परिबद्ध भिन्नता

गणितीय विश्लेषण में, परिबद्ध भिन्नता का एक कार्य, जिसे के रूप में भी जाना जाता हैBV फलन', एक वास्तविक संख्या-मूल्यवान फलन (गणित) है, जिसकी कुल भिन्नता परिमित (परिमित) है: इस गुण वाले फलन का ग्राफ एक सटीक अर्थ में अच्छी तरह से व्यवहार किया जाता है। एकल चर (गणित) के निरंतर कार्य के लिए, परिबद्ध भिन्नता होने का अर्थ है कि y-अक्ष की दिशा (ज्यामिति, भूगोल) के साथ दूरी|y-अक्ष, एक्स-अक्ष के साथ गति के योगदान की उपेक्षा करना |x-अक्ष, ग्राफ के साथ चलते हुए एक बिंदु (गणित) द्वारा यात्रा की जाती है, इसका एक परिमित मान होता है। कई चरों के एक सतत कार्य के लिए, परिभाषा का अर्थ समान है, इस तथ्य को छोड़कर कि माना जाने वाला निरंतर पथ दिए गए फ़ंक्शन का संपूर्ण ग्राफ़ नहीं हो सकता है (जो अंतर ज्यामिति और टोपोलॉजी #H की शब्दावली है) इस मामले में), लेकिन एक hyperplane (दो चर के कार्यों के मामले में, एक प्लेन (गणित)) के साथ ग्राफ का हर चौराहा (सेट सिद्धांत) एक निश्चित के समानांतर हो सकता है x-अक्ष और को y-एक्सिस।

परिबद्ध भिन्नता के कार्य सटीक रूप से वे हैं जिनके संबंध में सभी निरंतर कार्यों के रिमेंन-स्टील्टजेस इंटीग्रल मिल सकते हैं।

एक अन्य लक्षण वर्णन में कहा गया है कि एक कॉम्पैक्ट अंतराल पर परिबद्ध भिन्नता के कार्य ठीक वही हैं f जिसे अंतर के रूप में लिखा जा सकता है g − h, जहां दोनों g और h बंधे हुए मोनोटोनिक फ़ंक्शन हैं। विशेष रूप से, एक बीवी समारोह में असंतोष हो सकता है, लेकिन अधिकतर गिनती में।

कई चर के मामले में, एक फ़ंक्शन f एक खुले उपसमुच्चय पर परिभाषित Ω का $\mathbb {R} ^{n}$ कहा जाता है कि यदि इसका वितरण (गणित) एक सदिश-मूल्यवान कार्य | सदिश-मूल्यवान परिमित रेडॉन माप है, तो परिमित भिन्नता है।

परिबद्ध भिन्नता के कार्यों के सबसे महत्वपूर्ण पहलुओं में से एक यह है कि वे निरंतर कार्य के एक साहचर्य बीजगणित का निर्माण करते हैं जिसका पहला व्युत्पन्न लगभग हर जगह मौजूद है: इस तथ्य के कारण, वे कार्यात्मक (गणित) से जुड़ी गैर-रैखिक समस्याओं के सामान्यीकृत समाधानों को परिभाषित करने के लिए और अक्सर उपयोग किए जाते हैं। गणित, भौतिकी और अभियांत्रिकी में साधारण अंतर समीकरण और आंशिक अंतर समीकरण।

हमारे पास वास्तविक रेखा के एक बंद, परिबद्ध अंतराल पर निरंतर कार्यों के लिए समावेशन की निम्नलिखित श्रृंखलाएं हैं:

निरंतर अवकलनीय ⊆ लिपशित्ज़ निरंतर ⊆ बिल्कुल निरंतर ⊆ निरंतर और परिबद्ध भिन्नता ⊆ भिन्न कार्य लगभग हर जगह

इतिहास

बोरिस गोलूबोव के अनुसार, एक चर के बीवी कार्यों को पहली बार केमिली जॉर्डन द्वारा पेपर में पेश किया गया था (Jordan 1881) फूरियर श्रृंखला के अभिसरण से निपटना। इस अवधारणा के सामान्यीकरण में कई चर के कार्यों के लिए पहला सफल कदम लियोनिडा टोनेली के कारण था, जिन्होंने 1926 में निरंतर बीवी कार्यों का एक वर्ग पेश किया (Cesari 1986, pp. 47–48), एक से अधिक चर में विविधताओं की गणना में समस्याओं के समाधान खोजने के लिए विविधताओं की गणना में अपनी प्रत्यक्ष पद्धति का विस्तार करने के लिए। दस साल बाद, में (Cesari 1936), लैम्बर्टो केसरी ने टोनेली की परिभाषा में निरंतरता की आवश्यकता को एक कम प्रतिबंधात्मक अभिन्न आवश्यकता में बदल दिया, पहली बार इसकी पूर्ण व्यापकता में कई चरों के परिबद्ध भिन्नता के कार्यों का वर्ग प्राप्त किया: जैसा कि जॉर्डन ने उससे पहले किया था, उन्होंने हल करने के लिए अवधारणा को लागू किया फूरियर श्रृंखला के अभिसरण से संबंधित समस्या, लेकिन दो चर के कार्यों के लिए। उसके बाद, कई लेखकों ने कई चर, ज्यामितीय माप सिद्धांत, विविधताओं की कलन, और गणितीय भौतिकी में फूरियर श्रृंखला का अध्ययन करने के लिए बीवी कार्यों को लागू किया। रेनाटो कैसियोपोली और एन्नियो डी जियोर्गी ने उन्हें सेट (गणित) के सुचारू कार्य सीमा (टोपोलॉजी) के माप सिद्धांत को परिभाषित करने के लिए इस्तेमाल किया (अधिक जानकारी के लिए प्रविष्टि कैसीओपोली सेट देखें)। ओल्गा आर्सेनिवना ओलेनिक ने कागज में अंतरिक्ष बीवी से कार्यों के रूप में गैर-रैखिक आंशिक अंतर समीकरणों के सामान्यीकृत समाधानों के बारे में अपना विचार पेश किया। (Oleinik 1957), और पेपर में प्रथम-क्रम आंशिक अंतर समीकरण आंशिक अंतर समीकरण के परिबद्ध भिन्नता के सामान्यीकृत समाधान का निर्माण करने में सक्षम था (Oleinik 1959): कुछ साल बाद, एडवर्ड डी. कॉनवे और जोएल ए. स्मोलर ने पेपर में पहले क्रम के एकल अतिपरवलयिक समीकरण के अध्ययन के लिए बीवी-फ़ंक्शंस लागू किए (Conway & Smoller 1966), यह साबित करते हुए कि इस तरह के समीकरणों के लिए कॉची समस्या का समाधान परिबद्ध भिन्नता का एक कार्य है, बशर्ते कॉची सीमा की स्थिति एक ही वर्ग की हो। Aizik Isaakovich Vol'pert ने बड़े पैमाने पर BV कार्यों के लिए एक कलन विकसित किया: पेपर में (Vol'pert 1967) उन्होंने BV फ़ंक्शंस और पुस्तक में बाउंडेड वेरिएशन # चेन रूल साबित किया (Hudjaev & Vol'pert 1985) उन्होंने अपने शिष्य सर्गेई इवानोविच हुडजाएव के साथ संयुक्त रूप से बीवी कार्यों और उनके आवेदन के गुणों का व्यापक रूप से पता लगाया। उनके चेन रूल फॉर्मूले को बाद में पेपर में लुइगी एम्ब्रोसियो और ज्ञानी दल मासो द्वारा विस्तारित किया गया था (Ambrosio & Dal Maso 1990).

