सीमा (गणित)

This article is about the general concept of limit. For more specific cases, see Limit of a sequence and Limit of a function. For other uses, see Limit § Mathematics.

गणित में, एक सीमा वह मान है जो एक फ़ंक्शन (गणित) (या अनुक्रम) तक पहुंचता है क्योंकि इनपुट (या इंडेक्स) कुछ मूल्य (गणित) तक पहुंचता है। गणना और गणितीय विश्लेषण के लिए सीमाएं आवश्यक हैं, और निरंतर कार्य, यौगिक और अभिन्न को परिभाषित करने के लिए उपयोग की जाती हैं।

एक अनुक्रम की एक सीमा की अवधारणा को एक नेट (टोपोलॉजी) की एक सीमा की अवधारणा के लिए सामान्यीकृत किया जाता है, और श्रेणी सिद्धांत में सीमा (श्रेणी सिद्धांत) और प्रत्यक्ष सीमा से निकटता से संबंधित है।

सूत्रों में, किसी फ़ंक्शन की सीमा को आमतौर पर इस रूप में लिखा जाता है

$\lim _{x\to c}f(x)=L,$

(हालांकि कुछ लेखक लिम के बजाय एलटी का उपयोग कर सकते हैं) और की सीमा के रूप में पढ़ा जाता है f का x जैसा x दृष्टिकोण c बराबरी L. तथ्य यह है कि एक समारोह f सीमा तक पहुँचता है L जैसा x दृष्टिकोण c कभी-कभी दाएँ तीर (→ या $\rightarrow$), जैसे की

$f(x)\to L{\text{ as }}x\to c,$

जो पढ़ता है$f$ का $x$ आदत है $L$ जैसा $x$ आदत है $c$.

इतिहास

ग्रेगोइरे डी सेंट-विंसेंट ने अपने काम ओपस जियोमीट्रिक श्रंखला1647) में एक ज्यामितीय श्रृंखला की सीमा (टर्मिनस) की पहली परिभाषा दी: एक प्रगति का टर्मिनस श्रृंखला का अंत है, जिस तक कोई भी प्रगति नहीं पहुंच सकती है, भले ही वह अनंत में जारी है, लेकिन जिस तक वह किसी दिए गए खंड की तुलना में अधिक निकट पहुंच सकती है। एक सीमा की आधुनिक परिभाषा बर्नार्ड बोलजानो के पास वापस जाती है, जिन्होंने 1817 में निरंतर कार्यों को परिभाषित करने के लिए एप्सिलॉन-डेल्टा तकनीक की मूल बातें पेश कीं। हालाँकि, उनके काम को उनके जीवनकाल में नहीं जाना गया था। 1821 में ऑगस्टिन-लुई कॉची, इसके बाद कार्ल वीयरस्ट्रास ने एक फलन की सीमा की परिभाषा को औपचारिक रूप दिया जिसे (ε, δ)-सीमा की परिभाषा के रूप में जाना जाने लगा।

सीमा चिह्न के नीचे तीर रखने की आधुनिक धारणा जी. एच. हार्डी के कारण है, जिन्होंने 1908 में अपनी पुस्तक शुद्ध गणित का एक कोर्स में इसका परिचय दिया था।

सीमा के प्रकार

क्रम में

वास्तविक संख्या

Main article: Limit of a sequence

व्यंजक 0.999... की व्याख्या अनुक्रम 0.9, 0.99, 0.999, ... और इसी तरह की सीमा के रूप में की जानी चाहिए। इस क्रम को सख्ती से 1 की सीमा के रूप में दिखाया जा सकता है, और इसलिए इस अभिव्यक्ति की सार्थक व्याख्या 1 के मान के रूप में की जाती है। औपचारिक रूप से, मान लीजिए a₁, a₂, … वास्तविक संख्याओं का एक क्रम है। जब अनुक्रम की सीमा मौजूद होती है, वास्तविक संख्या L इस क्रम की सीमा है यदि और केवल यदि प्रत्येक वास्तविक संख्या के लिए ε > 0, एक प्राकृतिक संख्या मौजूद है N ऐसा कि सभी के लिए n > N, अपने पास |a_n − L| < ε. अंकन

$$\lim _{n\to \infty }a_{n}=L$$

अक्सर उपयोग किया जाता है, और जिसे पढ़ा जाता है

ए की सीमा_nजैसे-जैसे n अनंत की ओर बढ़ता है, L के बराबर होता है

औपचारिक परिभाषा का सहज अर्थ है कि अंततः, अनुक्रम के सभी तत्व मनमाने ढंग से सीमा के करीब हो जाते हैं, क्योंकि निरपेक्ष मान |a_n − L| के बीच की दूरी है a_n तथा L.

