विविक्‍त समष्‍टि

टोपोलॉजी में, विविक्‍त समष्‍टि टोपोलॉजिकल समष्‍टि या समान संरचना का विशेष रूप से सरल उदाहरण है, जिसमें बिंदु बनाते हैं असंतत क्रम, अर्थात वे निश्चित अर्थ में एक दूसरे से विविक्‍त बिंदु हैं। विविक्‍त टोपोलॉजी टोपोलॉजी टोपोलॉजी की तुलना है जिसे समुच्चय पर दिया जा सकता है। प्रत्येक उपसमुच्चय विविक्‍त टोपोलॉजी में विवृत समुच्चय है, इसलिए विशेष रूप से, प्रत्येक सिंगलटन (गणित) विविक्‍त टोपोलॉजी में ओपन समुच्चय है।

परिभाषाएँ

समुच्चय $X$ दिया गया :

• the discrete topology on $X$ is defined by letting every subset of $X$ be open (and hence also closed), and $X$ is a discrete topological space if it is equipped with its discrete topology;
• the discrete uniformity on $X$ is defined by letting every superset of the diagonal $\{(x,x):x\in X\}$ in $X\times X$ be an entourage, and $X$ is a discrete uniform space if it is equipped with its discrete uniformity.
• the discrete metric $\rho$ on $X$ is defined by
  $$\rho (x,y)={\begin{cases}1&{\text{if}}\ x\neq y,\\0&{\text{if}}\ x=y\end{cases}}$$
  for any $x,y\in X.$ In this case $(X,\rho )$ is called a discrete metric space or a space of isolated points.
• a discrete subspace of some given topological space $(Y,\tau )$ refers to a topological subspace of $(Y,\tau )$ (a subset of $Y$ together with the subspace topology that $(Y,\tau )$ induces on it) whose topology is equal to the discrete topology. For example, if $Y:=\mathbb {R}$ has its usual Euclidean topology then $S=\left\{{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {1}{4}},\ldots \right\}$ (endowed with the subspace topology) is a discrete subspace of $\mathbb {R}$ but $S\cup \{0\}$ is not.
• a set $S$ is discrete in a metric space $(X,d),$ for $S\subseteq X,$ if for every $x\in S,$ there exists some $\delta >0$ (depending on $x$) such that $d(x,y)>\delta$ for all $y\in S\setminus \{x\}$; such a set consists of isolated points. A set $S$ is uniformly discrete in the metric space $(X,d),$ for $S\subseteq X,$ if there exists $\varepsilon >0$ such that for any two distinct $x,y\in S,d(x,y)>\varepsilon .$

एक मीट्रिक समष्‍टि $(E,d)$ यदि उपस्थित है तो इसे समान रूप से विविक्‍त समुच्चय कहा जाता है पैकिंग त्रिज्या $r>0$ ऐसा कि, किसी के लिए भी $x,y\in E,$ किसी के पास या तो है $x=y$ या $d(x,y)>r.$ मीट्रिक समष्‍टि में अंतर्निहित टोपोलॉजी अलग हो सकती है, बिना मीट्रिक समान रूप से अलग होने के: उदाहरण के लिए समुच्चय पर सामान्य मीट्रिक $\left\{2^{-n}:n\in \mathbb {N} _{0}\right\}.$ समष्‍टि है

Proof that a discrete space is not necessarily uniformly discrete

Let ${\textstyle X=\left\{2^{-n}:n\in \mathbb {N} _{0}\right\}=\left\{1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{8}},\dots \right\},}$ consider this set using the usual metric on the real numbers. Then, $X$ is a discrete space, since for each point $x_{n}=2^{-n}\in X,$ we can surround it with the open interval $(x_{n}-\varepsilon ,x_{n}+\varepsilon ),$ where $\varepsilon ={\tfrac {1}{2}}\left(x_{n}-x_{n+1}\right)=2^{-(n+2)}.$ The intersection $\left(x_{n}-\varepsilon ,x_{n}+\varepsilon \right)\cap X$ is therefore trivially the singleton $\{x_{n}\}.$ Since the intersection of an open set of the real numbers and $X$ is open for the induced topology, it follows that $\{x_{n}\}$ is open so singletons are open and $X$ is a discrete space.

