विन्यास समष्टि (भौतिकी)

मौलिक यांत्रिकी में प्रणाली के विन्यास को परिभाषित करने वाले मापदंडों को सामान्यीकृत निर्देशांक कहा जाता है और इन निर्देशांकों द्वारा परिभाषित समष्टि को भौतिक प्रणाली का 'विन्यास समष्टि' कहा जाता है। अधिकांशतः ऐसा होता है कि ये मापदंड गणितीय बाधाओं को पूरा करते हैं, जैसे कि प्रणाली की वास्तविक विन्यास का समूह सामान्यीकृत निर्देशांक के समष्टि में विश्लेषण है। इस विश्लेषण को प्रणाली का 'विन्यास विश्लेषण' कहा जाता है। ध्यान दें कि यह अप्रतिबंधित विन्यास समष्टि की धारणा है, अर्थात जिसमें विभिन्न बिंदु कण ही स्थिति पर अधिकृत कर सकते हैं। गणित में विशेष रूप से सांस्थिति में प्रतिबंधित विन्यास समष्टि (गणित) की धारणा का अधिकतर उपयोग किया जाता है, जिसमें टकराने वाले कणों का प्रतिनिधित्व करने वाले विकर्णों को हटा दिया जाता है।

उदाहरण: 3डी समष्टि में कण

साधारण यूक्लिडियन समष्टि में गतिमान कण की स्थिति यूक्लिडियन 3-समष्टि को वेक्टर $q=(x,y,z)$ द्वारा परिभाषित किया गया है और इसलिए इसका विन्यास समष्टि $Q=\mathbb {R} ^{3}$ है। प्रतीक $q$ का प्रयोग परम्परागत है विन्यास समष्टि में बिंदु के लिए यह हैमिल्टनियन यांत्रिकी और लग्रांगियन यांत्रिकी दोनों में परंपरा है। प्रतीक $p$ गति को निरूपित करने के लिए प्रयोग किया जाता है, प्रतीक ${\dot {q}}=dq/dt$ वेगों को संदर्भित करता है।

कण को ​​ विशिष्ट विश्लेषण बढ़ने के लिए विवश किया जा सकता है। उदाहरण के लिए यदि कण कठोर संपर्क से जुड़ा हुआ है, जो उत्पत्ति के बारे में झूलने के लिए स्वतंत्र है, तो यह गोले पर झूठ बोलने के लिए प्रभावी रूप से विवश है। इसका विन्यास समष्टि निर्देशांक का उप-समूचय $\mathbb {R} ^{3}$ है, जो गोले पर बिंदुओं को परिभाषित करता है $S^{2}$. इस स्थितियों में कई का कहना है $Q$ गोला है, अर्थात् $Q=S^{2}$.

एन वियोजित करने के लिए, गैर-अंतःक्रियात्मक बिंदु कणों के लिए विन्यास समष्टि $\mathbb {R} ^{3n}$ है। सामान्यतः चूंकि, उस स्थितियों में रुचि होती है जहां कण परस्पर क्रिया करते हैं। उदाहरण के लिए, वे गियर, चरखी, रोलिंग गेंद आदि की कुछ असेंबली में विशिष्ट समष्टि होते हैं, जो अधिकांशतः फिसलने के अतिरिक्त चलने के लिए विवश होते हैं। इस स्थिति में विन्यास समष्टि सभी $\mathbb {R} ^{3n}$ नहीं है, किन्तु स्वीकार्य पदों का उप-समष्टि उप मनीफोल्ड जो अंक ले सकते हैं।

उदाहरण: 3डी समष्टि में कठोर शरीर

निर्देशांक का समूह जो संदर्भ बिंदु की स्थिति को परिभाषित करता है और त्रि-आयामी समष्टि में कठोर शरीर से जुड़े समन्वय फ्रेम के अभिविन्यास को इसकी विन्यास समष्टि बनाता है, जिसे अधिकांशतः निरूपित किया जाता है। $\mathbb {R} ^{3}\times \mathrm {SO} (3)$ यहाँ $\mathbb {R} ^{3}$ शरीर से जुड़े फ्रेम की उत्पत्ति के निर्देशांक का प्रतिनिधित्व करता है और $\mathrm {SO} (3)$ आवर्तन आव्यूहों का प्रतिनिधित्व करता है जो ग्राउंड फ्रेम के सापेक्ष इस फ्रेम के अभिविन्यास को परिभाषित करता है। कठोर शरीर का विन्यास छह मापदंडों द्वारा परिभाषित किया गया है, तीन से $\mathbb {R} ^{3}$ और तीन से $\mathrm {SO} (3)$ और कहा जाता है कि स्वतंत्रता की छह डिग्री यांत्रिकी हैं।

