विविधताओं की गणना में प्रत्यक्ष विधि

गणित में, विविधताओं की गणना में प्रत्यक्ष विधि किसी दिए गए कार्यात्मक (गणित) के लिए न्यूनतम के अस्तित्व का प्रमाण बनाने की एक सामान्य विधि है, 1900 के आसपास स्टैनिस्लाव ज़रेम्बा (गणितज्ञ) | स्टैनिस्लाव ज़रेम्बा और डेविड हिल्बर्ट द्वारा पेश किया गया। यह विधि कार्यात्मक विश्लेषण और टोपोलॉजी के तरीकों पर निर्भर करती है। किसी समाधान के अस्तित्व को साबित करने के लिए उपयोग किए जाने के साथ-साथ, वांछित सटीकता के समाधान की गणना करने के लिए प्रत्यक्ष तरीकों का उपयोग किया जा सकता है।

विधि

विविधताओं की गणना कार्यात्मकताओं से संबंधित है $J:V\to {\bar {\mathbb {R} }}$, कहाँ $V$ कुछ कार्य स्थान है और ${\bar {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \cup \{\infty \}$. विषय का मुख्य हित ऐसे कार्यों, अर्थात् फ़ंक्शंस के लिए मिनिमाइज़र ढूंढना है $v\in V$ ऐसा है कि:$J(v)\leq J(u)\forall u\in V.$ किसी फ़ंक्शन के मिनिमाइज़र होने के लिए आवश्यक शर्तें प्राप्त करने के लिए मानक उपकरण यूलर-लैग्रेंज समीकरण है। लेकिन इन्हें संतुष्ट करने वाले कार्यों के बीच एक मिनिमाइज़र की तलाश करने से गलत निष्कर्ष निकल सकते हैं यदि मिनिमाइज़र का अस्तित्व पहले से स्थापित नहीं है।

कार्यात्मक $J$ मिनिमाइज़र रखने के लिए इसे नीचे से बांधा जाना चाहिए। इसका मतलब यह है

$\inf\{J(u)|u\in V\}>-\infty .\,$

यह स्थिति यह जानने के लिए पर्याप्त नहीं है कि एक मिनिमाइज़र मौजूद है, लेकिन यह एक न्यूनतम अनुक्रम के अस्तित्व को दर्शाता है, अर्थात एक अनुक्रम $(u_{n})$ में $V$ ऐसा है कि $J(u_{n})\to \inf\{J(u)|u\in V\}.$ प्रत्यक्ष विधि को निम्नलिखित चरणों में विभाजित किया जा सकता है

1. न्यूनतम अनुक्रम लें $(u_{n})$ के लिए $J$.
2. बताते हैं कि $(u_{n})$ कुछ अनुवर्ती स्वीकार करता है $(u_{n_{k}})$, जो एक में परिवर्तित हो जाता है $u_{0}\in V$ टोपोलॉजी के संबंध में $\tau$ पर $V$.
3. बताते हैं कि $J$ टोपोलॉजी के संबंध में क्रमिक रूप से निचला अर्ध-निरंतर है $\tau$.

यह देखने के लिए कि यह एक मिनिमाइज़र के अस्तित्व को दर्शाता है, क्रमिक रूप से निम्न-अर्ध-निरंतर कार्यों के निम्नलिखित लक्षण वर्णन पर विचार करें।

कार्यक्रम $J$ यदि क्रमिक रूप से निम्न-अर्धनिरंतर है

$\liminf _{n\to \infty }J(u_{n})\geq J(u_{0})$ किसी भी अभिसरण अनुक्रम के लिए $u_{n}\to u_{0}$ में $V$.

से निष्कर्ष निकलता है

$\inf\{J(u)|u\in V\}=\lim _{n\to \infty }J(u_{n})=\lim _{k\to \infty }J(u_{n_{k}})\geq J(u_{0})\geq \inf\{J(u)|u\in V\}$,

दूसरे शब्दों में

$J(u_{0})=\inf\{J(u)|u\in V\}$.

