विविक्‍त समष्‍टि

टोपोलॉजी में, एक असतत स्थान एक टोपोलॉजिकल स्पेस या समान संरचना का एक विशेष रूप से सरल उदाहरण है, जिसमें बिंदु एक बनाते हैं discontinuous sequence, अर्थात वे एक निश्चित अर्थ में एक दूसरे से पृथक बिंदु हैं। असतत टोपोलॉजी टोपोलॉजी टोपोलॉजी की तुलना है जिसे एक सेट पर दिया जा सकता है। प्रत्येक उपसमुच्चय असतत टोपोलॉजी में खुला सेट है, इसलिए विशेष रूप से, प्रत्येक सिंगलटन (गणित) असतत टोपोलॉजी में एक ओपन सेट है।

परिभाषाएँ

एक सेट दिया गया $X$:

• the discrete topology on $X$ is defined by letting every subset of $X$ be open (and hence also closed), and $X$ is a discrete topological space if it is equipped with its discrete topology;
• the discrete uniformity on $X$ is defined by letting every superset of the diagonal $\{(x,x):x\in X\}$ in $X\times X$ be an entourage, and $X$ is a discrete uniform space if it is equipped with its discrete uniformity.
• the discrete metric $\rho$ on $X$ is defined by
  $$\rho (x,y)={\begin{cases}1&{\text{if}}\ x\neq y,\\0&{\text{if}}\ x=y\end{cases}}$$
  for any $x,y\in X.$ In this case $(X,\rho )$ is called a discrete metric space or a space of isolated points.
• a discrete subspace of some given topological space $(Y,\tau )$ refers to a topological subspace of $(Y,\tau )$ (a subset of $Y$ together with the subspace topology that $(Y,\tau )$ induces on it) whose topology is equal to the discrete topology. For example, if $Y:=\mathbb {R}$ has its usual Euclidean topology then $S=\left\{{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {1}{4}},\ldots \right\}$ (endowed with the subspace topology) is a discrete subspace of $\mathbb {R}$ but $S\cup \{0\}$ is not.
• a set $S$ is discrete in a metric space $(X,d),$ for $S\subseteq X,$ if for every $x\in S,$ there exists some $\delta >0$ (depending on $x$) such that $d(x,y)>\delta$ for all $y\in S\setminus \{x\}$; such a set consists of isolated points. A set $S$ is uniformly discrete in the metric space $(X,d),$ for $S\subseteq X,$ if there exists $\varepsilon >0$ such that for any two distinct $x,y\in S,d(x,y)>\varepsilon .$

एक मीट्रिक स्थान $(E,d)$ यदि मौजूद है तो इसे समान रूप से असतत सेट कहा जाता हैpacking radius $r>0$ ऐसा कि, किसी के लिए भी $x,y\in E,$ किसी के पास या तो है $x=y$ या $d(x,y)>r.$ मीट्रिक स्थान में अंतर्निहित टोपोलॉजी अलग हो सकती है, बिना मीट्रिक समान रूप से अलग होने के: उदाहरण के लिए सेट पर सामान्य मीट्रिक $\left\{2^{-n}:n\in \mathbb {N} _{0}\right\}.$

Proof that a discrete space is not necessarily uniformly discrete

Let ${\textstyle X=\left\{2^{-n}:n\in \mathbb {N} _{0}\right\}=\left\{1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{8}},\dots \right\},}$ consider this set using the usual metric on the real numbers. Then, $X$ is a discrete space, since for each point $x_{n}=2^{-n}\in X,$ we can surround it with the open interval $(x_{n}-\varepsilon ,x_{n}+\varepsilon ),$ where $\varepsilon ={\tfrac {1}{2}}\left(x_{n}-x_{n+1}\right)=2^{-(n+2)}.$ The intersection $\left(x_{n}-\varepsilon ,x_{n}+\varepsilon \right)\cap X$ is therefore trivially the singleton $\{x_{n}\}.$ Since the intersection of an open set of the real numbers and $X$ is open for the induced topology, it follows that $\{x_{n}\}$ is open so singletons are open and $X$ is a discrete space.

