एफ(आर) गुरुत्वाकर्षण

f(R) सामान्य सापेक्षता सिद्धांत का एक प्रकार का विकल्प है जो अल्बर्ट आइंस्टीन|आइंस्टीन की सामान्य सापेक्षता का सामान्यीकरण करता है। f(R) गुरुत्वाकर्षण वास्तव में सिद्धांतों का एक परिवार है, प्रत्येक को एक अलग कार्य द्वारा परिभाषित किया गया है, f, अदिश वक्रता का, R. सबसे सरल मामला केवल फलन का अदिश राशि के बराबर होना है; यह सामान्य सापेक्षता है. एक मनमाना फ़ंक्शन शुरू करने के परिणामस्वरूप, काली ऊर्जा या गहरे द्रव्य के अज्ञात रूपों को जोड़े बिना त्वरित ब्रह्मांड और ब्रह्मांड की संरचना के गठन की व्याख्या करने की स्वतंत्रता हो सकती है। कुछ कार्यात्मक रूप क्वांटम गुरुत्व से उत्पन्न होने वाले सुधारों से प्रेरित हो सकते हैं। f(R) गुरुत्वाकर्षण का प्रस्ताव पहली बार 1970 में हंस एडोल्फ बुचडाहल द्वारा किया गया था (हालांकि {{var|ϕ}के स्थान पर } का प्रयोग किया गया f मनमाना फ़ंक्शन के नाम के लिए)। मुद्रास्फीति (ब्रह्मांड विज्ञान) पर एलेक्सी स्टारोबिंस्की के काम के बाद यह अनुसंधान का एक सक्रिय क्षेत्र बन गया है। विभिन्न कार्यों को अपनाकर इस सिद्धांत से घटनाओं की एक विस्तृत श्रृंखला उत्पन्न की जा सकती है; हालाँकि, कई कार्यात्मक रूपों को अब अवलोकन के आधार पर, या रोग संबंधी सैद्धांतिक समस्याओं के कारण खारिज किया जा सकता है।

परिचय

में f(R) गुरुत्वाकर्षण, आइंस्टीन-हिल्बर्ट कार्रवाई के लैग्रेंजियन (क्षेत्र सिद्धांत) को सामान्य बनाना चाहता है:

$$S[g]=\int {1 \over 2\kappa }R{\sqrt {-g}}\,\mathrm {d} ^{4}x$$

को

$$S[g]=\int {1 \over 2\kappa }f(R){\sqrt {-g}}\,\mathrm {d} ^{4}x$$

कहाँ $\kappa ={\tfrac {8\pi G}{c^{4}}},g=\det g_{\mu \nu }$ मीट्रिक टेंसर का निर्धारक है, और $f(R)$ अदिश वक्रता का कुछ कार्य है। परिवर्तन के प्रभाव को ट्रैक करने के दो तरीके हैं $R$ को $f(R)$, यानी, सिद्धांत क्षेत्र समीकरण प्राप्त करने के लिए। पहला है #Metric_f(R)_गुरुत्वाकर्षण का उपयोग करना और दूसरा है #Palatini_f(R)_गुरुत्वाकर्षण का उपयोग करना।जबकि दो औपचारिकताएँ सामान्य सापेक्षता के लिए समान क्षेत्र समीकरणों की ओर ले जाती हैं, अर्थात, कब $f(R)=R$, फ़ील्ड समीकरण भिन्न हो सकते हैं जब $f(R)\neq R$.

मीट्रिक f(R)गुरुत्वाकर्षण

क्षेत्र समीकरणों की व्युत्पत्ति

मीट्रिक में f(R) गुरुत्वाकर्षण, कोई मीट्रिक_टेंसर_(सामान्य_सापेक्षता) के संबंध में कार्रवाई को अलग-अलग करके और गणित_ऑफ_सामान्य_सापेक्षता#एफ़िन_कनेक्शन का इलाज न करके फ़ील्ड समीकरणों पर पहुंचता है $\Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }$ स्वतंत्र रूप से। पूर्णता के लिए अब हम क्रिया के परिवर्तन के मूल चरणों का संक्षेप में उल्लेख करेंगे। मुख्य चरण वही हैं जो आइंस्टीन-हिल्बर्ट कार्रवाई की भिन्नता के मामले में थे (अधिक विवरण के लिए लेख देखें) लेकिन कुछ महत्वपूर्ण अंतर भी हैं।

