कोटैंजेंट बंडल

गणित में, विशेष रूप से विभेदक ज्यामिति में, चिकनी कई गुना का कोटैंजेंट बंडल मैनिफोल्ड के प्रत्येक बिंदु पर सभी कोटैंजेंट स्थानों का वेक्टर बंडल होता है। इसे स्पर्शरेखा बंडल के दोहरे बंडल के रूप में भी वर्णित किया जा सकता है। इसे श्रेणी (गणित) में सामान्यीकृत किया जा सकता है, जिसमें चिकनी मैनिफोल्ड की तुलना में अधिक संरचना होती है, जैसे जटिल अनेक गुना , या (कोटैंजेंट शीफ के रूप में) बीजगणितीय विविधता या योजना (गणित)। सहज मामले में, कोई भी रीमैनियन मीट्रिक या सिंपलेक्टिक रूप कोटैंजेंट बंडल और टेंजेंट बंडल के बीच एक आइसोमोर्फिज्म देता है, लेकिन वे अन्य श्रेणियों में सामान्य आइसोमोर्फिक नहीं होते हैं।

विकर्ण रूपवाद के माध्यम से औपचारिक परिभाषा

कोटैंजेंट बंडल को परिभाषित करने के कई समान तरीके हैं। कोटैंजेंट शीफ#एक विकर्ण आकारिकी के माध्यम से निर्माण एक विकर्ण मानचित्रण Δ और रोगाणु (गणित) के माध्यम से होता है।

मान लीजिए कि M एक अवकलनीय मैनिफोल्ड है और मान लीजिए कि M×M स्वयं M का कार्टेशियन गुणनफल है। विकर्ण मानचित्रण Δ M में एक बिंदु p को M×M के बिंदु (p,p) पर भेजता है। Δ की छवि को विकर्ण कहा जाता है। होने देना ${\mathcal {I}}$ एम×एम पर सुचारु कार्यों के रोगाणु (गणित) का शीफ ​​(गणित) बनें जो विकर्ण पर गायब हो जाते हैं। फिर शीफ़ (गणित)#ऑपरेशन ${\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{2}$ इसमें कार्यों के समतुल्य वर्ग शामिल होते हैं जो विकर्ण मॉड्यूलो उच्च क्रम की शर्तों पर गायब हो जाते हैं। कोटैंजेंट शीफ को इस शीफ के एम के व्युत्क्रम छवि फ़ैक्टर के रूप में परिभाषित किया गया है:

$\Gamma T^{*}M=\Delta ^{*}\left({\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{2}\right).$

टेलर के प्रमेय के अनुसार, यह एम के सुचारु कार्यों के रोगाणुओं के शीफ के संबंध में मॉड्यूल का एक स्थानीय रूप से मुक्त शीफ है। इस प्रकार यह एम पर एक वेक्टर बंडल को परिभाषित करता है: 'कोटेंजेंट बंडल'।

कोटैंजेंट बंडल के सुचारू कार्य अनुभाग (फाइबर बंडल) को (डिफरेंशियल) एक प्रपत्र कहा जाता है।

विपरीत गुण

एक सहज रूपवाद $\phi \colon M\to N$ कई गुना, एक पुलबैक (विभेदक ज्यामिति) प्रेरित करता है $\phi ^{*}T^{*}N$ एम पर। एक पुलबैक (विभेदक ज्यामिति) है#कोटैंजेंट वैक्टर और वेक्टर बंडलों के 1-रूपों का पुलबैक $\phi ^{*}(T^{*}N)\to T^{*}M$.

उदाहरण

सदिश समष्टि का स्पर्शरेखा बंडल $\mathbb {R} ^{n}$ है $T\,\mathbb {R} ^{n}=\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}$, और कोटैंजेंट बंडल है $T^{*}\mathbb {R} ^{n}=\mathbb {R} ^{n}\times (\mathbb {R} ^{n})^{*}$, कहाँ $(\mathbb {R} ^{n})^{*}$ कोवेक्टरों के दोहरे स्थान, रैखिक कार्यों को दर्शाता है $v^{*}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$.