हर क्रम की एक सीमा नहीं होती। यदि ऐसा होता है, तो इसे अभिसारी श्रेणी कहते हैं, और यदि ऐसा नहीं होता है, तो यह अपसारी होती है। कोई दिखा सकता है कि एक अभिसरण अनुक्रम की केवल एक सीमा होती है।

किसी अनुक्रम की सीमा और किसी फलन की सीमा का आपस में गहरा संबंध है। एक ओर, सीमा के रूप में n एक अनुक्रम की अनंतता तक पहुँचता है {a_n} केवल एक फ़ंक्शन की अनंतता की सीमा है a(n)- प्राकृतिक संख्या पर परिभाषित {n}. वहीं दूसरी ओर अगर X एक समारोह का डोमेन है f(x) और यदि सीमा के रूप में n की अनंतता तक पहुँचता है f(x_n) है L अंकों के प्रत्येक मनमाने क्रम के लिए {x_n} में {X – {x₀}} जो अभिसरण करता है x₀, फिर फ़ंक्शन की सीमा f(x) जैसा x दृष्टिकोण x₀ है L. ऐसा ही एक क्रम होगा {x₀ + 1/n}.

एक सीमा के रूप में अनंत

कुछ परिमित के विपरीत अनंत पर एक सीमा होने की भी धारणा है $L$. एक क्रम $\{a_{n}\}$ कहा जाता है कि यदि प्रत्येक वास्तविक संख्या के लिए अनंत की ओर प्रवृत्त होता है $M>0$, जिसे बाउंड के रूप में जाना जाता है, एक पूर्णांक मौजूद होता है $N$ ऐसा कि प्रत्येक के लिए $n>N$,

$$|a_{n}|>M.$$

अर्थात्, हर संभव सीमा के लिए, अनुक्रम का परिमाण अंततः सीमा से अधिक हो जाता है। यह अक्सर लिखा जाता है $\lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=\infty$ या केवल $a_{n}\rightarrow \infty$. ऐसे अनुक्रमों को असीमित भी कहा जाता है।

किसी अनुक्रम का विचलन होना संभव है, लेकिन अनंत की ओर नहीं। ऐसे अनुक्रमों को दोलन कहा जाता है। दोलन अनुक्रम का एक उदाहरण है $a_{n}=(-1)^{n}$.

वास्तविक संख्याओं के लिए, उपरोक्त परिभाषा से मॉड्यूलस चिह्न को हटाकर, सकारात्मक अनंत और नकारात्मक अनंतता की प्रवृत्ति के समान विचार हैं:

$$a_{n}>M.$$

सकारात्मक अनंत की ओर प्रवृत्त परिभाषित करता है, जबकि

$$-a_{n}>M.$$

नकारात्मक अनंतता की प्रवृत्ति को परिभाषित करता है।

वे क्रम जो अनंत की ओर नहीं जाते हैं, परिबद्ध कहलाते हैं। अनुक्रम जो धनात्मक अनन्तता की ओर प्रवृत्त नहीं होते हैं उन्हें ऊपर परिबद्ध कहा जाता है, जबकि जो ऋणात्मक अनन्तता की ओर प्रवृत्त नहीं होते हैं उन्हें नीचे परिबद्ध किया जाता है।

मीट्रिक स्थान

उपरोक्त अनुक्रमों की चर्चा वास्तविक संख्याओं के अनुक्रमों के लिए है। सीमाओं की धारणा को अधिक अमूर्त स्थानों में मूल्यवान अनुक्रमों के लिए परिभाषित किया जा सकता है। अधिक अमूर्त स्थान का एक उदाहरण मीट्रिक रिक्त स्थान है। यदि $M$ दूरी समारोह के साथ एक मीट्रिक स्थान है $d$, तथा $\{a_{n}\}_{n\geq 0}$ में क्रम है $M$, तो अनुक्रम की सीमा (जब यह मौजूद है) एक तत्व है $a\in M$ ऐसा दिया, दिया $\epsilon >0$, वहाँ एक मौजूद है $N$ ऐसा कि प्रत्येक के लिए $n>N$, समीकरण

$$d(a,a_{n})<\epsilon$$

संतुष्ट है।

समतुल्य कथन है $a_{n}\rightarrow a$ यदि वास्तविक संख्याओं का क्रम $d(a,a_{n})\rightarrow 0$.

उदाहरण: ℝ^{एन </सुप>}

एक महत्वपूर्ण उदाहरण का स्थान है $n$-आयामी वास्तविक वैक्टर, तत्वों के साथ $\mathbf {x} =(x_{1},\cdots ,x_{n})$ जहां प्रत्येक $x_{i}$ वास्तविक हैं, उपयुक्त दूरी फलन का एक उदाहरण यूक्लिडियन दूरी है, जिसे परिभाषित किया गया है

$$d(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=|\mathbf {x} -\mathbf {y} |={\sqrt {\sum _{i}(x_{i}-y_{i})^{2}}}.$$

अंकों का क्रम $\{\mathbf {x} _{n}\}_{n\geq 0}$ में विलीन हो जाता है $\mathbf {x}$ यदि सीमा मौजूद है और $|\mathbf {x} _{n}-\mathbf {x} |\rightarrow 0$.

