कंटूर समाकलन

This article is about जटिल तल में रेखा अभिन्न. For सामान्य रेखा अभिन्न, see रेखा अभिन्न.

जटिल विश्लेषण के गणितीय क्षेत्र में, कंटूर समाकलन जटिल तल में पथों के साथ कुछ समाकल का मूल्यांकन करने का विधि है।

कंटूर समाकलन अवशेष प्रमेय से निकटता से संबंधित है, जो जटिल विश्लेषण की विधि हैं।

कंटूर समाकलन के लिए उपयोग वास्तविक रेखा के साथ समाकल का मूल्यांकन है जो केवल वास्तविक वेरिएबल्स विधियों का उपयोग करके आसानी से नहीं पाया जाता है।

कंटूर समाकलन विधियों में सम्मिलित हैं:

• जटिल तल (कंटूर रेखा) में वक्र के साथ जटिल संख्या-मूल्यवान फलन का प्रत्यक्ष समाकलन;
• कॉची समाकल सूत्र का अनुप्रयोग; और
• अवशेष प्रमेय का अनुप्रयोग।

इन समाकल या संक्षिप्त विवरण को खोजने के उद्देश्य से विधि का उपयोग किया जा सकता है, या इन विधियों के संयोजन, या विभिन्न सीमित प्रक्रियाओं का उपयोग किया जा सकता है।

जटिल तल में वक्र

जटिल विश्लेषण में कंटूर जटिल तल में प्रकार का वक्र होता है। कंटूर समाकलन में, कंटूर वक्रों की त्रुटिहीन परिभाषा प्रदान करते हैं, जिस पर समाकल को उपयुक्त रूप से परिभाषित किया जा सकता है। जटिल तल में वक्र को वास्तविक रेखा के बंद अंतराल से जटिल तल z : [a, b] → C तक निरंतर फलन के रूप में परिभाषित किया गया है।

वक्र की यह परिभाषा वक्र की समतल धारणा के साथ मेल खाती है, किन्तु इसमें बंद अंतराल से निरंतर फलन द्वारा पैरामीट्रिजेशन सम्मिलित है। यह अधिक त्रुटिहीन परिभाषा हमें यह विचार करने की अनुमति देती है कि समाकलन के लिए उपयोगी होने के लिए वक्र में क्या गुण होने चाहिए। निम्नलिखित उपखंडों में हम उन वक्रों के समूह को संकुचित करते हैं जिन्हें हम केवल उन वक्रों को सम्मिलित करने के लिए एकीकृत कर सकते हैं जिन्हें निरंतर वक्रों की परिमित संख्या से बनाया जा सकता है जिन्हें दिशा दी जा सकती है। इसके अतिरिक्त, हम टुकड़ों को अपने ऊपर से पार करने से रोकेंगे, और हमें आवश्यकता है कि प्रत्येक टुकड़े का परिमित (गैर-लुप्त) निरंतर व्युत्पन्न हो। ये आवश्यकताएं इस आवश्यकता के अनुरूप हैं कि हम केवल उन वक्रों पर विचार करें जिनका पता लगाया जा सकता है, जैसे कि पेन द्वारा, समान, स्थिर स्ट्रोक के क्रम में, जो केवल कलम उठाए बिना वक्र का नया टुकड़ा प्रारंभ करने के लिए रुकते हैं।

निर्देशित समतल वक्र

कंटूर को अधिकांश निर्देशित समतल वक्रों के रूप में परिभाषित किया जाता है।ये समतल वक्र के टुकड़े की त्रुटिहीन परिभाषा प्रदान करते हैं, जिसमें से कंटूर बनाया जाता है।

समतल वक्र एक वक्र है z : [a, b] → C गैर-लुप्त, निरंतर व्युत्पन्न के साथ जैसे कि प्रत्येक बिंदु को केवल बार (z एक-से-है) पार किया जाता है, वक्र के संभावित अपवाद के साथ जैसे कि समापन बिंदु (z(a) = z(b)) के समान है। ऐसी स्थिति में जहां समापन बिंदु वक्र के समान होते है, उन्हें बंद कहा जाता है, और फलन को प्रत्येक स्थान एक-से-होने की आवश्यकता होती है और व्युत्पन्न को पहचान बिंदु (z′(a) = z′(b)) पर निरंतर होना चाहिए। समतल वक्र जो बंद नहीं होता है उसे अधिकांश समतल चाप के रूप में संदर्भित किया जाता है।