औपचारिक परिभाषा

=== एक चर === के बी.वी. कार्य करता है Definition 1.1. निरंतर वास्तविक संख्या-मूल्यवान (या अधिक सामान्य रूप से जटिल संख्या-मूल्यवान) फ़ंक्शन (गणित) f, एक अंतराल (गणित) [a, b] पर परिभाषित की कुल भिन्नता ⊂ ℝ मात्रा है

$V_{a}^{b}(f)=\sup _{P\in {\mathcal {P}}}\sum _{i=0}^{n_{P}-1}|f(x_{i+1})-f(x_{i})|.\,$

जहां सेट पर अंतिम को ले लिया जाता है ${\textstyle {\mathcal {P}}=\left\{P=\{x_{0},\dots ,x_{n_{P}}\}\mid P{\text{ is a partition of }}[a,b]{\text{ satisfying }}x_{i}\leq x_{i+1}{\text{ for }}0\leq i\leq n_{P}-1\right\}}$ अंतराल के अंतराल के सभी विभाजनों पर विचार किया गया।

यदि f व्युत्पन्न है और इसका व्युत्पन्न रीमैन-इंटीग्रेबल है, तो इसकी कुल भिन्नता इसके ग्राफ की चाप लंबाई | चाप-लंबाई का ऊर्ध्वाधर घटक है, जिसका कहना है,

$V_{a}^{b}(f)=\int _{a}^{b}|f'(x)|\,\mathrm {d} x.$

Definition 1.2. एक निरंतर वास्तविक-मूल्यवान कार्य $f$ वास्तविक रेखा पर एक चुने हुए अंतराल (गणित) [a, b] ⊂ ℝ पर परिमित भिन्नता (BV फ़ंक्शन) का होना कहा जाता है यदि इसकी कुल भिन्नता परिमित है, i.e.

$f\in {\text{BV}}([a,b])\iff V_{a}^{b}(f)<+\infty$

यह सिद्ध किया जा सकता है कि एक वास्तविक फलन ƒ में परिबद्ध भिन्नता है $[a,b]$ अगर और केवल अगर इसे अंतर ƒ = ƒ के रूप में लिखा जा सकता है₁- ƒ₂ दो गैर-घटते कार्यों पर $[a,b]$: इस परिणाम को एक फ़ंक्शन के जॉर्डन अपघटन के रूप में जाना जाता है और यह हैन अपघटन प्रमेय से संबंधित है#Jordan माप अपघटन।

स्टिल्ट्स अभिन्न के माध्यम से, एक बंद अंतराल [ए, बी] पर परिबद्ध भिन्नता का कोई भी कार्य सी ([ए, बी]) पर एक परिबद्ध रैखिक कार्यात्मक को परिभाषित करता है। इस विशेष मामले में, रिज़्ज़-मार्कोव-काकुटानी प्रतिनिधित्व प्रमेय कहता है कि प्रत्येक परिबद्ध रैखिक प्रकार्य इस तरह से विशिष्ट रूप से उत्पन्न होता है। सामान्यीकृत सकारात्मक कार्य या संभाव्यता उपाय सकारात्मक गैर-घटते निचले अर्ध-सतत कार्यों के अनुरूप हैं। में यह दृष्टिकोण महत्वपूर्ण रहा है वर्णक्रमीय सिद्धांत, विशेष रूप से साधारण अंतर समीकरणों के वर्णक्रमीय सिद्धांत के लिए इसके अनुप्रयोग में।

कई चर के बी.वी. कार्य

परिबद्ध भिन्नता के कार्य, बी.वी. फलन (गणित), ऐसे फलन हैं जिनका वितरणात्मक व्युत्पन्न एक विक्त: परिमित है रेडॉन माप। ज्यादा ठीक:

Definition 2.1. होने देना$\Omega$का एक खुला उपसमुच्चय हो $\mathbb {R} ^{n}$. एक समारोह$u$एलपी स्पेस से संबंधित|$L^{1}(\Omega )$परिबद्ध भिन्नता (बीवी फ़ंक्शन) के बारे में कहा जाता है, और लिखा जाता है

$u\in BV(\Omega )$

यदि कोई परिमित माप वेक्टर-मूल्यवान फ़ंक्शन रेडॉन माप मौजूद है $Du\in {\mathcal {M}}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})$ जैसे कि निम्नलिखित समानता रखती है

$\int _{\Omega }u(x)\operatorname {div} {\boldsymbol {\phi }}(x)\,\mathrm {d} x=-\int _{\Omega }\langle {\boldsymbol {\phi }},Du(x)\rangle \qquad \forall {\boldsymbol {\phi }}\in C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})$

वह है,$u$अंतरिक्ष पर एक रैखिक कार्यात्मक परिभाषित करता है $C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})$ स्मूथ फंक्शन वेक्टर-वैल्यू फंक्शन का ${\boldsymbol {\phi }}$ समर्थन का (गणित)#कॉम्पैक्ट समर्थन में निहित है$\Omega$: सदिश माप (गणित)$Du$इसलिए वितरण (गणित) का प्रतिनिधित्व करता है # परीक्षण कार्यों और वितरण या कमजोर व्युत्पन्न ढाल की परिभाषा$u$.

