गठनात्मक समीकरण

For many more definitions of physical quantities, see Defining equation (physics) and Defining equation (physical chemistry).

भौतिकी और अभियांत्रिकी में, एक संवैधानिक समीकरण या संवैधानिक संबंध दो भौतिक मात्राओं (विशेष रूप से किनेमेटिक्स मात्राओं से संबंधित गतिकी (भौतिकी) मात्रा) के बीच एक संबंध है जो किसी सामग्री या पदार्थ के लिए विशिष्ट है, और बाहरी उत्तेजनाओं के लिए उस सामग्री की प्रतिक्रिया का अनुमान लगाता है। , सामान्यतः पर लागू क्षेत्र (भौतिकी) या बलों के रूप में। भौतिक समस्याओं को हल करने के लिए उन्हें भौतिक नियमों को नियंत्रित करने वाले अन्य समीकरणों के साथ जोड़ा जाता है; उदाहरण के लिए द्रव यांत्रिकी में पाइप प्रवाह, ठोस अवस्था भौतिकी में विद्युत क्षेत्र के प्रति क्रिस्टल की प्रतिक्रिया, या संरचनात्मक विश्लेषण में, लागू तनाव (भौतिकी) या संरचनात्मक भार से तनाव (सामग्री विज्ञान) या विरूपण (इंजीनियरिंग) के बीच संबंध )एस।

कुछ संवैधानिक समीकरण केवल अनुभवजन्य संबंध हैं; अन्य पहले सिद्धांतों से प्राप्त हुए हैं। एक सामान्य अनुमानित संवैधानिक समीकरण को अक्सर सामग्री की संपत्ति, जैसे विद्युत चालकता या स्प्रिंग स्थिरांक के रूप में लिए गए पैरामीटर का उपयोग करके एक साधारण आनुपातिकता के रूप में व्यक्त किया जाता है। हालाँकि, सामग्री की दिशात्मक निर्भरता को ध्यान में रखना अक्सर आवश्यक होता है, और स्केलर पैरामीटर को एक टेन्सर के लिए सामान्यीकृत किया जाता है। सामग्री की प्रतिक्रिया की दर और उनके गैर-रैखिक व्यवहार को ध्यान में रखते हुए संवैधानिक संबंधों को भी संशोधित किया जाता है। आलेख देखें रैखिक प्रतिक्रिया फ़ंक्शन।

पदार्थ के यांत्रिक गुण

पहला संवैधानिक समीकरण (संवैधानिक कानून) रॉबर्ट हुक द्वारा विकसित किया गया था और इसे हुक के नियम के रूप में जाना जाता है। यह रैखिक लोचदार सामग्रियों के मामले से संबंधित है। इस खोज के बाद, इस प्रकार के समीकरण, जिसे अक्सर इस उदाहरण में तनाव-तनाव संबंध कहा जाता है, लेकिन इसे संवैधानिक धारणा या स्थिति का समीकरण भी कहा जाता है, का सामान्यतः पर उपयोग किया जाता था। वाल्टर नोल ने संवैधानिक समीकरणों के उपयोग को आगे बढ़ाया, उनके वर्गीकरण और अपरिवर्तनीय आवश्यकताओं, बाधाओं और शर्तों की परिभाषा की भूमिका को स्पष्ट किया। जैसे सामग्री, आइसोट्रोपिक, ऐलोट्रोपिक, आदि। फॉर्म स्ट्रेस रेट = एफ (वेग ग्रेडिएंट, स्ट्रेस, डेंसिटी) के संवैधानिक संबंधों का वर्ग 1954 में क्लिफोर्ड ट्रूस्डेल के तहत वाल्टर नोल के शोध प्रबंध का विषय था। आधुनिक संघनित पदार्थ भौतिकी में, गठनात्मक समीकरण एक प्रमुख भूमिका निभाता है। ग्रीन-कुबो संबंध#रैखिक संवैधानिक संबंध और ग्रीन-कुबो संबंध#अरेखीय प्रतिक्रिया और क्षणिक समय सहसंबंध कार्य देखें।

परिभाषाएँ

Quantity (common name/s)	(Common) symbol/s	Defining equation	SI units	Dimension
General stress, pressure	P, σ	$\sigma =F/A$ F is the perpendicular component of the force applied to area A	Pa = N⋅m−2	[M][L]−1[T]−2
General strain	ε	$\varepsilon =\Delta D/D$ D, dimension (length, area, volume) ΔD, change in dimension of material	1	Dimensionless
General elastic modulus	Emod	$E_{\text{mod}}=\sigma /\varepsilon$	Pa = N⋅m−2	[M][L]−1[T]−2
Young's modulus	E, Y	$Y=\sigma /(\Delta L/L)$	Pa = N⋅m−2	[M][L]−1[T] −2
Shear modulus	G	$G=(F/A)/(\Delta x/L)$	Pa = N⋅m−2	[M][L]−1[T]−2
Bulk modulus	K, B	$B=P/(\Delta V/V)$	Pa = N⋅m−2	[M][L]−1[T]−2
Compressibility	C	$C=1/B$	Pa−1 = m2⋅N−1	[M]−1[L][T]2

