काइनेटिक मोंटे कार्लो

गतिज मोंटे कार्लो (केएमसी) विधि एक मोंटे कार्लो विधि कंप्यूटर सिमुलेशन है जिसका उद्देश्य प्रकृति में होने वाली कुछ प्रक्रियाओं के समय के विकास को अनुकरण करना है। आमतौर पर ये ऐसी प्रक्रियाएं हैं जो राज्यों के बीच ज्ञात संक्रमण दर के साथ होती हैं। यह समझना महत्वपूर्ण है कि ये दरें KMC एल्गोरिथम के इनपुट हैं, विधि स्वयं उनका अनुमान नहीं लगा सकती है।

केएमसी विधि अनिवार्य रूप से गतिशील मोंटे कार्लो विधि और गिलेस्पी एल्गोरिथम के समान है।

एल्गोरिदम

केएमसी एल्गोरिदम का एक संभावित वर्गीकरण अस्वीकृति-केएमसी (आरकेएमसी) और अस्वीकृति-मुक्त-केएमसी (आरएफकेएमसी) के रूप में है।

अस्वीकृति मुक्त केएमसी

प्रत्येक चरण पर, सिस्टम कई अंतिम राज्यों में जा सकता है, प्रारंभिक अवस्था और सभी संभावित अंतिम राज्यों के बीच अंतरण दरों को ज्ञात माना जाता है।

अंतिम स्थिति का विकल्प: एक यादृच्छिक संस्करण 0 और Γ के बीच चुना जाता है_tot; संभावना है कि सिस्टम राज्य में कूदता है i Γ के समानुपाती है_i.

एक आरएफकेएमसी एल्गोरिदम, जिसे अक्सर केवल केएमसी कहा जाता है, एक प्रणाली के समय के विकास को अनुकरण करने के लिए, जहां ज्ञात दरों आर के साथ कुछ प्रक्रियाएं हो सकती हैं, उदाहरण के लिए निम्नानुसार लिखा जा सकता है:

1. समय निर्धारित $t=0$.
2. प्रारंभिक अवस्था k चुनें।
3. सभी की सूची तैयार करें $N_{k}$ सिस्टम में संभावित संक्रमण दर $r_{ki}$, राज्य k से एक सामान्य अवस्था i में। कश्मीर के साथ संवाद नहीं करने वाले राज्यों के पास होगा $r_{ki}=0$.
4. संचयी कार्य की गणना करें $R_{ki}=\sum _{j=1}^{i}r_{kj}$ के लिए $i=1,\ldots ,N_{k}$. कुल दर है $Q_{k}=R_{k,N_{k}}$.
5. एक समान यादृच्छिक संख्या प्राप्त करें $u\in (0,1]$.
6. जिसके लिए i ढूंढकर i को अंजाम देने के लिए इवेंट का पता लगाएं $R_{k,i-1}<uQ_{k}\leq R_{ki}$ (यह बाइनरी खोज का उपयोग करके कुशलतापूर्वक प्राप्त किया जा सकता है)।
7. इवेंट i को पूरा करें (वर्तमान स्थिति को अपडेट करें $k\rightarrow i$).
8. एक नया समान यादृच्छिक संख्या प्राप्त करें $u^{\prime }\in (0,1]$.
9. के साथ समय अपडेट करें $t=t+\Delta t$, कहाँ $\Delta t=Q_{k}^{-1}\ln(1/u^{\prime })$.
10. चरण 3 पर लौटें।

(नोट: क्योंकि का औसत मूल्य $\ln(1/u^{\prime })$ एकता के बराबर है, इसके बजाय उपयोग करके समान औसत समय पैमाना प्राप्त किया जा सकता है $\Delta t=Q_{k}^{-1}$ चरण 9 में। इस मामले में, हालांकि, संक्रमण से जुड़े विलंब को दर द्वारा वर्णित पॉइसन वितरण से नहीं लिया जाएगा $Q_{k}$, लेकिन इसके बजाय उस वितरण का माध्य होगा।)

