सम्मिश्र मैनिफोल्ड

होलोमोर्फिक मानचित्र

विभेदक ज्यामिति और जटिल ज्यामिति में, एक कॉम्प्लेक्स कई गुना यूनिट डिस्क खोलें के लिए चार्ट (टोपोलॉजी) के एटलस (टोपोलॉजी) के साथ मैनिफोल्ड होता है। में $\mathbb {C} ^{n}$, जैसे कि संक्रमण मानचित्र होलोमोर्फिक फ़ंक्शन हैं।

कॉम्प्लेक्स मैनिफोल्ड शब्द का प्रयोग उपरोक्त अर्थ लगभग जटिल विविधता (जिसे एक इंटीग्रेबल कॉम्प्लेक्स मैनिफोल्ड के रूप में निर्दिष्ट किया जा सकता है) और लगभग जटिल मैनिफोल्ड के अर्थ में किया जाता है।

जटिल संरचना के निहितार्थ

चूँकि होलोमोर्फिक फ़ंक्शन सुचारु कार्यों की तुलना में बहुत अधिक कठोर होते हैं, चिकनी और जटिल मैनिफोल्ड के सिद्धांतों में बहुत अलग स्वाद होते हैं: कॉम्पैक्ट कॉम्प्लेक्स मैनिफोल्ड अलग-अलग मैनिफोल्ड की तुलना में बीजगणितीय विविधता के बहुत करीब होते हैं।

उदाहरण के लिए, [[व्हिटनी एम्बेडिंग प्रमेय]] हमें बताता है कि प्रत्येक चिकनी एन-आयामी मैनिफोल्ड को 'आर' की एक चिकनी सबमैनिफोल्ड के रूप में एंबेडिंग किया जा सकता है।^2एन, जबकि किसी कॉम्प्लेक्स मैनिफोल्ड के लिए 'सी' में होलोमोर्फिक एम्बेडिंग होना दुर्लभ हैⁿ. उदाहरण के लिए कॉम्प्लेक्स मैनिफोल्ड एम से जुड़े किसी भी सघन स्थान पर विचार करें: इस पर कोई भी होलोमोर्फिक फ़ंक्शन अधिकतम मापांक सिद्धांत द्वारा स्थिर होता है। अब यदि हमारे पास 'सी' में एम का एक होलोमोर्फिक एम्बेडिंग हैⁿ, तो 'सी' के समन्वय कार्यⁿएम पर गैर-स्थिर होलोमोर्फिक फ़ंक्शंस तक सीमित होगा, जो कॉम्पैक्टनेस का खंडन करता है, सिवाय इस मामले के कि एम सिर्फ एक बिंदु है। जटिल मैनिफोल्ड जिन्हें 'सी' में एम्बेड किया जा सकता हैⁿ को स्टीन मैनिफोल्ड्स कहा जाता है और यह मैनिफोल्ड्स का एक बहुत ही विशेष वर्ग बनाता है, उदाहरण के लिए, चिकनी जटिल एफ़िन बीजगणितीय किस्में।

जटिल मैनिफोल्ड्स का वर्गीकरण भिन्न-भिन्न मैनिफोल्ड्स की तुलना में कहीं अधिक सूक्ष्म है। उदाहरण के लिए, जबकि चार के अलावा अन्य आयामों में, एक दिए गए टोपोलॉजिकल मैनिफोल्ड में अधिकतम सीमित रूप से कई चिकनी संरचनाएं होती हैं, एक जटिल संरचना का समर्थन करने वाला एक टोपोलॉजिकल मैनिफोल्ड अनगिनत जटिल संरचनाओं का समर्थन कर सकता है और अक्सर करता है। रीमैन सतहें, एक जटिल संरचना से सुसज्जित दो आयामी मैनिफोल्ड्स, जिन्हें टोपोलॉजिकल रूप से जीनस (गणित) द्वारा वर्गीकृत किया गया है, इस घटना का एक महत्वपूर्ण उदाहरण हैं। किसी दी गई उन्मुख सतह पर जटिल संरचनाओं का सेट, मॉड्यूलो बिहोलोमोर्फिक तुल्यता, स्वयं एक जटिल बीजगणितीय विविधता बनाता है जिसे मॉड्यूलि स्पेस कहा जाता है, जिसकी संरचना सक्रिय अनुसंधान का क्षेत्र बनी हुई है।

चूँकि चार्ट के बीच संक्रमण मानचित्र बाइहोलोमोर्फिक होते हैं, जटिल मैनिफोल्ड, विशेष रूप से, चिकने और विहित रूप से उन्मुख होते हैं (सिर्फ उन्मुख नहीं: 'सी' के लिए एक बायोलोमोर्फिक मानचित्र (का एक उपसमूह)ⁿ एक अभिविन्यास देता है, क्योंकि बायोलोमोर्फिक मानचित्र अभिविन्यास-संरक्षित होते हैं)।