एक सहज विविधता दी गई है $M\subset \mathbb {R} ^{n}$ किसी फ़ंक्शन के लुप्त हो रहे स्थान द्वारा दर्शाए गए ऊनविम पृष्ठ के रूप में एम्बेडेड $f\in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n}),$ इस शर्त के साथ कि $\nabla f\neq 0,$ स्पर्शरेखा बंडल है

$TM=\{(x,v)\in T\,\mathbb {R} ^{n}\ :\ f(x)=0,\ \,df_{x}(v)=0\},$

कहाँ $df_{x}\in T_{x}^{*}M$ दिशात्मक व्युत्पन्न है $df_{x}(v)=\nabla \!f(x)\cdot v$. परिभाषा के अनुसार, इस मामले में कोटैंजेंट बंडल है

$T^{*}M={\bigl \{}(x,v^{*})\in T^{*}\mathbb {R} ^{n}\ :\ f(x)=0,\ v^{*}\in T_{x}^{*}M{\bigr \}},$

कहाँ $T_{x}^{*}M=\{v\in T_{x}\mathbb {R} ^{n}\ :\ df_{x}(v)=0\}^{*}.$ चूँकि प्रत्येक कोवेक्टर $v^{*}\in T_{x}^{*}M$ एक अद्वितीय वेक्टर से मेल खाता है $v\in T_{x}M$ जिसके लिए $v^{*}(u)=v\cdot u,$ एक मनमानी के लिए $u\in T_{x}M,$

$T^{*}M={\bigl \{}(x,v^{*})\in T^{*}\mathbb {R} ^{n}\ :\ f(x)=0,\ v\in T_{x}\mathbb {R} ^{n},\ df_{x}(v)=0{\bigr \}}.$

चरण स्थान के रूप में कोटैंजेंट बंडल

चूँकि कोटैंजेंट बंडल X = T*M एक वेक्टर बंडल है, इसे अपने आप में कई गुना माना जा सकता है। क्योंकि प्रत्येक बिंदु पर एम की स्पर्शरेखा दिशाओं को फाइबर में उनके दोहरे कोवेक्टर के साथ जोड़ा जा सकता है, एक्स के पास एक कैनोनिकल वन-फॉर्म θ होता है जिसे टॉटोलॉजिकल वन-फॉर्म कहा जाता है, जिसकी चर्चा नीचे की गई है। θ का बाहरी व्युत्पन्न एक सिम्प्लेक्टिक रूप है | सरलीकृत रूप, जिसमें से एक्स के लिए एक गैर-पतित वॉल्यूम फॉर्म बनाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, परिणामस्वरूप एक्स हमेशा एक एडजस्टेबल मैनिफोल्ड है (स्पर्शरेखा बंडल टीएक्स एक ओरिएंटेबल है वेक्टर बंडल)। निर्देशांक का एक विशेष सेट कोटैंजेंट बंडल पर परिभाषित किया जा सकता है; इन्हें विहित निर्देशांक कहा जाता है। क्योंकि कोटैंजेंट बंडलों को सिंपलेक्टिक मैनिफ़ोल्ड ्स के रूप में सोचा जा सकता है, कोटैंजेंट बंडल पर किसी भी वास्तविक फ़ंक्शन को सिम्प्लेक्टिक वेक्टर स्पेस के रूप में व्याख्या किया जा सकता है; इस प्रकार कोटैंजेंट बंडल को एक चरण स्थान के रूप में समझा जा सकता है जिस पर हैमिल्टनियन यांत्रिकी काम करती है।

तात्विक एक-रूप

Main article: Tautological one-form

कोटैंजेंट बंडल में एक कैनोनिकल वन-फॉर्म θ होता है जिसे सहानुभूतिपूर्ण क्षमता, पोंकारे 1-फॉर्म, या लिउविले 1-फॉर्म के रूप में भी जाना जाता है। इसका मतलब यह है कि अगर हम T*M को अपने आप में कई गुना मानते हैं, तो T*M के ऊपर वेक्टर बंडल T*(T*M) का एक कैनोनिकल सेक्शन (फाइबर बंडल) है।

इस अनुभाग का निर्माण कई तरीकों से किया जा सकता है। सबसे प्राथमिक विधि स्थानीय निर्देशांक का उपयोग करती है। मान लीजिए कि एक्सⁱबेस मैनिफोल्ड M पर स्थानीय निर्देशांक हैं। इन आधार निर्देशांकों के संदर्भ में, फाइबर निर्देशांक p हैं_i : T*M के एक विशेष बिंदु पर एक-रूप का रूप p होता है_iडीएक्सⁱ (आइंस्टीन सारांश सम्मेलन निहित)। तो मैनिफोल्ड T*M स्वयं स्थानीय निर्देशांक (x) वहन करता है^मैं, पी_i) जहां x आधार पर निर्देशांक हैं और p फाइबर में निर्देशांक हैं। इन निर्देशांकों में विहित एक-रूप दिया गया है