इस एल्गोरिथम को विभिन्न स्रोतों में रेजिडेंस-टाइम एल्गोरिथम या 'एन'-फोल्ड वे या बोर्त्ज़-कालोस-लेबोविट्ज़ (बीकेएल) एल्गोरिथम के रूप में जाना जाता है। यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि इसमें शामिल टाइमस्टेप प्रायिकता का एक कार्य है कि सभी घटनाएँ i घटित नहीं हुई हैं।

अस्वीकृति केएमसी

अस्वीकृति केएमसी में आम तौर पर एक आसान डेटा प्रबंधन और प्रत्येक प्रयास किए गए चरण के लिए तेज़ संगणना का लाभ होता है, क्योंकि सभी प्राप्त करने की समय लेने वाली कार्रवाई $r_{ki}$ आवश्यकता नहीं है। दूसरी ओर, प्रत्येक चरण में विकसित होने वाला समय rfKMC की तुलना में छोटा होता है। पेशेवरों और विपक्षों का सापेक्ष वजन मामले के साथ और उपलब्ध संसाधनों के साथ बदलता रहता है।

उपरोक्त समान संक्रमण दरों से जुड़ा एक rKMC निम्नानुसार लिखा जा सकता है:

1. समय निर्धारित $t=0$.
2. प्रारंभिक अवस्था k चुनें।
3. नंबर प्राप्त करें $N_{k}$ राज्य k से एक सामान्य स्थिति i में सभी संभावित संक्रमण दर।
4. से समान रूप से नमूने लेकर I को अंजाम देने के लिए उम्मीदवार का पता लगाएं $N_{k}$ ऊपर संक्रमण।
5. घटना को संभाव्यता के साथ स्वीकार करें $f_{ki}=r_{ki}/r_{0}$, कहाँ $r_{0}$ के लिए उपयुक्त ऊपरी सीमा है $r_{ki}$. इसे खोजना अक्सर आसान होता है $r_{0}$ सभी की गणना किए बिना $r_{ki}$ (उदाहरण के लिए, मेट्रोपोलिस संक्रमण दर संभावनाओं के लिए)।
6. यदि स्वीकार किया जाता है, तो ईवेंट करें I (वर्तमान स्थिति को अपडेट करें $k\rightarrow i$).
7. एक नया समान यादृच्छिक संख्या प्राप्त करें $u^{\prime }\in (0,1]$.
8. के साथ समय अपडेट करें $t=t+\Delta t$, कहाँ $\Delta t=(N_{k}r_{0})^{-1}\ln(1/u^{\prime })$.
9. चरण 3 पर लौटें।

(टिप्पणी: $r_{0}$ एक एमसी चरण से दूसरे में बदल सकते हैं।) इस एल्गोरिथ्म को आमतौर पर एक मानक एल्गोरिथम कहा जाता है।

सैद्धांतिक और संख्यात्मक एल्गोरिदम के बीच तुलना प्रदान की गई थी।

समय-निर्भर एल्गोरिदम

यदि दरें $r_{ki}(t)$ समय पर निर्भर हैं, rfKMC में चरण 9 को निम्न द्वारा संशोधित किया जाना चाहिए:

$\int _{0}^{\Delta t}Q_{k}(t')dt'=\ln(1/u^{\prime })$.

इसके बाद प्रतिक्रिया (चरण 6) को इसके द्वारा चुना जाना है

$R_{k,i-1}(\Delta t)<uQ_{k}(\Delta t)\leq R_{ki}(\Delta t)$

एक और बहुत ही समान एल्गोरिथ्म को फर्स्ट रिएक्शन मेथड (FRM) कहा जाता है। इसमें पहली बार होने वाली प्रतिक्रिया को चुनना शामिल है, जिसका अर्थ है सबसे छोटा समय चुनना $\Delta t_{i}$, और संबंधित प्रतिक्रिया संख्या i, सूत्र से

