पृथक्करणीय समष्टि

गणित में, एक टोपोलॉजिकल समष्टि को पृथक्करणीय कहा जाता है यदि इसमें एक गणनीय, सघन उपसमुच्चय होता है; अर्थात् एक क्रम विद्यमान है $\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ समष्टि के तत्वों का ऐसा होना कि समष्टि के प्रत्येक गैर-रिक्त विवृत उपसमुच्चय में अनुक्रम का कम से कम एक तत्व शामिल हो।

गणनीयता के अन्य सिद्धांतों की तरह, पृथक्करण एक "आकार पर सीमा" है, जरूरी नहीं कि यह कार्डिनलिटी के संदर्भ में हो (हालांकि, हॉसडॉर्फ सिद्धांत की उपस्थिति में, यह मामला बन जाता है; नीचे देखें) लेकिन अधिक सूक्ष्म रूप में टोपोलॉजिकल सेंस. विशेष रूप से, एक अलग किए जाने योग्य समष्टि पर प्रत्येक निरंतर फलन जिसकी छवि हॉसडॉर्फ समष्टि का एक उपसमूह है, गणनीय घने उपसमुच्चय पर उसके मूल्यों द्वारा निर्धारित की जाती है।

पृथक्करण की तुलना दूसरी गणनीयता की संबंधित धारणा से करें, जो सामान्य रूप से मजबूत है लेकिन मैट्रिजेबल रिक्त समष्टि के वर्ग के बराबर है।

पहले उदाहरण

कोई भी स्थलाकृतिक समष्टि जो स्वयं परिमित या गणनीय रूप से अनंत है, अलग किया जा सकता है, क्योंकि संपूर्ण समष्टि स्वयं का एक गणनीय सघन उपसमूह है। असंख्य पृथक्करणीय समष्टि का एक महत्वपूर्ण उदाहरण वास्तविक रेखा है, जिसमें परिमेय संख्याएँ एक गणनीय सघन उपसमुच्चय बनाती हैं। इसी प्रकार सभी लंबाई का समुच्चय-$n$ तर्कसंगत संख्याओं के वेक्टर (गणित और भौतिकी), ${\boldsymbol {r}}=(r_{1},\ldots ,r_{n})\in \mathbb {Q} ^{n}$, सभी लंबाई के समुच्चय का एक गणनीय सघन उपसमुच्चय है-$n$ वास्तविक संख्याओं के सदिश, $\mathbb {R} ^{n}$; तो हर किसी के लिए $n$, $n$-आयामी यूक्लिडियन समष्टि पृथक्करणीय है।

एक ऐसे समष्टि का एक सरल उदाहरण जो अलग नहीं किया जा सकता, असंख्य कार्डिनैलिटी का एक अलग समष्टि है।

आगे के उदाहरण नीचे दिये गये हैं।

पृथक्करणीयता बनाम दूसरी गणनीयता

कोई भी द्वितीय-गणनीय समष्टि पृथक्करणीय है: यदि $\{U_{n}\}$ एक गणनीय आधार है, किसी को भी चुनना $x_{n}\in U_{n}$ गैर-रिक्त से $U_{n}$ एक गणनीय सघन उपसमुच्चय देता है। इसके विपरीत, एक मेट्रिज़ेबल समष्टि को अलग किया जा सकता है यदि और केवल यदि यह दूसरी गणनीय है, जो कि ऐसी अवस्था है यदि और केवल यदि यह लिंडेलोफ है।

इन दोनों संपत्तियों की तुलना करने के लिए:

• दूसरे गणनीय समष्टि का एक मनमाना उपसमष्टि (टोपोलॉजी) दूसरा गणनीय है; पृथक्करणीय समष्टि के उप-समष्टि को पृथक्करणीय करने की आवश्यकता नहीं है (नीचे देखें)।
• पृथक्करणीय समष्टि की कोई भी सतत छवि पृथक्करणीय होती है (Willard 1970, Th. 16.4a); यहां तक ​​कि दूसरे गणनीय समष्टि की भागफल टोपोलॉजी को भी दूसरे गणनीय होने की आवश्यकता नहीं है।
• अधिक से अधिक सातत्य का एक उत्पाद कई अलग-अलग समष्टि को अलग किया जा सकता है (विलार्ड 1970, पृष्ठ 109, थ 16.4सी)। द्वितीय-गणनीय समष्टि का गणनीय गुणनफल द्वितीय गणनीय होता है, लेकिन द्वितीय-गणनीय समष्टि का गणनीय गुणनफल प्रथम गणनीय होना भी आवश्यक नहीं है।