निर्धारक की भिन्नता हमेशा की तरह है:

$$\delta {\sqrt {-g}}=-{\frac {1}{2}}{\sqrt {-g}}g_{\mu \nu }\delta g^{\mu \nu }$$

रिक्की अदिश को इस प्रकार परिभाषित किया गया है

$$R=g^{\mu \nu }R_{\mu \nu }.$$

इसलिए, व्युत्क्रम मीट्रिक के संबंध में इसकी भिन्नता $g^{\mu \nu }$ द्वारा दिया गया है

$${\begin{aligned}\delta R&=R_{\mu \nu }\delta g^{\mu \nu }+g^{\mu \nu }\delta R_{\mu \nu }\\&=R_{\mu \nu }\delta g^{\mu \nu }+g^{\mu \nu }\left(\nabla _{\rho }\delta \Gamma _{\nu \mu }^{\rho }-\nabla _{\nu }\delta \Gamma _{\rho \mu }^{\rho }\right)\end{aligned}}$$

दूसरे चरण के लिए आइंस्टीन-हिल्बर्ट कार्रवाई के बारे में लेख देखें। तब से $\delta \Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }$दो कनेक्शनों का अंतर है, इसे एक टेंसर के रूप में बदलना चाहिए। अत: इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है

$$\delta \Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }={\frac {1}{2}}g^{\lambda a}\left(\nabla _{\mu }\delta g_{a\nu }+\nabla _{\nu }\delta g_{a\mu }-\nabla _{a}\delta g_{\mu \nu }\right).$$

उपरोक्त समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:

$$\delta R=R_{\mu \nu }\delta g^{\mu \nu }+g_{\mu \nu }\Box \delta g^{\mu \nu }-\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }\delta g^{\mu \nu }$$

कहाँ $\nabla _{\mu }$सहसंयोजक व्युत्पन्न है और $\square =g^{\mu \nu }\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }$ डी'एलेम्बर्ट ऑपरेटर है।

दर्शाने $F(R)={\frac {df}{dR}}$, क्रिया में भिन्नता पढ़ती है:

$${\begin{aligned}\delta S[g]&=\int {\frac {1}{2\kappa }}\left(\delta f(R){\sqrt {-g}}+f(R)\delta {\sqrt {-g}}\right)\,\mathrm {d} ^{4}x\\&=\int {\frac {1}{2\kappa }}\left(F(R)\delta R{\sqrt {-g}}-{\frac {1}{2}}{\sqrt {-g}}g_{\mu \nu }\delta g^{\mu \nu }f(R)\right)\,\mathrm {d} ^{4}x\\&=\int {\frac {1}{2\kappa }}{\sqrt {-g}}\left(F(R)(R_{\mu \nu }\delta g^{\mu \nu }+g_{\mu \nu }\Box \delta g^{\mu \nu }-\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }\delta g^{\mu \nu })-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }\delta g^{\mu \nu }f(R)\right)\,\mathrm {d} ^{4}x\end{aligned}}$$

दूसरे और तीसरे पदों पर भागों द्वारा एकीकरण (और सीमा योगदान की उपेक्षा) करने पर, हमें मिलता है:

$$\delta S[g]=\int {\frac {1}{2\kappa }}{\sqrt {-g}}\delta g^{\mu \nu }\left(F(R)R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }f(R)+[g_{\mu \nu }\Box -\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }]F(R)\right)\,\mathrm {d} ^{4}x.$$

यह मांग करके कि मीट्रिक की विविधताओं के तहत कार्रवाई अपरिवर्तनीय बनी रहे, ${\frac {\delta S}{\delta g^{\mu \nu }}}=0$, कोई फ़ील्ड समीकरण प्राप्त करता है:

$$F(R)R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }f(R)+\left[g_{\mu \nu }\Box -\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }\right]F(R)=\kappa T_{\mu \nu },$$

कहाँ $T_{\mu \nu }$ऊर्जा-संवेग टेंसर के रूप में परिभाषित किया गया है

$$T_{\mu \nu }=-{\frac {2}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta ({\sqrt {-g}}{\mathcal {L}}_{\mathrm {m} })}{\delta g^{\mu \nu }}},$$

कहाँ ${\mathcal {L}}_{m}$मामला लैग्रेन्जियन का है.