$\int _{0}^{\Delta t_{i}}r_{ki}(t')dt'=\ln(1/u_{i})$,

जहां $u_{i}\in (0,1]$ एन यादृच्छिक संख्याएँ हैं।

एल्गोरिथम पर टिप्पणियाँ

KMC एल्गोरिथम (और FRM एक की) की प्रमुख संपत्ति यह है कि यदि दरें सही हैं, यदि दरों से जुड़ी प्रक्रियाएँ पॉइसन प्रक्रिया प्रकार की हैं, और यदि विभिन्न प्रक्रियाएँ स्वतंत्र हैं (अर्थात सहसंबद्ध नहीं हैं) तो KMC एल्गोरिथ्म सिम्युलेटेड सिस्टम के विकास के लिए सही समय का पैमाना देता है। आरकेएमसी एल्गोरिदम के लिए समय के पैमाने की शुद्धता के बारे में कुछ बहस हुई थी, लेकिन यह भी सख्ती से सही साबित हुई थी।

यदि इसके अलावा संक्रमण विस्तृत संतुलन का पालन करते हैं, तो KMC एल्गोरिथ्म का उपयोग थर्मोडायनामिक संतुलन को अनुकरण करने के लिए किया जा सकता है। हालांकि, गैर-संतुलन प्रक्रियाओं को अनुकरण करने के लिए केएमसी का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, इस मामले में विस्तृत संतुलन का पालन करने की आवश्यकता नहीं है।

आरएफकेएमसी एल्गोरिदम इस अर्थ में कुशल है कि प्रत्येक पुनरावृत्ति को संक्रमण उत्पन्न करने की गारंटी दी जाती है। हालाँकि, ऊपर प्रस्तुत रूप में इसकी आवश्यकता है $N$ प्रत्येक संक्रमण के लिए संचालन, जो बहुत कुशल नहीं है। कई मामलों में बिन में एक ही प्रकार के संक्रमणों को बिनिंग करके और/या घटनाओं की ट्री डेटा संरचना बनाकर इसमें बहुत सुधार किया जा सकता है। इस प्रकार का एक निरंतर-समय स्केलिंग एल्गोरिदम हाल ही में विकसित और परीक्षण किया गया है। rfKMC के साथ प्रमुख नुकसान यह है कि सभी संभावित दरें $r_{ki}$ और प्रतिक्रियाओं को पहले से जानना होगा। विधि स्वयं उनकी भविष्यवाणी करने के बारे में कुछ नहीं कर सकती। दरों और प्रतिक्रियाओं को अन्य तरीकों से प्राप्त किया जाना चाहिए, जैसे प्रसार (या अन्य) प्रयोग, आणविक गतिशीलता या घनत्व-कार्यात्मक सिद्धांत सिमुलेशन।

उपयोग के उदाहरण

निम्नलिखित भौतिक प्रणालियों के सिमुलेशन में केएमसी का उपयोग किया गया है:

1. भूतल प्रसार
2. अव्यवस्था गतिशीलता
3. भूतल विकास
4. मिश्र धातुओं में रिक्ति दोष प्रसार (यह मूल उपयोग था)
5. डोमेन विकास का मोटा होना
6. आयन या न्यूट्रॉन विकिरणित ठोस में दोष गतिशीलता और क्लस्टरिंग, जिसमें नुकसान संचय और अमोर्फाइजेशन/पुनर्क्रिस्टलीकरण मॉडल शामिल हैं, लेकिन इतनी ही सीमित नहीं है।
7. शारीरिक रूप से क्रॉसलिंक किए गए नेटवर्क की विस्को लोच

व्यवहार में वस्तुएँ और घटनाएँ क्या हो सकती हैं, इसका अंदाजा लगाने के लिए, यहाँ एक ठोस सरल उदाहरण दिया गया है, जो ऊपर दिए गए उदाहरण 2 के अनुरूप है।

