क्रमविनिमेय बीजगणित पर विभेदक कलन

गणित में क्रमविनिमेय बीजगणित पर विभेदक कलन क्रमविनिमेय बीजगणित का एक हिस्सा है जो इस अवलोकन पर आधारित है कि पारम्परिक अंतर कलन से ज्ञात अधिकांश अवधारणाओं को विशुद्ध रूप से बीजगणितीय शब्दों में तैयार किया जा सकता है। इसके उदाहरण हैं:

1. सुचारू बहुविध की संपूर्ण सांस्थितिक जानकारी $M$ इसके $\mathbb {R}$ के बीजगणितीय गुणों में एन्कोड किया गया है -सुचारु कार्यों का बीजगणित (रिंग सिद्धांत) $A=C^{\infty }(M)$ है जैसा कि बानाच-स्टोन प्रमेय में है।
2. $M$ के ऊपर सदिश समूह, $A$ के ऊपर जनित अंतिम रूप से उत्पन्न अनुखंड के अनुरूप होते हैं, प्रकार्यक $\Gamma$ के माध्यम से जो एक सदिश बंडल के अनुभागों के अनुखंड से जुड़ता है।
3. सदिश फ़ील्ड चालू $M$ स्वाभाविक रूप से बीजगणित $A$ की निष्पादन (अमूर्त बीजगणित) से पहचाने जाते हैं।
4. अधिक सामान्यतः, अनुक्रम k का एक रैखिक अंतरीय संचालक, दूसरे बंडल के अनुभाग $F\rightarrow M$ के लिए एक सदिश बंडल के अनुभाग $E\rightarrow M$ में भेजता है जिसे एक $\mathbb {R}$ -रैखिक मानचित्र के रूप में देखा जाता है। $\Delta :\Gamma (E)\to \Gamma (F)$ संबंधित मापांक के बीच, जैसे कि किसी भी $k+1$ तत्व $f_{0},\ldots ,f_{k}\in A$ के लिए :

$$\left[f_{k}\left[f_{k-1}\left[\cdots \left[f_{0},\Delta \right]\cdots \right]\right]\right]=0$$

जहां ब्रैकेट $[f,\Delta ]:\Gamma (E)\to \Gamma (F)$ दिक्परिवर्तक के रूप में परिभाषित किया गया है

$$[f,\Delta ](s)=\Delta (f\cdot s)-f\cdot \Delta (s).$$

A-मापांक P से A-मापांक Q तक kवें क्रम $\mathrm {Diff} _{k}(P,Q)$ के रैखिक अंतर संचालक के सम्मुच्चय को दर्शाते हुए, हम इन मूल्य A-मापांक की श्रेणी के साथ एक द्वि-प्रकार्यक प्राप्त करते हैं। हम श्रेणी (गणित) में मान के साथ एक द्वि-प्रकार्यक प्राप्त करते हैं। कैलकुलस की अन्य प्राकृतिक अवधारणाएँ जैसे कि जेट स्पेस, अंतरीय रूप फिर प्रकार्यक और संबंधित प्रकार्यक की वस्तुओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए विभेदक रूप प्राप्त किए जाते हैं।

इस दृष्टिकोण से देखने पर कैलकुलस को वास्तव में इन कारक और उनकी प्रतिनिधित्व करने वाली वस्तुओं के सिद्धांत के रूप में समझा जा सकता है।

वास्तविक संख्या $\mathbb {R}$ को किसी भी क्रमविनिमेय वलय से तथा बीजगणित $C^{\infty }(M)$ को किसी भी क्रमविनिमेय बीजगणित से प्रतिस्थापित करने पर उपरोक्त कहा गया अर्थपूर्ण रहता है, इसलिए स्वेच्छाचारी ढंग से क्रमविनिमेय बीजगणित के लिए विभेदक कलन विकसित किया जा सकता है। इनमें से कई अवधारणाएँ बीजगणितीय ज्यामिति, विभेदक ज्यामिति और माध्यमिक कैलकुलस और कोहोमोलॉजिकल भौतिकी में व्यापक रूप से उपयोग की जाती हैं। इसके अतिरिक्त, सिद्धांत सुपरकम्यूटेटिव बीजगणित के समायोजन को स्वाभाविक रूप से बहुविध सामान्यीकृत करता है, जिससे बहुविध, वर्गीकृत बहुविध, और बेरेज़िन अभिन्न जैसी संबंधित अवधारणाओं पर कैलकुलस की प्राकृतिक नींव की अनुमति मिलती है।

यह भी देखें

• सेकेंडरी कैलकुलस और कोहोमोलॉजिकल फिजिक्स
• विभेदक बीजगणित
• एक वलय का वर्णक्रम

संदर्भ

• J. Nestruev, Smooth Manifolds and Observables, Graduate Texts in Mathematics 220, Springer, 2002.
• Nestruev, Jet (10 September 2020). Smooth Manifolds and Observables. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 220. Cham, Switzerland: Springer Nature. ISBN 978-3-030-45649-8. OCLC 1195920718.
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