सम्पूर्ण क्रम (टोटल आर्डर)

This article is about the mathematical concept. For the linguistic term, see Linear order (linguistics).

गणित में, संपूर्ण क्रम (टोटल आर्डर) या रैखिक क्रम (लीनियर आर्डर) एक प्रकार का आंशिक अनुक्रम (सीक्वेंस) होता है जिसमें किसी भी दो अंशों को तुलनीय माना जाता है। अर्थात, कुल क्रम एक द्विआधारी संबंध $\leq$ होता है जो किसी समुच्चय $X$ पर सभी $a,b$ और $X$ के लिए निम्नलिखित शर्तों को पूरा करता है:

1. $a\leq a$ (स्वतुल्य)।
2. यदि $a\leq b$ और $b\leq c$ तब $a\leq c$ (संक्रमणीय (ट्रांज़िटिव))।
3. यदि $a\leq b$ और $b\leq a$ तब $a=b$ (प्रतिसममित (एंटीसिमेट्रिक))।
4. $a\leq b$ या $b\leq a$ (दृढ़ता से जुड़ा हुआ, पूर्व में कुल कहा जाता था)।

स्वतुल्यता (1.) पहले ही संबंधितता (4.) से प्राप्त होती है, लेकिन बहुत से लेखकों द्वारा इसे स्पष्ट रूप से आवश्यक माना जाता है, ताकि आंशिक क्रमों के साथ इसकी सम्बन्धिता को दर्शाया जा सके। कुल क्रमों को कभी-कभी सरल, कॉननेक्स, या पूर्ण क्रम भी कहा जाता है।

कुल क्रम के साथ क्रमित एक समुच्चय को पूर्णतः क्रमित समुच्चय कहते हैं; सरलता से क्रमित समुच्चय, रैखिक रूप से क्रमित समुच्चय, और लोसेट भी उपयोग किए जाते हैं। शब्द श्रृंखला (चेन) कभी-कभी पूर्णतः क्रमित सेट के पर्यायी शब्द के रूप में परिभाषित किया जाता है, लेकिन सामान्यतः यह किसी दिए गए आंशिक क्रमित समुच्चय के पूर्णतः क्रमित उपसमुच्चयों के प्रति संकेत करता है।

किसी दिए गए आंशिक क्रम को कुल क्रम में विस्तारित करना उस आंशिक क्रम का रैखिक प्रसार कहलाता है।

सख्त और गैर-सख्त कुल आदेश

एstrict total order एक सेट पर $X$ पर एक सख्त आंशिक आदेश है $X$ जिसमें कोई भी दो अलग-अलग तत्व तुलनीय हों। अर्थात्, एक सख्त कुल क्रम एक द्विआधारी संबंध है $<$ कुछ सेट पर (गणित) $X$, जो सभी के लिए निम्नलिखित को संतुष्ट करता है $a,b$ और $c$ में $X$:

1. नहीं $a<a$ (अप्रतिवर्ती संबंध)।
2. अगर $a<b$ फिर नहीं $b<a$ (असममित संबंध)।
3. अगर $a<b$ और $b<c$ तब $a<c$ (सकर्मक संबंध)।
4. अगर $a\neq b$, तब $a<b$ या $b<a$ (जुड़ा हुआ रिश्ता).

विषमता परिवर्तनशीलता और अपरिवर्तनीयता से उत्पन्न होती है; इसके अलावा, विषमता से अपरिवर्तनीयता उत्पन्न होती है। परिसीमन उद्देश्यों के लिए, #शीर्ष में परिभाषित कुल आदेश को कभी-कभी गैर-सख्त आदेश कहा जाता है। प्रत्येक (गैर-सख्त) कुल आदेश के लिए $\leq$ एक संबद्ध संबंध है $<$, से संबद्ध सख्त कुल क्रम कहा जाता है $\leq$ इसे दो समान तरीकों से परिभाषित किया जा सकता है:

• $a<b$ अगर $a\leq b$ और $a\neq b$ (प्रतिवर्ती कमी)।
• $a<b$ अगर नहीं $b\leq a$ (अर्थात।, $<$ द्विआधारी संबंध#के विपरीत संबंध का पूरक है $\leq$).