जटिल मैनिफोल्ड्स के उदाहरण

• रीमैन सतहें।
• कैलाबी-यॉ कई गुना।
• दो जटिल मैनिफोल्ड्स का कार्टेशियन उत्पाद।
• होलोमोर्फिक मानचित्र के किसी भी गैर-महत्वपूर्ण मूल्य की व्युत्क्रम छवि।

चिकनी जटिल बीजगणितीय किस्में

चिकनी जटिल बीजगणितीय किस्में जटिल विविधताएं हैं, जिनमें शामिल हैं:

• जटिल वेक्टर स्थान।
• जटिल प्रक्षेप्य स्थान, Pⁿ('सी').
• कॉम्प्लेक्स ग्रासमैनियन्स।
• जटिल झूठ समूह जैसे जीएल(एन, 'सी') या एसपी(एन, 'सी')।

इसी तरह, इनके चतुर्भुज एनालॉग भी जटिल मैनिफोल्ड हैं।

बस जुड़ा हुआ

सरलता से जुड़े हुए 1-आयामी जटिल मैनिफोल्ड या तो समरूपी हैं:

• Δ, सी में इकाई डिस्क (गणित)।
• सी, जटिल तल
• Ĉ, रीमैन क्षेत्र

ध्यान दें कि इनके बीच कुछ समावेशन भी हैं Δ ⊆ C ⊆ Ĉ, लेकिन दूसरी दिशा में कोई गैर-स्थिर मानचित्र नहीं हैं, द्वारा लिउविले का प्रमेय (जटिल विश्लेषण)|लिउविले का प्रमेय।

डिस्क बनाम स्पेस बनाम पॉलीडिस्क

निम्नलिखित स्थान जटिल मैनिफोल्ड के रूप में भिन्न हैं, जो जटिल मैनिफोल्ड के अधिक कठोर ज्यामितीय चरित्र को प्रदर्शित करते हैं (चिकने मैनिफोल्ड की तुलना में):

• जटिल स्थान $\mathbb {C} ^{n}$.
• यूनिट डिस्क या खुली गेंद

$\left\{z\in \mathbb {C} ^{n}:\|z\|<1\right\}.$

• पॉलीडिस्क

$\left\{z=(z_{1},\dots ,z_{n})\in \mathbb {C} ^{n}:\vert z_{j}\vert <1\ \forall j=1,\dots ,n\right\}.$

लगभग जटिल संरचनाएँ

Main article: Almost complex manifold

वास्तविक 2n-मैनिफोल्ड पर एक लगभग जटिल संरचना एक GL(n, 'C')-संरचना है (G-संरचनाओं के अर्थ में) - अर्थात, स्पर्शरेखा बंडल एक रैखिक जटिल संरचना से सुसज्जित है।

सीधे तौर पर, यह स्पर्शरेखा बंडल का एक एंडोमोर्फिज्म है जिसका वर्ग −I है; यह एंडोमोर्फिज्म काल्पनिक संख्या i द्वारा गुणन के अनुरूप है, और इसे J (पहचान मैट्रिक्स I के साथ भ्रम से बचने के लिए) दर्शाया गया है। लगभग जटिल मैनिफोल्ड आवश्यक रूप से सम-आयामी होता है।

एक लगभग जटिल संरचना एक जटिल संरचना से कमजोर होती है: किसी भी जटिल मैनिफोल्ड में लगभग एक जटिल संरचना होती है, लेकिन हर लगभग जटिल संरचना एक जटिल संरचना से नहीं आती है। ध्यान दें कि प्रत्येक सम-आयामी वास्तविक मैनिफोल्ड में स्थानीय समन्वय चार्ट से स्थानीय रूप से परिभाषित लगभग जटिल संरचना होती है। सवाल यह है कि क्या इस लगभग जटिल संरचना को विश्व स्तर पर परिभाषित किया जा सकता है। एक जटिल संरचना से आने वाली लगभग जटिल संरचना को फ्रोबेनियस_थियोरेम_(डिफरेंशियल_टोपोलॉजी) कहा जाता है, और जब कोई लगभग जटिल संरचना के विपरीत एक जटिल संरचना को निर्दिष्ट करना चाहता है, तो वह एक पूर्णांकीय जटिल संरचना कहता है। एकीकृत जटिल संरचनाओं के लिए तथाकथित निजेनहुइस टेंसर गायब हो जाता है। इस टेंसर को वेक्टर फ़ील्ड, X, Y के जोड़े पर परिभाषित किया गया है

