अनंत

For प्रतीक के लिए, see अनंत प्रतीक देखें।. For "अनंत" और "अनंत" के अन्य उपयोगों के लिए, अनंत (बहुविकल्पी) देखें।, see अनंत (disambiguation).

Not to be confused with अनंत (बहुविकल्पी) के साथ भ्रमित न हों।.

निरंतर प्रकाश प्रतिबिंब अनंत दर्पण के कारण, ऐसा लगता है कि उनके अंदर असीमित स्थान और पुनरावृत्ति है।

अनंत वह है जो असीम, अंतहीन या किसी भी प्राकृतिक संख्या से बड़ा है। इसे प्रायः अनंत प्रतीक $\infty$ द्वारा निरूपित किया जाता है।

प्राचीन यूनानियों के समय से अनंत की दार्शनिक प्रकृति दार्शनिकों के बीच कई चर्चाओं का विषय रही है। 17वीं शताब्दी में, अनंत प्रतीक और अतिसूक्ष्म गणना के प्रारम्भ के साथ, गणितज्ञों ने अनंत श्रृंखला के साथ काम करना प्रारम्भ किया और जिसे कुछ गणितज्ञों (एल'हॉपिटल और बर्नौली सहित) ने असीम रूप से छोटी मात्रा के रूप में माना लेकिन अनंत को अंतहीन प्रक्रियाओं से जोड़ा जाता रहा। जैसा कि गणितज्ञ गणना की नींव के साथ संघर्ष कर रहे थे, यह स्पष्ट नहीं था कि क्या अनंत को एक संख्या या परिमाण के रूप में माना जा सकता है और यदि ऐसा है तो यह कैसे किया जा सकता है। 19वीं शताब्दी के अंत में, जॉर्ज कैंटर ने अनंत समुच्चयों और अनंत संख्याओं का अध्ययन करके अनंत के गणितीय अध्ययन को विस्तृत किया, यह दिखाते हुए कि वे विभिन्न आकारों के हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, यदि किसी रेखा को उसके सभी बिंदुओं के समुच्चय के रूप में देखा जाता है, तो उनकी अनंत संख्या (अर्थात् रेखा की प्रधानता) पूर्णांकों की संख्या से बड़ी होती है। इस प्रयोग में, अनंत एक गणितीय अवधारणा है, और अनंत गणितीय वस्तुओं का अध्ययन किया जा सकता है, हेरफेर किया जा सकता है और किसी अन्य गणितीय वस्तु की तरह ही उपयोग किया जा सकता है।

अनंत की गणितीय अवधारणा पुरानी दार्शनिक अवधारणा को परिशोधित और विस्तारित करती है, विशेष रूप से अनंत समुच्चयों के असीम रूप से कई अलग-अलग आकारों को प्रस्तुत करके। जर्मेलो-फ्रेंकेल समुच्चय सिद्धांत के स्वयंसिद्ध सिद्धांतों में, जिस पर अधिकांश आधुनिक गणित विकसित की जा सकती हैं, अनंत का स्वयंसिद्ध है, जो अनंत समुच्चयों के अस्तित्व का दायित्व देता है। अनंतता की गणितीय अवधारणा और अनंत समुच्चयों के हेरफेर का उपयोग गणित में प्रत्येक स्थान पर किया जाता है, यहां तक कि साहचर्य जैसे क्षेत्रों में भी जिनका उनसे कोई लेना-देना नहीं है। उदाहरण के लिए, फर्मेट के अंतिम प्रमेय का विल्स का प्रमाण प्रारंभिक अंकगणित के संदर्भ में दी गई लंबी समस्या को हल करने के लिए बहुत बड़े अनंत समुच्चयोंं के अस्तित्व पर निर्भर करता है।

भौतिकी और ब्रह्माण्ड विज्ञान में, क्या ब्रह्माण्ड स्थानिक रूप से अनंत है यह एक विवादास्पद प्रश्न है।

इतिहास

Further information: अनंत (दर्शनशास्त्र)

प्राचीन संस्कृतियों में अनंत की प्रकृति के बारे में विभिन्न विचार थे। प्राचीन भारतीयों और यूनानियों ने सटीक औपचारिकता में अनंत को परिभाषित नहीं किया जैसा कि आधुनिक गणित करता है और इसके स्थान पर एक दार्शनिक अवधारणा के रूप में अनंत तक पहुंच गया।

प्रारंभिक यूनानी

ग्रीस में अनंत का सबसे पहला रिकॉर्ड किया गया विचार एक यूनानी वैज्ञानिक (सी.-610 - सी.-546 ईसा पूर्व) का हो सकता है जो एक पूर्व-ईश्वरीय यूनानी दार्शनिक था। उन्होंने अपरिमित शब्द का प्रयोग किया, जिसका अर्थ है "असीमित", "अनिश्चित", और संभवतः इसका अनुवाद "अनंत" के रूप में किया जा सकता है।

अरस्तू (350 ईसा पूर्व) संभावित अनंत को वास्तविक अनंत से अलग करता है, जिसे वह विभिन्न विरोधाभासों के कारण असंभव मानता था जो इसे उत्पन्न करता प्रतीत होता था। यह तर्क दिया गया है कि, इस दृष्टिकोण के अनुरूप, हेलेनिस्टिक यूनानियों में अनंत का आतंक था, जो, उदाहरण के लिए, समझाएगा कि क्यों यूक्लिड (सी. 300 ई.पू.) ने यह नहीं कहा कि अभाज्य संख्याएँ अनंत हैं, बल्कि "अभाज्य संख्याएँ अभाज्य संख्याओं की किसी भी निर्धारित बहुसंख्यक संख्या से अधिक हैं।" यह भी कहा गया है कि अभाज्य संख्याओं की अनंतता को साबित करने में यूक्लिड "अनंत के आतंक पर काबू पाने वाले पहले व्यक्ति थे"। यूक्लिड की समानांतर अभिधारणा से संबंधित एक समान विवाद है, जिसका कभी-कभी अनुवाद किया जाता है-