इसके विपरीत, सख्त कुल आदेश का प्रतिवर्ती समापन $<$ एक (गैर-सख्त) कुल आदेश है।

उदाहरण

• पूर्णतः व्यवस्थित सबसेट का कोई उपसमुच्चय X पर आदेश के प्रतिबंध हेतु पूर्णतः आदेशित है X.
• खाली सेट पर अनोखा आदेश, ∅, कुल ऑर्डर है.
• कार्डिनल संख्याओं या क्रमिक संख्याओं का कोई भी सेट (अधिक दृढ़ता से, ये सु-क्रम हैं)।
• अगर X कोई सेट है और f से एक इंजेक्शन समारोह X फिर एक पूरी तरह से व्यवस्थित सेट के लिए f कुल ऑर्डर को प्रेरित करता है X व्यवस्थित करके x₁ ≤ x₂ अगर और केवल अगर f(x₁) ≤ f(x₂).
• पूरी तरह से ऑर्डर किए गए सेटों के परिवार के कार्टेशियन उत्पाद पर शब्दकोषीय क्रम, एक अच्छी तरह से ऑर्डर द्वारा निर्धारित इंडेक्स, अपने आप में एक कुल ऑर्डर है।
• सामान्य रूप से (≤) से कम या उसके बराबर या (≥) से अधिक या उसके बराबर संबंधों द्वारा क्रमित वास्तविक संख्याओं सूचकांक सेट पूरी तरह से क्रमबद्ध है। इसलिए वास्तविक संख्याओं का प्रत्येक उपसमुच्चय पूरी तरह से क्रमबद्ध है, जैसे प्राकृतिक संख्याएँ, पूर्णांक और तर्कसंगत संख्याएँ। इनमें से प्रत्येक को एक निश्चित संपत्ति के साथ पूरी तरह से ऑर्डर किए गए सेट के अद्वितीय (आदेश समरूपता तक) प्रारंभिक उदाहरण के रूप में दिखाया जा सकता है, (यहां, कुल ऑर्डर A किसी संपत्ति के लिए प्रारंभिक है, यदि, जब भी B गुण है, से एक आदेश समरूपता है A के एक उपसमुच्चय के लिए B):
  • प्राकृतिक संख्याएँ बिना किसी ऊपरी सीमा के एक प्रारंभिक गैर-रिक्त पूर्णतः क्रमबद्ध सेट बनाती हैं।
  • पूर्णांक एक प्रारंभिक गैर-रिक्त पूर्ण रूप से क्रमित सेट बनाते हैं जिसमें न तो ऊपरी और न ही निचली सीमा होती है।
  • परिमेय संख्याएँ एक आरंभिक पूर्णतः क्रमित समुच्चय बनाती हैं जो वास्तविक संख्याओं में सघन समुच्चय होता है। इसके अलावा, रिफ्लेक्टिव रिडक्शन < परिमेय संख्याओं पर एक सघन क्रम है।
  • वास्तविक संख्याएँ एक प्रारंभिक असंबद्ध पूर्णतः क्रमबद्ध सेट बनाती हैं जो ऑर्डर टोपोलॉजी (नीचे परिभाषित) में कनेक्टिविटी है।
• आदेशित फ़ील्ड पूरी तरह से परिभाषा के अनुसार क्रमबद्ध हैं। इनमें तर्कसंगत संख्याएँ और वास्तविक संख्याएँ शामिल हैं। प्रत्येक क्रमित फ़ील्ड में एक क्रमबद्ध उपफ़ील्ड होता है जो परिमेय संख्याओं के समरूपी होता है। कोई भी डेडेकाइंड-पूर्ण आदेशित फ़ील्ड वास्तविक संख्याओं के समरूपी है।
• वर्णमाला के अक्षर मानक वर्णमाला क्रम के अनुसार क्रमबद्ध, उदाहरणार्थ, A < B < C आदि, एक सख्त कुल आदेश है।