वक्र का पैरामीट्रिजेशन (ज्यामिति) वक्र z(x) पर बिंदुओं का प्राकृतिक क्रम प्रदान करता है जो z(y) से पहले आता है यदि x < y हैं। यह निर्देशित समतल वक्र की धारणा की ओर ले जाता है। विशिष्ट पैरामीट्रिजेशन से स्वतंत्र वक्रों पर विचार करना सबसे उपयोगी है। यह समान दिशा वाले समतल वक्रों के तुल्यता वर्गों पर विचार करके किया जा सकता है। निर्देशित समतल वक्र को तब जटिल तल में बिंदुओं के क्रमबद्ध सेट के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जो कि उनके प्राकृतिक क्रम में कुछ समतल वक्र की छवि है (पैरामीट्रिजेशन के अनुसार)। ध्यान दें कि बिंदुओं के सभी क्रम समतल वक्र के प्राकृतिक क्रम नहीं हैं। वास्तव में, दिए गए समतल वक्र में केवल दो ऐसे क्रम होते हैं। इसके अतिरिक्त, एकल बंद वक्र के अंत बिंदु के रूप में कोई भी बिंदु हो सकता है, जबकि समतल चाप के अंत बिंदुओं के लिए केवल दो विकल्प होते हैं।

कंटूर

कंटूर वक्रों का वह वर्ग है जिस पर हम कंटूर समाकलन को परिभाषित करते हैं। कंटूर निर्देशित वक्र है जो निर्देशित समतल वक्रों के परिमित अनुक्रम से बना होता है जिसके अंत बिंदु एकल दिशा देने के लिए मेल खाते हैं। इसके लिए आवश्यक है कि वक्रों का क्रम γ₁, …, γ_n ऐसा हो कि γ_i का टर्मिनल बिंदु γ_i+1, ∀ i, 1 ≤ i < n के प्रारंभिक बिंदु के साथ मेल खाता हो। इसमें सभी निर्देशित समतल वक्र सम्मिलित हैं। साथ ही, जटिल तल में बिंदु को कंटूर माना जाता है। प्रतीक + का उपयोग अधिकांश नया वक्र बनाने के लिए साथ घटता के टुकड़े को निरूपित करने के लिए किया जाता है। इस प्रकार हम एक कंटूर Γ लिख सकते हैं जो कि n वक्रों से बना है

$$\Gamma =\gamma _{1}+\gamma _{2}+\cdots +\gamma _{n}.$$

कंटूर समाकलन

जटिल फलन f : C → C का कंटूर समाकलन भाग वास्तविक-मूल्यवान फलनों के लिए समाकल का सामान्यीकरण है। जटिल तल में निरंतर फलनों के लिए, वास्तविक मूल्यवान पैरामीटर पर समाकल के संदर्भ में निर्देशित समतल वक्र के साथ पहले समाकल को परिभाषित करके कंटूर समाकलन को रेखा समाकल के अनुरूप परिभाषित किया जा सकता है। अंतराल के विभाजन और रीमैन समाकल के अनुरूप कंटूर के विभाजन के संदर्भ में अधिक सामान्य परिभाषा दी जा सकती है। दोनों ही स्थितियों में कंटूर पर समाकल अंग को कंटूर बनाने वाले निर्देशित समतल वक्रों पर समाकल अंग के योग के रूप में परिभाषित किया जाता है।

निरंतर फलनों के लिए

इस तरह से कंटूर समाकलन को परिभाषित करने के लिए, पहले जटिल-मूल्यवान फलन के वास्तविक वेरिएबल्स पर, समाकल पर विचार करना चाहिए। मान लीजिए f : R → C वास्तविक वेरिएबल्स t का जटिल-मूल्यवान फलन है। f के वास्तविक और काल्पनिक भाग को अधिकांश क्रमशः u(t) और v(t) के रूप में निरूपित किया जाता है, जिससे

$$f(t)=u(t)+iv(t).$$

फिर जटिल-मूल्यवान फलन का समाकल अंग f अंतराल पर [a, b] द्वारा दिया गया है

$${\begin{aligned}\int _{a}^{b}f(t)\,dt&=\int _{a}^{b}{\big (}u(t)+iv(t){\big )}\,dt\\&=\int _{a}^{b}u(t)\,dt+i\int _{a}^{b}v(t)\,dt.\end{aligned}}$$

f : C → C को निर्देशित समतल वक्र γ पर निरंतर फलन करने दें। मान लीजिए z : R → C का कोई पैरामीट्रिजेशन है जो इसके क्रम (दिशा) के अनुरूप है। तब γ के साथ समाकल निरूपित किया जाता है

$$\int _{\gamma }f(z)\,dz\,$$

और द्वारा दिया गया है

$$\int _{\gamma }f(z)\,dz=\int _{a}^{b}f{\big (}\gamma (t){\big )}\gamma '(t)\,dt.$$

