स्थानत: समाकलनीय फलन

गणित में, स्थानीय रूप से एकीकृत वेरिएबल (जिसे कभी-कभी स्थानीय रूप से सारांशित वेरिएबल भी कहा जाता है) एक ऐसा वेरिएबल (गणित) है जो परिभाषा के अपने डोमेन के प्रत्येक कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय पर पूर्णांकीय है (इसलिए इसका अभिन्न अंग परिमित है)। ऐसे फ़ंक्शंस का महत्व इस तथ्य में निहित है कि उनका कार्य स्थान L^p स्पेस के समान है रिक्त

स्थान, किन्तु इसके सदस्यों को अपने डोमेन की सीमा पर अपने व्यवहार पर किसी भी विकास प्रतिबंध को पूरा करने की आवश्यकता नहीं है (यदि डोमेन असीमित है सीमा अनंत पर): दूसरे शब्दों में, स्थानीय रूप से एकीकृत कार्य डोमेन सीमा पर इच्छानुसार तेजी से बढ़ सकते हैं, किन्तु अभी भी सामान्य एकीकृत कार्यों के समान ही प्रबंधनीय हैं।

परिभाषा

मानक परिभाषा

परिभाषा 1. मान लीजिए कि यूक्लिडियन स्थान में Ω खुला समुच्चय बनें $\mathbb {R} ^{n}$ और f : Ω → $\mathbb {C}$ लेब्सेग माप मापने योग्य वेरिएबल बनें। यदि Ω पर f इस प्रकार कि

$\int _{K}|f|\,\mathrm {d} x<+\infty ,$

अर्थात इसका लेब्सग इंटीग्रल Ω के सभी कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय K पर परिमित है, तब f को स्थानीय रूप से इंटीग्रेबल कहा जाता है। ऐसे सभी कार्यों का समुच्चय (गणित) L_1,loc(Ω) द्वारा दर्शाया जाता है :

$L_{1,\mathrm {loc} }(\Omega )={\bigl \{}f\colon \Omega \to \mathbb {C} {\text{ measurable}}:f|_{K}\in L_{1}(K)\ \forall \,K\subset \Omega ,\,K{\text{ compact}}{\bigr \}},$

जहां${\textstyle \left.f\right|_{K}}$ के कार्य समुच्चय K पर f के प्रतिबंध को दर्शाता है।

स्थानीय रूप से एकीकृत वेरिएबल की मौलिक परिभाषा में केवल सैद्धांतिक और टोपोलॉजिकल अवधारणाओं को मापना सम्मिलित है और इसे टोपोलॉजिकल माप स्थान (X, Σ, μ) पर समष्टि-मूल्यवान कार्यों के लिए अमूर्त पर ले जाया जा सकता है : चूँकि , चूँकि ऐसे फ़ंक्शंस का सबसे सामान्य अनुप्रयोग यूक्लिडियन रिक्त स्थान पर वितरण सिद्धांत के लिए है, इसमें और निम्नलिखित अनुभागों की सभी परिभाषाएँ स्पष्ट रूप से केवल इस महत्वपूर्ण स्थितियों से संबंधित हैं।

एक वैकल्पिक परिभाषा

परिभाषा 2. मान लीजिए कि यूक्लिडियन स्थान में Ω खुला समुच्चय है $\mathbb {R} ^{n}$. फिर वेरिएबल (गणित) f : Ω → $\mathbb {C}$ ऐसा है कि

$\int _{\Omega }|f\varphi |\,\mathrm {d} x<+\infty ,$

प्रत्येक परीक्षण वेरिएबल के लिए φ ∈ C ∞
c (Ω) को स्थानीय रूप से पूर्णांक कहा जाता है, और ऐसे कार्यों के समुच्चय को L_1,loc(Ω) कें द्वारा दर्शाया जाता है। यहाँ C ∞
c (Ω) सभी अपरिमित रूप से भिन्न-भिन्न फलनों के समुच्चय φ : Ω → $\mathbb {R}$ को दर्शाता है समर्थन (गणित) कॉम्पैक्ट समर्थन के साथ Ω सम्मिलित है।