ठोसों का विरूपण

घर्षण

घर्षण एक जटिल घटना है. मैक्रोस्कोपिक रूप से, दो सामग्रियों के इंटरफेस के बीच घर्षण बल एफ को घर्षण के आयाम रहित गुणांक के माध्यम से दो इंटरफेस के बीच संपर्क बिंदु पर प्रतिक्रिया (भौतिकी) आर के आनुपातिक के रूप में तैयार किया जा सकता है।_f, जो सामग्रियों की जोड़ी पर निर्भर करता है:

$F=\mu _{\text{f}}R.$

इसे स्थैतिक घर्षण (घर्षण जो दो स्थिर वस्तुओं को अपने आप फिसलने से रोकता है), गतिज घर्षण (दो वस्तुओं के बीच घर्षण जो एक-दूसरे से टकराते/फिसलते हैं) या रोलिंग (घर्षण बल जो फिसलने से रोकता है लेकिन बलाघूर्ण का कारण बनता है) पर लागू किया जा सकता है। एक गोल वस्तु)।

तनाव और दबाव

रैखिक सामग्रियों के लिए तनाव-खिंचाव संरचनात्मक संबंध को सामान्यतः पर हुक के नियम के रूप में जाना जाता है। अपने सरलतम रूप में, कानून एक अदिश समीकरण में स्प्रिंग स्थिरांक (या लोच स्थिरांक) k को परिभाषित करता है, जिसमें कहा गया है कि तन्य/संपीड़ित बल विस्तारित (या अनुबंधित) विस्थापन (वेक्टर) x के समानुपाती होता है:

$F_{i}=-kx_{i}$

मतलब सामग्री रैखिक रूप से प्रतिक्रिया करती है। समान रूप से, तनाव (यांत्रिकी) σ, यंग मापांक ई, और विरूपण (यांत्रिकी) ε (आयाम रहित) के संदर्भ में:

$\sigma =E\,\varepsilon$

सामान्य तौर पर, ठोस पदार्थों को विकृत करने वाले बल सामग्री की सतह (सामान्य बल), या स्पर्शरेखीय (कतरनी बल) के लिए सामान्य हो सकते हैं, इसे तनाव (यांत्रिकी) का उपयोग करके गणितीय रूप से वर्णित किया जा सकता है:

$\sigma _{ij}=C_{ijkl}\,\varepsilon _{kl}\,\rightleftharpoons \,\varepsilon _{ij}=S_{ijkl}\,\sigma _{kl}$

जहां C लोच टेंसर है और S Elasticity_tensor#Definition है।

ठोस अवस्था विकृति

लोचदार सामग्रियों में विकृतियों के कई वर्ग निम्नलिखित हैं:

प्लास्टिक विरूपण

जब तनाव (या लोचदार तनाव) एक महत्वपूर्ण परिमाण तक पहुंच जाता है, जिसे उपज बिंदु कहा जाता है, तो लगाया गया बल सामग्री में गैर-पुनर्प्राप्ति योग्य विकृतियों को प्रेरित करता है।

लोच (भौतिकी)

विरूपण के बाद सामग्री अपने प्रारंभिक आकार को पुनः प्राप्त कर लेती है।

viscoelastic

यदि समय-निर्भर प्रतिरोधक योगदान बड़ा है, और इसे उपेक्षित नहीं किया जा सकता है। रबर और प्लास्टिक में यह गुण होता है, और निश्चित रूप से हुक के नियम को संतुष्ट नहीं करते हैं। वास्तव में, इलास्टिक हिस्टैरिसीस होता है।

एनेलैस्टिक क्षीणन कारक

यदि सामग्री लोचदार के करीब है, लेकिन लगाया गया बल अतिरिक्त समय-निर्भर प्रतिरोधक बलों को प्रेरित करता है (यानी विस्तार/संपीड़न के अलावा विस्तार/संपीड़न के परिवर्तन की दर पर निर्भर करता है)। धातुओं और चीनी मिट्टी की वस्तुओं में यह विशेषता होती है, लेकिन यह सामान्यतः पर नगण्य होती है, हालांकि घर्षण के कारण गर्म होने पर (जैसे मशीनों में कंपन या कतरनी तनाव) इतनी अधिक नहीं होती है।

