एक आयामी जाली में कण

क्वांटम यांत्रिकी में, एक आयामी जाली में कण एक समस्या है जो आवधिक क्रिस्टल संरचना के मॉडल में होती है। क्षमता क्रिस्टल की आवधिक संरचना में आयनों द्वारा विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र बनाने के कारण होती है, इसलिए इलेक्ट्रॉन के अंदर एक आयामी जाली मे कण क्षमता के अधीन होते है। यह मुक्त इलेक्ट्रॉन मॉडल का एक सामान्यीकरण होता है, जो कण के अंदर शून्य क्षमता को मानता है।

समस्या परिभाषा

जब पदार्थों के बारे में बात की जाती है, तो चर्चा मुख्य रूप से क्रिस्टल-आवधिक कण के बारे में होती है। यहां हम धनात्मक आयनों के 1D कण पर चर्चा करते है। मान लेते है कि दो आयनों के बीच की दूरी है a, कण में क्षमता कुछ इस तरह दिखती है:

क्षमता का गणितीय प्रतिनिधित्व एक अवधि के साथ एक आवधिक कार्य है। बलोच के प्रमेय के अनुसार, श्रोडिंगर समीकरण का फलन समाधान जब संभावित आवधिक होता है, तो इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:

$$\psi (x)=e^{ikx}u(x),$$

जहाँ u(x) एक आवधिक कार्य है जो संतुष्ट करता है u(x + a) = u(x) यह फ्लॉकेट प्रतिपादक वाला बलोच फैक्टर है $k$ जो श्रोडिंगर समीकरण के ऊर्जा स्पेक्ट्रम की बैंड संरचना को क्रोनिग-पेनी क्षमता या मैथ्यू समीकरण के रूप में कोसाइन फलन जैसी आवधिक क्षमता के साथ जन्म देता है।

कण के किनारों के पास आने पर सीमा की स्थिति के साथ समस्याएं होती है। इसलिए, हम बोर्न–वॉन कर्मन सीमा स्थितियों का पालन करते हुए आयन कण का एक वलय के रूप में प्रतिनिधित्व कर सकते है। अगर L कण की लंबाई है जिससे कि L ≫ a, तो कण में आयनों की संख्या इतनी बड़ी होती है, कि जब एक आयन पर विचार किया जाता है, तो इसका परिवेश लगभग रैखिक होता है, और इलेक्ट्रॉन की तरंग अपरिवर्तित होती है। तो अब, दो सीमा कणों के अतिरिक्त हमें एक गोलाकार सीमा कण मिलता है:

$$\psi (0)=\psi (L).$$

अगर N कण में आयनों की संख्या है, तो हमारा संबंध है: aN = L सीमा की स्थिति में बदलने और बलोच के प्रमेय को लागू करने के परिणामस्वरूप परिमाणीकरण होता है k:

$$\psi (0)=e^{ik\cdot 0}u(0)=e^{ikL}u(L)=\psi (L)$$

$$u(0)=e^{ikL}u(L)=e^{ikL}u(Na)\to e^{ikL}=1$$

$$\Rightarrow kL=2\pi n\to k={2\pi \over L}n\qquad \left(n=0,\pm 1,\dots ,\pm {\frac {N}{2}}\right).$$

क्रोनिग–पेनी मॉडल

क्रोनिग-पेनी मॉडल (राल्फ क्रोनिग और विलियम पेनी के नाम पर रखा गया) एक सरल, आदर्शित क्वांटम-यांत्रिक प्रणाली है जिसमें आयताकार संभावित अवरोधों की एक अनंत आवधिक सरणी होती है।

संभावित कार्य एक आयताकार क्षमता द्वारा अनुमानित है:

बलोच के प्रमेय का उपयोग करते हुए, हमें केवल एक ही अवधि के लिए एक समाधान खोजने की जरूरत होती है, सुनिश्चित करती है कि यह निरंतर और सुचारु है, और यह सुनिश्चित करने के लिए कि फलन u(x) भी निरंतर और सुचारू है।

क्षमता की एकल अवधि को ध्यान में रखते हुए:

हमारे पास दो क्षेत्र है। हम प्रत्येक के लिए स्वतंत्र रूप से हल करते है: E के ऊपर एक ऊर्जा मान होती है (E> 0)

