कार्टेशियन गुणन

समुच्चय $\scriptstyle A=\{x,y,z\}$ और $\scriptstyle B=\{1,2,3\}$ का कार्तीय गुणन $\scriptstyle A\times B$ होगा:

गणित में, विशेष रूप से समुच्चय सिद्धान्त , दो समुच्चय (गणित) A और B का कार्टेशियन गुणन, A × B के रूप में दिखाया जाता है,वह सभी क्रमबद्ध (a, b) का समुच्चय है जहां a, A में है और b, B में है। समुच्चय-बिल्डर नोटेशन के माध्यम से यह निम्नलिखित है:

$A\times B=\{(a,b)\mid a\in A\ {\mbox{ and }}\ b\in B\}.$

एक समुच्चय की पंक्तियों और एक समुच्चय की स्तंभों का कार्टीशियनगुणन लेकर एक तालिका बनायी जा सकती है। यदि पंक्तियां × कॉलम का कार्टेशियन उगुणा लिया जाता है, तो तालिका के कक्षों में पंक्ति मान, स्तंभ मान प्रपत्र के क्रमित जोड़े होती हैं।

समान रूप से n समुच्चय के कार्टेशियनगुणन, जिसे n-आयामी सरणी के रूप में दर्शाया जा सकता है, को परिभाषित किया जा सकता है, जहां प्रत्येक तत्व एक n-पंक्ति होता है, जहां प्रत्येक तत्व एक n- टपल होता है।एक आदेशित जोड़ी एक 2-टपल या कपल होती है। इससे अधिक सामान्य रूप से, समुच्चय के अनुक्रमित परिवार के कार्टेशियन उत्पाद को परिभाषित किया जा सकता है।

कार्टेशियन उत्पाद का नाम रेने डेसकार्टेस के नाम पर रखा गया है, जिसके विश्लेषणात्मक ज्यामिति के सूत्रीकरण ने अवधारणा को जन्म दिया, जिसे प्रत्यक्ष उत्पाद के संदर्भ में आगे सामान्यीकृत किया गया है।

उदाहरण

ताश की गड्डी

मानक 52-कार्ड डेक

एक विवरणात्मक उदाहरण मानक 52-कार्ड डेक है। मानक प्लेयिंग कार्ड रैंक {A, K, Q, J, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2} एक 13-तत्व समुच्चय बनाते हैं। कार्ड सूट {♠, ♥, ♦, ♣} चार-उपादान समुच्चय बनाते हैं इन समुच्चयों का कार्टेशियनगुणनंक एक 52-घटक समुच्चय देता है, जिसमें 52 क्रमशः युग्म होती हैं, जो सभी 52 संभावित खेल कार्ड को प्रतिष्ठित करती हैं।

Ranks × Suits फॉर्म का एक समुच्चय लौटाता है {(ए, ♠), (ए,♥), (ए,♦), (ए,♣), (के,♠), …, (3,♣), (2,♠), (2,♥), (2, ♦), (2, ♣)}.

Suits × Ranks उपादानों के लिए एक ऐसा समुच्चय लौटाता है, जिसका रूप होता है {(♠, A), (♠, K), (♠, Q), (♠, J), (♠, 10), …, (♣, 6), (♣, 5 ), (♣, 4), (♣, 3), (♣, 2)}।

ये दो समुच्चय अलग होते हैं, यद्यपि वे एक प्राकृतिक विजेक्शन के अनुसार होते हैं, जिसके अनुसार (3, ♣) का (♣, 3) के साथ मेल खाता है और ऐसा ही आगे बढ़ता है।

एक द्वि-आयामी समन्वय प्रणाली

उदाहरण बिंदुओं के कार्तीय निर्देशांक

मुख्य ऐतिहासिक उदाहरण विश्लेषणात्मक ज्यामिति में कार्टेशियन प्लेन होता है। संख्यात्मक विधि से ज्यामितीय आकृतियों को प्रतिनिधित्व करने के लिए, और आकृतियों के संख्यात्मक प्रतिनिधित्वों से संख्यात्मक जानकारी निकालने के लिए, रेने डेसकार्टेस ने प्लेन में प्रत्येक बिंदु को वास्तविक संख्याओं की एक जोड़ी सौंपी, जिसे इसके निर्देशांक कहा जाता है। सामान्यतया, ऐसे एक युग्म के पहले और दूसरे घटकों को उसके x और y कोआर्डिनेट कहा जाता है, क्रमशः (चित्र देखें)। इस प्रकार, ऐसे सभी युग्मों का समुच्चय (अर्थात्, वास्तविक संख्याओं को दर्शाने के लिए ℝ×ℝ,कार्टेशियनगुणनंक, जहां ℝ वास्तविक संख्याओं को दर्शाता है) को प्लेन के सभी बिंदुओं को आवंटित किया जाता है।