सामान्यीकृत फ्रीडमैन समीकरण

स्केल फैक्टर के साथ रॉबर्टसन-वॉकर मीट्रिक मानते हुए $a(t)$ हम सामान्यीकृत फ्रीडमैन समीकरण (इकाइयों में जहां) पा सकते हैं $\kappa =1$):

$$3FH^{2}=\rho _{\rm {m}}+\rho _{\rm {rad}}+{\frac {1}{2}}(FR-f)-3H{\dot {F}}$$

$$-2F{\dot {H}}=\rho _{\rm {m}}+{\frac {4}{3}}\rho _{\rm {rad}}+{\ddot {F}}-H{\dot {F}},$$

कहाँ

$$H={\frac {\dot {a}}{a}}$$

हबल पैरामीटर है, बिंदु ब्रह्मांडीय समय के संबंध में व्युत्पन्न है t, और शर्तें ρ_m और ρ_rad क्रमशः पदार्थ और विकिरण घनत्व का प्रतिनिधित्व करें; ये निरंतरता समीकरणों को संतुष्ट करते हैं:

$${\dot {\rho }}_{\rm {m}}+3H\rho _{\rm {m}}=0;$$

$${\dot {\rho }}_{\rm {rad}}+4H\rho _{\rm {rad}}=0.$$

संशोधित न्यूटन स्थिरांक

इन सिद्धांतों की एक दिलचस्प विशेषता यह तथ्य है कि गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक समय और पैमाने पर निर्भर है। इसे देखने के लिए, मीट्रिक में एक छोटा अदिश गड़बड़ी जोड़ें (न्यूटोनियन गेज में):

$$\mathrm {d} s^{2}=-(1+2\Phi )\mathrm {d} t^{2}+\alpha ^{2}(1-2\Psi )\delta _{ij}\mathrm {d} x^{i}\mathrm {d} x^{j}$$

कहाँ Φ और Ψ न्यूटोनियन क्षमताएं हैं और पहले क्रम में फ़ील्ड समीकरणों का उपयोग करें। कुछ लंबी गणनाओं के बाद, कोई फूरियर अंतरिक्ष में पॉइसन समीकरण को परिभाषित कर सकता है और दाहिनी ओर दिखाई देने वाले अतिरिक्त शब्दों को एक प्रभावी गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक के रूप में प्रस्तुत कर सकता है। G_eff. ऐसा करने पर, हमें गुरुत्वाकर्षण क्षमता (उप-ब्रह्मांड संबंधी क्षितिज तराजू पर मान्य) मिलती है k² ≫ a²H²):

$$\Phi =-4\pi G_{\mathrm {eff} }{\frac {a^{2}}{k^{2}}}\delta \rho _{\mathrm {m} }$$

कहाँ δρ_m पदार्थ के घनत्व में गड़बड़ी है, k फूरियर स्केल है और G_eff है:

$$G_{\mathrm {eff} }={\frac {1}{8\pi F}}{\frac {1+4{\frac {k^{2}}{a^{2}R}}m}{1+3{\frac {k^{2}}{a^{2}R}}m}},$$

साथ

$$m\equiv {\frac {RF_{,R}}{F}}.$$

विशाल [[गुरुत्वाकर्षण तरंग]]ें

सिद्धांतों का यह वर्ग जब रैखिककृत होता है तो गुरुत्वाकर्षण तरंगों के लिए तीन ध्रुवीकरण मोड प्रदर्शित करता है, जिनमें से दो द्रव्यमानहीन गुरुत्वाकर्षण (हेलिकॉप्टर ±2) के अनुरूप होते हैं और तीसरा (स्केलर) इस तथ्य से आता है कि यदि हम एक अनुरूप परिवर्तन को ध्यान में रखते हैं, तो चतुर्थ क्रम सिद्धांत f(R) सामान्य सापेक्षता प्लस एक अदिश क्षेत्र बन जाता है। ये देखना है तो पहचानो

$$\Phi \to f'(R)\quad {\textrm {and}}\quad {\frac {dV}{d\Phi }}\to {\frac {2f(R)-Rf'(R)}{3}},$$