टोपोलॉजिकल स्पेस

कुछ अर्थों में सबसे अमूर्त स्थान जिसमें सीमाओं को परिभाषित किया जा सकता है, वे सामयिक स्थान हैं। यदि $X$ टोपोलॉजी के साथ एक टोपोलॉजिकल स्पेस है $\tau$, तथा $\{a_{n}\}_{n\geq 0}$ में क्रम है $X$, तो अनुक्रम की सीमा (जब यह मौजूद है) एक बिंदु है $a\in X$ ऐसा कि, एक (खुला) पड़ोस (टोपोलॉजी) दिया गया $U\in \tau$ का $a$, वहाँ एक मौजूद है $N$ ऐसा कि प्रत्येक के लिए $n>N$,

$$a_{n}\in U$$

संतुष्ट है।

फंक्शन स्पेस

यह खंड कार्यों के अनुक्रमों की सीमाओं के विचार से संबंधित है, नीचे चर्चा की गई कार्यों की सीमाओं के विचार से भ्रमित नहीं होना चाहिए।

कार्यात्मक विश्लेषण का क्षेत्र आंशिक रूप से कार्य स्थान पर अभिसरण की उपयोगी धारणाओं की पहचान करना चाहता है। उदाहरण के लिए, सामान्य सेट से कार्यों की जगह पर विचार करें $E$ प्रति $\mathbb {R}$. कार्यों के अनुक्रम को देखते हुए $\{f_{n}\}_{n>0}$ ऐसा है कि प्रत्येक एक कार्य है $f_{n}:E\rightarrow \mathbb {R}$, मान लीजिए कि एक ऐसा कार्य मौजूद है जो प्रत्येक के लिए है $x\in E$,

$$f_{n}(x)\rightarrow f(x){\text{ or equivalently }}\lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}(x)=f(x).$$

फिर क्रम $f_{n}$ बिंदुवार अभिसरण कहा जाता है $f$. हालाँकि, ऐसे क्रम अनपेक्षित व्यवहार प्रदर्शित कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, निरंतर कार्यों के एक अनुक्रम का निर्माण करना संभव है जिसकी एक बिंदुवार सीमा होती है।

अभिसरण की एक अन्य धारणा एकसमान अभिसरण है। दो कार्यों के बीच समान दूरी $f,g:E\rightarrow \mathbb {R}$ तर्क के रूप में दो कार्यों के बीच अधिकतम अंतर है $x\in E$ विविध है। वह है,

$$d(f,g)=\max _{x\in E}|f(x)-g(x)|.$$

फिर क्रम $f_{n}$ कहा जाता है कि समान रूप से अभिसरण या एक समान सीमा होती है $f$ यदि $f_{n}\rightarrow f$ इस दूरी के संबंध में। एकसमान सीमा में बिंदुवार सीमा की तुलना में अच्छे गुण होते हैं। उदाहरण के लिए, निरंतर कार्यों के अनुक्रम की एकसमान सीमा निरंतर है।

फ़ंक्शन रिक्त स्थान पर अभिसरण की कई अलग-अलग धारणाओं को परिभाषित किया जा सकता है। यह कभी-कभी अंतरिक्ष की चिकनीता पर निर्भर होता है। अभिसरण की कुछ धारणा के साथ फ़ंक्शन रिक्त स्थान के प्रमुख उदाहरण एलपी रिक्त स्थान और सोबोलेव स्पेस हैं।

कार्यों में

Main article: Limit of a function

300x300पीएक्स

मान लीजिए f एक वास्तविक मूल्यवान कार्य है और c एक वास्तविक संख्या है। सहज रूप से बोलना, अभिव्यक्ति

$\lim _{x\to c}f(x)=L$

मतलब कि f(x) के निकट बनाया जा सकता है L इच्छानुसार, बनाकर x काफी करीब c. उस स्थिति में, उपरोक्त समीकरण को की सीमा के रूप में पढ़ा जा सकता है f का x, जैसा x दृष्टिकोण c, है L.

औपचारिक रूप से, की सीमा की परिभाषा $f(x)$ जैसा $x$ दृष्टिकोण $c$निम्नानुसार दिया गया है। सीमा एक वास्तविक संख्या है $L$ ताकि, एक मनमाना वास्तविक संख्या दी जाए $\epsilon >0$ (त्रुटि के रूप में माना जाता है), एक है $\delta >0$ ऐसा कि, किसी के लिए $x$ संतुष्टि देने वाला $0<|x-c|<\delta$, यह मानता है $|f(x)-L|<\epsilon$. इसे (ε, δ)-सीमा की परिभाषा के रूप में जाना जाता है।

असमानता $0<|x-c|$ बहिष्कृत करने के लिए प्रयोग किया जाता है $c$ विचाराधीन बिंदुओं के सेट से, लेकिन कुछ लेखकों ने इसे अपनी सीमा की परिभाषा में शामिल नहीं किया है $0<|x-c|<\delta$ बस के साथ $|x-c|<\delta$. यह प्रतिस्थापन इसके अतिरिक्त आवश्यकता के बराबर है $f$ पर निरंतर रहें $c$.

यह सिद्ध किया जा सकता है कि एक समतुल्य परिभाषा है जो अनुक्रमों की सीमाओं और कार्यों की सीमाओं के बीच संबंध को प्रकट करती है। समतुल्य परिभाषा इस प्रकार दी गई है। पहले निरीक्षण करें कि हर क्रम के लिए $\{x_{n}\}$ के अधिकार क्षेत्र में $f$, एक संबद्ध क्रम है $\{f(x_{n})\}$, नीचे अनुक्रम की छवि $f$. सीमा एक वास्तविक संख्या है $L$ ताकि, सभी अनुक्रमों के लिए $x_{n}\rightarrow c$, संबद्ध अनुक्रम $f(x_{n})\rightarrow L$.