यह परिभाषा अच्छी तरह से परिभाषित है। यही है, परिणाम चुने गए पैरामीट्रिजेशन से स्वतंत्र है। उस स्थिति में जहां दाईं ओर वास्तविक समाकल अंग उपस्थित नहीं है γ के साथ समाकलित अंग को अस्तित्व में नहीं कहा जाता है।

रीमैन समाकल के सामान्यीकरण के रूप में

जटिल वेरिएबल्स के फलनों के लिए रीमैन समाकल का सामान्यीकरण वास्तविक संख्याओं से फलनों के लिए इसकी परिभाषा के पूर्ण सादृश्य में किया जाता है। निर्देशित समतल वक्र γ के विभाजन को γ पर बिंदुओं के परिमित, क्रमबद्ध सेट के रूप में परिभाषित किया गया है। वक्र पर समाकल विभाजन पर बिंदुओं पर लिए गए फलन मानों की परिमित राशि की सीमा है, इस सीमा में कि विभाजन पर किसी भी दो क्रमिक बिंदुओं के बीच की अधिकतम दूरी (द्वि-आयामी जटिल तल में), जिसे भी जाना जाता है जाल के रूप में, शून्य हो जाता है।

प्रत्यक्ष विधियाँ

प्रत्यक्ष विधियों में बहुभिन्नरूपी कलन में रेखा समाकल की गणना में उन विधियों के समान विधियों के माध्यम से समाकल की गणना सम्मिलित है। इसका अर्थ है कि हम निम्नलिखित विधि का उपयोग करते हैं:

• कंटूर पैरामीट्रिज़िंग

  कंटूर को वास्तविक वेरिएबल्स के भिन्न जटिल-मूल्यवान फलन द्वारा पैरामीट्रिज किया जाता है, या कंटूर को टुकड़ों में तोड़ दिया जाता है और अलग से पैरामीट्रिज किया जाता है।

• समाकलन में पैरामीट्रिजेशन का प्रतिस्थापन

  पैरामीट्रिजेशन को इंटीग्रैंड में प्रतिस्थापित करने से समाकल को वास्तविक वेरिएबल्स के समाकल में बदल दिया जाता है।

• प्रत्यक्ष मूल्यांकन

  समाकल का मूल्यांकन वास्तविक-वेरिएबल्स समाकल के समान विधि में किया जाता है।

उदाहरण

जटिल विश्लेषण में मौलिक परिणाम यह है कि 1/z का कंटूर समाकलन 2πi है, जहां कंटूर के पथ को वामावर्त (या किसी भी सकारात्मक रूप से उन्मुख जॉर्डन वक्र के बारे में 0) पर चलने वाली इकाई वृत के रूप में लिया जाता है। इकाई वृत के स्थिति में समाकल का मूल्यांकन करने की सीधी विधि है

$$\oint _{C}{\frac {1}{z}}\,dz.$$

इस समाकल का मूल्यांकन करने में, इकाई वृत्त का उपयोग करें |z| = 1 द्वारा parametrized कंटूर के रूप में z(t) = e^it, साथ t ∈ [0, 2π], तब dz/dt = ie^it और

$$\oint _{C}{\frac {1}{z}}\,dz=\int _{0}^{2\pi }{\frac {1}{e^{it}}}ie^{it}\,dt=i\int _{0}^{2\pi }1\,dt=i\,t{\Big |}_{0}^{2\pi }=\left(2\pi -0\right)i=2\pi i.$$

जो समाकल का मूल्य है।

समाकल प्रमेयों के अनुप्रयोग

समाकल प्रमेय के अनुप्रयोग भी अधिकांश कंटूर के साथ कंटूर समाकलन का मूल्यांकन करने के लिए उपयोग किए जाते हैं, जिसका अर्थ है कि वास्तविक-मूल्यवान समाकल की गणना कंटूर समाकलन की गणना के साथ-साथ की जाती है।

समाकल प्रमेय जैसे कॉची समाकल फॉर्मूला या अवशेष प्रमेय सामान्यतः निम्नलिखित विधि में उपयोग किए जाते हैं:

• विशिष्ट कंटूर चुना गया है:

  कंटूर को इसलिए चुना जाता है जिससे कंटूर जटिल तल के उस हिस्से का अनुसरण करता है जो वास्तविक-मूल्यवान समाकल का वर्णन करता है, और इंटीग्रैंड की विलक्षणताओं को भी सम्मिलित करता है, इसलिए कॉची समाकल सूत्र या अवशेष प्रमेय का अनुप्रयोग संभव है

• कौशी की समाकलन प्रमेय का अनुप्रयोग

  प्रत्येक ध्रुव के बारे में छोटे वृत्त के चारों ओर केवल समाकलन के लिए समाकल अंग कम हो जाता है।

• कॉची समाकल फॉर्मूला या अवशेष प्रमेय का अनुप्रयोग

  इन समाकल फ़ार्मुलों का अनुप्रयोग हमें संपूर्ण कंटूर के आसपास समाकल के लिए मान देता है।

• कंटूर का वास्तविक भाग और काल्पनिक भाग के साथ कंटूर में विभाजन

  पूरे कंटूर को उस कंटूर में विभाजित किया जा सकता है जो जटिल तल के उस भाग का अनुसरण करता है जो वास्तविक-मूल्यवान समाकल का वर्णन करता है जैसा कि पहले (इसे कॉल करें R) चुना गया था, और समाकल जो जटिल तल को पार (इसे कॉल करें I) करता है। पूरे कंटूर पर समाकल इनमें से प्रत्येक कंटूर पर समाकल का योग है।

• प्रदर्शन कि जटिल तल को पार करने वाला समाकल योग में कोई भूमिका नहीं निभाता है

  यदि समाकल I को शून्य के रूप में दिखाया जा सकता है, या यदि मांगा गया वास्तविक-मूल्यवान समाकल अनुचित है, तो यदि हम यह प्रदर्शित करते हैं जैसा कि ऊपर वर्णित I, 0 की ओर जाता है, साथ में समाकल R कंटूर R + I के चारों ओर समाकल अंग की ओर प्रवृत्त होता है।

• निष्कर्ष

  यदि हम उपरोक्त चरण दिखा सकते हैं, तो हम वास्तविक-मूल्यवान समाकल R, की सीधे गणना कर सकते हैं।

उदाहरण 1

समाकल पर विचार करें

$$\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}}\,dx,$$

इस समाकल का मूल्यांकन करने के लिए, हम जटिल-मूल्यवान फलन को देखते हैं

$$f(z)={\frac {1}{\left(z^{2}+1\right)^{2}}}$$

जिसमें i और −i में गणितीय विलक्षणता है। हम कंटूर चुनते हैं जो वास्तविक-मूल्यवान समाकल को घेरता है, यहाँ वास्तविक रेखा पर सीमा व्यास के साथ अर्धवृत्त (मान लीजिए, −a से a की ओर जा रहा हैं) सुविधाजनक होगा। इस कंटूर C कहते हैं

कॉची समाकल सूत्र या अवशेषों की विधि का उपयोग करके आगे बढ़ने के दो विधियाँ हैं:

कॉची समाकल सूत्र का प्रयोग

ध्यान दें कि:

$$\oint _{C}f(z)\,dz=\int _{-a}^{a}f(z)\,dz+\int _{\text{Arc}}f(z)\,dz$$

इस प्रकार

$$\int _{-a}^{a}f(z)\,dz=\oint _{C}f(z)\,dz-\int _{\text{Arc}}f(z)\,dz$$

इसके अतिरिक्त, ध्यान दें

$$f(z)={\frac {1}{\left(z^{2}+1\right)^{2}}}={\frac {1}{(z+i)^{2}(z-i)^{2}}}.$$

चूंकि कंटूर में एकमात्र विलक्षणता i पर है, तो हम लिख सकते हैं

$$f(z)={\frac {\frac {1}{(z+i)^{2}}}{(z-i)^{2}}},$$

जो सूत्र के प्रत्यक्ष अनुप्रयोग के लिए फलन को फॉर्म में रखता है। फिर, कॉची के समाकल सूत्र का उपयोग करके,

$$\oint _{C}f(z)\,dz=\oint _{C}{\frac {\frac {1}{(z+i)^{2}}}{(z-i)^{2}}}\,dz=2\pi i\,\left.{\frac {d}{dz}}{\frac {1}{(z+i)^{2}}}\right|_{z=i}=2\pi i\left[{\frac {-2}{(z+i)^{3}}}\right]_{z=i}={\frac {\pi }{2}}$$

