गुणनफल

गणित में, एक गुणनफल गुणन का परिणाम होता है, या एक व्यंजक जो गुणन के लिए वस्तुओं (संख्याओं या चरों) की पहचान करता है, गुणक कहलाते हैं। उदाहरण के लिए, 30 6 और 5 (गुणा का परिणाम) का गुणनफल है, और $x\cdot (2+x)$ का गुणनफल है $x$ और $(2+x)$ (यह दर्शाता है कि दो कारकों को एक साथ गुणा किया जाना चाहिए)।

जिस क्रम में वास्तविक संख्या या सम्मिश्र संख्याओ को गुणा किया जाता है, उसका गुणनफल पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता; इसे गुणन की क्रमविनिमेयता के रूप में जाना जाता है। जब आव्यूह (गणित) या विभिन्न अन्य साहचर्य बीजगणित के इकाइयों को गुणा किया जाता है, तो गुणनफल सामान्य रूप से कारकों के क्रम पर निर्भर करता है। आव्यूह गुणन, उदाहरण के लिए, गैर-क्रमविनिमेय है, और ऐसा ही सामान्य रूप से अन्य बीजगणितों में भी गुणन है।

गणित में कई अलग-अलग प्रकार के गुणनफल हैं: केवल संख्याओं, बहुपदों या आव्यूहों का गुणन करने में सक्षम होने के अतिरिक्त, कोई भी अनेक भिन्न बीजगणितीय संरचनाओं पर गुणनफलों को परिभाषित कर सकता है।

दो संख्याओं का गुणनफल

यह खंड गुणन § परिभाषाओं का एक अंश है।

दो संख्याओं का गुणनफल या दो संख्याओं के बीच गुणन को सामान्य विशेष स्थितियों के लिए परिभाषित किया जा सकता है: पूर्णांक, प्राकृतिक संख्याएँ, भिन्न वास्तविक संख्याएँ, सम्मिश्र संख्याएँ और चतुष्कोण।

अनुक्रम का गुणनफल

अनुक्रम के गुणनफल के लिए गुणनफल संक्रियक को बड़े ग्रीक अक्षर φ Π द्वारा (बड़े सिग्मा Σ के योग प्रतीक के रूप में उपयोग के अनुरूप) द्वारा निरूपित किया जाता है।^[1] उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति $\textstyle \prod _{i=1}^{6}i^{2}$ लिखने का एक और तरीका $1\cdot 4\cdot 9\cdot 16\cdot 25\cdot 36$ है।^[2]

केवल एक संख्या वाले अनुक्रम का गुणनफल केवल वही संख्या होती है; बिना किसी कारक के गुणनफल को रिक्‍त गुणनफल के रूप में जाना जाता है, और यह 1 के बराबर है।

क्रमविनिमेय वलय

क्रमविनिमेय वलय का एक गुणनफल संक्रिया होती है।

पूर्णांकों के अवशेष वर्ग

वलयों में अवशेष कक्षाएं $\mathbb {Z} /N\mathbb {Z}$ जोड़ा जा सकता है:

(a+N\mathbb {Z} )+(b+N\mathbb {Z} )=a+b+N\mathbb {Z}

और गुणा:

(a+N\mathbb {Z} )\cdot (b+N\mathbb {Z} )=a\cdot b+N\mathbb {Z}

संवलन

स्क्वायर वेव का संवलन अपने आप में त्रिकोणीय फलन देता है

वास्तविक से दोफलन को दूसरे तरीके से गुणा किया जा सकता है, जिसे संवलन कहा जाता है।

यदि

\int \limits _{-\infty }^{\infty }|f(t)|\,\mathrm {d} t<\infty \qquad {\mbox{and}}\qquad \int \limits _{-\infty }^{\infty }|g(t)|\,\mathrm {d} t<\infty ,

फिर अभिन्न

(f*g)(t)\;:=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(\tau )\cdot g(t-\tau )\,\mathrm {d} \tau

अच्छी तरह से परिभाषित है और इसे संवलन कहा जाता है।

फूरियर रूपांतरण के अंतर्गत, संवलन बिन्दुवार फलन गुणन बन जाता है।

बहुपदीय वलय

दो बहुपदों का गुणनफल निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है:

\left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}\right)\cdot \left(\sum _{j=0}^{m}b_{j}X^{j}\right)=\sum _{k=0}^{n+m}c_{k}X^{k}

साथ

c_{k}=\sum _{i+j=k}a_{i}\cdot b_{j}

रैखिक बीजगणित में गुणनफल

रैखिक बीजगणित में कई प्रकार के गुणनफल होते हैं। इनमें से कुछ के नाम ( बाह्य गुणनफल, बहिर्भाग गुणनफल) बहुत अलग अर्थों के साथ अस्पष्टतः समान नाम हैं, जबकि अन्य के बहुत अलग नाम हैं (बाहरी गुणनफल, प्रदिश गुणनफल, क्रोनकर गुणनफल) और फिर भी अनिवार्य रूप से एक ही विचार व्यक्त करते हैं। इनका संक्षिप्त विवरण निम्नलिखित अनुभागों में दिया गया है।

अदिश गुणन

सदिश स्थान की बहुत परिभाषा के अनुसार, कोई भी सदिश के साथ किसी भी अदिश के गुणनफल का निर्माण कर सकता है, जिससे एक मानचित्र $\mathbb {R} \times V\rightarrow V$ प्राप्त होता है।

अदिश गुणनफल

एक अदिश गुणनफल एक द्वि-रैखिक मानचित्र है:

\cdot :V\times V\rightarrow \mathbb {R}

निम्नलिखित शर्तों के साथ, कि $v\cdot v>0$ या सभी $0\not =v\in V$ .

अदिश गुणनफल से, कोई मानक (गणित) को परिभाषित कर सकता है $\|v\|:={\sqrt {v\cdot v}}$ .

अदिश गुणनफल भी किसी को दो वैक्टरों के बीच कोण को परिभाषित करने की स्वीकृति देता है:

\cos \angle (v,w)={\frac {v\cdot w}{\|v\|\cdot \|w\|}}

में $n$ -आयामी यूक्लिडियन समष्‍टि, मानक अदिश गुणनफल ( डॉट गुणनफल कहा जाता है) द्वारा दिया गया है:

\left(\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}e_{i}\right)\cdot \left(\sum _{i=1}^{n}\beta _{i}e_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}\,\beta _{i}

3-आयामी समष्‍टि में अन्योन्य गुणनफल

3-आयामों में दो सदिशों का अन्योन्य गुणनफल दो कारकों के लिए एक सदिश लंबवत है, जिसकी लंबाई दो कारकों द्वारा विस्तारित समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल के बराबर है।

अन्योन्य गुणनफल को औपचारिक ^{[lower-alpha 1]} निर्धारक के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है:

\mathbf {u\times v} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\u_{1}&u_{2}&u_{3}\\v_{1}&v_{2}&v_{3}\\\end{vmatrix}}

रैखिक मानचित्रण की संरचना

एक रैखिक मानचित्रण को दो वेक्टर रिक्त स्थान V और W के बीच एक फलन f के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, जिसमें अंतर्निहित क्षेत्र 'F' उपयुक्त है^[3]

f(t_{1}x_{1}+t_{2}x_{2})=t_{1}f(x_{1})+t_{2}f(x_{2}),\forall x_{1},x_{2}\in V,\forall t_{1},t_{2}\in \mathbb {F} .

यदि कोई केवल परिमित आयामी वेक्टर रिक्त स्थान पर विचार करता है, तो

f(\mathbf {v} )=f\left(v_{i}\mathbf {b_{V}} ^{i}\right)=v_{i}f\left(\mathbf {b_{V}} ^{i}\right)={f^{i}}_{j}v_{i}\mathbf {b_{W}} ^{j},

जिसमें b_Vऔर b_W V और W, के आधार (रैखिक बीजगणित) को निरूपित करते है औरv_i, b_Vⁱ पर v के घटक को निरूपित करते हैं, और आइंस्टीन संकलन संकेतन लागू किया जाता है।

अब हम परिमित आयामी सदिश समष्टियों के बीच दो रैखिक मानचित्रणों की संरचना पर विचार करते हैं। रैखिक प्रतिचित्रण f को V से W तक प्रतिचित्र करे, और रैखिक प्रतिचित्रण g को W से U तक प्रतिचित्र फिर कोई प्राप्त कर सकता है

g\circ f(\mathbf {v} )=g\left({f^{i}}_{j}v_{i}\mathbf {b_{W}} ^{j}\right)={g^{j}}_{k}{f^{i}}_{j}v_{i}\mathbf {b_{U}} ^{k}.