हाइपरइलास्टिक सामग्री

लागू बल तनाव ऊर्जा घनत्व फ़ंक्शन के बाद सामग्री में विस्थापन उत्पन्न करता है।

टकराव

पृथक्करण की सापेक्ष गति v_separation किसी वस्तु A की किसी अन्य वस्तु B से टक्कर के बाद दृष्टिकोण v की सापेक्ष गति से संबंधित है_approach पुनर्स्थापन के गुणांक द्वारा परिभाषित, पुनर्स्थापन के गुणांक द्वारा परिभाषित|न्यूटन का प्रयोगात्मक प्रभाव कानून:

$e={\frac {|\mathbf {v} |_{\text{separation}}}{|\mathbf {v} |_{\text{approach}}}}$

जो इस बात पर निर्भर करता है कि ए और बी किस सामग्री से बने हैं, क्योंकि टकराव में सामान्यतः पर ए और बी की सतहों पर परस्पर क्रिया शामिल होती है 0 ≤ e ≤ 1, जिसमें e = 1 पूरी तरह से लोचदार टकरावों के लिए, और e = 0 पूरी तरह से बेलोचदार टकरावों के लिए। के लिए यह संभव है e ≥ 1 घटित होना - सुपरइलास्टिक (या विस्फोटक) टकरावों के लिए।

द्रवों का विरूपण

ड्रैग समीकरण क्रॉस सेक्शन (ज्यामिति) | क्रॉस-सेक्शन क्षेत्र ए की एक वस्तु पर ड्रैग (भौतिकी) डी देता है जो वेग वी (द्रव के सापेक्ष) पर घनत्व ρ के तरल पदार्थ के माध्यम से चलती है।

$D={\frac {1}{2}}c_{d}\rho Av^{2}$

जहां ड्रैग गुणांक (आयाम रहित) c_dवस्तु की ज्यामिति और द्रव तथा वस्तु के बीच इंटरफेस पर खींचें बलों पर निर्भर करता है।

चिपचिपाहट μ के न्यूटोनियन द्रव पदार्थ के लिए, कतरनी तनाव τ रैखिक रूप से तनाव दर (अनुप्रस्थ प्रवाह वेग ढाल) ∂u/∂y (इकाइयाँ s) से संबंधित है⁻¹). एक समान कतरनी प्रवाह में:

$\tau =\mu {\frac {\partial u}{\partial y}},$

यू(वाई) के साथ क्रॉस-फ्लो (अनुप्रस्थ) दिशा वाई में प्रवाह वेग यू की भिन्नता। सामान्य तौर पर, न्यूटोनियन तरल पदार्थ के लिए, तत्वों के बीच का संबंध τ होता है_ij कतरनी तनाव टेंसर और द्रव का विरूपण द्वारा दिया जाता है

$\tau _{ij}=2\mu \left(e_{ij}-{\frac {1}{3}}\Delta \delta _{ij}\right)$   साथ   $e_{ij}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial v_{j}}{\partial x_{i}}}\right)$   और   $\Delta =\sum _{k}e_{kk}={\text{div}}\;\mathbf {v} ,$

जहां वी_i संगत x में प्रवाह वेग वेक्टर के घटक हैं_i दिशाओं का समन्वय, ई_ij तनाव दर टेंसर के घटक हैं, Δ वॉल्यूमेट्रिक स्ट्रेन दर (या फैलाव दर) है और δ_ij क्रोनकर डेल्टा है। आदर्श गैस नियम इस अर्थ में एक संवैधानिक संबंध है कि दबाव p और आयतन V गैस के मोल n की संख्या के माध्यम से तापमान T से संबंधित हैं:

$pV=nRT$

जहां R गैस स्थिरांक (J⋅K) है⁻¹⋅mol⁻¹).

विद्युतचुम्बकत्व

विद्युत चुंबकत्व और संबंधित क्षेत्रों में संवैधानिक समीकरण

See also: Permittivity, Permeability (electromagnetism), and Electrical conductivity

शास्त्रीय और क्वांटम भौतिकी दोनों में, एक प्रणाली की सटीक गतिशीलता एक साथ समीकरणों के अंतर समीकरणों का एक सेट बनाती है, जो सांख्यिकीय यांत्रिकी के स्तर पर भी, लगभग हमेशा हल करने के लिए बहुत जटिल होती है। विद्युत चुंबकत्व के संदर्भ में, यह टिप्पणी न केवल मुक्त आवेशों और धाराओं (जो सीधे मैक्सवेल के समीकरणों में प्रवेश करती है) की गतिशीलता पर लागू होती है, बल्कि बाध्य आवेशों और धाराओं की गतिशीलता (जो संवैधानिक संबंधों के माध्यम से मैक्सवेल के समीकरणों में प्रवेश करती है) पर भी लागू होती है। परिणामस्वरूप, सामान्यतः पर विभिन्न सन्निकटन योजनाओं का उपयोग किया जाता है।