यदि एक सीधी रेखा दो [अन्य] सीधी रेखाओं के बीच गिरती हुई अपने एक ही ओर आंतरिक कोण बनाती है [जिसका योग] दो समकोणों से कम होता है तो दो [अन्य] सीधी रेखाएँ अनंत तक बढ़ाई जा रही हैं जो [मूल सीधी रेखा के] उस ओर मिलती हैं जिसका [आंतरिक कोणों का योग] दो समकोणों से कम होता है।

हालाँकि, अन्य अनुवादक इस अनुवाद को प्राथमिकता देते हैं कि यदि "दो सीधी रेखाएँ, अनिश्चित काल तक बनाई जाती है...", तो इस निहितार्थ से बचा जा सकता है कि यूक्लिड अनंत की धारणा के साथ सहज था। अंत में, यह बनाए रखा गया है कि अनंत पर एक प्रतिबिंब, "अनंत के आतंक" से दूर, प्रारंभिक ग्रीक दर्शन के सभी आधारों को रेखांकित करता है और यह कि अरस्तू की "संभावित अनंतता" इस अवधि की सामान्य प्रवृत्ति से एक विपथन है।

ज़ेनो- अकिलिस और कछुआ

Main article: ज़ेनो के विरोधाभास § अकिलिस और कछुआ

एलिया के ज़ेनो (सी.-495 - सी.-430 ई.पू.) ने अनंत के विषय में किसी भी दृष्टिकोण को आगे नहीं बढ़ाया। फिर भी, उनके विरोधाभास, विशेष रूप से "अकिलिस और कछुआ", का इसमें महत्वपूर्ण योगदान था जिसमें उन्होंने लोकप्रिय अवधारणाओं की अपर्याप्तता को स्पष्ट किया। विरोधाभासों को बर्ट्रेंड रसेल द्वारा "अथाह सूक्ष्म और गहन" के रूप में वर्णित किया गया था।

अकिलिस कछुआ दौड़ता है जो बाद वाले को एक प्रमुख प्रारम्भ देता है।

• चरण 1- कछुआ के प्रारम्भिक बिंदु पर अकिलिस दौड़ता है जबकि कछुआ आगे बढ़ता है।
• चरण 2- अकिलिस आगे बढ़ता है जहां कछुआ चरण 1 के अंत में था जबकि कछुआ अभी और आगे जाता है।
• चरण 3- अकिलिस आगे बढ़ता है जहां कछुआ चरण 2 के अंत में था जबकि कछुआ अभी और आगे जाता है।
• चरण 4- अकिलिस आगे बढ़ता है जहां कछुआ चरण 3 के अंत में था जबकि कछुआ अभी और आगे जाता है। आदि।

स्पष्ट रूप से, अकिलिस कभी भी कछुए से आगे नहीं निकलता है, क्योंकि वह कितने भी कदम पूरे कर लेता है, कछुआ उसके आगे रहता है।

ज़ेनो अनंत के बारे में बात करने का प्रयास नहीं कर रहा था। एलीटिक्स स्कूल के एक सदस्य के रूप में, जो गति को एक भ्रम मानता था, उसने यह मान लेना गलती के रूप में देखा कि अकिलिस दौड़ सकता है। बाद के विचारकों ने, इस समाधान को अस्वीकार्य पाते हुए, तर्क में अन्य कमजोरियों को खोजने के लिए दो सहस्राब्दी से अधिक समय तक संघर्ष किया।

अंत में, 1821 में, ऑगस्टिन-लुई कॉची ने सीमा की संतोषजनक परिभाषा और प्रमाण दोनों प्रदान किए कि, 0 < x < 1 के लिए,

$$a+ax+ax^{2}+ax^{3}+ax^{4}+ax^{5}+\cdots ={\frac {a}{1-x}}.$$

मान लीजिए कि अकिलिस 10 मीटर प्रति सेकंड की गति से दौड़ रहा है, कछुआ 0.1 मीटर प्रति सेकंड की गति से चल रहा है, और बाद में 100 मीटर की प्रारम्भिक बढ़त है। पीछा करने की अवधि कॉची के पैटर्न में a = 10 सेकंड और x = 0.01 के साथ उपयुक्त बैठती है। अकिलिस कछुआ से आगे निकल जाता है, यह उसे ले जाता है

$$10+0.1+0.001+0.00001+\cdots ={\frac {10}{1-.01}}={\frac {10}{0.99}}=10.10101\ldots {\text{ seconds}}.$$

प्रारंभिक भारतीय

जैन गणितीय ग्रंथ सूर्य प्रज्ञापति (सी. चौथी-तीसरी शताब्दी ईसा पूर्व) सभी संख्याओं को तीन सेटों में वर्गीकृत करता है- गणना योग्य, असंख्य और अनंत। इनमें से प्रत्येक को आगे तीन आदेशों में उपविभाजित किया गया था-

• गणनीय- निम्नतम, मध्यवर्ती और उच्चतम
• असंख्य- लगभग असंख्य, वास्तव में असंख्य, और असंख्य रूप से अनगिनत
• अनंत- लगभग अनंत, वास्तव में अनंत, असीम रूप से अनंत

