शंकु वर्गों का मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व

गणित में, शंकु वर्गों का मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व रैखिक बीजगणित के उपकरण को शंकु वर्गों के अध्ययन में उपयोग करने की अनुमति देता है। यह शंकु खंड के घूर्णन के अक्ष , शीर्ष (वक्र), स्पर्शरेखा और ध्रुव और शंकु द्वारा निर्धारित समतल के बिंदुओं और रेखाओं के बीच ध्रुवीय संबंध की गणना करने के सरल विधियों प्रदान करता है। इस विधि को शंकु खंड के समीकरण को मानक रूप में रखने की आवश्यकता नहीं होती है, इस प्रकार उन शंकु वर्गों की जांच करना सरल हो जाता है जिनके अक्ष समन्वय प्रणाली के समानांतर (ज्यामिति) नहीं हैं।

शांकव खंड (पतित शांकव सहित) उन बिंदुओं का समुच्चय (गणित) हैं जिनके निर्देशांक दो चरों में द्वितीय-डिग्री बहुपद समीकरण को संतुष्ट करते हैं,

Q(x,y)=Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0.

संकेतन के दुरुपयोग के कारण इस शंकु खंड $Q$ को भी उपयोग किया जाएगा जिससे कि किसी प्रकार का भ्रम पैदा नहीं हो सकता।

कुछ बाद के सूत्रों को सरल बनाने के लिए इस समीकरण को मैट्रिक्स (गणित) नोटेशन में सममित मैट्रिक्स के संदर्भ में लिखा जा सकता है^[1]

\left({\begin{matrix}x&y\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}A&B/2\\B/2&C\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}x\\y\end{matrix}}\right)+\left({\begin{matrix}D&E\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}x\\y\end{matrix}}\right)+F=0.

इस समीकरण के पहले तीन शब्दों का योग, अर्थात्

Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}=\left({\begin{matrix}x&y\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}A&B/2\\B/2&C\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}x\\y\end{matrix}}\right),

समीकरण और मैट्रिक्स से जुड़ा द्विघात रूप है

A_{33}=\left({\begin{matrix}A&B/2\\B/2&C\end{matrix}}\right)

द्विघात रूप का मैट्रिक्स कहा जाता है। ट्रेस (रैखिक बीजगणित) और निर्धारक $A_{33}$ अक्षों के घूर्णन और समतल के अनुवाद (ज्यामिति) (मूल की गति) के संबंध में दोनों अपरिवर्तनीय हैं।^[2]^[3]

द्विघात समीकरण को इस रूप में भी लिखा जा सकता है

\mathbf {x} ^{T}A_{Q}\mathbf {x} =0,

जहां $\mathbf {x}$ तीन चरों में सजातीय निर्देशांक प्रतिबंधित है जिससे कि अंतिम चर का मान 1 हो, अर्थात,

{\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}}

और जहाँ $A_{Q}$ मैट्रिक्स है

A_{Q}={\begin{pmatrix}A&B/2&D/2\\B/2&C&E/2\\D/2&E/2&F\end{pmatrix}}.

$A_{Q}$ द्विघात समीकरण का आव्यूह कहा जाता है।^[4] $A_{33}$ की तरह , इसका निर्धारक घूर्णन और अनुवाद दोनों के संबंध में अपरिवर्तनीय है।^[3]

2 × 2 ऊपरी बाएँ सबमैट्रिक्स (आदेश 2 का एक मैट्रिक्स) या $A Q$ , तीसरी (अंतिम) पंक्ति और तीसरे (अंतिम) कॉलम को हटाकर प्राप्त किया गया $A Q$ द्विघात रूप का मैट्रिक्स है। उपरोक्त अंकन $A 33$ इस लेख में इस पर जोर देने के लिए प्रयोग किया जाता है।

वर्गीकरण

उचित (गैर-पतित) और पतित शंकु को प्रतिष्ठित किया जा सकता है^[5]^[6] $A Q$ के निर्धारक के आधार पर:

यदि $\det A_{Q}=0$ , शंकु पतित है।

यदि $\det A_{Q}\neq 0$ जिससे कि $Q$ पतित नहीं है, हम लघुगणक (गणित) की गणना करके देख सकते हैं कि $\det A_{33}$ किस प्रकार का शंकु परिच्छेद है, :

$Q$ अतिपरवलय है यदि $\det A_{33}<0$ ,
$Q$ परवलय है यदि $\det A_{33}=0$ , और
$Q$ अंडाकार है यदि $\det A_{33}>0$ .

