व्युत्क्रम फलन प्रमेय

गणित में, विशेष रूप से विभेदक कैलकुलस, व्युत्क्रम फ़ंक्शन प्रमेय एक फ़ंक्शन (गणित) के लिए एक फ़ंक्शन के डोमेन में एक बिंदु के पड़ोस (गणित) में व्युत्क्रमणीय फ़ंक्शन होने की आवश्यकता और पर्याप्तता देता है: अर्थात्, इसका व्युत्पन्न है बिंदु पर निरंतर और गैर-शून्य। प्रमेय व्युत्क्रम फलन के अवकलज के लिए एक सूत्र भी देता है। बहुपरिवर्तनीय कलन में, इस प्रमेय को किसी भी निरंतर भिन्न, वेक्टर-मूल्यवान फ़ंक्शन के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है जिसका जैकोबियन निर्धारक अपने डोमेन में एक बिंदु पर गैर-शून्य है, जो व्युत्क्रम के जैकोबियन मैट्रिक्स के लिए एक सूत्र देता है। जटिल संख्याओं के होलोमोर्फिक फ़ंक्शन के लिए, कई गुना के बीच विभेदित मानचित्रों के लिए, बानाच रिक्त स्थान के बीच विभेदित फ़ंक्शंस के लिए, इत्यादि के लिए व्युत्क्रम फ़ंक्शन प्रमेय के संस्करण भी हैं।

प्रमेय को पहली बार एमिल पिकार्ड और एडौर्ड गौरसैट द्वारा एक पुनरावृत्त योजना का उपयोग करके स्थापित किया गया था: मूल विचार संकुचन मानचित्रण प्रमेय का उपयोग करके एक निश्चित बिंदु प्रमेय को साबित करना है।

कथन

एकल चर (गणित) के कार्यों के लिए, प्रमेय कहता है कि यदि $f$ बिंदु पर गैर-शून्य व्युत्पन्न के साथ एक निरंतर भिन्न कार्य है $a$; तब $f$ के पड़ोस में इंजेक्शन (या छवि पर विशेषण) है $a$, व्युत्क्रम निरंतर निकट अवकलनीय है $b=f(a)$, और व्युत्क्रम फ़ंक्शन का व्युत्पन्न $b$ के व्युत्पन्न का व्युत्क्रम है $f$ पर $a$:

$${\bigl (}f^{-1}{\bigr )}'(b)={\frac {1}{f'(a)}}={\frac {1}{f'(f^{-1}(b))}}.$$

ऐसा हो सकता है कि कोई function $f$ एक बिंदु के निकट इंजेक्शन हो सकता है $a$ जबकि $f'(a)=0$. एक उदाहरण है $f(x)=(x-a)^{3}$. वास्तव में, ऐसे फ़ंक्शन के लिए, व्युत्क्रम को अलग नहीं किया जा सकता है $b=f(a)$, यदि के बाद से $f^{-1}$ पर भिन्न थे $b$, फिर, श्रृंखला नियम द्वारा, $1=(f^{-1}\circ f)'(a)=(f^{-1})'(b)f'(a)$, जो ये दर्शाता हे $f'(a)\neq 0$. (होलोमोर्फिक फ़ंक्शन के लिए स्थिति अलग है; नीचे #होलोमोर्फिक व्युत्क्रम फ़ंक्शन प्रमेय देखें।)

एक से अधिक चर वाले कार्यों के लिए, प्रमेय कहता है कि यदि f एक खुले उपसमुच्चय से निरंतर भिन्न होने वाला फ़ंक्शन है $A$ का $\mathbb {R} ^{n}$ में $\mathbb {R} ^{n}$, और कुल व्युत्पन्न $f'(a)$ एक बिंदु पर उलटा है a (अर्थात, जैकोबियन मैट्रिक्स का निर्धारक और का निर्धारक f पर a गैर-शून्य है), तो पड़ोस मौजूद हैं $U$ का $a$ में $A$ और $V$ का $b=f(a)$ ऐसा है कि $f(U)\subset V$ और $f:U\to V$ वस्तुनिष्ठ है.लेखन $f=(f_{1},\ldots ,f_{n})$, इसका मतलब यह है कि की प्रणाली n समीकरण $y_{i}=f_{i}(x_{1},\dots ,x_{n})$ के लिए एक अनोखा समाधान है $x_{1},\dots ,x_{n}$ के अनुसार $y_{1},\dots ,y_{n}$ कब $x\in U,y\in V$. ध्यान दें कि प्रमेय यह नहीं कहता है $f$ जहां छवि पर विशेषण है $f'$ उलटा है लेकिन यह स्थानीय रूप से विशेषण है $f'$ उलटा है.

