जी (जेड ) एक फ़ंक्शन (गणित) है जो जटिल संख्या ओं के लिए सुपरफैक्टोरियल का विस्तार है। यह गामा फ़ंक्शन , K-फ़ंक्शन और ग्लैशर-किंकलिन स्थिरांक से संबंधित है, और इसका नाम गणितज्ञ अर्नेस्ट विलियम बार्न्स के नाम पर रखा गया था।[1]
औपचारिक रूप से, बार्न्स जी-फ़ंक्शन को निम्नलिखित वीयरस्ट्रैस उत्पाद रूप में परिभाषित किया गया है:
G ( 1 + z ) = ( 2 π ) z / 2 exp ( − z + z 2 ( 1 + γ ) 2 ) ∏ k = 1 ∞ { ( 1 + z k ) k exp ( z 2 2 k − z ) } {\displaystyle G(1+z)=(2\pi )^{z/2}\exp \left(-{\frac {z+z^{2}(1+\gamma )}{2}}\right)\,\prod _{k=1}^{\infty }\left\{\left(1+{\frac {z}{k}}\right)^{k}\exp \left({\frac {z^{2}}{2k}}-z\right)\right\}} कहाँ γ {\displaystyle \,\gamma } x घातांकीय फ़ंक्शन है, और Π गुणन (कैपिटल पाई नोटेशन ) को दर्शाता है।
एक संपूर्ण समारोह के रूप में, G is of order two, and of infinite type. This can be deduced from the asymptotic expansion given below.
बार्न्स जी-फ़ंक्शन कार्यात्मक समीकरण को संतुष्ट करता है
G ( z + 1 ) = Γ ( z ) G ( z ) {\displaystyle G(z+1)=\Gamma (z)\,G(z)} सामान्यीकरण जी(1)=1 के साथ। बार्न्स जी-फ़ंक्शन के कार्यात्मक समीकरण और यूलर गामा फ़ंक्शन के कार्यात्मक समीकरण के बीच समानता पर ध्यान दें:
Γ ( z + 1 ) = z Γ ( z ) . {\displaystyle \Gamma (z+1)=z\,\Gamma (z).} कार्यात्मक समीकरण का तात्पर्य है कि G पूर्णांक तर्कों पर निम्नलिखित मान लेता है:
G ( n ) = { 0 if n = 0 , − 1 , − 2 , … ∏ i = 0 n − 2 i ! if n = 1 , 2 , … {\displaystyle G(n)={\begin{cases}0&{\text{if }}n=0,-1,-2,\dots \\\prod _{i=0}^{n-2}i!&{\text{if }}n=1,2,\dots \end{cases}}} (विशेष रूप से, G ( 0 ) = 0 , G ( 1 ) = 1 {\displaystyle \,G(0)=0,G(1)=1}
G ( n ) = ( Γ ( n ) ) n − 1 K ( n ) {\displaystyle G(n)={\frac {(\Gamma (n))^{n-1}}{K(n)}}} कहाँ Γ ( x ) {\displaystyle \,\Gamma (x)}
d 3 d x 3 G ( x ) ≥ 0 {\displaystyle \,{\frac {d^{3}}{dx^{3}}}G(x)\geq 0} [2] [3] G ( x ) G ( x + 1 2 ) 2 G ( x + 1 ) = e 1 4 A − 3 2 − 2 x 2 + 3 x − 11 12 π x − 1 2 G ( 2 x ) {\displaystyle G(x)G\left(x+{\frac {1}{2}}\right)^{2}G(x+1)=e^{\frac {1}{4}}A^{-3}2^{-2x^{2}+3x-{\frac {11}{12}}}\pi ^{x-{\frac {1}{2}}}G\left(2x\right)}
लक्षण वर्णन गामा फ़ंक्शन के लिए बोहर-मोलेरुप प्रमेय|बोहर-मोलेरुप प्रमेय के समान, एक स्थिरांक के लिए c > 0 {\displaystyle c>0} f ( x ) = c G ( x ) {\displaystyle f(x)=cG(x)} [4]
f ( x + 1 ) = Γ ( x ) f ( x ) {\displaystyle f(x+1)=\Gamma (x)f(x)} x > 0 {\displaystyle x>0}
f ( x + n ) ∼ Γ ( x ) n n ( x 2 ) f ( n ) {\displaystyle f(x+n)\sim \Gamma (x)^{n}n^{x \choose 2}f(n)} n → ∞ {\displaystyle n\to \infty }