जंजीरें

श्रृंखला शब्द को कभी-कभी पूरी तरह से ऑर्डर किए गए सेट के पर्याय के रूप में परिभाषित किया जाता है, लेकिन इसका उपयोग आम तौर पर आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट के सबसेट को संदर्भित करने के लिए किया जाता है जो प्रेरित ऑर्डर के लिए पूरी तरह से ऑर्डर किया जाता है। आमतौर पर, आंशिक रूप से ऑर्डर किया गया सेट किसी दिए गए सेट के सबसेट का एक सेट होता है जिसे समावेशन द्वारा ऑर्डर किया जाता है, और इस शब्द का उपयोग श्रृंखलाओं के सेट के गुणों को बताने के लिए किया जाता है। सेटों के नेस्टेड स्तरों की यह उच्च संख्या इस शब्द की उपयोगिता को स्पष्ट करती है।

पूरी तरह से ऑर्डर किए गए सबसेट को संदर्भित करने के लिए श्रृंखला के उपयोग का एक सामान्य उदाहरण ज़ोर्न का लेम्मा है जो दावा करता है कि, यदि आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट में प्रत्येक श्रृंखला X में एक ऊपरी सीमा होती है X, तब X में कम से कम एक अधिकतम तत्व होता है। ज़ोर्न लेम्मा का प्रयोग सामान्यतः किसके साथ किया जाता है? X उपसमुच्चय का एक समूह होना; इस मामले में, श्रृंखला के तत्वों के मिलन को सिद्ध करके ऊपरी सीमा प्राप्त की जाती है X में है X. यह वह तरीका है जिसका उपयोग आम तौर पर यह साबित करने के लिए किया जाता है कि एक सदिश स्थल में हैमेल आधार होते हैं और एक रिंग (गणित) में अधिकतम आदर्श होते हैं।

कुछ संदर्भों में, जिन शृंखलाओं पर विचार किया जाता है वे अपने सामान्य क्रम या इसके विपरीत संबंध के साथ प्राकृतिक संख्याओं के समरूपी क्रम की होती हैं। इस मामले में, एक श्रृंखला को एक मोनोटोन अनुक्रम से पहचाना जा सकता है, और इसे आरोही श्रृंखला या अवरोही श्रृंखला कहा जाता है, यह इस पर निर्भर करता है कि अनुक्रम बढ़ रहा है या घट रहा है। आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट में अवरोही श्रृंखला की स्थिति होती है यदि प्रत्येक अवरोही श्रृंखला अंततः स्थिर हो जाती है। उदाहरण के लिए, एक ऑर्डर अच्छी तरह से स्थापित ऑर्डर है यदि इसमें अवरोही श्रृंखला की स्थिति है। इसी प्रकार, आरोही श्रृंखला स्थिति का अर्थ है कि प्रत्येक आरोही श्रृंखला अंततः स्थिर हो जाती है। उदाहरण के लिए, नोथेरियन अंगूठी एक रिंग है जिसका आदर्श (रिंग सिद्धांत) आरोही श्रृंखला की स्थिति को संतुष्ट करता है।

अन्य संदर्भों में, केवल परिमित समुच्चय वाली शृंखलाओं पर ही विचार किया जाता है। इस मामले में, एक परिमित श्रृंखला की बात की जाती है, जिसे अक्सर एक श्रृंखला के रूप में छोटा किया जाता है। इस मामले में, श्रृंखला की 'लंबाई' श्रृंखला के लगातार तत्वों के बीच असमानताओं (या सेट समावेशन) की संख्या है; अर्थात्, श्रृंखला में तत्वों में से एक को घटाने वाली संख्या। इस प्रकार एक सिंगलटन सेट शून्य लंबाई की एक श्रृंखला है, और एक क्रमित जोड़ी लंबाई एक की एक श्रृंखला है। किसी स्थान के आयाम सिद्धांत को अक्सर उप-स्थानों की श्रृंखलाओं की अधिकतम लंबाई के रूप में परिभाषित या चित्रित किया जाता है। उदाहरण के लिए, एक सदिश स्थान का आयाम रैखिक उपस्थानों की श्रृंखलाओं की अधिकतम लंबाई है, और एक क्रमविनिमेय वलय का क्रुल आयाम अभाज्य आदर्शों की श्रृंखलाओं की अधिकतम लंबाई है।