हम एक अलग करने योग्य टोपोलॉजिकल समष्टि का एक उदाहरण बना सकते हैं जो दूसरी गणना योग्य नहीं है। किसी भी अनगिनत समुच्चय पर विचार करें $X$, कुछ चुनें $x_{0}\in X$, और टोपोलॉजी को सभी समुच्चयों के संग्रह के रूप में परिभाषित करें $x_{0}$ (या खाली हैं). फिर, का समापन ${x_{0}}$ संपूर्ण समष्टि है ($X$ सबसे छोटा सवृत समुच्चय है जिसमें शामिल है $x_{0}$), लेकिन फॉर्म का हर समुच्चय $\{x_{0},x\}$ विवृत है। अत: समष्टि पृथक् करने योग्य है परंतु गणनीय आधार नहीं हो सकता।

कार्डिनैलिटी

पृथक्करणीयता संपत्ति अपने आप में टोपोलॉजिकल समष्टि की कार्डिनैलिटी पर कोई सीमा नहीं रखती है: एक तुच्छ टोपोलॉजी से संपन्न कोई भी समुच्चय अलग करने योग्य है, साथ ही एक और गणनीय, अर्ध-कॉम्पैक्ट और जुड़ा हुआ है। तुच्छ टोपोलॉजी के साथ "परेशानी" इसकी अयोग्य पृथक्करणीयता गुण है: इसका कोलमोगोरोव भागफल एक-बिंदु समष्टि है।

प्रथम-गणनीय, पृथक्करणीय हॉसडॉर्फ समष्टि (विशेष रूप से, एक पृथक्करणीय मापीय समष्टि) में सातत्य की अधिकतम कार्डिनैलिटी होती है ${\mathfrak {c}}$. ऐसे समष्टि में, समापन अनुक्रमों की सीमाओं द्वारा निर्धारित किया जाता है और किसी भी अभिसरण अनुक्रम की अधिकतम एक सीमा होती है, इसलिए अभिसरण अनुक्रमों के समुच्चय से एक विशेषण मानचित्र होता है जिसमें बिंदुओं के गणनीय घने उपसमुच्चय में मान $X$ होते हैं। .

एक पृथक्करणीय हॉसडॉर्फ़ समष्टि में अधिकतम कार्डिनैलिटी होती है $2^{\mathfrak {c}}$, कहाँ ${\mathfrak {c}}$ सातत्य की प्रमुखता है. इसके लिए टोपोलॉजी में फिल्टर के संदर्भ में क्लोजर की विशेषता है: यदि $Y\subseteq X$ और $z\in X$, तब $z\in {\overline {Y}}$ यदि और केवल यदि कोई फ़िल्टर बेस मौजूद है ${\mathcal {B}}$ के उपसमुच्चय से मिलकर बना है $Y$ जो कि एकत्रित हो जाता है $z$. समुच्चय की प्रमुखता $S(Y)$ ऐसे फ़िल्टर बेस अधिकतम हैं $2^{2^{|Y|}}$. इसके अलावा, हॉसडॉर्फ़ क्षेत्र में, प्रत्येक फ़िल्टर बेस की अधिकतम एक सीमा होती है। इसलिए, एक आपत्ति है $S(Y)\rightarrow X$ कब ${\overline {Y}}=X.$।

वही तर्क अधिक सामान्य परिणाम स्थापित करते हैं: मान लीजिए कि एक हॉसडॉर्फ टोपोलॉजिकल समष्टि $X$ इसमें कार्डिनैलिटी का सघन उपसमुच्चय शामिल है $\kappa$. तब $X$ अधिकतम में कार्डिनैलिटी है $2^{2^{\kappa }}$और अधिक से अधिक कार्डिनैलिटी $2^{\kappa }$ यदि यह पहले गणनीय है।

अधिक से अधिक सातत्य कई पृथक्करणीय समष्टि का उत्पाद एक पृथक्करणीय समष्टि है (Willard 1970, p. 109, Th 16.4c). विशेषकर समष्टि $\mathbb {R} ^{\mathbb {R} }$ वास्तविक रेखा से स्वयं तक सभी कार्यों का, उत्पाद टोपोलॉजी से संपन्न, कार्डिनैलिटी का एक अलग करने योग्य हॉसडॉर्फ समष्टि है $2^{\mathfrak {c}}$. अधिक सामान्यतः, यदि $\kappa$ यदि कोई अनन्त कार्डिनल है, तो अधिकतम का गुणनफल है $2^{\kappa }$ अधिकतम आकार के सघन उपसमुच्चय वाले समष्टि $\kappa$ अपने आप में अधिकतम आकार का एक सघन उपसमुच्चय होता है $\kappa$ (हेविट-मार्क्ज़वेस्की-पॉन्डिसेरी प्रमेय)।