इसके अलावा, प्रमेय कहता है कि व्युत्क्रम फलन $f^{-1}:V\to U$ निरंतर अवकलनीय है, और इसका व्युत्पन्न है $b=f(a)$ का व्युत्क्रम मानचित्र है $f'(a)$; अर्थात।,

$(f^{-1})'(b)=f'(a)^{-1}.$

दूसरे शब्दों में, यदि $Jf^{-1}(b),Jf(a)$ जैकोबियन मैट्रिक्स का प्रतिनिधित्व कर रहे हैं $(f^{-1})'(b),f'(a)$, इसका मतलब यह है:

$Jf^{-1}(b)=Jf(a)^{-1}.$

प्रमेय का कठिन हिस्सा अस्तित्व और भिन्नता है $f^{-1}$. इसे मानते हुए, व्युत्क्रम व्युत्पन्न सूत्र लागू श्रृंखला नियम का अनुसरण करता है $f^{-1}\circ f=I$. (वास्तव में, $I=(f^{-1}\circ f)^{'}(a)=(f^{-1})'(b)\circ f'(a).$) चूँकि व्युत्क्रम लेना अपरिमित रूप से भिन्न है, व्युत्क्रम के अवकलज का सूत्र दर्शाता है कि यदि $f$ लगातार है $k$ समय अवकलनीय, बिंदु पर व्युत्क्रमणीय व्युत्पन्न के साथ a, तो व्युत्क्रम भी सतत् है $k$ समय अलग-अलग। यहाँ $k$ एक धनात्मक पूर्णांक है या $\infty$.

व्युत्क्रम फलन प्रमेय के दो प्रकार हैं।एक निरंतर भिन्न मानचित्र दिया गया $f:U\to \mathbb {R} ^{m}$, पहला है

• व्युत्पन्न $f'(a)$ विशेषण है (अर्थात, इसका प्रतिनिधित्व करने वाले जैकोबियन मैट्रिक्स में रैंक है $m$) यदि और केवल यदि कोई निरंतर भिन्न कार्य मौजूद है $g$ एक पड़ोस पर $V$ का $b=f(a)$ ऐसा $f\circ g=I$ पास में $b$,

और दूसरा है

• व्युत्पन्न $f'(a)$ इंजेक्टिव है यदि और केवल यदि कोई निरंतर भिन्न कार्य मौजूद है $g$ एक पड़ोस पर $V$ का $b=f(a)$ ऐसा $g\circ f=I$ पास में $a$.

पहले मामले में (कब $f'(a)$ विशेषण है), बात $b=f(a)$ नियमित मान कहलाता है. तब से $m=\dim \ker(f'(a))+\dim \operatorname {im} (f'(a))$, पहला मामला कहने के बराबर है $b=f(a)$ क्रिटिकल_पॉइंट_(गणित)#क्रिटिकल_पॉइंट_ऑफ_ए_डिफरेंशियल_मैप की छवि में नहीं है $a$ (एक महत्वपूर्ण बिंदु एक बिंदु है $a$ ऐसे कि की गिरी $f'(a)$ शून्येतर है)। पहले मामले में कथन विसर्जन प्रमेय का एक विशेष मामला है।

ये प्रकार व्युत्क्रम फलन प्रमेय के पुनर्कथन हैं। दरअसल, पहले मामले में जब $f'(a)$ विशेषण है, हम एक (विशेषण) रेखीय मानचित्र पा सकते हैं $T$ ऐसा है कि $f'(a)\circ T=I$. परिभाषित करना $h(x)=a+Tx$ ताकि हमारे पास:

$(f\circ h)'(0)=f'(a)\circ T=I.$

इस प्रकार, व्युत्क्रम फलन प्रमेय द्वारा, $f\circ h$ व्युत्क्रम निकट है $0$; अर्थात।, $f\circ h\circ (f\circ h)^{-1}=I$ पास में $b$. दूसरा मामला ($f'(a)$ injective है) इसी तरह से देखा जाता है।

उदाहरण

वेक्टर-वैल्यू फ़ंक्शन पर विचार करें $F:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}\!$ द्वारा परिभाषित:

$F(x,y)={\begin{bmatrix}{e^{x}\cos y}\\{e^{x}\sin y}\\\end{bmatrix}}.$

जैकोबियन मैट्रिक्स है:

$J_{F}(x,y)={\begin{bmatrix}{e^{x}\cos y}&{-e^{x}\sin y}\\{e^{x}\sin y}&{e^{x}\cos y}\\\end{bmatrix}}$

जैकोबियन निर्धारक के साथ:

$\det J_{F}(x,y)=e^{2x}\cos ^{2}y+e^{2x}\sin ^{2}y=e^{2x}.\,\!$

निर्धारक $e^{2x}\!$ सर्वत्र शून्येतर है। इस प्रकार प्रमेय प्रत्येक बिंदु के लिए इसकी गारंटी देता है p में $\mathbb {R} ^{2}\!$, वहाँ एक पड़ोस मौजूद है p जिस पर F उलटा है. इसका यह अर्थ नहीं है F अपने संपूर्ण डोमेन पर उलटा है: इस मामले में F इंजेक्शन भी नहीं है क्योंकि यह आवधिक है: $F(x,y)=F(x,y+2\pi )\!$.