चेन का उपयोग गणितीय संरचना के कुछ पूरी तरह से ऑर्डर किए गए उपसमुच्चय के लिए भी किया जा सकता है जो आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट नहीं हैं। बहुपदों की नियमित श्रृंखलाओं द्वारा एक उदाहरण दिया गया है। एक अन्य उदाहरण एक ग्राफ (असतत गणित) में वॉक (ग्राफ सिद्धांत) के पर्याय के रूप में श्रृंखला का उपयोग है।

आगे की अवधारणाएँ

जालक सिद्धांत

कोई पूरी तरह से ऑर्डर किए गए सेट को एक विशेष प्रकार के जाली (आदेश) के रूप में परिभाषित कर सकता है, अर्थात् वह जिसमें हमारे पास है

$\{a\vee b,a\wedge b\}=\{a,b\}$ सभी के लिए ए, बी.

फिर हम a ≤ b यदि और केवल यदि लिखते हैं $a=a\wedge b$. इसलिए एक पूरी तरह से व्यवस्थित सेट एक वितरणात्मक जाली है।

परिमित अच्छा आदेश

एक साधारण गणना तर्क यह सत्यापित करेगा कि किसी भी गैर-रिक्त परिमित पूर्णतः आदेशित सेट (और इसलिए उसके किसी भी गैर-रिक्त उपसमुच्चय) में कम से कम तत्व है। इस प्रकार प्रत्येक परिमित कुल क्रम वास्तव में एक अच्छा क्रम है। या तो प्रत्यक्ष प्रमाण द्वारा या यह देखकर कि प्रत्येक अच्छा क्रम एक क्रमसूचक संख्या के लिए समरूपी है, कोई यह दिखा सकता है कि प्रत्येक परिमित कुल क्रम < द्वारा क्रमित प्राकृतिक संख्याओं के प्रारंभिक खंड के लिए समरूपी है। दूसरे शब्दों में, k तत्वों वाले समुच्चय पर कुल क्रम पहले k प्राकृतिक संख्याओं के साथ एक आपत्ति उत्पन्न करता है। इसलिए ऑर्डर प्रकार ω के साथ सीमित कुल आदेश प्रकार अच्छे ऑर्डर को प्राकृतिक संख्याओं द्वारा अनुक्रमित करना आम बात है जो ऑर्डर का सम्मान करता है (या तो शून्य से शुरू होता है या एक के साथ)।

श्रेणी सिद्धांत

पूरी तरह से ऑर्डर किए गए सेट आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेटों की श्रेणी (गणित) की एक उपश्रेणी बनाते हैं, जिसमें आकारिकी मानचित्र होते हैं जो ऑर्डर का सम्मान करते हैं, यानी मानचित्र एफ जैसे कि यदि ए ≤ बी तो एफ (ए) ≤ एफ (बी)।

दो पूरी तरह से व्यवस्थित सेटों के बीच एक आक्षेप मानचित्र (गणित) जो दो आदेशों का सम्मान करता है, इस श्रेणी में एक समरूपता है।

ऑर्डर टोपोलॉजी

किसी भी पूरी तरह से ऑर्डर किए गए सेट के लिए X हम अंतराल (गणित) को परिभाषित कर सकते हैं

• (a, b) = {x | a < x and x < b},
• (−∞, b) = {x | x < b},
• (a, ∞) = {x | a < x}, और
• (−∞, ∞) = X.