• इसके लिए $0<x<(a-b)$:
  $${\begin{aligned}{\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\psi _{xx}&=E\psi \\\Rightarrow \psi &=Ae^{i\alpha x}+A'e^{-i\alpha x}&\left(\alpha ^{2}={2mE \over \hbar ^{2}}\right)\end{aligned}}$$
• इसके लिए $-b<x<0$:
  $${\begin{aligned}{\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\psi _{xx}&=(E+V_{0})\psi \\\Rightarrow \psi &=Be^{i\beta x}+B'e^{-i\beta x}&\left(\beta ^{2}={2m(E+V_{0}) \over \hbar ^{2}}\right).\end{aligned}}$$

खोजने के लिए u(x) प्रत्येक क्षेत्र में, हमें इलेक्ट्रॉन के तरंग में कार्यसाधन करने की आवश्यकता होती है:

$${\begin{aligned}\psi (0<x<a-b)&=Ae^{i\alpha x}+A'e^{-i\alpha x}=e^{ikx}\left(Ae^{i(\alpha -k)x}+A'e^{-i(\alpha +k)x}\right)\\\Rightarrow u(0<x<a-b)&=Ae^{i(\alpha -k)x}+A'e^{-i(\alpha +k)x}.\end{aligned}}$$

और उसी तरह:

$$u(-b<x<0)=Be^{i(\beta -k)x}+B'e^{-i(\beta +k)x}.$$

समाधान को पूरा करने के लिए हमें यह सुनिश्चित करने की आवश्यकता होती है कि प्रायिकता फलन निरंतर और सुचारू है, अर्थात:

$$\psi (0^{-})=\psi (0^{+})\qquad \psi '(0^{-})=\psi '(0^{+}).$$

ओर u(x) और u′(x) आवधिक है:

$$u(-b)=u(a-b)\qquad u'(-b)=u'(a-b).$$

ये कण निम्नलिखित आव्यूह उत्पन्न करते है:

$${\begin{pmatrix}1&1&-1&-1\\\alpha &-\alpha &-\beta &\beta \\e^{i(\alpha -k)(a-b)}&e^{-i(\alpha +k)(a-b)}&-e^{-i(\beta -k)b}&-e^{i(\beta +k)b}\\(\alpha -k)e^{i(\alpha -k)(a-b)}&-(\alpha +k)e^{-i(\alpha +k)(a-b)}&-(\beta -k)e^{-i(\beta -k)b}&(\beta +k)e^{i(\beta +k)b}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A\\A'\\B\\B'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}.$$

हमारे लिए एक गैर-तुच्छ समाधान होने के लिए, आव्यूह का निर्धारक 0 होता है। यह हमें निम्नलिखित अभिव्यक्ति की ओर ले जाता है:

$$\cos(ka)=\cos(\beta b)\cos[\alpha (a-b)]-{\alpha ^{2}+\beta ^{2} \over 2\alpha \beta }\sin(\beta b)\sin[\alpha (a-b)].$$

अभिव्यक्ति को और सरल बनाने के लिए, हम निम्नलिखित सन्निकटन करते है:

$$b\to 0;\quad V_{0}\to \infty ;\quad V_{0}b=\mathrm {constant}$$

$$\Rightarrow \beta ^{2}b=\mathrm {constant} ;\quad \alpha ^{2}b\to 0$$

$$\Rightarrow \beta b\to 0;\quad \sin(\beta b)\to \beta b;\quad \cos(\beta b)\to 1.$$

अभिव्यक्ति अब है:

$$\cos(ka)=\cos(\alpha a)+P{\frac {\sin(\alpha a)}{\alpha a}},\qquad P={\frac {mV_{0}ba}{\hbar ^{2}}}.$$

ऊर्जा मूल्यों के लिए (E <0), हम प्राप्त करते है:

$$\cos(ka)=\cos(\beta b)\cosh[\alpha (a-b)]-{\beta ^{2}-\alpha ^{2} \over 2\alpha \beta }\sin(\beta b)\sinh[\alpha (a-b)],$$

साथ $\alpha ^{2}={2m|E| \over \hbar ^{2}}$ और $\beta ^{2}={\frac {2m(V_{0}-|E|)}{\hbar ^{2}}}$.

