अनिर्धार्य रूप

कैलकुलस तथा गणितीय विश्लेषण की अन्य शाखाओं में स्वतंत्र चर में फलन के बीजीय संयोजन से संबद्ध सीमाओं का मूल्यांकन बहुधा इन फलन को उनकी सीमाओं में बदल कर किया जाता है। यदि इस प्रतिस्थापन के बाद प्राप्त अभिव्यक्ति मूल सीमा निर्धारित करने के लिए पर्याप्त जानकारी प्रदान नहीं करता है, तो अभिव्यक्ति को अनिश्चित रूप कहा जाता है। अधिक विशेष रूप से, एक अनिश्चित रूप एक गणितीय अभिव्यक्ति है जिसमें अधिकतम दो सम्मिलित हैं $0~$, $1$ या $\infty$, एक सीमा निर्धारित करने के प्रयास की प्रक्रिया में बीजगणितीय सीमा प्रमेय को लागू करके प्राप्त किया जाता है, जो उस सीमा को एक विशिष्ट मूल्य या अनंत तक सीमित करने में विफल रहता है, और इस प्रकार मांगी जाने वाली सीमा निर्धारित नहीं करता है। अनंत होने की पुष्टि की गई सीमा अनिश्चित नहीं है क्योंकि इसे एक विशिष्ट मान(अनंत) के लिए निर्धारित किया गया है। यह शब्द मूल रूप से कॉची के छात्र मोइग्नो द्वारा 19वीं शताब्दी के मध्य में पेश किया गया था।

सात अनिश्चित रूप हैं जिन्हें सामान्यता साहित्य के रूप में जाना जाता है

${\frac {0}{0}},~{\frac {\infty }{\infty }},~0\times \infty ,~\infty -\infty ,~0^{0},~1^{\infty },{\text{ and }}\infty ^{0}.$

एक अनिश्चित रूप का सबसे आम उदाहरण दो फलन के अनुपात की सीमा का निर्धारण करते समय होता है, जिसमें ये दोनों फलन सीमा में शून्य हो जाते हैं, और इसे अनिश्चित रूप कहा जाता है $0/0$. उदाहरण के लिए, जैसा $x$ दृष्टिकोण $0~$, अनुपात $x/x^{3}$, $x/x$, तथा $x^{2}/x$ के लिए $\infty$, $1$, तथा $0~$ क्रमश। प्रत्येक स्थिति में, यदि अंश और हर की सीमाएँ प्रतिस्थापित कर दी जाएँ, तो परिणामी व्यंजक है $0/0$, जो अपरिभाषित है। कहने के ढीले तरीके में, $0/0$ मान ग्रहण कर सकते हैं $0~$, $1$, या $\infty$, और समान उदाहरणों का निर्माण करना आसान है जिसके लिए सीमा कोई विशेष मान है।

इसलिए, यह देखते हुए कि दो फलन(गणित) $f(x)$ तथा $g(x)$ दोनों $0~$की ओर बढ़ रहे हैं, जैसा $x$ किसी सीमा बिंदु $c$ तक पहुँचता है, यह तथ्य अकेले किसी फलन की सीमा का मूल्यांकन करने के लिए पर्याप्त जानकारी नहीं देता है

$\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}.$

प्रत्येक अपरिभाषित बीजगणितीय अभिव्यक्ति एक अनिश्चित रूप से मेल नहीं खाती है। उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति $1/0$ वास्तविक संख्या के रूप में अपरिभाषित है लेकिन अनिश्चित रूप से संगत नहीं है; इस रूप को उत्पन्न करने वाली कोई भी परिभाषित सीमा अनंत तक अलग हो जाएगी।