रचनात्मक गणित

संख्यात्मक विश्लेषण और रचनात्मक गणित में पृथक्करण विशेष रूप से महत्वपूर्ण है, क्योंकि कई प्रमेय जिन्हें अविभाज्य समष्टि के लिए सिद्ध किया जा सकता है, उनमें केवल पृथक्करणीय समष्टि के लिए रचनात्मक प्रमाण होते हैं। ऐसे रचनात्मक प्रमाणों को संख्यात्मक विश्लेषण में उपयोग के लिए एल्गोरिदम (कलन विधि) में बदला जा सकता है, और वे रचनात्मक विश्लेषण में स्वीकार्य एकमात्र प्रकार के प्रमाण हैं। इस प्रकार के प्रमेय का एक प्रसिद्ध उदाहरण हैन-बानाच प्रमेय है।

आगे के उदाहरण

विभाज्य समष्टि

• प्रत्येक कॉम्पैक्ट मापीय समष्टि (या मेट्रिज़ेबल समष्टि) अलग करने योग्य है।
• कोई भी टोपोलॉजिकल समष्टि जो अलग-अलग उप-समष्टि की गणनीय संख्या का संघ है, पृथक्करणीय है। ये पहले दो उदाहरण मिलकर इस बात का अलग ही प्रमाण देते हैं $n$-आयामी यूक्लिडियन समष्टि पृथक्करणीय है।
• समष्टि $C(K)$ एक सघन समष्टि उपसमुच्चय से सभी निरंतर कार्यों का $K\subseteq \mathbb {R}$ वास्तविक रेखा तक $\mathbb {R}$ पृथक्करणीय है.
• एलपी समष्टि $L^{p}\left(X,\mu \right)$, एक अलग माप समष्टि पर $\left\langle X,{\mathcal {M}},\mu \right\rangle$, किसी के लिए पृथक्करणीय हैं $1\leq p<\infty$.
• समष्टि $C([0,1])$ सतत कार्य का | इकाई अंतराल पर निरंतर वास्तविक-मूल्यवान कार्य $[0,1]$ एकसमान अभिसरण की मापीय के साथ एक अलग करने योग्य समष्टि है, क्योंकि यह स्टोन-वीयरस्ट्रैस प्रमेय से निम्नानुसार है कि समुच्चय $\mathbb {Q} [x]$ तर्कसंगत गुणांक वाले एक चर में बहुपदों का एक गणनीय सघन उपसमुच्चय है $C([0,1])$. बानाच-मज़ूर प्रमेय का दावा है कि कोई भी अलग करने योग्य बानाच समष्टि एक सवृत रैखिक उप-समष्टि के लिए सममितीय रूप से आइसोमोर्फिक है $C([0,1])$.
• हिल्बर्ट समष्टि को तभी अलग किया जा सकता है जब इसका गणनीय ऑर्थोनॉर्मल आधार हो। यह इस प्रकार है कि कोई भी अलग करने योग्य, अनंत-आयामी हिल्बर्ट समष्टि समष्टि के लिए सममितीय है $\ell ^{2}$ वर्ग-योगयोग्य अनुक्रमों का है।
• एक पृथक्करणीय समष्टि का एक उदाहरण जो द्वितीय-गणनीय नहीं है सोर्गेनफ्रे रेखा है $\mathbb {S}$, निचली सीमा टोपोलॉजी से सुसज्जित वास्तविक संख्याओं का समुच्चय।
• एक σ-बीजगणित पृथक्करणीय σ-बीजगणित|पृथक्करणीय σ-बीजगणित एक σ-बीजगणित है ${\mathcal {F}}$ मापीय (गणित) के साथ मापीय समष्टि के रूप में माने जाने पर यह एक अलग करने योग्य समष्टि है $\rho (A,B)=\mu (A\triangle B)$ के लिए $A,B\in {\mathcal {F}}$ और एक दिया गया माप (गणित) $\mu$ (और साथ $\triangle$ सममित अंतर ऑपरेटर होने के नाते)।

गैर-पृथक्करणीय समष्टि

• पहला असंख्य क्रमसूचक $\omega _{1}$, अपने प्राकृतिक ऑर्डर टोपोलॉजी से सुसज्जित, अलग नहीं किया जा सकता है।
• बनच समष्टि $\ell ^{\infty }$ सभी बंधे हुए वास्तविक अनुक्रमों को, एक समान मानदंड के साथ, अलग नहीं किया जा सकता है। वही बात लागू होती है $L^{\infty }$.
• परिबद्ध भिन्नता का बानाच समष्टि पृथक्करणीय नहीं है; हालाँकि ध्यान दें कि इस समष्टि का गणित, भौतिकी और इंजीनियरिंग में बहुत महत्वपूर्ण अनुप्रयोग है।