17वीं शताब्दी

17वीं शताब्दी में, यूरोपीय गणितज्ञों ने अनंत संख्याओं और अनंत व्यंजकों का व्यवस्थित ढंग से प्रयोग करना शुरू किया। 1655 में, जॉन वालिस ने पहली बार अपने डी सेक्शनिबस कॉनिसिस में इस तरह की संख्या के लिए अंकन $\infty$ का उपयोग किया और ${1 \over \infty }$ के क्रम में क्षेत्र को चौड़ाई के अत्यंत सूक्ष्म पट्टियों में विभाजित करके क्षेत्र गणना में इसका उपयोग किया। लेकिन अंकगणितीय इन्फिनिटोरम (1655 में भी) में, वह कुछ शर्तों या कारकों को लिखकर और फिर "&c" जोड़ कर अनंत श्रृंखला, अनंत उत्पादों और अनंत निरंतर अंशों को इंगित करता है। जैसा कि "1, 6, 12, 18, 24, और &c।"

1699 में, आइज़ैक न्यूटन ने अपने कार्य समीकरणों का विश्लेषण अनंत काल तक में अनंत पदों वाले समीकरणों के बारे में लिखा था।

गणित

हरमन वेइल ने 1930 में दिए गए एक गणितीय-दार्शनिक संबोधन का प्रारम्भ किया-

गणित अनंत का विज्ञान है।

प्रतीक

Main article: अनंत प्रतीक

अनंत प्रतीक $\infty$ (जिसे कभी-कभी द्विपाशी कहा जाता है,) एक गणितीय प्रतीक है जो अनंत की अवधारणा का प्रतिनिधित्व करता है। प्रतीक एकल कोड में U+221E $\infty$ अनंत (&अनंत) और लाटेक्स (LaTeX) में\inftyके रूप में एन्कोड किया गया है।

यह जॉन वालिस द्वारा 1655 में पेश किया गया था, और इसके प्रारम्भ के बाद से, आधुनिक रहस्यवाद और साहित्यिक प्रतीकवाद में गणित के बाहर भी इसका उपयोग किया गया है।

गणना

अत्यंत सूक्ष्म गणना के सह-आविष्कारकों में से एक गॉटफ्रीड लीबनिज ने अनंत संख्याओं और गणित में उनके उपयोग के बारे में व्यापक रूप से अनुमान लगाया। लीबनिज के लिए, दोनों अतिसूक्ष्म और अनंत मात्राएं आदर्श संस्थाएं थीं, जो सराहनीय मात्राओं के समान प्रकृति की नहीं थी, लेकिन निरंतरता के नियम के अनुसार समान गुणों का आनंद ले रही थी।

वास्तविक विश्लेषण

वास्तविक विश्लेषण में, प्रतीक $\infty$ जिसे "अनंत" कहा जाता है, का उपयोग असीमित सीमा को दर्शाने के लिए किया जाता है। अंकन $x\rightarrow \infty$ का अर्थ है कि $x$ बिना किसी सीमा के बढ़ता है और $x\to -\infty$ का अर्थ है कि $x$ बिना किसी सीमा के घटता है। उदाहरण के लिए, यदि प्रत्येक $t$ के लिए $f(t)\geq 0$, तो

• $\int _{a}^{b}f(t)\,dt=\infty$ का अर्थ है कि $f(t)$ $a$ से $b$ तक परिमित क्षेत्र को बाध्य नहीं करता है।

• $\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\,dt=\infty$ का अर्थ है कि $f(t)$ के अंतर्गत क्षेत्र अनंत है।
• $\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\,dt=a$ का अर्थ है कि $f(t)$ के अंतर्गत कुल क्षेत्रफल परिमित है, और $a$ के बराबर है।

अनंत का उपयोग अनंत श्रृंखला का वर्णन करने के लिए भी किया जा सकता है, निम्नानुसार-

• $\sum _{i=0}^{\infty }f(i)=a$ का अर्थ है कि अनंत श्रृंखला का योग किसी वास्तविक मान $a$ में परिवर्तित हो जाता है।
• $\sum _{i=0}^{\infty }f(i)=\infty$ का अर्थ है कि अनंत श्रृंखला का योग उचित रूप से अनंत में बदल जाता है, इस अर्थ में कि आंशिक योग बिना किसी सीमा के बढ़ता है।

सीमा को परिभाषित करने के अलावा, विस्तारित वास्तविक संख्या प्रणाली में अनंत का उपयोग मान के रूप में भी किया जा सकता है। $+\infty$ और $-\infty$ लेबल किए गए बिंदुओं को वास्तविक संख्याओं के सांस्थितिक स्थान में जोड़ा जा सकता है, जिससे वास्तविक संख्याओं का दो-बिंदु संघनन उत्पन्न होता है। इसमें बीजगणितीय गुणों को जोड़ने से हमें विस्तृत वास्तविक संख्याएँ प्राप्त होती हैं। हम $+\infty$ और $-\infty$ को भी समान मान सकते हैं, जिससे वास्तविक संख्याओं का एक-बिंदु संघनन हो जाता है, जो कि वास्तविक प्रक्षेपण रेखा है। प्रक्षेपी ज्यामिति समतल ज्यामिति में अनंत पर रेखा, त्रि-आयामी स्थान में अनंत पर समतल, और सामान्य आयामों के लिए अनंत पर अधिसमतल को भी संदर्भित करता है, प्रत्येक में अनंत पर बिंदु होते हैं।

सम्मिश्र विश्लेषण

त्रिविम प्रक्षेपण द्वारा, जटिल विमान को एक गोले पर लपेटा जा सकता है, जिसमें अनंत के अनुरूप गोले का शीर्ष बिंदु होता है। इसे रीमैन क्षेत्र कहा जाता है।