प्रति-उदाहरण

कार्यक्रम $f(x)=x+2x^{2}\sin({\tfrac {1}{x}})$ रेखा के पास एक द्विघात लिफाफे के अंदर घिरा हुआ है $y=x$, इसलिए $f'(0)=1$. फिर भी, इसमें स्थानीय अधिकतम/न्यूनतम अंक जमा हो रहे हैं $x=0$, इसलिए यह किसी भी आसपास के अंतराल पर एक-से-एक नहीं है।

यदि कोई इस धारणा को छोड़ देता है कि व्युत्पन्न निरंतर है, तो फ़ंक्शन को अब व्युत्क्रमणीय होने की आवश्यकता नहीं है। उदाहरण के लिए $f(x)=x+2x^{2}\sin({\tfrac {1}{x}})$ और $f(0)=0$ असतत व्युत्पन्न है

$f'\!(x)=1-2\cos({\tfrac {1}{x}})+4x\sin({\tfrac {1}{x}})$ और $f'\!(0)=1$, जो मनमाने ढंग से करीब गायब हो जाता है $x=0$. ये महत्वपूर्ण बिंदु स्थानीय अधिकतम/न्यूनतम बिंदु हैं $f$, इसलिए $f$ किसी भी अंतराल पर एक-से-एक (और उलटा नहीं) नहीं है $x=0$. सहज रूप से, ढलान $f'\!(0)=1$ आस-पास के बिंदुओं तक नहीं फैलता है, जहां ढलान कमजोर लेकिन तीव्र दोलन द्वारा नियंत्रित होते हैं।

प्रमाण की विधियाँ

एक महत्वपूर्ण परिणाम के रूप में, व्युत्क्रम फलन प्रमेय को कई प्रमाण दिए गए हैं। पाठ्यपुस्तकों में सबसे अधिक देखा जाने वाला प्रमाण संकुचन मानचित्रण सिद्धांत पर निर्भर करता है, जिसे बानाच निश्चित-बिंदु प्रमेय के रूप में भी जाना जाता है (जिसे साधारण अंतर समीकरणों के समाधान के पिकार्ड-लिंडेलोफ़ प्रमेय के प्रमाण में महत्वपूर्ण चरण के रूप में भी इस्तेमाल किया जा सकता है)। चूंकि निश्चित बिंदु प्रमेय अनंत-आयामी (बैनाच स्पेस) सेटिंग्स में लागू होता है, यह प्रमाण व्युत्क्रम फ़ंक्शन प्रमेय के अनंत-आयामी संस्करण को तुरंत सामान्यीकृत करता है (व्युत्क्रम फलन प्रमेय#सामान्यीकरण नीचे देखें)।

परिमित आयामों में एक वैकल्पिक प्रमाण एक कॉम्पैक्ट सेट पर कार्यों के लिए चरम मूल्य प्रमेय पर निर्भर करता है।

फिर भी एक अन्य प्रमाण न्यूटन की विधि का उपयोग करता है, जिसमें प्रमेय की एक प्रभावी विधि प्रदान करने का लाभ होता है: फ़ंक्शन के व्युत्पन्न पर सीमाएं पड़ोस के आकार का अनुमान लगाती हैं जिस पर फ़ंक्शन उलटा होता है।

क्रमिक सन्निकटन का उपयोग करते हुए एक प्रमाण

अस्तित्व को सिद्ध करने के लिए, एक एफ़िन परिवर्तन के बाद यह माना जा सकता है कि $f(0)=0$ और $f^{\prime }(0)=I$, ताकि $a=b=0$.

माध्य मान प्रमेय द्वारा#वेक्टर-मूल्यवान कार्यों के लिए माध्य मान प्रमेय|किसी फ़ंक्शन के लिए वेक्टर-मूल्यवान कार्यों के लिए माध्य मान प्रमेय $u:[0,1]\to \mathbb {R} ^{m}$, ${\textstyle \|u(1)-u(0)\|\leq \sup _{0\leq t\leq 1}\|u^{\prime }(t)\|}$. सेटिंग $u(t)=f(x+t(x^{\prime }-x))-x-t(x^{\prime }-x)$, यह इस प्रकार है कि

$\|f(x)-f(x^{\prime })-x+x^{\prime }\|\leq \|x-x^{\prime }\|\,\sup _{0\leq t\leq 1}\|f^{\prime }(x+t(x^{\prime }-x))-I\|.$

अब चुनें $\delta >0$ ताकि ${\textstyle \|f'(x)-I\|<{1 \over 2}}$ के लिए $\|x\|<\delta$. लगता है कि $\|y\|<\delta /2$ और परिभाषित करें $x_{n}$ आगमनात्मक रूप से $x_{0}=0$ और $x_{n+1}=x_{n}+y-f(x_{n})$. धारणाएँ दर्शाती हैं कि यदि $\|x\|,\,\,\|x^{\prime }\|<\delta$ तब

$\|f(x)-f(x^{\prime })-x+x^{\prime }\|\leq \|x-x^{\prime }\|/2$.

