मॉन्स्टर समूह

This article is about विकीर्ण परिमित सरल समूहों में सबसे बड़ा. For एक प्रकार का अनंत समूह जिसे टार्स्की मॉन्स्टर समूह के रूप में जाना जाता है, see टार्स्की मॉन्स्टर समूह.

अमूर्त बीजगणित के क्षेत्र में जिसे समूह सिद्धांत के रूप में जाना जाता है, मॉन्स्टर समूह M (जिसे फिशर-ग्रीज़ मॉन्स्टर या फ्रेंडली जायंट के रूप में भी जाना जाता है) क्रम (समूह सिद्धांत) वाला सबसे बड़ा विकीर्ण सरल समूह है।
      2⁴⁶ · 3²⁰ · 5⁹ · 7⁶ · 11² · 13³ · 17 · 19 · 23 · 29 · 31 · 41 · 47 · 59 · 71
   = 808,017,424,794,512,875,886,459,904,961,710,757,005,754,368,000,000,000
   ≈ 8×10⁵³.

परिमित सरल समूहों को पूर्णतः वर्गीकृत किया गया है। ऐसा प्रत्येक समूह 18 असंख्य अनंत परिवारों में से एक से संबंधित है या 26 विकीर्ण समूहों में से एक है जो इस प्रकार के व्यवस्थित प्रारूप का पालन नहीं करते हैं। मॉन्स्टर समूह में उप-भाग के रूप में 20 विकीर्ण समूह (स्वयं सहित) सम्मिलित हैं। 1982 में मॉन्स्टर के अस्तित्व को सिद्ध करने वाले रॉबर्ट ग्रिएस ने उन 20 समूहों को हैप्पी फैमिली और शेष छह अपवादों को पारिया समूह कहा है।

इसकी जटिलता के कारण मॉन्स्टर की एक अच्छी रचनात्मक परिभाषा देना कठिन है। मार्टिन गार्डनर ने जून 1980 में साइंटिफिक अमेरिकन में अपने गणितीय खेल कॉलम में मॉन्स्टर समूह का एक लोकप्रिय विवरण लिखा था।

इतिहास

मॉन्स्टर की भविष्यवाणी बर्नड फिशर (गणितज्ञ) (अप्रकाशित, लगभग 1973) और रॉबर्ट ग्रिएस ने एक साधारण समूह के रूप में की थी जिसमें फिशर के बेबी मॉन्स्टर समूह का एक डबल कवरिंग समूह सम्मिलित है जो एक इनवोल्यूशन (समूह सिद्धांत) के सेंट्रलाइज़र और सामान्याइज़र के रूप में था। कुछ माह के अन्दर, थॉम्पसन ऑर्डर फॉर्मूला का उपयोग करके ग्रिज़ द्वारा M का क्रम पाया गया, और फिशर, जॉन हॉर्टन कॉनवे, नॉर्टन और थॉम्पसन ने अन्य समूहों को उप-समूह के रूप में खोजा, जिनमें अनेक ज्ञात विकीर्ण समूह और दो नए समूह सम्मिलित थे: थॉम्पसन समूह (परिमित) और हरदा-नॉर्टन समूह। मॉन्स्टर के करैक्टर सिद्धांत, एक 194-बाई-194 सरणी, की गणना 1979 में फिशर और डोनाल्ड लिविंगस्टोन द्वारा माइकल थॉर्न द्वारा लिखित कंप्यूटर प्रोग्राम का उपयोग करके की गई थी। 1970 के दशक में यह स्पष्ट नहीं था कि मॉन्स्टर वास्तव में अस्तित्व में था या नहीं। ग्रिएस ने एम को ग्रिज़ बीजगणित के ऑटोमोर्फिज्म समूह के रूप में निर्मित किया, जो वास्तविक संख्याओं पर एक 196,884-आयामी क्रमविनिमेय गैर-सहयोगी बीजगणित है; उन्होंने पहली बार 14 जनवरी, 1980 को एन आर्बर में अपने निर्माण की घोषणा की। अपने 1982 के पेपर में, उन्होंने मॉन्स्टर को फ्रेंडली जाइंट के रूप में संदर्भित किया, किन्तु इस नाम को सामान्यतः अपनाया नहीं गया है। जॉन कॉनवे और जैक्स टिट्स ने पश्चात् में इस निर्माण को सरल बनाया था।

