स्थिति और संवेग स्थान

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भौतिकी और ज्यामिति में, दो निकट से संबंधित सदिश स्थल हैं, आमतौर पर त्रि-आयामी स्थान | त्रि-आयामी लेकिन सामान्य तौर पर कोई भी परिमित आयाम। स्थिति स्थान (वास्तविक स्थान या समन्वय प्रणाली स्थान भी) यूक्लिडियन अंतरिक्ष में सभी स्थिति वैक्टर आर का सेट है, और इसमें लंबाई का आयामी विश्लेषण है; स्थिति वेक्टर अंतरिक्ष में बिंदु को परिभाषित करता है। (यदि किसी बिंदु कण का स्थिति वेक्टर समय के साथ बदलता है, तो यह पथ, कण के प्रक्षेपवक्र का पता लगाएगा।) मोमेंटम स्पेस भौतिक प्रणाली में मौजूद सभी संवेग सदिश का सेट है; किसी कण का संवेग वेक्टर उसकी गति से मेल खाता है, [द्रव्यमान] [लंबाई] [समय] की इकाइयों के साथ⁻¹.

गणितीय रूप से, स्थिति और गति के बीच का द्वंद्व पोंट्रीगिन द्वंद्व का उदाहरण है। विशेष रूप से, यदि कोई फ़ंक्शन (गणित) स्थिति स्थान, f('r') में दिया गया है, तो इसका फूरियर रूपांतरण गति स्थान, φ('p') में फ़ंक्शन प्राप्त करता है। इसके विपरीत, संवेग स्थान फ़ंक्शन का व्युत्क्रम फूरियर रूपांतरण स्थिति स्थान फ़ंक्शन है।

ये मात्राएँ और विचार सभी शास्त्रीय और क्वांटम भौतिकी से परे हैं, और भौतिक प्रणाली को या तो घटक कणों की स्थिति, या उनके संवेग का उपयोग करके वर्णित किया जा सकता है, दोनों सूत्रीकरण समान रूप से विचाराधीन प्रणाली के बारे में समान जानकारी प्रदान करते हैं। तरंगों के संदर्भ में परिभाषित करने के लिए और मात्रा उपयोगी है। तरंग वेक्टर 'k' (या बस 'k'-वेक्टर) में पारस्परिक लंबाई के आयाम होते हैं, जो इसे कोणीय आवृत्ति ω का एनालॉग बनाता है जिसमें पारस्परिक समय के आयाम होते हैं। सभी तरंग सदिशों का समुच्चय 'k-स्पेस' है। आमतौर पर 'आर' 'के' की तुलना में अधिक सहज और सरल है, हालांकि इसका विपरीत भी सत्य हो सकता है, जैसे कि ठोस-अवस्था भौतिकी में।

क्वांटम यांत्रिकी स्थिति और गति के बीच द्वंद्व के दो मौलिक उदाहरण प्रदान करता है, अनिश्चितता सिद्धांत ΔxΔp ≥ ħ/2 जिसमें कहा गया है कि स्थिति और गति को साथ मनमानी सटीकता से नहीं जाना जा सकता है, और डी ब्रोगली संबंध 'पी' = ħ'k' जो बताता है मुक्त कण का संवेग और तरंगवेक्टर दूसरे के समानुपाती होते हैं। इस संदर्भ में, जब यह स्पष्ट होता है, तो संवेग और वेववेक्टर शब्दों का उपयोग परस्पर विनिमय के लिए किया जाता है। हालाँकि, क्रिस्टल में डी ब्रोगली संबंध सत्य नहीं है।