और प्राप्त करने के लिए उपरोक्त फ़ील्ड समीकरणों का उपयोग करें

$$\Box \Phi ={\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} \Phi }}$$

गड़बड़ी सिद्धांत के पहले क्रम पर कार्य करना:

$$g_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }+h_{\mu \nu }$$

$$\Phi =\Phi _{0}+\delta \Phi$$

और कुछ कठिन बीजगणित के बाद, कोई मीट्रिक गड़बड़ी को हल कर सकता है, जो गुरुत्वाकर्षण तरंगों से मेल खाती है। में फैलने वाली तरंग के लिए एक विशेष आवृत्ति घटक z-दिशा, के रूप में लिखा जा सकता है

$$h_{\mu \nu }(t,z;\omega )=A^{+}(\omega )\exp(-i\omega (t-z))e_{\mu \nu }^{+}+A^{\times }(\omega )\exp(-i\omega (t-z))e_{\mu \nu }^{\times }+h_{f}(v_{\mathrm {g} }t-z;\omega )\eta _{\mu \nu }$$

कहाँ

$$h_{f}\equiv {\frac {\delta \Phi }{\Phi _{0}}},$$

और v_g(ω)=डीω/डीk एक तरंग पैकेट का समूह वेग है h_f वेव-वेक्टर पर केन्द्रित k. पहले दो पद सामान्य सापेक्षता से सामान्य गुरुत्वाकर्षण तरंगों#रैखिक सन्निकटन से मेल खाते हैं, जबकि तीसरा नए विशाल ध्रुवीकरण मोड से मेल खाता है f(R) सिद्धांत. यह मोड द्रव्यमान रहित अनुप्रस्थ श्वास मोड (लेकिन ट्रेसलेस नहीं) और बड़े पैमाने पर अनुदैर्ध्य स्केलर मोड का मिश्रण है। अनुप्रस्थ और ट्रेसलेस मोड (जिसे टेंसर मोड के रूप में भी जाना जाता है) प्रकाश की गति से फैलता है, लेकिन विशाल स्केलर मोड तेज गति से चलता है v_G< 1 (इकाइयों में जहां c=1), यह मोड फैलावशील है। हालाँकि, में f(R) मॉडल के लिए गुरुत्वाकर्षण मीट्रिक औपचारिकता $f(R)=\alpha R^{2}$ (शुद्ध के रूप में भी जाना जाता है $R^{2}$ मॉडल), तीसरा ध्रुवीकरण मोड एक शुद्ध श्वास मोड है और स्पेसटाइम के माध्यम से प्रकाश की गति से फैलता है।

समतुल्य औपचारिकता

कुछ अतिरिक्त शर्तों के तहत हम इसके विश्लेषण को सरल बना सकते हैं f(R) एक सहायक क्षेत्र का परिचय देकर सिद्धांत Φ. यह मानते हुए $f''(R)\neq 0$ सभी के लिए R, होने देना V(Φ) का लीजेंड्रे रूपांतरण हो f(R) ताकि $\Phi =f'(R)$ और $R=V'(\Phi )$. फिर, व्यक्ति को O'Hanlon (1972) क्रिया प्राप्त होती है:

$$S=\int d^{4}x{\sqrt {-g}}\left[{\frac {1}{2\kappa }}\left(\Phi R-V(\Phi )\right)+{\mathcal {L}}_{\text{m}}\right].$$

हमारे पास यूलर-लैग्रेंज समीकरण हैं

$$V'(\Phi )=R$$

$$\Phi \left(R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }R\right)+\left(g_{\mu \nu }\Box -\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }\right)\Phi +{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }V(\Phi )=\kappa T_{\mu \nu }$$

खत्म करना Φ, हमें बिल्कुल पहले जैसे ही समीकरण प्राप्त होते हैं। हालाँकि, डेरिवेटिव में समीकरण चौथे क्रम के बजाय केवल दूसरे क्रम के हैं।