एकतरफा सीमा

Main article: one-sided limit

ऊपर या बाईं सीमा से सीमा होने की धारणा और नीचे या दाईं सीमा से सीमा की धारणा को परिभाषित करना संभव है। इन पर सहमत होने की आवश्यकता नहीं है। सकारात्मक संकेतक फ़ंक्शन द्वारा एक उदाहरण दिया गया है, $f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$, इस प्रकार परिभाषित किया गया है $f(x)=0$ यदि $x\leq 0$, तथा $f(x)=1$ यदि $x>0$. पर $x=0$फ़ंक्शन की बाईं सीमा 0 है, दाईं सीमा 1 है, और इसकी सीमा मौजूद नहीं है।

कार्यों की सीमा में अनंत

के क्षेत्र में अनंतता की प्रवृत्ति की धारणा को परिभाषित करना संभव है $f$,

$$\lim _{x\rightarrow \infty }f(x)=L.$$

इस अभिव्यक्ति में, अनंत को हस्ताक्षरित माना जाता है: या तो $+\infty$ या $-\infty$. x के रूप में f की सीमा धनात्मक अनंत तक जाती है, इसे निम्नानुसार परिभाषित किया गया है। यह एक वास्तविक संख्या है $L$ ऐसा है कि, कोई वास्तविक दिया $\epsilon >0$, वहाँ एक मौजूद है $M>0$ ताकि अगर $x>M$, $|f(x)-L|<\epsilon$. समान रूप से, किसी भी क्रम के लिए $x_{n}\rightarrow +\infty$, अपने पास $f(x_{n})\rightarrow L$.

के मूल्य में अनंत की ओर प्रवृत्त होने की धारणा को परिभाषित करना भी संभव है $f$,

$$\lim _{x\rightarrow c}f(x)=\infty .$$

परिभाषा इस प्रकार दी गई है। कोई वास्तविक संख्या दी गई है $M>0$, वहां एक है $\delta >0$ ताकि के लिए $0<|x-c|<\delta$, फ़ंक्शन का निरपेक्ष मान $|f(x)|>M$. समान रूप से, किसी भी क्रम के लिए $x_{n}\rightarrow c$, क्रम $f(x_{n})\rightarrow \infty$.

अमानक विश्लेषण

गैर-मानक विश्लेषण में (जिसमें संख्या प्रणाली का एक अति वास्तविक संख्या इज़ाफ़ा शामिल है), एक अनुक्रम की सीमा $(a_{n})$ मूल्य के मानक भाग समारोह के रूप में व्यक्त किया जा सकता है $a_{H}$ एक अनंत अतिप्राकृतिक सूचकांक n=H पर अनुक्रम के प्राकृतिक विस्तार का। इस प्रकार,

$\lim _{n\to \infty }a_{n}=\operatorname {st} (a_{H}).$

यहां, मानक भाग फ़ंक्शन सेंट प्रत्येक परिमित हाइपररियल संख्या को निकटतम वास्तविक संख्या में बंद कर देता है (उनके बीच का अंतर असीम है)। यह स्वाभाविक अंतर्ज्ञान को औपचारिक रूप देता है कि सूचकांक के बहुत बड़े मूल्यों के लिए, अनुक्रम में शर्तें अनुक्रम के सीमा मूल्य के बहुत करीब हैं। इसके विपरीत, एक अतियथार्थवादी का मानक भाग $a=[a_{n}]$ कौशी अनुक्रम द्वारा अल्ट्रापावर निर्माण में प्रतिनिधित्व किया गया $(a_{n})$, बस उस क्रम की सीमा है:

$\operatorname {st} (a)=\lim _{n\to \infty }a_{n}.$

इस अर्थ में, सीमा लेना और मानक भाग लेना समतुल्य प्रक्रियाएँ हैं।

सीमा सेट

अनुक्रम का सीमा सेट

होने देना $\{a_{n}\}_{n>0}$ टोपोलॉजिकल स्पेस में एक अनुक्रम हो $X$. संक्षिप्तता के लिए, $X$ के रूप में सोचा जा सकता है $\mathbb {R}$, लेकिन परिभाषाएँ आम तौर पर अधिक होती हैं। सीमा सेट बिंदुओं का सेट है जैसे कि यदि कोई अभिसारी क्रम है $\{a_{n_{k}}\}_{k>0}$ साथ $a_{n_{k}}\rightarrow a$, फिर $a$ निर्धारित सीमा के अंतर्गत आता है। इस संदर्भ में ए $a$ कभी-कभी सीमा बिंदु कहा जाता है।

इस धारणा का उपयोग ऑसिलेटरी अनुक्रमों के दीर्घकालिक व्यवहार को चिह्नित करना है। उदाहरण के लिए, अनुक्रम पर विचार करें $a_{n}=(-1)^{n}$. n=1 से शुरू करते हुए, इस क्रम के पहले कुछ पद हैं $-1,+1,-1,+1,\cdots$. यह जाँचा जा सकता है कि यह दोलनशील है, इसलिए इसकी कोई सीमा नहीं है, लेकिन इसके सीमा बिंदु हैं $\{-1,+1\}$.

