विनाशक (रिंग सिद्धांत)

गणित में, रिंग के ऊपर मापांक (गणित) के उपसमुच्चय एस का विनाशक रिंग के तत्वों द्वारा गठित आदर्श (रिंग सिद्धांत) होता है जो एस के प्रत्येक तत्व से गुणा करने पर सदैव शून्य देता है।

अभिन्न डोमेन पर, मापांक जिसमें गैर-शून्य विनाशक होता है वह मरोड़ मापांक होता है, और अंतिम रूप से उत्पन्न मापांक मरोड़ मापांक में गैर-शून्य विनाशक होता है।

उपरोक्त परिभाषा नॉनकम्यूटेटिव रिंग के स्थिति में भी क्रियान्वित होती है, जहां बाएं मापांक का बायां संहारक बायां आदर्श है, और दाएं मापांक का दायां-विनाशक दायां आदर्श है।

परिभाषाएँ

मान लीजिए कि R रिंग (गणित) है, और मान लीजिए कि M बायाँ R-मापांक (गणित) है। एम का खाली समुच्चय | गैर-रिक्त उपसमुच्चय एस चुनें। एस का 'विनाशकारी', एन को दर्शाया गया है_R(S), R में सभी तत्वों r का समुच्चय इस प्रकार है कि, S में सभी s के लिए, rs = 0. समुच्चय अंकन में,

$\mathrm {Ann} _{R}(S)=\{r\in R\mid s\in S$ तात्पर्य $rs=0\}$

यह R के सभी तत्वों का समुच्चय है जो S को नष्ट कर देता है (वे तत्व जिनके लिए S मरोड़ समुच्चय है)। संशोधन के पश्चात्, सही मापांक के उपसमुच्चय का भी उपयोग किया जा सकता हैsr = 0 परिभाषा में.

किसी तत्व x का संहारक सामान्यतः Ann लिखा जाता है_R(x) ऐन के स्थान पर_R({एक्स})। यदि रिंग आर को संदर्भ से समझा जा सकता है, तब सबस्क्रिप्ट आर को छोड़ा जा सकता है।

चूँकि R अपने आप में मापांक है, S को स्वयं R का उपसमुच्चय माना जा सकता है, और चूँकि R दाएँ और बाएँ दोनों R मापांक है, इसलिए बाएँ या दाएँ पक्ष को इंगित करने के लिए अंकन को थोड़ा संशोधित किया जाना चाहिए। सामान्यतः $\ell .\!\mathrm {Ann} _{R}(S)\,$ और $r.\!\mathrm {Ann} _{R}(S)\,$ या यदि आवश्यक हो, तब बाएँ और दाएँ विनाशकों को भिन्न करने के लिए कुछ समान सबस्क्रिप्ट योजना का उपयोग किया जाता है।

यदि एम आर-मापांक है और Ann_R(M) = 0, तब M को 'वफादार मापांक' कहा जाता है।

गुण

यदि S बाएँ R मापांक M का उपसमुच्चय है, तब Ann(S) बाएँ आदर्श (रिंग सिद्धांत)#R की परिभाषाएँ है। यदि S, M का मापांक_(गणित)#सबमापांक_और_समरूपता है, तब ऐन_R(S) दोतरफा आदर्श भी है: (ac)s = a(cs) = 0, जिससे कि cs, S का अन्य तत्व है। यदि S, M का उपसमुच्चय है और N, S द्वारा उत्पन्न M का उपमापांक है, तब सामान्यतः ऐन_R(एन) ऐन का उपसमुच्चय है_R(एस), किन्तु वे आवश्यक रूप से समान नहीं हैं। यदि R क्रमविनिमेय वलय है, तब समानता कायम रहती है।

एम को आर/एन के रूप में भी देखा जा सकता है_R(एम)-क्रिया का उपयोग करने वाला मापांक ${\overline {r}}m:=rm\,$. संयोग से, इस प्रकार से R मापांक को R/I मापांक में बनाना सदैव संभव नहीं होता है, किन्तु यदि आदर्श I, M के विनाशक का उपसमुच्चय है, तब यह क्रिया अच्छी प्रकार से परिभाषित है। आर/एन के रूप में माना जाता है_R(एम)-मापांक, एम स्वचालित रूप से वफादार मापांक है।

