हाइपरइंटीजर

गैर-मानक विश्लेषण में, एक हाइपरइंटीजर एन एक अतिवास्तविक संख्या है जो अपने स्वयं के पूर्णांक भाग के बराबर है। एक हाइपरइंटीजर या तो परिमित या अनंत हो सकता है। एक परिमित हाइपरइंटीजर एक साधारण पूर्णांक है। अनंत हाइपरिनटेगर का एक उदाहरण अनंत अनुक्रम के वर्ग द्वारा दिया गया है (1, 2, 3, ...) हाइपररियल्स के अतिशक्ति निर्माण में।

चर्चा

मानक पूर्णांक भाग फ़ंक्शन (गणित):

$\lfloor x\rfloor$

सभी वास्तविक संख्या x के लिए परिभाषित किया गया है और x से अधिक नहीं होने वाले सबसे बड़े पूर्णांक के बराबर है। गैर-मानक विश्लेषण के हस्तांतरण सिद्धांत द्वारा, एक प्राकृतिक विस्तार मौजूद है:

${}^{*}\!\lfloor \,\cdot \,\rfloor$

सभी हाइपररियल एक्स के लिए परिभाषित किया गया है, और हम कहते हैं कि एक्स एक हाइपरइंटीजर है यदि $x={}^{*}\!\lfloor x\rfloor .$ इस प्रकार hyperintegers hyperreals पर पूर्णांक भाग फ़ंक्शन की छवि (गणित) हैं।

आंतरिक सेट

सेट $^{*}\mathbb {Z}$ सभी हाइपरिन्टेगर्स का हाइपररियल लाइन का एक आंतरिक सेट है $^{*}\mathbb {R}$. सभी परिमित हाइपरिन्टेगर का सेट (यानी। $\mathbb {Z}$ स्वयं) एक आंतरिक उपसमुच्चय नहीं है। पूरक के तत्व $^{*}\mathbb {Z} \setminus \mathbb {Z}$ लेखक के आधार पर, अमानक, असीमित, या अनंत हाइपरिनटेगर कहलाते हैं। एक अनंत हाइपरइंटीजर का व्युत्क्रम हमेशा एक अतिसूक्ष्म होता है।

गैर-नकारात्मक हाइपरिन्टेगर को कभी-कभी अतिप्राकृतिक संख्या कहा जाता है। इसी तरह की टिप्पणी सेट पर लागू होती है $\mathbb {N}$ और $^{*}\mathbb {N}$. ध्यान दें कि उत्तरार्द्ध विद्यालय के अर्थ में अंकगणित का एक गैर-मानक मॉडल देता है।

संदर्भ

• Howard Jerome Keisler: Elementary Calculus: An Infinitesimal Approach. First edition 1976; 2nd edition 1986. This book is now out of print. The publisher has reverted the copyright to the author, who has made available the 2nd edition in .pdf format available for downloading at http://www.math.wisc.edu/~keisler/calc.html