अस्पष्ट समीकरण

गणित में, एक निहित समीकरण फॉर्म का एक संबंध (गणित) है $R(x_{1},\dots ,x_{n})=0,$ कहाँ पे R कई चर (अक्सर एक बहुपद) का एक फलन (गणित) है। उदाहरण के लिए, यूनिट सर्कल का निहित समीकरण है $x^{2}+y^{2}-1=0.$ एक निहित कार्य एक फ़ंक्शन (गणित) है जिसे एक अंतर्निहित समीकरण द्वारा परिभाषित किया जाता है, जो एक चर से संबंधित होता है, जिसे फ़ंक्शन के मान (गणित) के रूप में माना जाता है, अन्य को फ़ंक्शन के तर्क के रूप में माना जाता है। उदाहरण के लिए, समीकरण $x^{2}+y^{2}-1=0$ इकाई वृत्त परिभाषित करता है y के एक निहित कार्य के रूप में x यदि −1 ≤ x ≤ 1, और एक प्रतिबंधित y गैर-ऋणात्मक मूल्यों के लिए।

निहित कार्य प्रमेय ऐसी स्थितियाँ प्रदान करता है जिसके तहत कुछ प्रकार के संबंध एक निहित कार्य को परिभाषित करते हैं, अर्थात् संबंध कुछ निरंतर भिन्न होने योग्य बहुपरिवर्तनीय कैलकुस फ़ंक्शन के शून्य सेट के संकेतक फ़ंक्शन के रूप में परिभाषित होते हैं।

उदाहरण

उलटा कार्य

एक सामान्य प्रकार का निहित कार्य एक उलटा कार्य है। सभी कार्यों में एक अद्वितीय उलटा कार्य नहीं होता है। यदि g का एक कार्य है x जिसका एक अद्वितीय प्रतिलोम है, तो का व्युत्क्रम कार्य g, बुलाया g⁻¹, अद्वितीय फलन है जो समीकरण का हल (गणित) देता है

$y=g(x)$

के लिये x के अनुसार y. इस समाधान को तब इस प्रकार लिखा जा सकता है

$x=g^{-1}(y)\,.$

परिभाषित g⁻¹ के विलोम के रूप में g एक निहित परिभाषा है। कुछ कार्यों के लिए g, g⁻¹(y) स्पष्ट रूप से एक बंद-रूप अभिव्यक्ति के रूप में लिखा जा सकता है - उदाहरण के लिए, if g(x) = 2x − 1, फिर g⁻¹(y) = 1/2(y + 1). हालांकि, यह अक्सर संभव नहीं होता है, या केवल एक नया नोटेशन पेश करके (जैसा कि नीचे उत्पाद लॉग उदाहरण में है)।

सहज रूप से, एक प्रतिलोम फलन प्राप्त होता है g आश्रित और स्वतंत्र चर की भूमिकाओं को बदलकर।

उदाहरण: उत्पाद लॉग एक निहित कार्य है जो समाधान देता है x समीकरण का y − xe^x = 0.

बीजगणितीय कार्य

Main article: Algebraic function

बीजीय फलन एक ऐसा फलन है जो एक बहुपद समीकरण को संतुष्ट करता है जिसके गुणांक स्वयं बहुपद होते हैं। उदाहरण के लिए, एक चर में एक बीजीय फलन x के लिए समाधान देता है y एक समीकरण का

$a_{n}(x)y^{n}+a_{n-1}(x)y^{n-1}+\cdots +a_{0}(x)=0\,,$

जहां गुणांक a_i(x) के बहुपद कार्य हैं x. इस बीजीय फलन को हल समीकरण के दायीं ओर लिखा जा सकता है y = f(x). इस तरह लिखा, f एक बहु-मूल्यवान फ़ंक्शन है|बहु-मूल्यवान निहित फ़ंक्शन।