सम्मिश्र विश्लेषण में प्रतीक $\infty$, जिसे "अनंत" कहा जाता है, एक अहस्ताक्षरित अनंत सीमा को दर्शाता है। $x\rightarrow \infty$ का अर्थ है कि $|x|$ का परिमाण $x$ किसी भी निर्दिष्ट मान से अधिक हो जाता है। $\infty$ लेबल वाले एक बिंदु को सम्मिश्र में एक स्थलीय स्थान के रूप में जोड़ा जा सकता है, जिससे सम्मिश्र स्थान का एक-बिंदु संघनन होता है। जब यह किया जाता है, तो परिणामी स्थान एक आयामी सम्मिश्र कई गुना या रीमैन सतह होता है, जिसे विस्तारित सम्मिश्र स्थान या रीमैन क्षेत्र कहा जाता है। विस्तारित वास्तविक संख्याओं के लिए ऊपर दिए गए समान अंकगणितीय संक्रियाओं को भी परिभाषित किया जा सकता है, हालांकि संकेतों में कोई अंतर नहीं है (जो एक अपवाद की ओर जाता है कि अनंत को स्वयं में नहीं जोड़ा जा सकता है)। दूसरी ओर, इस तरह का अनंत शून्य से विभाजन को सक्षम करता है, अर्थात किसी भी गैर-शून्य सम्मिश्र संख्या $z$ के लिए $z/0=\infty$। इस संदर्भ में, ध्रुवों पर $\infty$ का मान लेते हुए रीमैन क्षेत्र में नक्शो के रूप में मेरोमोर्फिक फलनों पर विचार करना प्रायः उपयोगी होता है। अनंत पर बिंदु को सम्मिलित करने के लिए सम्मिश्र-मूल्यवान फलन का क्षेत्र बढ़ाया जा सकता है। ऐसे फलनों का महत्वपूर्ण उदाहरण मोबीस रूपांतरणों का समूह है (मोबीस रूपांतरण § अवलोकन देखें)।

गैर-मानक विश्लेषण

अतिवास्तविक संख्या रेखा (1/ε = ω/1) पर अनंतिम (ε) और अनंत (ω)

आइजैक न्यूटन और गॉटफ्रीड लीबनिज द्वारा अतिसूक्ष्म गणना के मूल सूत्रीकरण में अतिसूक्ष्म मात्राओं का उपयोग किया गया था। 20वीं शताब्दी के उत्तरार्ध में, यह दिखाया गया था कि इस उपचार को विभिन्न तार्किक प्रणालियों के माध्यम से एक कठोर स्तर पर रखा जा सकता है, जिसमें सहज अति सूक्ष्म विश्लेषण और गैर-मानक विश्लेषण सम्मिलित हैं। उत्तरार्द्ध में, अतिसूक्ष्म व्युत्क्रमणीय होते हैं, और उनके व्युत्क्रम अनंत संख्याएँ होती हैं। इस अर्थ में अनंत एक अति वास्तविक क्षेत्र का हिस्सा है उनके बीच कैंटोरियन परिमितातीतों के साथ कोई समानता नहीं है। उदाहरण के लिए, यदि H इस अर्थ में एक अनंत संख्या है, तो H + H = 2H और H + 1 विशिष्ट अनंत संख्याएँ हैं। गैर-मानक गणना के लिए यह दृष्टिकोण केसलर (1986) में पूरी तरह से विकसित था।

समुच्चय सिद्धान्त

Main articles: Cardinality and Ordinal number

अनंत सेट और उसके उचित उपसमुच्चय के बीच एक-से-एक पत्राचार

"अनंत" का एक अलग रूप समुच्चय सिद्धान्त की क्रमवाचक और कार्डिनल इन्फिनिटी हैं, जो पहले जॉर्ज कैंटर द्वारा विकसित की गई ट्रांसफ़िनिट संख्याओं की एक प्रणाली है। इस प्रणाली में, पहला परिमितातीत गणनसंख्या एलेफ़-नल (ℵ₀) है, जो प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय का गणनांक है। मात्रात्मक अनंत की यह आधुनिक गणितीय अवधारणा 19वीं शताब्दी के अंत में कैंटर, गोटलॉब फ्रेग, रिचर्ड डेडेकिंड और अन्य लोगों द्वारा संग्रह या सेट के विचार का उपयोग करके विकसित हुई थी।

डेडेकिंड का दृष्टिकोण अनिवार्य रूप से सेट के आकार की तुलना करने के लिए एक-से-एक पत्राचार के विचार को एक मानक के रूप में अपनाने और गैलीलियो (यूक्लिड से प्राप्त) के विचार को अस्वीकार करने के लिए था कि पूरे भाग के समान आकार नहीं हो सकते। (हालांकि, गैलीलियो के विरोधाभास को देखें जहां गैलीलियो ने निष्कर्ष निकाला है कि सकारात्मक पूर्णांकों की तुलना सकारात्मक वर्ग पूर्णांकों के उपसमुच्चय से नहीं की जा सकती है क्योंकि दोनों अनंत सेट हैं।) एक अनंत समुच्चय को केवल उसी आकार के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जिसका आकार कम से कम उसके उचित भागों में से एक के समान है, अनंत की इस धारणा को डेडेकिंड अनंत कहा जाता है। दाईं ओर आरेख एक उदाहरण देता है- बिंदुओं के अनंत सेट के रूप में देखने वाली रेखाएं, निचली नीली रेखा के बाएं आधे हिस्से को उच्च नीली रेखा के लिए और पूरी निचली नीली रेखा (लाल पत्राचार) के बदले में प्रत्येक के लिए अलग अलग तरीके (हरे पत्राचार) में मैप किया जा सकता है, इसलिए पूरी निचली नीली रेखा और उसके बाएं आधे हिस्से में एक ही गणनांक है, अर्थात "आकार"।