इस परिभाषा की जड़ें निकोलस बॉर्बकी स्कूल द्वारा विकसित टोपोलॉजिकल सदिश स्पेस पर सतत रैखिक कार्यात्मक की अवधारणा के आधार पर माप और एकीकरण सिद्धांत के दृष्टिकोण में हैं: यह स्ट्रिचर्ट्ज़ (2003) और द्वारा भी अपनाया गया है। माज़्या & शापोशनिकोवा (2009, p. 34). यह "वितरण सिद्धांत" संबंधी परिभाषा मानक के समतुल्य है, जैसा कि निम्नलिखित लेम्मा प्रमेय सिद्ध करता है:

लेम्मा 1. दिया गया वेरिएबल f : Ω → $\mathbb {C}$ परिभाषा 1 के अनुसार स्थानीय रूप से एकीकृत है यदि और केवल यदि यह परिभाषा 2 के अनुसार स्थानीय रूप से पूर्णीकृत है, अर्थात।

$\int _{K}|f|\,\mathrm {d} x<+\infty \quad \forall \,K\subset \Omega ,\,K{\text{ compact}}\quad \Longleftrightarrow \quad \int _{\Omega }|f\varphi |\,\mathrm {d} x<+\infty \quad \forall \,\varphi \in C_{\mathrm {c} }^{\infty }(\Omega ).$

लेम्मा 1 का प्रमाण

यदि भाग: मान लीजिए φ ∈ C ∞
c (Ω) एक परीक्षण वेरिएबल हो। यह अपने सर्वोच्च मानदंड ||φ||_∞ से चरम मूल्य प्रमेय है , मापने योग्य, और इसमें समर्थन (गणित) कॉम्पैक्ट समर्थन है, इसलिए इसे K कहते हैं।

$\int _{\Omega }|f\varphi |\,\mathrm {d} x=\int _{K}|f|\,|\varphi |\,\mathrm {d} x\leq \|\varphi \|_{\infty }\int _{K}|f|\,\mathrm {d} x<\infty$

द्वारा परिभाषा 1.

केवल यदि भाग: मान लीजिए K खुले समुच्चय Ω का एक संहत उपसमुच्चय है। हम पहले परीक्षण वेरिएबल φ_K ∈ C ∞
c (Ω) का निर्माण करेंगे जो K के संकेतक फ़ंक्शन χ_K को प्रमुखता देता है। K और सीमा ∂Ω के बीच सामान्य निर्धारित दूरी सख्ती से शून्य से अधिक है, अर्थात।

$\Delta :=d(K,\partial \Omega )>0,$

इसलिए वास्तविक संख्या δ चुनना संभव है जैसे कि Δ > 2δ > 0 (यदि ∂Ω खाली समुच्चय है, तब Δ = ∞ लें). मान लीजिए कि K_δ और K_2δ क्रमशः K के बंद δ-पड़ोस और 2δ-पड़ोस को दर्शाते हैं। वे वैसे ही कॉम्पैक्ट और संतुष्ट हैं

$K\subset K_{\delta }\subset K_{2\delta }\subset \Omega ,\qquad d(K_{\delta },\partial \Omega )=\Delta -\delta >\delta >0.$

अब वेरिएबल φ_K : Ω → $\mathbb {R}$ को परिभाषित करने के लिए कनवल्शन का उपयोग करें‚

$\varphi _{K}(x)={\chi _{K_{\delta }}\ast \varphi _{\delta }(x)}=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\chi _{K_{\delta }}(y)\,\varphi _{\delta }(x-y)\,\mathrm {d} y,$

जहां φ_δ मानक सकारात्मक सममिति का उपयोग करके निर्मित एक मोलिफ़ायर है। स्पष्ट रूप से φ_K इस अर्थ में गैर-ऋणात्मक है कि φ_K ≥ 0, असीम रूप से भिन्न, और इसका समर्थन K_2δ में निहित है , विशेष रूप से यह परीक्षण वेरिएबल है। चूँकि सभी x ∈ K के लिए φ_K(x) = 1 हमारे पास वह χ_K ≤ φ_K. है।

