आइसोमेट्री

गणित में, कोई आइसोमेट्री (या सर्वांगसमता, या सर्वांगसम परिवर्तन) मीट्रिक समष्टि के बीच की दूरी-संरक्षण परिवर्तन है, जिसे सामान्यतः द्विभाजन माना जाता है।^{[lower-alpha 1]}आइसोमेट्री शब्द प्राचीन ग्रीक से लिया गया है: ἴσος isos जिसका अर्थ बराबर होता है, और μέτρον metron जिसका अर्थ माप होता है।

दो विपरीत आइसोमेट्री की संरचना प्रत्यक्ष आइसोमेट्री है। रेखा में प्रतिबिंब विपरीत आइसोमेट्री है, जैसे प्रतिबिम्ब पर

R 1

या

R 2

। अनुवाद (ज्यामिति)

T

प्रत्यक्ष आइसोमेट्री है: दृढ़ पिंड की गति।^[2]

परिचय

मीट्रिक समष्टि (अस्पष्ट, समुच्चय और समुच्चय के तत्वों के बीच दूरी निर्दिष्ट करने के लिए योजना) को देखते हुए, कोई आइसोमेट्री परिवर्तन (ज्यामिति) है जो तत्वों को उसी या किसी अन्य मीट्रिक समष्टि पर माप करता है जैसे कि नई मीट्रिक समष्टि में प्रतिबिम्ब तत्वों के बीच की दूरी मूल मीट्रिक समष्टि में तत्वों के बीच की दूरी के बराबर है।

द्वि-आयामी या त्रि-आयामी यूक्लिडियन समष्टि में, दो ज्यामितीय आंकड़े कोई आइसोमेट्री द्वारा संबंधित हो तो वह सर्वांगसम (ज्यामिति) होते है,^{[lower-alpha 2]}

आइसोमेट्री जो उन्हें संबंधित करती है वह या तो दृढ़ गति (अनुवाद या घूर्णन) है, या दृढ़ गति और प्रतिबिंब (गणित) की क्रिया संरचना होती है।

आइसोमेट्री का उपयोग अधिकांश उन निर्माणों में किया जाता है जहां समष्टि एक दूसरे समष्टि में एम्बेडिंग होता है। उदाहरण के लिए, मीट्रिक समष्टि $\ M\$ के पूरा होने में $\ M\$ से $\ M'\$ में कोई आइसोमेट्री सम्मिलित है, जो $\ M\$ पर कॉची अनुक्रमों के समष्टि का भागफल समुच्चय है। मूल समष्टि $\ M\$ इस प्रकार पूर्ण मीट्रिक समष्टि के उप-समष्टि के लिए आइसोमेट्रिक रूप से समरूपता है, और इसे सामान्यतः इस उप-समष्टि के साथ पहचाना जाता है।

अन्य एम्बेडिंग निर्माणों से पता चलता है कि प्रत्येक मीट्रिक समष्टि कुछ मानक सदिश समष्टि के बंद सबसमुच्चय के लिए आइसोमेट्रिक रूप से आइसोमोर्फिक है और यह कि प्रत्येक पूर्ण मीट्रिक समष्टि आइसोमेट्रिक रूप से आइसोमोर्फिक है जो कुछ बनच समष्टि के बंद उपसमुच्चय के लिए है।

कोई हिल्बर्ट समष्टि पर आइसोमेट्रिक सर्जेक्टिव लीनियर ऑपरेटर को एकात्मक ऑपरेटर कहा जाता है।

परिभाषा

$\ X\$ और $\ Y\$ को मेट्रिक्स (जैसे, दूरियां) $\ d_{X}\$ और $\ d_{Y}\$ के साथ मीट्रिक समष्टि मान ले. फलन (गणित) $\ f:X\to Y\$ को कोई आइसोमेट्री या दूरी को संरक्षित करने वाला कहा जाता है यदि किसी के लिए $\ a,b\in X\$ किसी के पास है

d_{X}(a,b)=d_{Y}\!\left(f(a),f(b)\right).