बीजगणितीय सीमा प्रमेय को लागू करने के अलावा अन्य तरीकों से उत्पन्न होने वाली अभिव्यक्ति में अनिश्चित रूप का एक ही रूप हो सकता है। हालाँकि, किसी अभिव्यक्ति को अनिश्चित रूप कहना उचित नहीं है यदि अभिव्यक्ति सीमा निर्धारण के संदर्भ से बाहर की जाती है। उदाहरण के लिए, $0/0$ के प्रतिस्थापन करने से उत्पन्न होता है $0~$ के लिये $x$ समीकरण में $f(x)=|x|/(|x-1|-1)$ कोई अनिश्चित रूप नहीं है क्योंकि यह अभिव्यक्ति एक सीमा के निर्धारण में में नियत नहीं है, यह वास्तव में शून्य से विभाजन के रूप में अपरिभाषित है।दूसरा उदाहरण अभिव्यक्ति है $0^{0}$. क्या इस व्यंजक को अपरिभाषित छोड़ दिया गया है, या इसे बराबर के रूप में परिभाषित किया गया है $1$, यह अनुप्रयोग के क्षेत्र पर निर्भर करता है और लेखकों के बीच भिन्न हो सकता है। अधिक जानकारी के लिए, शून्य की घात शून्य का लेख देखें। ध्यान दें कि $0^{\infty }$ और अनंतता से जुड़े अन्य भाव ऐसे भाव जो अनिश्चित रूप नहीं हैं।

कुछ उदाहरण और गैर उदाहरण

अनिश्चित रूप 0/0

"0/0" redirects here. For प्रतीक, see प्रतिशत चिह्न.

• Fig. 1: y = x/x

• Fig. 2: y = x²/x

• Indeterminate form - sin x over x close.gif

  Fig. 3: y = sin x/x

• 

  Fig. 4: y = x − 49/√x − 7 (for x = 49)

• 

  Fig. 5: y = ax/x where a = 2

• Fig. 6: y = x/x³

अनिश्चित रूप $0/0$ कैलकुलस में विशेष रूप से आम है, क्योंकि यह अधिकांशता यौगिक के मूल्यांकन में सीमा के संदर्भ में उनकी परिभाषा का उपयोग करते हुए उत्पन्न होता है।

जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है,

$\lim _{x\to 0}{\frac {x}{x}}=1,\qquad$ (see fig. 1)

जबकि

$\lim _{x\to 0}{\frac {x^{2}}{x}}=0,\qquad$ (चित्र 2 देखें)

यह दर्शाने के लिए काफी है गणित> 0/0 </ गणित> एक अनिश्चित रूप है। इस अनिश्चित रूप वाले अन्य उदाहरणों में सम्मिलित हैं

$\lim _{x\to 0}{\frac {\sin(x)}{x}}=1,\qquad$ (see fig. 3)

तथा

$\lim _{x\to 49}{\frac {x-49}{{\sqrt {x}}\,-7}}=14,\qquad$ (see fig. 4)

उस संख्या का प्रत्यक्ष प्रतिस्थापन इनमें से किसी भी अभिव्यक्ति में $x$ का दृष्टिकोण दिखाता है कि ये उदाहरण अनिश्चित रूप $0/0$ के अनुरूप हैं, लेकिन ये सीमाएँ कई अलग-अलग मान ग्रहण कर सकती हैं। कोई वांछित मान $a$ इस अनिश्चित रूप के लिए निम्नानुसार प्राप्त किया जा सकता है

$\lim _{x\to 0}{\frac {ax}{x}}=a.\qquad$ (see fig. 5)

मूल्य $\infty$ भी प्राप्त किया जा सकता है(अनंत के विचलन के अर्थ में)

$\lim _{x\to 0}{\frac {x}{x^{3}}}=\infty .\qquad$ (see fig. 6)

अनिश्चित रूप 0^{0</सुप>}

Main article: शून्य की घात शून्य

• Indeterminate form - x0.gif

  Fig. 7: y = x⁰

• Indeterminate form - 0x.gif

  Fig. 8: y = 0^x

निम्नलिखित सीमाएं दर्शाती हैं कि अभिव्यक्ति $0^{0}$ एक अनिश्चित रूप है

$\lim _{x\to 0^{+}}x^{0}=1,\qquad$ (see fig. 7)