विशेष रूप से $f(x)=f(x^{\prime })$ तात्पर्य $x=x^{\prime }$. आगमनात्मक योजना में $\|x_{n}\|<\delta$ और $\|x_{n+1}-x_{n}\|<\delta /2^{n}$. इस प्रकार $(x_{n})$ एक कॉची अनुक्रम है जो प्रवृत्त होता है $x$. निर्माण द्वारा $f(x)=y$ आवश्यकता अनुसार।

उसे जांचने के लिए $g=f^{-1}$ सी है¹, लिखो $g(y+k)=x+h$ ताकि $f(x+h)=f(x)+k$. उपरोक्त असमानताओं से, $\|h-k\|<\|h\|/2$ ताकि $\|h\|/2<\|k\|<2\|h\|$. दूसरी ओर यदि $A=f^{\prime }(x)$, तब $\|A-I\|<1/2$. के लिए ज्यामितीय श्रृंखला का उपयोग करना $B=I-A$, यह इस प्रकार है कि $\|A^{-1}\|<2$. परन्तु फिर

${\|g(y+k)-g(y)-f^{\prime }(g(y))^{-1}k\| \over \|k\|}={\|h-f^{\prime }(x)^{-1}[f(x+h)-f(x)]\| \over \|k\|}\leq 4{\|f(x+h)-f(x)-f^{\prime }(x)h\| \over \|h\|}$

0 की ओर प्रवृत्त होता है $k$ और $h$ यह साबित करते हुए 0 की ओर प्रवृत्त होते हैं $g$ सी है¹के साथ $g^{\prime }(y)=f^{\prime }(g(y))^{-1}$.

उपरोक्त प्रमाण एक परिमित-आयामी स्थान के लिए प्रस्तुत किया गया है, लेकिन बनच स्थानों के लिए भी समान रूप से लागू होता है। यदि एक व्युत्क्रमणीय फलन $f$ सी है^कके साथ $k>1$, तो इसका उलटा भी वैसा ही है। यह इस तथ्य का उपयोग करके प्रेरण द्वारा अनुसरण करता है कि मानचित्र $F(A)=A^{-1}$ ऑपरेटरों पर C है^ककिसी के लिए भी $k$ (परिमित-आयामी मामले में यह एक प्राथमिक तथ्य है क्योंकि मैट्रिक्स का व्युत्क्रम उसके निर्धारक द्वारा विभाजित सहायक मैट्रिक्स के रूप में दिया जाता है)। यहां प्रमाण की विधि हेनरी कर्तन , जीन डियूडोने, सर्ज लैंग, रोजर गोडेमेंट और लार्स होर्मेंडर की पुस्तकों में पाई जा सकती है।

संकुचन मानचित्रण सिद्धांत का उपयोग करते हुए एक प्रमाण

यहाँ संकुचन मानचित्रण प्रमेय पर आधारित एक प्रमाण है। विशेष रूप से, टी. ताओ का अनुसरण करते हुए, यह संकुचन मानचित्रण प्रमेय के निम्नलिखित परिणाम का उपयोग करता है।

Lemma — Let $B(0,r)$ denote an open ball of radius r in $\mathbb {R} ^{n}$ with center 0. If $g:B(0,r)\to \mathbb {R} ^{n}$ is a map such that $g(0)=0$ and there exists a constant $0<c<1$ such that

$|g(y)-g(x)|\leq c|y-x|$

for all $x,y$ in $B(0,r)$, then $f=I+g$ is injective on $B(0,r)$ and $B(0,(1-c)r)\subset f(B(0,r))\subset B(0,(1+c)r)$.

(More generally, the statement remains true if $\mathbb {R} ^{n}$ is replaced by a Banach space.)

मूल रूप से, लेम्मा का कहना है कि संकुचन मानचित्र द्वारा पहचान मानचित्र का एक छोटा सा गड़बड़ी इंजेक्शन है और कुछ अर्थों में एक गेंद को संरक्षित करता है। एक पल के लिए प्रमेय मानकर, हम पहले प्रमेय को सिद्ध करते हैं। जैसा कि उपरोक्त प्रमाण में है, यह विशेष मामले को कब सिद्ध करने के लिए पर्याप्त है $a=0,b=f(a)=0$ और $f'(0)=I$. होने देना $g=f-I$. माध्य मूल्य असमानता पर लागू होता है $t\mapsto g(x+t(y-x))$ कहते हैं:

$|g(y)-g(x)|\leq |y-x|\sup _{0<t<1}|g'(x+t(y-x))|.$

तब से $g'(0)=I-I=0$ और $g'$ निरंतर है, हम एक पा सकते हैं $r>0$ ऐसा है कि

$|g(y)-g(x)|\leq 2^{-1}|y-x|$

सभी के लिए $x,y$ में $B(0,r)$. फिर प्रारंभिक लेम्मा यही कहती है $f=g+I$ इंजेक्शन चालू है $B(0,r)$ और $B(0,r/2)\subset f(B(0,r))$. तब

$f:U=B(0,r)\cap f^{-1}(B(0,r/2))\to V=B(0,r/2)$

विशेषण है और इस प्रकार इसका व्युत्क्रम है। आगे, हम उलटा दिखाते हैं $f^{-1}$ निरंतर भिन्न है (तर्क का यह भाग पिछले प्रमाण के समान है)। इस बार चलो $g=f^{-1}$ का व्युत्क्रम निरूपित करें $f$ और $A=f'(x)$. के लिए $x=g(y)$, हम लिखते हैं $g(y+k)=x+h$ या $y+k=f(x+h)$. अब, शुरुआती अनुमान के अनुसार, हमारे पास है

$|h-k|=|f(x+h)-f(x)-h|\leq |h|/2$

इसलिए $|h|/2\leq |k|$. लिखना $\|\cdot \|$ ऑपरेटर मानदंड के लिए,

$|g(y+k)-g(y)-A^{-1}k|=|h-A^{-1}(f(x+h)-f(x))|\leq \|A^{-1}\||Ah-f(x+h)+f(x)|.$

जैसा $k\to 0$, अपने पास $h\to 0$ और $|h|/|k|$ घिरा है। इस तरह, $g$ पर भिन्न है $y$ व्युत्पन्न के साथ $g'(y)=f'(g(y))^{-1}$. भी, $g'$ रचना के समान ही है $\iota \circ f'\circ g$ कहाँ $\iota :T\mapsto T^{-1}$; इसलिए $g'$ सतत है.