सबसे आम कार्यान्वयन (समुच्चय सिद्धांत)

Main article: सेट थ्योरी में गणित का कार्यान्वयन

समुच्चय-सिद्धांतिक सिद्धांतों से कार्टेशियनगुणनंक की एक सख्त परिभाषा एक क्रमित युग्म की परिभाषा से आगे बढ़ती है। क्रमित युग्मों की सबसे सामान्य परिभाषा, कुराटोव्स्की की परिभाषा, इस प्रकार है:$(x,y)=\{\{x\},\{x,y\}\}$. इस परिभाषा के अनुसार, $(x,y)$ एक ऐसा तत्व है जो ${\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(X\cup Y))$,का एक उपादान होता है, और $X\times Y$ उउस समुच्चय का एक उपसमुच्चय होता है, जहां ${\mathcal {P}}$ सत्ता स्थापित ऑपरेटर का प्रतिनिधित्व करता है। इस प्रकार, ZFC में किन्हीं दो समुच्चयों के कार्टेशियन उत्पाद का अस्तित्व युग्मन के स्वयंसिद्ध, संघ के स्वयंसिद्ध, शक्ति समुच्चय के स्वयंसिद्ध और विनिर्देशन के स्वयंसिद्ध स्कीमा से अनुसरण करता है। चूंकि फ़ंक्शन (गणित) को सामान्यतः संबंध (गणित) के एक विशेष स्थितियोंके रूप में परिभाषित किया जाता है, और संबंधों को सामान्यतः कार्टेशियन उत्पाद के सबसमुच्चय के रूप में परिभाषित किया जाता है, दो-समुच्चय कार्टेशियन उत्पाद की परिभाषा आवश्यक रूप से अधिकांश अन्य परिभाषाओं से पहले होती है।

गैर-कम्यूटेटिविटी और गैर-एसोसिएटिविटी

A, B, C और D समुच्चय हैं।

कार्टेशियन उत्पाद A × B क्रमविनिमेय नहीं होता है,

$A\times B\neq B\times A,$

क्योंकि क्रमित युग्म पलट जाते हैं जब तक निम्न में से कम से कम एक शर्त पूरी नहीं होती है:

• A B के बराबर है, या
• A या B रिक्त समुच्चय है।

उदाहरण के लिए:

A = {1,2}; B = {3,4}

A × B = {1,2} × {3,4} = {(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)}

B × A = {3,4} × {1,2} = {(3,1), (3,2), (4,1), (4,2)}

A = B = {1,2}

A × B = B × A = {1,2} × {1,2} = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2)}

A = {1,2}; B = ∅

A × B = {1,2} × ∅ = ∅

B × A = ∅ × {1,2} = ∅

सख्त रूप से कहें तो, कार्टेशियनगुणनंक संयोज्य नहीं होता है (जब तक संबंधित समुच्चयों में से कोई भी खाली नहीं है)।

$(A\times B)\times C\neq A\times (B\times C)$

यदि उदाहरण के लिए A = {1}, तो (A × A) × A = {((1, 1), 1)} ≠ {(1, (1, 1))} = A × (A × A).

चौराहे, संघ, और सबसमुच्चय

See also: सेट पहचान और संबंधों की सूची

Example sets

A = {y ∈ ℝ : 1 ≤ y ≤ 4}, B = {x ∈ ℝ : 2 ≤ x ≤ 5},
and C = {x ∈ ℝ : 4 ≤ x ≤ 7}, demonstrating
A × (B∩C) = (A×B) ∩ (A×C),
A × (B∪C) = (A×B) ∪ (A×C), and

A × (B \ C) = (A×B) \ (A×C)

Example sets

A = {x ∈ ℝ : 2 ≤ x ≤ 5}, B = {x ∈ ℝ : 3 ≤ x ≤ 7},
C = {y ∈ ℝ : 1 ≤ y ≤ 3}, D = {y ∈ ℝ : 2 ≤ y ≤ 4}, demonstrating

(A∩B) × (C∩D) = (A×C) ∩ (B×D).

(A∪B) × (C∪D) ≠ (A×C) ∪ (B×D) can be seen from the same example.