बीजीय फलन गणितीय विश्लेषण और बीजगणितीय ज्यामिति में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं। एक बीजीय फलन का एक सरल उदाहरण इकाई वृत्त समीकरण के बाईं ओर दिया गया है:

$x^{2}+y^{2}-1=0\,.$

के लिए हल करना y एक स्पष्ट समाधान देता है:

$y=\pm {\sqrt {1-x^{2}}}\,.$

लेकिन इस स्पष्ट समाधान को निर्दिष्ट किए बिना भी, यूनिट सर्कल समीकरण के निहित समाधान को संदर्भित करना संभव है y = f(x), कहाँ पे f बहु-मूल्यवान निहित कार्य है।

जबकि द्विघात समीकरण, घन समीकरण, और चतुर्थक समीकरण वाले समीकरणों के लिए स्पष्ट समाधान पाए जा सकते हैं y, यह सामान्य रूप से क्विंटिक समीकरण और उच्च डिग्री समीकरणों के लिए सही नहीं है, जैसे कि

$y^{5}+2y^{4}-7y^{3}+3y^{2}-6y-x=0\,.$

फिर भी, कोई अभी भी निहित समाधान का उल्लेख कर सकता है y = f(x) बहु-मूल्यवान निहित कार्य को शामिल करना f.

चेतावनी

हर समीकरण नहीं R(x, y) = 0 एक एकल-मूल्यवान फ़ंक्शन का एक ग्राफ दर्शाता है, सर्कल समीकरण एक प्रमुख उदाहरण है। एक अन्य उदाहरण द्वारा दिया गया एक निहित कार्य है x − C(y) = 0 कहाँ पे C एक घन बहुपद है जिसके ग्राफ में एक कूबड़ है। इस प्रकार, एक निहित कार्य के लिए एक वास्तविक (एकल-मूल्यवान) फ़ंक्शन होने के लिए ग्राफ़ के केवल भाग का उपयोग करना आवश्यक हो सकता है। एक निहित फ़ंक्शन को कभी-कभी एक सच्चे फ़ंक्शन के रूप में सफलतापूर्वक परिभाषित किया जा सकता है, केवल के कुछ भाग पर ज़ूम इन करने के बाद x-अक्ष और कुछ अवांछित कार्य शाखाओं को काट रहा है। तब व्यक्त करने वाला एक समीकरण y अन्य चर के एक निहित कार्य के रूप में लिखा जा सकता है।

परिभाषित समीकरण R(x, y) = 0 अन्य विकृति भी हो सकती है। उदाहरण के लिए, समीकरण x = 0 फ़ंक्शन का अर्थ नहीं है f(x) के लिए समाधान दे रहा है y बिल्कुल भी; यह एक लंबवत रेखा है। इस तरह की समस्या से बचने के लिए, स्वीकार्य प्रकार के समीकरणों या फ़ंक्शन डोमेन पर अक्सर विभिन्न बाधाएं लगाई जाती हैं। निहित कार्य प्रमेय इस प्रकार की विकृति से निपटने का एक समान तरीका प्रदान करता है।

अंतर्निहित विभेदन

कलन में, निहित विभेदन नामक एक विधि परोक्ष रूप से परिभाषित कार्यों में अंतर करने के लिए श्रृंखला नियम का उपयोग करती है।

एक निहित कार्य को अलग करने के लिए y(x), एक समीकरण द्वारा परिभाषित R(x, y) = 0, इसे स्पष्ट रूप से हल करना आम तौर पर संभव नहीं है y और फिर अंतर करें। इसके बजाय, कोई भी कुल भेदभाव कर सकता है R(x, y) = 0 इसके संबंध में x तथा y और फिर परिणामी रैखिक समीकरण को हल करें dy/dx के संदर्भ में व्युत्पन्न स्पष्ट रूप से प्राप्त करने के लिए x तथा y. यहां तक ​​​​कि जब मूल समीकरण को स्पष्ट रूप से हल करना संभव होता है, तो कुल भिन्नता से उत्पन्न सूत्र सामान्य रूप से बहुत सरल और उपयोग में आसान होता है।

उदाहरण

उदाहरण 1

विचार करना

$y+x+5=0\,.$

इस समीकरण को हल करना आसान है y, देना

$y=-x-5\,,$

जहां दाईं ओर फ़ंक्शन का स्पष्ट रूप है y(x). विभेदीकरण तब देता है dy/dx = −1.