शास्त्रीय यांत्रिकी में स्थिति और संवेग स्थान

लैग्रेंजियन यांत्रिकी

लैग्रेंजियन यांत्रिकी में अक्सर, लैग्रैन्जियन एल ('क्यू', डी'क्यू'/डीटी, टी) कॉन्फ़िगरेशन स्थान (भौतिकी)भौतिकी) में होता है, जहां 'क्यू' = (क्यू)₁, क्यू₂,..., क्यू_n) सामान्यीकृत निर्देशांक का एन- टपल है। गति के यूलर-लैग्रेंज समीकरण हैं

$${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}={\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}\,,\quad {\dot {q}}_{i}\equiv {\frac {dq_{i}}{dt}}\,.$$

( ओवरडॉट बार व्युत्पन्न को इंगित करता है)। प्रत्येक सामान्यीकृत निर्देशांक के लिए विहित गति की परिभाषा का परिचय

$$p_{i}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\,,$$

यूलर-लैग्रेंज समीकरण रूप लेते हैं

$${\dot {p}}_{i}={\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}\,.$$

लैग्रेंजियन को संवेग स्थान में भी व्यक्त किया जा सकता है, एल′('पी', डी'पी'/डीटी, टी), जहां 'पी' = (पी₁, पी₂, ..., पी_n) सामान्यीकृत संवेग का एन-ट्यूपल है। सामान्यीकृत समन्वय स्थान लैग्रेंजियन के कुल अंतर में चर को बदलने के लिए लीजेंड्रे परिवर्तन किया जाता है;

$$dL=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}dq_{i}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}d{\dot {q}}_{i}\right)+{\frac {\partial L}{\partial t}}dt=\sum _{i=1}^{n}({\dot {p}}_{i}dq_{i}+p_{i}d{\dot {q}}_{i})+{\frac {\partial L}{\partial t}}dt\,,$$

जहां सामान्यीकृत गति और यूलर-लैग्रेंज समीकरणों की परिभाषा ने एल के आंशिक व्युत्पन्न को प्रतिस्थापित कर दिया है। अंतर के लिए उत्पाद नियम सामान्यीकृत संवेग और उनके समय डेरिवेटिव में अंतर के लिए सामान्यीकृत निर्देशांक और वेग में अंतर के आदान-प्रदान की अनुमति देता है,

$${\dot {p}}_{i}dq_{i}=d(q_{i}{\dot {p}}_{i})-q_{i}d{\dot {p}}_{i}$$

$$p_{i}d{\dot {q}}_{i}=d({\dot {q}}_{i}p_{i})-{\dot {q}}_{i}dp_{i}$$

जो प्रतिस्थापन के बाद सरलीकृत और पुनर्व्यवस्थित हो जाता है

$$d\left[L-\sum _{i=1}^{n}(q_{i}{\dot {p}}_{i}+{\dot {q}}_{i}p_{i})\right]=-\sum _{i=1}^{n}({\dot {q}}_{i}dp_{i}+q_{i}d{\dot {p}}_{i})+{\frac {\partial L}{\partial t}}dt\,.$$

अब, संवेग स्थान लैग्रेंजियन L' का कुल अंतर है

$$dL'=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial L'}{\partial p_{i}}}dp_{i}+{\frac {\partial L'}{\partial {\dot {p}}_{i}}}d{\dot {p}}_{i}\right)+{\frac {\partial L'}{\partial t}}dt$$

इसलिए लैग्रेंजियन, संवेग और उनके समय व्युत्पन्न के अंतरों की तुलना से, संवेग स्थान लैग्रैन्जियन L′ और L′ से प्राप्त सामान्यीकृत निर्देशांक क्रमशः हैं

$$L'=L-\sum _{i=1}^{n}(q_{i}{\dot {p}}_{i}+{\dot {q}}_{i}p_{i})\,,\quad -{\dot {q}}_{i}={\frac {\partial L'}{\partial p_{i}}}\,,\quad -q_{i}={\frac {\partial L'}{\partial {\dot {p}}_{i}}}\,.$$

अंतिम दो समीकरणों के संयोजन से यूलर-लैग्रेंज समीकरणों को गति स्थान मिलता है

$${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L'}{\partial {\dot {p}}_{i}}}={\frac {\partial L'}{\partial p_{i}}}\,.$$