However, $X$ cannot be uniformly discrete. To see why, suppose there exists an $r>0$ such that $d(x,y)>r$ whenever $x\neq y.$ It suffices to show that there are at least two points $x$ and $y$ in $X$ that are closer to each other than $r.$ Since the distance between adjacent points $x_{n}$ and $x_{n+1}$ is $2^{-(n+1)},$ we need to find an $n$ that satisfies this inequality:

$${\begin{aligned}2^{-(n+1)}&<r\\1&<2^{n+1}r\\r^{-1}&<2^{n+1}\\\log _{2}\left(r^{-1}\right)&<n+1\\-\log _{2}(r)&<n+1\\-1-\log _{2}(r)&<n\end{aligned}}$$

Since there is always an $n$ bigger than any given real number, it follows that there will always be at least two points in $X$ that are closer to each other than any positive $r,$ therefore $X$ is not uniformly discrete.

गुण

असतत मीट्रिक स्थान पर अंतर्निहित एकरूपता असतत एकरूपता है, और असतत समान स्थान पर अंतर्निहित टोपोलॉजी असतत टोपोलॉजी है। इस प्रकार, असतत स्थान की विभिन्न धारणाएँ एक दूसरे के साथ संगत हैं। दूसरी ओर, गैर-असतत वर्दी या मीट्रिक स्थान की अंतर्निहित टोपोलॉजी अलग हो सकती है; एक उदाहरण मीट्रिक स्थान है $X=\{n^{-1}:n\in \mathbb {N} \}$ (वास्तविक रेखा से प्राप्त मीट्रिक के साथ और इसके द्वारा दिया गया $d(x,y)=\left|x-y\right|$). यह पृथक मीट्रिक नहीं है; इसके अलावा, यह स्थान पूर्ण नहीं है (टोपोलॉजी) और इसलिए एक समान स्थान के रूप में असतत नहीं है। फिर भी, यह एक टोपोलॉजिकल स्पेस के रूप में अलग है। हम ऐसा कहते हैं $X$ स्थलाकृतिक रूप से असतत है लेकिन समान रूप से असतत या मीट्रिक रूप से असतत नहीं है।

इसके अतिरिक्त:

• असतत स्थान का टोपोलॉजिकल आयाम 0 के बराबर है।
• एक टोपोलॉजिकल स्पेस असतत होता है यदि और केवल यदि इसका सिंगलटन (गणित) खुला हो, जो कि मामला है यदि और केवल यदि इसमें कोई संचय बिंदु नहीं है।
• सिंगलटन असतत टोपोलॉजी के लिए एक आधार (टोपोलॉजी) बनाते हैं।
• एक समान स्थान $X$ असतत है यदि और केवल यदि विकर्ण $\{(x,x):x\in X\}$ एक प्रतिवेश (टोपोलॉजी) है।
• प्रत्येक असतत टोपोलॉजिकल स्पेस प्रत्येक पृथक्करण सिद्धांत को संतुष्ट करता है; विशेष रूप से, प्रत्येक असतत स्थान हॉसडॉर्फ़ स्थान है, अर्थात अलग हो गया है।
• एक असतत स्थान सघन स्थान है यदि और केवल यदि यह परिमित सेट है।
• प्रत्येक असतत वर्दी या मीट्रिक स्थान पूर्ण स्थान है।
• उपरोक्त दो तथ्यों को मिलाकर, प्रत्येक असतत वर्दी या मीट्रिक स्थान पूरी तरह से घिरा हुआ स्थान है यदि और केवल यदि यह परिमित है।
• प्रत्येक असतत मीट्रिक स्थान घिरा हुआ स्थान है।
• प्रत्येक असतत स्थान प्रथम-गणनीय स्थान है|प्रथम-गणनीय; इसके अलावा यह द्वितीय-गणनीय स्थान है|द्वितीय-गणनीय यदि और केवल यदि यह गणनीय है।
• प्रत्येक पृथक स्थान पूरी तरह से असंबद्ध है।
• प्रत्येक गैर-रिक्त पृथक स्थान दूसरी श्रेणी है।
• समान प्रमुखता वाले कोई भी दो अलग-अलग स्थान होम्योमॉर्फिक हैं।
• प्रत्येक असतत स्थान मेट्रिज़ेबल है (असतत मीट्रिक द्वारा)।
• एक परिमित स्थान केवल तभी मेट्रिज़ेबल होता है जब वह असतत हो।
• अगर $X$ एक टोपोलॉजिकल स्पेस है और $Y$ तो, असतत टोपोलॉजी वाला एक सेट है $X$ द्वारा समान रूप से कवर किया गया है $X\times Y$ (प्रक्षेपण मानचित्र वांछित आवरण है)
• वास्तविक रेखा के उप-स्थान के रूप में पूर्णांकों पर उप-स्थान टोपोलॉजी असतत टोपोलॉजी है।
• एक अलग स्थान को तभी अलग किया जा सकता है जब वह गणनीय हो।
• कोई भी टोपोलॉजिकल उप-स्थान $\mathbb {R}$ (अपनी सामान्य यूक्लिडियन टोपोलॉजी के साथ) जो असतत है वह आवश्यक रूप से गणनीय सेट है।

