बायेसियन संभावना

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Bayesian statistics
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Posterior = Likelihood × Prior ÷ Evidence
Background
Model building
Posterior approximation
Estimators
Evidence approximation
Model evaluation

बायेसियन संभावना प्रायिकता की अवधारणा की एक व्याख्या है जिसमें किसी घटना की आवृत्ति या प्रवृत्ति के बजाय संभाव्यता की व्याख्या उचित अपेक्षा के रूप में की जाती है[1] जो ज्ञान की स्थिति का प्रतिनिधित्व करती है[2] या व्यक्तिगत विश्वास की मात्रा के रूप में होती है।[3]

प्रायिकता की बायेसियन व्याख्या को प्रस्तावात्मक तर्क के विस्तार के रूप में देखा जा सकता है जो परिकल्पना के साथ तर्क को सक्षम बनाता है;[4][5] अर्थात्, ऐसे प्रस्तावों के साथ जिनकी सत्यता या असत्यता अज्ञात है। बायेसियन दृष्टिकोण में प्रायिकता को एक परिकल्पना के लिए नियत किया जाता है, जबकि बारंबारतावादी अनुमान के अनुसार प्रायिकता निर्दिष्ट किए बिना एक परिकल्पना का सामान्यतः परीक्षण किया जाता है।

बायेसियन प्रायिकता एक परिकल्पना की संभावना का मूल्यांकन करने के लिए साक्ष्य संभावनाओं की श्रेणी से संबंधित है, बायेसियन संभावनावादी एक पूर्व संभावना को निर्दिष्ट करता है। इसके बदले में इसे नए प्रासंगिक आंकड़े (प्रमाण) के आलोक में पश्च संभाव्यता में अद्यतन किया जाता है।[6] बायेसियन व्याख्या इस गणना को करने के लिए प्रक्रियाओं और सूत्रों का एक मानक सेट प्रदान करती है।

बायेसियन शब्द 18वीं शताब्दी के गणितज्ञ और धर्मशास्त्री थॉमस बेयस से निकला है, जिन्होंने सांख्यिकीय डेटा विश्लेषण की एक गैर-तुच्छ समस्या का पहला गणितीय समाधान प्रदान किया था, जिसे अब बायेसियन अनुमान के रूप में जाना जाता है।[7]: 131  गणितज्ञ पियरे-साइमन लाप्लास ने अग्रणी और लोकप्रिय बनाया जिसे अब बायेसियन संभाव्यता कहा जाता है।[7]: 97–98 

बायेसियन पद्धति

बायेसियन विधियों की अवधारणाओं और प्रक्रियाओं की विशेषता निम्नानुसार है:

  • जानकारी की कमी से उत्पन्न अनिश्चितता सहित सांख्यिकीय मॉडल में अनिश्चितता के सभी स्रोतों को मॉडल करने के लिए यादृच्छिक चर या अधिक सामान्यतः अज्ञात मात्राओं का उपयोग[8] (संकेतन और ज्ञानशास्त्रीय अनिश्चितता भी देखें)।
  • उपलब्ध (पूर्व) जानकारी को ध्यान में रखते हुए पूर्व संभाव्यता वितरण को निर्धारित करने की आवश्यकता होती हैं।
  • बेयस प्रमेय का क्रमिक उपयोग: जैसे ही अधिक डेटा उपलब्ध हो जाता है, बेयस प्रमेय का उपयोग करके पश्च वितरण की गणना करें; बाद में, पश्च वितरण अगला पूर्व बन जाता है।
  • जबकि फ़्रीक्वेंटिस्ट के लिए, एक अशक्त परिकल्पना तर्क में एक प्रस्ताव (जो कि द्विसंयोजकता का सिद्धांत होना चाहिए) समाधान है जिससे एक परिकल्पना की फ़्रीक्वेंटिस्ट संभावना या तो 0 या 1 हो, बायेसियन आंकड़ों में, वह संभावना जो एक को सौंपी जा सकती है परिकल्पना 0 से 1 की सीमा में भी हो सकती है यदि सत्य मान अनिश्चित है।