ग्रिएस के निर्माण से पता चला कि मॉन्स्टर उपस्थित है। जॉन जी. थॉम्पसन ने दिखाया कि इसकी विशिष्टता (परिमित सरल समूहों के वर्गीकरण से आने वाली कुछ शर्तों को पूरा करने वाले एक साधारण समूह के रूप में) 196,883-आयामी फेथफुल प्रतिनिधित्व के अस्तित्व से उत्पन्न होगी। इस तरह के प्रतिनिधित्व के अस्तित्व का प्रमाण साइमन पी. नॉर्टन द्वारा घोषित किया गया था, चूँकि उन्होंने कभी भी विवरण प्रकाशित नहीं किया। ग्रिज़, मेयरफ्रैंकनफेल्ड और सेगेव ने मॉन्स्टर (अधिक त्रुटिहीन रूप से, उन्होंने दिखाया कि मॉन्स्टर के समान आक्रमणों के केंद्रीकरण वाला एक समूह मॉन्स्टर के लिए आइसोमोर्फिक है) की विशिष्टता का पहला पूर्ण प्रकाशित प्रमाण दिया था।

मॉन्स्टर विकीर्ण सरल समूहों के विकास की परिणति था और इसे फिशर समूह Fi₂₄, बेबी मॉन्स्टर, और कॉनवे समूह Co₁ में से किन्हीं दो तीन उप-समूहों से बनाया जा सकता है।

शूर गुणक और मॉन्स्टर का बाहरी ऑटोमोर्फिज्म समूह दोनों नगण्य समूह हैं।

रिप्रेजेंटेशन

फेथफुल रिप्रजेंटेशन कॉम्प्लेक्स रिप्रेजेंटेशन की न्यूनतम डिग्री 47 × 59 × 71 = 196,883 है, इसलिए यह M के क्रम के तीन सबसे बड़े अभाज्य विभाजकों का उत्पाद है। किसी भी क्षेत्र पर सबसे छोटे फेथफुल रैखिक प्रतिनिधित्व का आयाम दो तत्वों वाले क्षेत्र पर 196,882 है, जो सबसे छोटे फेथफुल जटिल प्रतिनिधित्व के आयाम से केवल एक कम है।

मॉन्स्टर का सबसे छोटा फेथफुल क्रमपरिवर्तन प्रतिनिधित्व 2⁴·3⁷·5³·7⁴ · 11 · 13² · 29 · 41 · 59 · 71 (लगभग 10²⁰) अंक पर है।

मॉन्स्टर को तर्कसंगत संख्याओं पर गैलोज़ समूह और हर्विट्ज़ समूह के रूप में सिद्ध किया जा सकता है।।

मॉन्स्टर सरल समूहों के मध्य असामान्य है क्योंकि इसके तत्वों का प्रतिनिधित्व करने का कोई आसान विधि नहीं है। यह इसके आकार के कारण इतना अधिक नहीं है जितना कि छोटे प्रतिनिधित्वों की अनुपस्थिति के कारण है। उदाहरण के लिए, सरल समूह A₁₀₀ और SL₂₀(2) बहुत बड़े हैं किन्तु गणना करना आसान है क्योंकि उनमें छोटे क्रमपरिवर्तन या रैखिक प्रतिनिधित्व हैं। वैकल्पिक समूह, जैसे A₁₀₀, क्रमपरिवर्तन निरूपण हैं जो समूह के आकार की तुलना में छोटे हैं, और लाई प्रकार के समूह के सभी सीमित सरल समूह, जैसे SL₂₀(2), रैखिक निरूपण हैं जो समूह के आकार की तुलना में छोटे हैं। मॉन्स्टर के अतिरिक्त सभी विकीर्ण समूहों में रैखिक प्रतिनिधित्व भी इतना छोटा होता है कि कंप्यूटर (मॉन्स्टर के पश्चात् अगला सबसे कठिन स्थिति बेबी मॉन्स्टर है, जिसका आयाम 4370 है) पर उनके साथ काम करना आसान होता है।