यह लेम्मा दिखाना बाकी है। सबसे पहले, नक्शा $f$ इंजेक्शन चालू है $B(0,r)$ यदि के बाद से $f(x)=f(y)$, तब $g(y)-g(x)=x-y$ इसलिए

$|g(y)-g(x)|=|y-x|$,

जो एक विरोधाभास है जब तक $y=x$. (इस भाग को धारणा की आवश्यकता नहीं है $g(0)=0$.) आगे हम दिखाते हैं $f(B(0,r))\supset B(0,(1-c)r)$. विचार यह है कि यह ध्यान देने योग्य है कि यह एक बिंदु के बराबर है $y$ में $B(0,(1-c)r)$, मानचित्र का एक निश्चित बिंदु खोजें

$F:{\overline {B}}(0,r')\to {\overline {B}}(0,r'),\,x\mapsto y-g(x)$

कहाँ $0<r'<r$ ऐसा है कि $|y|\leq (1-c)r'$ और बार का अर्थ है एक बंद गेंद। एक निश्चित बिंदु खोजने के लिए, हम संकुचन मानचित्रण प्रमेय का उपयोग करते हैं और उसकी जाँच करते हैं $F$ एक अच्छी तरह से परिभाषित सख्त-संकुचन मानचित्रण सीधा है। अंततः, हमारे पास है: $f(B(0,r))\subset B(0,(1+c)r)$ तब से

$|f(x)|=|x+g(x)-g(0)|\leq (1+c)|x|.\square$

जैसा कि स्पष्ट हो सकता है, यह प्रमाण पिछले वाले से बहुत अलग नहीं है, क्योंकि संकुचन मानचित्रण प्रमेय का प्रमाण क्रमिक सन्निकटन द्वारा होता है।

अनुप्रयोग

अंतर्निहित फ़ंक्शन प्रमेय

व्युत्क्रम फलन प्रमेय का उपयोग समीकरणों की प्रणाली को हल करने के लिए किया जा सकता है

${\begin{aligned}&f_{1}(x)=y_{1}\\&\quad \vdots \\&f_{n}(x)=y_{n},\end{aligned}}$

यानी, व्यक्त करना $y_{1},\dots ,y_{n}$ के कार्यों के रूप में $x=(x_{1},\dots ,x_{n})$, बशर्ते जैकोबियन मैट्रिक्स उलटा हो। अंतर्निहित फ़ंक्शन प्रमेय समीकरणों की अधिक सामान्य प्रणाली को हल करने की अनुमति देता है:

${\begin{aligned}&f_{1}(x,y)=0\\&\quad \vdots \\&f_{n}(x,y)=0\end{aligned}}$

के लिए $y$ के अनुसार $x$. यद्यपि अधिक सामान्य, प्रमेय वास्तव में व्युत्क्रम फलन प्रमेय का परिणाम है। सबसे पहले, अंतर्निहित कार्य प्रमेय का सटीक कथन इस प्रकार है:

• एक नक्शा दिया $f:\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{m}$, अगर $f(a,b)=0$, $f$ के पड़ोस में लगातार भिन्न होता है $(a,b)$ और का व्युत्पन्न $y\mapsto f(a,y)$ पर $b$ उलटा है, तो एक भिन्न मानचित्र मौजूद है $g:U\to V$ कुछ पड़ोस के लिए $U,V$ का $a,b$ ऐसा है कि $f(x,g(x))=0$. इसके अलावा, यदि $f(x,y)=0,x\in U,y\in V$, तब $y=g(x)$; अर्थात।, $g(x)$ एक अनोखा समाधान है.

इसे देखने के लिए मानचित्र पर विचार करें $F(x,y)=(x,f(x,y))$. व्युत्क्रम फलन प्रमेय द्वारा, $F:U\times V\to W$ उलटा है $G$ कुछ पड़ोस के लिए $U,V,W$. फिर हमारे पास है:

$(x,y)=F(G_{1}(x,y),G_{2}(x,y))=(G_{1}(x,y),f(G_{1}(x,y),G_{2}(x,y)),$

जिसका अर्थ $x=G_{1}(x,y)$ और $y=f(x,G_{2}(x,y)).$ इस प्रकार $g(x)=G_{2}(x,0)$ आवश्यक संपत्ति है. $\square$