बीवी को निम्नलिखित तरीके से समान रूप से परिभाषित किया जा सकता है।

Definition 2.2. एक समारोह दिया$u$से संबंधित$L^{1}(\Omega )$, की कुल भिन्नता $u$ में $\Omega$ परिभाषित किया जाता है

$V(u,\Omega ):=\sup \left\{\int _{\Omega }u(x)\operatorname {div} {\boldsymbol {\phi }}(x)\,\mathrm {d} x:{\boldsymbol {\phi }}\in C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n}),\ \Vert {\boldsymbol {\phi }}\Vert _{L^{\infty }(\Omega )}\leq 1\right\}$

कहाँ $\Vert \;\Vert _{L^{\infty }(\Omega )}$ आवश्यक सुप्रीम नॉर्म (गणित) है। कभी-कभी, विशेष रूप से कैकियोपोली सेट के सिद्धांत में, निम्नलिखित अंकन का उपयोग किया जाता है

$\int _{\Omega }\vert Du\vert =V(u,\Omega )$

उस पर जोर देने के लिए $V(u,\Omega )$ वितरण (गणित) की कुल भिन्नता है # परीक्षण कार्यों और वितरण की परिभाषा / कमजोर व्युत्पन्न ढाल$u$. यह अंकन यह भी याद दिलाता है कि यदि$u$वर्ग का है$C^{1}$(अर्थात एक सतत कार्य और निरंतर कार्य डेरिवेटिव वाले अलग-अलग कार्य) तो इसकी कुल भिन्नता इसके ढाल के पूर्ण मूल्य का इंटीग्रल (माप सिद्धांत) है।

परिबद्ध भिन्नता (बीवी कार्यों) के कार्यों का स्थान तब के रूप में परिभाषित किया जा सकता है

$BV(\Omega )=\{u\in L^{1}(\Omega )\colon V(u,\Omega )<+\infty \}$

दो परिभाषाएँ if से समतुल्य हैं $\scriptstyle V(u,\Omega )<+\infty$ तब

$\left|\int _{\Omega }u(x)\operatorname {div} {\boldsymbol {\phi }}(x)\,\mathrm {d} x\right|\leq V(u,\Omega )\Vert {\boldsymbol {\phi }}\Vert _{L^{\infty }(\Omega )}\qquad \forall {\boldsymbol {\phi }}\in C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})$

इसलिए ${\textstyle \displaystyle {\boldsymbol {\phi }}\mapsto \,\int _{\Omega }u(x)\operatorname {div} {\boldsymbol {\phi }}(x)\,dx}$ अंतरिक्ष पर एक सतत रैखिक कार्यात्मक परिभाषित करता है $\scriptstyle C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})$. तब से $\scriptstyle C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})\subset C^{0}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})$ एक रेखीय उप-स्थान के रूप में, इस निरंतर रेखीय कार्यात्मक को निरंतर कार्य और रैखिकता को संपूर्ण तक बढ़ाया जा सकता है $\scriptstyle C^{0}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})$ हान-बनाक प्रमेय द्वारा। इसलिए निरंतर रेखीय कार्यात्मक एक राडोन माप # द्वैत को रिज-मार्कोव-काकुटानी प्रतिनिधित्व प्रमेय द्वारा परिभाषित करता है।

स्थानीय रूप से बी.वी. कार्य करता है

यदि स्थानीय रूप से एकीकृत कार्यों का कार्य स्थान, यानी कार्य (गणित) से संबंधित है $L_{\text{loc}}^{1}(\Omega )$, पूर्ववर्ती परिभाषाओं में माना जाता है 1.2, 2.1 और 2.2 एक पूर्णांकीय फलन के बजाय परिभाषित किया गया फलन स्थान स्थानीय रूप से परिबद्ध भिन्नता के फलनों का है। ठीक है, के लिए इस विचार को विकसित करना definition 2.2, एक स्थानीय संपत्ति भिन्नता को निम्नानुसार परिभाषित किया गया है,

$V(u,U):=\sup \left\{\int _{\Omega }u(x)\operatorname {div} {\boldsymbol {\phi }}(x)\,\mathrm {d} x:{\boldsymbol {\phi }}\in C_{c}^{1}(U,\mathbb {R} ^{n}),\ \Vert {\boldsymbol {\phi }}\Vert _{L^{\infty }(\Omega )}\leq 1\right\}$

हर सेट के लिए (गणित) $U\in {\mathcal {O}}_{c}(\Omega )$, परिभाषित किया ${\mathcal {O}}_{c}(\Omega )$ सभी अपेक्षाकृत कॉम्पैक्ट सबस्पेस के खुले सबसेट के सेट के रूप में$\Omega$आयाम (गणित) के मानक टोपोलॉजी के संबंध में | परिमित-आयामी वेक्टर रिक्त स्थान, और तदनुसार स्थानीय रूप से बंधे भिन्नता के कार्यों की श्रेणी को परिभाषित किया गया है

$BV_{\text{loc}}(\Omega )=\{u\in L_{\text{loc}}^{1}(\Omega )\colon \,(\forall U\in {\mathcal {O}}_{c}(\Omega ))\,V(u,U)<+\infty \}$

अंकन

मूल रूप से स्थानीय या विश्व स्तर पर परिबद्ध भिन्नता के कार्यों के रिक्त स्थान के अंकन के लिए दो अलग-अलग सम्मेलन हैं, और दुर्भाग्य से वे काफी समान हैं: पहला, जो इस प्रविष्टि में अपनाया गया है, उदाहरण के लिए संदर्भों में प्रयोग किया जाता है Giusti (1984) (आंशिक रूप से), Hudjaev & Vol'pert (1985) (आंशिक रूप से), Giaquinta, Modica & Souček (1998) और निम्नलिखित है

• $BV(\Omega )$ विश्व स्तर पर परिबद्ध भिन्नता के कार्यों के स्थान (गणित) की पहचान करता है
• $BV_{\text{loc}}(\Omega )$ स्थानीय रूप से परिबद्ध भिन्नता के कार्यों के स्थान (गणित) की पहचान करता है

दूसरा, जो सन्दर्भों में ग्रहण किया जाता है Vol'pert (1967) और Maz'ya (1985) (आंशिक रूप से), निम्नलिखित है:

• ${\overline {BV}}(\Omega )$ विश्व स्तर पर परिबद्ध भिन्नता के कार्यों के स्थान (गणित) की पहचान करता है
• $BV(\Omega )$ स्थानीय रूप से परिबद्ध भिन्नता के कार्यों के स्थान (गणित) की पहचान करता है

मूल गुण

निम्नलिखित में केवल एक चर के फलन (गणित) और कई चरों के फलन (गणित) के सामान्य गुणों पर विचार किया जाएगा, और गणितीय प्रमाणों को केवल कई चरों के कार्यों के लिए किया जाएगा क्योंकि मामले के लिए गणितीय प्रमाण एक चर का एक सीधा अनुकूलन कई चर के मामले में है: साथ ही, प्रत्येक खंड में यह बताया जाएगा कि क्या संपत्ति को स्थानीय रूप से बाध्य भिन्नता के कार्यों द्वारा भी साझा किया जाता है या नहीं। संदर्भ (Giusti 1984, pp. 7–9), (Hudjaev & Vol'pert 1985) और (Màlek et al. 1996) का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

=== बीवी फ़ंक्शंस में केवल जंप-टाइप या रिमूवेबल डिसकंटीन्युटी === होती है एक चर के मामले में, अभिकथन स्पष्ट है: प्रत्येक बिंदु के लिए $x_{0}$ अंतराल में (गणित) $[a,b]\subset \mathbb {R}$ समारोह की परिभाषा$u$, निम्नलिखित दो कथनों में से कोई एक सत्य है

$\lim _{x\rightarrow x_{0^{-}}}\!\!\!u(x)=\!\!\!\lim _{x\rightarrow x_{0^{+}}}\!\!\!u(x)$