दीर्घवृत्त की स्थिति में, हम पिछले दो विकर्ण तत्वों की तुलना गुणांक के अनुरूप करके वृत्त के विशेष स्थिति $x 2$ और $y 2$ में अंतर कर सकते हैं :

यदि $A = C$ और $B = 0$ , तब $Q$ वर्तुल है।

इसके अतिरिक्त, गैर-पतित दीर्घवृत्त के स्थिति में (के साथ $\det A_{33}>0$ और $\det A_{Q}\neq 0$ ), हमारे पास वास्तविक संख्या दीर्घवृत्त है यदि $(A+C)\det A_{Q}<0$ लेकिन एक काल्पनिक संख्या दीर्घवृत्त यदि $(A+C)\det A_{Q}>0$ तो $x^{2}+y^{2}+10=0$ उत्तरार्द्ध का उदाहरण है, जिसका कोई वास्तविक-मूल्यवान समाधान नहीं है।

यदि शांकव खंड पतित शांकव है तब ( $\det A_{Q}=0$ ), $\det A_{33}$ के लिए अभी भी हमें इसके रूप में अंतर करने की अनुमति देता है:

दो अन्तर्विभाजक रेखाएँ (एक अतिपरवलय इसके दो स्पर्शोन्मुख में पतित) यदि $\det A_{33}<0$ .
दो समानांतर सीधी रेखाएँ (एक पतित परवलय) यदि $\det A_{33}=0$ . ये रेखाएँ विशिष्ट और वास्तविक हैं यदि $D^{2}+E^{2}>4(A+C)F$ , संयोग यदि $D^{2}+E^{2}=4(A+C)F$ , और वास्तविक समतल में सम्मलित नहीं है $D^{2}+E^{2}<4(A+C)F$ .
एकल बिंदु (पतित दीर्घवृत्त) यदि $\det A_{33}>0$ .

संयोग रेखाओं की स्थिति तब होती है जब 3 × 3 मैट्रिक्स $A_{Q}$ के मैट्रिक्स की रैंक 1 है; अन्य सभी पतित स्थितियों में इसकी रैंक 2 है।^[2]

केंद्रीय शांकव

जब $\det A_{33}\neq 0$ शंकु खंड का ज्यामितीय केंद्र सम्मलित है और ऐसे शंकु वर्गों (दीर्घवृत्त और अतिपरवलय) को 'केंद्रीय शंकु' कहा जाता है।^[7]

केंद्र

शंकु का केंद्र यदि सम्मलित है, तो वह बिंदु है जो शंकु के सभी तारों को विभाजित करता है जो इसके माध्यम से गुजरते हैं। इस संपत्ति का उपयोग केंद्र के निर्देशांक की गणना करने के लिए किया जा सकता है, जिसे उस बिंदु के रूप में दिखाया जा सकता है जहां द्विघात फलन का ढाल $Q$ इसी में सुयुग्मित हो जाता है—अर्थात्^[8]

\nabla Q=\left[{\frac {\partial Q}{\partial x}},{\frac {\partial Q}{\partial y}}\right]=[0,0].

यह नीचे दिए गए केंद्र को उत्पन्न करता है।

द्विघात समीकरण के मैट्रिक्स रूप का उपयोग करने वाला वैकल्पिक दृष्टिकोण इस तथ्य पर आधारित है कि जब केंद्र समन्वय प्रणाली की उत्पत्ति है, तो समीकरण में कोई रैखिक शब्द नहीं हैं। समन्वय मूल के लिए कोई भी अनुवाद $(x 0, y 0)$ , का उपयोग कर $x * = x - x 0$ , $y * = y - y 0$ को जन्म देता है

\left({\begin{matrix}x^{*}+x_{0}&y^{*}+y_{0}\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}A&B/2\\B/2&C\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}x^{*}+x_{0}\\y^{*}+y_{0}\end{matrix}}\right)+\left({\begin{matrix}D&E\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}x^{*}+x_{0}\\y^{*}+y_{0}\end{matrix}}\right)+F=0.

