (1982, p. 91)
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↑ Griess, Jr. (1998, pp. 146−150)
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↑ Griess, Jr. (1998, pp. 146, 150−152)
↑ Hiss (2003, p. 172)
Tabelle 2. Die Entdeckung der sporadischen Gruppen (Table 2. The discovery of the sporadic groups)
↑ (sequence A001228 in the OEIS)
↑ Jansen (2005, pp. 122–123)
↑ Nickerson & Wilson (2011, p. 365)
↑ Wilson (1998, p. 267)
↑ Lubeck (2001, p. 2151)

उद्धृत कार्य

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बाहरी संबंध

[1] The groups of prime order, the alternating groups of degree at least 5, the infinite family of commutator groups ²F₄(2²ⁿ⁺¹)′ of groups of Lie type (containing the Tits group), and 15 families of groups of Lie type.

[6] For example, in Eric W. Weisstein, "Tits Group", MathWorld there is a link from the Tits group to "Sporadic Group", as opposed to in Eric W. Weisstein, "Sporadic Group", MathWorld, where the Tits group is not listed among the 26 sporadic groups. Both sources checked on 2018-05-26.

[9] Conway et al. (1985, p. viii) organizes the 26 sporadic groups in likeness:
"The sporadic simple groups may be roughly sorted as the Mathieu groups, the Leech lattice groups, Fischer's 3-transposition groups, the further Monster centralizers, and the half-dozen oddments."

[Conway-2] 1.0 ^1.1 ^1.2 ^1.3 Conway et al. (1985, p. viii)

[3] Griess, Jr. (1998, p. 146)

[4] Gorenstein, Lyons & Solomon (1998, pp. 262–302)

[Ronan-5] 4.0 ^4.1 ^4.2 Ronan (2006, pp. 244–246)

[Wilsonetal-7] 5.0 ^5.1 Wilson et al. (1999, ATLAS: Sporadic Groups)

[8] Griess, Jr. (1982, p. 91)

[10] Griess, Jr. (1998, pp. 54–79)

[11] Griess, Jr. (1998, pp. 104–145)

[12] Griess, Jr. (1998, pp. 146−150)

[13] Griess, Jr. (1982, pp. 91−96)

[14] Griess, Jr. (1998, pp. 146, 150−152)

[15] Hiss (2003, p. 172)
Tabelle 2. Die Entdeckung der sporadischen Gruppen (Table 2. The discovery of the sporadic groups)

[16] (sequence A001228 in the OEIS)

[17] Jansen (2005, pp. 122–123)

[18] Nickerson & Wilson (2011, p. 365)

[19] Wilson (1998, p. 267)

[20] Lubeck (2001, p. 2151)

[lower-alpha 1]

[1]

[2]

[3]

[4]

[lower-alpha 2]

[5]

[6]

[lower-alpha 3]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

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