$\lim _{x\rightarrow x_{0^{-}}}\!\!\!u(x)\neq \!\!\!\lim _{x\rightarrow x_{0^{+}}}\!\!\!u(x)$

जबकि एक समारोह की दोनों सीमाएं मौजूद हैं और परिमित हैं। कई चर के कार्यों के मामले में, समझने के लिए कुछ परिसर हैं: सबसे पहले, दिशा (ज्यामिति, भूगोल) का एक रैखिक सातत्य है जिसके साथ किसी दिए गए बिंदु तक पहुंचना संभव है$x_{0}$डोमेन से संबंधित$\Omega$⊂$\mathbb {R} ^{n}$. फ़ंक्शन की सीमा की उपयुक्त अवधारणा को सटीक बनाना आवश्यक है: एक इकाई वेक्टर चुनना $\scriptstyle {\boldsymbol {\hat {a}}}\in \mathbb {R} ^{n}$ विभाजित करना संभव है$\Omega$दो सेट में

$\Omega _{({\boldsymbol {\hat {a}}},{\boldsymbol {x}}_{0})}=\Omega \cap \{{\boldsymbol {x}}\in \mathbb {R} ^{n}|\langle {\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {x}}_{0},{\boldsymbol {\hat {a}}}\rangle >0\}\qquad \Omega _{(-{\boldsymbol {\hat {a}}},{\boldsymbol {x}}_{0})}=\Omega \cap \{{\boldsymbol {x}}\in \mathbb {R} ^{n}|\langle {\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {x}}_{0},-{\boldsymbol {\hat {a}}}\rangle >0\}$

फिर प्रत्येक बिंदु के लिए$x_{0}$डोमेन से संबंधित $\scriptstyle \Omega \in \mathbb {R} ^{n}$ बी.वी. समारोह की$u$, निम्नलिखित दो कथनों में से केवल एक सत्य है

$\lim _{\overset {{\boldsymbol {x}}\rightarrow {\boldsymbol {x}}_{0}}{{\boldsymbol {x}}\in \Omega _{({\boldsymbol {\hat {a}}},{\boldsymbol {x}}_{0})}}}\!\!\!\!\!\!u({\boldsymbol {x}})=\!\!\!\!\!\!\!\lim _{\overset {{\boldsymbol {x}}\rightarrow {\boldsymbol {x}}_{0}}{{\boldsymbol {x}}\in \Omega _{(-{\boldsymbol {\hat {a}}},{\boldsymbol {x}}_{0})}}}\!\!\!\!\!\!\!u({\boldsymbol {x}})$

$\lim _{\overset {{\boldsymbol {x}}\rightarrow {\boldsymbol {x}}_{0}}{{\boldsymbol {x}}\in \Omega _{({\boldsymbol {\hat {a}}},{\boldsymbol {x}}_{0})}}}\!\!\!\!\!\!u({\boldsymbol {x}})\neq \!\!\!\!\!\!\!\lim _{\overset {{\boldsymbol {x}}\rightarrow {\boldsymbol {x}}_{0}}{{\boldsymbol {x}}\in \Omega _{(-{\boldsymbol {\hat {a}}},{\boldsymbol {x}}_{0})}}}\!\!\!\!\!\!\!u({\boldsymbol {x}})$

या$x_{0}$के एक उपसमुच्चय के अंतर्गत आता है$\Omega$शून्य होना $n-1$-आयामी हौसडॉर्फ उपाय। मात्राएँ

$\lim _{\overset {{\boldsymbol {x}}\rightarrow {\boldsymbol {x}}_{0}}{{\boldsymbol {x}}\in \Omega _{({\boldsymbol {\hat {a}}},{\boldsymbol {x}}_{0})}}}\!\!\!\!\!\!u({\boldsymbol {x}})=u_{\boldsymbol {\hat {a}}}({\boldsymbol {x}}_{0})\qquad \lim _{\overset {{\boldsymbol {x}}\rightarrow {\boldsymbol {x}}_{0}}{{\boldsymbol {x}}\in \Omega _{(-{\boldsymbol {\hat {a}}},{\boldsymbol {x}}_{0})}}}\!\!\!\!\!\!\!u({\boldsymbol {x}})=u_{-{\boldsymbol {\hat {a}}}}({\boldsymbol {x}}_{0})$

'बीवी' फंक्शन की अनुमानित सीमाएं कहलाती हैं$u$बिंदु पर$x_{0}$.

V(·, Ω) L पर निचला अर्ध-निरंतर है¹(Ω)

कार्यात्मक (गणित) $\scriptstyle V(\cdot ,\Omega ):BV(\Omega )\rightarrow \mathbb {R} ^{+}$ अर्ध-निरंतरता है | निचला अर्ध-निरंतर: इसे देखने के लिए, बी.वी.-फ़ंक्शंस का कॉची अनुक्रम चुनें'$\scriptstyle \{u_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$स्थानीय रूप से एकीकृत समारोह में अभिसरण |$\scriptstyle u\in L_{\text{loc}}^{1}(\Omega )$. फिर, चूंकि अनुक्रम के सभी कार्य और उनके सीमा कार्य अभिन्न हैं और निचली सीमा की परिभाषा के अनुसार हैं

$\liminf _{n\rightarrow \infty }V(u_{n},\Omega )\geq \liminf _{n\rightarrow \infty }\int _{\Omega }u_{n}(x)\operatorname {div} \,{\boldsymbol {\phi }}\,\mathrm {d} x\geq \int _{\Omega }\lim _{n\rightarrow \infty }u_{n}(x)\operatorname {div} \,{\boldsymbol {\phi }}\,\mathrm {d} x=\int _{\Omega }u(x)\operatorname {div} {\boldsymbol {\phi }}\,\mathrm {d} x\qquad \forall {\boldsymbol {\phi }}\in C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n}),\quad \Vert {\boldsymbol {\phi }}\Vert _{L^{\infty }(\Omega )}\leq 1$

अब कार्यों के सेट पर सर्वोच्चता पर विचार कर रहे हैं $\scriptstyle {\boldsymbol {\phi }}\in C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})$ ऐसा है कि $\scriptstyle \Vert {\boldsymbol {\phi }}\Vert _{L^{\infty }(\Omega )}\leq 1$ तो निम्नलिखित असमानता सत्य है

$\liminf _{n\rightarrow \infty }V(u_{n},\Omega )\geq V(u,\Omega )$

जो बिल्कुल अर्धसतर्कता की परिभाषा है।

===बीवी (Ω) एक बानाच स्पेस === है परिभाषा से$BV(\Omega )$समाकलनीय फलन का उपसमुच्चय है |$L^{1}(\Omega )$, जबकि रैखिकता परिभाषित अभिन्न के रैखिकता गुणों से होती है अर्थात

