अघुलनशील प्रतिनिधित्व

गणित में, विशेष रूप से एक क्षेत्र पर समूह (गणित) और बीजगणित के प्रतिनिधित्व सिद्धांत में, एक अघुलनशील प्रतिनिधित्व $(\rho ,V)$ या बीजगणितीय संरचना का उल्लंघन $A$ एक गैर-शून्य प्रतिनिधित्व है जिसका कोई उचित गैर-तुच्छ उप-प्रस्तुतिकरण नहीं है $(\rho |_{W},W)$, साथ $W\subset V$ की समूह कार्रवाई के तहत बंद कर दिया गया $\{\rho (a):a\in A\}$.

हिल्बर्ट स्थान पर प्रत्येक परिमित-आयामी एकात्मक प्रतिनिधित्व $V$ अपरिवर्तनीय अभ्यावेदन का प्रत्यक्ष योग है। अघुलनशील अभ्यावेदन हमेशा अविभाज्य होते हैं (अर्थात अभ्यावेदन के प्रत्यक्ष योग में इसे आगे विघटित नहीं किया जा सकता है), लेकिन इसका विपरीत प्रभाव नहीं हो सकता है, उदाहरण के लिए ऊपरी त्रिकोणीय एकशक्तिशाली मैट्रिक्स द्वारा कार्य करने वाली वास्तविक संख्याओं का द्वि-आयामी प्रतिनिधित्व अविभाज्य लेकिन कम करने योग्य है।

इतिहास

समूह प्रतिनिधित्व सिद्धांत को 1940 के दशक से मॉड्यूलर प्रतिनिधित्व सिद्धांत देने के लिए रिचर्ड ब्रौएर द्वारा सामान्यीकृत किया गया था, जिसमें मैट्रिक्स ऑपरेटर एक क्षेत्र (गणित) पर एक वेक्टर स्थान पर कार्य करते हैं। $K$ वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र में या सम्मिश्र संख्याओं के क्षेत्र में एक सदिश स्थान के बजाय मनमानी विशेषता (बीजगणित) का। परिणामी सिद्धांत में एक अपरिवर्तनीय प्रतिनिधित्व के अनुरूप संरचना एक सरल मॉड्यूल है।

अवलोकन

Further information: Group representation

होने देना $\rho$ एक प्रतिनिधित्व हो यानी एक समरूपता $\rho :G\to GL(V)$ एक समूह का $G$ कहाँ $V$ एक क्षेत्र के ऊपर एक सदिश स्थान है (गणित) $F$. यदि हम कोई आधार चुनते हैं $B$ के लिए $V$, $\rho$ एक समूह से व्युत्क्रमणीय मैट्रिक्स के एक सेट में एक फ़ंक्शन (एक समरूपता) के रूप में सोचा जा सकता है और इस संदर्भ में इसे मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व कहा जाता है। हालाँकि, अगर हम अंतरिक्ष के बारे में सोचें तो यह चीजों को बहुत सरल बना देता है $V$ बिना किसी आधार के.

एक रैखिक उपस्थान $W\subset V$ कहा जाता है$G$-अपरिवर्तनीय अगर $\rho (g)w\in W$ सभी के लिए $g\in G$ और सभी $w\in W$. का सह-प्रतिबंध $\rho$ ए के सामान्य रैखिक समूह के लिए $G$-अपरिवर्तनीय उपस्थान $W\subset V$ उपप्रतिनिधित्व के रूप में जाना जाता है। एक प्रतिनिधित्व $\rho :G\to GL(V)$ इसे अप्रासंगिक कहा जाता है यदि इसमें केवल तुच्छ (गणित) उप-निरूपण हो (सभी अभ्यावेदन तुच्छ के साथ एक उप-निरूपण बना सकते हैं) $G$-अपरिवर्तनीय उप-स्थान, उदा. संपूर्ण सदिश स्थान $V$, और शून्य सदिश समष्टि|{0}). यदि कोई उचित गैर-तुच्छ अपरिवर्तनीय उप-स्थान है, $\rho$ कहा जाता है कि यह कम करने योग्य है।

समूह अभ्यावेदन का संकेतन और शब्दावली

समूह तत्वों को मैट्रिक्स (गणित) द्वारा दर्शाया जा सकता है, हालांकि इस संदर्भ में प्रतिनिधित्व शब्द का एक विशिष्ट और सटीक अर्थ है। किसी समूह का प्रतिनिधित्व समूह के तत्वों से आव्यूहों के सामान्य रैखिक समूह तक का मानचित्रण है। संकेतन के रूप में, चलो a, b, c, ... किसी समूह के तत्वों को निरूपित करें G समूह उत्पाद के साथ बिना किसी प्रतीक के दर्शाया गया है, इसलिए ab का समूह उत्पाद है a और b और का एक तत्व भी है G, और अभ्यावेदन द्वारा संकेत दिया जाए D. ए का निरूपण इस प्रकार लिखा जाता है