एक ऐसी प्रणाली पर विचार करें जहां अलग-अलग परमाणु एक समय में एक सतह पर जमा होते हैं (भौतिक वाष्प जमाव के विशिष्ट), लेकिन कुछ ज्ञात कूद दर के साथ सतह पर भी माइग्रेट हो सकते हैं $w$. इस मामले में केएमसी एल्गोरिथम की वस्तुएं केवल व्यक्तिगत परमाणु हैं।

अगर दो परमाणु एक दूसरे के ठीक बगल में आ जाएं तो वे अचल हो जाते हैं। फिर आने वाले परमाणुओं का प्रवाह आर दर निर्धारित करता है_deposit, और सिस्टम को केएमसी के साथ सिम्युलेटेड किया जा सकता है, जो सभी जमा किए गए मोबाइल परमाणुओं पर विचार कर रहे हैं जो (अभी तक) एक समकक्ष से नहीं मिले हैं और स्थिर हो गए हैं। इस प्रकार प्रत्येक केएमसी कदम पर निम्नलिखित कार्यक्रम संभव हैं:

• रेट 'r' के साथ एक नया परमाणु आता है_deposit
• पहले से ही जमा हुआ परमाणु दर w के साथ एक कदम आगे बढ़ता है।

केएमसी एल्गोरिथम के साथ एक घटना का चयन और संचालन करने के बाद, किसी को यह जांचने की आवश्यकता होती है कि क्या नया या अभी-अभी उछाला गया परमाणु किसी अन्य परमाणु के तुरंत निकट हो गया है। यदि ऐसा हुआ है, तो जो परमाणु अब आसन्न हैं उन्हें मोबाइल परमाणुओं की सूची से दूर ले जाने की जरूरत है, और इसी तरह संभावित घटनाओं की सूची से उनके कूदने की घटनाओं को हटा दिया गया है।

स्वाभाविक रूप से भौतिकी और रसायन विज्ञान में समस्याओं के लिए केएमसी को लागू करने में, किसी को पहले यह विचार करना होगा कि क्या वास्तविक प्रणाली केएमसी में अंतर्निहित मान्यताओं का पर्याप्त रूप से पालन करती है। वास्तविक प्रक्रियाओं में आवश्यक रूप से अच्छी तरह से परिभाषित दरें नहीं होती हैं परमाणु या कण के कूदने की स्थिति में संक्रमण प्रक्रिया सहसंबद्ध हो सकती है छलांग यादृच्छिक दिशाओं में नहीं हो सकती है, और इसी तरह। अनुकरण करते समय व्यापक रूप से अलग-अलग समय के पैमाने पर भी विचार करने की आवश्यकता है कि क्या नई प्रक्रियाएँ लंबे समय के पैमाने पर मौजूद हो सकती हैं। यदि इनमें से कोई मुद्दे वैध हैं, केएमसी द्वारा भविष्यवाणी की गई समय सीमा और प्रणाली विकास तिरछा हो सकता है या पूरी तरह से गलत भी हो सकता है।

इतिहास

पहला प्रकाशन जिसने केएमसी पद्धति की बुनियादी विशेषताओं का वर्णन किया (अर्थात् एक घटना का चयन करने के लिए एक संचयी कार्य का उपयोग करना और फॉर्म 1/आर की एक समय स्केल गणना) 1966 में यंग और एल्कॉक द्वारा किया गया था।निवास-समय एल्गोरिथम भी लगभग उसी समय प्रकाशित हुआ था। जाहिरा तौर पर यंग और एल्कॉक, बोर्त्ज़, कलोस और लेबोविट्ज़ के काम से स्वतंत्रआइसिंग मॉडल का अनुकरण करने के लिए एक केएमसी एल्गोरिदम विकसित किया, जिसे उन्होंने एन-फोल्ड तरीका कहा। उनके एल्गोरिदम की मूल बातें यंग के समान हैं,लेकिन वे विधि पर बहुत अधिक विवरण प्रदान करते हैं।