उपरोक्त चरणों में हम पहला व्युत्पन्न लेते हैं, क्योंकि ध्रुव दूसरे क्रम का ध्रुव है। अर्थात्, (z − i) को दूसरी शक्ति पर ले जाया जाता है, इसलिए हम f(z) के पहले अवकलज का उपयोग करते हैं। यदि यह (z − i) को तीसरी घात में ले जाने पर, हम दूसरे अवकलज का प्रयोग करेंगे और 2! से भाग देंगे, आदि पहली शक्ति के लिए (z − i) का स्थिति केवल f(z) ही एक शून्य क्रम व्युत्पन्न से मेल खाता है।

हमें यह दिखाने की आवश्यकता है कि अर्धवृत्त के चाप पर समाकल अनुमान लेम्मा का उपयोग करते हुए एक a → ∞ के रूप में शून्य हो जाता है

$$\left|\int _{\text{Arc}}f(z)\,dz\right|\leq ML$$

जहाँ M |f(z)| पर ऊपरी सीमा है चाप के साथ और L चाप की लंबाई। तब,

$$\left|\int _{\text{Arc}}f(z)\,dz\right|\leq {\frac {a\pi }{\left(a^{2}-1\right)^{2}}}\to 0{\text{ as }}a\to \infty .$$

इसलिए

$$\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}}\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }f(z)\,dz=\lim _{a\to +\infty }\int _{-a}^{a}f(z)\,dz={\frac {\pi }{2}}.\quad \square$$

अवशेषों की विधि का उपयोग करना

की लॉरेंट श्रृंखला पर विचार करें f(z) के बारे में i, एकमात्र विलक्षणता जिस पर हमें विचार करने की आवश्यकता है। हमारे पास तब है

$$f(z)={\frac {-1}{4(z-i)^{2}}}+{\frac {-i}{4(z-i)}}+{\frac {3}{16}}+{\frac {i}{8}}(z-i)+{\frac {-5}{64}}(z-i)^{2}+\cdots$$

(इस श्रृंखला की व्युत्पत्ति के लिए लॉरेंट श्रृंखला से मानक लॉरेंट गणना देखें।)

निरीक्षण से स्पष्ट है कि अवशेष है −i/4, इसलिए, अवशेष प्रमेय द्वारा, हमारे पास है

$$\oint _{C}f(z)\,dz=\oint _{C}{\frac {1}{\left(z^{2}+1\right)^{2}}}\,dz=2\pi i\,\operatorname {Res} _{z=i}f(z)=2\pi i\left(-{\frac {i}{4}}\right)={\frac {\pi }{2}}\quad \square$$

इस प्रकार हमें पहले जैसा ही फल मिलता है।

कंटूर टिप्पणी

एक तरफ के रूप में, सवाल उठ सकता है कि क्या हम −i को बंद करने वाली अन्य विलक्षणता को सम्मिलित करने के लिए अर्धवृत्त नहीं लेते हैं। समाकल को वास्तविक अक्ष के साथ सही दिशा में ले जाने के लिए, कंटूर को घड़ी की सुई की दिशा में चलना चाहिए, अर्थात् नकारात्मक दिशा में, समग्र रूप से समाकल के चिह्न को व्युत्क्रम कर देना चाहिए।

यह श्रृंखला द्वारा अवशेषों की विधि के उपयोग को प्रभावित नहीं करता है।

उदाहरण 2 - कॉची वितरण

समाकल

$$\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{itx}}{x^{2}+1}}\,dx$$

(जो संभाव्यता सिद्धांत में कॉची वितरण के विशिष्ट फलन (संभावना सिद्धांत) के अदिश गुणन के रूप में उत्पन्न होता है) प्राथमिक कलन की विधियोंों का विरोध करता है। हम इसे कंटूर C के साथ कंटूर समाकलन की सीमा के रूप में व्यक्त करके इसका मूल्यांकन करेंगे जो वास्तविक संख्या रेखा के साथ −a से a तक जाता है और फिर a से −a तक 0 पर केंद्रित अर्धचालक के साथ वामावर्त होता है। a को 1 से अधिक होना चाहिये, जिससे काल्पनिक संख्या इकाई i वक्र के अंदर संलग्न हो। कंटूर समाकलन है