हम वर्तमान में जॉर्डन और आइंस्टीन फ्रेम के साथ काम कर रहे हैं। अनुरूप पुनर्स्केलिंग करके

$${\tilde {g}}_{\mu \nu }=\Phi g_{\mu \nu },$$

हम आइंस्टीन फ्रेम में बदल जाते हैं:

$$R=\Phi \left[{\tilde {R}}+{\frac {3{\tilde {\Box }}\Phi }{\Phi }}-{\frac {9}{2}}\left({\frac {{\tilde {\nabla }}\Phi }{\Phi }}\right)^{2}\right]$$

$$S=\int d^{4}x{\sqrt {-{\tilde {g}}}}{\frac {1}{2\kappa }}\left[{\tilde {R}}-{\frac {3}{2}}\left({\frac {{\tilde {\nabla }}\Phi }{\Phi }}\right)^{2}-{\frac {V(\Phi )}{\Phi ^{2}}}\right]$$

भागों द्वारा एकीकृत करने के बाद.

परिभाषित ${\tilde {\Phi }}={\sqrt {3}}\ln {\Phi }$, और प्रतिस्थापित करना

$$S=\int \mathrm {d} ^{4}x{\sqrt {-{\tilde {g}}}}{\frac {1}{2\kappa }}\left[{\tilde {R}}-{\frac {1}{2}}\left({\tilde {\nabla }}{\tilde {\Phi }}\right)^{2}-{\tilde {V}}({\tilde {\Phi }})\right]$$

$${\tilde {V}}({\tilde {\Phi }})=e^{-{\frac {2}{\sqrt {3}}}{\tilde {\Phi }}}V\left(e^{{\tilde {\Phi }}/{\sqrt {3}}}\right).$$

यह वास्तविक अदिश क्षेत्र से जुड़ी सामान्य सापेक्षता है: उपयोग करना f(R) त्वरित ब्रह्मांड का वर्णन करने के लिए सिद्धांत व्यावहारिक रूप से सर्वोत्कृष्टता (भौतिकी) का उपयोग करने के बराबर है। (कम से कम, इस चेतावनी के समतुल्य कि हमने अभी तक पदार्थ युग्मन निर्दिष्ट नहीं किया है, इसलिए (उदाहरण के लिए) f(R) गुरुत्वाकर्षण जिसमें पदार्थ न्यूनतम रूप से मीट्रिक से जुड़ा होता है (अर्थात, जॉर्डन फ्रेम में) एक सर्वोत्कृष्ट सिद्धांत के बराबर है जिसमें अदिश क्षेत्र गुरुत्वाकर्षण शक्ति के साथ पांचवें बल की मध्यस्थता करता है।)

प्लैटिनम f(R)गुरुत्वाकर्षण

पलाटिनी भिन्नता में f(R) गुरुत्वाकर्षण, कोई मीट्रिक और कनेक्शन (गणित) को स्वतंत्र रूप से मानता है और उनमें से प्रत्येक के संबंध में कार्रवाई को अलग-अलग बदलता है। लैग्रेंजियन मामले को कनेक्शन से स्वतंत्र माना जाता है। इन सिद्धांतों को ब्रैन्स-डिके सिद्धांत के समकक्ष दिखाया गया है ω = −3⁄2. हालाँकि, सिद्धांत की संरचना के कारण, पलाटिनी f(R) सिद्धांत मानक मॉडल के विरोध में प्रतीत होते हैं, सौर मंडल प्रयोगों का उल्लंघन हो सकता है,और अवांछित विलक्षणताएँ निर्मित करते प्रतीत होते हैं।

मीट्रिक-एफ़िन f(R)गुरुत्वाकर्षण

मेट्रिक-एफ़िन गुरुत्वाकर्षण सिद्धांत में|मेट्रिक-एफ़िन f(R) गुरुत्वाकर्षण, व्यक्ति चीजों को और भी अधिक सामान्यीकृत करता है, मीट्रिक और कनेक्शन दोनों को स्वतंत्र रूप से मानता है, और यह मानता है कि मामला लैग्रेंजियन कनेक्शन पर भी निर्भर करता है।