${\begin{aligned}\int _{\Omega }[u(x)+v(x)]\operatorname {div} {\boldsymbol {\phi }}(x)\,\mathrm {d} x&=\int _{\Omega }u(x)\operatorname {div} {\boldsymbol {\phi }}(x)\,\mathrm {d} x+\int _{\Omega }v(x)\operatorname {div} {\boldsymbol {\phi }}(x)\,\mathrm {d} x=\\&=-\int _{\Omega }\langle {\boldsymbol {\phi }}(x),Du(x)\rangle -\int _{\Omega }\langle {\boldsymbol {\phi }}(x),Dv(x)\rangle =-\int _{\Omega }\langle {\boldsymbol {\phi }}(x),[Du(x)+Dv(x)]\rangle \end{aligned}}$

सभी के लिए $\scriptstyle \phi \in C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})$ इसलिए $\scriptstyle u+v\in BV(\Omega )$सभी के लिए $\scriptstyle u,v\in BV(\Omega )$, और

$\int _{\Omega }c\cdot u(x)\operatorname {div} {\boldsymbol {\phi }}(x)\,\mathrm {d} x=c\int _{\Omega }u(x)\operatorname {div} {\boldsymbol {\phi }}(x)\,\mathrm {d} x=-c\int _{\Omega }\langle {\boldsymbol {\phi }}(x),Du(x)\rangle$

सभी के लिए $c\in \mathbb {R}$, इसलिए $cu\in BV(\Omega )$ सभी के लिए $u\in BV(\Omega )$, और सभी $c\in \mathbb {R}$. सिद्ध सदिश स्थान गुण इसका अर्थ है$BV(\Omega )$Lp space| की सदिश उपसमष्टि है$L^{1}(\Omega )$. अब कार्य पर विचार करें $\scriptstyle \|\;\|_{BV}:BV(\Omega )\rightarrow \mathbb {R} ^{+}$ के रूप में परिभाषित

$\|u\|_{BV}:=\|u\|_{L^{1}}+V(u,\Omega )$

कहाँ $\scriptstyle \|\;\|_{L^{1}}$ सामान्य एलपी स्पेस है # एलपी स्पेस और लेबेसेग इंटीग्रल |$L^{1}(\Omega )$ मानदंड: यह साबित करना आसान है कि यह एक आदर्श (गणित) है$BV(\Omega )$. यह देखने के लिए$BV(\Omega )$इसके संबंध में पूर्ण मीट्रिक स्थान है, यानी यह एक बैनाच स्थान है, कॉची अनुक्रम पर विचार करें $\scriptstyle \{u_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ में$BV(\Omega )$. परिभाषा के अनुसार यह एक कॉशी अनुक्रम भी है$L^{1}(\Omega )$और इसलिए एक अनुक्रम की एक सीमा होती है$u$में$L^{1}(\Omega )$: तब से$u_{n}$में बँधा हुआ है$BV(\Omega )$प्रत्येक के लिए$n$, तब $\scriptstyle \Vert u\Vert _{BV}<+\infty$ भिन्नता की अर्ध निरंतरता से $\scriptstyle V(\cdot ,\Omega )$, इसलिए$u$एक बीवी फंक्शन है। अंत में, फिर से कम अर्ध-निरंतरता से, एक मनमानी छोटी सकारात्मक संख्या का चयन करना$\scriptstyle \varepsilon$:$\Vert u_{j}-u_{k}\Vert _{BV}<\varepsilon \quad \forall j,k\geq N\in \mathbb {N} \quad \Rightarrow \quad V(u_{k}-u,\Omega )\leq \liminf _{j\rightarrow +\infty }V(u_{k}-u_{j},\Omega )\leq \varepsilon$ इससे हम यह निष्कर्ष निकालते हैं $\scriptstyle V(\cdot ,\Omega )$ निरंतर है क्योंकि यह एक आदर्श है।

बीवी(Ω) वियोज्य नहीं है

इसे देखने के लिए, अंतरिक्ष से संबंधित निम्नलिखित उदाहरण पर विचार करना पर्याप्त है '$BV([0,1])$: प्रत्येक के लिए 0< α < 1 परिभाषित करें

$\chi _{\alpha }=\chi _{[\alpha ,1]}={\begin{cases}0&{\mbox{if }}x\notin \;[\alpha ,1]\\1&{\mbox{if }}x\in [\alpha ,1]\end{cases}}$

अंतराल (गणित) #Terminology|बाएं बंद अंतराल के सूचक समारोह के रूप में $[\alpha ,1]$. फिर, α,β∈ चुनना$[0,1]$ ऐसा है कि α≠β निम्नलिखित संबंध सत्य है:

$\Vert \chi _{\alpha }-\chi _{\beta }\Vert _{BV}=2$

अब, यह साबित करने के लिए कि हर घना सेट$BV(]0,1[)$गणनीय सेट नहीं किया जा सकता है, यह देखने के लिए पर्याप्त है कि प्रत्येक के लिए $\alpha \in [0,1]$ बॉल (गणित) का निर्माण संभव है

$B_{\alpha }=\left\{\psi \in BV([0,1]);\Vert \chi _{\alpha }-\psi \Vert _{BV}\leq 1\right\}$

स्पष्ट रूप से वे गेंदें असम्बद्ध सेट हैं, और सेट (गणित) का एक अनुक्रमित परिवार भी है जिसका सूचकांक सेट है $[0,1]$. इसका तात्पर्य है कि इस परिवार में सातत्य की प्रमुखता है: अब, चूंकि प्रत्येक सघन उपसमुच्चय $BV([0,1])$ इस परिवार के प्रत्येक सदस्य के अंदर कम से कम एक बिंदु होना चाहिए, इसकी प्रमुखता कम से कम सातत्य की है और इसलिए इसे गणनीय उपसमुच्चय नहीं बनाया जा सकता है। इस उदाहरण को स्पष्ट रूप से उच्च आयामों तक बढ़ाया जा सकता है, और चूंकि इसमें केवल स्थानीय संपत्ति शामिल है, इसका तात्पर्य है कि वही संपत्ति के लिए भी सत्य है$BV_{loc}$.

