काइनेटिक मोंटे कार्लो

गतिज मोंटे कार्लो (केएमसी) विधि एक मोंटे कार्लो कंप्यूटर अनुकरण विधि होती है जिसका उद्देश्य प्रकृति में होने वाली कुछ प्रक्रियाओं के समय के विकास को अनुकरण करना होता है। सामान्यतः यह ऐसी प्रक्रियाएं होती है जो राज्यों के बीच ज्ञात संक्रमण दर के साथ घटित होती है। यह समझना महत्वपूर्ण होता है कि यह दरें केएमसी कलन विधि के इनपुट है, यह विधि स्वयं उनका अनुमान नहीं लगा सकती है।

केएमसी विधि अनिवार्य रूप से गतिशील मोंटे कार्लो विधि और गिलेस्पी कलन विधि के समान होती है।

कलन विधि

केएमसी कलन विधि का एक संभावित वर्गीकरण अस्वीकृति-केएमसी (आरकेएमसी) और अस्वीकृति-मुक्त-केएमसी (आरएफकेएमसी) के रूप में है।

अस्वीकृति मुक्त केएमसी

प्रत्येक चरण पर, प्रणाली कई अंतिम राज्यों में जा सकता है, प्रारंभिक अवस्था और सभी संभावित अंतिम राज्यों के बीच अंतरण दरों को ज्ञात माना जाता है।

अंतिम स्थिति का विकल्प: एक यादृच्छिक संस्करण 0 और Γ के बीच चुना जाता है_tot; संभावना है कि प्रणाली राज्य में कूदता है i Γ के समानुपाती है_i.

एक आरएफकेएमसी कलन विधि, जिसे अधिकांशतः केवल केएमसी कहा जाता है, एक प्रणाली के समय के विकास को अनुकरण करने के लिए, जहां ज्ञात दरों r के साथ कुछ प्रक्रियाएं हो सकती है, उदाहरण के लिए निम्नानुसार लिखा जा सकता है:

1. समय निर्धारित $t=0$.
2. प्रारंभिक अवस्था k चुनें।
3. सभी की सूची तैयार करें $N_{k}$ प्रणाली में संभावित संक्रमण दर $r_{ki}$, राज्य k से एक सामान्य अवस्था में i कश्मीर के साथ संवाद नहीं करने वाले राज्यों के पास है $r_{ki}=0$.
4. संचयी कार्य की गणना करें $R_{ki}=\sum _{j=1}^{i}r_{kj}$ के लिए $i=1,\ldots ,N_{k}$. कुल दर है $Q_{k}=R_{k,N_{k}}$
5. एक समान यादृच्छिक संख्या प्राप्त करें $u\in (0,1]$
6. जिसके लिए i को प्राप्त करें $R_{k,i-1}<uQ_{k}\leq R_{ki}$ (यह द्विआधारी का उपयोग करके कुशलतापूर्वक प्राप्त किया जा सकता है)।
7. घटना i को पूरा करें (वर्तमान स्थिति को अद्यतन करें $k\rightarrow i$).
8. एक नया समान यादृच्छिक संख्या प्राप्त करें $u^{\prime }\in (0,1]$.
9. k के साथ समय अद्यतन करें $t=t+\Delta t$, जहाँ $\Delta t=Q_{k}^{-1}\ln(1/u^{\prime })$.
10. चरण 3 पर लौटें।

(नोट: क्योंकि औसत मूल्य $\ln(1/u^{\prime })$ एकता के बराबर है, इसके अतिरिक्त इसे उपयोग करके समान औसत समय प्राप्त किया जा सकता है $\Delta t=Q_{k}^{-1}$ चरण 9 में है। इस स्थिति में, चूंकि, संक्रमण से जुड़े विलंब को दर द्वारा वर्णित पॉइसन वितरण से नहीं लिया जाता है $Q_{k}$, लेकिन इसके अतिरिक्त उस वितरण का माध्य होता है।)

इस कलन विधि को विभिन्न स्रोतों में निवास-समय कलन विधि या 'एन'-फोल्ड वे या बोर्त्ज़-कालोस-लेबोविट्ज़ (बीकेएल) कलन विधि के रूप में जाना जाता है। यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण होता है कि इसमें सम्मलित समय स्थान प्रायिकता का एक कार्य है जिसमे सभी घटनाएँ i घटित नहीं हुई है।