However, $X$ cannot be uniformly discrete. To see why, suppose there exists an $r>0$ such that $d(x,y)>r$ whenever $x\neq y.$ It suffices to show that there are at least two points $x$ and $y$ in $X$ that are closer to each other than $r.$ Since the distance between adjacent points $x_{n}$ and $x_{n+1}$ is $2^{-(n+1)},$ we need to find an $n$ that satisfies this inequality:

$${\begin{aligned}2^{-(n+1)}&<r\\1&<2^{n+1}r\\r^{-1}&<2^{n+1}\\\log _{2}\left(r^{-1}\right)&<n+1\\-\log _{2}(r)&<n+1\\-1-\log _{2}(r)&<n\end{aligned}}$$

Since there is always an $n$ bigger than any given real number, it follows that there will always be at least two points in $X$ that are closer to each other than any positive $r,$ therefore $X$ is not uniformly discrete.

गुण

विविक्‍त मीट्रिक समष्‍टि पर अंतर्निहित एकरूपता विविक्‍त एकरूपता है, और विविक्‍त समान समष्‍टि पर अंतर्निहित टोपोलॉजी विविक्‍त टोपोलॉजी है। इस प्रकार, विविक्‍त समष्‍टि की विभिन्न धारणाएँ दूसरे के साथ संगत हैं। दूसरी ओर, गैर-विविक्‍त एकरूपता या मीट्रिक समष्‍टि की अंतर्निहित टोपोलॉजी अलग हो सकती है; उदाहरण मीट्रिक $X=\{n^{-1}:n\in \mathbb {N} \}$ समष्‍टि है (वास्तविक रेखा से प्राप्त मीट्रिक के साथ और इसके द्वारा दिया गया $d(x,y)=\left|x-y\right|$) है

यह विविक्‍त मीट्रिक नहीं है; इसके अतिरिक्त, यह समष्‍टि पूर्ण नहीं है (टोपोलॉजी) और इसलिए समान समष्‍टि के रूप में विविक्‍त नहीं है। फिर भी, यह टोपोलॉजिकल समष्‍टि के रूप में अलग है। हम $X$ ऐसा कहते हैं स्थलाकृतिक रूप से विविक्‍त है किन्तु समान रूप से विविक्‍त या मीट्रिक रूप से विविक्‍त नहीं है।

इसके अतिरिक्त:

• विविक्‍त समष्‍टि का टोपोलॉजिकल आयाम 0 के सामान्य है।
• एक टोपोलॉजिकल समष्‍टि विविक्‍त होता है यदि और केवल यदि इसका सिंगलटन (गणित) विवृत हो, जो कि मामला है यदि और केवल यदि इसमें कोई संचय बिंदु नहीं है।
• सिंगलटन विविक्‍त टोपोलॉजी के लिए आधार (टोपोलॉजी) बनाते हैं।
• एक समान समष्‍टि $X$ विविक्‍त है यदि और केवल यदि विकर्ण $\{(x,x):x\in X\}$ प्रतिवेश (टोपोलॉजी) है।
• प्रत्येक विविक्‍त टोपोलॉजिकल समष्‍टि प्रत्येक विविक्‍त्करण सिद्धांत को संतुष्ट करता है; विशेष रूप से, प्रत्येक विविक्‍त समष्‍टि हॉसडॉर्फ़ समष्‍टि है, अर्थात अलग हो गया है।
• एक विविक्‍त समष्‍टि सघन समष्‍टि है यदि और केवल यदि यह परिमित समुच्चय है।
• प्रत्येक विविक्‍त एकरूपता या मीट्रिक समष्‍टि पूर्ण समष्‍टि है।
• उपरोक्त दो तथ्यों को मिलाकर, प्रत्येक विविक्‍त एकरूपता या मीट्रिक समष्‍टि पूरी तरह से घिरा हुआ समष्‍टि है यदि और केवल यदि यह परिमित है।
• प्रत्येक विविक्‍त मीट्रिक समष्‍टि घिरा हुआ समष्‍टि है।
• प्रत्येक विविक्‍त समष्‍टि प्रथम-गणनीय समष्‍टि है| प्रथम-गणनीय; इसके अतिरिक्त यह द्वितीय-गणनीय समष्‍टि है | द्वितीय-गणनीय यदि और केवल यदि यह गणनीय है।
• प्रत्येक विविक्‍त समष्‍टि पूरी तरह से असंबद्ध है।
• प्रत्येक गैर-रिक्त विविक्‍त समष्‍टि दूसरी श्रेणी है।
• समान प्रमुखता वाले कोई भी दो अलग-अलग समष्‍टि होम्योमॉर्फिक हैं।
• प्रत्येक विविक्‍त समष्‍टि मेट्रिज़ेबल है (विविक्‍त मीट्रिक द्वारा)।
• एक परिमित समष्‍टि केवल तभी मेट्रिज़ेबल होता है जब वह विविक्‍त होता है।
• अगर $X$ टोपोलॉजिकल समष्‍टि है और $Y$ तो, विविक्‍त टोपोलॉजी वाला समुच्चय है $X$ द्वारा समान रूप से कवर किया गया है $X\times Y$ (प्रक्षेपण मैप वांछित आवरण है)
• वास्तविक रेखा के उप-समष्‍टि के रूप में पूर्णांकों पर उप-समष्‍टि टोपोलॉजी विविक्‍त टोपोलॉजी है।
• एक अलग समष्‍टि को तभी अलग किया जा सकता है जब वह गणनीय हो।
• कोई भी टोपोलॉजिकल उप-समष्‍टि $\mathbb {R}$ (अपनी सामान्य यूक्लिडियन टोपोलॉजी के साथ) जो विविक्‍त है वह आवश्यक रूप से गणनीय समुच्चय है।