एक प्रक्षेपवक्र की सीमा सेट

प्रक्षेपवक्र की सीमाओं का अध्ययन करने के लिए, इस धारणा का उपयोग गतिशील प्रणालियों में किया जाता है। एक समारोह होने के लिए एक प्रक्षेपवक्र को परिभाषित करना $\gamma :\mathbb {R} \rightarrow X$, बिंदु $\gamma (t)$ समय पर प्रक्षेपवक्र की स्थिति के रूप में माना जाता है $t$. एक प्रक्षेपवक्र की सीमा निर्धारित निम्नानुसार परिभाषित की गई है। बढ़ते समय के किसी भी क्रम के लिए $\{t_{n}\}$, पदों का एक संबद्ध क्रम है $\{x_{n}\}=\{\gamma (t_{n})\}$. यदि $x$ अनुक्रम की सीमा निर्धारित है $\{x_{n}\}$ बढ़ते समय के किसी भी क्रम के लिए, तब $x$ प्रक्षेपवक्र का एक सीमा सेट है।

तकनीकी रूप से, यह है $\omega$-सीमा सेट। घटते समय के अनुक्रमों के लिए निर्धारित संगत सीमा कहलाती है $\alpha$-सीमा सेट।

एक उदाहरण उदाहरण सर्कल प्रक्षेपवक्र है: $\gamma (t)=(\cos(t),\sin(t))$. इसकी कोई अनूठी सीमा नहीं है, लेकिन प्रत्येक के लिए $\theta \in \mathbb {R}$, बिंदु $(\cos(\theta ),\sin(\theta ))$ समय के अनुक्रम द्वारा दिया गया एक सीमा बिंदु है $t_{n}=\theta +2\pi n$. लेकिन सीमा बिंदुओं को प्रक्षेपवक्र पर प्राप्त करने की आवश्यकता नहीं है। प्रक्षेपवक्र $\gamma (t)=t/(1+t)(\cos(t),\sin(t))$ इसकी सीमा सेट के रूप में यूनिट सर्कल भी है।

उपयोग

विश्लेषण में कई महत्वपूर्ण अवधारणाओं को परिभाषित करने के लिए सीमाओं का उपयोग किया जाता है।

श्रृंखला

Main article: series (mathematics)

ब्याज की एक विशेष अभिव्यक्ति जिसे एक अनुक्रम की सीमा के रूप में औपचारिक रूप दिया जाता है, वह अनंत श्रृंखला का योग है। ये वास्तविक संख्याओं के अनंत योग हैं, जिन्हें आम तौर पर इस रूप में लिखा जाता है

$$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}.$$

इसे इस प्रकार सीमाओं के माध्यम से परिभाषित किया गया है: वास्तविक संख्याओं का एक क्रम दिया $\{a_{n}\}$, आंशिक रकम के अनुक्रम द्वारा परिभाषित किया गया है

$$s_{n}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}.$$

यदि अनुक्रम की सीमा $\{s_{n}\}$ मौजूद है, अभिव्यक्ति का मूल्य $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ सीमा के रूप में परिभाषित किया गया है। अन्यथा, श्रृंखला को अपसारी कहा जाता है।

एक उत्कृष्ट उदाहरण बेसल समस्या है, जहाँ $a_{n}=1/n^{2}$. फिर

$$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}.$$

हालाँकि, जबकि अनुक्रमों के लिए अनिवार्य रूप से अभिसरण की एक अनूठी धारणा है, श्रृंखला के लिए अभिसरण की विभिन्न धारणाएँ हैं। यह इस तथ्य के कारण है कि अभिव्यक्ति $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ अनुक्रम के विभिन्न क्रमों के बीच कोई भेदभाव नहीं करता है $\{a_{n}\}$, जबकि आंशिक योगों के अनुक्रम के अभिसरण गुण अनुक्रम के क्रम पर निर्भर कर सकते हैं।

एक श्रृंखला जो सभी क्रमों के लिए अभिसरित होती है, 'बिना शर्त अभिसरण' कहलाती है। यह पूर्ण अभिसरण के समकक्ष सिद्ध हो सकता है। इसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है। एक श्रृंखला पूरी तरह से अभिसारी है अगर $\sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|$ अच्छी तरह परिभाषित है। इसके अलावा, सभी संभव आदेश समान मूल्य देते हैं।

अन्यथा, श्रृंखला सशर्त अभिसारी है। सशर्त रूप से अभिसरण श्रृंखला के लिए एक आश्चर्यजनक परिणाम रीमैन श्रृंखला प्रमेय है: आदेश के आधार पर, आंशिक रकम को किसी भी वास्तविक संख्या में अभिसरण करने के लिए बनाया जा सकता है, साथ ही साथ $\pm \infty$.

शक्ति श्रृंखला

Main article: power series

श्रृंखला के योग के सिद्धांत का एक उपयोगी अनुप्रयोग शक्ति श्रृंखला के लिए है। ये प्रपत्र की श्रृंखला के योग हैं

$$f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}.$$

अक्सर $z$ एक जटिल संख्या के रूप में माना जाता है, और जटिल अनुक्रमों के अभिसरण की उपयुक्त धारणा की आवश्यकता होती है। के मूल्यों का सेट $z\in \mathbb {C}$ जिसके लिए श्रृंखला योग अभिसरण एक वृत्त है, जिसकी त्रिज्या को अभिसरण की त्रिज्या के रूप में जाना जाता है।

एक बिंदु पर एक समारोह की निरंतरता

एक बिंदु पर निरंतरता की परिभाषा सीमाओं के माध्यम से दी गई है।

एक सीमा की उपरोक्त परिभाषा सत्य है भले ही $f(c)\neq L$. दरअसल, समारोह f पर परिभाषित करने की भी आवश्यकता नहीं है c. हालांकि, यदि $f(c)$ परिभाषित किया गया है और इसके बराबर है $L$, तब फलन को बिंदु पर सतत कहा जाता है$c$.