मान लीजिए परिभाषा 2 के अनुसार f एक स्थानीय रूप से एकीकृत वेरिएबल बनें . तब

$\int _{K}|f|\,\mathrm {d} x=\int _{\Omega }|f|\chi _{K}\,\mathrm {d} x\leq \int _{\Omega }|f|\varphi _{K}\,\mathrm {d} x<\infty .$

चूँकि यह Ω के प्रत्येक कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय K के लिए प्रयुक्त होता है, फ़ंक्शन f परिभाषा 1 के अनुसार स्थानीय रूप से पूर्णांकित है। □

सामान्यीकरण: स्थानीय रूप से पी-अभिन्न कार्य

परिभाषा 3. मान लीजिए कि यूक्लिडियन स्थान में Ω खुला समुच्चय है $\mathbb {R} ^{n}$ और f : Ω → $\mathbb {C}$ एक लेबेस्ग्यू मापने योग्य वेरिएबल हो। यदि, 1 ≤ p ≤ +∞ के साथ दिए गए p के लिए, f संतुष्ट करता है

$\int _{K}|f|^{p}\,\mathrm {d} x<+\infty ,$

अर्थात, यह Ω के सभी कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय K के लिए L_p(K) से संबंधित है, तो f को स्थानीय रूप से p-इंटीग्रेबल या p-स्थानीय रूप से इंटीग्रेबल भी कहा जाता है। ऐसे सभी फलनों का समुच्चय L_p,loc(Ω) द्वारा दर्शाया गया है:

$L_{p,\mathrm {loc} }(\Omega )=\left\{f:\Omega \to \mathbb {C} {\text{ measurable }}\left|\ f|_{K}\in L_{p}(K),\ \forall \,K\subset \Omega ,K{\text{ compact}}\right.\right\}.$

एक वैकल्पिक परिभाषा, जो पूरी तरह से स्थानीय रूप से एकीकृत कार्यों के लिए दी गई परिभाषा के समान है, स्थानीय रूप से पी-पूर्णांक कार्यों के लिए भी दी जा सकती है: यह इस खंड में दी गई परिभाषा के समतुल्य भी हो सकती है और सिद्ध भी हो सकती है। उनकी स्पष्ट उच्च व्यापकता के अतिरिक्त, स्थानीय रूप से पी-अभिन्न कार्य प्रत्येक पी के लिए स्थानीय रूप से पूर्णांक कार्य का एक उपसमूह बनाते हैं जैसे कि 1 < p ≤ +∞.

संकेतन

विभिन्न ग्लिफ़ के अतिरिक्त जिनका उपयोग अपरकेस L के लिए किया जा सकता है, स्थानीय रूप से एकीकृत कार्यों के समुच्चय के अंकन के लिए कुछ प्रकार हैं

• $L_{\mathrm {loc} }^{p}(\Omega ),$ के द्वारा ग्रहण किया गया (होर्मेंडर 1990, p. 37), (स्ट्रिचर्ट्ज़ 2003, pp. 12–13) और (व्लादिमीरोव 2002, p. 3).
• $L_{p,\mathrm {loc} }(\Omega ),$ के द्वारा ग्रहण किया गया (Maz'ya & Poborchi 1997, p. 4) और Maz'ya & Shaposhnikova (2009, p. 44).
• $L_{p}(\Omega ,\mathrm {loc} ),$ के द्वारा ग्रहण किया गया (Maz'ja 1985, p. 6) और (Maz'ya 2011, p. 2).