^[4]^{[lower-alpha 3]}

कोई आइसोमेट्री स्वचालित रूप से इंजेक्शन फलन है,^{[lower-alpha 1]} अन्यथा दो अलग-अलग बिंदुओं, a और b को ही बिंदु पर मैप किया जा सकता है, जिससे मीट्रिक डी के संयोग स्वयंसिद्ध का खंडन होता है।

यह प्रमाण साक्ष्य के समान है कि आंशिक रूप से आदेशित समुच्चय के बीच एम्बेडिंग ऑर्डर इंजेक्शन है। स्पष्ट रूप से, मीट्रिक समष्टि के बीच प्रत्येक आइसोमेट्री टोपोलॉजिकल एम्बेडिंग है।

एक 'वैश्विक आइसोमेट्री', 'आइसोमेट्रिक आइसोमोर्फिज्म' या 'सर्वांगसमता मैपिंग' विशेषण आइसोमेट्री है। किसी भी अन्य आपत्ति की तरह, वैश्विक आइसोमेट्री में फलन व्युत्क्रम होता है।

वैश्विक आइसोमेट्री का व्युत्क्रम भी वैश्विक आइसोमेट्री है।

दो मीट्रिक समष्टि X और Y को 'आइसोमेट्रिक' कहा जाता है यदि X से Y तक विशेषण आइसोमेट्री है।

मेट्रिक समष्टि से द्विभाजित आइसोमेट्रीज़ का समुच्चय (गणित) फलन संरचना के संबंध में समूह (गणित) बनाता है, जिसे ' आइसोमेट्री समूह ' कहा जाता है।

पथ आइसोमेट्री या आर्कवाइज आइसोमेट्री की दुर्बल धारणा भी है:

एक 'पाथ आइसोमेट्री' या 'आर्कवाइज़ आइसोमेट्री' माप है जो वक्रों की लंबाई को संरक्षित करता है, इस तरह का माप आवश्यक रूप से दूरी के संरक्षण के अर्थ में आइसोमेट्री नहीं है, और यह आवश्यक रूप से विशेषण या इंजेक्शन भी नहीं है।

यह शब्द अधिकांश केवल आइसोमेट्री के लिए संक्षिप्त होता है, इसलिए किसी को संदर्भ से निर्धारित करने के लिए सर्तकता रहना चाहिए कि किस प्रकार का उद्देश्य है।

उदाहरण

यूक्लिडियन समष्टि पर कोई भी प्रतिबिंब (गणित), अनुवाद (ज्यामिति) और घूर्णन वैश्विक आइसोमेट्री है। यूक्लिडियन समूह और यूक्लिडियन स्पेस § आइसोमेट्रीज़ भी देखें।
वो माप $\ x\mapsto |x|\$ में $\ \mathbb {R} \$ पथ आइसोमेट्री है लेकिन (सामान्य) आइसोमेट्री नहीं है। ध्यान दें कि आइसोमेट्री के विपरीत, इस पथ आइसोमेट्री को इंजेक्शन होने की आवश्यकता नहीं है।

आदर्श समष्टिों के बीच आइसोमेट्री

निम्नलिखित प्रमेय मजूर और उलम के कारण है।

परिभाषा:^[5] दो तत्वों का मध्यबिंदु

x

और

y

सदिश समष्टि में सदिश

.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}1/2(x + y)

है.

