सरल आवर्ती दोलक

This article is about मौलिक यांत्रिकी में सरल आवर्ती दोलक. For क्वांटम यांत्रिकी में इसका उपयोग, see क्वांटम सरल आवर्ती दोलक.

मौलिक यांत्रिकी में, सरल आवर्ती दोलक ऐसी प्रणाली है, जो अपनी यांत्रिक संतुलन स्थिति से विस्थापित होने पर, विस्थापन x के लिए पुनर्स्थापना बल F आनुपातिकता (गणित) का अनुभव करती है:

$${\vec {F}}=-k{\vec {x}},$$

जहाँ k धनात्मक गुणांक है।

यदि प्रणाली पर कार्य करने वाला एकमात्र बल F है, तो प्रणाली को 'सरल सरल आवर्ती दोलक' कहा जाता है, और यह सरल सरल आवर्ती गति से निकलता है: निरंतर आयाम और स्थिर आवृत्ति के साथ संतुलन बिंदु के बारे में साइनसोइडल दोलन (जो आयाम पर निर्भर नहीं करता) है।

यदि वेग के समानुपाती घर्षण बल (अवमन्दित अनुपात) भी उपस्थित है, तो सरल आवर्ती दोलक को 'डंप्ड दोलक' के रूप में वर्णित किया जाता है। घर्षण गुणांक के आधार पर, प्रणाली कर सकता है:

• अवमन्दित अनुपात स्थिति की तुलना में कम आवृत्ति के साथ दोलन करें, और समय के साथ आयाम घट रहा है (अवमन्दित अनुपात दोलक)।
• दोलनों के बिना संतुलन की स्थिति में क्षय ( अतिअवमंदित दोलक)।

न्यूनअवमंदित दोलक और अतिअवमंदित दोलक के मध्य का सीमा समाधान घर्षण गुणांक के विशेष मूल्य पर होता है और इसे क्रिटिकली डैम्प्ड कहा जाता है।

यदि बाहरी समय-निर्भर बल उपस्थित है, तो सरल आवर्ती दोलक को संचालित दोलक के रूप में वर्णित किया जाता है।

यांत्रिक उदाहरणों में लोलक (छोटे-कोण सन्निकटन के साथ या लोलक की गति), मॉसेस (उपकरण) से जुड़े द्रव्यमान और ध्वनि-विज्ञान सम्मिलित हैं। अन्य समतुल्य प्रणालियों में आरएलसी परिपथ जैसे विद्युत सरल आवर्ती दोलक सम्मिलित हैं। सरल आवर्ती दोलक मॉडल भौतिकी में बहुत महत्वपूर्ण है, क्योंकि स्थिर संतुलन में बल के अधीन कोई भी द्रव्यमान छोटे कंपनों के लिए सरल आवर्ती दोलक के रूप में कार्य करता है। सरल आवर्ती दोलक प्रकृति में व्यापक रूप से पाए जाते हैं और विभिन्न मानव निर्मित उपकरणों, जैसे घड़ियों और रेडियो परिपथ में उपयोग किए जाते हैं। वह प्रायः सभी साइनसॉइडल कंपन और तरंगों के स्रोत हैं।

सरल आवर्ती दोलक

Main article: सरल आवर्त गति

मास-स्प्रिंग हार्मोनिक ऑसिलेटर

सरल आवर्त गति

साधारण सरल आवर्ती दोलक दोलक है जो न तो संचालित होता है जो न तो संचालित होता है और न ही अवमंदित होता है। इसमें द्रव्यमान m होता है, जो एकल बल F का अनुभव करता है, जो द्रव्यमान को बिंदु x = 0 की दिशा में खींचता है और केवल द्रव्यमान की स्थिति x और स्थिरांक k पर निर्भर करता है। प्रणाली के लिए बलों का संतुलन (न्यूटन का दूसरा नियम) है

$$F=ma=m{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=m{\ddot {x}}=-kx.$$