विवरण

बनच रिक्त स्थान

स्थान खाली होने पर प्रत्यक्ष विधि को अक्सर सफलता के साथ लागू किया जा सकता है $V$ एक अलग करने योग्य स्पेस प्रतिवर्ती स्थान बनच स्थान का एक उपसमुच्चय है $W$. इस मामले में बानाच-अलाओग्लू प्रमेय#अनुक्रमिक बानाच-अलाओग्लू प्रमेय|अनुक्रमिक बानाच-अलाओग्लू प्रमेय का तात्पर्य है कि कोई भी परिबद्ध अनुक्रम $(u_{n})$ में $V$ एक अनुवर्ती है जो कुछ में परिवर्तित हो जाता है $u_{0}$ में $W$ कमजोर टोपोलॉजी के संबंध में. अगर $V$ को क्रमिक रूप से बंद कर दिया गया है $W$, ताकि $u_{0}$ में है $V$, प्रत्यक्ष विधि को किसी कार्यात्मक पर लागू किया जा सकता है $J:V\to {\bar {\mathbb {R} }}$ दिखा कर

1. $J$ नीचे से घिरा हुआ है,
2. के लिए कोई भी न्यूनतम क्रम $J$ घिरा हुआ है, और
3. $J$ कमजोर रूप से क्रमिक रूप से कम अर्ध-निरंतर है, यानी, किसी भी कमजोर अभिसरण अनुक्रम के लिए $u_{n}\to u_{0}$ यह उसे धारण करता है $\liminf _{n\to \infty }J(u_{n})\geq J(u_{0})$.

दूसरा भाग आमतौर पर उसे दिखाकर पूरा किया जाता है $J$ कुछ विकास स्थितियों को स्वीकार करता है। एक उदाहरण है

$J(x)\geq \alpha \lVert x\rVert ^{q}-\beta$ कुछ के लिए $\alpha >0$, $q\geq 1$ और $\beta \geq 0$.

इस संपत्ति के साथ एक कार्यात्मक को कभी-कभी जबरदस्ती कहा जाता है। प्रत्यक्ष विधि लागू करते समय अनुक्रमिक निचली अर्ध-निरंतरता दिखाना आमतौर पर सबसे कठिन हिस्सा होता है। कार्यात्मकताओं के सामान्य वर्ग के लिए कुछ प्रमेयों के लिए नीचे देखें।

सोबोलेव रिक्त स्थान

विविधताओं की गणना में विशिष्ट कार्यात्मकता प्रपत्र का एक अभिन्न अंग है

$J(u)=\int _{\Omega }F(x,u(x),\nabla u(x))dx$

कहाँ $\Omega$ का एक उपसमुच्चय है $\mathbb {R} ^{n}$ और $F$ पर एक वास्तविक-मूल्यवान कार्य है $\Omega \times \mathbb {R} ^{m}\times \mathbb {R} ^{mn}$. का तर्क $J$ एक भिन्न कार्य है $u:\Omega \to \mathbb {R} ^{m}$, और इसका जैकोबियन मैट्रिक्स और निर्धारक $\nabla u(x)$ ए से पहचाना जाता है $mn$-वेक्टर।

यूलर-लैग्रेंज समीकरण प्राप्त करते समय, सामान्य दृष्टिकोण मान लेना है $\Omega$ एक $C^{2}$ सीमा और चलो परिभाषा के क्षेत्र के लिए $J$ होना $C^{2}(\Omega ,\mathbb {R} ^{m})$. सर्वोच्च मानदंड से संपन्न होने पर यह स्थान एक बैनाच स्थान है, लेकिन यह प्रतिवर्ती नहीं है। प्रत्यक्ष विधि को लागू करते समय, कार्यात्मकता को आमतौर पर सोबोलेव स्थान पर परिभाषित किया जाता है $W^{1,p}(\Omega ,\mathbb {R} ^{m})$ साथ $p>1$, जो एक रिफ्लेक्सिव बानाच स्पेस है। के व्युत्पन्न $u$ के लिए सूत्र में $J$ फिर इसे कमजोर व्युत्पन्न के रूप में लिया जाना चाहिए।