$D(a)={\begin{pmatrix}D(a)_{11}&D(a)_{12}&\cdots &D(a)_{1n}\\D(a)_{21}&D(a)_{22}&\cdots &D(a)_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\D(a)_{n1}&D(a)_{n2}&\cdots &D(a)_{nn}\\\end{pmatrix}}$

समूह अभ्यावेदन की परिभाषा के अनुसार, समूह उत्पाद का प्रतिनिधित्व अभ्यावेदन के मैट्रिक्स गुणन में अनुवादित किया जाता है:

$D(ab)=D(a)D(b)$

अगर e समूह का पहचान तत्व है (इसलिए ae = ea = a, आदि), फिर D(e) एक पहचान मैट्रिक्स है, या पहचान मैट्रिक्स का एक ब्लॉक मैट्रिक्स है, क्योंकि हमारे पास होना चाहिए

$D(ea)=D(ae)=D(a)D(e)=D(e)D(a)=D(a)$

और इसी प्रकार समूह के अन्य सभी तत्वों के लिए भी। अंतिम दो कथन उस आवश्यकता के अनुरूप हैं D एक समूह समरूपता है।

न्यूनीकरणीय और अप्रासंगिक निरूपण

एक प्रतिनिधित्व कम करने योग्य है यदि इसमें एक गैर-तुच्छ जी-अपरिवर्तनीय उप-स्थान शामिल है, यानी, सभी मैट्रिक्स $D(a)$ उसी व्युत्क्रमणीय मैट्रिक्स द्वारा ऊपरी त्रिकोणीय ब्लॉक रूप में रखा जा सकता है $P$. दूसरे शब्दों में, यदि कोई समानता परिवर्तन है:

$D'(a)\equiv P^{-1}D(a)P,$

जो प्रतिनिधित्व में प्रत्येक मैट्रिक्स को समान पैटर्न ऊपरी त्रिकोणीय ब्लॉकों में मैप करता है। प्रत्येक क्रमित अनुक्रम लघु ब्लॉक एक समूह उपप्रस्तुति है। कहने का तात्पर्य यह है कि, यदि प्रतिनिधित्व, उदाहरण के लिए, आयाम 2 का है, तो हमारे पास है:

$$D'(a)=P^{-1}D(a)P={\begin{pmatrix}D^{(11)}(a)&D^{(12)}(a)\\0&D^{(22)}(a)\end{pmatrix}},$$

कहाँ $D^{(11)}(a)$ एक गैरतुच्छ उपप्रतिनिधित्व है. यदि हम एक मैट्रिक्स ढूंढने में सक्षम हैं $P$ कि बनाता है $D^{(12)}(a)=0$ फिर भी $D(a)$ न केवल अपचयनीय है बल्कि विघटित भी है।

सूचना: भले ही कोई प्रतिनिधित्व कम किया जा सके, फिर भी इसका मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व ऊपरी त्रिकोणीय ब्लॉक रूप नहीं हो सकता है। इसका यह रूप तभी होगा जब हम एक उपयुक्त आधार चुनेंगे, जिसे मैट्रिक्स लागू करके प्राप्त किया जा सकता है $P^{-1}$ मानक आधार से ऊपर.

विघटित और अविघटित अभ्यावेदन

यदि सभी आव्यूह हों तो एक प्रतिनिधित्व विघटित हो सकता है $D(a)$ उसी व्युत्क्रमणीय मैट्रिक्स द्वारा ब्लॉक-विकर्ण रूप में रखा जा सकता है $P$. दूसरे शब्दों में, यदि मैट्रिक्स समानता है:

$D'(a)\equiv P^{-1}D(a)P,$

कौन सा मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व में प्रत्येक मैट्रिक्स को विकर्ण मैट्रिक्स ब्लॉक मैट्रिक्स के समान पैटर्न में विकर्ण करता है। ऐसा प्रत्येक ब्लॉक दूसरों से स्वतंत्र एक समूह उपप्रतिनिधित्व है। अभ्यावेदन D(a) और D′(a) को समतुल्य निरूपण कहा जाता है। (के-आयामी, मान लीजिए) प्रतिनिधित्व को आव्यूहों के प्रत्यक्ष योग में विघटित किया जा सकता है| k > 1 मैट्रिक्स:

$D'(a)=P^{-1}D(a)P={\begin{pmatrix}D^{(1)}(a)&0&\cdots &0\\0&D^{(2)}(a)&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &D^{(k)}(a)\\\end{pmatrix}}=D^{(1)}(a)\oplus D^{(2)}(a)\oplus \cdots \oplus D^{(k)}(a),$

इसलिए D(a) विघटित करने योग्य है, और विघटित मैट्रिक्स को कोष्ठक में एक सुपरस्क्रिप्ट द्वारा लेबल करने की प्रथा है, जैसा कि D⁽ⁿ⁾(a) के लिए n = 1, 2, ..., k, हालांकि कुछ लेखक केवल कोष्ठक के बिना संख्यात्मक लेबल लिखते हैं।

का आयाम D(a) ब्लॉकों के आयामों का योग है:

$\dim[D(a)]=\dim[D^{(1)}(a)]+\dim[D^{(2)}(a)]+\cdots +\dim[D^{(k)}(a)].$

यदि यह संभव नहीं है, यानी. k = 1, तो प्रतिनिधित्व अविभाज्य है। सूचना: भले ही कोई प्रतिनिधित्व विघटित हो, उसका मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व विकर्ण ब्लॉक रूप नहीं हो सकता है। इसका यह रूप तभी होगा जब हम एक उपयुक्त आधार चुनेंगे, जिसे मैट्रिक्स लागू करके प्राप्त किया जा सकता है $P^{-1}$ मानक आधार से ऊपर.

इरेड्यूसेबल प्रतिनिधित्व और अविभाज्य प्रतिनिधित्व के बीच संबंध

एक अघुलनशील प्रतिनिधित्व स्वभाव से एक अविभाज्य प्रतिनिधित्व है। हालाँकि, बातचीत विफल हो सकती है।

लेकिन कुछ शर्तों के तहत, हमारे पास एक अविभाज्य प्रतिनिधित्व है जो एक अघुलनशील प्रतिनिधित्व है।

• जब समूह $G$ परिमित है, और इसका क्षेत्र पर प्रतिनिधित्व है $\mathbb {C}$, तो एक अविभाज्य प्रतिनिधित्व एक अघुलनशील प्रतिनिधित्व है।
• जब समूह $G$ परिमित है, और इसका क्षेत्र पर प्रतिनिधित्व है $K$, अगर हमारे पास है $char(K)\nmid |G|$, तो एक अविभाज्य प्रतिनिधित्व एक अघुलनशील प्रतिनिधित्व है।

अघुलनशील अभ्यावेदन के उदाहरण

तुच्छ प्रतिनिधित्व

सभी समूह $G$ पहचान परिवर्तन के लिए सभी समूह तत्वों को मैप करके एक-आयामी, अघुलनशील तुच्छ प्रतिनिधित्व करें।

एक-आयामी प्रतिनिधित्व

कोई भी एक-आयामी प्रतिनिधित्व अप्रासंगिक है क्योंकि इसमें कोई उचित गैर-तुच्छ उप-स्थान नहीं है।

अघुलनशील जटिल निरूपण

एक परिमित समूह G के अघुलनशील जटिल निरूपण को चरित्र सिद्धांत के परिणामों का उपयोग करके चित्रित किया जा सकता है। विशेष रूप से, सभी जटिल निरूपण इरेप्स के प्रत्यक्ष योग और इरेप्स की संख्या के रूप में विघटित होते हैं $G$ के संयुग्मी वर्गों की संख्या के बराबर है $G$.

• का अप्रासंगिक जटिल निरूपण $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ बिल्कुल मानचित्रों द्वारा दिए गए हैं $1\mapsto \gamma$, कहाँ $\gamma$ एक $n$एकता की जड़.
• होने देना $V$ सेम $n$-आयामी जटिल प्रतिनिधित्व $S_{n}$ आधार के साथ $\{v_{i}\}_{i=1}^{n}$. तब $V$ इरेप्स के प्रत्यक्ष योग के रूप में विघटित होता है
  $$V_{\text{triv}}=\mathbb {C} \left(\sum _{i=1}^{n}v_{i}\right)$$
  और ओर्थोगोनल उप-स्थान द्वारा दिया गया है
  $$V_{\text{std}}=\left\{\sum _{i=1}^{n}a_{i}v_{i}:a_{i}\in \mathbb {C} ,\sum _{i=1}^{n}a_{i}=0\right\}.$$
  पूर्व इररेप एक-आयामी और तुच्छ प्रतिनिधित्व के लिए आइसोमोर्फिक है $S_{n}$. उत्तरार्द्ध है $n-1$ आयामी और के मानक प्रतिनिधित्व के रूप में जाना जाता है $S_{n}$.* होने देना $G$ एक समूह बनें. का नियमित प्रतिनिधित्व $G$ आधार पर मुक्त सम्मिश्र सदिश समष्टि है $\{e_{g}\}_{g\in G}$ समूह क्रिया के साथ $g\cdot e_{g'}=e_{gg'}$, निरूपित $\mathbb {C} G.$ के सभी अघुलनशील प्रतिनिधित्व $G$ के विघटन में प्रकट होते हैं $\mathbb {C} G$ इर्रेप्स के प्रत्यक्ष योग के रूप में।