बीवी कार्यों के लिए चेन नियम

सुचारू कार्यों के लिए श्रृंखला नियम गणित और गणितीय भौतिकी में बहुत महत्वपूर्ण हैं क्योंकि कई महत्वपूर्ण गणितीय मॉडल हैं जिनके व्यवहार को फंक्शन (गणित) या कार्यात्मक (गणित) द्वारा वर्णित किया गया है, जो बहुत ही सीमित डिग्री के चिकने कार्य के साथ हैं। कागज में निम्नलिखित श्रृंखला नियम सिद्ध होता है (Vol'pert 1967, p. 248). ध्यान दें कि सभी आंशिक डेरिवेटिव को सामान्यीकृत अर्थ में व्याख्या किया जाना चाहिए, अर्थात, सामान्यीकृत व्युत्पन्न # मूल विचार के रूप में।

प्रमेय। होने देना $\scriptstyle f:\mathbb {R} ^{p}\rightarrow \mathbb {R}$ कक्षा का एक कार्य हो$C^{1}$(अर्थात एक सतत कार्य और निरंतर कार्य डेरिवेटिव वाले अलग-अलग कार्य) और चलो $\scriptstyle {\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {x}})=(u_{1}({\boldsymbol {x}}),\ldots ,u_{p}({\boldsymbol {x}}))$ में एक समारोह हो$BV(\Omega )$साथ$\Omega$का एक खुला उपसमुच्चय होना $\scriptstyle \mathbb {R} ^{n}$. तब $\scriptstyle f\circ {\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {x}})=f({\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {x}}))\in BV(\Omega )$ और

${\frac {\partial f({\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {x}}))}{\partial x_{i}}}=\sum _{k=1}^{p}{\frac {\partial {\bar {f}}({\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {x}}))}{\partial u_{k}}}{\frac {\partial {u_{k}({\boldsymbol {x}})}}{\partial x_{i}}}\qquad \forall i=1,\ldots ,n$

कहाँ $\scriptstyle {\bar {f}}({\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {x}}))$ बिंदु पर फ़ंक्शन का माध्य मान है$\scriptstyle x\in \Omega$, के रूप में परिभाषित

${\bar {f}}({\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {x}}))=\int _{0}^{1}f\left({\boldsymbol {u}}_{\boldsymbol {\hat {a}}}({\boldsymbol {x}})t+{\boldsymbol {u}}_{-{\boldsymbol {\hat {a}}}}({\boldsymbol {x}})(1-t)\right)\,dt$

लिपशिट्ज निरंतरता के लिए एक अधिक सामान्य श्रृंखला नियम सूत्र $\scriptstyle f:\mathbb {R} ^{p}\rightarrow \mathbb {R} ^{s}$ लुइगी एम्ब्रोसियो और गियान्नी दल मासो द्वारा पाया गया है और पेपर में प्रकाशित हुआ है (Ambrosio & Dal Maso 1990). हालाँकि, इस सूत्र के भी बहुत महत्वपूर्ण प्रत्यक्ष परिणाम हैं: उपयोग करना $(u({\boldsymbol {x}}),v({\boldsymbol {x}}))$ की जगह ${\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {x}})$, कहाँ $v({\boldsymbol {x}})$ एक भी है$BV$समारोह और चयन $f((u,v))=uv$, पूर्ववर्ती सूत्र उत्पाद नियम के लिए देता है$BV$कार्य

${\frac {\partial v({\boldsymbol {x}})u({\boldsymbol {x}})}{\partial x_{i}}}={{\bar {u}}({\boldsymbol {x}})}{\frac {\partial v({\boldsymbol {x}})}{\partial x_{i}}}+{{\bar {v}}({\boldsymbol {x}})}{\frac {\partial u({\boldsymbol {x}})}{\partial x_{i}}}$

इसका तात्पर्य है कि परिबद्ध भिन्नता के दो कार्यों का उत्पाद फिर से परिबद्ध भिन्नता का एक कार्य है$BV(\Omega )$एक साहचर्य बीजगणित है।

===बीवी(Ω) एक बनच बीजगणित === है यह संपत्ति सीधे इस तथ्य से अनुसरण करती है कि '$BV(\Omega )$एक बनच स्थान है और एक साहचर्य बीजगणित भी है: इसका तात्पर्य है कि यदि$\{v_{n}\}$और$\{u_{n}\}$के कॉची क्रम हैं $BV$ कार्य क्रमशः कार्य (गणित) में परिवर्तित हो रहे हैं$v$और$u$में$BV(\Omega )$, तब

${\begin{matrix}vu_{n}{\xrightarrow[{n\to \infty }]{}}vu\\v_{n}u{\xrightarrow[{n\to \infty }]{}}vu\end{matrix}}\quad \Longleftrightarrow \quad vu\in BV(\Omega )$

इसलिए सामान्य बिंदुवार उत्पाद निरंतरता (गणित) है$BV(\Omega )$प्रत्येक तर्क के संबंध में, इस कार्य स्थान को एक बनच बीजगणित बनाते हैं।

सामान्यीकरण और विस्तार

भारित बीवी कार्य

कुल भिन्नता की उपरोक्त धारणा को सामान्य बनाना संभव है ताकि विभिन्न भिन्नताओं को अलग-अलग भारित किया जा सके। अधिक सटीक, चलो $\scriptstyle \varphi :[0,+\infty )\longrightarrow [0,+\infty )$ कोई भी बढ़ता हुआ कार्य हो जैसे कि $\scriptstyle \varphi (0)=\varphi (0+)=\lim _{x\rightarrow 0_{+}}\varphi (x)=0$ (वजन समारोह) और चलो $\scriptstyle f:[0,T]\longrightarrow X$ अंतराल से एक कार्य बनें (गणित) $[0,T]$⊂ℝ एक आदर्श सदिश स्थान में मान लेना $X$. फिर $\scriptstyle {\boldsymbol {\varphi }}$-की भिन्नता $f$ ऊपर $[0,T]$ परिभाषित किया जाता है

$\mathop {\varphi {\text{-}}\operatorname {Var} } _{[0,T]}(f):=\sup \sum _{j=0}^{k}\varphi \left(|f(t_{j+1})-f(t_{j})|_{X}\right),$

जहाँ, हमेशा की तरह, अंतराल के एक अंतराल के सभी परिमित विभाजनों पर सर्वोच्चता ले ली जाती है $[0,T]$, यानी वास्तविक संख्याओं के सभी परिमित समुच्चय $t_{i}$ ऐसा है कि

$0=t_{0}<t_{1}<\cdots <t_{k}=T.$

ऊपर विचार की गई कुल भिन्नता की मूल धारणा का विशेष मामला है $\scriptstyle \varphi$-वैरिएशन जिसके लिए वेट फंक्शन पहचान समारोह है: इसलिए एक इंटीग्रेबल फंक्शन $f$ भारित बीवी कार्य कहा जाता है (वजन का $\scriptstyle \varphi$) अगर और केवल अगर इसकी $\scriptstyle \varphi$-भिन्नता परिमित है।

$f\in BV_{\varphi }([0,T];X)\iff \mathop {\varphi {\text{-}}\operatorname {Var} } _{[0,T]}(f)<+\infty$

अंतरिक्ष $\scriptstyle BV_{\varphi }([0,T];X)$ मानदंड (गणित) के संबंध में एक सांस्थितिक सदिश स्थान है

$\|f\|_{BV_{\varphi }}:=\|f\|_{\infty }+\mathop {\varphi {\text{-}}\operatorname {Var} } _{[0,T]}(f),$