एक अन्य सामान्य फ़ंक्शन स्पेस है $W_{g}^{1,p}(\Omega ,\mathbb {R} ^{m})$ जो कि एफ़िन उप-स्थान है $W^{1,p}(\Omega ,\mathbb {R} ^{m})$ उन फ़ंक्शंस का जिनका ट्रेस ऑपरेटर कुछ निश्चित फ़ंक्शन है $g$ ट्रेस ऑपरेटर की छवि में. यह प्रतिबंध फ़ंक्शनल के मिनिमाइज़र खोजने की अनुमति देता है $J$ जो कुछ वांछित सीमा शर्तों को पूरा करता है। यह डिरिचलेट सीमा शर्तों के साथ यूलर-लैग्रेंज समीकरण को हल करने के समान है। इसके अतिरिक्त ऐसी सेटिंग्स भी हैं जिनमें मिनिमाइज़र हैं $W_{g}^{1,p}(\Omega ,\mathbb {R} ^{m})$ लेकिन अंदर नहीं $W^{1,p}(\Omega ,\mathbb {R} ^{m})$. सीमा पर मूल्यों को सीमित करते हुए न्यूनतमकरण समस्याओं को हल करने के विचार को फ़ंक्शन रिक्त स्थान को देखकर और अधिक सामान्यीकृत किया जा सकता है जहां ट्रेस केवल सीमा के एक हिस्से पर तय किया गया है, और बाकी पर मनमाना हो सकता है।

अगला भाग उपरोक्त प्रकार के कार्यों की कमजोर अनुक्रमिक निचली अर्ध-निरंतरता के संबंध में प्रमेय प्रस्तुत करता है।

अभिन्नों की अनुक्रमिक निचली अर्ध-निरंतरता

विभिन्नताओं के कलन में जितने प्रकार्य हैं, वे उसी प्रकार के हैं

$J(u)=\int _{\Omega }F(x,u(x),\nabla u(x))dx$,

कहाँ $\Omega \subseteq \mathbb {R} ^{n}$ खुला है, कार्यों को दर्शाने वाले प्रमेय $F$ जिसके लिए $J$ में कमजोर रूप से क्रमिक रूप से निचला-अर्धनिरंतर है $W^{1,p}(\Omega ,\mathbb {R} ^{m})$ साथ $p\geq 1$ बहुत महत्व है.

सामान्य तौर पर किसी के पास निम्नलिखित होते हैं:

ये मान लीजिए $F$ एक फ़ंक्शन है जिसमें निम्नलिखित गुण हैं:

1. कार्यक्रम $F$ एक कैराथिओडोरी फ़ंक्शन है।
2. वहां है $a\in L^{q}(\Omega ,\mathbb {R} ^{mn})$ होल्डर संयुग्म के साथ $q={\tfrac {p}{p-1}}$ और $b\in L^{1}(\Omega )$ इस प्रकार कि निम्नलिखित असमानता लगभग हर एक के लिए सत्य है $x\in \Omega$ और हर $(y,A)\in \mathbb {R} ^{m}\times \mathbb {R} ^{mn}$: $F(x,y,A)\geq \langle a(x),A\rangle +b(x)$. यहाँ, $\langle a(x),A\rangle$ फ्रोबेनियस के आंतरिक उत्पाद को दर्शाता है $a(x)$ और $A$ में $\mathbb {R} ^{mn}$).

यदि फ़ंक्शन $A\mapsto F(x,y,A)$ लगभग हर के लिए उत्तल है $x\in \Omega$ और हर $y\in \mathbb {R} ^{m}$,

तब $J$ क्रमिक रूप से कमजोर रूप से कम अर्ध-निरंतर है।

कब $n=1$ या $m=1$ निम्नलिखित व्युत्क्रम-जैसा प्रमेय मान्य है

ये मान लीजिए $F$ निरंतर है और संतुष्ट करता है

$|F(x,y,A)|\leq a(x,|y|,|A|)$

हरएक के लिए $(x,y,A)$, और एक निश्चित कार्य $a(x,|y|,|A|)$ में बढ़ रहा है $|y|$ और $|A|$, और स्थानीय रूप से एकीकृत $x$. अगर $J$ किसी भी दिए गए के लिए क्रमिक रूप से कमजोर रूप से कम अर्ध-निरंतर है $(x,y)\in \Omega \times \mathbb {R} ^{m}$ कार्यक्रम $A\mapsto F(x,y,A)$ उत्तल है.

निष्कर्षतः, कब $m=1$ या $n=1$, कार्यात्मक $J$, उचित विकास और सीमा को मानते हुए $F$, कमजोर रूप से क्रमिक रूप से कम अर्ध-निरंतर है यदि, और केवल यदि फ़ंक्शन $A\mapsto F(x,y,A)$ उत्तल है.