कार्टेशियन उत्पाद इंटरसेक्शन (समुच्चय सिद्धांत) के संबंध में निम्नलिखित गुण संतुष्टि को पूरा करता है (मध्य चित्र देखें)।

$(A\cap B)\times (C\cap D)=(A\times C)\cap (B\times D)$

अधिकांश स्थितियों में, उपरोक्त कथन सत्य नहीं है यदि हम चौराहे को संघ (समुच्चय सिद्धांत) से बदल दें (सबसे दाहिनी तस्वीर देखें)।

$$(A\cup B)\times (C\cup D)\neq (A\times C)\cup (B\times D)$$

वास्तव में, हमारे पास वह है:

$$(A\times C)\cup (B\times D)=[(A\setminus B)\times C]\cup [(A\cap B)\times (C\cup D)]\cup [(B\setminus A)\times D]$$

समुच्चय अंतर के लिए, हमारे पास निम्न पहचान भी है:

$$(A\times C)\setminus (B\times D)=[A\times (C\setminus D)]\cup [(A\setminus B)\times C]$$

अन्य ऑपरेटरों के साथ वितरण प्रदर्शित करने वाले कुछ नियम यहां दिए गए हैं (सबसे बाईं तस्वीर देखें):

$${\begin{aligned}A\times (B\cap C)&=(A\times B)\cap (A\times C),\\A\times (B\cup C)&=(A\times B)\cup (A\times C),\\A\times (B\setminus C)&=(A\times B)\setminus (A\times C),\end{aligned}}$$

$(A\times B)^{\complement }=\left(A^{\complement }\times B^{\complement }\right)\cup \left(A^{\complement }\times B\right)\cup \left(A\times B^{\complement }\right)\!,$

जहाँ $A^{\complement }$ A के पूर्ण पूरक है जिसे वैशिष्ट्यिक रूप से प्रदर्शित किया जाता है।

उपसमुच्चय से संबंधित अन्य गुण हैं:

$${\text{if }}A\subseteq B{\text{, then }}A\times C\subseteq B\times C;$$

${\text{if both }}A,B\neq \emptyset {\text{, then }}A\times B\subseteq C\times D\!\iff \!A\subseteq C{\text{ and }}B\subseteq D.$

कार्डिनैलिटी

See also: कार्डिनल अंकगणित

समुच्चय की प्रमुखता समुच्चय के तत्वों की संख्या होती है। उदाहरण के लिए, दो समुच्चयों को परिभाषित करें: A = {a, b} और B = {5, 6}. समुच्चय A और समुच्चय B दोनों में दो-दो अवयव हैं। उनका कार्टेशियन उत्पाद, A × B, के रूप में लिखा गया निम्नलिखित तत्वों को प्राप्त करता है:

A × B = {(a,5), (a,6), (b,5), (b,6)}.

जहां प्रत्येक A का तत्व B के प्रत्येक तत्व के साथ जोड़ा जाता है, और प्रत्येक जोड़ी को आउटपुट समुच्चय का एक तत्व बनाती है। प्राप्त समुच्चय के प्रत्येक तत्व में मूल तत्वों की संख्या प्राप्त करने के लिए होती है; इस स्थितियों में 2। आउटपुट समुच्चय की कार्डिनैलिटी सभी इनपुट समुच्चयों की कार्डिनैलिटी के गुणक के बराबर होती है। अर्थात,

|A × B| = |A| · |B|.

इस स्थितियों में, | A × B | = 4

उसी प्रकार

|A × B × C| = |A| · |B| · |C|

और इसी प्रकार और भी।

यदि A या B में से कोई भी एक समुच्चय अनंत है और दूसरा समुच्चय खाली समुच्चय नहीं है, तो समुच्चय A × B अनंत होता है।

कई समुच्चयों के कार्टेशियन उत्पाद

एन-एरी कार्टेशियन उत्पाद

कार्टेशियन उत्पाद को n-एरी कार्टेशियन उत्पाद के लिए n समुच्चय X₁, ..., X_n समुच्चय के रूप में सामान्यीकृत किया जा सकता है

$X_{1}\times \cdots \times X_{n}=\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\mid x_{i}\in X_{i}\ {\text{for every}}\ i\in \{1,\ldots ,n\}\}$

n-टुपल्स का, यदि टुपल्स को नेस्टेड क्रमित जोड़े के रूप में परिभाषित किया जाता है, तो इसे (X₁ × ⋯ × X_n−1) × X_n. से पहचाना जा सकता है। यदि टपल को {1, 2, …, n} पर फ़ंक्शन के रूप में परिभाषित किया गया है, जो i पर इसके मान को टपल का iवां तत्व मानता है, तो कार्तीय उत्पाद X₁×⋯×X_n फ़ंक्शन का समुच्चय है