लीजेंड्रे ट्रांसफॉर्मेशन का लाभ यह है कि प्रक्रिया में नए और पुराने कार्यों और उनके चर के बीच संबंध प्राप्त होता है। समीकरण के निर्देशांक और संवेग दोनों रूप समतुल्य हैं और इनमें सिस्टम की गतिशीलता के बारे में समान जानकारी होती है। यह रूप तब अधिक उपयोगी हो सकता है जब संवेग या कोणीय संवेग लैग्रेंजियन में प्रवेश करता है।

हैमिल्टनियन यांत्रिकी

हैमिल्टनियन यांत्रिकी में, लैग्रेंजियन यांत्रिकी के विपरीत जो या तो सभी निर्देशांक या संवेग का उपयोग करता है, गति के हैमिल्टनियन समीकरण निर्देशांक और संवेग को समान स्तर पर रखते हैं। हैमिल्टनियन H('q', 'p', t) वाले सिस्टम के लिए, समीकरण हैं

$${\dot {q}}_{i}={\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}\,,\quad {\dot {p}}_{i}=-{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}\,.$$

क्वांटम यांत्रिकी में स्थिति और संवेग स्थान

Further information: Momentum operator

क्वांटम यांत्रिकी में, कण को ​​क्वांटम अवस्था द्वारा वर्णित किया जाता है। इस कितना राज्य को आधार (रैखिक बीजगणित) राज्यों के क्वांटम सुपरइम्पोज़िशन (यानी भारित योग के रूप में रैखिक संयोजन) के रूप में दर्शाया जा सकता है। सिद्धांत रूप में कोई भी आधार स्थितियों के सेट को चुनने के लिए स्वतंत्र है, जब तक कि वे अंतरिक्ष को रैखिक रूप से फैलाते हैं। यदि कोई स्थिति ऑपरेटर के eigenfunctions को आधार कार्यों के सेट के रूप में चुनता है, तो वह राज्य को तरंग फ़ंक्शन के रूप में बोलता है ψ(r) स्थिति स्थान में (लंबाई के संदर्भ में अंतरिक्ष की हमारी सामान्य धारणा)। स्थिति r के संदर्भ में परिचित श्रोडिंगर समीकरण स्थिति प्रतिनिधित्व में क्वांटम यांत्रिकी का उदाहरण है। आधार कार्यों के सेट के रूप में अलग ऑपरेटर के eigenfunctions को चुनकर, कोई ही राज्य के कई अलग-अलग अभ्यावेदन पर पहुंच सकता है। यदि कोई आधार कार्यों के सेट के रूप में संवेग ऑपरेटर के eigenfunctions को चुनता है, तो परिणामी तरंग फ़ंक्शन $\phi (\mathbf {k} )$ संवेग स्थान में तरंग फलन कहा जाता है।

क्वांटम यांत्रिकी की विशेषता यह है कि चरण स्थान विभिन्न प्रकारों में आ सकते हैं: असतत-चर, रोटर, और निरंतर-चर। नीचे दी गई तालिका तीन प्रकार के चरण स्थानों में शामिल कुछ संबंधों का सारांश प्रस्तुत करती है।

असतत-चर (DV), रोटर (ROT), और निरंतर-चर (CV) चरण स्थानों में संयुग्म चर के बीच संबंधों की तुलना और सारांश (arXiv:1709.04460 से लिया गया)। अधिकांश भौतिक रूप से प्रासंगिक चरण स्थान इन तीनों के संयोजन से बने होते हैं। प्रत्येक चरण स्थान में स्थिति और संवेग शामिल होते हैं, जिनके संभावित मान स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट एबेलियन समूह और उसके दोहरे से लिए जाते हैं। क्वांटम यांत्रिक स्थिति को किसी भी चर के संदर्भ में पूरी तरह से दर्शाया जा सकता है, और स्थिति और गति स्थानों के बीच जाने के लिए उपयोग किया जाने वाला परिवर्तन, तीनों मामलों में से प्रत्येक में, फूरियर रूपांतरण का प्रकार है। तालिका ब्रा-केट नोटेशन के साथ-साथ कैनोनिकल कम्यूटेशन रिलेशंस (सीसीआर) का वर्णन करने वाली गणितीय शब्दावली का उपयोग करती है।

