चेबीशेव फ़िल्टर

चेबीशेव फिल्टर एनालॉग फिल्टर या डिजिटल फिल्टर हैं जिनमें बटरवर्थ फ़िल्टर की तुलना में एक तेज रोल-ऑफ होता है, और इसमें पासबैंड तरंग (टाइप I) या स्टॉपबैंड तरंग (टाइप II) होता है। चेबीशेव फिल्टर में यह गुण होता है कि वे फिल्टर की सीमा पर आदर्श और वास्तविक फिल्टर विशेषता के बीच त्रुटि को कम करते हैं (संदर्भ देखें उदाहरण के लिए; [डेनियल], [लुटोवैक]),^{[citation needed]} लेकिन पासबैंड में तरंग के साथ। इस प्रकार के फिल्टर का नाम पफनुटी चेबीशेव के नाम पर रखा गया है क्योंकि इसकी गणितीय विशेषताएं चेबीशेव बहुपद से ली गई हैं। चेबीशेव फिल्टर को आमतौर पर "चेबीशेव फिल्टर" के रूप में संदर्भित किया जाता है, जबकि टाइप II फिल्टर को आमतौर पर विपरीत चेबीशेव फिल्टर कहा जाता है।

चेबीशेव फिल्टर में निहित पासबैंड तरंग के कारण, पासबैंड फिल्टर में एक नियमित प्रतिक्रिया, लेकिन स्टॉपबैंड फिल्टर में अधिक अनियमित प्रतिक्रिया कुछ अनुप्रयोगों के लिए पसंद की जाती है।^{[citation needed]}

चौथे क्रम के प्रकार I चेबीशेव कम-पास फ़िल्टर की आवृत्ति प्रतिक्रिया

\varepsilon =1

टाइप I चेबीशेव फिल्टर

चौथे क्रम के प्रकार I चेबीशेव कम-पास फ़िल्टर की आवृत्ति प्रतिक्रिया

\varepsilon =1

टाइप I चेबीशेव फिल्टर, चेबीशेव फिल्टर के सबसे आम प्रकार हैं। लाभ (या आयाम ) प्रतिक्रिया, $G_{n}(\omega )$ , कोणीय आवृत्ति के एक फलन के रूप में nवें क्रम का निम्न-पास फ़िल्टर स्थानांतरण फलन के निरपेक्ष मान के बराबर है $H_{n}(s)$ $s=j\omega$ पर मूल्यांकन किया गया:

G_{n}(\omega )=\left|H_{n}(j\omega )\right|={\frac {1}{\sqrt {1+\varepsilon ^{2}T_{n}^{2}(\omega /\omega _{0})}}}

जहां पे $\varepsilon$ तरंगकारक है, $\omega _{0}$ कटऑफ आवृत्ति है और $T_{n}$ nवें क्रम का एक चेबीशेव बहुपद है।

पासबैंड,तरंगफैक्टर ε द्वारा निर्धारित तरंग के साथ, समान व्‍यवहार प्रदर्शित करता है; पासबैंड में चेबीशेव बहुपद, -1 और 1 के बीच वैकल्पिक होता है, इसलिए फ़िल्टर G = 1 पर मैक्सिमा और $G=1/{\sqrt {1+\varepsilon ^{2}}}$ पर मिनिमा प्राप्त होता है

इस प्रकार तरंगकारक ε डेसिबल में पासबैंड तरंग δ से संबंधित है: $\varepsilon ={\sqrt {10^{\delta /10}-1}}.$

कटऑफ आवृत्ति $\omega _{0}$ पर लाभ का फिर से तरंगहै $1/{\sqrt {1+\varepsilon ^{2}}}$ लेकिन आवृत्ति बढ़ने पर स्टॉपबैंड में गिरना जारी है। यह व्यवहार चित्र में दाईं ओर दिखाया गया है। −3 डीबी पर कटऑफ आवृत्ति को परिभाषित करने की सामान्य प्रथा आमतौर पर चेबीशेव फिल्टर पर लागू नहीं होती है; इसके बजाय कटऑफ को उस बिंदु के रूप में लिया जाता है जिस पर अंतिम समय के लिए लाभ लहर के तरंग पर गिर जाता है।

3 डीबी आवृत्ति ω_H,ω₀से संबंधित है:

\omega _{H}=\omega _{0}\cosh \left({\frac {1}{n}}\cosh ^{-1}{\frac {1}{\varepsilon }}\right).