इस स्थिति में विन्यास समष्टि $Q=\mathbb {R} ^{3}\times \mathrm {SO} (3)$ छह आयामी है और बिंदु $q\in Q$ है उस जगह में सिर्फ बिंदु है। $q$ के समष्टि उस विन्यास समष्टि में सामान्यीकृत निर्देशांक का उपयोग करके वर्णित किया गया है, इस प्रकार तीन निर्देशांक कठोर शरीर के द्रव्यमान के केंद्र के समष्टि का वर्णन कर सकते हैं, जबकि तीन और इसके अभिविन्यास का वर्णन करने वाले यूलर कोण हो सकते हैं। निर्देशांकों का कोई प्रामाणिक विकल्प नहीं है, द्रव्यमान के केंद्र के अतिरिक्त कठोर शरीर के कुछ शीर्ष और अंत बिंदु को भी चुना जा सकता है। कोई यूलर कोणों के अतिरिक्त चतुष्कोणों का उपयोग करना चुन सकता है और इसी प्रकार चूंकि, मानकीकरण प्रणाली की यांत्रिक विशेषताओं को नहीं बदलता है। सभी अलग-अलग मापदंड अंततः ही छह-आयामी विश्लेषण, संभावित पदों और अभिविन्यासों के समान समूह का वर्णन करते हैं।

कुछ मापदंडों के साथ कार्य करना दूसरों की तुलना में आसान होता है और समन्वय-मुक्त प्रचलन में कार्य करके कई महत्वपूर्ण कथन दिए जा सकते हैं। समन्वय मुक्त कथनों के उदाहरण हैं कि स्पर्शरेखा समष्टि $TQ$ बिंदुओं के वेग के अनुरूप है $q\in Q$, जबकि स्पर्शरेखा समष्टि $T^{*}Q$ संवेग से मेल खाता है। वेग और संवेग को जोड़ा जा सकता है, सबसे सामान्य अमूर्त स्थितियों के लिए, यह तात्विक -रूप की जबकि सारगर्भित धारणा के साथ किया जाता है।

उदाहरण: रोबोटिक भुजा

See also: विन्यास अंतरिक्ष (गणित) यांत्रिक संपर्क का विन्यास अंतरिक्ष

कई कठोर संपर्क से युक्त रोबोटिक भुजा के लिए, विन्यास समष्टि में प्रत्येक संपर्क का समष्टि होता है, जैसा कि ऊपर दिए गए अनुभाग में कठोर शरीर के रूप में लिया गया है। संपर्क दूसरे से कैसे जुड़े हैं और इसकी बाधाओं के अधीन हैं। गति की उनकी अनुमत सीमा इस प्रकार, के लिए $n$ संपर्क, कोई कुल समष्टि पर विचार कर सकता है।

$$\left[\mathbb {R} ^{3}\times \mathrm {SO} (3)\right]^{n}$$

इसके के अतिरिक्त कि सभी विभिन्न संलग्नक और बाधाओं का मतलब है कि इस समष्टि में हर बिंदु पर पहुंचा नहीं जा सकता है। इस प्रकार, विन्यास समष्टि $Q$ अनिवार्य रूप से की उप-समष्टि है $n$-कठोर-शरीर विन्यास समष्टि है।