हालाँकि, ऐसे कई दिलचस्प मामले हैं जहाँ कोई यह नहीं मान सकता $F$ उत्तल है. निम्नलिखित प्रमेय उत्तलता की कमजोर धारणा का उपयोग करके अनुक्रमिक निम्न अर्ध-निरंतरता साबित करता है:

ये मान लीजिए $F:\Omega \times \mathbb {R} ^{m}\times \mathbb {R} ^{mn}\to [0,\infty )$ एक फ़ंक्शन है जिसमें निम्नलिखित गुण हैं:

1. कार्यक्रम $F$ एक कैराथिओडोरी फ़ंक्शन है।
2. कार्यक्रम $F$ है $p$-कुछ के लिए विकास $p>1$: एक स्थिरांक मौजूद है $C$ ऐसा कि हर किसी के लिए $y\in \mathbb {R} ^{m}$ और लगभग हर एक के लिए $x\in \Omega$ $|F(x,y,A)|\leq C(1+|y|^{p}+|A|^{p})$.
3. हरएक के लिए $y\in \mathbb {R} ^{m}$ और लगभग हर एक के लिए $x\in \Omega$, कार्यक्रम $A\mapsto F(x,y,A)$ Quasiconvexity_(Calculus_of_Variations) है: वहाँ एक घन मौजूद है $D\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ ऐसा कि हर किसी के लिए $A\in \mathbb {R} ^{mn},\varphi \in W_{0}^{1,\infty }(\Omega ,\mathbb {R} ^{m})$ उसके पास होता है:

$$F(x,y,A)\leq |D|^{-1}\int _{D}F(x,y,A+\nabla \varphi (z))dz$$

कहाँ $|D|$ का आयतन है $D$.

तब $J$ क्रमिक रूप से कमजोर रूप से कम अर्ध-निरंतर है $W^{1,p}(\Omega ,\mathbb {R} ^{m})$.

इस मामले में व्युत्क्रम जैसा प्रमेय निम्नलिखित है:

ये मान लीजिए $F$ निरंतर है और संतुष्ट करता है

$|F(x,y,A)|\leq a(x,|y|,|A|)$

हरएक के लिए $(x,y,A)$, और एक निश्चित कार्य $a(x,|y|,|A|)$ में बढ़ रहा है $|y|$ और $|A|$, और स्थानीय रूप से एकीकृत $x$. अगर $J$ किसी भी दिए गए के लिए क्रमिक रूप से कमजोर रूप से कम अर्ध-निरंतर है $(x,y)\in \Omega \times \mathbb {R} ^{m}$ कार्यक्रम $A\mapsto F(x,y,A)$ Quasiconvexity_(Calculus_of_Variations) है। दोनों होने पर भी दावा सत्य है $m,n$ से बड़े हैं $1$ और जब पिछले दावे से मेल खाता है $m=1$ या $n=1$, तब से quasiconvexity उत्तलता के बराबर है।

सन्दर्भ और आगे पढ़ना

• Dacorogna, Bernard (1989). विविधताओं की गणना में प्रत्यक्ष विधियाँ. Springer-Verlag. ISBN 0-387-50491-5.
• Fonseca, Irene; Giovanni Leoni (2007). विविधताओं की गणना में आधुनिक तरीके: $L^{p}$ रिक्त स्थान. Springer. ISBN 978-0-387-35784-3.
• मोरे, सी. बी., जूनियर: विविधताओं के कैलकुलस में एकाधिक इंटीग्रल्स। स्प्रिंगर, 1966 (2008 में पुनर्मुद्रित), बर्लिन ISBN 978-3-540-69915-6.
• जिंदरिच नेकस: अण्डाकार समीकरणों के सिद्धांत में प्रत्यक्ष विधियाँ। (ए.कुफनर और जी.ट्रोनेल द्वारा फ्रेंच मूल 1967 से अनुवाद), स्प्रिंगर, 2012, ISBN 978-3-642-10455-8.
• T. Roubíček (2000). "परवलयिक समस्याओं के लिए सीधी विधि". Adv. Math. Sci. Appl. Vol. 10. pp. 57–65. MR 1769181.
• एसरबी एमिलियो, फुस्को निकोला। विविधताओं की गणना में अर्धनिरंतरता की समस्याएं। तर्कसंगत यांत्रिकी और विश्लेषण के लिए पुरालेख 86.2 (1984): 125-145

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