$\lim _{x\to 0^{+}}0^{x}=0.\qquad$ (see fig. 8)

इस प्रकार, सामान्यता यह जानना $\textstyle \lim _{x\to c}f(x)\;=\;0\!$ तथा $\textstyle \lim _{x\to c}g(x)\;=\;0$ सीमा का मूल्यांकन करने के लिए पर्याप्त नहीं है

$\lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}.$

यदि फलन $f$ तथा $g$ पर विश्लेषणात्मक हैं, और $c$, तथा $f$ के लिए सकारात्मक है $x$ के लिए पर्याप्त रूप से सन्निकट(लेकिन बराबर नहीं)। $c$, तो $f(x)^{g(x)}$ की सीमा $1$. होगी अन्यथा, सीमा का मूल्यांकन करने के लिए नीचे नीचे दी गई तालिका में रूपांतरण का उपयोग करते है।

अभिव्यक्तियाँ जो अनिश्चित रूप नहीं हैं

व्यंजक $1/0$ सामान्यता एक अनिश्चित रूप में नहीं है, क्योंकि यदि $f/g$ की सीमा मौजूद है, तो इसके मूल्य के संबंध में कोई अस्पष्टता नहीं है, क्योंकि यह हमेशा विचलन करता है। विशेष रूप से, यदि $f$ तक पहुंचता है और $1$ तथा $g$ दृष्टिकोण $0~$, फिर $f$ तथा $g$ चुना जा सकता है ताकि

1. $f/g$ दृष्टिकोण $+\infty$
2. $f/g$ दृष्टिकोण $-\infty$
3. सीमा मौजूद नहीं है।

प्रत्येक मामले में निरपेक्ष मूल्य $|f/g|$ दृष्टिकोण $+\infty$, और इसलिए भागफल $f/g$ को विस्तारित वास्तविक संख्याओं के अर्थ में विचलन करना चाहिए(अनुमानित रूप से विस्तारित वास्तविक रेखा के ढांचे में, सीमा अनंत पर बिंदु है $\infty$ तीनों मामलों में). इसी प्रकार, रूप की कोई भी अभिव्यक्ति $a/0$ साथ $a\neq 0$(समेत $a=+\infty$ तथा $a=-\infty$) एक अनिश्चित रूप नहीं है, क्योंकि इस तरह की अभिव्यक्ति को जन्म देने वाला भागफल हमेशा विचलन करेगा।

व्यंजक $0^{\infty }$ अनिश्चित रूप नहीं है। अभिव्यक्ति $0^{+\infty }$ विचार करने से प्राप्त, $\lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}$ सीमा $0~$देता है, बशर्ते कि $f(x)$ के रूप में अऋणात्मक रहता है अभिव्यक्ति $x$ दृष्टिकोण $c$. व्यंजक $0^{-\infty }$ के समान ही है $1/0$; यदि $f(x)>0$ जैसा $x$ दृष्टिकोण $c$ सीमा के रूप में बाहर आता है $+\infty$.

देखने के लिए क्यों, चलो $L=\lim _{x\to c}f(x)^{g(x)},$ जहाँ पे $\lim _{x\to c}{f(x)}=0,$ तथा $\lim _{x\to c}{g(x)}=\infty .$ दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेकर और प्रयोग करके $\lim _{x\to c}\ln {f(x)}=-\infty ,$ हमें वह मिलता है $\ln L=\lim _{x\to c}({g(x)}\times \ln {f(x)})=\infty \times {-\infty }=-\infty ,$ जिसका अर्थ है कि $L={e}^{-\infty }=0.$

अनिश्चित रूपों का मूल्यांकन

विशेषण अनिश्चित का अर्थ यह नहीं है कि सीमा मौजूद नहीं है, जैसा कि ऊपर दिए गए कई उदाहरणों से पता चलता है। कई मामलों में, बीजगणितीय विलोपन, ल'हॉपिटल नियम, या अन्य विधियों का उपयोग अभिव्यक्ति में हेरफेर करने के लिए किया जाता है ताकि सीमा का मूल्यांकन किया जा सके।

समतुल्य अपरिमित

जब दो चर $\alpha$ तथा $\beta$ एक ही सीमा बिंदु पर शून्य में अभिसरण और $\textstyle \lim {\frac {\beta }{\alpha }}=1$, वे समतुल्य अपरिमित कहलाते हैं(equiv। $\alpha \sim \beta$).