$N_{J}(X,Y)=[X,Y]+J[JX,Y]+J[X,JY]-[JX,JY]\ .$

उदाहरण के लिए, 6-आयामी अति क्षेत्र एस⁶में एक प्राकृतिक लगभग जटिल संरचना है जो इस तथ्य से उत्पन्न होती है कि यह ऑक्टोनियन के इकाई क्षेत्र में i का ऑर्थोगोनल पूरक है, लेकिन यह एक जटिल संरचना नहीं है। (यह सवाल कि क्या इसकी संरचना जटिल है, हेंज हॉफ के नाम पर होपफ समस्या के रूप में जाना जाता है।) लगभग एक जटिल संरचना का उपयोग करके हम होलोमोर्फिक मानचित्रों को समझ सकते हैं और मैनिफोल्ड पर होलोमोर्फिक निर्देशांक के अस्तित्व के बारे में पूछ सकते हैं। होलोमोर्फिक निर्देशांक का अस्तित्व यह कहने के बराबर है कि मैनिफोल्ड जटिल है (चार्ट परिभाषा यही कहती है)।

जटिल संख्याओं के साथ स्पर्शरेखा बंडल को टेंसर करने से हमें जटिल स्पर्शरेखा बंडल मिलता है, जिस पर जटिल संख्याओं से गुणा करना समझ में आता है (भले ही हमने वास्तविक मैनिफोल्ड के साथ शुरुआत की हो)। लगभग एक जटिल संरचना के eigenvalues ​​​​±i हैं और eigenspaces T द्वारा दर्शाए गए उप-बंडल बनाते हैं^0,1एम और टी^1,0एम. न्यूलैंडर-निरेनबर्ग प्रमेय से पता चलता है कि लगभग एक जटिल संरचना वास्तव में एक जटिल संरचना होती है, जब ये सबबंडल अव्यवस्थित होते हैं, यानी, वेक्टर फ़ील्ड के लाई ब्रैकेट के तहत बंद होते हैं, और ऐसी लगभग जटिल संरचना को फ्रोबेनियस_थियोरेम_(डिफरेंशियल_टोपोलॉजी) कहा जाता है।

काहलर और कैलाबी-याउ मैनिफोल्ड्स

कोई जटिल मैनिफोल्ड्स के लिए रीमैनियन मीट्रिक के एनालॉग को परिभाषित कर सकता है, जिसे हर्मिटियन मीट्रिक कहा जाता है। रीमानियन मीट्रिक की तरह, हर्मिटियन मीट्रिक में स्पर्शरेखा बंडल पर एक सुचारु रूप से भिन्न, सकारात्मक निश्चित आंतरिक उत्पाद होता है, जो प्रत्येक बिंदु पर स्पर्शरेखा स्थान पर जटिल संरचना के संबंध में हर्मिटियन होता है। रीमैनियन मामले की तरह, ऐसे मेट्रिक्स हमेशा किसी भी जटिल मैनिफोल्ड पर प्रचुर मात्रा में मौजूद होते हैं। यदि ऐसे मीट्रिक का तिरछा सममित भाग सिंपलेक्टिक ज्यामिति है, यानी बंद और गैर-अपक्षयी, तो मीट्रिक को काहलर मैनिफोल्ड|काहलर कहा जाता है। काहलर संरचनाओं को प्राप्त करना अधिक कठिन है और वे अधिक कठोर हैं।

काहलर मैनिफोल्ड के उदाहरणों में चिकनी प्रक्षेप्य किस्में और आमतौर पर काहलर मैनिफोल्ड के किसी भी जटिल सबमैनिफोल्ड शामिल हैं। हॉपफ मैनिफोल्ड्स जटिल मैनिफोल्ड्स के उदाहरण हैं जो काहलर नहीं हैं। एक का निर्माण करने के लिए, मूल को घटाकर एक जटिल सदिश स्थान लें और exp(n) से गुणा करके इस स्थान पर पूर्णांकों के समूह की क्रिया पर विचार करें। भागफल एक जटिल मैनिफोल्ड है जिसका पहला बेटी नंबर एक है, इसलिए हॉज सिद्धांत के अनुसार, यह काहलर नहीं हो सकता है।

कैलाबी-यॉ मैनिफोल्ड को एक कॉम्पैक्ट रिक्की-फ्लैट मैनिफोल्ड के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। रिक्की-फ्लैट काहलर मैनिफोल्ड या समकक्ष जिसका पहला चेर्न वर्ग गायब हो जाता है।

यह भी देखें

• जटिल आयाम
• जटिल विश्लेषणात्मक विविधता
• चतुर्धातुक मैनिफोल्ड
• वास्तविक-जटिल कई गुना

संदर्भ

• Kodaira, Kunihiko (17 November 2004). Complex Manifolds and Deformation of Complex Structures. Classics in Mathematics. Springer. ISBN 3-540-22614-1.