उदाहरण के लिए, वास्तविक सामग्रियों में, आवेशों के समय और स्थानिक प्रतिक्रिया को निर्धारित करने के लिए जटिल परिवहन समीकरणों को हल किया जाना चाहिए, उदाहरण के लिए, बोल्ट्ज़मैन समीकरण या फोककर-प्लैंक समीकरण या नेवियर-स्टोक्स समीकरण। उदाहरण के लिए, मैग्नेटोहाइड्रोडायनामिक्स, द्रव गतिकी, इलेक्ट्रोहाइड्रोडायनामिक्स, अतिचालकता , प्लाज्मा मॉडलिंग देखें। इन स्थितियों से निपटने के लिए एक संपूर्ण भौतिक तंत्र विकसित हो गया है। उदाहरण के लिए, रैखिक प्रतिक्रिया फ़ंक्शन, ग्रीन-कुबो संबंध और ग्रीन फ़ंक्शन (कई-निकाय सिद्धांत) देखें।

ये जटिल सिद्धांत विभिन्न सामग्रियों, जैसे पारगम्यता, पारगम्यता (विद्युत चुंबकत्व), विद्युत चालकता इत्यादि की विद्युत प्रतिक्रिया का वर्णन करने वाले संवैधानिक संबंधों के लिए विस्तृत सूत्र प्रदान करते हैं।

विद्युत चुंबकत्व में गणना करने से पहले (यानी मैक्सवेल के मैक्रोस्कोपिक समीकरणों को लागू करने से पहले) विद्युत विस्थापन क्षेत्र D और E और चुंबकीय H-क्षेत्र और H और B के बीच संबंधों को निर्दिष्ट करना आवश्यक है। ये समीकरण लागू क्षेत्रों में बाध्य आवेश और धारा की प्रतिक्रिया को निर्दिष्ट करते हैं और इन्हें संवैधानिक संबंध कहा जाता है।

सहायक क्षेत्रों D और H और E और B क्षेत्रों के बीच संरचनात्मक संबंध का निर्धारण स्वयं सहायक क्षेत्रों की परिभाषा से शुरू होता है:

${\begin{aligned}\mathbf {D} (\mathbf {r} ,t)&=\varepsilon _{0}\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)+\mathbf {P} (\mathbf {r} ,t)\\\mathbf {H} (\mathbf {r} ,t)&={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)-\mathbf {M} (\mathbf {r} ,t),\end{aligned}}$

जहां P ध्रुवीकरण घनत्व क्षेत्र है और M चुंबकीयकरण क्षेत्र है जिसे क्रमशः सूक्ष्म बाध्य आवेशों और बाध्य धारा के संदर्भ में परिभाषित किया गया है। M और P की गणना कैसे करें, यह जानने से पहले निम्नलिखित विशेष स्थितियों की जांच करना उपयोगी है।

चुंबकीय या अपरिचालक सामग्री के बिना

चुंबकीय या अपरिचालक सामग्री की अनुपस्थिति में, संरचनात्मक संबंध सरल हैं:

$\mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E} ,\quad \mathbf {H} =\mathbf {B} /\mu _{0}$

जहाँ E₀ और μ₀ दो सार्वभौमिक स्थिरांक हैं, जिन्हें क्रमशः निर्वात का विद्युत स्थिरांक और मुक्त स्थान का चुंबकीय स्थिरांक कहा जाता है।

समदैशिक रैखिक सामग्री

एक (आइसोट्रोपिक) में) रैखिक सामग्री, जहां P, E के समानुपाती है, और M, B के समानुपाती है, संवैधानिक संबंध भी सीधे हैं। ध्रुवीकरण पी और चुंबकत्व एम के संदर्भ में वे हैं:

$\mathbf {P} =\varepsilon _{0}\chi _{e}\mathbf {E} ,\quad \mathbf {M} =\chi _{m}\mathbf {H} ,$

कहाँ χ_e और χ_m किसी दिए गए पदार्थ की विद्युत संवेदनशीलता और चुंबकीय संवेदनशीलता क्रमशः हैं। डी और एच के संदर्भ में संवैधानिक संबंध हैं:

$\mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E} ,\quad \mathbf {H} =\mathbf {B} /\mu ,$

जहां ε और μ स्थिरांक हैं (जो सामग्री पर निर्भर करते हैं), जिन्हें क्रमशः सामग्री की पारगम्यता और पारगम्यता (विद्युत चुंबकत्व) कहा जाता है। ये निम्न प्रकार से संवेदनशीलताओं से संबंधित हैं:

$\varepsilon /\varepsilon _{0}=\varepsilon _{r}=\chi _{e}+1,\quad \mu /\mu _{0}=\mu _{r}=\chi _{m}+1$

