भिन्नीय फूरियर रूपांतरण

गणित में, प्रसंवादी विश्लेषण के क्षेत्र में, भिन्नीय फूरियर रूपांतरण (एफआरएफटी) फूरियर परिवर्तन को सामान्यीकृत करने वाले रैखिक परिवर्तनों का वर्ग है। इसे फूरियर के एन-वीं घात में परिवर्तन करने के रूप में सोचा जा सकता है, जहां एन को पूर्णांक होने की आवश्यकता नहीं है - इस प्रकार, यह किसी फलन को समय और आवृत्ति के बीच किसी भी मध्यवर्ती प्रांत में परिवर्तन कर सकता है। इसके अनुप्रयोग निस्पंदन डिज़ाइन और संकेत विश्लेषण से लेकर चरण पुनर्प्राप्ति और प्रतिदर्श पहचान तक हैं।

इस प्रकार से एफआरएफटी का उपयोग भिन्नीय संवहन, सहसंबंध और अन्य परिचालनों को परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है, और इसे रैखिक विहित परिवर्तन (एलसीटी) में भी सामान्यीकृत किया जा सकता है। एफआरएफटी की प्रारंभिक परिभाषा एडवर्ड कॉन्डन द्वारा चरण-अंतरिक्ष घूर्णन के लिए ग्रीन के फलन को हल करके, और नामियास द्वारा, हर्मिट बहुपद पर नॉर्बर्ट वीनर के काम को सामान्यीकृत करके प्रस्तुत की गई थी।

यद्यपि, इसे संकेत प्रोसेसिंग में व्यापक रूप से मान्यता नहीं मिली थी जब तक कि इसे 1993 के निकट कई समूहों द्वारा स्वतंत्र रूप से पुनः प्रस्तुत नहीं किया गया था। तब से, भिन्नीय फूरियर प्रांत में बैंड-सीमित संकेतों के लिए शैनन के प्रतिदर्शकरण प्रमेय का विस्तार करने में रुचि बढ़ गई है।

अतः भिन्नीय फूरियर परिवर्तन के लिए पूर्ण रूप से अलग अर्थ बेली और स्वार्टज़ट्रॉबर द्वारा अनिवार्य रूप से z-परिवर्तन के लिए एक और नाम के रूप में प्रस्तुत किया गया था, और विशेष रूप से उस स्थिति के लिए जो आवृत्ति स्थान में भिन्नात्मक राशि द्वारा स्थानांतरित किए गए असतत फूरियर परिवर्तन से मेल खाता है (एक रैखिक कलरव द्वारा निवेश को गुणा करके) और आवृत्ति बिंदुओं के भिन्नात्मक समुच्चय पर मूल्यांकन करना (उदाहरण के लिए वर्णक्रम के मात्र छोटे से भाग पर विचार करना)। (इस प्रकार से ऐसे परिवर्तनों का मूल्यांकन ब्लूस्टीन के एफएफटी एल्गोरिदम द्वारा कुशलतापूर्वक किया जा सकता है।) यद्यपि, अधिकांश तकनीकी साहित्य में यह शब्दावली एफआरएफटी की तुलना में उपयोग से बाहर हो गई है। इस आलेख का शेष भाग एफआरएफटी का वर्णन करता है।

परिचय

इस प्रकार से किसी फलन फूरियर $f:\mathbb {R} \mapsto \mathbb {C}$ का सतत फूरियर रूपांतरण एलपी समष्टि का एकात्मक संचालक है जो फलन $f$ को उसके बारंबार संस्करण $L^{2}$ फलन को प्रतिचित्रण करता है इसके बारंबार संस्करण ${\hat {f}}$ के लिए (सभी अभिव्यक्तियाँ बिंदुवार के अतिरिक्त $L^{2}$ अर्थ में ली जाती हैं):

$${\hat {f}}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\ e^{-2\pi ix\xi }\,\mathrm {d} x$$

और $f$ को व्युत्क्रम परिवर्तन

$$f(x)=\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(\xi )\ e^{2\pi i\xi x}\,\mathrm {d} \xi \,$$

