चरण आकृति

312x312px और साधारण पेंडुलम का चरण चित्र। ध्यान दें कि x-अक्ष, कोणीय होने के कारण, प्रत्येक 2π रेडियन के बाद स्वयं पर लपेटता है।

एक साधारण पेंडुलम की गति के लिए चरण चित्र का निर्माण कैसे किया जाएगा इसका चित्रण।

वैन डेर पोल का समीकरण, ${\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+\mu (y^{2}-1){\frac {dy}{dt}}+y=0$.

एक चरण चित्र चरण समष्टि में गतिशील प्रणाली के प्रक्षेपवक्रों का एक ज्यामितीय प्रतिनिधित्व है। प्रारंभिक स्थितियों के प्रत्येक समुच्चय को एक अलग वक्र या बिंदु द्वारा दर्शाया जाता है।

गतिशील प्रणाली के अध्ययन में चरण चित्र अमूल्य उपकरण हैं। वे समष्टि अवस्था में विशिष्ट प्रक्षेपवक्र के भूखंड (ग्राफिक्स) से युक्त होते हैं। इससे जानकारी का पता चलता है जैसे कि चुने गए पैरामीटर मान के लिए आकर्षित करने वाला, प्रतिकारक या सीमा चक्र उपस्थित है या नहीं। जब दो अलग-अलग चरण चित्र एक ही गुणात्मक गतिशील व्यवहार का प्रतिनिधित्व करते हैं, तो निर्दिष्ट करके प्रणाली के व्यवहार को वर्गीकृत करने में टोपोलॉजिकल संयुग्मन की अवधारणा महत्वपूर्ण है। यह आकर्षित करने वाला स्थिर बिंदु है जिसे सिंक भी कहा जाता है। रिपेलर को अस्थिर बिंदु माना जाता है, जिसे स्रोत के रूप में भी जाना जाता है।

एक गतिशील प्रणाली का चरण चित्र रेखांकन एक स्टेट समष्टि में प्रणाली के प्रक्षेपवक्र (तीरों के साथ) और स्थिर अवस्थाओं (डॉट्स के साथ) और अस्थिर स्थिर अवस्थाओं (मंडलियों के साथ) को दर्शाता है। अक्ष अवस्था वेरिएबल (चर) के हैं।

उदाहरण

• साधारण पेंडुलम, चित्र देखें (दाएं)।
• सरल हार्मोनिक थरथरानवाला जहां चरण चित्र मूल पर केंद्रित दीर्घवृत्त से बना होता है, जो निश्चित बिंदु है।
• वैन डेर पोल ऑसिलेटर चित्र देखें (नीचे दाएं)।
• कॉम्प्लेक्स_क्वाड्रैटिक_पोलिनोमियल या पैरामीटर_प्लेन|पैरामीटर प्लेन (सी-प्लेन) और मैंडेलब्रॉट समुच्चय

साधारण अंतर समीकरणों के व्यवहार की कल्पना करना

एक चरण चित्र सामान्य अंतर समीकरणों (ओडीई) की प्रणाली के दिशात्मक व्यवहार का प्रतिनिधित्व करता है। चरण चित्र प्रणाली की स्थिरता का संकेत दे सकता है।

स्थिरता

अस्थिर	प्रणली के अधिकांश समाधान समय के साथ ∞ की ओर जाते हैं
विषम रूप से स्थिर	प्रणली के सभी समाधान समय के साथ 0 हो जाते हैं
तटस्थ रूप से स्थिर	प्रणली का कोई भी समाधान समय के साथ ∞ की ओर नहीं जाता है, किन्तु अधिकांश समाधान 0 की ओर भी नहीं जाते हैं

ओडीईएस की प्रणाली का चरण चित्र व्यवहार आइजनवैल्यू ​​​​या ट्रेस (रैखिक बीजगणित) और निर्धारक (ट्रेस = λ₁ + λ₂, निर्धारित = λ₁ x λ₂) द्वारा निर्धारित किया जा सकता है।

चरण पोर्ट्रेट व्यवहार

आइजनवैल्यू ट्रेस, निर्धारक	चरण पोर्ट्रेट आकार
λ1 और λ2 वास्तविक हैं और विपरीत चिन्ह के हैं; निर्धारक < 0	काठी (अस्थिर)
λ1 और λ2 वास्तविक हैं और एक ही चिह्न के हैं, और λ1 ≠ λ2; 0 <निर्धारक <(ट्रेस2 2/4)	नोड (स्थिर अगर ट्रेस <0, अस्थिर अगर ट्रेस> 0)
λ1 और λ2 में वास्तविक और काल्पनिक दोनों घटक हैं; (ट्रेस2 2/4) <निर्धारक	सर्पिल (स्थिर अगर ट्रेस <0, अस्थिर अगर ट्रेस> 0)

यह भी देखें

• चरण समष्टि
• चरण समष्टि

संदर्भ

• Jordan, D. W.; Smith, P. (2007). Nonlinear Ordinary Differential Equations (fourth ed.). Oxford University Press. ISBN 978-0-19-920824-1. Chapter 1.
• Steven Strogatz (2001). Non-linear Dynamics and Chaos: With applications to Physics, Biology, Chemistry and Engineering. ISBN 9780738204536.

बाहरी संबंध

• Linear Phase Portraits, an MIT Mathlet.