प्रमेय^[5]^[6] — मान लें कि $A : X \to Y$ सामान्य समष्टि के बीच एक विशेषण आइसोमेट्री है जो 0 से 0 (स्टीफन बानाच को मैप करता है जिसे इस तरह कहा जाता है मैप रोटेशन) जहां ध्यान दें कि $A$ नहीं है जिसे लीनियर आइसोमेट्री माना जाता है। फिर $A$ मध्यबिंदुओं को मध्यबिंदुओं के लिए मैप करता है और वास्तविक संख्याओं के मैप $\mathbb {R}$ के रूप में रैखिक है। यदि $X$ और $Y$ जटिल सदिश स्थान हैं तो $A$ $\mathbb {C}$ पर मैप के रूप में रैखिक होने में विफल हो सकता है।

रेखीय समरूपता

दो मानक सदिश समष्टि $V$ और $W$ दिए गए हैं रेखीय समरूपता रेखीय माप $A:V\to W$ है जो मानदंडों को संरक्षित करता है:

\|Av\|=\|v\|

सभी $\ v\in V\$ के लिए^[7] रैखिक आइसोमेट्री उपरोक्त अर्थों में दूरी-संरक्षित माप हैं।

वे वैश्विक आइसोमेट्री हैं यदि और केवल यदि वे विशेषण हैं।

एक आंतरिक उत्पाद समष्टि में, उपरोक्त परिभाषा कम हो जाती है

\langle v,v\rangle =\langle Av,Av\rangle

सभी $v\in V\$ के लिये जो यह कहने के बराबर है कि $\ A^{\dagger }A=\operatorname {I} _{V}\ .$ इसका तात्पर्य यह भी है कि आइसोमेट्री आंतरिक उत्पादों को संरक्षित करती है, जैसे

\langle Au,Av\rangle =\langle u,A^{\dagger }Av\rangle =\langle u,v\rangle \ .

रैखिक आइसोमेट्री हमेशा एकात्मक ऑपरेटर नहीं होते हैं, चूंकि, इसके लिए अतिरिक्त रूप से $V=W$ और $AA^{\dagger }=\operatorname {I} _{V}\$ इसकी आवश्यकता होती है

मज़ूर-उलम प्रमेय के अनुसार, $\mathbb {R}$ पर मानक वेक्टर समष्टि का कोई भी आइसोमेट्री सजातीय परिवर्तन है।

उदाहरण

$\mathbb {C} ^{n}$ से कोई रेखीय माप अपने आप में आइसोमेट्री है ( डॉट उत्पाद के लिए) यदि और केवल यदि इसका मैट्रिक्स एकात्मक मैट्रिक्स है।^[8]^[9]^[10]^[11]

मैनिफोल्ड

मैनिफोल्ड की आइसोमेट्री उस मैनिफोल्ड की किसी भी (चिकनी) मैपिंग को अपने आप में या किसी अन्य मैनिफोल्ड में है जो बिंदुओं के बीच की दूरी की धारणा को संरक्षित करती है।

आइसोमेट्री की परिभाषा के लिए मैनिफोल्ड पर मीट्रिक (गणित) की धारणा की आवश्यकता होती है, (सकारात्मक-निश्चित) मीट्रिक वाला मैनिफोल्ड रीमैनियन मैनिफोल्ड है, अनिश्चित मीट्रिक वाला मैनिफोल्ड स्यूडो-रीमैनियन मैनिफोल्ड है। इस प्रकार, आइसोमेट्री का अध्ययन रीमैनियन ज्यामिति में किया जाता है।

एक ( स्यूडो-रीमैनियन मैनिफोल्ड) रीमैनियन मैनिफोल्ड से दूसरे में समष्टिीय आइसोमेट्री माप है जो मीट्रिक टेंसर को दूसरे मैनिफोल्ड पर पहले मैट्रिक टेंसर पर वापस खींचता (डिफरेंशियल ज्योमेट्री) है। जब ऐसा माप में भी भिन्नता हो, तो ऐसे माप को आइसोमेट्री (या आइसोमेट्रिक आइसोमोर्फिज्म) कहा जाता है, और रीमैनियन मैनिफोल्ड्स की श्रेणी सिद्धांत आरएम में आइसोमोर्फिज्म (समानता) की धारणा प्रदान करता है।

परिभाषा

मान लीजिये $\ R=(M,g)\$ और $\ R'=(M',g')\$ दो (स्यूडो-) रीमैनियन मैनिफोल्ड हो, और $\ f:R\to R'\$ कोई भिन्नता हो। तब $\ f\$ आइसोमेट्री (या आइसोमेट्रिक आइसोमोर्फिज्म) कहा जाता है यदि