चेबीशेव फ़िल्टर का क्रम एनालॉग इलेक्ट्रॉनिक्स का उपयोग करके फ़िल्टर को महसूस करने के लिए आवश्यक प्रतिक्रियाशील (इलेक्ट्रॉनिक्स) घटकों (उदाहरण के लिए, इंडिकेटर्स) की संख्या के बराबर है।

यदि स्टॉपबैंड में तरंग की अनुमति दी जाती है, तो शून्य की अनुमति देकर और भी तेज रोल-ऑफ प्राप्त किया जा सकता है $\omega$ -जटिल सम्मिश्र समतल है। हालांकि यह इन शून्यों (घटकों, परजीवियों और संबंधित कारकों के गुणवत्ता कारक द्वारा सीमित) पर और शून्यों के निकट-अनंत दबाव पैदा करता है, स्टॉपबैंड में समग्र दबाव कम हो जाता है। और प्राप्त परिणाम को अण्डाकार फ़िल्टर कहा जाता है, जिसे काउर फ़िल्टर भी कहा जाता है।

डंडे और शून्य

8 वें क्रम के लाभ के निरपेक्ष तरंगका लॉग चेबीशेव प्रकार I जटिल आवृत्ति स्थान (s = + jω) में = 0.1 के साथ फ़िल्टर करता है और

\omega _{0}=1

. सफेद धब्बे ध्रुव होते हैं और में 0.3836... और 1.071... के अर्ध-अक्ष के साथ एक दीर्घवृत्त पर व्यवस्थित होते हैं। ट्रांसफर फंक्शन पोल वे ध्रुव हैं जो बाएं आधे तल में हैं। काला 0.05 या उससे कम के लाभ से मेल खाता है, सफेद 20 या अधिक के लाभ से मेल खाता है।

साधारण शब्दों में, यह माना जाता है कि कटऑफ आवृत्ति एक के बराबर है। चेबीशेव फिल्टर के वृद्धि फलन के ध्रुव $(\omega _{pm})$ वृद्धि फलन के हर के जीरो होते हैं। जटिल आवृत्ति s का उपयोग करते हुए, ये तब होता हैं जब:

1+\varepsilon ^{2}T_{n}^{2}(-js)=0.\,

परिभाषित $-js=\cos(\theta )$ और चेबीशेव बहुपद की त्रिकोणमितीय परिभाषा का उपयोग करते हुए:

1+\varepsilon ^{2}T_{n}^{2}(\cos(\theta ))=1+\varepsilon ^{2}\cos ^{2}(n\theta )=0.\,

$\theta$ के लिए हल करना

\theta ={\frac {1}{n}}\arccos \left({\frac {\pm j}{\varepsilon }}\right)+{\frac {m\pi }{n}}

जहां पूर्णांक सूचकांक m का उपयोग करके चाप कोसाइन फलन के कई मान स्पष्ट किए जाते हैं। तब चेबीशेव वृद्धि फलन के ध्रुव हैं:

s_{pm}=j\cos(\theta )\,

=j\cos \left({\frac {1}{n}}\arccos \left({\frac {\pm j}{\varepsilon }}\right)+{\frac {m\pi }{n}}\right).

त्रिकोणमितीय और अतिपरवलय के फलन का उपयोग करते हुए, इसे स्पष्ट रूप से जटिल रूप में लिखा जा सकता है:

s_{pm}^{\pm }=\pm \sinh \left({\frac {1}{n}}\mathrm {arsinh} \left({\frac {1}{\varepsilon }}\right)\right)\sin(\theta _{m})

+j\cosh \left({\frac {1}{n}}\mathrm {arsinh} \left({\frac {1}{\varepsilon }}\right)\right)\cos(\theta _{m})

जहां m = 1, 2,..., n और

$\theta _{m}={\frac {\pi }{2}}\,{\frac {2m-1}{n}}.$ इसे समीकरण पैरामीट्रिक $\theta _{n}$ के रूप में देखा जा सकता है और यह दर्शाता है कि ध्रुव जटिल आवृत्ति अंतरिक्ष में एक दीर्घवृत्त पर s-स्पेस लंबाई के s = 0 पाए जाते हैं | वास्तविक अर्ध-अक्ष के साथ $\sinh(\mathrm {arsinh} (1/\varepsilon )/n)$ पर केंद्रित होता है और काल्पनिक अर्ध-अक्ष लंबाई के साथ $\cosh(\mathrm {arsinh} (1/\varepsilon )/n).$ पर केंद्रित होता है