उद्देश्य और व्यक्तिपरक बायेसियन संभावनाएं

सामान्यतः, बायेसियन प्रायिकता की दो व्याख्याएँ हैं। वस्तुनिष्ठतावादियों के लिए, जो प्रायिकता को तर्क के एक विस्तार के रूप में व्याख्या करते हैं, प्रायिकता उस उचित अपेक्षा की मात्रा निर्धारित करती है जो समान ज्ञान साझा करने वाले प्रत्येक व्यक्ति (यहां तक ​​कि एक रोबोट को भी) को बायेसियन सांख्यिकी के नियमों के अनुसार साझा करना चाहिए, जिसे कॉक्स के प्रमेय द्वारा उचित ठहराया जा सकता है।[2][9] व्यक्तिपरकवादियों के लिए, संभाव्यता एक व्यक्तिगत विश्वास से मेल खाती है।[3] तर्कसंगतता और सुसंगतता उनके द्वारा उत्पन्न बाधाओं के अन्दर पर्याप्त भिन्नता की अनुमति देती है; बाधाओं को डच पुस्तक तर्क या निर्णय सिद्धांत और डे फिनेटी के प्रमेय द्वारा उचित ठहराया गया है।[3] बायेसियन संभाव्यता के उद्देश्य और व्यक्तिपरक संस्करण मुख्य रूप से उनकी व्याख्या और पूर्व संभाव्यता के निर्माण में भिन्न होते हैं।

इतिहास

Main article: सांख्यिकी का इतिहास § बायेसियन सांख्यिकी

बायेसियन शब्द थॉमस बेयस (1702-1761) से निकला है, जिन्होंने संभावनाओं के सिद्धांत में एक समस्या का समाधान करने की दिशा में एक निबंध नामक एक पेपर में एक विशेष स्थिति सिद्ध किया जिसे अब बेयस प्रमेय कहा जाता है।[10] उस विशेष स्थिति में, पूर्व और पश्च वितरण बीटा वितरण थे और डेटा बर्नौली परीक्षणों से आया था। यह पियरे-साइमन लाप्लास (1749-1827) थे जिन्होंने प्रमेय का एक सामान्य संस्करण पेश किया और इसका उपयोग खगोलीय यांत्रिकी, चिकित्सा सांख्यिकी, विश्वसनीयता (सांख्यिकी) और न्यायशास्त्र में समस्याओं का समाधान करने के लिए किया था।[11] प्रारंभिक बायेसियन अनुमान, जो लैपलेस के अपर्याप्त कारण के सिद्धांत का पालन करते हुए एकसमान पुरोहितों का उपयोग करता था, जिसको व्युत्क्रम संभाव्यता (क्योंकि यह प्रेक्षणों से मापदंडों तक, या प्रभावों से कारणों तक पीछे की ओर आगमनात्मक तर्क है) कहा जाता था।[12] 1920 के दशक के बाद, व्युत्क्रम संभाव्यता को काफी सीमा तक विधियों के एक संग्रह द्वारा दबा दिया गया था जिसे फ़्रीक्वेंटिस्ट सांख्यिकी कहा जाने लगा।[12]

20वीं शताब्दी में, लाप्लास के विचार दो दिशाओं में विकसित हुए, बायेसियन अभ्यास में वस्तुनिष्ठ और व्यक्तिपरक धाराओं को जन्म दिया। हेरोल्ड जेफरीस की संभाव्यता का सिद्धांत (पहली बार 1939 में प्रकाशित) ने प्रायिकता के बायेसियन दृष्टिकोण के पुनरुद्धार में महत्वपूर्ण भूमिका निभाई, इसके बाद अब्राहम का जन्म हुआ (1950) और लियोनार्ड जे. सैवेज (1954) ने काम किया। विशेषण बायेसियन स्वयं 1950 के दशक का है; व्युत्पन्न बायेसियनवाद, नव-बायेसियनवाद 1960 के दशक के सिक्के का है।[13][14][15] वस्तुनिष्ठ धारा में, सांख्यिकीय विश्लेषण केवल ग्रहण किए गए मॉडल और विश्लेषण किए गए डेटा पर निर्भर करता है।[16] कोई व्यक्तिपरक निर्णय सम्मिलित करने की आवश्यकता नहीं है। इसके विपरीत, विषयवादी सांख्यिकीविद् सामान्य स्थिति के लिए पूरी तरह से वस्तुनिष्ठ विश्लेषण की संभावना से मना करते हैं।