\ g=f^{*}g',\

जहां $\ f^{*}g'\$ रैंक (0, 2) मीट्रिक टेन्सर $\ g'\$ द्वारा $\ f\$ के पुलबैक (अंतर ज्यामिति) को दर्शाता है समान रूप से, पुशफॉरवर्ड (अंतर) के संदर्भ में $\ f_{*}\ ,$ हमारे पास किन्हीं भी दो सदिश क्षेत्रों $\ v,w\$ पर $\ M\$ (अर्थात् स्पर्शरेखा बंडल के खंड $\ \mathrm {T} M\$ ) के लिए है,

\ g(v,w)=g'\left(f_{*}v,f_{*}w\right)\ .

यदि $\ f\$ समष्टिीय भिन्नता है जैसे कि $\ g=f^{*}g'\ ,$ तब $f$ समष्टिीय आइसोमेट्री कहा जाता है।

गुण

आइसोमेट्री का संग्रह सामान्यतः समूह, आइसोमेट्री समूह बनाता है। जब समूह सतत समूह होता है, तो समूह के अतिसूक्ष्म जनरेटर किलिंग सदिश क्षेत्र होता है।

मायर्स-स्टीनरोड प्रमेय में कहा गया है कि दो जुड़े रिमेंनियन मैनिफोल्ड के बीच प्रत्येक आइसोमेट्री चिकनी (विभेदक) है। इस प्रमेय का दूसरा रूप बताता है कि रिमेंनियन मैनिफोल्ड का आइसोमेट्री समूह झूठ समूह है।

रिमेंनियन मैनिफोल्ड्स जिनमें हर बिंदु पर परिभाषित आइसोमेट्री हैं, सममित समष्टि कहलाते हैं।

सामान्यीकरण

एक सकारात्मक वास्तविक संख्या ε दी गई है, ε-आइसोमेट्री या लगभग आइसोमेट्री (जिसे फेलिक्स हॉसडॉर्फ सन्निकटन भी कहा जाता है) माप $\ f\colon X\to Y\$ $\ f\colon X\to Y\$ है मीट्रिक समष्टि के बीच जैसे कि
1. के लिए $x,x'\in X$ किसी के पास $\ |d_{Y}(f(x),f(x'))-d_{X}(x,x')|<\varepsilon \ ,$ और
2. किसी भी बिंदु के लिए $y\in Y$ बिन्दु $\ x\in X$ के साथ $d_{Y}(y,f(x))<\varepsilon \$ उपस्थित होता है

अर्थात् कोई

ε

-आइसोमेट्री

ε

के अन्दर की दूरियों को निरंतर रखती है और डोमेन के कोई तत्व की प्रतिबिम्ब से दूर

ε

से आगे कोडोमेन का कोई तत्व नहीं छोड़ता है। ध्यान दें कि

ε

-आइसोमेट्री को निरंतर कार्य नहीं माना जाता है।

प्रतिबंधित आइसोमेट्री संपत्ति विरल वैक्टर के लिए लगभग आइसोमेट्रिक मैट्रिसेस की विशेषता है।
अर्ध आइसोमेट्री अन्य उपयोगी सामान्यीकरण है।
कोई तत्व को सार यूनिटल C*-बीजगणित में आइसोमेट्री के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है:
$\ a\in {\mathfrak {A}}\$ आइसोमेट्री है यदि और केवल यदि $\ a^{*}\cdot a=1\ .$

ध्यान दें कि जैसा कि परिचय में उल्लेख किया गया है, यह आवश्यक रूप से एकात्मक तत्व नहीं है क्योंकि सामान्यतः यह नहीं होता है कि बाएं व्युत्क्रम सही व्युत्क्रम है।

स्यूडो-यूक्लिडियन समष्टि पर, आइसोमेट्री शब्द का अर्थ परिमाण को संरक्षित करने वाला रेखीय आक्षेप है। द्विघात समष्टि भी देखें।