इसके अलावा, यदि चर $\alpha '$ तथा $\beta '$ ऐसे हैं $\alpha \sim \alpha '$ तथा $\beta \sim \beta '$, फिर:

$\lim {\frac {\beta }{\alpha }}=\lim {\frac {\beta '}{\alpha '}}$

यहाँ एक संक्षिप्त प्रमाण है

मान लीजिए कि दो तुल्य अपरिमित हैं $\alpha \sim \alpha '$ तथा $\beta \sim \beta '$.

$\lim {\frac {\beta }{\alpha }}=\lim {\frac {\beta \beta '\alpha '}{\beta '\alpha '\alpha }}=\lim {\frac {\beta }{\beta '}}\lim {\frac {\alpha '}{\alpha }}\lim {\frac {\beta '}{\alpha '}}=\lim {\frac {\beta '}{\alpha '}}$

अनिश्चित रूप के मूल्यांकन के लिए $0/0$, समतुल्य अत्यणुओं के बारे में निम्नलिखित तथ्यों का उपयोग किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, $x\sim \sin x$ यदि एक्स शून्य के सन्निकट हो जाता है

$x\sim \sin x,$

$x\sim \arcsin x,$

$x\sim \sinh x,$

$x\sim \tan x,$

$x\sim \arctan x,$

$x\sim \ln(1+x),$

$1-\cos x\sim {\frac {x^{2}}{2}},$

$\cosh x-1\sim {\frac {x^{2}}{2}},$

$a^{x}-1\sim x\ln a,$

$e^{x}-1\sim x,$

$(1+x)^{a}-1\sim ax.$

उदाहरण के लिए:

${\begin{aligned}\lim _{x\to 0}{\frac {1}{x^{3}}}\left[\left({\frac {2+\cos x}{3}}\right)^{x}-1\right]&=\lim _{x\to 0}{\frac {e^{x\ln {\frac {2+\cos x}{3}}}-1}{x^{3}}}\\&=\lim _{x\to 0}{\frac {1}{x^{2}}}\ln {\frac {2+\cos x}{3}}\\&=\lim _{x\to 0}{\frac {1}{x^{2}}}\ln \left({\frac {\cos x-1}{3}}+1\right)\\&=\lim _{x\to 0}{\frac {\cos x-1}{3x^{2}}}\\&=\lim _{x\to 0}-{\frac {x^{2}}{6x^{2}}}\\&=-{\frac {1}{6}}\end{aligned}}$

दूसरी समानता में, $e^{y}-1\sim y$ कहाँ पे $y=x\ln {2+\cos x \over 3}$ जब y 0 के करीब हो जाता है तो इसका उपयोग किया जाता है, और $y\sim \ln {(1+y)}$ कहाँ पे $y={{\cos x-1} \over 3}$ चौथी समानता में प्रयोग किया जाता है, और $1-\cos x\sim {x^{2} \over 2}$ 5 वीं समानता में प्रयोग किया जाता है।

ल'हॉपिटल का नियम

Main article: ल'हॉपिटल नियम

ल'हॉपिटल नियम अनिश्चित रूपों के मूल्यांकन के लिए एक सामान्य विधि है $0/0$ तथा $\infty /\infty$. यह नियम बताता है कि(उपयुक्त परिस्थितियों में)

$\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}},$

जहाँ पे $f'$ तथा $g'$ के व्युत्पन्न(कलन) हैं $f$ तथा $g$. ध्यान दें कि यह नियम व्यंजक पर लागू नहीं होता है $\infty /0$, $1/0$, और क्योंकि ये व्यंजक अनिश्चित रूप नहीं हैं। ये व्युत्पन्न किसी को बीजगणितीय सरलीकरण करने और अंततः सीमा का मूल्यांकन करने की अनुमति देते है।