वैकल्पिक रूप से, कोई मूल समीकरण को पूरी तरह से अलग कर सकता है:

${\begin{aligned}{\frac {dy}{dx}}+{\frac {dx}{dx}}+{\frac {d}{dx}}(5)&=0\,;\\[6px]{\frac {dy}{dx}}+1+0&=0\,.\end{aligned}}$

के लिए हल करना dy/dx देता है

${\frac {dy}{dx}}=-1\,,$

वही उत्तर जो पहले प्राप्त हुआ था।

उदाहरण 2

एक अंतर्निहित फ़ंक्शन का एक उदाहरण जिसके लिए स्पष्ट भेदभाव का उपयोग करने की तुलना में अंतर्निहित भेदभाव आसान है, फ़ंक्शन है y(x) समीकरण द्वारा परिभाषित

$x^{4}+2y^{2}=8\,.$

के संबंध में इसे स्पष्ट रूप से अलग करने के लिए x, किसी को पहले प्राप्त करना होगा

$y(x)=\pm {\sqrt {\frac {8-x^{4}}{2}}}\,,$

और फिर इस फ़ंक्शन को अलग करें। यह दो व्युत्पन्न बनाता है: एक के लिए y ≥ 0 और दूसरे के लिए y < 0.

मूल समीकरण को स्पष्ट रूप से अलग करना काफी आसान है:

$4x^{3}+4y{\frac {dy}{dx}}=0\,,$

दे रही है

${\frac {dy}{dx}}={\frac {-4x^{3}}{4y}}=-{\frac {x^{3}}{y}}\,.$

उदाहरण 3

अक्सर, के लिए स्पष्ट रूप से हल करना मुश्किल या असंभव होता है y, और अन्तर्निहित विभेदन विभेदन का एकमात्र व्यवहार्य तरीका है। एक उदाहरण समीकरण है

$y^{5}-y=x\,.$

बीजीय व्यंजक असंभव है y के एक समारोह के रूप में स्पष्ट रूप से x, और इसलिए कोई नहीं ढूंढ सकता dy/dx स्पष्ट भेदभाव द्वारा। निहित विधि का उपयोग करते हुए, dy/dx प्राप्त करने के लिए समीकरण को विभेदित करके प्राप्त किया जा सकता है

$5y^{4}{\frac {dy}{dx}}-{\frac {dy}{dx}}={\frac {dx}{dx}}\,,$

कहाँ पे dx/dx = 1. फैक्टरिंग आउट dy/dx दिखाता है

$\left(5y^{4}-1\right){\frac {dy}{dx}}=1\,,$

जो परिणाम देता है

${\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{5y^{4}-1}}\,,$

जिसके लिए परिभाषित किया गया है

$y\neq \pm {\frac {1}{\sqrt[{4}]{5}}}\quad {\text{and}}\quad y\neq \pm {\frac {i}{\sqrt[{4}]{5}}}\,.$

निहित फलन के व्युत्पन्न के लिए सामान्य सूत्र

यदि R(x, y) = 0, निहित कार्य का व्युत्पन्न y(x) द्वारा दिया गया है

${\frac {dy}{dx}}=-{\frac {\,{\frac {\partial R}{\partial x}}\,}{\frac {\partial R}{\partial y}}}=-{\frac {R_{x}}{R_{y}}}\,,$

कहाँ पे R_x तथा R_y के आंशिक व्युत्पन्न को इंगित करें R इसके संबंध में x तथा y.