एक अघुलनशील प्रतिनिधित्व का उदाहरण F_p

• होने देना $G$ एक हो $p$ समूह और $V=\mathbb {F} _{p}^{n}$ G का एक परिमित आयामी अघुलनशील प्रतिनिधित्व बनें $\mathbb {F} _{p}$. कक्षा-स्थिरीकरण प्रमेय द्वारा, प्रत्येक की कक्षा $V$ तत्व द्वारा कार्य किया गया $p$ समूह $G$ आकार की शक्ति है $p$. चूँकि इन सभी कक्षाओं के आकार का योग होता है $G$, और $0\in V$ आकार 1 की कक्षा में केवल स्वयं ही समाहित है, योग के मिलान के लिए आकार 1 की अन्य कक्षाएँ भी होनी चाहिए। यानी कुछ मौजूद है $v\in V$ ऐसा है कि $gv=v$ सभी के लिए $g\in G$. यह प्रत्येक अघुलनशील प्रतिनिधित्व को बाध्य करता है $p$ समूह खत्म $\mathbb {F} _{p}$ एक आयामी होना.

सैद्धांतिक भौतिकी और रसायन विज्ञान में अनुप्रयोग

See also: Symmetry in quantum mechanics, Molecular symmetry, and Jahn–Teller effect

क्वांटम भौतिकी और क्वांटम रसायन विज्ञान में, हैमिल्टनियन ऑपरेटर के डीजेनरेट ऊर्जा स्तरों के प्रत्येक सेट में एक वेक्टर स्थान शामिल होता है V हैमिल्टनियन के समरूपता समूह के प्रतिनिधित्व के लिए, एक मल्टीप्लेट, जिसका सबसे अच्छा अध्ययन इसके अपरिवर्तनीय भागों में कमी के माध्यम से किया गया है। अत: अप्रासंगिक अभ्यावेदन की पहचान करने से किसी को राज्यों को लेबल करने की अनुमति मिलती है, यह अनुमान लगाया जा सकता है कि गड़बड़ी के तहत वे ऊर्जा स्तर को कैसे विभाजित करेंगे; या अन्य राज्यों में संक्रमण V. इस प्रकार, क्वांटम यांत्रिकी में, सिस्टम के समरूपता समूह के अघुलनशील प्रतिनिधित्व आंशिक रूप से या पूरी तरह से सिस्टम के ऊर्जा स्तर को लेबल करते हैं, जिससे चयन नियमों को निर्धारित करने की अनुमति मिलती है।

झूठ समूह

Main article: Representation theory of Lie groups

लोरेंत्ज़ समूह

Main article: Representation theory of the Lorentz group

के इर्रेप्स D(K) और D(J), कहाँ J घूर्णन का जनक है और K बूस्ट के जनरेटर का उपयोग लोरेंत्ज़ समूह के स्पिन अभ्यावेदन के निर्माण के लिए किया जा सकता है, क्योंकि वे क्वांटम यांत्रिकी के स्पिन मैट्रिक्स से संबंधित हैं। यह उन्हें सापेक्ष तरंग समीकरण प्राप्त करने की अनुमति देता है।

यह भी देखें

साहचर्य बीजगणित

• सरल मॉड्यूल
• अविघटनीय मॉड्यूल
• साहचर्य बीजगणित का प्रतिनिधित्व

झूठ समूह

• झूठ बीजगणित का प्रतिनिधित्व सिद्धांत
• एसयू(2) का प्रतिनिधित्व सिद्धांत
• SL2(R) का प्रतिनिधित्व सिद्धांत
• गैलीलियन समूह का प्रतिनिधित्व सिद्धांत
• भिन्नता समूहों का प्रतिनिधित्व सिद्धांत
• पोंकारे समूह का प्रतिनिधित्व सिद्धांत
• उच्चतम भार का प्रमेय