यह भी देखें

बेकमैन-क्वार्ल्स प्रमेय
अनुरूप मैप
डुअल नॉर्म द सेकंड ड्यूल ऑफ़ अ बैनाच समष्टि
यूक्लिडियन प्लेन आइसोमेट्री
फ्लैट (ज्यामिति)
होमोमोर्फिज्म समूह
इन्वोल्यूशन (गणित)
आइसोमेट्री समूह
गति (ज्यामिति)
मायर्स-स्टीनरोड प्रमेय
ओर्थोगोनल ग्रुप 3डी आइसोमेट्रीज जो मूल को स्थिर छोड़ देते हैं
आंशिक आइसोमेट्री
स्केलिंग (ज्यामिति)
अर्ध निश्चित एम्बेडिंग
समष्टि समूह
गणित में समरूपता

फुटनोट्स

↑ ^1.0 ^1.1
"We shall find it convenient to use the word transformation in the special sense of a one-to-one correspondence $\ P\to P'\$ among all points in the plane (or in space), that is, a rule for associating pairs of points, with the understanding that each pair has a first member $P$ and a second member $P'$ and that every point occurs as the first member of just one pair and also as the second member of just one pair...
In particular, an isometry (or "congruent transformation," or "congruence") is a transformation which preserves length ..." — Coxeter (1969) p. 29^[1]
↑
3.11 Any two congruent triangles are related by a unique isometry.— Coxeter (1969) p. 39^[3]
↑
Let $T$ be a transformation (possibly many-valued) of $E^{n}$ ( $2\leq n<\infty$ ) into itself.
Let $d(p,q)$ be the distance between points $p$ and $q$ of $E^{n}$ , and let $Tp$ , $Tq$ be any images of $p$ and $q$ , respectively.
If there is a length $a$ > 0 such that $d(Tp,Tq)=a$ whenever $d(p,q)=a$ , then $T$ is a Euclidean transformation of $E^{n}$ onto itself.^[4]

संदर्भ

↑ Coxeter 1969, p. 29
↑ Coxeter 1969, p. 46
3.51 Any direct isometry is either a translation or a rotation. Any opposite isometry is either a reflection or a glide reflection.
↑ Coxeter 1969, p. 39
↑ ^4.0 ^4.1 Beckman, F.S.; Quarles, D.A., Jr. (1953). "On isometries of Euclidean spaces" (PDF). Proceedings of the American Mathematical Society. 4 (5): 810–815. doi:10.2307/2032415. JSTOR 2032415. MR 0058193.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
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↑ Saul, Lawrence K.; Roweis, Sam T. (June 2003). "Think globally, fit locally: Unsupervised learning of nonlinear manifolds". Journal of Machine Learning Research. 4 (June): 119–155. Quadratic optimisation of $\ \mathbf {M} =(I-W)^{\top }(I-W)\$ (page 135) such that $\ \mathbf {M} \equiv YY^{\top }\$
↑ Zhang, Zhenyue; Zha, Hongyuan (2004). "Principal manifolds and nonlinear dimension reduction via local tangent space alignment". SIAM Journal on Scientific Computing. 26 (1): 313–338. CiteSeerX 10.1.1.211.9957. doi:10.1137/s1064827502419154.
↑ Zhang, Zhenyue; Wang, Jing (2006). "MLLE: Modified locally linear embedding using multiple weights". In Schölkopf, B.; Platt, J.; Hoffman, T. (eds.). Advances in Neural Information Processing Systems. NIPS 2006. NeurIPS Proceedings. Vol. 19. pp. 1593–1600. ISBN 9781622760381. It can retrieve the ideal embedding if MLLE is applied on data points sampled from an isometric manifold.