1980 के दशक में, बायेसियन विधियों के अनुसंधान और अनुप्रयोगों में एक नाटकीय वृद्धि हुई, जिसका श्रेय ज्यादातर मार्कोव चेन मोंटे कार्लो विधियों की खोज और इसके परिणामस्वरूप कई कम्प्यूटेशनल समस्याओं को हटाने और गैर-मानक, जटिल अनुप्रयोगों में बढ़ती रुचि को दिया गया।[17] जबकि फ़्रीक्वेंटिस्ट आँकड़े शक्तिशाली बने हुए हैं (जैसा कि इस तथ्य से प्रदर्शित होता है कि अधिकांश स्नातक शिक्षण इस पर आधारित है [18]), बायेसियन विधियों को व्यापक रूप से स्वीकार और उपयोग किया जाता है, उदाहरण के लिए, यंत्र अधिगम के क्षेत्र में।[19]


बायेसियन संभावनाओं का औचित्य

बायेसियन अनुमान के आधार के रूप में बायेसियन संभावनाओं का उपयोग कई तर्कों द्वारा समर्थित किया गया है, जैसे कॉक्स के प्रमेय, डच पुस्तक, निर्णय सिद्धांत पर आधारित तर्क और डी फिनेटी के प्रमेय।

स्वयंसिद्ध दृष्टिकोण

रिचर्ड थ्रेलकल्ड कॉक्स|रिचर्ड टी. कॉक्स ने दिखाया कि बायेसियन अद्यतन कई स्वयंसिद्धों से होता है, जिसमें दो कार्यात्मक समीकरण और अवकलनीयता की एक परिकल्पना सम्मिलित है।[9][20] भिन्नता या निरंतरता की धारणा विवादास्पद है; हैल्पर्न ने अपने अवलोकन के आधार पर एक प्रति उदाहरण पाया कि कथनों का बूलियन बीजगणित परिमित हो सकता है।[21] सिद्धांत को और अधिक कठोर बनाने के उद्देश्य से विभिन्न लेखकों द्वारा अन्य स्वसिद्धताओं का सुझाव दिया गया है।[8]


डच पुस्तक दृष्टिकोण

Main article: डच पुस्तक

ब्रूनो डी फिनेची ने सट्टेबाजी पर आधारित डच पुस्तक तर्क का प्रस्ताव रखा। एक चतुर सट्टेबाज यह सुनिश्चित करने के लिए बाधाओं और दांवों को सेट करके एक डच पुस्तक बनाता है कि जुआरी की कीमत पर सट्टेबाज को लाभ होता है - घटना के परिणाम की परवाह किए बिना (उदाहरण के लिए एक घुड़दौड़), जिस पर जुआरी दांव लगाते हैं। यह सुसंगतता (दार्शनिक जुआ रणनीति) नहीं होने की संभावना से जुड़ी संभावना से जुड़ा है।

हालांकि, इयान हैकिंग ने कहा कि पारंपरिक डच पुस्तक तर्कों ने बेयसियन अद्यतन को निर्दिष्ट नहीं किया: उन्होंने इस संभावना को खुला छोड़ दिया कि गैर-बायेसियन अद्यतन नियम डच पुस्तकों से बच सकते हैं। उदाहरण के लिए, इयान हैकिंग लिखते हैं[22][23] और न तो डच पुस्तक तर्क, और न ही संभाव्यता स्वयंसिद्धों के प्रमाणों के व्यक्तिवादी शस्त्रागार में कोई अन्य, गतिशील धारणा पर जोर देता है। कोई भी बायेसियनवाद को प्रायुक्त नहीं करता है। इसलिए व्यक्तिवादी को बायेसियन होने के लिए गतिशील धारणा की आवश्यकता होती है। यह सच है कि निरंतरता में एक व्यक्तिवादी अनुभव से सीखने के बायेसियन मॉडल को छोड़ सकता है। नमक अपना स्वाद खो सकता है।

वास्तव में, गैर-बायेसियन अद्यतन नियम हैं जो डच पुस्तकों से भी बचते हैं (जैसा कि संभाव्यता कीनेमेटीक्स पर साहित्य में चर्चा की गई है)[24] रिचर्ड जेफरी|रिचर्ड सी. जेफरी के शासन के प्रकाशन के बाद, जिसे खुद बायेसियन माना जाता है[25]). बेयसियन अद्यतन निर्दिष्ट करने के लिए (विशिष्ट रूप से) पर्याप्त अतिरिक्त परिकल्पना पर्याप्त हैं[26] और सार्वभौमिक रूप से संतोषजनक के रूप में नहीं देखा गया।[27]