संदर्भ

किताबें

• H. Weyl (1950). समूहों और क्वांटम यांत्रिकी का सिद्धांत. Courier Dover Publications. p. 203. ISBN 978-0-486-60269-1. सापेक्षतावादी क्वांटम यांत्रिकी में चुंबकीय क्षण।
• P. R. Bunker; Per Jensen (2004). आणविक समरूपता के मूल सिद्धांत. CRC Press. ISBN 0-7503-0941-5.[हत्तपः://ववव.रूटलेज.कॉम/फंडामेंटल्स-ऑफ़-मॉलिक्यूलर-सिमिट्री/बंकर-जेन्सेन/प/बुक/9780750309417]
• A. D. Boardman; D. E. O'Conner; P. A. Young (1973). समरूपता और विज्ञान में इसके अनुप्रयोग. McGraw Hill. ISBN 978-0-07-084011-9.
• V. Heine (2007). क्वांटम यांत्रिकी में समूह सिद्धांत: इसके वर्तमान उपयोग का परिचय. Dover. ISBN 978-0-07-084011-9.
• V. Heine (1993). क्वांटम यांत्रिकी में समूह सिद्धांत: इसके वर्तमान उपयोग का एक परिचय. Courier Dover Publications. ISBN 978-048-6675-855.

• E. Abers (2004). क्वांटम यांत्रिकी. Addison Wesley. p. 425. ISBN 978-0-13-146100-0.
• B. R. Martin, G.Shaw (3 December 2008). कण भौतिकी (3rd ed.). Manchester Physics Series, John Wiley & Sons. p. 3. ISBN 978-0-470-03294-7.
• Weinberg, S. (1995), The Quantum Theory of Fields, vol. 1, Cambridge university press, pp. 230–231, ISBN 978-0-521-55001-7
• Weinberg, S. (1996), The Quantum Theory of Fields, vol. 2, Cambridge university press, ISBN 978-0-521-55002-4
• Weinberg, S. (2000), The Quantum Theory of Fields, vol. 3, Cambridge university press, ISBN 978-0-521-66000-6
• R. Penrose (2007). वास्तविकता की राह. Vintage books. ISBN 978-0-679-77631-4.
• P. W. Atkins (1970). आणविक क्वांटम यांत्रिकी (भाग 1 और 2): क्वांटम रसायन विज्ञान का परिचय. Vol. 1. Oxford University Press. pp. 125–126. ISBN 978-0-19-855129-4.

लेख

• Bargmann, V.; Wigner, E. P. (1948). "सापेक्षतावादी तरंग समीकरणों की समूह सैद्धांतिक चर्चा". Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A. 34 (5): 211–23. Bibcode:1948PNAS...34..211B. doi:10.1073/pnas.34.5.211. PMC 1079095. PMID 16578292.
• E. Wigner (1937). "अमानवीय लोरेंत्ज़ समूह के एकात्मक प्रतिनिधित्व पर" (PDF). Annals of Mathematics. 40 (1): 149–204. Bibcode:1939AnMat..40..149W. doi:10.2307/1968551. JSTOR 1968551. MR 1503456. S2CID 121773411. Archived from the original (PDF) on 2015-10-04. Retrieved 2013-07-07.

अग्रिम पठन

• Artin, Michael (1999). "Noncommutative Rings" (PDF). Chapter V.

बाहरी संबंध

• "Commission on Mathematical and Theoretical Crystallography, Summer Schools on Mathematical Crystallography" (PDF). 2010.
• van Beveren, Eef (2012). "Some notes on group theory" (PDF). Archived from the original (PDF) on 2011-05-20. Retrieved 2013-07-07.
• Teleman, Constantin (2005). "Representation Theory" (PDF).
• Finley. "Some Notes on Young Tableaux as useful for irreps of su(n)" (PDF).
• Hunt (2008). "Irreducible Representation (IR) Symmetry Labels" (PDF).
• Dermisek, Radovan (2008). "Representations of Lorentz Group" (PDF). Archived from the original (PDF) on 2018-11-23. Retrieved 2013-07-07.
• Maciejko, Joseph (2007). "Representations of Lorentz and Poincaré groups" (PDF).
• Woit, Peter (2015). "Quantum Mechanics for Mathematicians: Representations of the Lorentz Group" (PDF)., see chapter 40
• Drake, Kyle; Feinberg, Michael; Guild, David; Turetsky, Emma (2009). "Representations of the Symmetry Group of Spacetime" (PDF).
• Finley. "Lie Algebra for the Poincaré, and Lorentz, Groups" (PDF). Archived from the original (PDF) on 2012-06-17.
• Bekaert, Xavier; Boulanger, Niclas (2006). "The unitary representations of the Poincaré group in any spacetime dimension". arXiv:hep-th/0611263.
• "McGraw-Hill dictionary of scientific and technical terms". Answers.com.