समान रूप से, कार्य निरंतर है $c$ यदि $f(x)\rightarrow f(c)$ जैसा $x\rightarrow c$, या अनुक्रमों के संदर्भ में, जब भी $x_{n}\rightarrow c$, फिर $f(x_{n})\rightarrow f(c)$.

एक सीमा का उदाहरण जहां $f$ पर परिभाषित नहीं है $c$ नीचे दिया गया है।

समारोह पर विचार करें

$$f(x)={\frac {x^{2}-1}{x-1}}.$$

फिर f(1) परिभाषित नहीं है (अनिश्चित रूप देखें), अभी तक के रूप में x मनमाने ढंग से 1 के करीब जाता है, f(x) तदनुसार 2 तक पहुंचता है:

f(0.9)	f(0.99)	f(0.999)	f(1.0)	f(1.001)	f(1.01)	f(1.1)
1.900	1.990	1.999	undefined	2.001	2.010	2.100

इस प्रकार, f(x) मनमाने ढंग से 2 की सीमा के करीब बनाया जा सकता है—सिर्फ बनाकर x काफी करीब 1.

दूसरे शब्दों में,

$$\lim _{x\to 1}{\frac {x^{2}-1}{x-1}}=2.$$

इसकी गणना बीजगणितीय रूप से भी की जा सकती है, जैसे ${\textstyle {\frac {x^{2}-1}{x-1}}={\frac {(x+1)(x-1)}{x-1}}=x+1}$ सभी वास्तविक संख्याओं के लिए x ≠ 1.

अब, चूंकि x + 1 में निरंतर है x 1 पर, अब हम 1 के लिए प्लग इन कर सकते हैं x, समीकरण के लिए अग्रणी

$$\lim _{x\to 1}{\frac {x^{2}-1}{x-1}}=1+1=2.$$

परिमित मूल्यों की सीमाओं के अतिरिक्त, कार्यों की अनंतता पर भी सीमाएं हो सकती हैं। उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन पर विचार करें

$$f(x)={\frac {2x-1}{x}}$$

कहाँ पे:

• f(100) = 1.9900
• f(1000) = 1.9990
• f(10000) = 1.9999

जैसा x बहुत बड़ा हो जाता है, का मूल्य f(x) दृष्टिकोण 2, और का मूल्य f(x) के निकट बनाया जा सकता है 2 जैसा कोई चाहे - बना कर x पर्याप्त रूप से बड़ा। तो इस मामले में, की सीमा f(x) जैसा x अनंत तक पहुँचता है 2, या गणितीय अंकन में,

$$\lim _{x\to \infty }{\frac {2x-1}{x}}=2.$$

सतत कार्य

सीमाओं पर विचार करते समय कार्यों का एक महत्वपूर्ण वर्ग निरंतर कार्य होता है। ये ठीक वे कार्य हैं जो सीमाओं को संरक्षित करते हैं, इस अर्थ में कि यदि $f$ एक सतत कार्य है, फिर जब भी $a_{n}\rightarrow a$ के अधिकार क्षेत्र में $f$, फिर सीमा $f(a_{n})$ मौजूद है और है भी $f(a)$.

टोपोलॉजिकल स्पेस की सबसे सामान्य सेटिंग में, एक छोटा सा प्रमाण नीचे दिया गया है:

होने देना $f:X\rightarrow Y$ टोपोलॉजिकल स्पेस के बीच एक सतत कार्य करें $X$ तथा $Y$. परिभाषा के अनुसार, प्रत्येक खुले सेट के लिए $V$ में $Y$, पूर्व चित्र $f^{-1}(V)$ में खुला है $X$.

अब मान लीजिए $a_{n}\rightarrow a$ सीमा के साथ एक क्रम है $a$ में $X$. फिर $f(a_{n})$ में क्रम है $Y$, तथा $f(a)$ कुछ बिंदु है।

एक पड़ोस चुनें $V$ का $f(a)$. फिर $f^{-1}(V)$ एक खुला सेट है (की निरंतरता से $f$) जिसमें विशेष रूप से शामिल है $a$, और इसीलिए $f^{-1}(V)$ का पड़ोस है $a$. के अभिसरण से $a_{n}$ प्रति $a$, वहाँ एक मौजूद है $N$ ऐसा कि के लिए $n>N$, अपने पास $a_{n}\in f^{-1}(V)$.