$\theta _{(x,p)}=\sum _{{\mathfrak {i}}=1}^{n}p_{i}\,dx^{i}.$

आंतरिक रूप से, T*M के प्रत्येक निश्चित बिंदु में विहित एक-रूप का मान पुलबैक (विभेदक ज्यामिति) के रूप में दिया जाता है। विशेष रूप से, मान लीजिए कि π : T*M → M बंडल का प्रक्षेपण (गणित) है। टी में एक बिंदु लेते हुए_x*M, M में एक बिंदु x और x पर एक-रूप ω चुनने के समान है, और टॉटोलॉजिकल एक-रूप θ बिंदु (x, ω) को मान प्रदान करता है

$\theta _{(x,\omega )}=\pi ^{*}\omega .$

अर्थात्, कोटैंजेंट बंडल के स्पर्शरेखा बंडल में एक वेक्टर v के लिए, (x, ω) पर टॉटोलॉजिकल वन-फॉर्म θ के अनुप्रयोग की गणना v को x पर स्पर्शरेखा बंडल में प्रक्षेपित करके की जाती है। dπ : T(T*M) → TM और इस प्रक्षेपण पर ω लागू करना। ध्यान दें कि टॉटोलॉजिकल वन-फॉर्म आधार एम पर वन-फॉर्म का पुलबैक नहीं है।

सांकेतिक रूप

कोटैंजेंट बंडल में एक कैनोनिकल सिंपलेक्टिक रूप होता है | उस पर सिंपलेक्टिक 2-फॉर्म, टॉटोलॉजिकल वन-फॉर्म, सिंपलेक्टिक क्षमता के बाहरी व्युत्पन्न के रूप में। यह साबित करना कि यह फॉर्म वास्तव में सहानुभूतिपूर्ण है, यह ध्यान देकर किया जा सकता है कि सहानुभूति होना एक स्थानीय संपत्ति है: चूंकि कोटैंजेंट बंडल स्थानीय रूप से तुच्छ है, इसलिए इस परिभाषा को केवल जांचने की आवश्यकता है $\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}$. लेकिन वहां परिभाषित एक रूप का योग है $y_{i}\,dx_{i}$, और अंतर विहित सहानुभूति रूप है, का योग $dy_{i}\land dx_{i}$.

चरण स्थान

यदि अनेक गुना $M$ एक गतिशील प्रणाली में संभावित स्थितियों के सेट का प्रतिनिधित्व करता है, फिर कोटैंजेंट बंडल

$\!\,T^{*}\!M$ संभावित स्थितियों और संवेगों के समुच्चय के रूप में सोचा जा सकता है। उदाहरण के लिए, यह पेंडुलम के चरण स्थान का वर्णन करने का एक तरीका है। पेंडुलम की स्थिति उसकी स्थिति (एक कोण) और उसके संवेग (या समकक्ष, उसके वेग, क्योंकि उसका द्रव्यमान स्थिर है) से निर्धारित होती है। संपूर्ण राज्य स्थान एक सिलेंडर की तरह दिखता है, जो वृत्त का कोटैंजेंट बंडल है। उपरोक्त सिम्प्लेटिक निर्माण, एक उपयुक्त ऊर्जा फ़ंक्शन के साथ, सिस्टम की भौतिकी का पूर्ण निर्धारण देता है। गति के हैमिल्टनियन समीकरणों के स्पष्ट निर्माण के लिए हैमिल्टनियन यांत्रिकी और जियोडेसिक प्रवाह पर लेख देखें।

यह भी देखें

• पौराणिक परिवर्तन

संदर्भ

• Abraham, Ralph; Marsden, Jerrold E. (1978). Foundations of Mechanics. London: Benjamin-Cummings. ISBN 0-8053-0102-X.
• Jost, Jürgen (2002). Riemannian Geometry and Geometric Analysis. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 3-540-63654-4.
• Singer, Stephanie Frank (2001). Symmetry in Mechanics: A Gentle Modern Introduction. Boston: Birkhäuser.