उपरोक्त के समान अनुमानों के बाद ($b\to 0;\,V_{0}\to \infty ;\,V_{0}b=\mathrm {constant}$), हम पहुंचते है

$$\cos(ka)=\cosh(\alpha a)+P{\frac {\sinh(\alpha a)}{\alpha a}}$$

P के लिए उसी सूत्र के साथ जो पिछले स्थिति में था $\left(P={\frac {mV_{0}ba}{\hbar ^{2}}}\right)$.

क्रोनिग-पेनी मॉडल में बैंड अंतराल

व्यंजक का मान जिसके लिए cos(k a) फैलाव संबंध में समान है, P = 1.5 के साथ। काली पट्टियाँ के क्षेत्रों को दर्शाती है $\alpha a$ जिसके लिए k की गणना की जा सकती है।

क्रोनिग-पेनी मॉडल के लिए फैलाव संबंध, P = 1.5 के साथ।

पिछले अनुच्छेद में, भौतिक प्रणाली के मापदंडों द्वारा निर्धारित नहीं किए जाने वाले एकमात्र चर ऊर्जा E और क्रिस्टल गति k है। E के लिए एक मान चुनकर, कोई दाहिने हाथ की गणना कर सकता है, और फिर k लेकर गणना कर सकता है, इस प्रकार, व्यंजक संबंध को जन्म देता है।

उपरोक्त अंतिम अभिव्यक्ति का दाहिना हाथ कभी-कभी 1 से अधिक या -1 से कम हो सकता है, इस स्थिति में k का कोई मान नहीं होता है जो समीकरण को सत्य बना सके। तब से $\alpha a\propto {\sqrt {E}}$, इसका अर्थ है कि E के कुछ ऐसे मान है जिनके लिए श्रोडिंगर समीकरण का कोई फलन नहीं होता है। ये मान ऊर्जा अंतराल का निर्माण करते है।

इस प्रकार, क्रोनिग-पेनी मॉडल बैंड अंतराल प्रदर्शित करने के लिए सबसे सरल आवधिक संभावनाओं में से एक होता है।

क्रोनिग-पेनी मॉडल: वैकल्पिक समाधान

एक वैकल्पिक उपचार इसी तरह की समस्या के लिए दिया जाता है। यहां हमारे पास डेल्टा आवधिक क्षमता है:

$$V(x)=A\cdot \sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x-na).$$

A कुछ स्थिर है, और a कण स्थिरांक है। चूंकि यह क्षमता आवधिक है, हम इसे फूरियर श्रृंखला के रूप में विस्तारित कर सकते है:

$$V(x)=\sum _{K}{\tilde {V}}(K)\cdot e^{iKx},$$

जहाँ

$${\tilde {V}}(K)={\frac {1}{a}}\int _{-a/2}^{a/2}dx\,V(x)\,e^{-iKx}={\frac {1}{a}}\int _{-a/2}^{a/2}dx\sum _{n=-\infty }^{\infty }A\cdot \delta (x-na)\,e^{-iKx}={\frac {A}{a}}.$$

बलोच के प्रमेय का उपयोग करते हुए तरंग-फलन बराबर है $\psi _{k}(x)=e^{ikx}u_{k}(x)$ जहाँ $u_{k}(x)$ एक कार्य है जो कण में आवधिक है, जिसका अर्थ है कि हम इसे फूरियर श्रृंखला के रूप में भी विस्तारित कर सकते है:

$$u_{k}(x)=\sum _{K}{\tilde {u}}_{k}(K)e^{iKx}.$$

इस प्रकार तरंग कार्य है:

$$\psi _{k}(x)=\sum _{K}{\tilde {u}}_{k}(K)\,e^{i(k+K)x}.$$

इसे श्रोडिंगर समीकरण में रखने पर, हम पाते है:

$$\left[{\frac {\hbar ^{2}(k+K)^{2}}{2m}}-E_{k}\right]{\tilde {u}}_{k}(K)+\sum _{K'}{\tilde {V}}(K-K')\,{\tilde {u}}_{k}(K')=0$$

या कहते है:

$$\left[{\frac {\hbar ^{2}(k+K)^{2}}{2m}}-E_{k}\right]{\tilde {u}}_{k}(K)+{\frac {A}{a}}\sum _{K'}{\tilde {u}}_{k}(K')=0$$