अस्वीकृति केएमसी

अस्वीकृति केएमसी में सामान्यतः एक आसान डेटा प्रबंधन और प्रत्येक प्रयास किए गए चरण के लिए तेज़ संगणना का लाभ होता है, क्योंकि प्राप्त करके समय लेने वाले $r_{ki}$ की आवश्यकता नहीं होती है।

दूसरी ओर, प्रत्येक चरण में विकसित होने वाला समय rf केएमसी की तुलना में छोटा होता है। विपक्षों का सापेक्ष वजन स्थिति के साथ और उपलब्ध संसाधनों के साथ बदलता रहता है।

उपरोक्त समान संक्रमण दरों से जुड़ा एक r केएमसी निम्नानुसार लिखा जा सकता है:

1. समय निर्धारित $t=0$.
2. प्रारंभिक अवस्था k चुनें।
3. अंक प्राप्त करें $N_{k}$ राज्य k से एक सामान्य स्थिति i में सभी संभावित संक्रमण दर।
4. समान रूप से नमूने लेकर I को देने के लिए उम्मीदवार का पता लगाएं $N_{k}$ ऊपर संक्रमण।
5. घटना को संभाव्यता के साथ स्वीकार करें $f_{ki}=r_{ki}/r_{0}$, जहाँ $r_{0}$ के लिए उपयुक्त ऊपरी सीमा है $r_{ki}$. इसे प्राप्त करना अधिकांशतः आसान होता है $r_{0}$ सभी की गणना किए बिना $r_{ki}$ (उदाहरण के लिए, संक्रमण दर संभावनाओं के लिए)।
6. यदि स्वीकार किया जाता है वर्तमान स्थिति को अद्यतन करें $k\rightarrow i$
7. एक नया समान यादृच्छिक संख्या प्राप्त करें $u^{\prime }\in (0,1]$.
8. k के साथ समय अद्यतन करें $t=t+\Delta t$, जहाँ $\Delta t=(N_{k}r_{0})^{-1}\ln(1/u^{\prime })$.
9. चरण 3 पर लौटें।

(टिप्पणी: $r_{0}$ एक एमसी चरण से दूसरे में बदल सकते है।)

इस कलन विधि को सामान्यतः एक मानक कलन विधि कहा जाता है।

सैद्धांतिक और संख्यात्मक कलन विधि के बीच तुलना प्रदान की गई थी।

समय-निर्भर कलन विधि

यदि दरें $r_{ki}(t)$ समय पर निर्भर है, rf केएमसी में चरण 9 को निम्न द्वारा संशोधित किया जाता है:

$\int _{0}^{\Delta t}Q_{k}(t')dt'=\ln(1/u^{\prime })$.

इसके बाद प्रतिक्रिया (चरण 6) को इसके द्वारा चुना जाता है

$R_{k,i-1}(\Delta t)<uQ_{k}(\Delta t)\leq R_{ki}(\Delta t)$

एक और बहुत ही समान कलन विधि को प्रारंभिक प्रतिक्रिया विधि (एफआरएम) कहा जाता है। इसमें पहली बार होने वाली प्रतिक्रिया को चुनना सम्मलित होता है, जिसका अर्थ है सबसे छोटा समय चुनना $\Delta t_{i}$, और संबंधित प्रतिक्रिया संख्या i, सूत्र है

$\int _{0}^{\Delta t_{i}}r_{ki}(t')dt'=\ln(1/u_{i})$,

जहां $u_{i}\in (0,1]$ n यादृच्छिक संख्याएँ है।

कलन विधि पर टिप्पणियाँ

केएमसी कलन विधि (और एफआरएम) का प्रमुख गुण यह है कि यदि दरें सही है, यदि दरों से जुड़ी प्रक्रियाएँ पॉइसन प्रक्रिया प्रकार की है, और यदि विभिन्न प्रक्रियाएँ स्वतंत्र है (अर्थात सहसंबद्ध नहीं है) तो केएमसी कलन विधि कृत्रिम प्रणाली के विकास के लिए सही समय का परिणाम देता है। आरकेएमसी कलन विधि के लिए समय के परिणाम की शुद्धता के बारे में कुछ बहस हुई थी, लेकिन यह भी सख्ती से सही सिद्ध हुई थी।

यदि इसके अतिरिक्त संक्रमण विस्तृत संतुलन का पालन करते है, तो केएमसी कलन विधि का उपयोग संतुलन को अनुकरण करने के लिए किया जा सकता है। चूंकि, गैर-संतुलन प्रक्रियाओं को अनुकरण करने के लिए केएमसी का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, इस स्थिति में विस्तृत संतुलन का पालन करने की आवश्यकता नहीं होती है।