${\hat {f}}$ के माध्यम से ${\mathcal {F}}^{-1}\,$ द्वारा निर्धारित किया जाता है। अतः आइये हम ${\mathcal {F}}^{n}[f]={\mathcal {F}}[{\mathcal {F}}^{n-1}[f]]$ और और ${\mathcal {F}}^{-n}=({\mathcal {F}}^{-1})^{n}$ द्वारा परिभाषित इसके n-वें पुनरावृत्त ${\mathcal {F}}^{n}$ का अध्ययन करें जब

n गैर-ऋणात्मक पूर्णांक है, और ${\mathcal {F}}^{0}[f]=f$ है। उनका अनुक्रम परिमित है क्योंकि ${\mathcal {F}}$ 4-आवधिक स्वचालितता है: प्रत्येक फलन ${\mathcal {F}}^{4}[f]=f$ के लिए है।

इस प्रकार से अधिक यथार्थ रूप से, आइए हम समता संक्रियक ${\mathcal {P}}$ का परिचय दें जो $x$, ${\mathcal {P}}[f]\colon x\mapsto f(-x)$ को व्युत्क्रमित देता है। फिर निम्नलिखित गुण धारण करते हैं:

$${\mathcal {F}}^{0}=\mathrm {Id} ,\qquad {\mathcal {F}}^{1}={\mathcal {F}},\qquad {\mathcal {F}}^{2}={\mathcal {P}},\qquad {\mathcal {F}}^{4}=\mathrm {Id}$$

$${\mathcal {F}}^{3}={\mathcal {F}}^{-1}={\mathcal {P}}\circ {\mathcal {F}}={\mathcal {F}}\circ {\mathcal {P}}.$$

इस प्रकार से एफआरएफटी रैखिक परिवर्तनों का वर्ग प्रदान करता है जो एफटी की गैर-पूर्णांक घातों $n=2\alpha /\pi$ को संभालने के लिए इस परिभाषा को आगे बढ़ाता है।

परिभाषा

नोट: कुछ लेखक कोण α के अतिरिक्त "क्रम a " के संदर्भ में परिवर्तन लिखते हैं, जिस स्थिति में α सामान्यतः π/2 का गुना होता है। यद्यपि ये दोनों रूप समतुल्य हैं, किसी को इस बात से सावधान रहना चाहिए कि लेखक किस परिभाषा का उपयोग करता है।

इस प्रकार से किसी भी वास्तविक संख्या α के लिए, किसी फलन ƒ का α-कोण भिन्नात्मक फूरियर रूपांतरण ${\mathcal {F}}_{\alpha }(u)$ द्वारा दर्शाया जाता है और

${\mathcal {F}}_{\alpha }[f](u)={\sqrt {1-i\cot(\alpha )}}e^{i\pi \cot(\alpha )u^{2}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-2\pi i\left(\csc(\alpha )ux-{\frac {\cot(\alpha )}{2}}x^{2}\right)}f(x)\,\mathrm {d} x$

द्वारा परिभाषित किया जाता है।

औपचारिक रूप से, यह सूत्र मात्र तभी मान्य होता है जब निवेश फलन पर्याप्त रूप से ठीक स्थान हो (जैसे कि एलपी समष्टि या श्वार्ट्ज स्थान), और सामान्य स्थिति में सामान्य फूरियर रूपांतरण (लेख देखें) के समान एक घनत्व तर्क के माध्यम से परिभाषित किया गया है।

यदि α π का ​​एक पूर्णांक गुणज है, तो ऊपर कोटिस्पर्श रेखा और व्युत्क्रमज्या फलन अलग हो जाते हैं। यद्यपि, इसे किसी फलन की सीमा लेकर नियंत्रित किया जा सकता है, और एकीकृत में डिराक डेल्टा फलन की ओर ले जाता है। अधिक प्रत्यक्षतः, चूँकि ${\mathcal {F}}^{2}(f)=f(-t)~,~~{\mathcal {F}}_{\alpha }~(f)$ को α के लिए क्रमशः f(t) या f(−t) होना चाहिए, जो क्रमशः π का ​​एक सम या विषम गुणज है।

अतः α = π/2 के लिए, यह यथार्थ रूप से सतत फूरियर रूपांतरण की परिभाषा बन जाती है, और α = −π/2 के लिए यह व्युत्क्रम सतत फूरियर रूपांतरण की परिभाषा है।