के लिए शर्त $(x 0, y 0)$ शांकव का केंद्र होना $(x c, y c)$ यह है कि रैखिक के गुणांक $x*$ और $y*$ पद, जब इस समीकरण को गुणा किया जाता है, शून्य होते हैं। यह स्थिति केंद्र के निर्देशांक उत्पन्न करती है:

{\begin{pmatrix}x_{c}\\y_{c}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}A&B/2\\B/2&C\end{pmatrix}}^{\!-1}{\begin{pmatrix}-D/2\\-E/2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}(BE-2CD)/(4AC-B^{2})\\(DB-2AE)/(4AC-B^{2})\end{pmatrix}}.

यह गणना संबद्ध की पहली दो पंक्तियों को लेकर भी पूरी की जा सकती है आव्यूह $A Q$ , प्रत्येक को गुणा करके $(x, y, 1) ⊤$ और दोनों आंतरिक उत्पादों को 0 के बराबर सेट करके, निम्नलिखित को दी हुई प्रणाली में प्राप्त करें:

Ax+(B/2)y+D/2=0,

(B/2)x+Cy+E/2=0.

इससे उपरोक्त केंद्र बिंदु प्राप्त होता है।

दीर्घवृत्त की स्थिति में, वह तब होगा जब $4 AC - B 2 = 0$ , जहाँ कोई केंद्र नहीं है क्योंकि उपरोक्त भाजक शून्य हो जाते हैं (या, प्रक्षेपी ज्यामिति की व्याख्या, केंद्र अनंत पर रेखा पर है।)

केंद्रित मैट्रिक्स समीकरण

केंद्रीय (गैर-परवलय) शंकु $Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0$ के रूप में केंद्रित मैट्रिक्स रूप में फिर से लिखा जा सकता है

\left({\begin{matrix}x-x_{c}&y-y_{c}\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}A&B/2\\B/2&C\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}x-x_{c}\\y-y_{c}\end{matrix}}\right)=K,

जहां

K={\frac {-\det(A_{Q})}{AC-(B/2)^{2}}}={\frac {-\det(A_{Q})}{\det(A_{33})}}.

फिर दीर्घवृत्त स्थिति के लिए $AC > (B /2) 2$ , दीर्घवृत्त वास्तविक है यदि का संकेत $K$ के चिह्न $(A + C)$ के बराबर है (अर्ताथ, प्रत्येक का संकेत $A$ और $C$ ), काल्पनिक यदि उनके विपरीत संकेत हैं, और पतित बिंदु दीर्घवृत्त यदि है $K = 0$ . अतिपरवलय के स्थिति में $AC < (B /2) 2$ , अतिपरवलय पतित है यदि $K = 0$ .

एक केंद्रीय शांकव का मानक रूप

केंद्रीय शंकु खंड के समीकरण का मानक रूप तब प्राप्त होता है जब शंकु खंड का अनुवाद और घुमाया जाता है जिससे कि इसका केंद्र समन्वय प्रणाली के केंद्र में स्थित हो और इसके अक्ष समन्वय अक्षों के साथ मेल खाते हों। यहाँ समन्वय प्रणाली का केंद्र स्थानांतरित हो गया है और इन गुणों को पूरा करने के लिए समन्वय अक्षों को घुमाया जाता है। आरेख में, मूल $xy$ मूल के साथ समन्वय प्रणाली $O$ में ले जाया जाता है $x'y'$ मूल के साथ समन्वय प्रणाली $O'$ .

अनुवाद करना और निर्देशांक घुमाना

अनुवाद वेक्टर द्वारा है ${\vec {t}}={\begin{pmatrix}x_{c}\\y_{c}\end{pmatrix}}.$

कोण से घुमाव $α$ मैट्रिक्स विकर्णकरण $A 33$ मैट्रिक्स द्वारा किया जा सकता है .

इस प्रकार, यदि $\lambda _{1}$ और $\lambda _{2}$ आईजन मान (eigenvalue) हैं

मैट्रिक्स A₃₃केंद्रित समीकरण को नए चरों में फिर से लिखा जा सकता है $x'$ और $y'$ जैसा^[9]

\lambda _{1}x'^{2}+\lambda _{2}y'^{2}=-{\frac {\det A_{Q}}{\det A_{33}}}.