आरएफकेएमसी कलन विधि इस अर्थ में कुशल होते है कि प्रत्येक पुनरावृत्ति को संक्रमण उत्पन्न करने की जिम्मेदारी दी जाती है। चूँकि, ऊपर प्रस्तुत रूप में इसकी आवश्यकता होती है $N$ जो बहुत कुशल नहीं होता है। कई स्थितियों में एक ही प्रकार के संक्रमणों और घटनाओं को ट्री डेटा संरचना बनाकर सुधार किया जा सकता है। इस प्रकार का एक निरंतर-समय स्केलिंग कलन विधि हाल ही में विकसित किया गया है।

rf केएमसी के साथ प्रमुख नुकसान यह होता है कि सभी संभावित दरें $r_{ki}$ और प्रतिक्रियाओं को पहले से जानना होता है। यह विधि स्वयं उनकी भविष्यवाणी करने के बारे में कुछ नहीं कर सकती है। दरों और प्रतिक्रियाओं को अन्य विधियों से प्राप्त किया जाता है, जैसे प्रसार (या अन्य) प्रयोग, आणविक गतिशीलता या घनत्व-कार्यात्मक सिद्धांत अनुकरण।

उपयोग के उदाहरण

निम्नलिखित भौतिक प्रणालियों के अनुकरण में केएमसी का उपयोग किया गया है:

1. भूतल प्रसार
2. अव्यवस्था गतिशीलता
3. भूतल विकास
4. मिश्र धातुओं में रिक्ति दोष प्रसार (यह मूल उपयोग था)
5. डोमेन विकास का मोटा होना
6. आयन या न्यूट्रॉन विकिरणित ठोस में दोष गतिशीलता और क्लस्टरिंग, जिसमें नुकसान संचय और क्रिस्टलीकरण नमूने सम्मलित होते है।
7. शारीरिक रूप से क्रॉसलिंक किए गए संजाल की विस्को लोच

व्यवहार में वस्तुएँ और घटनाएँ क्या हो सकती है, इसका पता लगाने के लिए, यहाँ एक ठोस सरल उदाहरण दिया गया है, जो ऊपर दिए गए उदाहरण 2 के अनुरूप है।

एक ऐसी प्रणाली पर विचार करें जहां अलग-अलग परमाणु एक समय में एक सतह पर जमा होते है (भौतिक वाष्प जमाव के विशिष्ट), लेकिन कुछ ज्ञात दर के साथ सतह पर भी विस्थापित हो सकते है $w$. इस स्थिति में केएमसी कलन विधि की वस्तुएं केवल व्यक्तिगत परमाणु होती है।

अगर दो परमाणु एक दूसरे के ठीक बगल में आ जाएं तो वे अचल हो जाते है। फिर आने वाले परमाणुओं का प्रवाह r_deposit दर निर्धारित करता है, और प्रणाली को केएमसी के साथ कृत्रिम किया जा सकता है। इस प्रकार प्रत्येक केएमसी पर निम्नलिखित संभव है:

• मूल्य r_deposit के साथ एक नया परमाणु आता है
• पहले से ही जमा हुआ परमाणु दर w के साथ आगे बढ़ता है।

केएमसी कलन विधि के साथ एक घटना का चयन और संचालन करने के बाद, यह जांचने की आवश्यकता होती है कि यह किसी अन्य परमाणु के तुरंत निकट हो गया है या नहीं हुआ है। यदि ऐसा हुआ है, तो जो परमाणु अब आसन्न है उन्हें मोबाइल परमाणुओं की सूची से दूर ले जाने की आवश्यकता होती है।

स्वाभाविक रूप से भौतिकी और रसायन विज्ञान में समस्याओं के लिए केएमसी को लागू करने में, पहले यह विचार करना होता है कि क्या वास्तविक प्रणाली केएमसी में अंतर्निहित मान्यताओं का पर्याप्त रूप से पालन करती है। वास्तविक प्रक्रियाओं में आवश्यक रूप से अच्छी तरह से परिभाषित दरें नहीं होती है। परमाणु या कण में संक्रमण प्रक्रिया सहसंबद्ध हो सकती है। अनुकरण करते समय व्यापक रूप से अलग-अलग समय के स्थितियों पर भी विचार करने की आवश्यकता होती है कि क्या नई प्रक्रियाएँ लंबे समय तक उपस्थित रह सकती है। यदि इनमें से कोई समस्या वैध होती है, तो केएमसी द्वारा भविष्यवाणी की गई समय सीमा और प्रणाली विकास तिरछा हो सकता है या पूरी तरह से गलत भी हो सकता है।