कहाँ $\scriptstyle \|f\|_{\infty }$ के सामान्य सर्वोच्च मानदंड को दर्शाता है$f$. व्लाडिसलाव ऑरलिक्ज़ और जूलियन मुसिलाक द्वारा पेपर में भारित बीवी कार्यों को पूर्ण सामान्यता में पेश किया गया और उनका अध्ययन किया गया। Musielak & Orlicz 1959: लॉरेंस चिशोल्म यंग ने पहले मामले का अध्ययन किया था $\scriptstyle \varphi (x)=x^{p}$ कहाँ$p$एक सकारात्मक पूर्णांक है।

एसबीवी कार्य

पेपर में लुइगी एम्ब्रोसियो और एन्नियो डी जियोर्गी द्वारा 'एसबीवी फ़ंक्शंस' यानी बाउंडेड वेरिएशन के विशेष फ़ंक्शंस पेश किए गए थे (Ambrosio & De Giorgi 1988), मुक्त विच्छिन्नता परिवर्तनशील समस्याओं से निपटना: एक खुला उपसमुच्चय दिया गया है$\Omega$का $\mathbb {R} ^{n}$, अंतरिक्ष$SBV(\Omega )$की उचित रैखिक उपसमष्टि है$BV(\Omega )$, चूंकि इससे संबंधित प्रत्येक कार्य के कमजोर व्युत्पन्न ढाल में एक का योग होता है $n$-आयामी समर्थन (गणित) और एक $n-1$-आयामी समर्थन (गणित) माप (गणित) और कोई मध्यवर्ती-आयामी शब्द नहीं, जैसा कि निम्नलिखित परिभाषा में देखा गया है।

'परिभाषा'। एक स्थानीय रूप से एकीकृत समारोह को देखते हुए '$u$, तब $\scriptstyle u\in {S\!BV}(\Omega )$ अगर और केवल अगर

1. दो बोरेल कार्य मौजूद हैं $f$ और $g$ किसी फ़ंक्शन के डोमेन का$\Omega$और कोडोमेन $\mathbb {R} ^{n}$ ऐसा है कि

$\int _{\Omega }\vert f\vert \,dH^{n}+\int _{\Omega }\vert g\vert \,dH^{n-1}<+\infty .$

2. सभी स्मूथ फंक्शन वेक्टर-वैल्यू फंक्शन के लिए $\scriptstyle \phi$ समर्थन का (गणित)#कॉम्पैक्ट समर्थन में निहित है$\Omega$, i.e. सभी के लिए $\scriptstyle \phi \in C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})$ निम्नलिखित सूत्र सत्य है:

$\int _{\Omega }u\operatorname {div} \phi \,dH^{n}=\int _{\Omega }\langle \phi ,f\rangle \,dH^{n}+\int _{\Omega }\langle \phi ,g\rangle \,dH^{n-1}.$

कहाँ $H^{\alpha }$ है $\alpha$-आयामी हौसडॉर्फ उपाय।

एसबीवी कार्यों के गुणों पर विवरण ग्रंथसूची अनुभाग में उद्धृत कार्यों में पाया जा सकता है: विशेष रूप से पेपर (De Giorgi 1992) में एक उपयोगी ग्रंथसूची है।

बीवी अनुक्रम

बनच रिक्त स्थान के विशेष उदाहरण के रूप में, Dunford & Schwartz (1958, Chapter IV) परिबद्ध भिन्नता के कार्यों के रिक्त स्थान के अलावा, परिबद्ध भिन्नता के अनुक्रमों के रिक्त स्थान पर विचार करें। अनुक्रम (गणित) की कुल भिन्नता x = (x_i) वास्तविक या जटिल संख्याओं द्वारा परिभाषित किया गया है

$TV(x)=\sum _{i=1}^{\infty }|x_{i+1}-x_{i}|.$

परिमित कुल भिन्नता के सभी अनुक्रमों के स्थान को bv द्वारा निरूपित किया जाता है। बीवी पर मानदंड द्वारा दिया गया है

$\|x\|_{bv}=|x_{1}|+\operatorname {TV} (x)=|x_{1}|+\sum _{i=1}^{\infty }|x_{i+1}-x_{i}|.$

इस मानदंड के साथ, अंतरिक्ष bv एक बनच स्थान है जो आइसोमोर्फिक है $\ell _{1}$.

कुल भिन्नता ही बीवी द्वारा निरूपित बीवी के एक निश्चित उप-स्थान पर एक मानदंड को परिभाषित करती है₀, अनुक्रमों से मिलकर x = (x_i) जिसके लिए

$\lim _{n\to \infty }x_{n}=0.$

बीवी पर मानदंड₀ निरूपित किया जाता है

$\|x\|_{bv_{0}}=TV(x)=\sum _{i=1}^{\infty }|x_{i+1}-x_{i}|.$

इस मानदंड के संबंध में बी.वी₀ बनच स्पेस भी बन जाता है, जो आइसोमॉर्फिक और आइसोमेट्रिक है $\ell _{1}$ (हालांकि प्राकृतिक तरीके से नहीं)।

परिबद्ध भिन्नता के उपाय

एक हस्ताक्षरित माप (या जटिल माप) उपाय (गणित)$\mu$एक सिग्मा-बीजगणित पर $(X,\Sigma )$ परिबद्ध भिन्नता का कहा जाता है यदि इसकी कुल भिन्नता # माप सिद्धांत में कुल भिन्नता है $\scriptstyle \Vert \mu \Vert =|\mu |(X)$घिरा हुआ है: देखें Halmos (1950, p. 123), Kolmogorov & Fomin (1969, p. 346) या अधिक जानकारी के लिए प्रविष्टि कुल भिन्नता।

उदाहरण

फ़ाइल: sin x^-1.svg|right|thumb|फलन f(x) = sin(1/x) अंतराल पर परिबद्ध भिन्नता का नहीं है $[0,2/\pi ]$. जैसा कि परिचय में उल्लेख किया गया है, बीवी कार्यों के उदाहरणों के दो बड़े वर्ग एकरस कार्य हैं, और बिल्कुल निरंतर कार्य हैं। एक नकारात्मक उदाहरण के लिए: function

$f(x)={\begin{cases}0,&{\mbox{if }}x=0\\\sin(1/x),&{\mbox{if }}x\neq 0\end{cases}}$

अंतराल पर परिबद्ध भिन्नता का नहीं है $[0,2/\pi ]$ फ़ाइल:Xsin(x^-1).svg|thumb|right|फ़ंक्शन f(x) = x sin(1/x) अंतराल पर परिबद्ध भिन्नता का नहीं है $[0,2/\pi ]$. जबकि यह देखना कठिन है, निरंतर कार्य

$f(x)={\begin{cases}0,&{\mbox{if }}x=0\\x\sin(1/x),&{\mbox{if }}x\neq 0\end{cases}}$

अंतराल पर परिबद्ध भिन्नता का नहीं है $[0,2/\pi ]$ दोनों में से एक।

फ़ाइल:X^2sin(x^-1).svg|thumb|right|फलन f(x) = x² sin(1/x) अंतराल पर परिबद्ध भिन्नता का है $[0,2/\pi ]$. साथ ही, समारोह

$f(x)={\begin{cases}0,&{\mbox{if }}x=0\\x^{2}\sin(1/x),&{\mbox{if }}x\neq 0\end{cases}}$

अंतराल पर परिबद्ध भिन्नता का है $[0,2/\pi ]$. हालाँकि, तीनों कार्य प्रत्येक अंतराल पर परिबद्ध भिन्नता के हैं $[a,b]$ साथ $a>0$.