विविक्‍त टोपोलॉजिकल समष्‍टि से दूसरे टोपोलॉजिकल समष्‍टि तक कोई भी फलन निरंतर फलन (टोपोलॉजी) है, और विविक्‍त यूनिफ़ॉर्म समष्‍टि से किसी अन्य यूनिफ़ॉर्म समष्‍टि तक कोई भी फलन समान रूप से निरंतर होता है। अर्थात विविक्‍त समष्‍टि $X$ समुच्चय पर निःशुल्क वस्तु है $X$ टोपोलॉजिकल समष्‍टि और निरंतर मैप की श्रेणी सिद्धांत में या समान रिक्त समष्‍टि और समान रूप से निरंतर मैप की श्रेणी में है। ये तथ्य बहुत व्यापक घटना के उदाहरण हैं, जिसमें अलग-अलग संरचनाएं सामान्यतः समुच्चय पर स्वतंत्र होती हैं।

मीट्रिक रिक्त समष्‍टि के साथ, चीज़ें अधिक जटिल होती हैं, क्योंकि मीट्रिक रिक्त समष्‍टि की कई श्रेणियां होती हैं, जो इस बात पर निर्भर करती हैं कि आकारिकी के लिए क्या चुना गया है। निश्चित रूप से विविक्‍त मीट्रिक समष्‍टि तब मुक्त होता है जब आकारिकी सभी समान रूप से निरंतर मैप या सभी निरंतर मैप होते हैं, किन्तु यह मीट्रिक गणितीय संरचना के बारे में कुछ भी दिलचस्प नहीं कहता है, केवल एकसमान या टोपोलॉजिकल संरचना करता है। इस प्रकार मीट्रिक संरचना के लिए अधिक प्रासंगिक श्रेणियां लिप्सचिट्ज़ निरंतर मैप या छोटे मैप तक आकारिकी को सीमित करके पाई जा सकती हैं; चूँकि, इन श्रेणियों में मुफ़्त ऑब्जेक्ट नहीं हैं (एक से अधिक तत्वों पर)। चूँकि, विविक्‍त मीट्रिक समष्‍टि बंधे हुए मीट्रिक समष्‍टिों और लिप्सचिट्ज़ निरंतर मैप की श्रेणी में मुफ़्त है, और यह 1 और छोटे मैप से घिरे मीट्रिक समष्‍टिों की श्रेणी में मुफ़्त है। अर्थात्, विविक्‍त मीट्रिक समष्‍टि से दूसरे बंधे हुए मीट्रिक समष्‍टि तक का कोई भी फलन लिप्सचिट्ज़ निरंतर होता है, और अलग मीट्रिक समष्‍टि से 1 से घिरे दूसरे मीट्रिक समष्‍टि तक का कोई भी फलन छोटा होता है।

दूसरी दिशा में जाना, फलन $f$ टोपोलॉजिकल समष्‍टि से $Y$ अलग समष्‍टि पर $X$ निरंतर है यदि और केवल यदि यह इस अर्थ में समष्‍टिीय रूप से निरंतर कार्य करता है कि प्रत्येक बिंदु $Y$ जिस पर टोपोलॉजिकल पड़ोस है $f$ स्थिर है.

प्रत्येक अल्ट्राफ़िल्टर (समुच्चय सिद्धांत) ${\mathcal {U}}$ गैर-ओपन समुच्चय पर $X$ टोपोलॉजी $\tau ={\mathcal {U}}\cup \left\{\varnothing \right\}$ के साथ जोड़ा जा सकता है $X$ उस संपत्ति के साथ प्रत्येक गैर-रिक्त उचित उपसमुच्चय $S$ का $X$ है दोनों में से एक विवृत समुच्चय या फिर बंद समुच्चय, किन्तु दोनों कभी नहीं अलग विधि से कहा, प्रत्येक उपसमुच्चय विवृत है तार्किक विच्छेदन बंद है किन्तु (विविक्‍त टोपोलॉजी के विपरीत) द केवल उपसमुच्चय जो हैं दोनों ओपन और बंद (अर्थात क्लोपेन) हैं $\varnothing$ और $X$. तुलना में, प्रत्येक का भाग $X$ विविक्‍त टोपोलॉजी में विवृत तार्किक संयोजन बंद है।