सामान्य मामला

वास्तविक दुनिया की सामग्रियों के लिए, लगभग को छोड़कर, संरचनात्मक संबंध रैखिक नहीं हैं। पहले सिद्धांतों से संवैधानिक संबंधों की गणना में यह निर्धारित करना शामिल है कि किसी दिए गए ई और बी से पी और एम कैसे बनाए जाते हैं। ये संबंध अनुभवजन्य हो सकते हैं (सीधे माप पर आधारित), या सैद्धांतिक (सांख्यिकीय यांत्रिकी, परिवहन घटना (इंजीनियरिंग और भौतिकी) या अन्य उपकरणों पर आधारित) संघनित पदार्थ भौतिकी)। नियोजित विवरण सातत्य यांत्रिकी या ग्रीन-कुबो संबंध हो सकता है, जो जांच के तहत समस्या के लिए आवश्यक स्तर पर निर्भर करता है।

सामान्य तौर पर, संवैधानिक संबंध सामान्यतः पर अभी भी लिखे जा सकते हैं:

$\mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E} ,\quad \mathbf {H} =\mu ^{-1}\mathbf {B}$

लेकिन ε और μ, सामान्य तौर पर, सरल स्थिरांक नहीं हैं, बल्कि प्रकृति में 'ई', 'बी', स्थिति और समय और टेंसोरियल के कार्य हैं। उदाहरण हैं:

• Dispersion and absorption where ε and μ are functions of frequency. (Causality does not permit materials to be nondispersive; see, for example, Kramers–Kronig relations.) Neither do the fields need to be in phase, which leads to ε and μ being complex. This also leads to absorption.
• Nonlinearity where ε and μ are functions of E and B.
• Anisotropy (such as birefringence or dichroism) which occurs when ε and μ are second-rank tensors,
  $$D_{i}=\sum _{j}\varepsilon _{ij}E_{j},\quad B_{i}=\sum _{j}\mu _{ij}H_{j}.$$
• Dependence of P and M on E and B at other locations and times. This could be due to spatial inhomogeneity; for example in a domained structure, heterostructure or a liquid crystal, or most commonly in the situation where there are simply multiple materials occupying different regions of space. Or it could be due to a time varying medium or due to hysteresis. In such cases P and M can be calculated as:
  $${\begin{aligned}\mathbf {P} (\mathbf {r} ,t)&=\varepsilon _{0}\int {\rm {d}}^{3}\mathbf {r} '{\rm {d}}t'\;{\hat {\chi }}_{e}\left(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',t,t';\mathbf {E} \right)\,\mathbf {E} \left(\mathbf {r} ',t'\right)\\\mathbf {M} (\mathbf {r} ,t)&={\frac {1}{\mu _{0}}}\int {\rm {d}}^{3}\mathbf {r} '{\rm {d}}t'\;{\hat {\chi }}_{m}\left(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',t,t';\mathbf {B} \right)\,\mathbf {B} \left(\mathbf {r} ',t'\right),\end{aligned}}$$
  in which the permittivity and permeability functions are replaced by integrals over the more general electric and magnetic susceptibilities. In homogeneous materials, dependence on other locations is known as spatial dispersion.

इन उदाहरणों की भिन्नता के रूप में, सामान्य तौर पर सामग्री द्वि-आइसोट्रोपिक सामग्री होती है जहां डी और बी अतिरिक्त युग्मन स्थिरांक ξ और ζ के माध्यम से ई और एच दोनों पर निर्भर होते हैं:

$\mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E} +\xi \mathbf {H} \,,\quad \mathbf {B} =\mu \mathbf {H} +\zeta \mathbf {E} .$

व्यवहार में, कुछ भौतिक गुणों का विशेष परिस्थितियों में नगण्य प्रभाव पड़ता है, जिससे छोटे प्रभावों की उपेक्षा हो जाती है। उदाहरण के लिए: कम क्षेत्र की ताकत के लिए ऑप्टिकल नॉनलाइनरिटीज़ को उपेक्षित किया जा सकता है; जब आवृत्ति एक संकीर्ण बैंडविड्थ (सिग्नल प्रोसेसिंग) तक सीमित होती है तो सामग्री का फैलाव महत्वहीन होता है; जिस तरंग दैर्ध्य के लिए कोई सामग्री पारदर्शी होती है, उसके लिए सामग्री अवशोषण की उपेक्षा की जा सकती है; और परिमित चालकता वाली धातुओं को अक्सर माइक्रोवेव या लंबी तरंग दैर्ध्य पर अनंत चालकता के साथ उत्तम संवाहक के रूप में अनुमानित किया जाता है (क्षेत्र प्रवेश की शून्य त्वचा गहराई के साथ कठोर अवरोध बनाते हैं)।