अंतरिक्ष और पारस्परिक स्थान के बीच संबंध

तरंग फ़ंक्शन का संवेग प्रतिनिधित्व फूरियर रूपांतरण और आवृत्ति डोमेन की अवधारणा से बहुत निकटता से संबंधित है। चूंकि क्वांटम यांत्रिक कण की आवृत्ति गति के समानुपाती होती है (डी ब्रोगली का समीकरण ऊपर दिया गया है), कण को ​​उसके गति घटकों के योग के रूप में वर्णित करना इसे आवृत्ति घटकों (यानी फूरियर रूपांतरण) के योग के रूप में वर्णित करने के बराबर है। यह तब स्पष्ट हो जाता है जब हम खुद से पूछते हैं कि हम प्रतिनिधित्व से दूसरे प्रतिनिधित्व में कैसे बदल सकते हैं।

स्थिति स्थान में कार्य और ऑपरेटर

मान लीजिए कि हमारे पास स्थिति स्थान में त्रि-आयामी तरंग फ़ंक्शन है ψ(r), तो हम इस फ़ंक्शन को ऑर्थोगोनल आधार फ़ंक्शंस के भारित योग के रूप में लिख सकते हैं ψ_j(r):

$$\psi (\mathbf {r} )=\sum _{j}\phi _{j}\psi _{j}(\mathbf {r} )$$

या, निरंतर मामले में, अभिन्न के रूप में

$$\psi (\mathbf {r} )=\int _{\mathbf {k} {\text{-space}}}\phi (\mathbf {k} )\psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )\mathrm {d} ^{3}\mathbf {k}$$

यह स्पष्ट है कि यदि हम फ़ंक्शंस के सेट को निर्दिष्ट करते हैं $\psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )$, संवेग संचालिका, फ़ंक्शन के eigenfunctions के सेट के रूप में कहें $\phi (\mathbf {k} )$ पुनर्निर्माण के लिए आवश्यक सभी जानकारी रखता है ψ(r) और इसलिए यह राज्य के लिए वैकल्पिक विवरण है $\psi$.

क्वांटम यांत्रिकी में, संवेग ऑपरेटर द्वारा दिया जाता है

$$\mathbf {\hat {p}} =-i\hbar {\frac {\partial }{\partial \mathbf {r} }}$$

(मैट्रिक्स कैलकुलस# हर नोटेशन के लिए स्कोप देखें) किसी फ़ंक्शन के उपयुक्त डोमेन के साथ। eigenfunctions हैं

$$\psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )={\frac {1}{({\sqrt {2\pi }})^{3}}}e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }$$

और eigenvalues ​​ħ'k'. इसलिए

$$\psi (\mathbf {r} )={\frac {1}{({\sqrt {2\pi }})^{3}}}\int _{\mathbf {k} {\text{-space}}}\phi (\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\mathrm {d} ^{3}\mathbf {k}$$

और हम देखते हैं कि संवेग प्रतिनिधित्व फूरियर रूपांतरण द्वारा स्थिति प्रतिनिधित्व से संबंधित है।

संवेग स्थान में कार्य और संचालक

इसके विपरीत, त्रि-आयामी तरंग संवेग स्थान में कार्य करती है $\phi (\mathbf {k} )$ ऑर्थोगोनल आधार कार्यों के भारित योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है $\phi _{j}(\mathbf {k} )$,

$$\phi (\mathbf {k} )=\sum _{j}\psi _{j}\phi _{j}(\mathbf {k} ),$$

या अभिन्न के रूप में,

$$\phi (\mathbf {k} )=\int _{\mathbf {r} {\text{-space}}}\psi (\mathbf {r} )\phi _{\mathbf {r} }(\mathbf {k} )\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} .$$