कंप्यूटर निर्माण

मार्टिन सेसेन ने mmgroup नामक एक तीव्र पायथन (प्रोग्रामिंग भाषा) पैकेज प्रयुक्त किया है, जो मॉन्स्टर समूह का पहला कार्यान्वयन होने का प्रामाणित करता है जहां स्वैच्छिक रूप से संचालन प्रभावी विधि से किया जा सकता है। दस्तावेज़ में कहा गया है कि समूह तत्वों के गुणन में एक सामान्य आधुनिक पीसी पर 40 मिलीसेकंड से भी कम समय लगता है, जो कि 2013 में रॉबर्ट अर्नोट विल्सन के अनुमान से पांच क्रम तीव्र है। एमएमग्रुप सॉफ्टवेयर पैकेज का उपयोग मॉन्स्टर समूह के दो नए अधिकतम उपसमूहों को खोजने के लिए किया गया है।

इससे पहले, रॉबर्ट ए. विल्सन ने स्पष्ट रूप से (कंप्यूटर की सहायता से) दो उलटे 196,882 गुणा 196,882 मैट्रिक्स (जीएफ (2) में तत्वों के साथ) पाए थे, जो मैट्रिक्स गुणन द्वारा एक समूह के मॉन्स्टर समूह का निर्माण कर रहे थे; यह विशेषता 0 में 196,883-आयामी प्रतिनिधित्व से एक आयाम कम है। इन मैट्रिक्स के साथ गणना करना संभव था किन्तु उपयोगी होने के लिए समय और भंडारण स्थान के स्थिति में यह बहुत महंगा है, क्योंकि ऐसा प्रत्येक मैट्रिक्स साढ़े चार गीगाबाइट से अधिक स्थान घेरता है।

विल्सन का प्रामाण है कि मॉन्स्टर का सबसे अच्छा वर्णन यह है कि, यह मॉन्स्टर शीर्ष बीजगणित का ऑटोमोर्फिज्म समूह है। चूँकि, यह बहुत सहायक नहीं है, क्योंकि किसी को भी मॉन्स्टर वर्टेक्स बीजगणित का वास्तविक में सरल और प्राकृतिक निर्माण नहीं मिला है।

विल्सन ने सहयोगियों के साथ मॉन्स्टर के साथ गणना करने की एक विधि ढूंढी जो अधिक तीव्र थी, चूंकि अब सेसेन के उपर्युक्त कार्य ने इसका स्थान ले लिया है। मान लीजिए V 2 तत्वों के साथ क्षेत्र पर 196,882 आयामी सदिश स्थान है। मॉन्स्टर का एक बड़ा उपसमूह H (अधिमानतः एक अधिकतम उपसमूह) चुना जाता है जिसमें गणना करना आसान होता है। चुना गया उपसमूह H 3¹⁺¹².2.Suz.2, जहां Suz सुजुकी समूह (गणित) है। मॉन्स्टर के तत्वों को H और एक अतिरिक्त जनरेटर T के तत्वों में शब्दों के रूप में संग्रहीत किया जाता है। V में एक सदिश पर इन शब्दों में से एक की कार्रवाई की गणना करना उचित रूप से त्वरित है। इस क्रिया का उपयोग करके, गणना ( जैसे कि मॉन्स्टर के एक तत्व का क्रम के रूप में) करना संभव है। विल्सन ने वैक्टर u और v प्रदर्शित किए हैं जिनका संयुक्त स्टेबलाइजर नगण्य समूह है। इस प्रकार (उदाहरण के लिए) कोई सबसे छोटा i > 0 ज्ञात करके मॉन्स्टर के तत्व g के क्रम की गणना कर सकता है जैसे कि gⁱu = u और gⁱv = v. यह और इसी प्रकार के निर्माण (विभिन्न विशेषताओं (बीजगणित) में) का उपयोग मॉन्स्टर समूह के कुछ गैर-स्थानीय अधिकतम उपसमूहों को खोजने के लिए किया गया था।