असतत टोपोलॉजिकल स्पेस से दूसरे टोपोलॉजिकल स्पेस तक कोई भी फ़ंक्शन निरंतर फ़ंक्शन (टोपोलॉजी) है, और असतत यूनिफ़ॉर्म स्पेस से किसी अन्य यूनिफ़ॉर्म स्पेस तक कोई भी फ़ंक्शन समान रूप से निरंतर होता है। यानी असतत स्थान $X$ सेट पर निःशुल्क वस्तु है $X$ टोपोलॉजिकल स्पेस और निरंतर मानचित्रों की श्रेणी सिद्धांत में या समान रिक्त स्थान और समान रूप से निरंतर मानचित्रों की श्रेणी में। ये तथ्य एक बहुत व्यापक घटना के उदाहरण हैं, जिसमें अलग-अलग संरचनाएं आमतौर पर सेट पर स्वतंत्र होती हैं।

मीट्रिक रिक्त स्थान के साथ, चीज़ें अधिक जटिल होती हैं, क्योंकि मीट्रिक रिक्त स्थान की कई श्रेणियां होती हैं, जो इस बात पर निर्भर करती हैं कि आकारिकी के लिए क्या चुना गया है। निश्चित रूप से असतत मीट्रिक स्थान तब मुक्त होता है जब आकारिकी सभी समान रूप से निरंतर मानचित्र या सभी निरंतर मानचित्र होते हैं, लेकिन यह मीट्रिक गणितीय संरचना के बारे में कुछ भी दिलचस्प नहीं कहता है, केवल एकसमान या टोपोलॉजिकल संरचना। मीट्रिक संरचना के लिए अधिक प्रासंगिक श्रेणियां लिप्सचिट्ज़ निरंतर मानचित्रों या छोटे मानचित्रों तक आकारिकी को सीमित करके पाई जा सकती हैं; हालाँकि, इन श्रेणियों में मुफ़्त ऑब्जेक्ट नहीं हैं (एक से अधिक तत्वों पर)। हालाँकि, असतत मीट्रिक स्थान बंधे हुए मीट्रिक स्थानों और लिप्सचिट्ज़ निरंतर मानचित्रों की श्रेणी में मुफ़्त है, और यह 1 और छोटे मानचित्रों से घिरे मीट्रिक स्थानों की श्रेणी में मुफ़्त है। अर्थात्, एक असतत मीट्रिक स्थान से दूसरे बंधे हुए मीट्रिक स्थान तक का कोई भी फ़ंक्शन लिप्सचिट्ज़ निरंतर होता है, और एक अलग मीट्रिक स्थान से 1 से घिरे दूसरे मीट्रिक स्थान तक का कोई भी फ़ंक्शन छोटा होता है।

दूसरी दिशा में जाना, एक समारोह $f$ एक टोपोलॉजिकल स्पेस से $Y$ एक अलग स्थान पर $X$ निरंतर है यदि और केवल यदि यह इस अर्थ में स्थानीय रूप से निरंतर कार्य करता है कि प्रत्येक बिंदु $Y$ जिस पर एक टोपोलॉजिकल पड़ोस है $f$ स्थिर है.

प्रत्येक अल्ट्राफ़िल्टर (सेट सिद्धांत) ${\mathcal {U}}$ एक गैर-खाली सेट पर $X$ टोपोलॉजी के साथ जोड़ा जा सकता है $\tau ={\mathcal {U}}\cup \left\{\varnothing \right\}$ पर $X$ उस संपत्ति के साथ every गैर-रिक्त उचित उपसमुच्चय $S$ का $X$ है either एक खुला सेट या फिर एक बंद सेट, लेकिन दोनों कभी नहीं। अलग ढंग से कहा, every उपसमुच्चय खुला है तार्किक विच्छेदन बंद है लेकिन (असतत टोपोलॉजी के विपरीत) द only उपसमुच्चय जो हैं bothखुले और बंद (यानी क्लोपेन) हैं $\varnothing$ और $X$. तुलना में, every का भाग $X$ असतत टोपोलॉजी में खुला तार्किक संयोजन बंद है।