इस प्रकार से एफआरएफटी तर्क u न तो एक स्थानिक x है और न ही एक आवृत्ति ξ है। हम देखेंगे कि इसकी व्याख्या दोनों निर्देशांक (x,ξ) के रैखिक संयोजन के रूप में क्यों की जा सकती है। जब हम α-कोणीय भिन्नात्मक प्रांत को अलग करना चाहते हैं, तो हम $x_{a}$ को ${\mathcal {F}}_{\alpha }$ के तर्क को दर्शाने देंगे।

टिप्पणी: आवृत्ति के अतिरिक्त कोणीय आवृत्ति ω समागम के साथ, एफआरएफटी सूत्र मेहलर कर्नेल,

$${\mathcal {F}}_{\alpha }(f)(\omega )={\sqrt {\frac {1-i\cot(\alpha )}{2\pi }}}e^{i\cot(\alpha )\omega ^{2}/2}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-i\csc(\alpha )\omega t+i\cot(\alpha )t^{2}/2}f(t)\,dt~$$

है।

गुण

α-वें क्रम का भिन्नीय फूरियर परिवर्तन संक्रियक, ${\mathcal {F}}_{\alpha }$ में गुण हैं:

योगात्मकता

किसी भी वास्तविक कोण α, β, के लिए

$${\mathcal {F}}_{\alpha +\beta }={\mathcal {F}}_{\alpha }\circ {\mathcal {F}}_{\beta }={\mathcal {F}}_{\beta }\circ {\mathcal {F}}_{\alpha }.$$

रैखिकता

$${\mathcal {F}}_{\alpha }\left[\sum \nolimits _{k}b_{k}f_{k}(u)\right]=\sum \nolimits _{k}b_{k}{\mathcal {F}}_{\alpha }\left[f_{k}(u)\right]$$

पूर्णांक क्रम

यदि α $\pi /2$ का पूर्णांक गुणज है, तो:

$${\mathcal {F}}_{\alpha }={\mathcal {F}}_{k\pi /2}={\mathcal {F}}^{k}=({\mathcal {F}})^{k}$$

इसके अतिरिक्त, इसका निम्नलिखित संबंध है

$${\begin{aligned}{\mathcal {F}}^{2}&={\mathcal {P}}&&{\mathcal {P}}[f(u)]=f(-u)\\{\mathcal {F}}^{3}&={\mathcal {F}}^{-1}=({\mathcal {F}})^{-1}\\{\mathcal {F}}^{4}&={\mathcal {F}}^{0}={\mathcal {I}}\\{\mathcal {F}}^{i}&={\mathcal {F}}^{j}&&i\equiv j\mod 4\end{aligned}}$$

व्युत्क्रमिता

$$({\mathcal {F}}_{\alpha })^{-1}={\mathcal {F}}_{-\alpha }$$

स्थानांतरित फलन का रूपांतरण

See also: पाउली मैट्रिसेस का सामान्यीकरण § निर्माण: कालद और परिवर्तन आव्यूह

इस प्रकार से परिवर्तन और चरण परिवर्तन संक्रियकों को निम्नानुसार परिभाषित करें:

$${\begin{aligned}{\mathcal {SH}}(u_{0})[f(u)]&=f(u+u_{0})\\{\mathcal {PH}}(v_{0})[f(u)]&=e^{j2\pi v_{0}u}f(u)\end{aligned}}$$

तब

$${\begin{aligned}{\mathcal {F}}_{\alpha }{\mathcal {SH}}(u_{0})&=e^{j\pi u_{0}^{2}\sin \alpha \cos \alpha }{\mathcal {PH}}(u_{0}\sin \alpha ){\mathcal {SH}}(u_{0}\cos \alpha ){\mathcal {F}}_{\alpha },\end{aligned}}$$

अर्थात,

$${\begin{aligned}{\mathcal {F}}_{\alpha }[f(u+u_{0})]&=e^{j\pi u_{0}^{2}\sin \alpha \cos \alpha }e^{j2\pi uu_{0}\sin \alpha }f_{\alpha }(u+u_{0}\cos \alpha )\end{aligned}}$$

सोपानी फलन का रूपांतरण

अतः सोपानी और चिरप गुणन संक्रियकों को निम्नानुसार परिभाषित करें:

$${\begin{aligned}M(M)[f(u)]&=|M|^{-{\frac {1}{2}}}f\left({\tfrac {u}{M}}\right)\\Q(q)[f(u)]&=e^{-j\pi qu^{2}}f(u)\end{aligned}}$$