हम किसी भी ऑर्डर किए गए सेट, ऑर्डर टोपोलॉजी पर टोपोलॉजी को परिभाषित करने के लिए इन खुले अंतरालों का उपयोग कर सकते हैं।

जब एक सेट पर एक से अधिक ऑर्डर का उपयोग किया जा रहा हो तो कोई किसी विशेष ऑर्डर से प्रेरित ऑर्डर टोपोलॉजी के बारे में बात करता है। उदाहरण के लिए यदि N प्राकृतिक संख्या है, < और से कम है > इससे अधिक हम एन द्वारा प्रेरित ऑर्डर टोपोलॉजी का उल्लेख कर सकते हैं < और एन पर ऑर्डर टोपोलॉजी द्वारा प्रेरित > (इस मामले में वे समान होंगे लेकिन सामान्य रूप से नहीं होंगे)।

कुल ऑर्डर से प्रेरित ऑर्डर टोपोलॉजी को आनुवंशिक रूप से सामान्य स्थान के रूप में दिखाया जा सकता है।

सम्पूर्णता

एक पूरी तरह से व्यवस्थित सेट को पूर्णता (आदेश सिद्धांत) कहा जाता है यदि प्रत्येक गैर-रिक्त उपसमुच्चय जिसकी ऊपरी सीमा होती है, उसकी न्यूनतम ऊपरी सीमा होती है। उदाहरण के लिए, वास्तविक संख्याओं R का समुच्चय पूर्ण है लेकिन परिमेय संख्याओं Q का समुच्चय नहीं है। दूसरे शब्दों में, पूर्णता (आदेश सिद्धांत) की विभिन्न अवधारणाएं (कुल होने के साथ भ्रमित न हों) बाइनरी संबंध तक नहीं पहुंचती हैं। उदाहरण के लिए, वास्तविक संख्याओं पर संबंध का एक गुण ≤ यह है कि 'आर' के प्रत्येक खाली सेट | गैर-रिक्त उपसमुच्चय एस में 'आर' की ऊपरी सीमा के साथ 'आर' में एक उच्चतम (जिसे सुप्रीमम भी कहा जाता है) होता है। हालाँकि, तर्कसंगत संख्याओं के लिए यह सर्वोच्च आवश्यक रूप से तर्कसंगत नहीं है, इसलिए वही संपत्ति संबंध के प्रतिबंध पर लागू नहीं होती है ≤ तर्कसंगत संख्याओं के लिए।

एक्स की पूर्णता के लिए ऑर्डर टोपोलॉजी के गुणों से संबंधित कई परिणाम हैं:

• यदि एक्स पर ऑर्डर टोपोलॉजी जुड़ी हुई है, तो एक्स पूरा हो गया है।
• X को ऑर्डर टोपोलॉजी के तहत तभी जोड़ा जाता है जब यह पूर्ण हो और X में कोई गैप न हो (एक गैप X में दो बिंदुओं a और b के साथ a < b होता है जैसे कि कोई भी c, a < c < b को संतुष्ट नहीं करता है।)
• X पूर्ण है यदि और केवल तभी जब क्रम टोपोलॉजी में बंद प्रत्येक परिबद्ध सेट कॉम्पैक्ट हो।

एक पूरी तरह से व्यवस्थित सेट (इसके ऑर्डर टोपोलॉजी के साथ) जो एक पूर्ण जाली है, सघन स्थान है। उदाहरण वास्तविक संख्याओं के बंद अंतराल हैं, जैसे इकाई अंतराल [0,1], और एफ़िनली विस्तारित वास्तविक संख्या प्रणाली (विस्तारित वास्तविक संख्या रेखा)। इन उदाहरणों के बीच क्रम-संरक्षित होमियोमोर्फिज्म हैं।

आदेशों का योग

किन्हीं दो असंयुक्त कुल आदेशों के लिए $(A_{1},\leq _{1})$ और $(A_{2},\leq _{2})$, एक प्राकृतिक व्यवस्था है $\leq _{+}$ मंच पर $A_{1}\cup A_{2}$, जिसे दो आदेशों का योग या कभी-कभी केवल कहा जाता है $A_{1}+A_{2}$:

के लिए $x,y\in A_{1}\cup A_{2}$, $x\leq _{+}y$ यदि और केवल यदि निम्नलिखित में से कोई एक धारण करता है तो धारण करता है:

1. $x,y\in A_{1}$ और $x\leq _{1}y$
2. $x,y\in A_{2}$ और $x\leq _{2}y$
3. $x\in A_{1}$ और $y\in A_{2}$

सहज रूप से, इसका मतलब यह है कि दूसरे सेट के तत्वों को पहले सेट के तत्वों के ऊपर जोड़ा जाता है।

अधिक सामान्यतः, यदि $(I,\leq )$ एक पूरी तरह से ऑर्डर किया गया इंडेक्स सेट है, और प्रत्येक के लिए $i\in I$ ढांचा $(A_{i},\leq _{i})$ एक रैखिक क्रम है, जहाँ समुच्चय होता है $A_{i}$ जोड़ीवार असंयुक्त हैं, तो प्राकृतिक कुल क्रम पर $\bigcup _{i}A_{i}$ द्वारा परिभाषित किया गया है

के लिए $x,y\in \bigcup _{i\in I}A_{i}$, $x\leq y$ धारण करता है यदि:

1. या तो कुछ है $i\in I$ साथ $x\leq _{i}y$
2. या कुछ हैं $i<j$ में $I$ साथ $x\in A_{i}$, $y\in A_{j}$

निर्णायकता

प्रथम-क्रम तर्क | कुल आदेशों का प्रथम-क्रम सिद्धांत निर्णायकता (तर्क) है, यानी यह तय करने के लिए एक एल्गोरिदम है कि सभी कुल आदेशों के लिए कौन सा प्रथम-क्रम कथन मान्य है। S2S (गणित) में व्याख्यात्मकता का उपयोग करते हुए, गणनीय सेट कुल आदेशों का मोनैडिक द्वितीय-क्रम तर्क | मोनैडिक द्वितीय-क्रम सिद्धांत भी निर्णय लेने योग्य है।

पूरी तरह से ऑर्डर किए गए सेट के कार्टेशियन उत्पाद पर ऑर्डर

बढ़ती ताकत के क्रम में, यानी, जोड़े के घटते सेट, दो पूरी तरह से ऑर्डर किए गए सेटों के कार्टेशियन उत्पाद पर तीन संभावित ऑर्डर हैं:

• शब्दावली क्रम: (ए,बी) ≤ (सी,डी) यदि और केवल यदि ए < सी या (ए = सी और बी ≤ डी)। यह कुल ऑर्डर है.
• (ए,बी) ≤ (सी,डी) यदि और केवल यदि ए ≤ सी और बी ≤ डी (उत्पाद क्रम)। यह आंशिक आदेश है.
• (ए, बी) ≤ (सी, डी) यदि और केवल यदि (ए < सी और बी < डी) या (ए = सी और बी = डी) (प्रत्यक्ष उत्पाद का रिफ्लेक्सिव क्लोजर # बाइनरी संबंधों का प्रत्यक्ष उत्पाद संगत सख्त कुल आदेश)। यह भी आंशिक आदेश है.

इन तीनों को दो से अधिक सेटों के कार्टेशियन उत्पाद के लिए समान रूप से परिभाषित किया जा सकता है।

सदिश समष्टि 'R' पर लागूⁿ, इनमें से प्रत्येक इसे एक क्रमबद्ध सदिश समष्टि बनाता है।

आंशिक रूप से ऑर्डर किया गया सेट#उदाहरण भी देखें।

'R' के उपसमुच्चय पर परिभाषित n वास्तविक चरों का एक वास्तविक फलनⁿ उस सबसेट पर सख्त कमजोर ऑर्डरिंग#फ़ंक्शन।