कुछ मानव निर्मित सामग्री जैसे मेटामटेरियल्स और फोटोनिक क्रिस्टल को अनुकूलित पारगम्यता और पारगम्यता के लिए डिज़ाइन किया गया है।

संवैधानिक संबंधों की गणना

See also: Computational electromagnetics

किसी सामग्री के संरचनात्मक समीकरणों की सैद्धांतिक गणना सैद्धांतिक संघनित-पदार्थ भौतिकी और सामग्री विज्ञान में एक सामान्य, महत्वपूर्ण और कभी-कभी कठिन कार्य है। सामान्य तौर पर, संवैधानिक समीकरण सैद्धांतिक रूप से यह गणना करके निर्धारित किए जाते हैं कि एक अणु लोरेंत्ज़ बल के माध्यम से स्थानीय क्षेत्रों पर कैसे प्रतिक्रिया करता है। अन्य बलों को भी मॉडल करने की आवश्यकता हो सकती है जैसे कि क्रिस्टल या बंधन बलों में जाली कंपन। सभी बलों को शामिल करने से अणु में परिवर्तन होता है जिसका उपयोग स्थानीय क्षेत्रों के फ़ंक्शन के रूप में पी और एम की गणना करने के लिए किया जाता है।

आस-पास की सामग्री के ध्रुवीकरण और चुंबकत्व द्वारा उत्पन्न क्षेत्रों के कारण स्थानीय क्षेत्र लागू क्षेत्रों से भिन्न होते हैं; एक प्रभाव जिसे मॉडल करने की भी आवश्यकता है। इसके अलावा, वास्तविक सामग्रियां सातत्य यांत्रिकी नहीं हैं; वास्तविक सामग्रियों के स्थानीय क्षेत्र परमाणु पैमाने पर बेतहाशा भिन्न होते हैं। सातत्य सन्निकटन बनाने के लिए फ़ील्ड को उपयुक्त मात्रा में औसत करने की आवश्यकता होती है।

इन सातत्य सन्निकटनों के लिए अक्सर कुछ प्रकार के क्वांटम यांत्रिकी विश्लेषण की आवश्यकता होती है जैसे कि क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत, जैसा कि संघनित पदार्थ भौतिकी पर लागू होता है। उदाहरण के लिए, घनत्व कार्यात्मक सिद्धांत, ग्रीन-क्यूबो संबंध और ग्रीन का कार्य (कई-शरीर सिद्धांत) | ग्रीन का कार्य देखें।

समरूपीकरण विधियों का एक अलग सेट (कांग्लोमरेट (भूविज्ञान) और टुकड़े टुकड़े जैसी सामग्रियों के उपचार में एक परंपरा से विकसित) एक सजातीय प्रभावी माध्यम सन्निकटन द्वारा एक अमानवीय सामग्री के अनुमान पर आधारित है। (असमानता के पैमाने से कहीं अधिक बड़ी तरंग दैर्ध्य वाले उत्तेजनाओं के लिए मान्य)। कई वास्तविक सामग्रियों के सातत्य-अनुमान गुणों का सैद्धांतिक मॉडलिंग अक्सर प्रयोगात्मक माप पर भी निर्भर करता है। उदाहरण के लिए, कम आवृत्तियों पर एक इन्सुलेटर के ε को समानांतर-प्लेट संधारित्र में बनाकर मापा जा सकता है, और ऑप्टिकल-प्रकाश आवृत्तियों पर ε को अक्सर एलिप्सोमेट्री द्वारा मापा जाता है।

पदार्थ के थर्मोइलेक्ट्रिक और विद्युतचुंबकीय गुण

इन संवैधानिक समीकरणों का उपयोग अक्सर क्रिस्टलोग्राफी, ठोस-अवस्था भौतिकी के क्षेत्र में किया जाता है।

Electromagnetic properties of solids

Property/effect	Stimuli/response parameters of system	Constitutive tensor of system	Equation
Hall effect	E, electric field strength (N⋅C−1) J, electric current density (A⋅m−2) H, magnetic field intensity (A⋅m−1)	ρ, electrical resistivity (Ω⋅m)	$E_{k}=\rho _{kij}J_{i}H_{j}$
Direct Piezoelectric Effect	σ, Stress (Pa) P, (dielectric) polarization (C⋅m−2)	d, direct piezoelectric coefficient (C⋅N−1)	$P_{i}=d_{ijk}\sigma _{jk}$
Converse Piezoelectric Effect	ε, Strain (dimensionless) E, electric field strength (N⋅C−1)	d, direct piezoelectric coefficient (C⋅N−1)	$\varepsilon _{ij}=d_{ijk}E_{k}$
Piezomagnetic effect	σ, Stress (Pa) M, magnetization (A⋅m−1)	q, piezomagnetic coefficient (A⋅N−1⋅m)	$M_{i}=q_{ijk}\sigma _{jk}$