कैंटर समारोह परिबद्ध भिन्नता के एक फ़ंक्शन का एक प्रसिद्ध उदाहरण है जो बिल्कुल निरंतर नहीं है। सोबोलेव अंतरिक्ष$W^{1,1}(\Omega )$का उचित उपसमुच्चय है$BV(\Omega )$. वास्तव में, प्रत्येक के लिए$u$में$W^{1,1}(\Omega )$माप (गणित) चुनना संभव है $\scriptstyle \mu :=\nabla u{\mathcal {L}}$ (कहाँ $\scriptstyle {\mathcal {L}}$ लेबेस्ग उपाय चालू है $\Omega$) ऐसी समानता

$\int u\operatorname {div} \phi =-\int \phi \,d\mu =-\int \phi \,\nabla u\qquad \forall \phi \in C_{c}^{1}$

धारण करता है, क्योंकि यह कमजोर व्युत्पन्न की परिभाषा से अधिक कुछ नहीं है, और इसलिए सत्य है। एक बीवी फ़ंक्शन का एक उदाहरण आसानी से मिल सकता है जो 'नहीं है'$W^{1,1}$: आयाम एक में, गैर-तुच्छ छलांग के साथ कोई भी कदम कार्य करेगा।

अनुप्रयोग

गणित

कार्यों की असंततताओं के वर्गीकरण और वास्तविक कार्यों की भिन्नता के संबंध में परिबद्ध भिन्नता के कार्यों का अध्ययन किया गया है, और निम्नलिखित परिणाम अच्छी तरह से ज्ञात हैं। अगर $f$ एक अंतराल पर परिबद्ध भिन्नता का एक वास्तविक संख्या फलन (गणित) है $[a,b]$ तब

• $f$ एक गणनीय सेट पर अधिकतर को छोड़कर निरंतर कार्य है;
• $f$ हर जगह एकतरफा सीमाएँ हैं (बाएँ से हर जगह अंदर की सीमाएँ $(a,b]$, और दाईं ओर से हर जगह में $[a,b)$ ;
• व्युत्पन्न $f'(x)$ लगभग हर जगह मौजूद है (अर्थात माप शून्य के एक सेट को छोड़कर)।

कई वास्तविक चरों के वास्तविक संख्या फ़ंक्शन (गणित) के लिए

• Caccioppoli सेट का संकेतक कार्य एक BV फ़ंक्शन है: BV फ़ंक्शन परिधि के आधुनिक सिद्धांत के आधार पर स्थित है।
• न्यूनतम सतहें बीवी कार्यों के कार्यों का ग्राफ हैं: इस संदर्भ में, संदर्भ देखें (Giusti 1984).

भौतिकी और इंजीनियरिंग

विच्छिन्नताओं से निपटने के लिए बीवी कार्यों की क्षमता ने उनके उपयोग को लागू विज्ञानों में व्यापक बना दिया है: यांत्रिकी, भौतिकी, रासायनिक कैनेटीक्स में समस्याओं का समाधान बहुत बार परिबद्ध भिन्नता के कार्यों द्वारा प्रस्तुत किया जा सकता है। पुस्तक (Hudjaev & Vol'pert 1985) बीवी कार्यों के गणितीय भौतिकी अनुप्रयोगों के एक बहुत ही पर्याप्त सेट का विवरण देता है। कुछ आधुनिक अनुप्रयोग भी हैं जो एक संक्षिप्त विवरण के योग्य हैं।

• द ममफोर्ड-शाह कार्यात्मक: द्वि-आयामी छवि के लिए विभाजन की समस्या, यानी समोच्चों और ग्रे स्केल के वफादार पुनरुत्पादन की समस्या इस तरह के कार्यात्मक (गणित) के न्यूनतम के बराबर है।
• कुल भिन्नता denoising

यह भी देखें

• रेनाटो कैसिओपोली
• कैकियोपोली सेट
• लैम्बर्टो केसरी
• एन्नियो डी जियोर्गी
• हेली का चयन सिद्धांत
• स्थानीय रूप से अभिन्न कार्य
• एलपी स्पेस|एल^p(Ω) स्थान
• लेबेस्ग-स्टील्टजेस इंटीग्रल
• रेडॉन माप
• कम व्युत्पन्न
• रिमेंन-स्टील्टजेस इंटीग्रल
• कुल भिन्नता
• एजिक इसाकोविच वोल्पर्ट
• कुल भिन्नता denoising

संदर्भ

शोध कार्य

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• Oleinik, Olga A. (1959), "Construction of a generalized solution of the Cauchy problem for a quasi-linear equation of first order by the introduction of "vanishing viscosity"", Uspekhi Matematicheskikh Nauk, 14 (2(86)): 159–164, Zbl 0096.06603 ((in Russian)). एक महत्वपूर्ण पेपर जहां लेखक एक गैर-रैखिक समीकरण आंशिक अंतर समीकरण के लिए बीवी में एक कमजोर समाधान का निर्माण करता है, जिसमें विस्कोसिटी गायब हो जाती है।
• टोनी एफ. चान और जियानहोंग (जैकी) शेन (2005), jackieenoshen.googlepages.com/ImagingNewEra.html इमेज प्रोसेसिंग और विश्लेषण - वेरिएशनल, पीडीई, वेवलेट, और स्टोचैस्टिक तरीके, सियाम प्रकाशक, ISBN 0-89871-589-X (रूडिन, ओशेर और फातेमी द्वारा शुरू की गई आधुनिक इमेज प्रोसेसिंग में गहन कवरेज और बाउंडेड विविधताओं के व्यापक अनुप्रयोगों के साथ)।

बाहरी संबंध

सिद्धांत

• Golubov, Boris I.; Vitushkin, Anatolii G. (2001) [1994], "Variation of a function", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• "BV function". PlanetMath..
• Rowland, Todd & Weisstein, Eric W. "Bounded Variation". MathWorld.
• फंक्शन ऑफ बाउंड वेरिएशन पर Encyclopedia of गणित

अन्य

• लुइगी एम्ब्रोसियो होम पेज पीसा का सामान्य उच्च विद्यालय में। बीवी कार्यों के सिद्धांत और अनुप्रयोगों में योगदानकर्ताओं में से एक का अकादमिक होम पेज (प्रीप्रिंट्स और प्रकाशनों के साथ)।
• रिसर्च ग्रुप इन कैलकुलस ऑफ़ वेरिएशंस एंड ज्योमेट्रिक मेज़र थ्योरी, स्कुओला नॉर्मले सुपरियोर डी पीसा।

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