1/2 पर मान G ( 1 2 ) = 2 1 24 e 3 2 ζ ′ ( − 1 ) π − 1 4 . {\displaystyle G\left({\tfrac {1}{2}}\right)=2^{\frac {1}{24}}e^{{\frac {3}{2}}\zeta '(-1)}\pi ^{-{\frac {1}{4}}}.} [citation needed [importance? परावर्तन सूत्र 1.0 जी-फ़ंक्शन के लिए अंतर समीकरण , गामा फ़ंक्शन के कार्यात्मक समीकरण के साथ, बार्न्स जी-फ़ंक्शन के लिए निम्नलिखित प्रतिबिंब सूत्र प्राप्त करने के लिए उपयोग किया जा सकता है (मूल रूप से हरमन किंकेलिन द्वारा सिद्ध):
log G ( 1 − z ) = log G ( 1 + z ) − z log 2 π + ∫ 0 z π x cot π x d x . {\displaystyle \log G(1-z)=\log G(1+z)-z\log 2\pi +\int _{0}^{z}\pi x\cot \pi x\,dx.} दाहिनी ओर लॉगटैन्जेंट इंटीग्रल का मूल्यांकन क्लॉज़ेन फ़ंक्शन (क्रम 2 के) के संदर्भ में किया जा सकता है, जैसा कि नीचे दिखाया गया है:
2 π log ( G ( 1 − z ) G ( 1 + z ) ) = 2 π z log ( sin π z π ) + Cl 2 ( 2 π z ) {\displaystyle 2\pi \log \left({\frac {G(1-z)}{G(1+z)}}\right)=2\pi z\log \left({\frac {\sin \pi z}{\pi }}\right)+\operatorname {Cl} _{2}(2\pi z)} इस परिणाम का प्रमाण कोटैंजेंट इंटीग्रल के निम्नलिखित मूल्यांकन पर निर्भर करता है: अंकन का परिचय Lc ( z ) {\displaystyle \operatorname {Lc} (z)} ( d / d x ) log ( sin π x ) = π cot π x {\displaystyle \,(d/dx)\log(\sin \pi x)=\pi \cot \pi x}
Lc ( z ) = ∫ 0 z π x cot π x d x = z log ( sin π z ) − ∫ 0 z log ( sin π x ) d x = z log ( sin π z ) − ∫ 0 z [ log ( 2 sin π x ) − log 2 ] d x = z log ( 2 sin π z ) − ∫ 0 z log ( 2 sin π x ) d x . {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Lc} (z)&=\int _{0}^{z}\pi x\cot \pi x\,dx\\&=z\log(\sin \pi z)-\int _{0}^{z}\log(\sin \pi x)\,dx\\&=z\log(\sin \pi z)-\int _{0}^{z}{\Bigg [}\log(2\sin \pi x)-\log 2{\Bigg ]}\,dx\\&=z\log(2\sin \pi z)-\int _{0}^{z}\log(2\sin \pi x)\,dx.\end{aligned}}} अभिन्न प्रतिस्थापन करना y = 2 π x ⇒ d x = d y / ( 2 π ) {\displaystyle \,y=2\pi x\Rightarrow dx=dy/(2\pi )}
z log ( 2 sin π z ) − 1 2 π ∫ 0 2 π z log ( 2 sin y 2 ) d y . {\displaystyle z\log(2\sin \pi z)-{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi z}\log \left(2\sin {\frac {y}{2}}\right)\,dy.} क्लॉज़ेन फ़ंक्शन - दूसरे क्रम का - अभिन्न प्रतिनिधित्व है
Cl 2 ( θ ) = − ∫ 0 θ log | 2 sin x 2 | d x . {\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}(\theta )=-\int _{0}^{\theta }\log {\Bigg |}2\sin {\frac {x}{2}}{\Bigg |}\,dx.} हालाँकि, अंतराल के भीतर 0 < θ < 2 π {\displaystyle \,0<\theta <2\pi } एकीकृत के भीतर पूर्ण मूल्य चिह्न को छोड़ा जा सकता है, क्योंकि सीमा के भीतर इंटीग्रल में 'अर्ध-साइन' फ़ंक्शन सख्ती से सकारात्मक है, और सख्ती से गैर-शून्य है। लॉगटैन्जेंट इंटीग्रल के लिए उपरोक्त परिणाम के साथ इस परिभाषा की तुलना करने पर, निम्नलिखित संबंध स्पष्ट रूप से सामने आता है:
Lc ( z ) = z log ( 2 sin π z ) + 1 2 π Cl 2 ( 2 π z ) . {\displaystyle \operatorname {Lc} (z)=z\log(2\sin \pi z)+{\frac {1}{2\pi }}\operatorname {Cl} _{2}(2\pi z).} इस प्रकार, शब्दों की थोड़ी सी पुनर्व्यवस्था के बाद, प्रमाण पूरा हो गया है:
2 π log ( G ( 1 − z ) G ( 1 + z ) ) = 2 π z log ( sin π z π ) + Cl 2 ( 2 π z ) . ◻ {\displaystyle 2\pi \log \left({\frac {G(1-z)}{G(1+z)}}\right)=2\pi z\log \left({\frac {\sin \pi z}{\pi }}\right)+\operatorname {Cl} _{2}(2\pi z)\,.\,\Box } संबंध का उपयोग करना G ( 1 + z ) = Γ ( z ) G ( z ) {\displaystyle \,G(1+z)=\Gamma (z)\,G(z)} 2 π {\displaystyle \,2\pi }
log ( G ( 1 − z ) G ( z ) ) = z log ( sin π z π ) + log Γ ( z ) + 1 2 π Cl 2 ( 2 π z ) {\displaystyle \log \left({\frac {G(1-z)}{G(z)}}\right)=z\log \left({\frac {\sin \pi z}{\pi }}\right)+\log \Gamma (z)+{\frac {1}{2\pi }}\operatorname {Cl} _{2}(2\pi z)} संदर्भ: प्रतिबिंब सूत्र के समतुल्य रूप के लिए नीचे एडमचिक देखें, लेकिन एक अलग प्रमाण के साथ।
परावर्तन सूत्र 2.0 पिछले प्रतिबिंब सूत्र में z को (1/2) - z से बदलने पर, कुछ सरलीकरण के बाद, नीचे दिखाया गया समतुल्य सूत्र मिलता है (बर्नौली बहुपद ों को शामिल करते हुए):
log ( G ( 1 2 + z ) G ( 1 2 − z ) ) = log Γ ( 1 2 − z ) + B 1 ( z ) log 2 π + 1 2 log 2 + π ∫ 0 z B 1 ( x ) tan π x d x {\displaystyle \log \left({\frac {G\left({\frac {1}{2}}+z\right)}{G\left({\frac {1}{2}}-z\right)}}\right)=\log \Gamma \left({\frac {1}{2}}-z\right)+B_{1}(z)\log 2\pi +{\frac {1}{2}}\log 2+\pi \int _{0}^{z}B_{1}(x)\tan \pi x\,dx}
टेलर श्रृंखला विस्तार टेलर के प्रमेय द्वारा, और बार्न्स फ़ंक्शन के लघुगणकीय व्युत्पन्न पर विचार करते हुए, निम्नलिखित श्रृंखला विस्तार प्राप्त किया जा सकता है:
log G ( 1 + z ) = z 2 log 2 π − ( z + ( 1 + γ ) z 2 2 ) + ∑ k = 2 ∞ ( − 1 ) k ζ ( k ) k + 1 z k + 1 . {\displaystyle \log G(1+z)={\frac {z}{2}}\log 2\pi -\left({\frac {z+(1+\gamma )z^{2}}{2}}\right)+\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\zeta (k)}{k+1}}z^{k+1}.} यह के लिए मान्य है 0 < z < 1 {\displaystyle \,0<z<1} ζ ( x ) {\displaystyle \,\zeta (x)} रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन है:
ζ ( s ) = ∑ n = 1 ∞ 1 n s . {\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}.} टेलर विस्तार के दोनों पक्षों का प्रतिपादन करने पर यह मिलता है:
G ( 1 + z ) = exp [ z 2 log 2 π − ( z + ( 1 + γ ) z 2 2 ) + ∑ k = 2 ∞ ( − 1 ) k ζ ( k ) k + 1 z k + 1 ] = ( 2 π ) z / 2 exp [ − z + ( 1 + γ ) z 2 2 ] exp [ ∑ k = 2 ∞ ( − 1 ) k ζ ( k ) k + 1 z k + 1 ] . {\displaystyle {\begin{aligned}G(1+z)&=\exp \left[{\frac {z}{2}}\log 2\pi -\left({\frac {z+(1+\gamma )z^{2}}{2}}\right)+\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\zeta (k)}{k+1}}z^{k+1}\right]\\&=(2\pi )^{z/2}\exp \left[-{\frac {z+(1+\gamma )z^{2}}{2}}\right]\exp \left[\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\zeta (k)}{k+1}}z^{k+1}\right].\end{aligned}}} इसकी तुलना बार्न्स फ़ंक्शन के वीयरस्ट्रैस उत्पाद रूप से करने पर निम्नलिखित संबंध मिलता है:
exp [ ∑ k = 2 ∞ ( − 1 ) k ζ ( k ) k + 1 z k + 1 ] = ∏ k = 1 ∞ { ( 1 + z k ) k exp ( z 2 2 k − z ) } {\displaystyle \exp \left[\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\zeta (k)}{k+1}}z^{k+1}\right]=\prod _{k=1}^{\infty }\left\{\left(1+{\frac {z}{k}}\right)^{k}\exp \left({\frac {z^{2}}{2k}}-z\right)\right\}}
गुणन सूत्र गामा फ़ंक्शन की तरह, जी-फ़ंक्शन का भी एक गुणन सूत्र है:[5]
G ( n z ) = K ( n ) n n 2 z 2 / 2 − n z ( 2 π ) − n 2 − n 2 z ∏ i = 0 n − 1 ∏ j = 0 n − 1 G ( z + i + j n ) {\displaystyle G(nz)=K(n)n^{n^{2}z^{2}/2-nz}(2\pi )^{-{\frac {n^{2}-n}{2}}z}\prod _{i=0}^{n-1}\prod _{j=0}^{n-1}G\left(z+{\frac {i+j}{n}}\right)} कहाँ K ( n ) {\displaystyle K(n)}
K ( n ) = e − ( n 2 − 1 ) ζ ′ ( − 1 ) ⋅ n 5 12 ⋅ ( 2 π ) ( n − 1 ) / 2 = ( A e − 1 12 ) n 2 − 1 ⋅ n 5 12 ⋅ ( 2 π ) ( n − 1 ) / 2 . {\displaystyle K(n)=e^{-(n^{2}-1)\zeta ^{\prime }(-1)}\cdot n^{\frac {5}{12}}\cdot (2\pi )^{(n-1)/2}\,=\,(Ae^{-{\frac {1}{12}}})^{n^{2}-1}\cdot n^{\frac {5}{12}}\cdot (2\pi )^{(n-1)/2}.} यहाँ ζ ′ {\displaystyle \zeta ^{\prime }} रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन का व्युत्पन्न है और A {\displaystyle A}
पूर्ण मान यह सच है G ( z ¯ ) = G ( z ) ¯ {\displaystyle G({\overline {z}})={\overline {G(z)}}} | G ( z ) | 2 = G ( z ) G ( z ¯ ) {\displaystyle |G(z)|^{2}=G(z)G({\overline {z}})}
| G ( x + i y ) | = | G ( x ) | exp ( y 2 1 + γ 2 ) 1 + y 2 x 2 ∏ k = 1 ∞ ( 1 + y 2 ( x + k ) 2 ) k + 1 exp ( − y 2 k ) . {\displaystyle |G(x+iy)|=|G(x)|\exp \left(y^{2}{\frac {1+\gamma }{2}}\right){\sqrt {1+{\frac {y^{2}}{x^{2}}}}}{\sqrt {\prod _{k=1}^{\infty }\left(1+{\frac {y^{2}}{(x+k)^{2}}}\right)^{k+1}\exp \left(-{\frac {y^{2}}{k}}\right)}}.} यह संबंध मनमाने ढंग से मान्य है x ∈ R ∖ { 0 , − 1 , − 2 , … } {\displaystyle x\in \mathbb {R} \setminus \{0,-1,-2,\dots \}} y ∈ R {\displaystyle y\in \mathbb {R} } x = 0 {\displaystyle x=0}
| G ( i y ) | = y exp ( y 2 1 + γ 2 ) ∏ k = 1 ∞ ( 1 + y 2 k 2 ) k + 1 exp ( − y 2 k ) {\displaystyle |G(iy)|=y\exp \left(y^{2}{\frac {1+\gamma }{2}}\right){\sqrt {\prod _{k=1}^{\infty }\left(1+{\frac {y^{2}}{k^{2}}}\right)^{k+1}\exp \left(-{\frac {y^{2}}{k}}\right)}}} मनमाने ढंग से वास्तविक y के लिए।
स्पर्शोन्मुख विस्तार G(z + 1) के लघुगणक में निम्नलिखित स्पर्शोन्मुख विस्तार है, जैसा कि बार्न्स द्वारा स्थापित किया गया है:
log G ( z + 1 ) = z 2 2 log z − 3 z 2 4 + z 2 log 2 π − 1 12 log z + ( 1 12 − log A ) + ∑ k = 1 N B 2 k + 2 4 k ( k + 1 ) z 2 k + O ( 1 z 2 N + 2 ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\log G(z+1)={}&{\frac {z^{2}}{2}}\log z-{\frac {3z^{2}}{4}}+{\frac {z}{2}}\log 2\pi -{\frac {1}{12}}\log z\\&{}+\left({\frac {1}{12}}-\log A\right)+\sum _{k=1}^{N}{\frac {B_{2k+2}}{4k\left(k+1\right)z^{2k}}}~+~O\left({\frac {1}{z^{2N+2}}}\right).\end{aligned}}} यहां ही B k {\displaystyle B_{k}} बर्नौली संख्या एँ हैं और A {\displaystyle A} [6] बर्नौली संख्या B 2 k {\displaystyle B_{2k}} ( − 1 ) k + 1 B k {\displaystyle (-1)^{k+1}B_{k}} z {\displaystyle z} | z | {\displaystyle |z|}
लॉगगामा इंटीग्रल से संबंध पैरामीट्रिक लॉगगामा का मूल्यांकन बार्न्स जी-फ़ंक्शन के संदर्भ में किया जा सकता है (संदर्भ: यह परिणाम नीचे एडमचिक में पाया गया है, लेकिन बिना सबूत के बताया गया है):
∫ 0 z log Γ ( x ) d x = z ( 1 − z ) 2 + z 2 log 2 π + z log Γ ( z ) − log G ( 1 + z ) {\displaystyle \int _{0}^{z}\log \Gamma (x)\,dx={\frac {z(1-z)}{2}}+{\frac {z}{2}}\log 2\pi +z\log \Gamma (z)-\log G(1+z)} प्रमाण कुछ हद तक अप्रत्यक्ष है, और इसमें पहले गामा फ़ंक्शन और बार्न्स जी-फ़ंक्शन के लघुगणकीय अंतर पर विचार करना शामिल है:
z log Γ ( z ) − log G ( 1 + z ) {\displaystyle z\log \Gamma (z)-\log G(1+z)} कहाँ
1 Γ ( z ) = z e γ z ∏ k = 1 ∞ { ( 1 + z k ) e − z / k } {\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}=ze^{\gamma z}\prod _{k=1}^{\infty }\left\{\left(1+{\frac {z}{k}}\right)e^{-z/k}\right\}} और γ {\displaystyle \,\gamma }
बार्न्स फ़ंक्शन और गामा फ़ंक्शन के वीयरस्ट्रैस उत्पाद रूपों का लघुगणक लेने पर यह मिलता है:
z log Γ ( z ) − log G ( 1 + z ) = − z log ( 1 Γ ( z ) ) − log G ( 1 + z ) = − z [ log z + γ z + ∑ k = 1 ∞ { log ( 1 + z k ) − z k } ] − [ z 2 log 2 π − z 2 − z 2 2 − z 2 γ 2 + ∑ k = 1 ∞ { k log ( 1 + z k ) + z 2 2 k − z } ] {\displaystyle {\begin{aligned}&z\log \Gamma (z)-\log G(1+z)=-z\log \left({\frac {1}{\Gamma (z)}}\right)-\log G(1+z)\\[5pt]={}&{-z}\left[\log z+\gamma z+\sum _{k=1}^{\infty }{\Bigg \{}\log \left(1+{\frac {z}{k}}\right)-{\frac {z}{k}}{\Bigg \}}\right]\\[5pt]&{}-\left[{\frac {z}{2}}\log 2\pi -{\frac {z}{2}}-{\frac {z^{2}}{2}}-{\frac {z^{2}\gamma }{2}}+\sum _{k=1}^{\infty }{\Bigg \{}k\log \left(1+{\frac {z}{k}}\right)+{\frac {z^{2}}{2k}}-z{\Bigg \}}\right]\end{aligned}}} शब्दों का थोड़ा सरलीकरण और पुनः क्रम लगाने से श्रृंखला का विस्तार होता है:
∑ k = 1 ∞ { ( k + z ) log ( 1 + z k ) − z 2 2 k − z } = − z log z − z 2 log 2 π + z 2 + z 2 2 − z 2 γ 2 − z log Γ ( z ) + log G ( 1 + z ) {\displaystyle {\begin{aligned}&\sum _{k=1}^{\infty }{\Bigg \{}(k+z)\log \left(1+{\frac {z}{k}}\right)-{\frac {z^{2}}{2k}}-z{\Bigg \}}\\[5pt]={}&{-z}\log z-{\frac {z}{2}}\log 2\pi +{\frac {z}{2}}+{\frac {z^{2}}{2}}-{\frac {z^{2}\gamma }{2}}-z\log \Gamma (z)+\log G(1+z)\end{aligned}}} अंत में, गामा फ़ंक्शन के वीयरस्ट्रैस उत्पाद रूप का लघुगणक लें, और अंतराल पर एकीकृत करें [ 0 , z ] {\displaystyle \,[0,\,z]}