विविध संरचना देना

विभेदक ज्यामिति में, व्युत्क्रम फ़ंक्शन प्रमेय का उपयोग यह दिखाने के लिए किया जाता है कि एक सुचारू मानचित्र के तहत नियमित मान की पूर्व-छवि कई गुना है। वास्तव में, चलो $f:U\to \mathbb {R} ^{r}$ के एक खुले उपसमुच्चय से इतना सहज मानचित्र बनें $\mathbb {R} ^{n}$ (चूंकि परिणाम स्थानीय है, ऐसे मानचित्र पर विचार करने से व्यापकता का कोई नुकसान नहीं होता है)। एक बिंदु तय करें $a$ में $f^{-1}(b)$ और फिर, निर्देशांकों को क्रमपरिवर्तित करके $\mathbb {R} ^{n}$, मैट्रिक्स मान लें $\left[{\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}(a)\right]_{1\leq i,j\leq r}$ रैंक है $r$. फिर नक्शा $F:U\to \mathbb {R} ^{r}\times \mathbb {R} ^{n-r}=\mathbb {R} ^{n},\,x\mapsto (f(x),x_{r+1},\dots ,x_{n})$ इस प्रकार कि $F'(a)$ रैंक है $n$. इसलिए, व्युत्क्रम फलन प्रमेय द्वारा, हम सहज व्युत्क्रम पाते हैं $G$ का $F$ पड़ोस में परिभाषित $V\times W$ का $(b,a_{r+1},\dots ,a_{n})$. फिर हमारे पास है

$x=(F\circ G)(x)=(f(G(x)),G_{r+1}(x),\dots ,G_{n}(x)),$

जो ये दर्शाता हे

$(f\circ G)(x_{1},\dots ,x_{n})=(x_{1},\dots ,x_{r}).$

अर्थात्, निर्देशांक के परिवर्तन के बाद $G$, $f$ एक समन्वय प्रक्षेपण है (इस तथ्य को जलमग्न प्रमेय के रूप में जाना जाता है)। इसके अलावा, तब से $G:V\times W\to U'=G(V\times W)$ मानचित्र वस्तुनिष्ठ है

$g=G(b,\cdot ):W\to f^{-1}(b)\cap U',\,(x_{r+1},\dots ,x_{n})\mapsto G(b,x_{r+1},\dots ,x_{n})$

सहज व्युत्क्रम के साथ विशेषण है। यानी, $g$ का स्थानीय पैरामीटरीकरण देता है $f^{-1}(b)$ आस-पास $a$. इस तरह, $f^{-1}(b)$ अनेक गुना है. $\square$ (ध्यान दें कि प्रमाण अंतर्निहित फ़ंक्शन प्रमेय के प्रमाण के समान है और वास्तव में, इसके बजाय अंतर्निहित फ़ंक्शन प्रमेय का भी उपयोग किया जा सकता है।)

अधिक सामान्यतः, प्रमेय से पता चलता है कि यदि एक सुचारू मानचित्र $f:P\to E$ एक सबमैनिफोल्ड के लिए अनुप्रस्थ है $M\subset E$, फिर पूर्व-छवि $f^{-1}(M)\hookrightarrow P$ एक उपमान है.

वैश्विक संस्करण

व्युत्क्रम फलन प्रमेय एक स्थानीय परिणाम है; यह प्रत्येक बिंदु पर लागू होता है. एक प्राथमिकता, प्रमेय इस प्रकार केवल फ़ंक्शन दिखाता है $f$ स्थानीय रूप से विशेषण है (या किसी वर्ग का स्थानीय रूप से भिन्न रूप)। अगले टोपोलॉजिकल लेम्मा का उपयोग स्थानीय इंजेक्टिविटी को कुछ हद तक वैश्विक इंजेक्टिविटी में अपग्रेड करने के लिए किया जा सकता है।

Lemma —  If $A$ is a closed subset of a (second-countable) topological manifold $X$ (or, more generally, a topological space admitting an exhaustion by compact subsets) and $f:X\to Z$, $Z$ some topological space, is a local homeomorphism that is injective on $A$, then $f$ is injective on some neighborhood of $A$.

सबूत: पहले मान लीजिये $X$ सघन स्थान है. यदि प्रमेय का निष्कर्ष गलत है, तो हम दो अनुक्रम पा सकते हैं $x_{i}\neq y_{i}$ ऐसा है कि $f(x_{i})=f(y_{i})$ और $x_{i},y_{i}$ प्रत्येक कुछ बिंदुओं पर अभिसरण करता है $x,y$ में $A$. तब से $f$ इंजेक्शन चालू है $A$, $x=y$. अब अगर $i$ काफी बड़ा है, $x_{i},y_{i}$ के पड़ोस में हैं $x=y$ कहाँ $f$ इंजेक्शन है; इस प्रकार, $x_{i}=y_{i}$, एक विरोधाभास.