$\{x:\{1,\ldots ,n\}\to X_{1}\cup \cdots \cup X_{n}\ |\ x(i)\in X_{i}\ {\text{for every}}\ i\in \{1,\ldots ,n\}\}.$

एन-एरी कार्तीय शक्ति

एक समुच्चय X का कार्तीय वर्ग कार्तीय उत्पाद X² = X × X है।

एक उदाहरण 2-आयामी प्लेन (गणित) है R² = R × R जहां R वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है:R² सभी बिंदुओं का समुच्चय है (x,y) जहां x और y वास्तविक संख्याएं हैं (कार्टेशियन समन्वय प्रणाली देखें)।

एक समुच्चय X की 'एन-एरी कार्टेशियन पावर', निरूपित $X^{n}$, के रूप में परिभाषित किया जा सकता है

$X^{n}=\underbrace {X\times X\times \cdots \times X} _{n}=\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\ |\ x_{i}\in X\ {\text{for every}}\ i\in \{1,\ldots ,n\}\}.$

इसका R³ = R × R × R उदाहरण है , R के साथ फिर से वास्तविक संख्याओं का समुच्चय,और अधिक सामान्यतः Rⁿ.

समुच्चय X की n-यांत्रिक कार्टेशियन शक्ति एक n-एलिमेंट समुच्चय से X के कार्यों के स्थान पर समाकृतिकता होती है। एक विशेष स्थितियोंके रूप में, X की 0-यांत्रिक कार्टेशियन शक्ति को एक सिंगलटन समुच्चय के रूप में लिया जा सकता है, जो इसके अनुरूप है कोडोमेन X के के रिक्ति फ़ंक्शन के साथ होता है।

अनंत कार्टेशियन उत्पाद

किसी भी अनिश्चित (संभावित अनंत) इंडेक्स समुच्चय के साथ एक विचित्र (संभावित अनंत) इंडेक्स वाले समुच्चय परिवार का कार्टेशियन उत्पाद परिभाषित किया जा सकता है। यदि I सूचकांक समुच्चय , और $\{X_{i}\}_{i\in I}$ I द्वारा इंडेक्स किए गए समुच्चयों का एक परिवार है, तो$\{X_{i}\}_{i\in I}$ में समुच्चयों का कार्टेशियन उत्पाद को निर्धारित किया जाता है।

$\prod _{i\in I}X_{i}=\left\{\left.f:I\to \bigcup _{i\in I}X_{i}\ \right|\ (\forall i\in I)(f(i)\in X_{i})\right\},$

अर्थात्,I इंडेक्स समुच्चय पर परिभाषित सभी फ़ंक्शंस का समुच्चय जैसे कि किसी विशेष इंडेक्स पर फ़ंक्शन का मान X_i का एक तत्व होता है। चूंकि, प्रत्येक X_i अखाली नहीं है, तो कार्टेशियन उत्पाद खाली हो सकता है यदि पसंद का स्वयंसिद्ध, जो इस कथन के बराबर है कि ऐसा प्रत्येक उत्पाद गैर-खाली है, नहीं माना जाता है।

प्रत्येक j जहां I में होता है, फ़ंक्शन

$\pi _{j}:\prod _{i\in I}X_{i}\to X_{j},$

द्वारा परिभाषित $\pi _{j}(f)=f(j)$ 'जे' वें प्रोजेक्शन (गणित) कहा जाता है।

कार्टेशियन पावर एक कार्टेशियन उत्पाद है जहां सभी कारक 'X_i' हैंसमान समुच्चय X हैं। इस स्थिति में,

$\prod _{i\in I}X_{i}=\prod _{i\in I}X$

X^I को X पर I से सभी फ़ंक्शनों का समुच्चय माना जाता है, और इसे अधिकांशतः X^I के रूप में दर्शाया जाता है। यह मामला कार्डिनल घातांक के अध्ययन में महत्वपूर्ण है। एक महत्वपूर्ण विशेष मामला यह होता है जब इंडेक्स समुच्चय $\mathbb {N}$, प्राकृतिक संख्याएँ: होती हैं: यह कार्टेशियन उत्पाद सभी अनंतक्रमों का समुच्चय होता है जिसमें iवें तत्व के संबंधित समुच्चय X_i में होता है। उदाहरण के लिए, प्रत्येक तत्व.