∫ 0 z log Γ ( x ) d x = − ∫ 0 z log ( 1 Γ ( x ) ) d x = − ( z log z − z ) − z 2 γ 2 − ∑ k = 1 ∞ { ( k + z ) log ( 1 + z k ) − z 2 2 k − z } {\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{0}^{z}\log \Gamma (x)\,dx=-\int _{0}^{z}\log \left({\frac {1}{\Gamma (x)}}\right)\,dx\\[5pt]={}&{-(z\log z-z)}-{\frac {z^{2}\gamma }{2}}-\sum _{k=1}^{\infty }{\Bigg \{}(k+z)\log \left(1+{\frac {z}{k}}\right)-{\frac {z^{2}}{2k}}-z{\Bigg \}}\end{aligned}}} दोनों मूल्यांकनों को बराबर करने से प्रमाण पूरा हो जाता है:
∫ 0 z log Γ ( x ) d x = z ( 1 − z ) 2 + z 2 log 2 π + z log Γ ( z ) − log G ( 1 + z ) {\displaystyle \int _{0}^{z}\log \Gamma (x)\,dx={\frac {z(1-z)}{2}}+{\frac {z}{2}}\log 2\pi +z\log \Gamma (z)-\log G(1+z)} और तबसे G ( 1 + z ) = Γ ( z ) G ( z ) {\displaystyle \,G(1+z)=\Gamma (z)\,G(z)}
∫ 0 z log Γ ( x ) d x = z ( 1 − z ) 2 + z 2 log 2 π − ( 1 − z ) log Γ ( z ) − log G ( z ) . {\displaystyle \int _{0}^{z}\log \Gamma (x)\,dx={\frac {z(1-z)}{2}}+{\frac {z}{2}}\log 2\pi -(1-z)\log \Gamma (z)-\log G(z)\,.}
संदर्भ
↑ E. W. Barnes, "The theory of the G-function", Quarterly Journ. Pure and Appl. Math. 31 (1900), 264–314.
↑ M. F. Vignéras, L'équation fonctionelle de la fonction zêta de Selberg du groupe mudulaire SL( 2 , Z ) {\displaystyle (2,\mathbb {Z} )} , Astérisque 61 , 235–249 (1979).
↑ Park, Junesang (1996). "A duplication formula for the double gamma function $Gamma_2$" . Bulletin of the Korean Mathematical Society . 33 (2): 289–294. ↑ Marichal, Jean Luc. A Generalization of Bohr-Mollerup’s Theorem for Higher Order Convex Functions (PDF) . Springer. p. 218. ↑ I. Vardi, Determinants of Laplacians and multiple gamma functions , SIAM J. Math. Anal. 19 , 493–507 (1988).
↑ E. T. Whittaker and G. N. Watson , "A Course of Modern Analysis ", CUP. Askey, R.A.; Roy, R. (2010), "बार्न्स जी-फ़ंक्शन" , in Olver, Frank W. J. ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions ISBN 978-0-521-19225-5 MR 2723248 Adamchik, Viktor S. (2003). "Contributions to the Theory of the Barnes function". arXiv :math/0308086 _in_the_complex_plane_from_-2-2i_to_2%2B2i_with_colors_created_with_Mathematica_13.1_function_ComplexPlot3D.svg)
गणित में, बार्न्स जी-फ़ंक्शन जी(जेड) एक फ़ंक्शन (गणित) है जो जटिल संख्याओं के लिए सुपरफैक्टोरियल का विस्तार है। यह गामा फ़ंक्शन, K-फ़ंक्शन और ग्लैशर-किंकलिन स्थिरांक से संबंधित है, और इसका नाम गणितज्ञ अर्नेस्ट विलियम बार्न्स के नाम पर रखा गया था।[1] इसे दोहरे गामा फ़ंक्शन के संदर्भ में लिखा जा सकता है।