गुण

एल_p,loc सभी p ≥ 1 के लिए पूर्ण मीट्रिक स्थान है

प्रमेय 1. L_p,loc एक पूर्ण मीट्रिक स्थान है: इसकी टोपोलॉजी निम्नलिखित मीट्रिक (गणित) द्वारा उत्पन्न की जा सकती है:

$d(u,v)=\sum _{k\geq 1}{\frac {1}{2^{k}}}{\frac {\Vert u-v\Vert _{p,\omega _{k}}}{1+\Vert u-v\Vert _{p,\omega _{k}}}}\qquad u,v\in L_{p,\mathrm {loc} }(\Omega ),$

जहां{ω_k}_k≥1 ऐसे गैर खाली खुले समुच्चयों का परिवार है

• ω_k ⊂⊂ ω_k+1, कारण है कि ω_k को कॉम्पैक्ट रूप से सम्मिलित किया गया है ω_k+1 अर्थात यह समुच्चय है जिसमें कॉम्पैक्ट क्लोजर को उच्च सूचकांक के समुच्चय में सख्ती से सम्मिलित किया गया है।
• ∪_kω_k = Ω.
• $\scriptstyle {\Vert \cdot \Vert _{p,\omega _{k}}}\to \mathbb {R} ^{+}$, के ∈ $\mathbb {N}$ सेमिनोर्म का अनुक्रमित परिवार है, जिसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है

${\Vert u\Vert _{p,\omega _{k}}}=\left(\int _{\omega _{k}}|u(x)|^{p}\,\mathrm {d} x\right)^{1/p}\qquad \forall \,u\in L_{p,\mathrm {loc} }(\Omega ).$

सन्दर्भों में (गिल्बर्ग & ट्रूडिंगर 1998, p. 147), (माज़्या & पोबोर्ची 1997, p. 5), (माज़्या 1985, p. 6) और (माज़्या 2011, p. 2), यह प्रमेय बताया गया है किन्तु औपचारिक आधार पर सिद्ध नहीं किया गया है: अधिक सामान्य परिणाम का पूर्ण प्रमाण, जिसमें यह भी सम्मिलित है, (मीस & वोग्ट 1997, p. 40) में पाया जाता है .

L_p सभी p ≥ 1 के लिए L_1,loc का एक उपसमष्टि है

प्रमेय 2. L_p(Ω), 1 ≤ p ≤ +∞ से संबंधित प्रत्येक फलन f जहां Ω का खुला उपसमुच्चय है $\mathbb {R} ^{n}$, स्थानीय रूप से एकीकृत है।

प्रमाण । स्थिति p = 1 तुच्छ है, इसलिए प्रमाण की अगली कड़ी में यह मान लिया गया है कि 1 < p ≤ +∞. के एक सघन उपसमुच्चय K के विशिष्ट फलन χ_K पर विचार करें: फिर, p ≤ +∞ के लिए,

$\left|{\int _{\Omega }|\chi _{K}|^{q}\,\mathrm {d} x}\right|^{1/q}=\left|{\int _{K}\mathrm {d} x}\right|^{1/q}=|K|^{1/q}<+\infty ,$

कहाँ

• q धनात्मक संख्या है जैसे कि 1/p + 1/q = 1 किसी प्रदत्त के लिए 1 ≤ p ≤ +∞
• |K| कॉम्पैक्ट समुच्चय का लेबेस्ग माप है K

फिर L_p(Ω) से संबंधित किसी भी f के लिए, होल्डर की असमानता से, उत्पाद (गणित) fχ_K एकीकृत कार्य है अर्थात L₁(Ω) संबंधित है और

${\int _{K}|f|\,\mathrm {d} x}={\int _{\Omega }|f\chi _{K}|\,\mathrm {d} x}\leq \left|{\int _{\Omega }|f|^{p}\,\mathrm {d} x}\right|^{1/p}\left|{\int _{K}\mathrm {d} x}\right|^{1/q}=\|f\|_{p}|K|^{1/q}<+\infty ,$