कैंटर ने दो प्रकार की अनंत संख्याओं को परिभाषित किया: क्रमसूचक संख्याएँ और कार्डिनल संख्याएँ। क्रमिक संख्याएँ सुव्यवस्थित सेटों की विशेषता बताती हैं, या किसी भी रोक बिंदु पर की गई गिनती, जिसमें एक अनंत संख्या के बाद के अंक पहले ही गिने जा चुके हैं। परिमित और (साधारण) अनंत अनुक्रमों का सामान्यीकरण, जो धनात्मक पूर्णांकों से मानचित्र हैं, क्रमसूचक संख्याओं से ट्रांसफिनिट अनुक्रमों तक मानचित्रण की ओर ले जाते हैं। कार्डिनल नंबर सेट के आकार को परिभाषित करते हैं, जिसका अर्थ है कि उनमें कितने सदस्य हैं, और उस आकार के कार्डिनल नंबर का प्रतिनिधित्व करने के लिए एक निश्चित आकार की पहली क्रमिक संख्या चुनकर मानकीकृत किया जा सकता है। सबसे छोटी क्रमसूचक अनन्तता धनात्मक पूर्णांकों की होती है, और कोई भी सेट जिसमें पूर्णांकों की प्रधानता होती है, वह गणनीय रूप से अनंत होता है। यदि एक सेट सकारात्मक पूर्णांकों के साथ एक-से-एक पत्राचार में रखने के लिए बहुत बड़ा है, तो इसे अगणनीय कहा जाता है। कैंटर के विचार प्रचलित थे और आधुनिक गणित एक सुसंगत और सुसंगत सिद्धांत के भाग के रूप में वास्तविक अनंतता को स्वीकार करता है। कुछ विस्तारित संख्या प्रणालियाँ, जैसे कि अतिवास्तविक संख्याएँ, साधारण (परिमित) संख्याएँ और विभिन्न आकारों की अनंत संख्याएँ शामिल करती हैं।

और बुनियादी संख्या इन्फिनिटी हैं- सबसे पहले जॉर्ज कैंटर द्वारा विकसित ट्रांसफिनिट नंबर की एक प्रणाली। इस प्रणाली में, पहला ट्रांसफिनिट कार्डिनल एलीफ-नल है (ℵ₀), प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय की प्रमुखता। मात्रात्मक अनंत की यह आधुनिक गणितीय अवधारणा 19वीं शताब्दी के अंत में कैंटर, भगवान फ्रीज का शुक्र है, रिचर्ड डेडेकिंड और अन्य के कार्यों से विकसित हुई- संग्रह या सेट के विचार का उपयोग करते हुए।

डेडेकिंड का दृष्टिकोण अनिवार्य रूप से सेट के आकार की तुलना करने के लिए एक-से-एक पत्राचार के विचार को एक मानक के रूप में अपनाने और गैलीलियो (यूक्लिड से प्राप्त) के विचार को अस्वीकार करने के लिए था कि पूरे भाग के समान आकार नहीं हो सकते। (हालांकि, गैलीलियो के विरोधाभास को देखें जहां गैलीलियो ने निष्कर्ष निकाला है कि सकारात्मक पूर्णांक की तुलना सकारात्मक वर्ग संख्या के उपसमुच्चय से नहीं की जा सकती है क्योंकि दोनों अनंत सेट हैं।) भागों; अनंत की इस धारणा को डेडेकिंड अनंत कहा जाता है। दाईं ओर आरेख एक उदाहरण देता है: बिंदुओं के अनंत सेट के रूप में देखने वाली रेखाएं, निचली नीली रेखा के बाएं आधे हिस्से को उच्च नीली रेखा के लिए एक-से-एक तरीके से (हरे पत्राचार) में मैप किया जा सकता है, और बदले में , पूरी निचली नीली रेखा (लाल पत्राचार); इसलिए पूरी निचली नीली रेखा और उसके बाएँ आधे हिस्से में एक ही कार्डिनैलिटी, यानी आकार है। कैंटर ने दो प्रकार की अनंत संख्याओं को परिभाषित किया: क्रमसूचक संख्याएँ और कार्डिनल संख्याएँ। क्रमिक संख्याएँ सुव्यवस्थित सेटों की विशेषता बताती हैं, या किसी भी रोक बिंदु पर की गई गिनती, जिसमें एक अनंत संख्या के बाद के अंक पहले ही गिने जा चुके हैं। परिमित और (साधारण) अनंत अनुक्रमों का सामान्यीकरण, जो धनात्मक पूर्णांकों से मानचित्र हैं, क्रमसूचक संख्याओं से ट्रांसफिनिट अनुक्रमों तक कार्य (गणित) की ओर ले जाते हैं। कार्डिनल नंबर सेट के आकार को परिभाषित करते हैं, जिसका अर्थ है कि उनमें कितने सदस्य हैं, और उस आकार के कार्डिनल नंबर का प्रतिनिधित्व करने के लिए एक निश्चित आकार की पहली क्रमिक संख्या चुनकर मानकीकृत किया जा सकता है। सबसे छोटी क्रमसूचक अनन्तता धनात्मक पूर्णांकों की होती है, और कोई भी समुच्चय जिसमें पूर्णांकों की प्रधानता होती है, गणनीय समुच्चय होता है। यदि एक सेट सकारात्मक पूर्णांकों के साथ एक-से-एक पत्राचार में रखने के लिए बहुत बड़ा है, तो इसे बेशुमार सेट कहा जाता है। कैंटर के विचार प्रचलित थे और आधुनिक गणित एक सुसंगत और सुसंगत सिद्धांत के हिस्से के रूप में वास्तविक अनंतता को स्वीकार करता है। कुछ विस्तारित संख्या प्रणालियाँ, जैसे कि अतिवास्तविक संख्याएँ, साधारण (परिमित) संख्याएँ और विभिन्न आकारों की अनंत संख्याएँ शामिल करती हैं।

सातत्य की प्रमुखता

Main article: Cardinality of the continuum

कैंटर के सबसे महत्वपूर्ण परिणामों में से एक यह था कि सातत्य की प्रमुखता $\mathbf {c}$ प्राकृतिक संख्या से अधिक है ${\aleph _{0}}$; अर्थात्, अधिक वास्तविक संख्याएँ हैं R प्राकृतिक संख्या की तुलना में N. अर्थात्, कैंटर ने दिखाया $\mathbf {c} =2^{\aleph _{0}}>{\aleph _{0}}$.