अब हम पहचानते है कि:

$$u_{k}(0)=\sum _{K'}{\tilde {u}}_{k}(K')$$

श्रोडिंगर समीकरण है:

$$\left[{\frac {\hbar ^{2}(k+K)^{2}}{2m}}-E_{k}\right]{\tilde {u}}_{k}(K)+{\frac {A}{a}}u_{k}(0)=0$$

इसके लिए समाधान करते है ${\tilde {u}}_{k}(K)$ हम पाते है:

$${\tilde {u}}_{k}(K)={\frac {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}{\frac {A}{a}}f(k)}{{\frac {2mE_{k}}{\hbar ^{2}}}-(k+K)^{2}}}={\frac {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}{\frac {A}{a}}}{{\frac {2mE_{k}}{\hbar ^{2}}}-(k+K)^{2}}}\,u_{k}(0)$$

सभी मूल्यों पर इस अंतिम समीकरण का योग करते है K पहुंचने के लिए:

$$\sum _{K}{\tilde {u}}_{k}(K)=\sum _{K}{\frac {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}{\frac {A}{a}}}{{\frac {2mE_{k}}{\hbar ^{2}}}-(k+K)^{2}}}\,u_{k}(0)$$

या:

$$u_{k}(0)=\sum _{K}{\frac {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}{\frac {A}{a}}}{{\frac {2mE_{k}}{\hbar ^{2}}}-(k+K)^{2}}}\,u_{k}(0)$$

आसानी से, $u_{k}(0)$ समाप्त हो जाता है और हमें मिलता है:

$$1=\sum _{K}{\frac {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}{\frac {A}{a}}}{{\frac {2mE_{k}}{\hbar ^{2}}}-(k+K)^{2}}}$$

या:

$${\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {a}{A}}=\sum _{K}{\frac {1}{{\frac {2mE_{k}}{\hbar ^{2}}}-(k+K)^{2}}}$$

अपने आप को कुछ अनावश्यक प्रयासों से बचाने के लिए हम एक नया चर परिभाषित करते है:

$$\alpha ^{2}:={\frac {2mE_{k}}{\hbar ^{2}}}$$

और अंत में हमारी अभिव्यक्ति है:

$${\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {a}{A}}=\sum _{K}{\frac {1}{\alpha ^{2}-(k+K)^{2}}}$$

अब, K एक पारस्परिक कण वेक्टर है, जिसका अर्थ है कि एक योग K वास्तव में के पूर्णांक गुणकों पर योग है ${\frac {2\pi }{a}}$:

$${\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {a}{A}}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\alpha ^{2}-(k+{\frac {2\pi n}{a}})^{2}}}$$

हम इसे और अधिक विचारोत्तेजक बनाने के लिए इस अभिव्यक्ति को थोड़ा आंशिक अंश अपघटन का उपयोग करते है:

$${\begin{aligned}{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {a}{A}}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\alpha ^{2}-(k+{\frac {2\pi n}{a}})^{2}}}\\&=-{\frac {1}{2\alpha }}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left[{\frac {1}{(k+{\frac {2\pi n}{a}})-\alpha }}-{\frac {1}{(k+{\frac {2\pi n}{a}})+\alpha }}\right]\\&=-{\frac {a}{4\alpha }}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left[{\frac {1}{\pi n+{\frac {ka}{2}}-{\frac {\alpha a}{2}}}}-{\frac {1}{\pi n+{\frac {ka}{2}}+{\frac {\alpha a}{2}}}}\right]\\&=-{\frac {a}{4\alpha }}\left[\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\pi n+{\frac {ka}{2}}-{\frac {\alpha a}{2}}}}-\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\pi n+{\frac {ka}{2}}+{\frac {\alpha a}{2}}}}\right]\end{aligned}}$$

यदि हम कॉटैंजेंट फलन (Equation 18) के योग की एक अच्छी पहचान का उपयोग करते है जो होता है:

$$\cot(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{2\pi n+2x}}-{\frac {1}{2\pi n-2x}}$$