फिर आवेदन करना $f$ दोनों पक्षों को देता है, उसी के लिए $N$, प्रत्येक के लिए $n>N$ अपने पास $f(a_{n})\in V$. मौलिक रूप से $V$ का मनमाना पड़ोस था $f(a)$, इसलिए $f(a_{n})\rightarrow f(a)$. यह सबूत समाप्त करता है।

वास्तविक विश्लेषण में, सबसेट पर परिभाषित वास्तविक-मूल्यवान कार्यों के अधिक ठोस मामले के लिए $E\subset \mathbb {R}$, वह है, $f:E\rightarrow \mathbb {R}$, एक सतत कार्य को एक ऐसे कार्य के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है जो अपने डोमेन के प्रत्येक बिंदु पर निरंतर है।

सीमा अंक

टोपोलॉजी में, एक टोपोलॉजिकल स्पेस के सबसेट के सीमा बिंदुओं को परिभाषित करने के लिए सीमाओं का उपयोग किया जाता है, जो बदले में बंद सेटों का एक उपयोगी लक्षण वर्णन देता है।

एक टोपोलॉजिकल स्पेस में $X$, एक उपसमुच्चय पर विचार करें $S$. एक बिंदु $a$ एक अनुक्रम होने पर सीमा बिंदु कहा जाता है $\{a_{n}\}$ में $S\backslash \{a\}$ ऐसा है कि $a_{n}\rightarrow a$.

कारण क्यों $\{a_{n}\}$ में परिभाषित किया गया है $S\backslash \{a\}$ बल्कि सिर्फ $S$ निम्नलिखित उदाहरण द्वारा स्पष्ट किया गया है। लेना $X=\mathbb {R}$ तथा $S=[0,1]\cup \{2\}$. फिर $2\in S$, और इसलिए निरंतर अनुक्रम की सीमा है $2,2,\cdots$. परंतु $2$ का कोई सीमा बिंदु नहीं है $S$.

एक बंद सेट, जिसे एक खुले सेट के पूरक के रूप में परिभाषित किया गया है, समतुल्य कोई भी सेट है $C$ जिसमें इसके सभी सीमा बिंदु शामिल हैं।

व्युत्पन्न

Main article: derivative

व्युत्पन्न औपचारिक रूप से एक सीमा के रूप में परिभाषित किया गया है। वास्तविक विश्लेषण के दायरे में, व्युत्पन्न को पहले वास्तविक कार्यों के लिए परिभाषित किया जाता है $f$ एक उपसमुच्चय पर परिभाषित $E\subset \mathbb {R}$. पर व्युत्पन्न $x\in E$ निम्नानुसार परिभाषित किया गया है। यदि सीमा

$${\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$$

जैसा $h\rightarrow 0$ मौजूद है, तो व्युत्पन्न पर $x$ क्या यह सीमा है।

समान रूप से, यह सीमा है $y\rightarrow x$ का

$${\frac {f(y)-f(x)}{y-x}}.$$

यदि व्युत्पन्न मौजूद है, तो इसे आमतौर पर निरूपित किया जाता है $f'(x)$.

गुण

वास्तविक संख्याओं का क्रम

वास्तविक संख्याओं के अनुक्रमों के लिए, अनेक गुणों को सिद्ध किया जा सकता है। मान लीजिए $\{a_{n}\}$ तथा $\{b_{n}\}$ अभिसरण करने वाले दो क्रम हैं $a$ तथा $b$ क्रमश।

• सीमा का योग योग की सीमा के बराबर है

$$a_{n}+b_{n}\rightarrow a+b.$$

• सीमा का उत्पाद उत्पाद की सीमा के बराबर है

$$a_{n}\cdot b_{n}\rightarrow a\cdot b.$$

• सीमा का व्युत्क्रम व्युत्क्रम की सीमा के बराबर है (जब तक $a\neq 0$)

$${\frac {1}{a_{n}}}\rightarrow {\frac {1}{a}}.$$

समतुल्य, समारोह $f(x)=1/x$ सकारात्मक के बारे में निरंतर है $x$.

कॉची सीक्वेंस

See also: Cauchy sequence

वास्तविक संख्याओं के अभिसरण अनुक्रमों का एक गुण यह है कि वे कॉशी अनुक्रम हैं। कौशी अनुक्रम की परिभाषा $\{a_{n}\}$ क्या वह हर वास्तविक संख्या के लिए है $\epsilon >0$, वहां पर एक $N$ ऐसा कि जब भी $m,n>N$,

$$|a_{m}-a_{n}|<\epsilon .$$

अनौपचारिक रूप से, किसी भी मनमाने ढंग से छोटी त्रुटि के लिए $\epsilon$, व्यास का अंतराल खोजना संभव है $\epsilon$ ऐसा है कि अंततः अनुक्रम अंतराल के भीतर समाहित है।

कौशी अनुक्रम अभिसरण अनुक्रमों से निकटता से संबंधित हैं। वास्तव में, वास्तविक संख्याओं के अनुक्रमों के लिए वे समतुल्य हैं: कोई भी कॉची अनुक्रम अभिसरण है।

सामान्य मीट्रिक रिक्त स्थान में, यह माना जाता है कि अभिसरण अनुक्रम भी कॉची हैं। लेकिन इसका विलोम सत्य नहीं है: प्रत्येक कॉची अनुक्रम एक सामान्य मीट्रिक स्थान में अभिसरण नहीं होता है। एक क्लासिक प्रति उदाहरण परिमेय संख्या है, $\mathbb {Q}$, सामान्य दूरी के साथ। दशमलव सन्निकटन का क्रम ${\sqrt {2}}$, पर काट दिया गया $n$वां दशमलव स्थान एक कौशी क्रम है, लेकिन इसमें अभिसरित नहीं होता है $\mathbb {Q}$.