Further information: Cantor's diagonal argument and Cantor's first uncountability proof

सातत्य परिकल्पना बताती है कि वास्तविक संख्या और प्राकृतिक संख्या की प्रमुखता के बीच कोई मुख्य संख्या नहीं है, अर्थात, $\mathbf {c} =\aleph _{1}=\beth _{1}$.

Further information: Beth number § Beth one

इस परिकल्पना को व्यापक रूप से स्वीकृत ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत के भीतर सिद्ध या अस्वीकृत नहीं किया जा सकता है, यहाँ तक कि च्वाइस के स्वयंसिद्ध को भी मानते हुए।

कार्डिनल अंकगणित का उपयोग न केवल यह दिखाने के लिए किया जा सकता है कि वास्तविक संख्या रेखा में बिंदुओं की संख्या किसी भी रेखा खंड में बिंदुओं की संख्या के बराबर है, बल्कि यह भी कि यह विमान पर बिंदुओं की संख्या के बराबर है और वास्तव में, कोई परिमित-आयामी स्थान।

एक फ्रैक्टल निर्माण के पहले तीन चरण, जिसकी सीमा जगह भरने वाला कर्व है, यह दर्शाता है कि एक-आयामी रेखा में उतने ही बिंदु हैं जितने कि दो-आयामी वर्ग में।

इनमें से पहला परिणाम, उदाहरण के लिए, स्पर्शरेखा (त्रिकोणमितीय फलन) फलन पर विचार करने से स्पष्ट होता है, जो अंतराल (गणित) के बीच एक-से-एक पत्राचार प्रदान करता है (−π/2, π/2) और R.

See also: Hilbert's paradox of the Grand Hotel

दूसरा परिणाम 1878 में कैंटर द्वारा सिद्ध किया गया था, लेकिन केवल 1890 में सहज रूप से स्पष्ट हो गया, जब जोसेफ पीनो ने स्पेस-फिलिंग कर्व्स, घुमावदार रेखाएं पेश कीं जो किसी भी वर्ग, या घन, या हाइपरघनक्षेत्र, या पूरे को भरने के लिए पर्याप्त मुड़ती और मुड़ती हैं। परिमित-आयामी स्थान। इन वक्रों का उपयोग वर्ग के एक तरफ के बिंदुओं और वर्ग के बिंदुओं के बीच एक-से-एक पत्राचार को परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है।

ज्यामिति

19वीं सदी के अंत तक, ज्यामिति में अनन्तता की शायद ही कभी चर्चा की गई थी, सिवाय उन प्रक्रियाओं के संदर्भ में जिन्हें बिना किसी सीमा के जारी रखा जा सकता था। उदाहरण के लिए, एक रेखा (ज्यामिति) वह थी जिसे अब एक रेखा खंड कहा जाता है, इस प्रावधान के साथ कि कोई इसे जहाँ तक चाहे बढ़ा सकता है; लेकिन इसे असीम रूप से विस्तारित करना प्रश्न से बाहर था। इसी तरह, एक रेखा को आमतौर पर असीमित रूप से कई बिंदुओं से बना नहीं माना जाता था, लेकिन वह एक ऐसा स्थान था जहां एक बिंदु रखा जा सकता था। यहां तक ​​​​कि अगर असीम रूप से कई संभावित स्थान हैं, तो एक रेखा पर केवल सीमित अंक ही रखे जा सकते हैं। इसका एक गवाह एक बिंदु का लोकस (गणित) है जो कुछ संपत्ति (एकवचन) को संतुष्ट करता है, जहां आधुनिक गणितज्ञ आम तौर पर उन बिंदुओं के सेट को कहेंगे जिनके पास संपत्ति (बहुवचन) है।

वास्तविक अनंत को शामिल करने वाली गणितीय अवधारणा के दुर्लभ अपवादों में से एक प्रक्षेपी ज्यामिति थी, जहां अनंत पर बिंदुओं को परिप्रेक्ष्य (ग्राफिकल) प्रभाव के मॉडलिंग के लिए यूक्लिडियन अंतरिक्ष में जोड़ा जाता है जो अनंत पर प्रतिच्छेद करने वाली समानांतर रेखाओं को दिखाता है। गणितीय रूप से, अनंत पर बिंदुओं को कुछ विशेष मामलों पर विचार न करने की अनुमति देने का लाभ होता है। उदाहरण के लिए, एक प्रक्षेपी तल में, दो अलग-अलग रेखाएँ (ज्यामिति) ठीक एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं, जबकि अनंत पर बिंदुओं के बिना, समानांतर रेखाओं के लिए कोई प्रतिच्छेदन बिंदु नहीं होते हैं। इसलिए, शास्त्रीय ज्यामिति में समानांतर और गैर-समानांतर रेखाओं का अलग-अलग अध्ययन किया जाना चाहिए, जबकि प्रक्षेपी ज्यामिति में उन्हें अलग करने की आवश्यकता नहीं है।