$\prod _{n=1}^{\infty }\mathbb {R} =\mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \cdots$

यूक्लिडियन वेक्टर के रूप में कल्पना की जा सकती है जिसमें अनगिनत वास्तविक संख्या घटक होते हैं। इस समुच्चय को अधिकांशतः $\mathbb {R} ^{\omega }$, या $\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }$.निरूपित किया जाता है ।

अन्य रूप

संक्षिप्त रूप

यदि कई समुच्चयों को साथ मेंगुणन किया जा रहा है (जैसे, X₁, X₂, X₃, ….), तो कुछ लेखक कार्टेशियन उत्पाद को सरलता से ×X_i के रूप में संक्षेपित करने का चुनाव करते हैं।

कार्यों का कार्टेशियन उत्पाद

यदि f X से A तक एक फ़ंक्शन है और g Y से B तक एक फ़ंक्शन है, तो उनका कार्टेशियन उत्पाद f × g, X × Y से A × B तक एक फ़ंक्शन है जिसके साथ

$(f\times g)(x,y)=(f(x),g(y)).$ होता है।

यह ट्यूपल्स और फ़ंक्शनों के असीमित संग्रहों तक विस्तारित किया जा सकता है। यह सामान्यतः समुच्चय के रूप में मान्यता प्राप्त कार्टेशियन उत्पाद से अलग है।

सिलेंडर

होने देना $A$ एक समुच्चय हो और $B\subseteq A$. फिर का सिलेंडर $B$ इसके संबंध में $A$ कार्तीय उत्पाद है $B\times A$ का $B$ और $A$.

सामान्य रूप से, $A$ संदर्भ का ब्रह्मांड (गणित) माना जाता है और छोड़ दिया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि $B$ प्राकृतिक संख्याओं का एक उपसमुच्चय है $\mathbb {N}$, फिर $B$ का सिलेंडर $B\times \mathbb {N}$ है .

समुच्चय सिद्धांत के बाहर परिभाषाएँ

श्रेणी सिद्धांत

चूंकि कार्तीय उत्पाद परंपरागत रूप से समुच्चय पर लागू होता है, श्रेणी सिद्धांत गणितीय संरचनाओं के उत्पाद (श्रेणी सिद्धांत) की अधिक सामान्य व्याख्या प्रदान करता है। यह कैटेगरी सिद्धांत के अन्तर्गत कार्टेशियन वर्ग के विचार से अलग, लेकिन संबंधित होता है, जो एक फाइबर उत्पाद का एक सामान्यीकरण होता है।

घातीय वस्तु कार्टेशियन उत्पाद का सही आसन्न है; इस प्रकार कार्टेशियन उत्पाद (और एक अंतिम वस्तु) वाली कोई भी श्रेणी कार्टेशियन बंद श्रेणी कहा जाता है।

ग्राफ सिद्धांत

ग्राफ सिद्धांत में, दो ग्राफ G और H का कार्टेशियन गुण G × H, द्वारा प्रतिष्ठापित किया जाता है, जिसका शिखर समूह (साधारणतः) कार्टेशियन गुण V(G) × V(H) होता है और जिसमें दो शिखर (u,v) और (u′,v′), G × H, में आपस में संबंधित होते हैं, यदि और केवल यदि u = u′ और v, H में v′ में संबंधित हैं, या v = v′ है औरu, u′ G में संबंधित हैं। ग्राफों का कार्टेशियन गुण श्रेणी सिद्धांत के संदर्भ में एक उत्पाद नहीं है। इसके अतिरिक्त, श्रेणीय उत्पाद को ग्राफों का टेंसर उत्पाद कहा जाता है।

यह भी देखें

• द्विआधारी संबंध
• संयोजन तार के समुच्चय का संयोजन
• सहउत्पाद
• पार उत्पाद
• समूहों का प्रत्यक्ष उत्पाद
• खाली उत्पाद
• यूक्लिडियन अंतरिक्ष
• घातीय वस्तु
• परिमित संबंध
• जॉइन (एसक्यूएल) क्रॉस जॉइन | जॉइन (एसक्यूएल) § क्रॉस जॉइन
• कुल ऑर्डर पूरी प्रकार से ऑर्डर किए गए समुच्चय के कार्टेशियन उत्पाद पर ऑर्डर
• शक्ति समुच्चय का स्वयंसिद्ध परिणाम (कार्टेशियन उत्पाद के अस्तित्व को सिद्ध करने के लिए)
• उत्पाद (श्रेणी सिद्धांत)
• उत्पाद टोपोलॉजी
• उत्पाद का प्रकार
• अल्ट्राप्रोडक्ट

बाहरी संबंध

• Cartesian Product at ProvenMath
• "Direct product", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• How to find the Cartesian Product, Education Portal Academy