निर्णय सिद्धांत दृष्टिकोण

एक बायेसियन अनुमान (और इसलिए बायेसियन संभावनाओं) के उपयोग का निर्णय-सैद्धांतिक औचित्य अब्राहम वाल्ड द्वारा दिया गया था, जिन्होंने सिद्ध किया कि प्रत्येक स्वीकार्य निर्णय नियम सांख्यिकीय प्रक्रिया या तो बायेसियन प्रक्रिया है या बायेसियन प्रक्रियाओं की एक सीमा है।[28] इसके विपरीत, प्रत्येक बायेसियन प्रक्रिया स्वीकार्य निर्णय नियम है।[29]


व्यक्तिगत संभावनाएं और प्राथमिकताओं के निर्माण के लिए वस्तुनिष्ठ तरीके

फ्रैंक पी. रैमसे और जॉन वॉन न्यूमैन के अपेक्षित उपयोगिता सिद्धांत पर काम के बाद, निर्णय-सिद्धांतकारों ने एजेंट-आधारित मॉडल के लिए संभाव्यता वितरण का उपयोग करके इष्टतम निर्णय लिया है। जोहान फन्जागल ने व्यक्तिपरक संभाव्यता और उपयोगिता का स्वयंसिद्धीकरण प्रदान करके खेलों और आर्थिक व्यवहार के सिद्धांत को पूरा किया, वॉन न्यूमैन और ऑस्कर मॉर्गनस्टर्न द्वारा अधूरा छोड़ दिया गया कार्य: उनके मूल सिद्धांत का मानना ​​था कि सुविधा के रूप में सभी एजेंटों का समान संभाव्यता वितरण था।[30] फनज़ागल के स्वयंसिद्धीकरण का ऑस्कर मॉर्गनस्टर्न द्वारा समर्थन किया गया था: वॉन न्यूमैन और मैंने अनुमान लगाया है ... [सवाल है कि क्या संभावनाएं], शायद अधिक विशिष्ट रूप से, व्यक्तिपरक हो सकती हैं और विशेष रूप से कहा है कि बाद के स्थिति में स्वयंसिद्धों को पाया जा सकता है जिससे वांछित प्राप्त किया जा सकता है संभाव्यताओं के लिए एक संख्या के साथ संख्यात्मक उपयोगिता (खेल और आर्थिक व्यवहार के सिद्धांत के cf. पृष्ठ 19)। हमने इसे पूरा नहीं किया; यह Pfanzagl द्वारा ... सभी आवश्यक कठोरता के साथ प्रदर्शित किया गया था।[31]

राम्से और लियोनार्ड जिमी सैवेज ने नोट किया कि अलग-अलग एजेंट की संभाव्यता वितरण का प्रयोगों में निष्पक्ष अध्ययन किया जा सकता है। संभावनाओं (परिमित नमूनों का उपयोग करके) के बारे में सांख्यिकीय परिकल्पना परीक्षण की प्रक्रिया फ्रैंक पी. रैमसे (1931) और ब्रूनो डी फिनेटी (1931, 1937, 1964, 1970) के कारण हैं। ब्रूनो डी फिनेटी[32][33] और फ्रैंक पी. रैमसे[33][34] दोनों विशेष रूप से (रैम्सी के लिए) चार्ल्स एस. पियर्स के लिए व्यावहारिक दर्शन के लिए अपने ऋण को स्वीकार करते हैं।[33][34]

संभाव्यता वितरण के मूल्यांकन के लिए रैमसे परीक्षण सिद्धांत रूप में प्रायुक्त करने योग्य है, और प्रायोगिक मनोवैज्ञानिकों को आधी शताब्दी तक व्यस्त रखा है।[35]

यह काम दर्शाता है कि बायेसियन-प्रायिकता प्रस्ताव मिथ्या हो सकते हैं, और इसलिए चार्ल्स सैंडर्स पियर्स|चार्ल्स एस. पीयरस के अनुभवजन्य मानदंड को पूरा करते हैं, जिनके काम ने रैमसे को प्रेरित किया। (यह असत्यता-मानदंड कार्ल पॉपर द्वारा लोकप्रिय किया गया था।[36][37])