क्रमविनिमेय वलय के लिए

इस पूरे अनुभाग में, आइए $R$ क्रमविनिमेय वलय बनें और $M$ परिमित रूप से उत्पन्न मापांक (संक्षेप में, परिमित) $R$-मापांक।

समर्थन से संबंध

याद रखें कि मापांक के समर्थन को इस प्रकार परिभाषित किया गया है

$\operatorname {Supp} M=\{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} R\mid M_{\mathfrak {p}}\neq 0\}.$

फिर, जब मापांक अंतिम रूप से उत्पन्न होता है, तब संबंध होता है

$V(\operatorname {Ann} _{R}(M))=\operatorname {Supp} M$,

कहाँ $V(\cdot )$ उपसमुच्चय युक्त अभाज्य आदर्शों का समुच्चय है।

संक्षिप्त त्रुटिहीन क्रम

मापांक के संक्षिप्त त्रुटिहीन अनुक्रम को देखते हुए,

$0\to M'\to M\to M''\to 0,$

समर्थन संपत्ति

$\operatorname {Supp} M=\operatorname {Supp} M'\cup \operatorname {Supp} M'',$

साथ ही संहारकर्ता से संबंध का तात्पर्य है

$V(\operatorname {Ann} _{R}(M))=V(\operatorname {Ann} _{R}(M'))\cup V(\operatorname {Ann} _{R}(M'')).$

अधिक विशेष रूप से, हमारे मध्य संबंध हैं

$\operatorname {Ann} _{R}(M')\cap \operatorname {Ann} _{R}(M'')\supseteq \operatorname {Ann} _{R}(M)\supseteq \operatorname {Ann} _{R}(M')\operatorname {Ann} _{R}(M'').$

यदि अनुक्रम विभाजित हो जाता है तब बाईं ओर की असमानता सदैव समानता होती है। वास्तव में यह मापांक के मापांक के मनमाने प्रत्यक्ष योग के लिए क्रियान्वित होता है

$\operatorname {Ann} _{R}\left(\bigoplus _{i\in I}M_{i}\right)=\bigcap _{i\in I}\operatorname {Ann} _{R}(M_{i}).$

भागफल मापांक और संहारक

आदर्श दिया $I\subseteq R$ और जाने $M$ परिमित मापांक हो, तब संबंध है

${\text{Supp}}(M/IM)=\operatorname {Supp} M\cap V(I)$

समर्थन पर. सहारे के संबंध का प्रयोग करने से यह संहारक के साथ संबंध बताता है

$V({\text{Ann}}_{R}(M/IM))=V({\text{Ann}}_{R}(M))\cap V(I).$

उदाहरण

पूर्णांकों पर

ऊपर $\mathbb {Z}$ किसी भी अंतिम रूप से उत्पन्न मापांक को एबेलियन समुच्चयों के मौलिक प्रमेय से उसके मरोड़ वाले भाग के साथ उसके मुक्त भाग के प्रत्यक्ष योग के रूप में पूर्ण प्रकार से वर्गीकृत किया गया है। फिर, परिमित मापांक का विनाशक केवल गैर-तुच्छ है यदि यह पूर्ण प्रकार से मरोड़ है। यह है जिससे कि

${\text{Ann}}_{\mathbb {Z} }(\mathbb {Z} ^{\oplus k})=\{0\}=(0)$

चूंकि एकमात्र तत्व प्रत्येक को मार रहा है $\mathbb {Z}$ है $0$. उदाहरण के लिए, का संहारक $\mathbb {Z} /2\oplus \mathbb {Z} /3$ है

${\text{Ann}}_{\mathbb {Z} }(\mathbb {Z} /2\oplus \mathbb {Z} /3)=(6)=({\text{lcm}}(2,3)),$

द्वारा उत्पन्न आदर्श $(6)$. वास्तव में मरोड़ मापांक का विनाशक

$M\cong \bigoplus _{i=1}^{n}(\mathbb {Z} /a_{i})^{\oplus k_{i}}$

उनके लघुत्तम समापवर्त्य से उत्पन्न आदर्श के समरूपी है, $(\operatorname {lcm} (a_{1},\ldots ,a_{n}))$. इससे पता चलता है कि संहारकों को आसानी से पूर्णांकों में वर्गीकृत किया जा सकता है।