ध्यान दें, चूंकि, रोबोटिक्स में विन्यास समष्टि शब्द और कम किए गए उप-समूचय को भी संदर्भित कर सकता है। रोबोट के अंत-प्रभावक द्वारा पहुंच योग्य पदों का समूह। यह परिभाषा, चूंकि, होलोनोमी द्वारा वर्णित जटिलताओं की ओर ले जाती है। अर्थात, विशेष अंत-प्रभावक समष्टि प्राप्त करने के लिए रोबोट भुजा को व्यवस्थित करने के कई अलग-अलग विधियाँ हो सकती हैं और यह संभव है कि रोबोट भुजा को गतिमान रखते हुए समष्टिांतरित किया जाए। अंत प्रभावक स्थिर इस प्रकार, गतिकी में उपयोग के लिए उपयुक्त हाथ का पूर्ण विवरण, सभी संयुक्त पदों और कोणों के विनिर्देश की आवश्यकता होती है और उनमें से कुछ ही नहीं।

विन्यास को परिभाषित करने के लिए रोबोट के संयुक्त मापदंडों को सामान्यीकृत निर्देशांक के रूप में उपयोग किया जाता है। संयुक्त मापदंड मानों के समूह को संयुक्त समष्टि कहा जाता है। रोबोट के आगे गतिकी और व्युत्क्रम गतिकी समीकरण विन्यास और अंत-प्रभावक स्थिति के बीच या संयुक्त समष्टि और विन्यास समष्टि के बीच मानचित्र (गणित) को परिभाषित करते हैं। रोबोट गति योजना इस मानचित्र का उपयोग संयुक्त समष्टि में पथ खोजने के लिए करता है, जो अंत-प्रभावक के विन्यास समष्टि में प्राप्त करने योग्य मार्ग प्रदान करता है।

औपचारिक परिभाषा

मौलिक यांत्रिकी में प्रणाली के विन्यास में गतिज बाधाओं के अधीन सभी घटकों की स्थिति होती है।

चरण समष्टि

यांत्रिक प्रणाली का पूरी तरह से वर्णन करने के लिए विन्यास समष्टि अपर्याप्त है। यह वेगों को ध्यान में रखने में विफल रहता है। प्रणाली के लिए उपलब्ध वेगों का समूह प्रणाली के विन्यास विश्लेषण के लिए विमान स्पर्शरेखा को परिभाषित करता है। बिंदु पर $q\in Q$, उस स्पर्शरेखा तल को $T_{q}Q$ निरूपित किया जाता है। संवेग वैक्टर स्पर्शरेखा विमान के रैखिक कार्य हैं, जिन्हें स्पर्शरेखा वैक्टर के रूप में जाना जाता है। बिंदु के लिए $q\in Q$, वह कोटिस्पर्श तल द्वारा $T_{q}^{*}Q$ निरूपित किया जाता है। यांत्रिक प्रणाली की स्थिति और संवेग का समुच्चय स्पर्शरेखा बंडल बनाता है $T^{*}Q$ विन्यास के विश्लेषण $Q$. इस बड़े विश्लेषण को प्रणाली का चरण समष्टि कहा जाता है।

अवस्था समष्टि

क्वांटम यांत्रिकी में, अनुरूप अवधारणा को अवस्था समष्टि भौतिकी कहा जाता है। इस स्थितियों में औपचारिकताओं और अंकन का अलग समूह उपयोग किया जाता है। बिंदु कण का अनुरूप बिंदु बन जाता है $\mathbb {CP} ^{1}$, जटिल प्रक्षेपी रेखा, जिसे बलोच क्षेत्र के रूप में भी जाना जाता है। यह जटिल है, क्योंकि क्वांटम यांत्रिक तरंग क्रिया का जटिल चरण होता है, यह प्रक्षेपी है क्योंकि तरंग-क्रिया को इकाई संभाव्यता के लिए सामान्यीकृत किया जाता है। अर्थात तरंग क्रिया दिया गया है $\psi$ कुल संभाव्यता से इसे सामान्य करने के लिए स्वतंत्र है ${\textstyle \int \psi ^{*}\psi }$, इस प्रकार यह तरंग क्रियाप्रक्षेपात्मक बना रहा है।

यह भी देखें

• विशेषता समष्टि (प्रतिमान पहचान में विषय)
• मापदंड समष्टि
• विन्यास समष्टि (गणित)

बाहरी संबंध

• Intuitive Explanation of Classical Configuration Spaces.
• Interactive Visualization of the C-space for a Robot Arm with Two Rotational Links from UC Berkeley.
• Configuration Space Visualization from Free University of Berlin
• Configuration Spaces, Braids, and Robotics from Robert Ghrist