$K=-{\frac {\det A_{Q}}{\det A_{33}}}$ द्वारा विभाजित करके हम मानक विहित रूप प्राप्त करते हैं।

उदाहरण के लिए, दीर्घवृत्त के लिए यह रूप है

{\frac {{x'}^{2}}{a^{2}}}+{\frac {{y'}^{2}}{b^{2}}}=1.

यहाँ से हमें $a$ और $b$ मिलता है, जिसमें पारंपरिक अंकन में अर्ध-प्रमुख और अर्ध-लघु अक्षों की लंबाई निहित होती हैं।

केंद्रीय शांकवों के लिए, दोनों आईजन मान गैर-शून्य हैं और शांकव वर्गों का वर्गीकरण उनकी जांच करके प्राप्त किया जा सकता है।^[10] * यदि $λ 1$ और $λ 2$ बीजगणितीय चिह्न है, तो $Q$ एक वास्तविक दीर्घवृत्त, काल्पनिक दीर्घवृत्त या वास्तविक बिंदु यदि $K$ का समान चिह्न, विपरीत चिह्न या क्रमशः शून्य है।

यदि $λ 1$ और $λ 2$ विपरीत बीजगणितीय संकेत हैं, फिर $Q$ एक अतिपरवलय या दो अन्तर्विभाजक रेखाएँ हैं जो इस पर निर्भर करती हैं $K$ क्रमशः अशून्य या शून्य है।

अक्ष

[[ प्रमुख अक्ष प्रमेय ]] द्वारा, एक केंद्रीय शंकु खंड (दीर्घवृत्त या अतिपरवलय) के द्विघात रूप के मैट्रिक्स के दो आईजन वैक्टर लंबवत (एक दूसरे के लिए ओर्थोगोनालिटी ) हैं और प्रत्येक समानांतर (समान दिशा में) या तो प्रमुख अक्ष शंकु के रूप में है। इसका सबसे छोटा आईजेन मान (पूर्ण मान में) आईजेनवेक्टर के प्रमुख अक्ष से मेल खाता है।^[11]

विशेष रूप से, यदि केंद्रीय शांकव खंड में केंद्र $(x c, y c)$ है और आईजेनवेक्टर $A 33$ द्वारा दिया गया है तब उस आईजेनवेक्टर के संगत मुख्य अक्ष (प्रमुख या लघु) का समीकरण होता है,

{\frac {x-x_{c}}{v_{1}}}={\frac {y-y_{c}}{v_{2}}}.

कार्यक्षेत्र

केंद्रीय शंकु के शीर्ष (वक्र) को शंकु और उसके अक्षों के अन्तःखण्ड की गणना करके निर्धारित किया जा सकता है - दूसरे शब्दों में, द्विघात शंकु समीकरण और वैकल्पिक रूप से एक या अन्य अक्षों के लिए रैखिक समीकरण से मिलकर प्रणाली को हल करके प्राप्त की जाती है तथा प्रत्येक अक्ष के लिए दो या कोई शीर्ष प्राप्त नहीं होते हैं, चूंकि अतिपरवलय के स्थिति में, लघु अक्ष अतिपरवलय को वास्तविक निर्देशांक वाले बिंदु पर नहीं काटता है। चूंकि, जटिल समतल के व्यापक दृष्टिकोण से, अतिपरवलय की छोटी धुरी अतिपरवलय को जटिल निर्देशांक वाले बिंदुओं पर काटती है।^[12]

स्तम्भ और ध्रुव

सजातीय निर्देशांक के लिए बिन्दु का उपयोग करना,^[13] ^[14]

\mathbf {p} ={\begin{pmatrix}p_{0}\\p_{1}\\p_{2}\end{pmatrix}}

और

\mathbf {r} ={\begin{pmatrix}r_{0}\\r_{1}\\r_{2}\end{pmatrix}}

शांकव $Q$ के संबंध में संयुग्मी हैं

\mathbf {p} ^{T}A_{Q}\mathbf {r} =0.