गणित की नींव के लिए समुच्चय सिद्धान्त के उपयोग से पहले, बिंदुओं और रेखाओं को अलग-अलग संस्थाओं के रूप में देखा जाता था, और एक बिंदु को एक रेखा पर स्थित किया जा सकता था। गणित में सेट सिद्धांत के सार्वभौमिक उपयोग के साथ, दृष्टिकोण नाटकीय रूप से बदल गया है: एक रेखा को अब इसके बिंदुओं के समुच्चय के रूप में माना जाता है, और एक कहता है कि एक बिंदु एक रेखा पर स्थित होने के बजाय एक रेखा से संबंधित है (हालांकि, बाद वाला वाक्यांश अभी भी प्रयोग किया जाता है)।

विशेष रूप से, आधुनिक गणित में, रेखाएँ अनंत समुच्चय होती हैं।

अनंत आयाम

शास्त्रीय ज्यामिति में होने वाले वेक्टर रिक्त स्थान में हमेशा एक परिमित आयाम (सदिश स्थल) होता है, आम तौर पर दो या तीन। हालांकि, यह सदिश स्थान की अमूर्त परिभाषा से निहित नहीं है, और अनंत आयाम के सदिश स्थानों पर विचार किया जा सकता है। यह आमतौर पर कार्यात्मक विश्लेषण में होता है जहां फ़ंक्शन रिक्त स्थान आमतौर पर अनंत आयाम के वेक्टर स्थान होते हैं।

टोपोलॉजी में, कुछ निर्माण अनंत आयाम के सामयिक स्थान उत्पन्न कर सकते हैं। विशेष रूप से, यह पुनरावृत्त लूप रिक्त स्थान का मामला है।

भग्न

एक भग्न वस्तु की संरचना इसके आवर्धन में दोहराई जाती है। फ्रैक्टल्स को अपनी संरचना खोए बिना और चिकना बनाए बिना अनिश्चित काल के लिए बड़ा किया जा सकता है; उनके पास अनंत परिमाप हैं, और अनंत या परिमित क्षेत्र हो सकते हैं। एक अनंत परिधि और परिमित क्षेत्र के साथ ऐसा ही एक भग्न वक्र कोच हिमपात है।

अनंत के बिना गणित

लियोपोल्ड क्रोनकर अनंत की धारणा और 1870 और 1880 के दशक में उनके साथी गणितज्ञ इसका उपयोग कैसे कर रहे थे, इस पर संदेह था। इस संशयवाद को गणित के दर्शन में विकसित किया गया था जिसे finitism कहा जाता है, जो गणितीय रचनावाद और अंतर्ज्ञानवाद के सामान्य दार्शनिक और गणितीय विद्यालयों में गणितीय दर्शन का एक चरम रूप है।

भौतिकी

भौतिक विज्ञान में, वास्तविक संख्याओं के सन्निकटन का उपयोग सातत्य (सिद्धांत) मापन के लिए किया जाता है और प्राकृतिक संख्याओं का उपयोग गणनीय मापन (अर्थात, गिनती) के लिए किया जाता है। अनंत वस्तुओं की अवधारणाएं जैसे अनंत समतल तरंगें मौजूद हैं, लेकिन उन्हें उत्पन्न करने के लिए कोई प्रायोगिक साधन नहीं हैं।

ब्रह्माण्ड विज्ञान

पहला प्रकाशित प्रस्ताव कि ब्रह्मांड अनंत है, 1576 में थॉमस डिग्ज से आया था। आठ साल बाद, 1584 में, इतालवी दार्शनिक और खगोलशास्त्री जियोर्डानो ब्रूनो ने ऑन द इनफिनिट यूनिवर्स एंड वर्ल्ड्स में एक असीमित ब्रह्मांड का प्रस्ताव रखा: असंख्य सूर्य मौजूद हैं; असंख्य पृथ्वियां इन सूर्य के चारों ओर उसी तरह घूमती हैं जैसे सात ग्रह हमारे सूर्य के चारों ओर घूमते हैं। जीवित प्राणी इन संसारों में निवास करते हैं। ब्रह्मांड विज्ञान ने लंबे समय से यह पता लगाने की कोशिश की है कि क्या हमारे भौतिक ब्रह्मांड में अनंतता मौजूद है: क्या अनंत संख्या में तारे हैं? क्या ब्रह्मांड में अनंत मात्रा है? क्या अंतरिक्ष ब्रह्मांड का आकार है? यह अभी भी भौतिक ब्रह्माण्ड विज्ञान का एक खुला प्रश्न है। अनंत होने का प्रश्न तार्किक रूप से सीमाओं के होने के प्रश्न से अलग है। उदाहरण के लिए, पृथ्वी की द्वि-आयामी सतह परिमित है, फिर भी इसका कोई किनारा नहीं है। पृथ्वी की वक्रता के संबंध में एक सीधी रेखा में यात्रा करके, व्यक्ति अंततः उसी स्थान पर वापस आ जाएगा जहां से शुरू किया था। ब्रह्मांड, कम से कम सिद्धांत रूप में, एक समान टोपोलॉजी हो सकती है। यदि ऐसा है, तो ब्रह्मांड के माध्यम से एक सीधी रेखा में काफी लंबे समय तक यात्रा करने के बाद अंततः व्यक्ति अपने शुरुआती बिंदु पर वापस आ सकता है। कॉस्मिक माइक्रोवेव पृष्ठभूमि विकिरण के स्पेक्ट्रम में ब्रह्मांड की वक्रता को बहुध्रुव क्षणों के माध्यम से मापा जा सकता है। तिथि करने के लिए, WMAP अंतरिक्ष यान द्वारा दर्ज किए गए विकिरण पैटर्न का विश्लेषण संकेत देता है कि ब्रह्मांड में एक सपाट टोपोलॉजी है। यह एक अनंत भौतिक ब्रह्मांड के अनुरूप होगा। हालाँकि, ब्रह्मांड परिमित हो सकता है, भले ही इसकी वक्रता समतल हो। इसे समझने का एक आसान तरीका द्वि-आयामी उदाहरणों पर विचार करना है, जैसे वीडियो गेम जहां स्क्रीन के एक किनारे को छोड़ने वाले आइटम दूसरे पर फिर से दिखाई देते हैं। ऐसे खेलों की टोपोलॉजी टोरस्र्स है और ज्यामिति समतल है। त्रि-आयामी अंतरिक्ष के लिए कई संभावित बाध्य, सपाट संभावनाएं भी मौजूद हैं। अनंत की अवधारणा भी बहुविविध परिकल्पना तक फैली हुई है, जो रास्ता लिखो जैसे खगोल भौतिकीविदों द्वारा समझाए जाने पर यह मानती है कि ब्रह्मांडों की अनंत संख्या और विविधताएं हैं। इसके अलावा, चक्रीय मॉडल महा विस्फोट्स की एक अनंत मात्रा को प्रस्तुत करते हैं, जिसके परिणामस्वरूप एक अनंत चक्र में प्रत्येक बिग बैंग घटना के बाद ब्रह्मांडों की एक अनंत विविधता होती है।