सामान्य तौर पर, सेट पर विचार करें $E=\{(x,y)\in X^{2}\mid x\neq y,f(x)=f(y)\}$. यह से असंयुक्त है $S\times S$ किसी भी उपसमुच्चय के लिए $S\subset X$ कहाँ $f$ इंजेक्शन है. होने देना $X_{1}\subset X_{2}\subset \cdots$ संघ के साथ सघन उपसमुच्चय का बढ़ता क्रम बनें $X$ और साथ $X_{i}$ के आंतरिक भाग में समाहित है $X_{i+1}$. फिर, प्रमाण के पहले भाग द्वारा, प्रत्येक के लिए $i$, हम एक पड़ोस ढूंढ सकते हैं $U_{i}$ का $A\cap X_{i}$ ऐसा है कि $U_{i}^{2}\subset X^{2}-E$. तब $U=\bigcup _{i}U_{i}$ आवश्यक संपत्ति है. $\square$ (यह सभी देखें वैकल्पिक दृष्टिकोण के लिए।)

लेम्मा का तात्पर्य व्युत्क्रम फलन प्रमेय के निम्नलिखित (एक प्रकार के) वैश्विक संस्करण से है:

Inverse function theorem —  Let $f:U\to V$ be a map between open subsets of $\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} ^{m}$ or more generally of manifolds. Assume $f$ is continuously differentiable (or is $C^{k}$). If $f$ is injective on a closed subset $A\subset U$ and if the Jacobian matrix of $f$ is invertible at each point of $A$, then $f$ is injective in a neighborhood $A'$ of $A$ and $f^{-1}:f(A')\to A'$ is continuously differentiable (or is $C^{k}$).

ध्यान दें कि यदि $A$ एक बिंदु है, तो उपरोक्त सामान्य व्युत्क्रम फलन प्रमेय है।

होलोमोर्फिक व्युत्क्रम फलन प्रमेय

होलोमोर्फिक मानचित्रों के लिए व्युत्क्रम फ़ंक्शन प्रमेय का एक संस्करण है।

Theorem —  Let $U,V\subset \mathbb {C} ^{n}$ be open subsets such that $0\in U$ and $f:U\to V$ a holomorphic map whose Jacobian matrix in variables $z_{i},{\overline {z}}_{i}$ is invertible (the determinant is nonzero) at $0$. Then $f$ is injective in some neighborhood $W$ of $0$ and the inverse $f^{-1}:f(W)\to W$ is holomorphic.

प्रमेय सामान्य व्युत्क्रम फलन प्रमेय से अनुसरण करता है। वास्तव में, चलो $J_{\mathbb {R} }(f)$ के जैकोबियन मैट्रिक्स को निरूपित करें $f$ चर में $x_{i},y_{i}$ और $J(f)$ उसके लिए $z_{j},{\overline {z}}_{j}$. तो हमारे पास हैं $\det J_{\mathbb {R} }(f)=|\det J(f)|^{2}$, जो अनुमान से अशून्य है। इसलिए, सामान्य व्युत्क्रम फलन प्रमेय द्वारा, $f$ निकट इंजेक्शन है $0$ निरंतर अवकलनीय व्युत्क्रम के साथ। शृंखला नियम से, साथ $w=f(z)$,

${\frac {\partial }{\partial {\overline {z}}_{j}}}(f_{j}^{-1}\circ f)(z)=\sum _{k}{\frac {\partial f_{j}^{-1}}{\partial w_{k}}}(w){\frac {\partial f_{k}}{\partial {\overline {z}}_{j}}}(z)+\sum _{k}{\frac {\partial f_{j}^{-1}}{\partial {\overline {w}}_{k}}}(w){\frac {\partial {\overline {f}}_{k}}{\partial {\overline {z}}_{j}}}(z)$

जहां से बायीं ओर और दायीं ओर का पहला पद गायब हो जाता है $f_{j}^{-1}\circ f$ और $f_{k}$ होलोमोर्फिक हैं। इस प्रकार, ${\frac {\partial f_{j}^{-1}}{\partial {\overline {w}}_{k}}}(w)=0$ प्रत्येक के लिए $k$. $\square$ इसी प्रकार, होलोमोर्फिक फ़ंक्शंस के लिए अंतर्निहित फ़ंक्शन प्रमेय है। जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, ऐसा हो सकता है कि एक इंजेक्टिव स्मूथ फ़ंक्शन का व्युत्क्रम सुचारू न हो (उदाहरण के लिए, $f(x)=x^{3}$ वास्तविक चर में)। होलोमोर्फिक फ़ंक्शंस के मामले में ऐसा नहीं है क्योंकि:

Proposition —  If $f:U\to V$ is an injective holomorphic map between open subsets of $\mathbb {C} ^{n}$, then $f^{-1}:f(U)\to U$ is holomorphic.

मैनिफोल्ड्स के लिए फॉर्मूलेशन

व्युत्क्रम फ़ंक्शन प्रमेय को भिन्न-भिन्न मैनिफोल्ड्स के बीच भिन्न-भिन्न मानचित्रों के संदर्भ में दोबारा दोहराया जा सकता है। इस संदर्भ में प्रमेय बताता है कि एक भिन्न मानचित्र के लिए $F:M\to N$ (कक्षा का $C^{1}$), यदि पुशफॉरवर्ड (अंतर) का $F$,

$dF_{p}:T_{p}M\to T_{F(p)}N$

एक बिंदु पर एक रैखिक समरूपता है $p$ में $M$ फिर वहाँ एक खुला पड़ोस मौजूद है $U$ का $p$ ऐसा है कि