व्यक्तिगत संभावनाओं के प्रायोगिक मूल्यांकन पर आधुनिक कार्य पियर्स-जैस्ट्रो प्रयोग के यादृच्छिककरण, डबल अंधा और बूलियन-निर्णय प्रक्रियाओं का उपयोग करता है।[38] चूंकि व्यक्ति अलग-अलग संभाव्यता निर्णयों के अनुसार कार्य करते हैं, इसलिए इन एजेंटों की संभावनाएं व्यक्तिगत (लेकिन वस्तुनिष्ठ अध्ययन के लिए उत्तरदायी हैं) हैं।

व्यक्तिगत संभावनाएं विज्ञान के लिए और कुछ अनुप्रयोगों के लिए समस्याग्रस्त हैं जहां निर्णय लेने वालों को एक सूचित संभाव्यता-वितरण (जिस पर वे कार्य करने के लिए तैयार हैं) निर्दिष्ट करने के लिए ज्ञान या समय की कमी है। विज्ञान और मानवीय सीमाओं की जरूरतों को पूरा करने के लिए, बायेसियन सांख्यिकीविदों ने पूर्व संभावनाओं को निर्दिष्ट करने के लिए वस्तुनिष्ठ विधि विकसित किए हैं।

वास्तव में, कुछ बायेसियों ने तर्क दिया है कि ज्ञान की पूर्व स्थिति नियमित सांख्यिकीय समस्याओं के लिए (अद्वितीय) पूर्व संभाव्यता-वितरण को परिभाषित करती है; सी एफ अच्छी तरह से रखी गई समस्याएं। लाप्लास से लेकर जॉन मेनार्ड कीन्स, हेरोल्ड जेफ़रीज़ और एडविन थॉम्पसन जेनेस तक के सांख्यिकीय सिद्धांतकारों की खोज में इस तरह के वस्तुनिष्ठ प्राथमिकताओं (नियमित समस्याओं के उपयुक्त वर्गों के लिए) के निर्माण के लिए सही विधि की खोज की गई है। इन सिद्धांतकारों और उनके उत्तराधिकारियों ने उद्देश्य पूर्वों के निर्माण के लिए कई तरीके सुझाए हैं (दुर्भाग्य से, यह स्पष्ट नहीं है कि इन विधियों के अनुसार प्रस्तावित पुरोहितों की सापेक्ष वस्तुनिष्ठता का आकलन कैसे किया जाए):

इन तरीकों में से प्रत्येक नियमित एक-पैरामीटर समस्याओं के लिए उपयोगी प्राथमिकताओं में योगदान देता है, और प्रत्येक पूर्व कुछ चुनौतीपूर्ण सांख्यिकीय मॉडल (अनियमितता या कई पैरामीटर के साथ) को संभाल सकता है। इनमें से प्रत्येक विधि बायेसियन अभ्यास में उपयोगी रही है। दरअसल, उद्देश्य (वैकल्पिक रूप से, डिफ़ॉल्ट या अज्ञानता) के निर्माण के तरीकों को जेम्स बर्जर (सांख्यिकीविद) (ड्यूक विश्वविद्यालय ) और जोस-मिगुएल बर्नार्डो (वैलेंसिया विश्वविद्यालय | यूनिवर्सिटी डी वालेंसिया) जैसे घोषित व्यक्तिपरक (या व्यक्तिगत) बेयसियन द्वारा विकसित किया गया है। सिर्फ इसलिए कि बायेसियन अभ्यास के लिए विशेष रूप से विज्ञान में ऐसे प्राथमिकताओं की आवश्यकता होती है।[39] प्रायरों के निर्माण के लिए सार्वभौमिक पद्धति की खोज सांख्यिकीय सिद्धांतकारों को आकर्षित करना जारी रखती है।[39]

इस प्रकार, बायेसियन सांख्यिकीविद् को या तो सूचित पूर्ववर्तियों (प्रासंगिक विशेषज्ञता या पिछले डेटा का उपयोग करके) का उपयोग करने की आवश्यकता होती है या वस्तुनिष्ठ प्राथमिकताओं के निर्माण के लिए प्रतिस्पर्धी तरीकों में से किसी एक को चुनने की आवश्यकता होती है।

यह भी देखें

संदर्भ

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