तब,

$${\begin{aligned}{\mathcal {F}}_{\alpha }M(M)&=Q\left(-\cot \left({\frac {1-\cos ^{2}\alpha '}{\cos ^{2}\alpha }}\alpha \right)\right)\times M\left({\frac {\sin \alpha }{M\sin \alpha '}}\right){\mathcal {F}}_{\alpha '}\\[6pt]{\mathcal {F}}_{\alpha }\left[|M|^{-{\frac {1}{2}}}f\left({\tfrac {u}{M}}\right)\right]&={\sqrt {\frac {1-j\cot \alpha }{1-jM^{2}\cot \alpha }}}e^{j\pi u^{2}\cot \left({\frac {1-\cos ^{2}\alpha '}{\cos ^{2}\alpha }}\alpha \right)}\times f_{a}\left({\frac {Mu\sin \alpha '}{\sin \alpha }}\right)\end{aligned}}$$

इस प्रकार से ध्यान दें कि $f(u/M)$ के भिन्नात्मक फूरियर रूपांतरण को $f_{\alpha }(u)$ के सोपानी संस्करण के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है। यद्यपि, $f(u/M)$ का भिन्नात्मक फूरियर रूपांतरण $f_{\alpha '}(u)$ का सोपानी और चिर मॉड्यूलेटेड संस्करण बन जाता है जहां $\alpha \neq \alpha '$ अलग क्रम है।

भिन्नीय कर्नेल

एफआरएफटी अभिन्न परिवर्तन

$${\mathcal {F}}_{\alpha }f(u)=\int K_{\alpha }(u,x)f(x)\,\mathrm {d} x$$

है जहां α-कोण कर्नेल है

$$K_{\alpha }(u,x)={\begin{cases}{\sqrt {1-i\cot(\alpha )}}\exp \left(i\pi (\cot(\alpha )(x^{2}+u^{2})-2\csc(\alpha )ux)\right)&{\mbox{if }}\alpha {\mbox{ is not a multiple of }}\pi ,\\\delta (u-x)&{\mbox{if }}\alpha {\mbox{ is a multiple of }}2\pi ,\\\delta (u+x)&{\mbox{if }}\alpha +\pi {\mbox{ is a multiple of }}2\pi ,\\\end{cases}}$$

इस प्रकार से यहां फिर से विशेष स्थिति सीमा व्यवहार के अनुरूप हैं, जब α, π के गुणक के निकट पहुंचता है। एफआरएफटी में इसके कर्नेल के समान गुण हैं:

• समरूपता: $K_{\alpha }~(u,u')=K_{\alpha }~(u',u)$
• व्युत्क्रम: $K_{\alpha }^{-1}(u,u')=K_{\alpha }^{*}(u,u')=K_{-\alpha }(u',u)$
• योज्यता: $K_{\alpha +\beta }(u,u')=\int K_{\alpha }(u,u'')K_{\beta }(u'',u')\,\mathrm {d} u''.$

संबंधित परिवर्तन

अतः असतत फूरियर रूपांतरण जैसे समान परिवर्तनों के संबंधित भिन्नात्मक सामान्यीकरण भी स्थित हैं।

• असतत भिन्नात्मक फूरियर रूपांतरण को ज़ीव ज़ेलेव्स्की द्वारा परिभाषित किया गया है। उप-बहुपद समय में असतत भिन्नात्मक फूरियर रूपांतरण के संस्करण को लागू करने के लिए क्वांटम एल्गोरिदम का वर्णन सोम्मा द्वारा किया गया है।
• भिन्नीय तरंगिका परिवर्तन (एफआरडब्ल्यूटी) भिन्नीय फूरियर परिवर्तन प्रांत में उत्कृष्ट तरंगिका परिवर्तन का सामान्यीकरण है।
• तरंगिका परिवर्तन के संबंधित सामान्यीकरण के लिए चिरप्लेट परिवर्तन।