गुण

• पृथक्करणीय समष्टि के उप-समष्टि को पृथक्करणीय होने की आवश्यकता नहीं है (सोर्गेनफ्रे विमान और मूर विमान देखें), लेकिन पृथक्करणीय समष्टि का प्रत्येक विवृत उप-समष्टि पृथक्करणीय है (विलार्ड 1970, थ 16.4बी)। इसके अलावा एक पृथक्करणीय मापीय समष्टि का प्रत्येक उप-समष्टि पृथक्करणीय है।

• वास्तव में, प्रत्येक टोपोलॉजिकल समष्टि समान कार्डिनैलिटी के एक अलग किए जाने योग्य समष्टि का उप-समष्टि है। अधिकतम गिनने लायक कई बिंदुओं को जोड़ने वाला एक निर्माण दिया गया है (सीरपिंस्की 1952, पृष्ठ 49); यदि वह समष्टि एक हॉसडॉर्फ़ समष्टि था तो जिस समष्टि का निर्माण किया गया वह भी एक हॉसडॉर्फ़ समष्टि है।
• एक पृथक्करणीय समष्टि पर सभी वास्तविक-मूल्यवान निरंतर कार्यों के समुच्चय की एक कार्डिनैलिटी बराबर होती है।

• एक पृथक्करणीय समष्टि पर सभी वास्तविक-मूल्यवान निरंतर कार्यों के समुच्चय में एक कार्डिनैलिटी बराबर होती है ${\mathfrak {c}}$, सातत्य की प्रमुखता है। यह इस प्रकार है क्योंकि ऐसे फलन सघन उपसमुच्चय पर उनके मानों द्वारा निर्धारित होते हैं।
• उपरोक्त संपत्ति से, कोई निम्नलिखित निष्कर्ष निकाल सकता है: यदि एक्स एक अलग करने योग्य समष्टि है जिसमें असंख्य सवृत असतत उप-समष्टि है, तो एक्स सामान्य समष्टि नहीं हो सकता है। इससे पता चलता है कि सोर्गेनफ्रे विमान सामान्य नहीं है.
• कॉम्पैक्ट समष्टि हॉसडॉर्फ समष्टि एक्स के लिए, निम्नलिखित समतुल्य हैं:
  1. Xद्वितीय गणनीय है.
  2. सर्वोच्च मानदंड ${\mathcal {C}}(X,\mathbb {R} )$ के साथ X पर निरंतर वास्तविक-मूल्यवान कार्यों का स्थान अलग करने योग्य है।
  3. Xमेट्रिज़ेबल है.

पृथक्करणीय मापीय रिक्त समष्टि एम्बेड करना

• प्रत्येक पृथक्करणीय मापीय समष्टि हिल्बर्ट क्यूब के एक उपसमुच्चय के लिए समरूप है। यह उरीसोहन मेट्रिज़ेशन प्रमेय के प्रमाण में स्थापित किया गया है।
• प्रत्येक पृथक्करणीय मापीय समष्टि (गैर-पृथक्करणीय) बानाच समष्टि के उपसमुच्चय के लिए आइसोमेट्री है^∞समान मानदंड के साथ सभी बंधे हुए वास्तविक अनुक्रमों का; इसे फ़्रेचेट एम्बेडिंग के रूप में जाना जाता है। (Heinonen 2003)
• प्रत्येक पृथक्करणीय मापीय समष्टि C([0,1]) के उपसमुच्चय के लिए सममितीय है, निरंतर कार्यों का पृथक्करणीय बनच समष्टि [0,1] → R, समान मानदंड के साथ। यह स्टीफ़न बानाच के कारण है। (Heinonen 2003)
• प्रत्येक पृथक्करणीय मापीय समष्टि उरीसोहन सार्वभौमिक समष्टि के उपसमुच्चय के लिए सममितीय है।

अविभाज्य समष्टि के लिए:

• सघन समुच्चय का एक मापीय समष्टि एक अनंत कार्डिनल के बराबर होता है α एक उपसमष्टि के लिए सममितीय है C([0,1]^α, R), के उत्पाद पर वास्तविक निरंतर कार्यों का समष्टि α इकाई अंतराल की प्रतियां। (Kleiber 1969)

संदर्भ

• Heinonen, Juha (January 2003), Geometric embeddings of metric spaces (PDF), retrieved 6 February 2009

• Kelley, John L. (1975), General Topology, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90125-1, MR 0370454
• Kleiber, Martin; Pervin, William J. (1969), "A generalized Banach-Mazur theorem", Bull. Austral. Math. Soc., 1 (2): 169–173, doi:10.1017/S0004972700041411
• Sierpiński, Wacław (1952), General topology, Mathematical Expositions, No. 7, Toronto, Ont.: University of Toronto Press, MR 0050870
• Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Counterexamples in Topology (Dover reprint of 1978 ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-486-68735-3, MR 0507446
• Willard, Stephen (1970), General Topology, Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-08707-9, MR 0264581