क्रमविनिमेय वलय के ऊपर R

वास्तव में, ऐसी ही गणना है जो क्रमविनिमेय वलय पर किसी भी परिमित मापांक के लिए की जा सकती है $R$. याद रखें कि परिमितता की परिभाषा $M$ तात्पर्य यह है कि सही-त्रुटिहीन अनुक्रम उपस्तिथ है, जिसे प्रेजेंटेशन कहा जाता है

$R^{\oplus l}\xrightarrow {\phi } R^{\oplus k}\to M\to 0$

कहाँ $\phi$ में है ${\text{Mat}}_{k,l}(R)$. लिखना $\phi$ स्पष्ट रूप से आव्युह (गणित) के रूप में इसे देता है

$\phi ={\begin{bmatrix}\phi _{1,1}&\cdots &\phi _{1,n}\\\vdots &&\vdots \\\phi _{n,1}&\cdots &\phi _{n,n}\end{bmatrix}}$

इस प्रकार $M$ प्रत्यक्ष योग अपघटन है

$M=\bigoplus _{i=1}^{k}{\frac {R}{(\phi _{i,1}(1),\ldots ,\phi _{i,n}(1))}}$

यदि हम इनमें से प्रत्येक आदर्श को इस प्रकार लिखें

$I_{i}=(\phi _{i,1}(1),\ldots ,\phi _{i,n}(1))$

फिर आदर्श $I$ द्वारा दिए गए

$V(I)=\bigcup _{i=1}^{n}V(I_{i})$

संहारक प्रस्तुत करता है.

k[x,y] से अधिक

क्रमविनिमेय वलय के ऊपर $k[x,y]$ क्षेत्र के लिए (गणित) $k$, मापांक का विनाशक

$M={\frac {k[x,y]}{(x^{2}-y)}}\oplus {\frac {k[x,y]}{(y-3)}}$

आदर्श द्वारा दिया जाता है

${\text{Ann}}_{k[x,y]}(M)=((x^{2}-y)(y-3)).$

संहारक आदर्शों पर श्रृंखला की स्थितियाँ

स्वरूप के आदर्शों की जाली (क्रम)। $\ell .\!\mathrm {Ann} _{R}(S)$ जहां S, R का उपसमुच्चय है, जब आंशिक रूप से उपसमुच्चय द्वारा क्रमबद्ध किया जाता है, तब इसमें पूर्ण जाली सम्मिलित होती है। उन छल्लों का अध्ययन करना रोचक है जिनके लिए यह जाली (या इसका दायां समकक्ष) आरोही श्रृंखला स्थिति या अवरोही श्रृंखला स्थिति को संतुष्ट करता है।

आर के बाएं विनाशक आदर्शों की जाली को निरूपित करें ${\mathcal {LA}}\,$ और आर के सही विनाशक आदर्शों की जाली ${\mathcal {RA}}\,$. ह ज्ञात है कि ${\mathcal {LA}}\,$ ए.सी.सी. को संतुष्ट करता है यदि और केवल यदि ${\mathcal {RA}}\,$ डी.सी.सी. को संतुष्ट करता है, और सममित रूप से ${\mathcal {RA}}\,$ ए.सी.सी. को संतुष्ट करता है यदि और केवल यदि ${\mathcal {LA}}\,$ डी.सी.सी. को संतुष्ट करता है यदि किसी भी जाली में इनमें से कोई भी श्रृंखला स्थिति है, तब आर के पास इडेम्पोटेंट (रिंग सिद्धांत) का कोई अनंत ऑर्थोगोनल समुच्चय नहीं है।

यदि R वलय है जिसके लिए ${\mathcal {LA}}\,$ ए.सी.सी. को संतुष्ट करता है और _RR में मापांक का परिमित यूनिफ़ॉर्म मापांक # यूनिफ़ॉर्म आयाम होता है, तब R को लेफ्ट गोल्डी अंगूठी कहा जाता है।