Thermoelectric properties of solids

Property/effect	Stimuli/response parameters of system	Constitutive tensor of system	Equation
Pyroelectricity	P, (dielectric) polarization (C⋅m−2) T, temperature (K)	p, pyroelectric coefficient (C⋅m−2⋅K−1)	$\Delta P_{j}=p_{j}\Delta T$
Electrocaloric effect	S, entropy (J⋅K−1) E, electric field strength (N⋅C−1)	p, pyroelectric coefficient (C⋅m−2⋅K−1)	$\Delta S=p_{i}\Delta E_{i}$
Seebeck effect		β, thermopower (V⋅K−1)	$E_{i}=-\beta _{ij}{\frac {\partial T}{\partial x_{j}}}$
Peltier effect	E, electric field strength (N⋅C−1) J, electric current density (A⋅m−2) q, heat flux (W⋅m−2)	Π, Peltier coefficient (W⋅A−1)	$q_{j}=\Pi _{ji}J_{i}$

फोटोनिक्स

अपवर्तक सूचकांक

किसी माध्यम n (आयाम रहित) का (निरपेक्ष) अपवर्तक सूचकांक ज्यामितीय प्रकाशिकी और भौतिक प्रकाशिकी का एक स्वाभाविक रूप से महत्वपूर्ण गुण है जिसे निर्वात c में ल्यूमिनल गति के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है।₀ उस माध्यम में सी:

$n={\frac {c_{0}}{c}}={\sqrt {\frac {\varepsilon \mu }{\varepsilon _{0}\mu _{0}}}}={\sqrt {\varepsilon _{r}\mu _{r}}}$

जहां ε पारगम्यता है और ε है_r माध्यम की सापेक्ष पारगम्यता, इसी प्रकार μ पारगम्यता और μ है_r माध्यम की सापेक्ष पारगम्यता हैं। निर्वात पारगम्यता ε है₀ और निर्वात पारगम्यता μ है₀. . . . सामान्य तौर पर, n (भी ε_r) सम्मिश्र संख्याएँ हैं।

सापेक्ष अपवर्तक सूचकांक को दो अपवर्तक सूचकांकों के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है। निरपेक्ष सामग्री पर लागू होता है, सापेक्ष इंटरफेस की हर संभव जोड़ी पर लागू होता है;

$n_{AB}={\frac {n_{A}}{n_{B}}}$

पदार्थ में प्रकाश की गति

परिभाषा के परिणामस्वरूप, पदार्थ में प्रकाश की गति होती है

$c={\frac {1}{\sqrt {\varepsilon \mu }}}$

वैक्यूम के विशेष मामले के लिए; ε = ε₀ और μ = μ₀,

$c_{0}={\frac {1}{\sqrt {\varepsilon _{0}\mu _{0}}}}$

पीजोऑप्टिक प्रभाव

पीजोऑप्टिक प्रभाव ठोस पदार्थों में तनाव को ढांकता हुआ अभेद्यता ए से संबंधित करता है, जो कि पीजोऑप्टिक गुणांक Π (इकाइयाँ K) नामक चौथे-रैंक टेंसर द्वारा युग्मित होते हैं⁻¹):

$a_{ij}=\Pi _{ijpq}\sigma _{pq}$

परिवहन घटना

परिभाषाएँ

Definitions (thermal properties of matter)

Quantity (common name/s)	(Common) symbol/s	Defining equation	SI units	Dimension
General heat capacity	C, heat capacity of substance	$q=CT$	J⋅K−1	[M][L]2[T]−2[Θ]−1
Linear thermal expansion	L, length of material (m) α, coefficient linear thermal expansion (dimensionless) ε, strain tensor (dimensionless)	${\frac {\partial L}{\partial T}}=\alpha L$ $\varepsilon _{ij}=\alpha _{ij}\Delta T$	K−1	[Θ]−1
Volumetric thermal expansion	β, γ V, volume of object (m3) p, constant pressure of surroundings	$\left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)_{p}=\gamma V$	K−1	[Θ]−1
Thermal conductivity	κ, K, λ, A, surface cross section of material (m2) P, thermal current/power through material (W) ∇T, temperature gradient in material (K⋅m−1)	$\lambda =-{\frac {P}{\mathbf {A} \cdot \nabla T}}$	W⋅m−1⋅K−1	[M][L][T]−3[Θ]−1
Thermal conductance	U	$U={\frac {\lambda }{\delta x}}$	W⋅m−2⋅K−1	[M][T]−3[Θ]−1
Thermal resistance	R Δx, displacement of heat transfer (m)	$R={\frac {1}{U}}={\frac {\Delta x}{\lambda }}$	m2⋅K⋅W−1	[M]−1[L][T]3[Θ]