स्थानांतरण कार्य

उपरोक्त अभिव्यक्ति लाभ G के ध्रुवों को उत्पन्न करती है। प्रत्येक जटिल ध्रुव के लिए, एक जटिल संयुग्म है, और प्रत्येक संयुग्म जोड़ी के लिए दो और हैं जो जोड़ी के ऋणात्मक ध्रुव होते हैं। स्थानांतरण फलन स्थिर होना चाहिए, ताकि इसके ध्रुव लाभ के हों जिनमें ऋणात्मक वास्तविक भाग हों और इसलिए जटिल आवृत्ति स्थान के बाएं आधे तल में स्थित हों। तब स्थानांतरण फलन दिया जाता है

H(s)={\frac {1}{2^{n-1}\varepsilon }}\ \prod _{m=1}^{n}{\frac {1}{(s-s_{pm}^{-})}}

जहाँ पे $s_{pm}^{-}$ उपरोक्त समीकरण से प्राप्त वास्तविक पद के सामने ऋणात्मक चिन्ह के साथ लाभ के केवल वे ध्रुव हैं, जो उपरोक्त समीकरण से प्राप्त हुए हैं।

समूह विलंब

= 0.5 के साथ पांचवें क्रम के प्रकार I चेबीशेव फ़िल्टर का लाभ और समूह विलंब।

समूह विलंब को कोणीय आवृत्ति के संबंध में कला के व्युत्पन्न के रूप में परिभाषित किया गया है और विभिन्न आवृत्तियों के लिए कला अंतर द्वारा शुरू किए गए संकेत में विकृति का एक उपाय है।

$\tau _{g}=-{\frac {d}{d\omega }}\arg(H(j\omega ))$

फ़िल्टर पांचवें क्रम के प्रकार I ε=0.5 के लिए लाभ और समूह विलंब को बाईं ओर के ग्राफ़ में प्लॉट किया गया है। यह देखा जा सकता है कि लाभ बिंदु में लहरें हैं और पासबैंड में समूह विलंब है लेकिन स्टॉपबैंड में नहीं है।

टाइप II चेबीशेव फिल्टर (उलटा चेबीशेव फिल्टर)

पांचवें क्रम के प्रकार II चेबीशेव कम-पास फिल्टर की आवृत्ति प्रतिक्रिया

\varepsilon =0.01

उलटा चेबीशेव फिल्टर के रूप में भी जाना जाता है, टाइप II चेबीशेव फिल्टर प्रकार कम आम है क्योंकि यह टाइप I के रूप में तेजी से रोल नहीं करता है, और अधिक घटकों की आवश्यकता होती है। पासबैंड में इसका कोईतरंगनहीं है, लेकिन स्टॉपबैंड में इक्विरिपल है। लाभ है:

G_{n}(\omega )={\frac {1}{\sqrt {1+{\frac {1}{\varepsilon ^{2}T_{n}^{2}(\omega _{0}/\omega )}}}}}={\sqrt {\frac {\varepsilon ^{2}T_{n}^{2}(\omega _{0}/\omega )}{1+\varepsilon ^{2}T_{n}^{2}(\omega _{0}/\omega )}}}.

स्टॉपबैंड में, चेबीशेव बहुपद -1 और 1 के बीच दोलन करता है ताकि लाभ शून्य और के बीच दोलन करे

{\frac {1}{\sqrt {1+{\frac {1}{\varepsilon ^{2}}}}}}

और सबसे छोटी आवृत्ति जिस पर यह अधिकतम प्राप्त किया जाता है वह कटऑफ आवृत्ति है $\omega _{o}$ . पैरामीटर ε इस प्रकार डेसिबल में स्टॉपबैंड क्षीणन से संबंधित है:

\varepsilon ={\frac {1}{\sqrt {10^{\gamma /10}-1}}}.

5 dB के स्टॉपबैंड क्षीणन के लिए, = 0.6801; 10 डीबी के क्षीणन के लिए, = 0.3333। आवृत्ति f₀ = ओ₀/2π कटऑफ आवृत्ति है। 3 डीबी आवृत्ति f_H f . से संबंधित है₀ द्वारा:

f_{H}={\frac {f_{0}}{\cosh \left({\frac {1}{n}}\cosh ^{-1}{\frac {1}{\varepsilon }}\right)}}.