मूनशाइन

Main article: मॉन्स्ट्रस मूनशाइन

कॉनवे और नॉर्टन के मॉन्स्ट्रस मूनशाइन अनुमान में मॉन्स्टर समूह दो प्रमुख घटकों में से एक है, जो असतत और गैर-असतत गणित से संबंधित है और अंततः 1992 में रिचर्ड इवेन बोरचर्ड्स द्वारा सिद्ध किया गया था।

इस सेटिंग में, मॉन्स्टर समूह मॉन्स्टर मॉड्यूल के ऑटोमोर्फिज्म समूह, एक वर्टेक्स ऑपरेटर बीजगणित, ग्रिज़ बीजगणित युक्त एक अनंत आयामी बीजगणित के रूप में दिखाई देता है, और मॉन्स्टर लाई बीजगणित, एक सामान्यीकृत केएसी-मूडी बीजगणित पर कार्य करता है।

कॉनवे सहित अनेक गणितज्ञों ने मॉन्स्टर को एक सुंदर और अभी भी रहस्यमय वस्तु के रूप में देखा है। कॉनवे ने मॉन्स्टर समूह के बारे में कहा: इसका कोई स्पष्टीकरण कभी नहीं दिया गया है कि यह वहां क्यों है, और यह स्पष्ट रूप से सिर्फ संयोग से वहां नहीं है। इसमें इतने रोचक गुण हैं कि यह सब सिर्फ एक दुर्घटना बनकर रह जाएगा। मॉन्स्टर समूह के गुणों के विशेषज्ञ साइमन पी. नॉर्टन को यह कहते हुए उद्धृत किया गया है, मैं एक वाक्य में समझा सकता हूं कि मॉन्स्टरी मूनशाइन क्या है, यह भगवान की आवाज है।

मैके का E₈ अवलोकन

मॉन्स्टर और विस्तारित डायनकिन आरेख ${\tilde {E}}_{8}$ के मध्य भी संबंध हैं, विशेष रूप से आरेख के नोड्स और मॉन्स्टर में कुछ संयुग्मी वर्गों के मध्य, जिसे मैके के E₈ अवलोकन के रूप में जाना जाता है। इसके पश्चात् इसे विस्तारित आरेखों ${\tilde {E}}_{6},{\tilde {E}}_{7},{\tilde {E}}_{8}$ और समूह 3.Fi₂₄', 2.B, और M के मध्य एक संबंध तक बढ़ाया जाता है, जहां यह फिशर समूह, बेबी मॉन्स्टर समूह और मॉन्स्टर के (3/2/1-गुना केंद्रीय विस्तार) हैं। यह मॉन्स्टर में प्रकार 1A, 2A और 3A के तत्वों के केंद्रीकरणकर्ताओं से जुड़े विकीर्ण समूह हैं, और विस्तार का क्रम आरेख की समरूपता के समान है। एडीई वर्गीकरण देखें: आगे के कनेक्शन के लिए ट्रिनिटी (मैकके पत्राचार प्रकार के), जिसमें (मॉन्स्टर के लिए) किन्तु छोटे सरल समूह पीएसएल (2,11) और एक कैनोनिक के 120 ट्रिटेंजेंट विमानों के साथ सम्मिलित हैं जीनस 4 के सेक्सटिक वक्र को ब्रिंग्स कर्व के नाम से जाना जाता है।