या आव्यूह रूप में:

g\circ f(\mathbf {v} )=\mathbf {G} \mathbf {F} \mathbf {v} ,

जिसमें 'F' की i-पंक्ति, j-कॉलम तत्व,F_ij,f^j_i G_ij=g^j_i द्वारा द्वारा निरूपित किया जाता है।

दो से अधिक रैखिक प्रतिचित्रण की संरचना को समान रूप से आव्यूह गुणन की श्रृंखला द्वारा दर्शाया जा सकता है।

दो आव्यूहों का गुणनफल

दो आव्यूह दिए गए हैं

A=(a_{i,j})_{i=1\ldots s;j=1\ldots r}\in \mathbb {R} ^{s\times r}

और

B=(b_{j,k})_{j=1\ldots r;k=1\ldots t}\in \mathbb {R} ^{r\times t}

उनके गुणनफल द्वारा दिया गया है

B\cdot A=\left(\sum _{j=1}^{r}a_{i,j}\cdot b_{j,k}\right)_{i=1\ldots s;k=1\ldots t}\;\in \mathbb {R} ^{s\times t}

आव्यूह गुणनफल के रूप में रैखिक फलन की संरचना

रैखिक फलन की संरचना और दो आव्यूहों के गुणनफल के बीच एक संबंध है। इसे देखने के लिए, मान लीजिए कि r = dim(U), s = dim(V) और t = dim(W) सदिश समष्टियों U, V और W के (परिमित) विमाये (गणित) हैं। मान लीजिए

 ${\mathcal {U}}=\{u_{1},\ldots ,u_{r}\}$  U का एक आधार (रैखिक बीजगणित) हो,
 ${\mathcal {V}}=\{v_{1},\ldots ,v_{s}\}$  V और का आधार बनें और
 ${\mathcal {W}}=\{w_{1},\ldots ,w_{t}\}$  W का आधार हो। इस आधार के संदर्भ में, मान लो

$A=M_{\mathcal {V}}^{\mathcal {U}}(f)\in \mathbb {R} ^{s\times r}$ f : U → V और का प्रतिनिधित्व करने वाला आव्यूह बनें

 $B=M_{\mathcal {W}}^{\mathcal {V}}(g)\in \mathbb {R} ^{r\times t}$  g : V → W को निरूपित करने वाला आव्यूह हो। तब

B\cdot A=M_{\mathcal {W}}^{\mathcal {U}}(g\circ f)\in \mathbb {R} ^{s\times t}

आव्यूह प्रतिनिधित्व कर रहा है $g\circ f:U\rightarrow W$ .

दूसरे शब्दों में: आव्यूह गुणनफल रैखिक फलन की संरचना के निर्देशांक में विवरण है।

वेक्टर रिक्त स्थान का प्रदिश गुणनफल

दो परिमित आयामी सदिश स्थान V और W दिए गए हैं, उनमें से प्रदिश गुणनफल को (2,0) -प्रदिश उपयुक्त के रूप में परिभाषित किया जा सकता है:

V\otimes W(v,m)=V(v)W(w),\forall v\in V^{*},\forall w\in W^{*},

जहां V^* और W^*, V और W के दोहरे स्थान को दर्शाता है।^[4]

अनंत-आयामी वेक्टर रिक्त स्थान के लिए, एक के पास भी है:

प्रदिश गुणनफल, बाहरी गुणनफल और क्रोनकर गुणनफल सभी एक ही सामान्य विचार व्यक्त करते हैं। इनके बीच अंतर यह है कि क्रोनकर गुणनफल पहले से नियुक्त आधार के संबंध में आव्यूह का एक प्रदिश गुणनफल है, जबकि प्रदिश गुणनफल सामान्य रूप से इसके प्रदिश (आंतरिक परिभाषा) में दिया जाता है। बाहरी गुणनफल केवल क्रोनकर गुणनफल है, जो वैक्टर (आव्यूह के अतिरिक्त) तक सीमित है।

एक प्रदिश गुणनफल के साथ सभी वस्तुओं का वर्ग

सामान्य रूप से, जब भी किसी के पास दो गणितीय वस्तु (श्रेणी सिद्धांत) होती है जिसे इस तरह से जोड़ा जा सकता है जो एक रैखिक बीजगणित प्रदिश गुणनफल की तरह व्यवहार करता है, तो इसे सामान्य रूप से एक मोनोइडल श्रेणी के आंतरिक गुणनफल के रूप में समझा जा सकता है। अर्थात्, मोनोइडल श्रेणी एक प्रदिश गुणनफल के अर्थ को सही से सम्मिलित है; यह बिल्कुल इस धारणा को अधिग्रहण कर लेता है कि ऐसा क्यों है कि प्रदिश गुणनफल जिस तरह से व्यवहार करते हैं। अधिक यथावत रूप से, एक मोनोइडल श्रेणी सभी रचना का वर्ग है (किसी दिए गए प्रकार के सिद्धांत का) जिसमें एक प्रदिश गुणनफल होता है।

रैखिक बीजगणित में अन्य गुणनफल

रैखिक बीजगणित में अन्य प्रकार के गुणनफलों में सम्मिलित हैं:

हैडमार्ड गुणनफल (आव्यूह)
क्रोनकर गुणनफल
टेन्सर का गुणनफल:
- वेज गुणनफल या बाहरी बीजगणित
- आंतरिक गुणनफल
- बाहरी गुणनफल
- प्रदिश गुणनफल

कार्तीय गुणनफल

समुच्चय सिद्धांत में, कार्तीय गुणनफल एक गणितीय संक्रिया है जो कई समुच्चय से एक समुच्चय (गणित) (या गुणनफल समुच्चय) देता है। अर्थात, कार्तीय गुणनफल A और B के लिए समुच्चय के लिए A × B सभी क्रमित युग्मों (a, b) का समुच्चय है -जहां पर a ∈ A और b ∈ B है।^[5]

सभी का वर्ग (किसी दिए गए प्रकार के सिद्धांत का) जिसमें कार्तीय गुणनफलों को कार्तीय मोनोइडल श्रेणी कहा जाता है। इनमें से कई कार्तीय संवृत्त श्रेणी हैं। समुच्चय ऐसी वस्तुओं का एक उदाहरण हैं।

रिक्त गुणनफल

संख्याओं और अधिकांश बीजगणितीय संरचनाओं पर रिक्त गुणनफल का मान 1 (गुणन का पहचान तत्व) होता है, यथावत उसी तरह जैसे रिक्त योग का मान 0 (जोड़ का पहचान तत्व) होता है। हालांकि, रिक्त गुणनफल की अवधारणा अधिक सामान्य है, और तर्क, समुच्चय सिद्धांत, कंप्यूटर प्रोग्रामिंग और श्रेणी सिद्धांत में विशेष संशोधन की आवश्यकता होती है।

अन्य बीजगणितीय संरचनाओं पर गुणनफल

अन्य प्रकार की बीजगणितीय संरचनाओं के गुणनफलों में सम्मिलित हैं:

समुच्चय का कार्तीय गुणनफल
समूहों का प्रत्यक्ष गुणनफल, और अर्ध-प्रत्यक्ष गुणनफल, जोड गुणनफल और आच्छादित गुणनफल भी
समूहों का असंयोजित गुणनफल
वलयों का गुणनफल
पूर्ण/अभीष्ट का गुणनफल
सांंस्थितिक समष्टि का गुणनफल^[1]
यादृच्छिक चर का विक गुणनफल
बीजगणितीय सांंस्थितिक में शीर्ष गुणनफल, इकाई गुणनफल, मैसी गुणनफल और तिर्यक् गुणनफल
समस्थानिक में स्मैश गुणनफल और वेज योग (कभी-कभी वेज गुणनफल कहा जाता है)।