उदाहरण और उपयोग

एक अलग संरचना का उपयोग अक्सर सेट पर डिफ़ॉल्ट संरचना के रूप में किया जाता है जिसमें कोई अन्य प्राकृतिक टोपोलॉजी, एकरूपता या मीट्रिक नहीं होता है; विशेष अनुमानों का परीक्षण करने के लिए असतत संरचनाओं को अक्सर चरम उदाहरण के रूप में उपयोग किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, किसी भी समूह (गणित) को असतत टोपोलॉजी देकर एक टोपोलॉजिकल समूह के रूप में माना जा सकता है, जिसका अर्थ है कि टोपोलॉजिकल समूहों के बारे में प्रमेय सभी समूहों पर लागू होते हैं। दरअसल, विश्लेषक बीजगणितज्ञों द्वारा अध्ययन किए गए सामान्य, गैर-सामयिक समूहों को असतत समूहों के रूप में संदर्भित कर सकते हैं। कुछ मामलों में, इसे उपयोगी रूप से लागू किया जा सकता है, उदाहरण के लिए पोंट्रीगिन द्वैत के साथ संयोजन में। एक 0-आयामी कई गुना (या विभेदक या विश्लेषणात्मक मैनिफोल्ड) एक असतत और गणनीय टोपोलॉजिकल स्पेस के अलावा और कुछ नहीं है (एक बेशुमार असतत स्थान दूसरा-गणनीय नहीं है)। इसलिए हम किसी भी असतत गणनीय समूह को 0-आयामी झूठ समूह के रूप में देख सकते हैं।

प्राकृतिक संख्याओं के असतत स्थान की अनगिनत अनंत प्रतियों की एक उत्पाद टोपोलॉजी निरंतर अंश विस्तार द्वारा दी गई होमियोमोर्फिज्म के साथ, अपरिमेय संख्याओं के स्थान के लिए होमियोमॉर्फिक है। असतत स्थान 2 (संख्या)| की अनगिनत अनंत प्रतियों का एक उत्पाद$\{0,1\}$कैंटर सेट के लिए होमियोमॉर्फिक है; और वास्तव में यदि हम उत्पाद पर उत्पाद एकरूपता का उपयोग करते हैं तो कैंटर सेट के लिए समान रूप से होमियोमॉर्फिक। ऐसी समरूपता संख्याओं की टर्नरी अंक प्रणाली का उपयोग करके दी जाती है। (कैंटर स्पेस देखें।) स्थानीय रूप स्थानीय रूप से इंजेक्शन फ़ंक्शन का प्रत्येक फाइबर (गणित) आवश्यक रूप से फ़ंक्शन के डोमेन का एक अलग उप-स्थान होता है।

गणित की नींव में, उत्पादों के कॉम्पैक्ट स्पेस गुणों का अध्ययन $\{0,1\}$ अल्ट्राफिल्टर लेम्मा (समकक्ष रूप से, बूलियन प्राइम आदर्श प्रमेय) के टोपोलॉजिकल दृष्टिकोण का केंद्र है, जो पसंद के स्वयंसिद्ध का एक कमजोर रूप है।

अविवेकी रिक्त स्थान

Main article: Trivial topology

कुछ मायनों में, असतत टोपोलॉजी के विपरीत तुच्छ टोपोलॉजी (जिसे अविभाज्य टोपोलॉजी भी कहा जाता है) है, जिसमें सबसे कम संभव खुले सेट होते हैं (केवल खाली सेट और स्वयं स्थान)। जहां असतत टोपोलॉजी प्रारंभिक या मुक्त है, अविभाज्य टोपोलॉजी अंतिम या सह-मुक्त है: टोपोलॉजिकल स्पेस से अविभाज्य स्पेस तक प्रत्येक फ़ंक्शन निरंतर है, आदि।

यह भी देखें

• सिलेंडर सेट
• टोपोलॉजी की सूची
• टैक्सीकैब ज्यामिति

संदर्भ

• Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1978). Counterexamples in Topology (2nd ed.). Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 3-540-90312-7. MR 0507446. Zbl 0386.54001.
• Wilansky, Albert (17 October 2008) [1970]. Topology for Analysis. Mineola, New York: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-46903-4. OCLC 227923899.