इसलिए

$f\in L_{1,\mathrm {loc} }(\Omega ).$

ध्यान दें कि चूँकि निम्नलिखित असमानता सत्य है

${\int _{K}|f|\,\mathrm {d} x}={\int _{\Omega }|f\chi _{K}|\,\mathrm {d} x}\leq \left|{\int _{K}|f|^{p}\,\mathrm {d} x}\right|^{1/p}\left|{\int _{K}\mathrm {d} x}\right|^{1/q}=\|f\chi _{K}\|_{p}|K|^{1/q}<+\infty ,$

प्रमेय केवल स्थानीय रूप से पी-अभिन्न कार्यों के स्थान से संबंधित कार्यों f के लिए भी सत्य है, इसलिए प्रमेय निम्नलिखित परिणाम का भी तात्पर्य करता है।

परिणाम 1. प्रत्येक फलन $f$ में $L_{p,loc}(\Omega )$, $1<p\leq \infty$, स्थानीय रूप से एकीकृत है, i. इ। से संबंधित $L_{1,loc}(\Omega )$.

नोट: यदि $\Omega$ का खुला उपसमुच्चय है $\mathbb {R} ^{n}$ वह भी परिबद्ध है, सीमा में मानक समावेशन होता है $L_{p}(\Omega )\subset L_{1}(\Omega )$ जो उपरोक्त समावेशन को देखते हुए समझ में आता है $L_{1}(\Omega )\subset L_{1,loc}(\Omega )$. किन्तु इनमें से पहला कथन सत्य नहीं है यदि $\Omega$ परिबद्ध नहीं है; सीमा यह अभी भी सच है $L_{p}(\Omega )\subset L_{1,loc}(\Omega )$ किसी के लिए $p$, किन्तु ऐसा नहीं $L_{p}(\Omega )\subset L_{1}(\Omega )$. इसे देखने के लिए, सामान्यतः वेरिएबल पर विचार किया जाता है $u(x)=1$, जो इसमें है $L_{\infty }(\mathbb {R} ^{n})$ किन्तु अंदर नहीं $L_{p}(\mathbb {R} ^{n})$ किसी भी परिमित के लिए $p$.

L_1,loc बिल्कुल निरंतर माप का घनत्व का स्थान है

प्रमेय 3. फलन f पूर्ण निरंतरता का घनत्व वेरिएबल (माप सिद्धांत) है उपायों की पूर्ण निरंतरता यदि और केवल यदि $f\in L_{1,loc}$.

इस परिणाम का प्रमाण (श्वार्ट्ज 1998, p. 18) द्वारा चित्रित किया गया है। अपने कथन को दोबारा दोहराते हुए, यह प्रमेय दावा करता है कि प्रत्येक स्थानीय रूप से पूर्णांकीय वेरिएबल एक बिल्कुल निरंतर माप को परिभाषित करता है और इसके विपरीत, प्रत्येक बिल्कुल निरंतर उपाय एक स्थानीय रूप से पूर्णांकीय वेरिएबल को परिभाषित करता है: यह, अमूर्त माप सिद्धांत ढांचे में, महत्वपूर्ण रेडॉन-निकोडिम प्रमेय का रूप भी है स्टैनिस्लाव साक्स ने अपने ग्रंथ में दिया है।

उदाहरण

• वास्तविक रेखा पर परिभाषित स्थिर फलन 1 स्थानीय रूप से पूर्णांकीय है किन्तु विश्व स्तर पर पूर्णांकित नहीं है क्योंकि वास्तविक रेखा में अनंत माप है। अधिक सामान्यतः, स्थिरांक (गणित), निरंतर कार्य और पूर्णांकीय फलन स्थानीय रूप से समाकलनीय होते हैं।
• कार्यक्रम $f(x)=1/x$ x ∈ (0, 1) के लिए स्थानीय रूप से है किन्तु वैश्विक रूप से (0, 1) पर एकीकृत नहीं है। यह स्थानीय रूप से एकीकृत है क्योंकि किसी भी कॉम्पैक्ट समुच्चय K ⊆ (0, 1) की 0 से धनात्मक दूरी है और f इसलिए K पर घिरा है। यह उदाहरण प्रारंभिक दावे को रेखांकित करता है कि स्थानीय रूप से एकीकृत कार्यों को सीमा के पास विकास की स्थिति की संतुष्टि की आवश्यकता नहीं है परिबद्ध डोमेन.
• कार्यक्रम