अवलोकनात्मक परीक्षण

चूंकि इसके कई संभावित रूप हैं f(R) गुरुत्वाकर्षण, सामान्य परीक्षण खोजना कठिन है। इसके अतिरिक्त, चूंकि कुछ मामलों में सामान्य सापेक्षता से विचलन को मनमाने ढंग से छोटा किया जा सकता है, इसलिए कुछ संशोधनों को निर्णायक रूप से बाहर करना असंभव है। कार्य को कोई ठोस रूप दिए बिना भी कुछ प्रगति की जा सकती है f(R) टेलर श्रृंखला द्वारा

$$f(R)=a_{0}+a_{1}R+a_{2}R^{2}+\cdots$$

पहला पद ब्रह्माण्ड संबंधी स्थिरांक की तरह है और छोटा होना चाहिए। अगला गुणांक a₁ सामान्य सापेक्षता की तरह एक पर सेट किया जा सकता है। मीट्रिक के लिए f(R) गुरुत्वाकर्षण (पालाटिनी या मीट्रिक-एफ़िन के विपरीत)। f(R) गुरुत्वाकर्षण), द्विघात शब्द को पांचवें बल माप द्वारा सर्वोत्तम रूप से नियंत्रित किया जाता है, क्योंकि यह गुरुत्वाकर्षण क्षमता में युकावा संभावित सुधार की ओर ले जाता है। सर्वोत्तम वर्तमान सीमाएँ हैं |a₂| < 4×10⁻⁹ m² या समकक्ष |a₂| < 2.3×10²² GeV⁻². पैरामीटरयुक्त पोस्ट-न्यूटोनियन औपचारिकता को गुरुत्वाकर्षण के सामान्य संशोधित सिद्धांतों को बाधित करने में सक्षम बनाने के लिए डिज़ाइन किया गया है। तथापि, f(R) गुरुत्वाकर्षण सामान्य सापेक्षता के समान कई मूल्यों को साझा करता है, और इसलिए इन परीक्षणों का उपयोग करके अप्रभेद्य है। विशेष रूप से प्रकाश विक्षेपण अपरिवर्तित है, इसलिए f(R) गुरुत्वाकर्षण, सामान्य सापेक्षता की तरह, सामान्य सापेक्षता के कैसिनी-ह्यूजेंस#परीक्षणों की सीमाओं के साथ पूरी तरह से सुसंगत है।

स्टारोबिंस्की गुरुत्वाकर्षण

Main article: Starobinsky inflation

स्टारोबिंस्की गुरुत्वाकर्षण का निम्नलिखित रूप है

$$f(R)=R+{\frac {R^{2}}{6M^{2}}}$$

कहाँ $M$ द्रव्यमान के आयाम हैं। स्टारोबिंस्की गुरुत्वाकर्षण, महा विस्फोट के ठीक बाद ब्रह्मांडीय मुद्रास्फीति_(ब्रह्मांड विज्ञान) के लिए एक तंत्र प्रदान करता है जब $R$ अभी भी बड़ा था. हालाँकि, यह वर्तमान में ब्रह्मांड के तेजी से बढ़ते विस्तार का वर्णन करने के लिए उपयुक्त नहीं है $R$ बहुत छोटी है। इसका तात्पर्य यह है कि द्विघात पद $f(R)=R+{\frac {R^{2}}{6M^{2}}}$ नगण्य है, अर्थात्, व्यक्ति की प्रवृत्ति होती है $f(R)=R$ जो एक अशक्त ब्रह्माण्ड संबंधी स्थिरांक के साथ सामान्य सापेक्षता है।

गोगोई-गोस्वामी गुरुत्वाकर्षण

गोगोई-गोस्वामी गुरुत्वाकर्षण का निम्नलिखित रूप है

$$f(R)=R-{\frac {\alpha }{\pi }}R_{c}\cot ^{-1}\left({\frac {R_{c}^{2}}{R^{2}}}\right)-\beta R_{c}\left[1-\exp \left(-{\frac {R}{R_{c}}}\right)\right]$$