सामान्यीकरण

इस प्रकार से फूरियर रूपांतरण मूलतः बोसोनिक है; यह काम करता है क्योंकि यह अधिस्थापन सिद्धांत और संबंधित हस्तक्षेप प्रतिदर्श के अनुरूप है। इसमें फर्मिओनिक फूरियर रूपांतरण भी है। इन्हें अति सममित एफआरएफटी और अति सममित रेडॉन परिवर्तन में सामान्यीकृत किया गया है। भिन्नात्मक रेडॉन परिवर्तन, समय-आवृत्ति विश्लेषण एफआरएफटी, और सिम्प्लेक्टिक तरंगिका परिवर्तन भी है। क्योंकि यह कितना घूमता है एकात्मक संचालन पर आधारित होते हैं, वे अभिन्न परिवर्तनों की गणना के लिए उपयोगी होते हैं क्योंकि बाद वाले फलन समष्टि पर एकात्मक संक्रियक होते हैं। क्वांटम परिपथ डिज़ाइन किया गया है जो एफआरएफटी को लागू करता है।

व्याख्या

Further information: रैखिक विहित परिवर्तन

0:08

जैसे ही भिन्नीय फूरियर परिवर्तन का क्रम 1 हो जाता है, रेक्ट फलन ज्या फलन में परिवर्तित हो जाता है

अतः फूरियर परिवर्तन की सामान्य व्याख्या समय प्रांत संकेत को आवृत्ति प्रांत संकेत में परिवर्तन करने के रूप में है। दूसरी ओर, व्युत्क्रम फूरियर रूपांतरण की व्याख्या आवृत्ति प्रांत संकेत के समय प्रांत संकेत में परिवर्तन के रूप में है। भिन्नीय फूरियर संकेत (या तो समय प्रांत या आवृत्ति प्रांत में) को समय और आवृत्ति के बीच के प्रांत में परिवर्तन कर देता है: यह समय-आवृत्ति प्रांत में घूर्णन है। इस परिप्रेक्ष्य को रैखिक विहित परिवर्तन द्वारा सामान्यीकृत किया जाता है, जो भिन्नात्मक फूरियर परिवर्तन को सामान्यीकृत करता है और घूर्णन के अतिरिक्त समय-आवृत्ति प्रांत के रैखिक परिवर्तनों की अनुमति देता है।

इस प्रकार से उदाहरण के लिए नीचे दिए गए चित्र को लें। यदि समय प्रांत में संकेत आयताकार है (नीचे के अनुसार), तो यह आवृत्ति प्रांत में ज्या फलन बन जाता है। परन्तु यदि कोई भिन्नीय फूरियर परिवर्तन को आयताकार संकेत पर लागू करता है, तो परिवर्तनीय निर्गम समय और आवृत्ति के बीच के प्रांत में होगा।

भिन्नीय फूरियर रूपांतरण

अतः भिन्नीय फूरियर परिवर्तन समय-आवृत्ति प्रतिनिधित्व पर घूर्णन संक्रिया है। उपरोक्त परिभाषा से, α = 0 के लिए, भिन्नीय फूरियर रूपांतरण लागू करने के बाद कोई परिवर्तन नहीं होगा, जबकि α = π/2 के लिए, भिन्नात्मक फूरियर रूपांतरण साधारण फूरियर रूपांतरण बन जाता है, जो समय-आवृत्ति वितरण को π/2 के साथ घुमाता है। इस प्रकार से α के अन्य मान के लिए, भिन्नात्मक फूरियर रूपांतरण α के अनुसार समय-आवृत्ति वितरण को घुमाता है। निम्नलिखित आंकड़ा α के विभिन्न मानों के साथ भिन्नात्मक फूरियर परिवर्तन के परिणाम दिखाता है।

भिन्नात्मक फूरियर रूपांतरण का समय/आवृत्ति वितरण

See also: समय-आवृत्ति विश्लेषण

आवेदन

इस प्रकार से भिन्नीय फूरियर परिवर्तन का उपयोग समय आवृत्ति विश्लेषण और अंकीय संकेत प्रक्रिया में किया जा सकता है। यह रव को निस्पंदन करने के लिए उपयोगी है, परन्तु इस प्रतिबन्ध के साथ कि यह समय-आवृत्ति प्रांत में वांछित संकेत के साथ अधिव्यापन न हो। निम्नलिखित उदाहरण पर विचार करें। हम रव को समाप्त करने के लिए प्रत्यक्षतः निस्पंदन लागू नहीं कर सकते हैं, परन्तु भिन्नीय फूरियर परिवर्तन की सहायता से, हम पहले संकेत (वांछित संकेत और रव सहित) को घुमा सकते हैं। फिर हम विशिष्ट निस्पंदन लागू करते हैं, जो मात्र वांछित संकेत को पारित करने की अनुमति देगा। इस प्रकार रव पूर्ण रूप से दूर हो जाएगा। फिर हम संकेत को वापस घुमाने के लिए भिन्नीय फूरियर परिवर्तन का फिर से उपयोग करते हैं और हम वांछित संकेत प्राप्त कर सकते हैं।