$$\int _{C}{\frac {e^{itz}}{z^{2}+1}}\,dz.$$

चूँकि e^itz एक संपूर्ण फलन (जटिल तल में किसी भी बिंदु पर कोई गणितीय विलक्षणता नहीं है) है, इस फलन में विलक्षणताएँ केवल वहीं हैं जहाँ भाजक z² + 1 शून्य है। चूँकि z² + 1 = (z + i)(z − i), यह केवल वहीं होता है जहाँ z = i या z = −i है। उनमें से केवल बिंदु इस कंटूर से घिरे क्षेत्र में है। z = i पर f(z) का अवशेष (जटिल विश्लेषण) है।

$$\lim _{z\to i}(z-i)f(z)=\lim _{z\to i}(z-i){\frac {e^{itz}}{z^{2}+1}}=\lim _{z\to i}(z-i){\frac {e^{itz}}{(z-i)(z+i)}}=\lim _{z\to i}{\frac {e^{itz}}{z+i}}={\frac {e^{-t}}{2i}}.$$

अवशेष प्रमेय के अनुसार, हमारे पास है

$$\int _{C}f(z)\,dz=2\pi i\operatorname {Res} _{z=i}f(z)=2\pi i{\frac {e^{-t}}{2i}}=\pi e^{-t}.$$

कंटूर C को सीधे भाग और घुमावदार चाप में विभाजित किया जा सकता है, जिससे

$$\int _{\text{straight}}+\int _{\text{arc}}=\pi e^{-t},$$

और इस तरह

$$\int _{-a}^{a}=\pi e^{-t}-\int _{\text{arc}}.$$

जॉर्डन की लेम्मा के अनुसार, यदि t > 0 तब

$$\int _{\text{arc}}{\frac {e^{itz}}{z^{2}+1}}\,dz\rightarrow 0{\mbox{ as }}a\rightarrow \infty .$$

इसलिए, यदि t > 0 तब

$$\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{itx}}{x^{2}+1}}\,dx=\pi e^{-t}.$$

चाप के साथ समान तर्क जो चारों ओर घूमता है −i इसके अतिरिक्त i दिखाता है कि यदि t < 0 तब

$$\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{itx}}{x^{2}+1}}\,dx=\pi e^{t},$$

और अंत में हमारे पास यह है:

$$\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{itx}}{x^{2}+1}}\,dx=\pi e^{-|t|}.\quad \square$$

(यदि t = 0 तो समाकल वास्तविक-मूल्यवान कलन विधियों के लिए तुरंत यील्ड करता है और इसका मान π है।)

उदाहरण 3 - त्रिकोणमितीय समाकल

त्रिकोणमितीय फलनों से जुड़े समाकल के लिए कुछ प्रतिस्थापन किए जा सकते हैं, इसलिए समाकल को जटिल वेरिएबल्स के तर्कसंगत फलन में बदल दिया जाता है और फिर समाकल का मूल्यांकन करने के लिए उपरोक्त विधियों का उपयोग किया जा सकता है।

उदाहरण के रूप में विचार करें

$$\int _{-\pi }^{\pi }{\frac {1}{1+3(\cos t)^{2}}}\,dt.$$

हम z = e^it का प्रतिस्थापन करना चाहते हैं। अब, स्मरण करो

$$\cos t={\frac {1}{2}}\left(e^{it}+e^{-it}\right)={\frac {1}{2}}\left(z+{\frac {1}{z}}\right)$$

और

$${\frac {dz}{dt}}=iz,\ dt={\frac {dz}{iz}}.$$

ले रहा C इकाई वृत होने के लिए, हम प्राप्त करने के लिए प्रतिस्थापित करते हैं:

जिन विलक्षणताओं पर विचार किया जाना है, वे ${\tfrac {\pm i}{\sqrt {3}}}$ हैं। मान लीजिए कि C₁ के बारे में ${\tfrac {i}{\sqrt {3}}}$ एक छोटा सा वृत्त हैं और C₂ के बारे में ${\tfrac {-i}{\sqrt {3}}}$ छोटा सा वृत्त हो। फिर हम निम्नलिखित पर पहुंचते हैं:

$$\int _{0}^{2\pi }{\frac {P{\big (}\sin(t),\sin(2t),\ldots ,\cos(t),\cos(2t),\ldots {\big )}}{Q{\big (}\sin(t),\sin(2t),\ldots ,\cos(t),\cos(2t),\ldots {\big )}}}\,dt$$