कहाँ $\alpha$ और $\beta$ दो आयामहीन सकारात्मक स्थिरांक हैं और $R_{c}$ एक विशिष्ट वक्रता स्थिरांक है।

तन्य सामान्यीकरण

f(R) जैसा कि पिछले अनुभागों में प्रस्तुत किया गया गुरुत्वाकर्षण सामान्य सापेक्षता का एक अदिश संशोधन है। अधिक सामान्यतः, हमारे पास एक हो सकता है

$$\int \mathrm {d} ^{D}x{\sqrt {-g}}\,f(R,R^{\mu \nu }R_{\mu \nu },R^{\mu \nu \rho \sigma }R_{\mu \nu \rho \sigma })$$

रिक्की टेंसर और वेइल टेंसर के अपरिवर्तनीयों को शामिल करने वाला युग्मन। विशेष मामले हैं f(R) गुरुत्वाकर्षण, अनुरूप गुरुत्वाकर्षण, गॉस-बोनट गुरुत्वाकर्षण और लवलॉक गुरुत्वाकर्षण। ध्यान दें कि किसी भी गैर-तुच्छ टेंसोरिअल निर्भरता के साथ, हमारे पास आम तौर पर द्रव्यमान रहित गुरुत्वाकर्षण और एक विशाल स्केलर के अलावा, स्वतंत्रता के अतिरिक्त बड़े स्पिन -2 डिग्री होते हैं। एक अपवाद गॉस-बोनट ग्रेविटी है जहां स्पिन-2 घटकों के लिए चौथे क्रम की शर्तें रद्द हो जाती हैं।

यह भी देखें

• गुरुत्वाकर्षण के विस्तारित सिद्धांत
• गॉस-बोनट गुरुत्वाकर्षण
• लवलॉक गुरुत्वाकर्षण

अग्रिम पठन

• See Chapter 29 in the textbook on "Particles and Quantum Fields" by Kleinert, H. (2016), World Scientific (Singapore, 2016) (also available online)
• Sotiriou, T. P.; Faraoni, V. (2010). "f(R) Theories of Gravity". Reviews of Modern Physics. 82 (1): 451–497. arXiv:0805.1726. Bibcode:2010RvMP...82..451S. doi:10.1103/RevModPhys.82.451. S2CID 15024691.
• Sotiriou, T. P. (2009). "6+1 lessons from f(R) gravity". Journal of Physics: Conference Series. 189 (9): 012039. arXiv:0810.5594. Bibcode:2009JPhCS.189a2039S. doi:10.1088/1742-6596/189/1/012039. S2CID 14820388.
• Capozziello, S.; De Laurentis, M. (2011). "Extended Theories of Gravity". Physics Reports. 509 (4–5): 167–321. arXiv:1108.6266. Bibcode:2011PhR...509..167C. doi:10.1016/j.physrep.2011.09.003. S2CID 119296243.
• Salvatore Capozziello and Mariafelicia De Laurentis, (2015) "F(R) theories of gravitation". Scholarpedia, doi:10.4249/scholarpedia.31422
• Kalvakota, Vaibhav R., (2021) "Investigating f(R)" gravity and cosmologies". Mathematical physics preprint archive, https://web.ma.utexas.edu/mp_arc/c/21/21-38.pdf
• S. I. Kruglov (2014). "Modified arctan-gravity model mimicking a cosmological constant". Phys.Rev.D 89, 6, 064004 [arXiv:1310.6915].
• S .I. Kruglov (2013). "On exponential modified gravity". Int.J.Mod.Phys.A 28, 24, 1350119 [arXiv:1204.6709].
• S. I. Kruglov (2016). "Notes on Born–Infeld-like modified gravity". Astrophys.Space Sci. 361, 2, 73 [arXiv:1403.0675].
• S. I. Kruglov (2015). "A new (F(R)-gravity model". Astrophys.Space Sci. 358, 2, 48 [arXiv:1502.00659].
• S. I. Kruglov (2023), "Logarithmic gravity model". Int.J.Mod.Phys. D 32, 06, 2350037 [arXiv:2304.09106].

बाहरी संबंध

• f(R) gravity on arxiv.org
• Extended Theories of Gravity