इतिहास

पहला प्रकाशन केएमसी पद्धति की बुनियादी विशेषताओं का वर्णन 1966 में यंग और एल्कॉक द्वारा किया गया था। निवास-समय कलन विधि भी लगभग उसी समय प्रकाशित हुई थी।

सामान्यतः यंग और एल्कॉक, बोर्त्ज़, कलोस और लेबोविट्ज़ के काम से स्वतंत्र आइसिंग नमूने का अनुकरण करने के लिए एक केएमसी कलन विधि विकसित किया था, जिसे उन्होंने एन-फोल्ड विधि का नाम दिया था। उनके कलन विधि की मूल बातें यंग के समान है, लेकिन वह विधि पर बहुत अधिक विवरण प्रदान करते है।

अगले वर्ष गिलेस्पी ने प्रकाशित किया था जिसे अब रासायनिक प्रतिक्रियाओं का वर्णन करने के लिए गिलेस्पी कलन विधि के रूप में जाना जाता है। कलन विधि समय की उन्नति योजना अनिवार्य रूप से केएमसी के समान होती है।

इसके (जून 2006) लिखे जाने तक के केएमसी के सिद्धांत का कोई निश्चित उपदेश नहीं है, लेकिन फिचथॉर्न और वेनबर्ग ने संतुलन केएमसी अनुकरण के सिद्धांत पर विस्तार से चर्चा की है। आर्ट वोटर द्वारा एक अच्छा परिचय भी दिया गया है।[1][2] अर्ध-स्थिर वितरण दृष्टिकोण का उपयोग करते हुए लैंगविन गतिकी के मोटे अनाज के रूप में केएमसी का औचित्य टी लेलिएवरे और सहयोगियों द्वारा विकसित किया गया है।

मार्च 2006 में, संभवतः, गतिज मोंटे कार्लो का उपयोग करने वाला पहला व्यावसायिक सॉफ्टवेयर सिलिकॉन जैसी सामग्री में डोपेंट के प्रसार और सक्रियण/निष्क्रियता का अनुकरण करने के लिए सिनोसाइस द्वारा जारी किया गया था, यह मार्टिन-ब्रागाडो एट अल द्वारा रिपोर्ट किया गया था।

केएमसी के प्रकार

केएमसी पद्धति को वस्तुओं के चलने या प्रतिक्रिया होने के विधियों से उप-विभाजित किया जा सकता है। कम से कम निम्नलिखित उपखंडों का उपयोग किया जाता है:

• लैटिस केएमसी (एलकेएमसी) एक परमाणु क्रिस्टल संरचना पर किए गए केएमसी को दर्शाता है। अधिकांशतः इस प्रकार को एटमॉस्टिक केएमसी, (एकेएमसी) भी कहा जाता है। एक विशिष्ट उदाहरण मिश्र धातुओं में रिक्ति (रसायन विज्ञान) प्रसार का अनुकरण होता है।
• वस्तु केएमसी (ओकेएमसी) का मतलब क्रिस्टलोग्राफिक दोष या अशुद्धता के लिए किया गया केएमसी होता है। अनुकरण में केवल वस्तुओं की स्थिति सम्मलित होती है, न कि 'पृष्ठभूमि' परमाणुओं की स्थिति सम्मलित होती है।
• घटना केएमसी (ईकेएमसी) या प्रथम-मार्ग केएमसी (एफपीकेएमसी) एक ओकेएमसी विविधता को दर्शाता है जहां वस्तुओं के बीच निम्नलिखित प्रतिक्रिया को केएमसी कलन विधि के साथ चुना जाता है, वस्तु लेते हुए पदों को ध्यान में रखा जाता है, और इस घटना को तुरंत अंकित किया जाता है।

बाहरी संबंध

• 3D lattice kinetic Monte Carlo simulation in 'bit language'
• केएमसी simulation of the Plateau-Rayleigh instability
• केएमसी simulation of f.c.c. vicinal (100)-surface diffusion
• Stochastic Kinetic Mean Field Model (gives similar results as lattice kinetic Monte Carlo, however, far more cost-effective and easier to realise — open source program code is provided)