तर्क

तर्क में, एक अनंत प्रतिगमन तर्क एक विशिष्ट दार्शनिक प्रकार का तर्क है जो यह दर्शाता है कि एक थीसिस दोषपूर्ण है क्योंकि यह एक अनंत श्रृंखला उत्पन्न करता है जब या तो (फॉर्म ए) ऐसी कोई श्रृंखला मौजूद नहीं होती है या (फॉर्म बी) मौजूद होती है, थीसिस भूमिका की कमी होगी (उदाहरण के लिए, औचित्य की) जिसे इसे निभाना चाहिए।

कंप्यूटिंग

IEEE फ़्लोटिंग-पॉइंट मानक (IEEE 754) एक धनात्मक और एक ऋणात्मक अनंत मान (और NaN मान भी) निर्दिष्ट करता है। इन्हें अंकगणितीय अतिप्रवाह, शून्य से विभाजन, और अन्य असाधारण संचालन के परिणाम के रूप में परिभाषित किया गया है। कुछ प्रोग्रामिंग लैंग्वेज, जैसे [[जावा (प्रोग्रामिंग भाषा)]] और जे (प्रोग्रामिंग भाषा), भाषा स्थिरांक के रूप में प्रोग्रामर को धनात्मक और ऋणात्मक अनंत मानों तक स्पष्ट पहुंच की अनुमति देता है। इन्हें महानतम तत्व के रूप में इस्तेमाल किया जा सकता है, क्योंकि वे तुलना (क्रमशः) अन्य सभी मूल्यों से अधिक या कम करते हैं। छँटाई, खोज कलन विधि, या खिड़की समारोह से जुड़े एल्गोरिदम में प्रहरी मूल्यों के रूप में उनका उपयोग होता है। उन भाषाओं में जिनमें सबसे बड़े और सबसे कम तत्व नहीं हैं, लेकिन ऑपरेटर को रिलेशनल ऑपरेटरों ऑपरेटर ओवरलोडिंग की अनुमति देते हैं, एक प्रोग्रामर के लिए सबसे बड़ा और सबसे कम तत्व बनाना संभव है। उन भाषाओं में जो कार्यक्रम की प्रारंभिक स्थिति से ऐसे मूल्यों तक स्पष्ट पहुंच प्रदान नहीं करते हैं, लेकिन फ़्लोटिंग-पॉइंट डेटा प्रकार को लागू करते हैं, कुछ कार्यों के परिणाम के रूप में अनंत मान अभी भी सुलभ और उपयोग योग्य हो सकते हैं। प्रोग्रामिंग में, एक अनंत लूप एक पाश (कंप्यूटिंग) होता है, जिसकी निकास स्थिति कभी भी संतुष्ट नहीं होती है, इस प्रकार अनिश्चित काल तक क्रियान्वित होती है।

कला, खेल और संज्ञानात्मक विज्ञान

परिप्रेक्ष्य (ग्राफ़िकल) आर्टवर्क गायब होने वाले बिंदुओं की अवधारणा का उपयोग करता है, जो लगभग अनंत पर गणितीय बिंदु के अनुरूप होता है, जो पर्यवेक्षक से अनंत दूरी पर स्थित होता है। यह कलाकारों को ऐसे चित्र बनाने की अनुमति देता है जो वास्तविक रूप से स्थान, दूरी और रूपों को प्रस्तुत करते हैं। कलाकार एम.सी. एस्चर विशेष रूप से इस और अन्य तरीकों से अपने काम में अनंतता की अवधारणा को नियोजित करने के लिए जाना जाता है। एक असीमित बोर्ड पर खेले जाने वाले शतरंज के रूपों को अनंत शतरंज कहा जाता है। संज्ञानात्मक विज्ञान जॉर्ज लैकॉफ गणित और विज्ञान में अनंतता की अवधारणा को एक रूपक के रूप में मानते हैं। यह परिप्रेक्ष्य अनंत के मूल रूपक (बीएमआई) पर आधारित है, जिसे हमेशा बढ़ते क्रम <1,2,3,...> के रूप में परिभाषित किया गया है।

यह भी देखें

• 0.999...
• अलेफ संख्या
• अनंत (अनंत)
• घातांक
• अनिश्चित रूप
• अनंत बंदर प्रमेय
• अनंत सेट
• अनंत
• अनंत का विरोधाभास
• सुपरटास्क
• असली संख्या

संदर्भ

ग्रन्थसूची

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स्रोत

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बाहरी संबंध

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• The Mystery Of The Aleph: Mathematics, the Kabbalah, and the Search for Infinity
• Dictionary of the Infinite (compilation of articles about infinity in physics, mathematics, and philosophy)