संबंधित संरचनाएं

Transitive binary relations
Symmetric Antisymmetric Connected Well-founded Has joins Has meets Reflexive Irreflexive Asymmetric Total, Semiconnex Anti- reflexive Equivalence relation Y ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ Preorder (Quasiorder) ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ Partial order ✗ Y ✗ ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ Total preorder ✗ ✗ Y ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ Total order ✗ Y Y ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ Prewellordering ✗ ✗ Y Y ✗ ✗ Y ✗ ✗ Well-quasi-ordering ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ Y ✗ ✗ Well-ordering ✗ Y Y Y ✗ ✗ Y ✗ ✗ Lattice ✗ Y ✗ ✗ Y Y Y ✗ ✗ Join-semilattice ✗ Y ✗ ✗ Y ✗ Y ✗ ✗ Meet-semilattice ✗ Y ✗ ✗ ✗ Y Y ✗ ✗ Strict partial order ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Y Y Strict weak order ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Y Y Strict total order ✗ ✗ Y ✗ ✗ ✗ ✗ Y Y Symmetric Antisymmetric Connected Well-founded Has joins Has meets Reflexive Irreflexive Asymmetric Definitions, for all $a,b$ and $S\neq \varnothing :$ ${\begin{aligned}&aRb\\\Rightarrow {}&bRa\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}aRb{\text{ and }}&bRa\\\Rightarrow a={}&b\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}a\neq {}&b\Rightarrow \\aRb{\text{ or }}&bRa\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}\min S\\{\text{exists}}\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}a\vee b\\{\text{exists}}\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}a\wedge b\\{\text{exists}}\end{aligned}}$ $aRa$ ${\text{not }}aRa$ ${\begin{aligned}aRb\Rightarrow \\{\text{not }}bRa\end{aligned}}$
Y indicates that the column's property is required by the definition of the row's term (at the very left). For example, the definition of an equivalence relation requires it to be symmetric. ✗ indicates that the property may, or may not hold. All definitions tacitly require the homogeneous relation $R$ be transitive: for all $a,b,c,$ if $aRb$ and $bRc$ then $aRc,$ and there are additional properties that a homogeneous relation may satisfy.

एक द्विआधारी संबंध जो प्रतिसममित, ट्रांजिटिव और रिफ्लेक्सिव है (लेकिन जरूरी नहीं कि कुल हो) एक आंशिक क्रम है।

संगत कुल क्रम वाला एक समूह (गणित) एक पूर्णतः क्रमबद्ध समूह है।

केवल कुछ गैर-तुच्छ संरचनाएं हैं जो कुल क्रम की कटौती (अंतःपरिभाषित) हैं। ओरिएंटेशन को भूलने से बीच का रिश्ता बन जाता है। सिरों का स्थान भूलने से चक्रीय क्रम बनता है। दोनों डेटा को भूलने से संबंध अलग हो जाता है।

यह भी देखें

• Artinian ring
• Countryman line
• Order theory
• Permutation
• Prefix order - नीचे की ओर कुल आंशिक क्रम
• Suslin's problem
• Well-order

संदर्भ

• Garrett Birkhoff (1967). Lattice Theory. Colloquium Publications. Vol. 25. Providence: Am. Math. Soc.
• Brian A. Davey; Hilary Ann Priestley (1990). Introduction to Lattices and Order. Cambridge Mathematical Textbooks. Cambridge University Press. ISBN 0-521-36766-2. LCCN 89009753.
• Fuchs, L (1963). Partially Ordered Algebraic Systems. Pergamon Press.
• George Grätzer (1971). Lattice theory: first concepts and distributive lattices. W. H. Freeman and Co. ISBN 0-7167-0442-0
• Halmos, Paul R. (1968). Naive Set Theory. Princeton: Nostrand.
• John G. Hocking and Gail S. Young (1961). Topology. Corrected reprint, Dover, 1988. ISBN 0-486-65676-4
• Rosenstein, Joseph G. (1982). Linear orderings. New York: Academic Press.
• Schmidt, Gunther; Ströhlein, Thomas (1993). Relations and Graphs: Discrete Mathematics for Computer Scientists. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 978-3-642-77970-1.

बाहरी संबंध

• "Totally ordered set", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]