क्रमविनिमेय वलय के लिए श्रेणी-सैद्धांतिक विवरण

जब R क्रमविनिमेय है और M R-मापांक है, तब हम ऐन का वर्णन कर सकते हैं_R(एम) एक्शन मानचित्र के कर्नेल (बीजगणित) के रूप में R → End_R(M) पहचान मानचित्र के एडजंक्शन (श्रेणी सिद्धांत) द्वारा निर्धारित किया जाता है M → M होम-टेंसर एडजंक्शन के साथ।

अधिक सामान्यतः, मापांक का द्विरेखीय मानचित्र दिया गया है $F\colon M\times N\to P$, उपसमुच्चय का संहारक $S\subseteq M$ में सभी तत्वों का समुच्चय है $N$ जो सर्वनाश कर दे $S$:

$\operatorname {Ann} (S):=\{n\in N\mid \forall s\in S:F(s,n)=0\}.$

इसके विपरीत, दिया गया $T\subseteq N$, कोई संहारक को इसके उपसमुच्चय के रूप में परिभाषित कर सकता है $M$.

संहारक उपसमुच्चय के मध्य गैलोइस कनेक्शन देता है $M$ और $N$, और संबंधित बंद करने वाला ऑपरेटर स्पैन से अधिक शक्तिशाली है। विशेष रूप से:

• विनाशक सबमापांक हैं
• $\operatorname {Span} S\leq \operatorname {Ann} (\operatorname {Ann} (S))$
• $\operatorname {Ann} (\operatorname {Ann} (\operatorname {Ann} (S)))=\operatorname {Ann} (S)$

महत्वपूर्ण विशेष मामला सदिश स्थान पर गैर-अपक्षयी रूप की उपस्थिति है, विशेष रूप से आंतरिक उत्पाद: फिर मानचित्र से जुड़ा विनाशक $V\times V\to K$ ऑर्थोगोनल पूरक कहा जाता है।

छल्लों के अन्य गुणों से संबंध

नोथेरियन अंगूठी कम्यूटेटिव रिंग आर पर मापांक एम को देखते हुए, आर का प्रमुख आदर्श जो एम के गैर-शून्य तत्व का विनाशक है, उसे एम का संबद्ध प्राइम कहा जाता है।

• एनिहिलेटर्स का उपयोग लेफ्ट रिकार्ट रिंग्स और बेयर रिंग्स को परिभाषित करने के लिए किया जाता है।
• (बाएं) शून्य भाजक का समुच्चय D_S S को इस प्रकार लिखा जा सकता है

$D_{S}=\bigcup _{x\in S\setminus \{0\}}{\mathrm {Ann} _{R}(x)}.$

(यहां हम शून्य को शून्य भाजक मानते हैं।)

विशेष रूप से डी_Rआर के (बाएं) शून्य विभाजक का समुच्चय है जो एस = आर लेता है और आर खुद पर बाएं आर-मापांक के रूप में कार्य करता है।

• जब R क्रमविनिमेय और नोथेरियन वलय है, तब समुच्चय $D_{R}$ आर-मापांक आर के संबंधित अभाज्यों के संघ (समुच्चय सिद्धांत) के बिल्कुल सामान्तर है।

यह भी देखें

• सामाजिक (गणित)
• मापांक का समर्थन
• फाल्टिंग्स का विनाशक प्रमेय

संदर्भ

• Anderson, Frank W.; Fuller, Kent R. (1992), Rings and categories of modules, Graduate Texts in Mathematics, vol. 13 (2 ed.), New York: Springer-Verlag, pp. x+376, doi:10.1007/978-1-4612-4418-9, ISBN 0-387-97845-3, MR 1245487
• Israel Nathan Herstein (1968) Noncommutative Rings, Carus Mathematical Monographs #15, Mathematical Association of America, page 3.
• Lam, Tsit Yuen (1999), Lectures on modules and rings, Graduate Texts in Mathematics No. 189, vol. 189, Berlin, New York: Springer-Verlag, pp. 228–232, doi:10.1007/978-1-4612-0525-8, ISBN 978-0-387-98428-5, MR 1653294
• Richard S. Pierce. Associative algebras. Graduate texts in mathematics, Vol. 88, Springer-Verlag, 1982, ISBN 978-0-387-90693-5