और इससे हमें मिलता है:

$${\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {a}{A}}=-{\frac {a}{4\alpha }}\left[\cot \left({\tfrac {ka}{2}}-{\tfrac {\alpha a}{2}}\right)-\cot \left({\tfrac {ka}{2}}+{\tfrac {\alpha a}{2}}\right)\right]$$

हम k योग का उपयोग करते है cot और फिर, उत्पाद sin (जो योग के सूत्र का हिस्सा है cot) पहुंचने के लिए:

$$\cos(ka)=\cos(\alpha a)+{\frac {mA}{\hbar ^{2}\alpha }}\sin(\alpha a)$$

यह समीकरण ऊर्जा (के माध्यम से) के बीच के संबंध को दर्शाता है α) और तरंग-वेक्टर, k, और जैसा कि आप देख सकते है, क्योंकि समीकरण के बाएँ हाथ की ओर से केवल सीमा हो सकती है −1 को 1 तो मूल्यों पर कुछ सीमाएं है α (और इस प्रकार, ऊर्जा) ग्रहण कर सकता है, अर्थात, ऊर्जा के मूल्यों की कुछ सीमाओं पर, इन समीकरणों के अनुसार कोई समाधान नहीं होता है, और इस प्रकार, प्रणाली में वे ऊर्जाएँ नहीं होती है। ये तथाकथित बैंड-अंतराल होता है, जिन्हें आवधिक क्षमता के किसी भी आकार में उपस्थित दिखाया जा सकता है।

अंतर सूत्र की एक अलग और विस्तृत गणना के लिए और एक आयामी श्रोडिंगर समीकरण के स्तर विभाजन के लिए मुलर-कर्स्टन देखें। इस संदर्भ में कोसाइन क्षमता (मैथ्यू समीकरण) के अनुरूप परिणाम भी विस्तार से दिए गए है।

परिमित लंबाई के कण आयामी कण

हाल ही में, यह पाया गया है कि परिमित के एक आदर्श कण आयामी कण पर समस्या लंबाई $L=Na$ दो सिरों के साथ $\tau$ और $L+\tau$ - जहाँ $a$ संभावित अवधि है और $N$ एक सकारात्मक पूर्णांक है - क्वांटम यांत्रिकी की कुछ अन्य समस्याओं में से एक है जिसे विश्लेषणात्मक रूप से हल किया जा सकता है। निम्नलिखित में हम संक्षेप में नए सिद्धांत के कुछ प्रमुख निष्कर्षों का वर्णन करते है। पाठक जो गणितीय तर्क और अधिक विवरण में रुचि रखते है, उन्हें मूल प्रकाशनों में भेजा जाता है।

हम मुख्य रूप से उन स्थितियों में रुचि रखते है जहां लगातार दो लगातार ऊर्जा बैंडों के बीच एक बैंड अंतराल होता है। ऐसे स्थितियों के लिए, नए सिद्धांत ने पाया कि परिमित लंबाई के एक आयामी कण में दो अलग-अलग प्रकार होते है: बलोच तरंग के प्रत्येक ऊर्जा बैंड है $N-1$ परिमित क्रिस्टल में अवस्थाएँ होती है जिनकी ऊर्जाएँ होती है $N$ लेकिन $\tau$ और ऊर्जा बैंड को त्रुटिहीन रूप से मैप करता है, जो स्थिर बलोच होता है। बलोच तरंग के प्रत्येक बैंड अंतराल के अनुरूप परिमित क्रिस्टल में हमेशा एक और केवल एक अवस्था होती है, जिसकी ऊर्जा निर्भर करती है $\tau$ लेकिन $N$ यह अवस्था या तो एक स्थिर-ऊर्जा सीमित बैंड-एज अवस्था होती है या बैंड अंतराल में एक सतह अवस्था होती है। इसके अस्तित्व $\tau$-आश्रित अवस्था बलोच तरंगों के क्वांटम परिरोध का एक मूलभूत अंतर होता है।

यह भी देखें

• मुक्त इलेक्ट्रॉन मॉडल
• खाली कण सन्निकटन
• लगभग मुक्त इलेक्ट्रॉन मॉडल
• क्रिस्टल की संरचना
• मैथ्यू समारोह

बाहरी संबंध

• "The Kronig–Penney Model" by Michael Croucher, an interactive calculation of 1d periodic potential band structure using Mathematica, from The Wolfram Demonstrations Project.