उपरोक्त सूत्र कुल व्युत्पन्न प्राप्त करने के लिए श्रृंखला नियम#Multivariable_case का उपयोग करने से आता है - के संबंध में x — के दोनों पक्षों के R(x, y) = 0:

${\frac {\partial R}{\partial x}}{\frac {dx}{dx}}+{\frac {\partial R}{\partial y}}{\frac {dy}{dx}}=0\,,$

इसलिये

${\frac {\partial R}{\partial x}}+{\frac {\partial R}{\partial y}}{\frac {dy}{dx}}=0\,,$

जिसे, जब हल किया जाता है dy/dx, उपरोक्त व्यंजक देता है।

अंतर्निहित कार्य प्रमेय

यूनिट सर्कल को स्पष्ट रूप से बिंदुओं के सेट के रूप में परिभाषित किया जा सकता है (x, y) संतुष्टि देने वाला x² + y² = 1. लगभग बिंदु A, y एक निहित कार्य के रूप में व्यक्त किया जा सकता है y(x). (कई मामलों के विपरीत, यहां इस फ़ंक्शन को स्पष्ट किया जा सकता है: g₁(x) = √1 − x².) ऐसा कोई फलन बिंदु के आसपास मौजूद नहीं है B, जहां स्पर्शरेखा स्थान लंबवत है।

Main article: Implicit function theorem

होने देना R(x, y) दो चरों का एक अवकलनीय फलन हो, और (a, b) वास्तविक संख्याओं का ऐसा युग्म हो कि R(a, b) = 0. यदि ∂R/∂y ≠ 0, फिर R(x, y) = 0 एक निहित कार्य को परिभाषित करता है जो कुछ छोटे पर्याप्त पड़ोस (गणित) में भिन्न होता है (a, b); दूसरे शब्दों में, एक अलग कार्य है f जिसे कुछ पड़ोस में परिभाषित और अलग किया जा सकता है a, ऐसा है कि R(x, f(x)) = 0 के लिये x इस पड़ोस में।

स्थिति ∂R/∂y ≠ 0 मतलब कि (a, b) निहित समीकरण के निहित वक्र के वक्र का एक विलक्षण बिंदु है R(x, y) = 0 जहां स्पर्शरेखा लंबवत नहीं है।

कम तकनीकी भाषा में, निहित कार्य मौजूद होते हैं और उन्हें विभेदित किया जा सकता है, यदि वक्र में एक गैर-ऊर्ध्वाधर स्पर्शरेखा है।

बीजीय ज्यामिति में

फॉर्म के संबंध (गणित) पर विचार करें R(x₁, …, x_n) = 0, कहाँ पे R एक बहुचर बहुपद है। इस संबंध को संतुष्ट करने वाले चरों के मानों के समुच्चय को अन्तर्निहित वक्र कहा जाता है यदि n = 2 और एक निहित सतह अगर n = 3. निहित समीकरण बीजगणितीय ज्यामिति का आधार हैं, जिनके अध्ययन के मूल विषय कई निहित समीकरणों के एक साथ समाधान हैं जिनके बाएं हाथ बहुपद हैं। समकालिक विलयनों के इन समुच्चयों को एफाइन बीजीय समुच्चय कहा जाता है।

अवकल समीकरणों में

अवकल समीकरणों के हल आम तौर पर एक निहित फलन द्वारा व्यक्त किए जाते हैं।

अर्थशास्त्र में अनुप्रयोग

प्रतिस्थापन की सीमांत दर

अर्थशास्त्र में, जब स्तर निर्धारित होता है R(x, y) = 0 मात्राओं के लिए एक उदासीनता वक्र है x तथा y दो वस्तुओं की खपत, निहित व्युत्पन्न का निरपेक्ष मूल्य dy/dx को दो वस्तुओं के प्रतिस्थापन की सीमांत दर के रूप में व्याख्यायित किया जाता है: कितना अधिक y की एक इकाई के नुकसान के प्रति उदासीन रहने के लिए किसी को प्राप्त करना चाहिएx.