पद संचालक द्वारा दिया गया है

$$\mathbf {\hat {r}} =i\hbar {\frac {\partial }{\partial \mathbf {p} }}=i{\frac {\partial }{\partial \mathbf {k} }}$$

eigenfunctions के साथ

$$\phi _{\mathbf {r} }(\mathbf {k} )={\frac {1}{\left({\sqrt {2\pi }}\right)^{3}}}e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }$$

और eigenvalues ​​r. तो समान अपघटन $\phi (\mathbf {k} )$ इस ऑपरेटर के eigenfunctions के संदर्भ में बनाया जा सकता है, जो उलटा फूरियर रूपांतरण साबित होता है,

$$\phi (\mathbf {k} )={\frac {1}{({\sqrt {2\pi }})^{3}}}\int _{\mathbf {r} {\text{-space}}}\psi (\mathbf {r} )e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} .$$

स्थिति और संवेग संचालक के बीच एकात्मक तुल्यता

आर और पी ऑपरेटर एकात्मक प्रतिनिधित्व हैं, एकात्मक ऑपरेटर को फूरियर ट्रांसफॉर्म द्वारा स्पष्ट रूप से दिया जाता है, अर्थात् चरण स्थान में चौथाई-चक्र रोटेशन, ऑसिलेटर हैमिल्टनियन द्वारा उत्पन्न होता है। इस प्रकार, उनके पास समान स्पेक्ट्रम (कार्यात्मक विश्लेषण) है। भौतिक भाषा में, गति अंतरिक्ष तरंग कार्यों पर अभिनय करने वाला पी, स्थिति अंतरिक्ष तरंग कार्यों (फूरियर ट्रांसफॉर्म की छवि (गणित) के तहत) पर अभिनय करने के समान है।

पारस्परिक स्थान और क्रिस्टल

Main article: Reciprocal lattice

किसी क्रिस्टल में इलेक्ट्रॉन (या अन्य कण) के लिए, इसका k मान लगभग हमेशा उसके क्रिस्टल संवेग से संबंधित होता है, न कि उसके सामान्य संवेग से। इसलिए, k और p केवल आनुपातिकता (गणित) नहीं हैं बल्कि अलग-अलग भूमिकाएँ निभाते हैं। उदाहरण के लिए के·पी गड़बड़ी सिद्धांत देखें। क्रिस्टल संवेग लिफाफे (तरंगों) की तरह है जो बताता है कि तरंग इकाई कोशिका से दूसरी इकाई में कैसे बदलती है, लेकिन प्रत्येक इकाई कोशिका के भीतर तरंग कैसे बदलती है, इसके बारे में कोई जानकारी नहीं देती है।

जब k वास्तविक गति के बजाय क्रिस्टल गति से संबंधित होता है, तो k-स्पेस की अवधारणा अभी भी सार्थक और अत्यंत उपयोगी है, लेकिन यह ऊपर चर्चा किए गए गैर-क्रिस्टल k-स्पेस से कई मायनों में भिन्न है। उदाहरण के लिए, क्रिस्टल के k-स्पेस में, बिंदुओं का अनंत सेट होता है जिसे पारस्परिक जाली कहा जाता है जो k = 0 के बराबर होता है (यह अलियासिंग के समान है)। इसी तरह, पहला ब्रिलॉइन ज़ोन k-स्पेस का सीमित आयतन है, जैसे कि प्रत्येक संभावित k इस क्षेत्र में ठीक बिंदु के बराबर है।

यह भी देखें

• चरण स्थान
• पारस्परिक स्थान
• कॉन्फ़िगरेशन स्थान (भौतिकी)
• फ्रैक्शनल फूरियर रूपांतरण