अधिकतम उपसमूह

26 विकीर्ण सरल समूहों का आरेख, उप-भाग संबंधों को दर्शाता है।

मॉन्स्टर के पास अधिकतम उपसमूहों के कम से कम 46 संयुग्मी वर्ग हैं। लगभग 60 समरूपता प्रकारों के गैर-एबेलियन सरल समूह उपसमूहों के रूप में या उपसमूहों के भागफल के रूप में पाए जाते हैं। प्रतिनिधित्व करने वाला सबसे बड़ा वैकल्पिक समूह A₁₂ है।

मॉन्स्टर में 26 विकीर्ण समूहों में से 20 को उप-भाग के रूप में सम्मिलित किया गया है। मार्क रोनन की पुस्तक सिमिट्री एंड द मॉन्स्टर में से एक पर आधारित यह आरेख दर्शाता है कि वे एक साथ कैसे फिट होते हैं। पंक्तियाँ ऊपरी समूह द्वारा निचले समूह को उपभाग के रूप में सम्मिलित करने का संकेत देती हैं। गोलाकार चिह्न उन समूहों को दर्शाते हैं जो बड़े विकीर्ण समूहों में सम्मिलित नहीं हैं। स्पष्टता के लिए अनावश्यक समावेशन नहीं दिखाए गए हैं।

मॉन्स्टर के अधिकतम उपसमूहों के 46 वर्ग निम्नलिखित सूची में दिए गए हैं। विल्सन एट के अप्रकाशित कार्यों को ध्यान में रखते हुए यह सूची पूर्ण मानी गई थी। हम U₃(4), L₂(8), और L₂(16) रूप के गैर-एबेलियन सरल सॉकल (गणित) वाले किसी भी लगभग सरल उपसमूह को निरस्त कर रहे हैं। चूँकि, पश्चात् वाले का डायट्रिच एट अल द्वारा खंडन किया गया, जिन्होंने U₃(4) फॉर्म का एक नया अधिकतम उपसमूह पाया था। L₂(8) की स्थिति निर्धारित की जानी शेष है।

ध्यान दें कि अधिकतम उपसमूहों की तालिकाओं में अधिकांश सूक्ष्म त्रुटियां पाई गई हैं, और विशेष रूप से नीचे दी गई सूची के कम से कम दो उपसमूहों को कुछ पिछली सूचियों से गलत प्रणाली से हटा दिया गया था।

