गुरुत्वाकर्षण ऊर्जा

यह पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र को दर्शाने वाला चित्र है । वस्तुएँ पृथ्वी की ओर गति करती हैं, इस प्रकार उनकी गुरुत्वाकर्षण ऊर्जा खो जाती है और इसे गतिज ऊर्जा में बदल देती है।

गुरुत्वाकर्षण ऊर्जा या गुरुत्वाकर्षण संभावित ऊर्जा वह संभावित ऊर्जा है जो एक विशाल वस्तु के गुरुत्वाकर्षण के कारण किसी अन्य विशाल वस्तु के संबंध में होती है। यह गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र से जुड़ी संभावित ऊर्जा है, जो वस्तुओं के एक दूसरे की ओर गिरने पर जारी (गतिज ऊर्जा में परिवर्तित) होती है। जब दो वस्तुओं को और दूर लाया जाता है तो गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा बढ़ जाती है।

दो परस्पर क्रिया करने वाले बिंदु कणों के लिए, गुरुत्वाकर्षण संभावित ऊर्जा $U$ द्वारा दी जाती है

$$U=-{\frac {GMm}{R}},$$

जहाँ $M$ तथा $m$ दो कणों के द्रव्यमान हैं, $R$ उनके बीच की दूरी है, और $G$ गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक है। पृथ्वी की सतह के निकट , गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र लगभग स्थिर है, और किसी भी वस्तु की गुरुत्वाकर्षण संभावित ऊर्जा कम हो जाती है

$$U=mgh$$

जहाँ $m$ वस्तु का द्रव्यमान है, ${\textstyle g={GM_{\oplus }}/{R_{\oplus }^{2}}}$ पृथ्वी का गुरुत्वाकर्षण है, और $h$ किसी चुने हुए संदर्भ स्तर से ऊपर वस्तु के द्रव्यमान केंद्र की ऊंचाई है।

न्यूटोनियन यांत्रिकी

शास्त्रीय यांत्रिकी में, दो या दो से अधिक द्रव्यमानों में सदैव एक गुरुत्वाकर्षण क्षमता होती है। ऊर्जा के संरक्षण के लिए आवश्यक है कि यह गुरुत्वीय क्षेत्र ऊर्जा सदैव ऋणात्मक ऊर्जा हो, जिससे वस्तुओं के असीम रूप से दूर होने पर यह शून्य हो। गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा वह स्थितिज ऊर्जा है जो किसी वस्तु में होती है क्योंकि वह गुरुत्वीय क्षेत्र के भीतर होती है।

एक बिंदु द्रव्यमान के बीच बल, $M$, और अन्य बिंदु द्रव्यमान, $m$, न्यूटन के सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण के नियम द्वारा दिया गया है | न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण के नियम:

$$F={\frac {GMm}{r^{2}}}$$

बिंदु द्रव्यमान लाने के लिए बाहरी बल द्वारा किया गया कुल कार्य प्राप्त करना $m$ अनंत से अंतिम दूरी तक $R$ (उदाहरण के लिए पृथ्वी की त्रिज्या) दो द्रव्यमान बिंदुओं का, बल विस्थापन के संबंध में एकीकृत है:

$$W=\int _{\infty }^{R}{\frac {GMm}{r^{2}}}dr=-\left.{\frac {GMm}{r}}\right|_{\infty }^{R}$$

इसलिये ${\textstyle \lim _{r\to \infty }{\frac {1}{r}}=0}$, वस्तु पर किए गए कुल कार्य को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा

$U=-{\frac {GMm}{R}}$

सामान्य स्थिति में जहां बहुत छोटा द्रव्यमान होता है $m$ द्रव्यमान के साथ एक बहुत बड़ी वस्तु की सतह के निकट चल रहा है $M$, गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र लगभग स्थिर है और इसलिए गुरुत्वाकर्षण ऊर्जा के लिए अभिव्यक्ति को काफी सरल बनाया जा सकता है। सतह से (एक दूरी $R$ केंद्र से) ऊँचाई $h$ की सतह से ऊपर जाने पर स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन होता है

$${\begin{aligned}\Delta U&={\frac {GMm}{R}}-{\frac {GMm}{R+h}}\\&={\frac {GMm}{R}}\left(1-{\frac {1}{1+h/R}}\right).\end{aligned}}$$

यदि $h/R$ छोटा है, क्योंकि यह सतह के निकट होना चाहिए जहां $g$ स्थिर है, तो द्विपद सन्निकटन का उपयोग करके इस अभिव्यक्ति को सरल बनाया जा सकता है

$${\frac {1}{1+h/r}}\approx 1-{\frac {h}{R}}$$

प्रति

$${\begin{aligned}\Delta U&\approx {\frac {GMm}{R}}\left[1-\left(1-{\frac {h}{R}}\right)\right]\\\Delta U&\approx {\frac {GMmh}{R^{2}}}\\\Delta U&\approx m\left({\frac {GM}{R^{2}}}\right)h.\end{aligned}}$$

जैसा गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र है $g=GM/R^{2}$, यह कम हो जाता है

$$\Delta U\approx mgh.$$

सतह पर $U=0$ लेने पर (अनंत के बजाय), गुरुत्वीय संभावित ऊर्जा के लिए परिचित अभिव्यक्ति उभरती है:

$$U=mgh.$$

सामान्य सापेक्षता

Main article: Mass in general relativity

यह घुमावदार भूगर्भ विज्ञान (विश्व रेखाएं) का एक 2 आयामी चित्रण है । सामान्य सापेक्षता के अनुसार, द्रव्यमान दिक्-समय को विकृत करता है और गुरुत्वाकर्षण न्यूटन के प्रथम नियम का स्वाभाविक परिणाम है। द्रव्यमान अंतरिक्ष समय को बताता है कि कैसे झुकना है, और स्पेसटाइम द्रव्यमान को बताता है कि कैसे चलना है।

सामान्य सापेक्षता में गुरुत्वाकर्षण ऊर्जा अत्यंत जटिल है, और अवधारणा की परिभाषा पर कोई सहमति नहीं है। इसे कभी-कभी तनाव-ऊर्जा-संवेग स्यूडोटेन्सर लैंडौ-लिफ्शिट्ज़ स्यूडोटेन्सर के माध्यम से प्रतिरूपित किया जाता है जो शास्त्रीय यांत्रिकी के ऊर्जा-संवेग संरक्षण कानूनों के प्रतिधारण की अनुमति देता है। लैंडौ-लिफ्शिट्ज़ स्यूडोटेन्सर में मैटर स्ट्रेस-एनर्जी टेन्सर को जोड़ने से एक संयुक्त मैटर प्लस ग्रेविटेशनल एनर्जी स्यूडोटेन्सर का परिणाम होता है, जिसमें सभी फ्रेमों में गायब होने वाला चार-वेक्टर-डाइवर्जेंस होता है-संरक्षण कानून सुनिश्चित करता है। कुछ लोग इस आधार पर इस व्युत्पत्ति पर आक्षेप करते हैं कि स्यूडोटेंसर सामान्य सापेक्षता में अनुपयुक्त हैं, लेकिन संयुक्त पदार्थ और गुरुत्वाकर्षण ऊर्जा स्यूडोटेन्सर का विचलन एक टेन्सर है।

यह भी देखें

• गुरुत्वाकर्षण बाध्यकारी ऊर्जा
• गुरुत्वाकर्षण क्षमता
• गुरुत्वाकर्षण संभावित ऊर्जा भंडारण