उदाहरण और उपयोग

एक अलग संरचना का उपयोग अधिकांशतः समुच्चय पर डिफ़ॉल्ट संरचना के रूप में किया जाता है जिसमें कोई अन्य प्राकृतिक टोपोलॉजी, एकरूपता या मीट्रिक नहीं होता है; विशेष अनुमानों का परीक्षण करने के लिए विविक्‍त संरचनाओं को अधिकांशतः चरम उदाहरण के रूप में उपयोग किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, किसी भी समूह (गणित) को विविक्‍त टोपोलॉजी देकर टोपोलॉजिकल समूह के रूप में माना जा सकता है, जिसका अर्थ है कि टोपोलॉजिकल समूहों के बारे में प्रमेय सभी समूहों पर प्रयुक्त होते हैं। विश्लेषक बीजगणितज्ञों द्वारा अध्ययन किए गए सामान्य, गैर-सामयिक समूहों को विविक्‍त समूहों के रूप में संदर्भित कर सकते हैं। कुछ स्थितियों में, इसे उपयोगी रूप से प्रयुक्त किया जा सकता है, उदाहरण के लिए पोंट्रीगिन द्वैत के साथ संयोजन में 0-आयामी कई गुना (या विभेदक या विश्लेषणात्मक मैनिफोल्ड) विविक्‍त और गणनीय टोपोलॉजिकल समष्‍टि के अतिरिक्त और कुछ नहीं है (विविक्‍त समष्‍टि दूसरा-गणनीय नहीं है)। इसलिए हम किसी भी विविक्‍त गणनीय समूह को 0-आयामी झूठ समूह के रूप में देख सकते हैं।

प्राकृतिक संख्याओं के विविक्‍त समष्‍टि की अनगिनत अनंत प्रतियों की उत्पाद टोपोलॉजी निरंतर अंश विस्तार द्वारा दी गई होमियोमोर्फिज्म के साथ, अपरिमेय संख्याओं के समष्‍टि के लिए होमियोमॉर्फिक है। विविक्‍त समष्‍टि 2 (संख्या)| की अनगिनत अनंत प्रतियों का उत्पाद $\{0,1\}$ कैंटर समुच्चय के लिए होमियोमॉर्फिक है; और वास्तव में यदि हम उत्पाद पर उत्पाद एकरूपता का उपयोग करते हैं तो कैंटर समुच्चय के लिए समान रूप से होमियोमॉर्फिक ऐसी समरूपता संख्याओं की टर्नरी अंक प्रणाली का उपयोग करके दी जाती है। (कैंटर समष्‍टि देखें।) समष्‍टिीय रूप समष्‍टिीय रूप से इंजेक्शन फलन का प्रत्येक फाइबर (गणित) आवश्यक रूप से फलन के डोमेन का अलग उप-समष्‍टि होता है।

गणित की नींव में, उत्पादों के कॉम्पैक्ट समष्‍टि गुणों का अध्ययन $\{0,1\}$ अल्ट्राफिल्टर लेम्मा (समकक्ष रूप से, बूलियन प्राइम आदर्श प्रमेय) के टोपोलॉजिकल दृष्टिकोण का केंद्र है, जो पसंद के स्वयंसिद्ध का अशक्त रूप है।

अविवेकी रिक्त समष्‍टि

Main article: सामान्य टोपोलॉजी

कुछ विधियों में, विविक्‍त टोपोलॉजी के विपरीत सामान्य टोपोलॉजी (जिसे अविभाज्य टोपोलॉजी भी कहा जाता है) है, जिसमें सबसे कम संभव ओपन समुच्चय होते हैं (केवल ओपन समुच्चय और स्वयं समष्‍टि)। जहां विविक्‍त टोपोलॉजी प्रारंभिक या मुक्त है, अविभाज्य टोपोलॉजी अंतिम या सह-मुक्त है: टोपोलॉजिकल समष्‍टि से अविभाज्य समष्‍टि तक प्रत्येक फलन निरंतर है, आदि।

यह भी देखें

• सिलेंडर समुच्चय
• टोपोलॉजी की सूची
• टैक्सीकैब ज्यामिति

संदर्भ

• Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1978). Counterexamples in Topology (2nd ed.). Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 3-540-90312-7. MR 0507446. Zbl 0386.54001.
• Wilansky, Albert (17 October 2008) [1970]. Topology for Analysis. Mineola, New York: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-46903-4. OCLC 227923899.