एक मीट्रिक स्थान जिसमें प्रत्येक कॉची अनुक्रम भी अभिसरण होता है, अर्थात कॉची अनुक्रम अभिसरण अनुक्रम के बराबर होते हैं, एक पूर्ण मीट्रिक स्थान के रूप में जाना जाता है।

अभिसरण अनुक्रमों की तुलना में कॉची अनुक्रमों के साथ काम करना आसान हो सकता है, इसका एक कारण यह है कि वे अनुक्रम की संपत्ति हैं $\{a_{n}\}$ अकेले, जबकि अभिसरण अनुक्रमों को केवल अनुक्रम की आवश्यकता नहीं होती है $\{a_{n}\}$ लेकिन अनुक्रम की सीमा भी $a$.

अभिसरण का क्रम

अनुक्रम से परे है या नहीं $\{a_{n}\}$ एक सीमा में समा जाता है $a$, यह वर्णन करना संभव है कि अनुक्रम कितनी तेजी से एक सीमा तक अभिसरण करता है। इसे परिमाणित करने का एक तरीका अनुक्रम के अभिसरण के क्रम का उपयोग कर रहा है।

अभिसरण के क्रम की एक औपचारिक परिभाषा निम्नानुसार बताई जा सकती है। मान लीजिए $\{a_{n}\}_{n>0}$ वास्तविक संख्याओं का एक क्रम है जो सीमा के साथ अभिसारी है $a$. आगे, $a_{n}\neq a$ सभी के लिए $n$. यदि सकारात्मक स्थिरांक $\lambda$ तथा $\alpha$ ऐसे मौजूद हैं

$$\lim _{n\to \infty }{\frac {\left|a_{n+1}-a\right|}{\left|a_{n}-a\right|^{\alpha }}}=\lambda$$

फिर $a_{n}$ में मिलना कहा जाता है $a$ अभिसरण के क्रम के साथ $\alpha$. अटल $\lambda$ स्पर्शोन्मुख त्रुटि स्थिरांक के रूप में जाना जाता है।

त्रुटि विश्लेषण में अभिसरण के क्रम का उपयोग उदाहरण के लिए संख्यात्मक विश्लेषण के क्षेत्र में किया जाता है।

संगणनीयता

सीमाओं की गणना करना कठिन हो सकता है। ऐसी सीमित अभिव्यक्तियाँ मौजूद हैं जिनके अभिसरण का मापांक अनिर्णीत समस्या है। पुनरावर्तन सिद्धांत में, सीमा प्रमेयिका यह साबित करती है कि सीमाओं का उपयोग करके अनिर्णीत समस्याओं को सांकेतिक शब्दों में बदलना संभव है। कई प्रमेय या परीक्षण हैं जो इंगित करते हैं कि सीमा मौजूद है या नहीं। इन्हें अभिसरण परीक्षण के रूप में जाना जाता है। उदाहरणों में अनुपात परीक्षण और निचोड़ प्रमेय शामिल हैं। हालाँकि वे यह नहीं बता सकते हैं कि सीमा की गणना कैसे की जाए।

यह भी देखें

• स्पर्शोन्मुख विश्लेषण: व्यवहार को सीमित करने का वर्णन करने का एक तरीका
  • बिग ओ नोटेशन: किसी फ़ंक्शन के सीमित व्यवहार का वर्णन करने के लिए उपयोग किया जाता है जब तर्क किसी विशेष मूल्य या अनंतता की ओर जाता है
• बनच सीमा को बनच स्थान पर परिभाषित किया गया है $\ell ^{\infty }$ जो सामान्य सीमा का विस्तार करता है।
• यादृच्छिक चर का अभिसरण
• अभिसरण मैट्रिक्स
• सीमा (श्रेणी सिद्धांत)
  • सीधी सीमा
  • उलटी सीमा
• समारोह की सीमा
  • एक तरफा सीमा: एक वास्तविक चर x के कार्यों की दो सीमाओं में से कोई भी, जैसा कि x ऊपर या नीचे से एक बिंदु तक पहुंचता है
  • सीमाओं की सूची: सामान्य कार्यों के लिए सीमाओं की सूची
  • निचोड़ प्रमेय: दो अन्य कार्यों के साथ तुलना करके एक समारोह की सीमा पाता है
• श्रेष्ठ को सीमित करो और हीन को सीमित करो
• अभिसरण के तरीके
  • अभिसरण का एक तरीका (एनोटेट इंडेक्स)

संदर्भ

• Apostol, Tom M. (1974), Mathematical Analysis (2nd ed.), Menlo Park: Addison-Wesley, LCCN 72011473

इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची

• समारोह (गणित)
• अंक शास्त्र
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• निरपेक्ष मूल्य
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• गैर मानक विश्लेषण
• बहुत छोता
• परिणाम को
• सीमा निर्धारित
• गतिशील प्रणाली
• सशर्त अभिसरण
• कॉची सीक्वेंस
• अभिसरण का क्रम
• परीक्षण प्रणाली
• बनच की सीमा
• श्रेष्ठ को सीमित करो और निम्न को सीमित करो
• अभिसरण के मोड (एनोटेटेड इंडेक्स)
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