$f(x)={\begin{cases}1/x&x\neq 0,\\0&x=0,\end{cases}}\quad x\in \mathbb {R}$

स्थानीय रूप से x = 0 एकीकृत नहीं है : यह वास्तव में इस बिंदु के निकट स्थानीय रूप से पूर्णांकित है क्योंकि इसे सम्मिलित किए बिना प्रत्येक कॉम्पैक्ट समुच्चय पर इसका अभिन्न अंग परिमित है। औपचारिक रूप से बोलते हुए, 1/x ∈ L_1,loc($\mathbb {R}$ \ 0): चूँकि , इस वेरिएबल को संपूर्ण वितरण तक बढ़ाया जा सकता है $\mathbb {R}$ कॉची प्रमुख मूल्य के रूप में।

• पिछला उदाहरण प्रश्न उठाता है: क्या प्रत्येक वेरिएबल जो Ω ⊊ $\mathbb {R}$ में स्थानीय रूप से एकीकृत है संपूर्ण के लिए विस्तार स्वीकार करें $\mathbb {R}$ वितरण के रूप में? उत्तर ऋणात्मक है, और प्रतिउदाहरण निम्नलिखित वेरिएबल द्वारा प्रदान किया गया है:

$f(x)={\begin{cases}e^{1/x}&x\neq 0,\\0&x=0,\end{cases}}$

किसी भी वितरण को परिभाषित नहीं करता है $\mathbb {R}$.

• निम्नलिखित उदाहरण , पिछले उदाहरण के समान, वेरिएबल से संबंधित है L_1,loc($\mathbb {R}$\ 0) जो अनियमित विलक्षणता वाले विभेदक ऑपरेटरों के लिए वितरण के सिद्धांत के अनुप्रयोग में प्राथमिक प्रति-उदाहरण के रूप में कार्य करता है:

$f(x)={\begin{cases}k_{1}e^{1/x^{2}}&x>0,\\0&x=0,\\k_{2}e^{1/x^{2}}&x<0,\end{cases}}$

जहां k₁ और k₂ समष्टि संख्या हैं, निम्नलिखित प्राथमिक फ़्यूचियन अंतर समीकरण का सामान्य समाधान है | प्रथम क्रम के गैर-फ़ुचियन अंतर समीकरण

$x^{3}{\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}+2f=0.$

फिर यह समग्र रूप से किसी भी वितरण को परिभाषित नहीं करता है $\mathbb {R}$, यदि k₁ या k₂ शून्य नहीं हैं: ऐसे समीकरण का एकमात्र वितरणात्मक वैश्विक समाधान शून्य वितरण है, और इससे पता चलता है कि, अंतर समीकरणों के सिद्धांत की इस शाखा में, वितरण के सिद्धांत के तरीकों से समान सफलता की उम्मीद नहीं की जा सकती है समान सिद्धांत की अन्य शाखाओं में, विशेष रूप से स्थिर गुणांक वाले रैखिक अंतर समीकरणों के सिद्धांत में।

अनुप्रयोग

स्थानीय रूप से एकीकृत वेरिएबल वितरण (गणित) में प्रमुख भूमिका निभाते हैं और वह वेरिएबल (गणित) और वेरिएबल स्पेस के विभिन्न वर्गों की परिभाषा में होते हैं, जैसे कि बाध्य भिन्नता। इसके अतिरिक्त, वह रेडॉन-निकोडिम प्रमेय में प्रत्येक माप के बिल्कुल निरंतर भाग को चिह्नित करके प्रकट होते हैं।

यह भी देखें

• कॉम्पैक्ट समुच्चय
• वितरण (गणित)
• लेब्सग्यू का घनत्व प्रमेय
• लेब्सेग विभेदन प्रमेय
• लेब्सग इंटीग्रल
• एलपी स्पेस

संदर्भ

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