उपरोक्त गुणनफलों में से कुछ एक मोनोइडल श्रेणी में आंतरिक गुणनफल की सामान्य धारणा के उदाहरण हैं; अन्य एक गुणनफल (श्रेणी सिद्धांत) की सामान्य धारणा द्वारा वर्णित हैं।

श्रेणी सिद्धांत में गुणनफल

पिछले सभी उदाहरण विशेष स्थिति या किसी गुणनफल की सामान्य धारणा के उदाहरण हैं। किसी गुणनफल की अवधारणा के सामान्य उपचार के लिए, गुणनफल (श्रेणी सिद्धांत) देखें, संभवतः एक अलग प्रकार की, जो किसी वस्तु को बनाने के लिए किसी प्रकार की दो वस्तु (श्रेणी सिद्धांत) को संयोजित करने का वर्णन करता है। लेकिन यह भी श्रेणी सिद्धांत में, किसी के पास है:

फाइबर गुणनफल या पुलबैक,
गुणनफल श्रेणी, एक श्रेणी जो श्रेणियों का गुणनफल है।
गुणनफल, मॉडल सिद्धांत में।
एक मोनोइडल श्रेणी का आंतरिक गुणनफल, जो एक प्रदिश गुणनफल के तत्व को दर्शाता है।

अन्य गुणनफल

एक फलन का गुणनफल अभिन्न (एक अनुक्रम के गुणनफल के निरंतर समतुल्य के रूप में या सामान्य/मानक/योगात्मक अभिन्न के गुणक संस्करण के रूप में गुणनफल अभिन्न को निरंतर गुणनफल या गुणक के रूप में भी जाना जाता है।
जटिल गुणन, अर्धवृत्ताकार वक्रों का सिद्धांत।

यह भी देखें

एबेलियन श्रेणियों का डेलिग्न टेन्सर गुणनफल
अनिश्चित गुणनफल
अनंत गुणनफल
पुनरावर्तित द्वि-आधारी संक्रिया - एक अनुक्रम के लिए एक संक्रिया का बार-बार अनुप्रयोग
गुणन – अंकगणितीय संक्रिया

संदर्भ

↑ ^1.0 ^1.1 Weisstein, Eric W. "उत्पाद". mathworld.wolfram.com (in English). Retrieved 2020-08-16.
↑ "Summation and Product Notation". math.illinoisstate.edu. Retrieved 2020-08-16.
↑ Clarke, Francis (2013). Functional analysis, calculus of variations and optimal control. Dordrecht: Springer. pp. 9–10. ISBN 978-1447148203.
↑ Boothby, William M. (1986). An introduction to differentiable manifolds and Riemannian geometry (2nd ed.). Orlando: Academic Press. p. 200. ISBN 0080874398.
↑ Moschovakis, Yiannis (2006). Notes on set theory (2nd ed.). New York: Springer. p. 13. ISBN 0387316094.

ग्रन्थसूची

Jarchow, Hans (1981). Locally convex spaces. Stuttgart: B.G. Teubner. ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC 8210342.

[3] Here, "formal" means that this notation has the form of a determinant, but does not strictly adhere to the definition; it is a mnemonic used to remember the expansion of the cross product.

[:0-1] 1.0 ^1.1 Weisstein, Eric W. "उत्पाद". mathworld.wolfram.com (in English). Retrieved 2020-08-16.

[2] "Summation and Product Notation". math.illinoisstate.edu. Retrieved 2020-08-16.

[4] Clarke, Francis (2013). Functional analysis, calculus of variations and optimal control. Dordrecht: Springer. pp. 9–10. ISBN 978-1447148203.

[5] Boothby, William M. (1986). An introduction to differentiable manifolds and Riemannian geometry (2nd ed.). Orlando: Academic Press. p. 200. ISBN 0080874398.

[6] Moschovakis, Yiannis (2006). Notes on set theory (2nd ed.). New York: Springer. p. 13. ISBN 0387316094.

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