• 2.B   किसी इन्वॉल्वमेंट का केंद्रीकरणकर्ता; इसमें सिलो 47-उपसमूह का नॉर्मलाइज़र (47:23) × 2 सम्मिलित है
• 2¹⁺²⁴.Co₁   किसी इन्वॉल्वमेंट का केंद्रीकरणकर्ता
• 3.Fi₂₄   क्रम 3 के उपसमूह का सामान्यीकरण; इसमें साइलो 29-उपसमूह का नॉर्मलाइज़र ((29:14) × 3.2) सम्मिलित है
• 2².²E₆(2²):S₃   क्लेन 4-समूह का सामान्यीकरणकर्ता
• 2¹⁰⁺¹⁶.O₁₀⁺(2)
• 2^2+11+22.(M₂₄ × S₃)   क्लेन 4-समूह का सामान्यीकरणकर्ता; इसमें नॉर्मलाइज़र (23:11) × एस सम्मिलित है₄ सिलो 23-उपसमूह का
• 3^{1+12.2z.2   क्रम 3 के उपसमूह का सामान्यीकरण}
• 2^5+10+20. (S₃ × L₅(2))
• S₃ × Th   क्रम 3 के उपसमूह का सामान्यीकरण; इसमें नॉर्मलाइज़र (31:15) × S सम्मिलित है₃ सिलो 31-उपसमूह का
• 2^3+6+12+18.(L₃(2)×3S₆)
• 3⁸.O₈⁻ (3).2₃
• (D₁₀ × HN).2   क्रम 5 के उपसमूह का सामान्यीकरणकर्ता
• (3²:2×O₈⁺(3)).S₄
• 3²⁺⁵⁺¹⁰.(M₁₁ × 2S₄)
• 3^3+2+6+6:(L₃(3) × SD₁₆)
• 5¹⁺⁶:2J₂:4   क्रम 5 के उपसमूह का सामान्यीकरणकर्ता
• (7:3 × He):2   क्रम 7 के उपसमूह का सामान्यीकरणकर्ता
• (A₅ × A₁₂):2
• 5³⁺³.(2 × L₃(5))
• (A₆ × A₆ × A₆).(2 × S₄)
• (A₅ × U₃(8):3₁):2   में नॉर्मलाइज़र ((19:9) × A सम्मिलित है₅):सिलो 19-उपसमूह का 2
• 5²⁺²⁺⁴:(S₃ × GL₂(5))
• (L₃(2) × S₄(4):2).2   में नॉर्मलाइज़र ((17:8) × L सम्मिलित है₃(2)).2 सिलो 17-उपसमूह का
• 7¹⁺⁴:(3×2S₇)   क्रम 7 के उपसमूह का सामान्यीकरणकर्ता
• (5²:4.2²× U₃(5)).S₃
• (L₂(11)× M₁₂):2   में नॉर्मलाइज़र (11:5 × M) सम्मिलित है₁₂):क्रम 11 के एक उपसमूह का 2
• (A₇ × (A₅ × A₅):2²):2
• 5⁴:(3×2L₂(25)):2₂
• 7²⁺¹⁺²:GL₂(7)
• M₁₁ × A₆.2²
• (S₅ × S₅ × S₅):S₃
• (L₂(11) × L₂(11)):4
• 13²:2L₂(13).4
• (7²:(3×2A₄) × L₂(7)):2
• (13:6 × L₃(3)).2   क्रम 13 के उपसमूह का सामान्यीकरणकर्ता
• 13¹⁺²:(3×4S₄)   क्रम 13 के उपसमूह का सामान्यीकरणकर्ता; सिलो 13-उपसमूह का सामान्यीकरणकर्ता
• U₃(4):4  
• L₂(71)   में साइलो 71-उपसमूह का नॉर्मलाइज़र 71:35 सम्मिलित है
• L₂(59)   में साइलो 59-उपसमूह का नॉर्मलाइज़र 59:29 सम्मिलित है
• 11²:(5×2A₅)   सिलो 11-उपसमूह का सामान्यीकरणकर्ता।
• L₂(41)   नॉर्टन और विल्सन ने इस रूप का अधिकतम उपसमूह पाया; ज़वार्नित्सिन द्वारा बताई गई एक सूक्ष्म त्रुटि के कारण कुछ पिछली सूचियों और कागजात में कहा गया था कि ऐसा कोई अधिकतम उपसमूह उपस्थित नहीं था
• L₂(29):2  
• 7²: चित्र₂(7)   इसे गलती से 7-स्थानीय उपसमूहों की कुछ पिछली सूचियों से हटा दिया गया था
• L₂(19):2  
• L₂(13):2  
• 41:40   सिलो 41-उपसमूह का सामान्यीकरणकर्ता

यह भी देखें

• सुपरसिंगुलर प्राइम (चांदनी सिद्धांत), अभाज्य संख्याएं जो मॉन्स्टर के क्रम को विभाजित करती हैं

स्रोत

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अग्रिम पठन

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बाहरी संबंध

• What is... The Monster? by Richard E. Borcherds, Notices of the American Mathematical Society, October 2002 1077
• MathWorld: Monster Group
• Atlas of Finite Group Representations: Monster group
• Scientific American June 1980 Issue: The capture of the monster: a mathematical group with a ridiculous number of elements