$F|_{U}:U\to F(U)$

एक भिन्नरूपता है. ध्यान दें कि इसका तात्पर्य यह है कि जुड़े हुए घटक M और N युक्त पी और एफ(पी) का आयाम समान है, जैसा कि पहले से ही सीधे तौर पर इस धारणा से निहित है कि डीएफ_p एक समरूपता है. यदि का व्युत्पन्न F सभी बिंदुओं पर एक समरूपता है p में M फिर नक्शा F एक स्थानीय भिन्नता है।

सामान्यीकरण

बैनाच रिक्त स्थान

व्युत्क्रम फ़ंक्शन प्रमेय को बानाच रिक्त स्थान के बीच विभेदित मानचित्रों के लिए भी सामान्यीकृत किया जा सकता हैX औरY. होने देनाU में मूल का एक खुला पड़ोस होX और $F:U\to Y\!$ एक निरंतर भिन्न कार्य, और मान लें कि फ़्रेचेट व्युत्पन्न $dF_{0}:X\to Y\!$ काF 0 पर एक घिरा हुआ रैखिक मानचित्र रैखिक समरूपता हैXपरY. फिर वहाँ एक खुला पड़ोस मौजूद हैV का $F(0)\!$ मेंY और एक निरंतर भिन्न मानचित्र $G:V\to X\!$ ऐसा है कि $F(G(y))=y$ सभी के लिएy मेंV. इसके अतिरिक्त, $G(y)\!$ एकमात्र पर्याप्त छोटा समाधान हैx समीकरण का $F(x)=y\!$.

बनच मैनिफोल्ड के लिए व्युत्क्रम फलन प्रमेय भी है।

स्थिर रैंक प्रमेय

व्युत्क्रम फ़ंक्शन प्रमेय (और अंतर्निहित फ़ंक्शन प्रमेय) को निरंतर रैंक प्रमेय के एक विशेष मामले के रूप में देखा जा सकता है, जिसमें कहा गया है कि एक बिंदु के पास स्थिर रैंक (विभेदक टोपोलॉजी) के साथ एक सुचारू मानचित्र को उसके पास एक विशेष सामान्य रूप में रखा जा सकता है। बिंदु। विशेष रूप से, यदि $F:M\to N$ एक बिंदु के निकट स्थिर रैंक होती है $p\in M\!$, फिर खुले पड़ोस हैं U का p और V का $F(p)\!$ और भिन्नताएँ हैं $u:T_{p}M\to U\!$ और $v:T_{F(p)}N\to V\!$ ऐसा है कि $F(U)\subseteq V\!$ और ऐसा कि व्युत्पन्न $dF_{p}:T_{p}M\to T_{F(p)}N\!$ के बराबर है $v^{-1}\circ F\circ u\!$. वह है, F इसके व्युत्पन्न निकट जैसा दिखता है p. अंकों का समूह $p\in M$ जैसे कि रैंक पड़ोस में स्थिर है $p$ का एक खुला सघन उपसमुच्चय है M; यह रैंक फ़ंक्शन की अर्धनिरंतरता का परिणाम है। इस प्रकार स्थिर रैंक प्रमेय डोमेन के सामान्य बिंदु पर लागू होता है।

जब की व्युत्पत्ति F एक बिंदु पर विशेषण (सम्मान विशेषण) है p, यह पड़ोस में इंजेक्शन (सम्मान विशेषण) भी है p, और इसलिए रैंक F उस पड़ोस पर स्थिर है, और स्थिर रैंक प्रमेय लागू होता है।

बहुपद फलन

यदि यह सत्य है, तो जैकोबियन अनुमान बहुपदों के लिए व्युत्क्रम फलन प्रमेय का एक प्रकार होगा। इसमें कहा गया है कि यदि एक वेक्टर-मूल्य वाले बहुपद फ़ंक्शन में एक जैकोबियन निर्धारक है जो एक उलटा बहुपद है (जो कि एक गैर-शून्य स्थिरांक है), तो इसका एक व्युत्क्रम है जो एक बहुपद फ़ंक्शन भी है। यह अज्ञात है कि यह सत्य है या असत्य, यहाँ तक कि दो चरों के मामले में भी। बहुपद के सिद्धांत में यह एक प्रमुख खुली समस्या है।

चयन

कब $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ साथ $m\leq n$, $f$ है $k$ समय लगातार भिन्न होता है, और जैकोबियन $A=\nabla f({\overline {x}})$ एक बिंदु पर ${\overline {x}}$ रैंक का है (रैखिक बीजगणित) $m$, का उलटा $f$ अद्वितीय नहीं हो सकता. हालाँकि, बहुमूल्यवान मानचित्र का एक स्थानीय चॉइस फ़ंक्शन#चॉइस फ़ंक्शन मौजूद है $s$ ऐसा है कि $f(s(y))=y$ सभी के लिए $y$ के एक पड़ोस में (गणित)। ${\overline {y}}=f({\overline {x}})$, $s({\overline {y}})={\overline {x}}$, $s$ है $k$ इस पड़ोस में समय लगातार भिन्न होता जा रहा है, और $\nabla s({\overline {y}})=A^{T}(AA^{T})^{-1}$ ($\nabla s({\overline {y}})$ मूर-पेनरोज़ का छद्म व्युत्क्रम है $A$).

यह भी देखें

• नैश-मोजर प्रमेय

संदर्भ

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