निश्चित बिंदु के संयुग्मक $p$ या तो रेखा बनाएं या शांकव के तल में सभी बिंदुओं से मिलकर बने रहते हैं। जब $p$ का संयुग्मन होता है तब यह रेखा बनाते हैं, रेखा $p$ को ध्रुवीय कहा जाता है और बिंदु $p$ शंकु के संबंध में रेखा का ध्रुव कहा जाता है। बिंदुओं और रेखाओं के बीच के इस संबंध को ध्रुवता कहा जाता है।

यदि शंकु गैर-पतित है, तो बिंदु के संयुग्म सदैव रेखा बनाते हैं और शंकु द्वारा परिभाषित ध्रुवीयता विस्तारित समतल के बिंदुओं और रेखाओं के बीच आक्षेप है जिसमें शंकु होता है (अर्थात, बिंदु के साथ समतल एक साथ होता है) अनंत और अनंत पर रेखा)।

यदि बिंदु $p$ शंकु पर $Q$ , की ध्रुवीय रेखा $p$ की स्पर्शरेखा है $Q$ पर $p$ स्थित है।

इस समीकरण के अनुसार सजातीय निर्देशांक में, बिंदु की ध्रुवीय रेखा का $p$ गैर-पतित शांकव के संबंध में $Q$ द्वारा दिया गया है

\mathbf {p} ^{T}A_{Q}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}=0.

जिस प्रकार $p$ विशिष्ट रूप से अपनी ध्रुवीय रेखा (दिए गए शंकु के संबंध में) निर्धारित करता है, इसलिए प्रत्येक रेखा अद्वितीय ध्रुव $p$ निर्धारित करती है, इसके अतिरिक्त, बिंदु $p$ लाइन $L$ पर है जो बिंदु $r$ का ध्रुवीय है , यदि ध्रुवीय $p$ बिन्दु $r$ से होकर जाता है ( फिलिप डी ला हायर की प्रमेय)।^[15] इस प्रकार, यह संबंध समतल में बिंदुओं और रेखाओं के बीच ज्यामितीय द्वैत (प्रक्षेपी ज्यामिति) की अभिव्यक्ति है।

शंक्वाकार वर्गों से संबंधित कई परिचित अवधारणाएं सीधे इस ध्रुवीयता से संबंधित हैं। एक गैर-पतित शंकु के केंद्र को अनंत पर रेखा के ध्रुव के रूप में पहचाना जा सकता है। परवलय, अनंत पर रेखा के स्पर्शरेखा होने के कारण, इसका केंद्र अनंत पर रेखा पर एक बिंदु होगा। अतिपरवलय दो अलग-अलग बिंदुओं में अनंत पर रेखा को काटते हैं और इन बिंदुओं की ध्रुवीय रेखाएँ अतिपरवलय की स्पर्शोन्मुख रेखाएँ हैं और अनंत के इन बिंदुओं पर अतिपरवलय की स्पर्श रेखाएँ हैं। साथ ही, शंकु के फ़ोकस की ध्रुवीय रेखा इसकी संगत नियता होती है।^[16]

स्पर्शरेखा

लाइन $L$ बिंदु की ध्रुवीय रेखा $p$ होत तब गैर-पतित शांकव $Q$ के संबंध में ला हिरे के प्रमेय के अनुसार, प्रत्येक रेखा $p$ से होकर गुजरती है उसका पोल $L$ पर लगा हुआ है, यदि $L$ , $Q$ को काटती है दो बिंदुओं में (अधिकतम संभव) तो उन बिंदुओं के ध्रुव स्पर्श रेखाएँ हैं जो $p$ से गुजरती हैं और ऐसे बिंदु को बाहरी या बाहरी बिंदु $Q$ कहा जाता है, यदि $L$ , $Q$ को काटती है तब बिंदु में, तो यह स्पर्शरेखा रेखा है और $p$ स्पर्शरेखा का बिंदु है। अंत में, यदि $L$ प्रतिच्छेद नहीं करता $Q$ तब $p$ इसमें से होकर कोई स्पर्शरेखा नहीं गुजरती है और इसे आंतरिक या आंतरिक बिंदु कहा जाता है।^[17] बिंदु पर स्पर्श रेखा (सजातीय निर्देशांक में) का समीकरण $p$ गैर-पतित शांकव पर $Q$ द्वारा दिया गया है,

\mathbf {p} ^{T}A_{Q}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}=0.