ग्रन्थसूची

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Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces. GTM. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.
Trèves, François (2006) [1967]. Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels. Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322.
Wilansky, Albert (2013). Modern Methods in Topological Vector Spaces. Mineola, New York: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC 849801114.
Coxeter, H. S. M. (1969). Introduction to Geometry, Second edition. Wiley. ISBN 9780471504580.
Lee, Jeffrey M. (2009). Manifolds and Differential Geometry. Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4815-9.

[CoxeterIsometryDef-2] 1.0 ^1.1
"We shall find it convenient to use the word transformation in the special sense of a one-to-one correspondence $\ P\to P'\$ among all points in the plane (or in space), that is, a rule for associating pairs of points, with the understanding that each pair has a first member $P$ and a second member $P'$ and that every point occurs as the first member of just one pair and also as the second member of just one pair...
In particular, an isometry (or "congruent transformation," or "congruence") is a transformation which preserves length ..." — Coxeter (1969) p. 29^[1]

[5] 
3.11 Any two congruent triangles are related by a unique isometry.— Coxeter (1969) p. 39^[3]

[7] 
Let $T$ be a transformation (possibly many-valued) of $E^{n}$ ( $2\leq n<\infty$ ) into itself.
Let $d(p,q)$ be the distance between points $p$ and $q$ of $E^{n}$ , and let $Tp$ , $Tq$ be any images of $p$ and $q$ , respectively.
If there is a length $a$ > 0 such that $d(Tp,Tq)=a$ whenever $d(p,q)=a$ , then $T$ is a Euclidean transformation of $E^{n}$ onto itself.^[4]

[1] Coxeter 1969, p. 29

[3] Coxeter 1969, p. 46
3.51 Any direct isometry is either a translation or a rotation. Any opposite isometry is either a reflection or a glide reflection.

[4] Coxeter 1969, p. 39

[Beckman-Quarles-1953-6] 4.0 ^4.1 Beckman, F.S.; Quarles, D.A., Jr. (1953). "On isometries of Euclidean spaces" (PDF). Proceedings of the American Mathematical Society. 4 (5): 810–815. doi:10.2307/2032415. JSTOR 2032415. MR 0058193.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)

[FOOTNOTENariciBeckenstein2011275–339-8] 5.0 ^5.1 Narici & Beckenstein 2011, pp. 275–339.

[FOOTNOTEWilansky201321–26-9] Wilansky 2013, pp. 21–26.

[Thomsen_2017_p125-10] Thomsen, Jesper Funch (2017). लीनियर अलजेब्रा [Linear Algebra]. Department of Mathematics (in dansk). Århus: Aarhus University. p. 125.

[11] Roweis, S.T.; Saul, L.K. (2000). "Nonlinear dimensionality reduction by locally linear embedding". Science. 290 (5500): 2323–2326. CiteSeerX 10.1.1.111.3313. doi:10.1126/science.290.5500.2323. PMID 11125150.

[12] Saul, Lawrence K.; Roweis, Sam T. (June 2003). "Think globally, fit locally: Unsupervised learning of nonlinear manifolds". Journal of Machine Learning Research. 4 (June): 119–155. Quadratic optimisation of $\ \mathbf {M} =(I-W)^{\top }(I-W)\$ (page 135) such that $\ \mathbf {M} \equiv YY^{\top }\$

[Zhang-Zha-2004-13] Zhang, Zhenyue; Zha, Hongyuan (2004). "Principal manifolds and nonlinear dimension reduction via local tangent space alignment". SIAM Journal on Scientific Computing. 26 (1): 313–338. CiteSeerX 10.1.1.211.9957. doi:10.1137/s1064827502419154.

[Zhang-Wang-2006-14] Zhang, Zhenyue; Wang, Jing (2006). "MLLE: Modified locally linear embedding using multiple weights". In Schölkopf, B.; Platt, J.; Hoffman, T. (eds.). Advances in Neural Information Processing Systems. NIPS 2006. NeurIPS Proceedings. Vol. 19. pp. 1593–1600. ISBN 9781622760381. It can retrieve the ideal embedding if MLLE is applied on data points sampled from an isometric manifold.

[lower-alpha 1]

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[lower-alpha 2]

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