अगले वर्ष और गिलेस्पी ने प्रकाशित किया जिसे अब रासायनिक प्रतिक्रियाओं का वर्णन करने के लिए गिलेस्पी एल्गोरिथम के रूप में जाना जाता है। एल्गोरिदम समान है और समय की उन्नति योजना अनिवार्य रूप से केएमसी के समान ही है।

इस (जून 2006) के लेखन के रूप में केएमसी के सिद्धांत का कोई निश्चित ग्रंथ नहीं है, लेकिन फिचथॉर्न और वेनबर्ग ने थर्मोडायनामिक संतुलन केएमसी सिमुलेशन के सिद्धांत पर विस्तार से चर्चा की है। आर्ट वोटर द्वारा एक अच्छा परिचय भी दिया गया है,[1] और ए.पी.जे. जानसेन,[2], और एक हालिया समीक्षा है (चटर्जी 2007) या (चोटिया 2008)। अर्ध-स्थिर वितरण दृष्टिकोण का उपयोग करते हुए लैंगविन गतिकी के मोटे अनाज के रूप में केएमसी का औचित्य टी. लेलिएवरे और सहयोगियों द्वारा विकसित किया गया है। मार्च 2006 में, शायद, काइनेटिक मोंटे कार्लो का उपयोग करने वाला पहला व्यावसायिक सॉफ्टवेयर सिलिकॉन और सिलिकॉन जैसी सामग्री में डोपेंट के प्रसार और सक्रियण/निष्क्रियता का अनुकरण करने के लिए Synopsys द्वारा जारी किया गया, मार्टिन-ब्रागाडो एट अल द्वारा रिपोर्ट किया गया।

केएमसी की किस्में

केएमसी पद्धति को वस्तुओं के चलने या प्रतिक्रिया होने के तरीके से उप-विभाजित किया जा सकता है। कम से कम निम्नलिखित उपखंडों का उपयोग किया जाता है:

• लैटिस केएमसी (एलकेएमसी) एक परमाणु क्रिस्टल संरचना पर किए गए केएमसी को दर्शाता है। अक्सर इस किस्म को एटमॉस्टिक केएमसी, (एकेएमसी) भी कहा जाता है। एक विशिष्ट उदाहरण मिश्र धातुओं में रिक्ति (रसायन विज्ञान) प्रसार का अनुकरण है, जहां एक रिक्ति (रसायन विज्ञान) को जाली के चारों ओर कूदने की अनुमति है जो स्थानीय तात्विक संरचना पर निर्भर करती है।
• ऑब्जेक्ट केएमसी (ओकेएमसी) का मतलब क्रिस्टलोग्राफिक दोष या अशुद्धता के लिए किया गया केएमसी है, जो यादृच्छिक या जाली-विशिष्ट दिशाओं में कूद रहे हैं। सिमुलेशन में केवल कूदने वाली वस्तुओं की स्थिति शामिल होती है, न कि 'पृष्ठभूमि' जाली परमाणुओं की। बुनियादी केएमसी कदम एक वस्तु छलांग है।
• घटना केएमसी (ईकेएमसी) या प्रथम-मार्ग केएमसी (एफपीकेएमसी) एक ओकेएमसी विविधता को दर्शाता है जहां वस्तुओं के बीच निम्नलिखित प्रतिक्रिया (उदाहरण के लिए दो अशुद्धता या रिक्ति (रसायन विज्ञान) -अंतरालीय दोष विनाश का क्लस्टरिंग) को केएमसी एल्गोरिदम के साथ चुना जाता है, वस्तु लेते हुए पदों को ध्यान में रखा जाता है, और इस घटना को तुरंत अंजाम दिया जाता है।

बाहरी संबंध

• 3D lattice kinetic Monte Carlo simulation in 'bit language'
• KMC simulation of the Plateau-Rayleigh instability
• KMC simulation of f.c.c. vicinal (100)-surface diffusion
• Stochastic Kinetic Mean Field Model (gives similar results as lattice kinetic Monte Carlo, however, far more cost-effective and easier to realise — open source program code is provided)