बरनौली अवकल समीकरण

गणित में, एक साधारण अवकल समीकरण को बर्नौली अवकल समीकरण कहा जाता है यदि यह रूप का हो

$y'+P(x)y=Q(x)y^{n},$

कहाँ $n$ एक वास्तविक संख्या है। कुछ लेखक किसी भी वास्तविक की अनुमति देते हैं $n$,जबकि अन्य को इसकी आवश्यकता होती है $n$ 0 या 1 नहीं हो।इस समीकरण पर पहली बार 1695 में जैकब बर्नौली द्वारा चर्चा की गई थी, जिसके नाम पर इसका नाम रखा गया है। हालाँकि, सबसे पहला समाधान गॉटफ्रीड विल्हेम लीबनिज द्वारा पेश किया गया था, जिन्होंने उसी वर्ष अपना परिणाम प्रकाशित किया था और जिसकी विधि आज भी उपयोग की जाती है। बर्नौली समीकरण विशेष हैं क्योंकि वे ज्ञात सटीक समाधानों के साथ अरैखिक अवकल समीकरण हैं। बर्नौली समीकरण का एक उल्लेखनीय विशेष मामला रसद अंतर समीकरण है।

बाईं ओर के व्युत्पन्न के रूप में प्रतिनिधित्व किया जा सकता है $ux^{2}$ उत्पाद नियम को उलट कर। श्रृंखला नियम को लागू करना और दोनों पक्षों को संबंध में एकीकृत करना $x$ समीकरणों में परिणाम

एक रेखीय अंतर समीकरण में परिवर्तन

कब $n=0$अवकल समीकरण रैखिक अवकल समीकरण है। कब $n=1$, यह वियोज्य अवकल समीकरण है। इन मामलों में, उन रूपों के समीकरणों को हल करने की मानक तकनीकों को लागू किया जा सकता है। के लिए $n\neq 0$ और $n\neq 1$, प्रतिस्थापन $u=y^{1-n}$ किसी भी बरनौली समीकरण को रेखीय अवकल समीकरण में बदल देता है

${\frac {du}{dx}}-(n-1)P(x)u=-(n-1)Q(x).$

उदाहरण के लिए, मामले में $n=2$, प्रतिस्थापन कर रहा है $u=y^{-1}$ अंतर समीकरण में ${\frac {dy}{dx}}+{\frac {1}{x}}y=xy^{2}$ समीकरण उत्पन्न करता है ${\frac {du}{dx}}-{\frac {1}{x}}u=-x$, जो एक रेखीय अंतर समीकरण है।

समाधान

होने देना $x_{0}\in (a,b)$ और

$\left\{{\begin{array}{ll}z:(a,b)\rightarrow (0,\infty )\ ,&{\textrm {if}}\ \alpha \in \mathbb {R} \setminus \{1,2\},\\z:(a,b)\rightarrow \mathbb {R} \setminus \{0\}\ ,&{\textrm {if}}\ \alpha =2,\\\end{array}}\right.$

रैखिक अवकल समीकरण का एक हल हो

$z'(x)=(1-\alpha )P(x)z(x)+(1-\alpha )Q(x).$

फिर हमारे पास वह है $y(x):=[z(x)]^{\frac {1}{1-\alpha }}$ का समाधान है

$y'(x)=P(x)y(x)+Q(x)y^{\alpha }(x)\ ,\ y(x_{0})=y_{0}:=[z(x_{0})]^{\frac {1}{1-\alpha }}.$

और ऐसे प्रत्येक अवकल समीकरण के लिए, सबके लिए $\alpha >0$ अपने पास $y\equiv 0$ समाधान के रूप में $y_{0}=0$.

उदाहरण

बरनौली समीकरण पर विचार करें

$y'-{\frac {2y}{x}}=-x^{2}y^{2}$

(इस मामले में, विशेष रूप से एक रिकाटी समीकरण)। निरंतर कार्य $y=0$ एक समाधान है। द्वारा विभाजन $y^{2}$ पैदावार

$y'y^{-2}-{\frac {2}{x}}y^{-1}=-x^{2}$

चर बदलने से समीकरण मिलते हैं

${\begin{aligned}u={\frac {1}{y}}\;&,~u'={\frac {-y'}{y^{2}}}\\-u'-{\frac {2}{x}}u&=-x^{2}\\u'+{\frac {2}{x}}u&=x^{2}\end{aligned}}$

जिसे एकीकृत कारक का उपयोग करके हल किया जा सकता है

$M(x)=e^{2\int {\frac {1}{x}}\,dx}=e^{2\ln x}=x^{2}.$

से गुणा करना $M(x)$,

$u'x^{2}+2xu=x^{4}.$

बाईं ओर के व्युत्पन्न के रूप में प्रतिनिधित्व किया जा सकता है $ux^{2}$ उत्पाद नियम को उलट कर। श्रृंखला नियम को लागू करना और दोनों पक्षों को संबंध में एकीकृत करना $x$ समीकरणों में परिणाम

${\begin{aligned}\int \left(ux^{2}\right)'dx&=\int x^{4}\,dx\\ux^{2}&={\frac {1}{5}}x^{5}+C\\{\frac {1}{y}}x^{2}&={\frac {1}{5}}x^{5}+C\end{aligned}}$

के लिए समाधान $y$ है

$y={\frac {x^{2}}{{\frac {1}{5}}x^{5}+C}}.$

संदर्भ

• Bernoulli, Jacob (1695), "Explicationes, Annotationes & Additiones ad ea, quae in Actis sup. de Curva Elastica, Isochrona Paracentrica, & Velaria, hinc inde memorata, & paratim controversa legundur; ubi de Linea mediarum directionum, alliisque novis", Acta Eruditorum. Cited in Hairer, Nørsett & Wanner (1993).
• Hairer, Ernst; Nørsett, Syvert Paul; Wanner, Gerhard (1993), Solving ordinary differential equations I: Nonstiff problems, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-56670-0.

बाहरी संबंध

• Index of differential equations