तकनीकी प्रतिस्थापन की सीमांत दर

इसी तरह, कभी-कभी स्तर सेट R(L, K) उपयोग की गई मात्राओं के विभिन्न संयोजनों को दर्शाने वाला एक आइसोक्वेंट है L श्रम का और K भौतिक पूंजी का जिनमें से प्रत्येक के परिणामस्वरूप कुछ अच्छे के उत्पादन की समान मात्रा का उत्पादन होगा। इस मामले में निहित व्युत्पन्न का निरपेक्ष मूल्य dK/dL को उत्पादन के दो कारकों के बीच तकनीकी प्रतिस्थापन की सीमांत दर के रूप में व्याख्यायित किया जाता है: एक कम इकाई श्रम के साथ उत्पादन की समान मात्रा का उत्पादन करने के लिए फर्म को कितनी अधिक पूंजी का उपयोग करना चाहिए।

अनुकूलन

Main article: Mathematical economics § Mathematical optimization

अक्सर आर्थिक सिद्धांत में, कुछ फ़ंक्शन जैसे उपयोगिता फ़ंक्शन या लाभ (अर्थशास्त्र) फ़ंक्शन को एक पसंद वेक्टर के संबंध में अधिकतम किया जाना है x भले ही उद्देश्य कार्य किसी विशिष्ट कार्यात्मक रूप तक ही सीमित नहीं है। निहित फ़ंक्शन प्रमेय गारंटी देता है कि अनुकूलन के पहले क्रम की शर्तें इष्टतम वेक्टर के प्रत्येक तत्व के लिए एक अंतर्निहित फ़ंक्शन को परिभाषित करती हैं x* पसंद वेक्टर का x. जब लाभ को अधिकतम किया जा रहा है, तो आम तौर पर परिणामी निहित कार्य श्रम मांग कार्य और विभिन्न वस्तुओं के आपूर्ति कार्य होते हैं। जब उपयोगिता को अधिकतम किया जा रहा है, आमतौर पर परिणामी निहित कार्य श्रम आपूर्ति कार्य और विभिन्न वस्तुओं के लिए मांग कार्य होते हैं।

इसके अलावा, समस्या के पैरामीटर का प्रभाव#गणितीय कार्यों पर x* — निहित फलन का आंशिक व्युत्पन्न — कई चरों में किसी फ़ंक्शन के डिफरेंशियल का उपयोग करके पाए जाने वाले प्रथम-क्रम स्थितियों की प्रणाली के कुल व्युत्पन्न के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

यह भी देखें

• अंतर्निहित वक्र
• कार्यात्मक समीकरण
• लेवल सेट
  • समोच्च रेखा
  • आइसोसर्फेस
• प्रतिस्थापन के सीमांत दर
• अंतर्निहित कार्य प्रमेय
• लघुगणक विभेदन
• बहुभुज
• संबंधित दरें

अग्रिम पठन

• Binmore, K. G. (1983). "Implicit Functions". Calculus. New York: Cambridge University Press. pp. 198–211. ISBN 0-521-28952-1.
• Rudin, Walter (1976). Principles of Mathematical Analysis. Boston: McGraw-Hill. pp. 223–228. ISBN 0-07-054235-X.
• Simon, Carl P.; Blume, Lawrence (1994). "Implicit Functions and Their Derivatives". Mathematics for Economists. New York: W. W. Norton. pp. 334–371. ISBN 0-393-95733-0.

बाहरी संबंध

• Archived at Ghostarchive and the Wayback Machine: "Implicit Differentiation, What's Going on Here?". 3Blue1Brown. Essence of Calculus. May 3, 2017 – via YouTube.