Definitions (electrical/magnetic properties of matter)

Quantity (common name/s)	(Common) symbol/s	Defining equation	SI units	Dimension
Electrical resistance	R	$R={\frac {V}{I}}$	Ω, V⋅A−1 = J⋅s⋅C−2	[M][L]2[T]−3[I]−2
Resistivity	ρ	$\rho ={\frac {RA}{l}}$	Ω⋅m	[M]2[L]2[T]−3[I]−2
Resistivity temperature coefficient, linear temperature dependence	α	$\rho -\rho _{0}=\rho _{0}\alpha (T-T_{0})$	K−1	[Θ]−1
Electrical conductance	G	$G={\frac {1}{R}}$	S = Ω−1	[M]−1[L]−2[T]3[I]2
Electrical conductivity	σ	$\sigma ={\frac {1}{\rho }}$	Ω−1⋅m−1	[M]−2[L]−2[T]3[I]2
Magnetic reluctance	R, Rm, ${\mathcal {R}}$	$R_{\text{m}}={\frac {\mathcal {M}}{\Phi _{B}}}$	A⋅Wb−1 = H−1	[M]−1[L]−2[T]2
Magnetic permeance	P, Pm, Λ, ${\mathcal {P}}$	$\Lambda ={\frac {1}{R_{\text{m}}}}$	Wb⋅A−1 = H	[M][L]2[T]−2

निश्चित कानून

ऐसे कई कानून हैं जो पदार्थ के परिवहन या उसके गुणों का लगभग समान तरीके से वर्णन करते हैं। हर मामले में, शब्दों में वे पढ़ते हैं:

फ्लक्स (घनत्व) एक ढाल के समानुपाती होता है, आनुपातिकता का स्थिरांक सामग्री की विशेषता है।

सामान्य तौर पर सामग्री की दिशात्मक निर्भरता को ध्यान में रखते हुए स्थिरांक को दूसरी रैंक के टेंसर द्वारा प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए।

Property/effect	Nomenclature	Equation
Fick's law of diffusion, defines diffusion coefficient D	D, mass diffusion coefficient (m2⋅s−1) J, diffusion flux of substance (mol⋅m−2⋅s−1) ∂C/∂x, (1d)concentration gradient of substance (mol⋅dm−4)	$J_{i}=-D_{ij}{\frac {\partial C}{\partial x_{j}}}$
Darcy's law for fluid flow in porous media, defines permeability κ	κ, permeability of medium (m2) μ, fluid viscosity (Pa⋅s) q, discharge flux of substance (m⋅s−1) ∂P/∂x, (1d) pressure gradient of system (Pa⋅m−1)	$q_{j}=-{\frac {\kappa }{\mu }}{\frac {\partial P}{\partial x_{j}}}$
Ohm's law of electric conduction, defines electric conductivity (and hence resistivity and resistance)	V, potential difference in material (V) I, electric current through material (A) R, resistance of material (Ω) ∂V/∂x, potential gradient (electric field) through material (V⋅m−1) J, electric current density through material (A⋅m−2) σ, electric conductivity of material (Ω−1⋅m−1) ρ, electrical resistivity of material (Ω⋅m)	Simplest form is: $V=IR$ More general forms are: ${\frac {\partial V}{\partial x_{j}}}=\rho _{ji}J_{i}\,\rightleftharpoons \,J_{i}=\sigma _{ij}{\frac {\partial V}{\partial x_{j}}}$
Fourier's law of thermal conduction, defines thermal conductivity λ	λ, thermal conductivity of material (W⋅m−1⋅K−1 ) q, heat flux through material (W⋅m−2) ∂T/∂x, temperature gradient in material (K⋅m−1)	$q_{i}=-\lambda _{ij}{\frac {\partial T}{\partial x_{j}}}$
Stefan–Boltzmann law of black-body radiation, defines emmisivity ε	I, radiant intensity (W⋅m−2) σ, Stefan–Boltzmann constant (W⋅m−2⋅K−4) Tsys, temperature of radiating system (K) Text, temperature of external surroundings (K) ε, emissivity (dimensionless)	For a single radiator: $I=\varepsilon \sigma T^{4}$ For a temperature difference $I=\varepsilon \sigma \left(T_{\text{ext}}^{4}-T_{\text{sys}}^{4}\right)$ 0 ≤ ε ≤ 1; 0 for perfect reflector, 1 for perfect absorber (true black body)

यह भी देखें

• शासकीय समीकरण
• भौतिक वस्तुनिष्ठता का सिद्धांत
• रियोलॉजी