ल'हॉपिटल के नियम को पहले उपयुक्त बीजगणितीय परिवर्तन का उपयोग करते हुए, अन्य अनिश्चित रूपों पर भी लागू किया जाता है। उदाहरण के लिए, फॉर्म 0⁰ का मूल्यांकन करने के लिए है।

$\ln \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\lim _{x\to c}{\frac {\ln f(x)}{1/g(x)}}.$

दाहिना भाग रूप का है $\infty /\infty$, इसलिए ल'हॉपिटल का नियम इस पर लागू होता है। ध्यान दें कि यह समीकरण मान्य है, जब तक दाहिनी ओर परिभाषित है) क्योंकि प्राकृतिक लघुगणक(ln) एक सतत कार्य है, यह अप्रासंगिक है कि कितना अच्छा व्यवहार किया $f$ तथा $g$ हो सकता है या नहीं भी हो सकता है। $f$ विषम रूप से सकारात्मक है। लघुगणक का प्रांत सभी धनात्मक वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है।

हालांकि ल'हॉपिटल का नियम दोनों पर लागू होता है $0/0$ तथा $\infty /\infty$, इनमें से एक रूप किसी विशेष मामले में दूसरे की तुलना में अधिक उपयोगी हो सकता है, बाद में बीजगणितीय सरलीकरण की संभावना के कारण। कोई इन रूपों के बीच परिवर्तन करके बदल सकता है $f/g$ प्रति $(1/g)/(1/f)$.

अनिश्चित रूपों की सूची

निम्न तालिका सबसे आम अनिश्चित रूपों और ल'हॉपिटल के नियम को लागू करने के लिए परिवर्तनों को सूचीबद्ध करती है।

अनिश्चित रूप	Conditions	में परिवर्तन $0/0$	में परिवर्तन $\infty /\infty$
$0$/$0$	$\lim _{x\to c}f(x)=0,\ \lim _{x\to c}g(x)=0\!$	—	$\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {1/g(x)}{1/f(x)}}\!$
$\infty$/$\infty$	$\lim _{x\to c}f(x)=\infty ,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!$	$\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {1/g(x)}{1/f(x)}}\!$	—
$0\cdot \infty$	$\lim _{x\to c}f(x)=0,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!$	$\lim _{x\to c}f(x)g(x)=\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{1/g(x)}}\!$	$\lim _{x\to c}f(x)g(x)=\lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/f(x)}}\!$
$\infty -\infty$	$\lim _{x\to c}f(x)=\infty ,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!$	$\lim _{x\to c}(f(x)-g(x))=\lim _{x\to c}{\frac {1/g(x)-1/f(x)}{1/(f(x)g(x))}}\!$	$\lim _{x\to c}(f(x)-g(x))=\ln \lim _{x\to c}{\frac {e^{f(x)}}{e^{g(x)}}}\!$
$0^{0}$	$\lim _{x\to c}f(x)=0^{+},\lim _{x\to c}g(x)=0\!$	$\lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/\ln f(x)}}\!$	$\lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {\ln f(x)}{1/g(x)}}\!$
$1^{\infty }$	$\lim _{x\to c}f(x)=1,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!$	$\lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {\ln f(x)}{1/g(x)}}\!$	$\lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/\ln f(x)}}\!$
$\infty ^{0}$	$\lim _{x\to c}f(x)=\infty ,\ \lim _{x\to c}g(x)=0\!$	$\lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/\ln f(x)}}\!$	$\lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {\ln f(x)}{1/g(x)}}\!$

यह भी देखें

• परिभाषित और अपरिभाषित
• शून्य से विभाजन
• विस्तारित वास्तविक संख्या रेखा
• अनिश्चित समीकरण
• अनिश्चित व्यवस्था
• अनिश्चित(चर)
• ल'हॉपिटल का नियम