यदि $p$ बाहरी बिंदु है, पहले इसके ध्रुवीय (उपरोक्त समीकरण) के समीकरण को खोजें और फिर शंकु के साथ उस रेखा के प्रतिच्छेदन, बिंदुओं पर कहें $s$ और $t$ . के ध्रुव $s$ और $t$ के माध्यम से स्पर्शरेखा होगी $p$ .

ध्रुवों और ध्रुवों के सिद्धांत का उपयोग करते हुए, दो शांकवों की चार पारस्परिक स्पर्शरेखाओं को खोजने की समस्या शंक्वाकार खंड दो शंकुओं को प्रतिच्छेद करने में कम हो जाती है।

यह भी देखें

शांकव खंड सामान्य कार्तीय रूप
द्विघात रूप (सांख्यिकी)

↑ Brannan, Esplen & Gray 1999, p. 30
↑ ^2.0 ^2.1 Pettofrezzo 1978, p. 110
↑ ^3.0 ^3.1 Spain 2007, pp. 59–62
↑ It is also a matrix of a quadratic form, but this form has three variables and is $Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dxz+Eyz+Fz^{2}$ .
↑ Lawrence 1972, p. 63
↑ Spain 2007, p. 70
↑ Pettofrezzo 1978, p. 105
↑ Ayoub 1993, p. 322
↑ Ayoub 1993, p. 324
↑ Pettofrezzo 1978, p. 108
↑ Ostermann & Wanner 2012, p. 311
↑ Kendig, Keith (2005), Conics, The Mathematical Association of America, pp. 89–102, ISBN 978-0-88385-335-1
↑ This permits the algebraic inclusion of infinite points and a line at infinity which are necessary to have for some of the following results
↑ This section follows Fishback, W.T. (1969), Projective and Euclidean Geometry (2nd ed.), Wiley, pp. 167–172
↑ Brannan, Esplen & Gray 1999, p. 189
↑ Akopyan, A.V.; Zaslavsky, A.A. (2007), Geometry of Conics, American Mathematical Society, p. 72, ISBN 978-0-8218-4323-9
↑ Interpreted in the complex plane such a point is on two complex tangent lines that meet $Q$ in complex points.

संदर्भ

Ayoub, A. B. (1993), "The central conic sections revisited", Mathematics Magazine, 66 (5): 322–325, doi:10.1080/0025570x.1993.11996157
Brannan, David A.; Esplen, Matthew F.; Gray, Jeremy J. (1999), Geometry, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-59787-6
Lawrence, J. Dennis (1972), A Catalog of Special Plane Curves, Dover
Ostermann, Alexander; Wanner, Gerhard (2012), Geometry by its History, Springer, doi:10.1007/978-3-642-29163-0, ISBN 978-3-642-29163-0
Pettofrezzo, Anthony (1978) [1966], Matrices and Transformations, Dover, ISBN 978-0-486-63634-4
Spain, Barry (2007) [1957], Analytical Conics, Dover, ISBN 978-0-486-45773-4

श्रेणी:शंक्वाकार खंड

[1] Brannan, Esplen & Gray 1999, p. 30

[petto110-2] 2.0 ^2.1 Pettofrezzo 1978, p. 110

[Spainsec-3] 3.0 ^3.1 Spain 2007, pp. 59–62

[4] It is also a matrix of a quadratic form, but this form has three variables and is $Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dxz+Eyz+Fz^{2}$ .

[Lawrence-5] Lawrence 1972, p. 63

[6] Spain 2007, p. 70

[7] Pettofrezzo 1978, p. 105

[8] Ayoub 1993, p. 322

[9] Ayoub 1993, p. 324

[10] Pettofrezzo 1978, p. 108

[11] Ostermann & Wanner 2012, p. 311

[12] Kendig, Keith (2005), Conics, The Mathematical Association of America, pp. 89–102, ISBN 978-0-88385-335-1

[13] This permits the algebraic inclusion of infinite points and a line at infinity which are necessary to have for some of the following results

[14] This section follows Fishback, W.T. (1969), Projective and Euclidean Geometry (2nd ed.), Wiley, pp. 167–172

[15] Brannan, Esplen & Gray 1999, p. 189

[16] Akopyan, A.V.; Zaslavsky, A.A. (2007), Geometry of Conics, American Mathematical Society, p. 72, ISBN 978-0-8218-4323-9

[17] Interpreted in the complex plane such a point is on two complex tangent lines that meet $Q$ in complex points.

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