File:FracFT App by stevencys.jpg

डीएसपी में भिन्नीय फूरियर रूपांतरण

अतः इस प्रकार, समय प्रांत में मात्र खंडन, या आवृत्ति प्रांत में समकक्ष निम्न पास निस्यन्द्क का उपयोग करके, कोई समय-आवृत्ति स्थान में किसी भी उत्तल समुच्चय को काट सकता है। इसके विपरीत, भिन्नात्मक फूरियर रूपांतरण के बिना समय प्रांत या आवृत्ति प्रांत टूल का उपयोग करने से मात्र अक्षों के समानांतर आयतों को काटने की अनुमति मिलेगी।

भिन्नीय फूरियर परिवर्तन का क्वांटम भौतिकी में भी अनुप्रयोग होता है। उदाहरण के लिए, इनका उपयोग, एकल फोटॉन के साथ उच्च-आयामी क्वांटम कुंजी वितरण योजनाओं में, और फोटॉन युग्मों के स्थानिक जटिलता को देखने में, एंट्रोपिक अनिश्चितता संबंधों को तैयार करने के लिए किया जाता है।

इस प्रकार से वे प्रकाशिक प्रणाली के डिजाइन और होलोग्राफिक भंडारण दक्षता को अनुकूलित करने के लिए भी उपयोगी हैं।

यह भी देखें

• न्यूनतम-वर्ग वर्णक्रमीय विश्लेषण
• भिन्नात्मक कलन
• मेहलर कर्नेल

अन्य समय-आवृत्ति परिवर्तन:

• रैखिक विहित परिवर्तन
• अल्पकालीन फूरियर रूपांतरण
• तरंगिका परिवर्तन
• चिरप्लेट परिवर्तन
• शंकु-आकार वितरण फलन
• द्विघात फूरियर रूपांतरण

ग्रन्थसूची

• Candan, C.; Kutay, M. A.; Ozaktas, H. M. (May 2000). "The discrete fractional Fourier transform" (PDF). IEEE Transactions on Signal Processing. 48 (5): 1329–1337. Bibcode:2000ITSP...48.1329C. doi:10.1109/78.839980. hdl:11693/11130.
• Ding, Jian-Jiun (2007). Time frequency analysis and wavelet transform (Class notes). Taipei, Taiwan: Department of Electrical Engineering, National Taiwan University (NTU).
• Lohmann, A. W. (1993). "Image rotation, Wigner rotation and the fractional Fourier transform". J. Opt. Soc. Am. A (10): 2181–2186. Bibcode:1993JOSAA..10.2181L. doi:10.1364/JOSAA.10.002181.
• Ozaktas, Haldun M.; Zalevsky, Zeev; Kutay, M. Alper (2001). The Fractional Fourier Transform with Applications in Optics and Signal Processing. Series in Pure and Applied Optics. John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-96346-2.
• Pei, Soo-Chang; Ding, Jian-Jiun (2001). "Relations between fractional operations and time–frequency distributions, and their applications". IEEE Trans. Signal Process. 49 (8): 1638–1655. Bibcode:2001ITSP...49.1638P. doi:10.1109/78.934134.
• Saxena, Rajiv; Singh, Kulbir (January–February 2005). "Fractional Fourier transform: A novel tool for signal processing" (PDF). J. Indian Inst. Sci. 85: 11–26. Archived from the original (PDF) on 16 July 2011.

बाहरी संबंध

• DiscreteTFDs -- software for computing the fractional Fourier transform and time–frequency distributions
• "Fractional Fourier Transform" by Enrique Zeleny, The Wolfram Demonstrations Project.
• Dr YangQuan Chen's एफआरएफटी (Fractional Fourier Transform) Webpages
• LTFAT - A free (GPL) Matlab / Octave toolbox Contains several version of the fractional Fourier transform.