इस अवकल समीकरण को हल करने पर हम पाते हैं कि गति का वर्णन फलन द्वारा किया जाता है

$$x(t)=A\cos(\omega t+\varphi ),$$

जहाँ पर

$$\omega ={\sqrt {\frac {k}{m}}}.$$

गति आवधिक कार्य है, जो निरंतर आयाम A के साथ साइनसोइडल फैशन में स्वयं को दोहराता है। इसके आयाम के अतिरिक्त एक सरल आवर्ती दोलक की गति को इसकी अवधि $T=2\pi /\omega$ एकल दोलन के लिए समय या इसकी आवृत्ति $f=1/T$ प्रति इकाई समय चक्रों की संख्या द्वारा विशेषता दी जाती है। किसी निश्चित समय t पर स्थिति चरण φ पर भी निर्भर करती है जो साइन तरंग पर प्रारंभिक बिंदु निर्धारित करती है। अवधि और आवृत्ति द्रव्यमान m के आकार और बल स्थिरांक k द्वारा निर्धारित की जाती है जबकि आयाम और चरण प्रारंभिक स्थिति और वेग से निर्धारित होते हैं।

साधारण सरल आवर्ती दोलक का वेग और त्वरण स्थिति के समान आवृत्ति के साथ दोलन करता है, किन्तु स्थानांतरित चरणों के साथ शून्य विस्थापन के लिए वेग अधिकतम होता है, जबकि त्वरण विस्थापन के विपरीत दिशा में होता है।

स्थिति x पर साधारण सरल आवर्ती दोलक में संग्रहीत संभावित ऊर्जा है

$$U={\tfrac {1}{2}}kx^{2}.$$

अवमन्दित सरल आवर्ती दोलक

Main article: अवमंदन

अवमन्दित अनुपात . के मूल्य पर प्रणाली व्यवहार की निर्भरता

0:28CC

दो स्प्रिंग्स के मध्य डायनामिक्स कार्ट से युक्त अवमन्दित सरल आवर्ती दोलक को प्रदर्शित करने वाली वीडियो क्लिप। गाड़ी के ऊपर एक्सेलेरोमीटर त्वरण के परिमाण और दिशा को दर्शाता है।

वास्तविक दोलक में, घर्षण, या अवमन्दित, प्रणाली की गति को धीमा कर देता है। घर्षण बल के कारण, कार्य घर्षण बल के अनुपात में वेग कम हो जाता है। जबकि साधारण अप्रचलित सरल आवर्ती दोलक में द्रव्यमान पर कार्य करने वाला एकमात्र बल पुनर्स्थापन बल होता है, अवमन्दित सरल आवर्ती दोलक में इसके अतिरिक्त घर्षण बल होता है जो सदैव गति का विरोध करने की दिशा में होता है। विभिन्न कंपन प्रणालियों में घर्षण बल F_f वस्तु के वेग v के समानुपाती होने के रूप में F_f = −cv से प्रतिरूपित किया जा सकता है: जहां c को श्यान अवमंदन गुणांक कहा जाता है।

अवमन्दित सरल आवर्ती दोलक के लिए बलों का संतुलन (न्यूटन का दूसरा नियम) तब है

$$F=-kx-c{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=m{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}},$$

जिसे फॉर्म में पुनः लिखा जा सकता है

$${\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}+2\zeta \omega _{0}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}+\omega _{0}^{2}x=0,$$

जहाँ पर

• ${\textstyle \omega _{0}={\sqrt {\frac {k}{m}}}}$ दोलक की अविरल कोणीय आवृत्ति कहलाती है,
• ${\textstyle \zeta ={\frac {c}{2{\sqrt {mk}}}}}$ अवमंदन अनुपात कहलाता है।

अवमन्दित सरल आवर्ती दोलक की चरण प्रतिक्रिया; वक्रों को के तीन मानों के लिए प्लॉट किया जाता है μ = ω₁ = ω₀√1 − ζ². समय क्षय समय की इकाइयों में है τ = 1/(ζω₀).

अवमंदन अनुपात का मान प्रणाली के व्यवहार को क्रिटीकली निर्धारित करता है। अवमन्दित सरल आवर्ती दोलक हो सकता है:

• अतिअवमंदित (ζ > 1): प्रणाली बिना दोलन के स्थिर अवस्था में (घातीय क्षय) वापस आ जाता है। अवमंदन अनुपात के बड़े मान अधिक निरंतर संतुलन में लौट आते हैं।
• क्रिटीकली अवमन्दित (ζ = 1): प्रणाली बिना दोलन के जितनी शीघ्र हो सके स्थिर स्थिति में लौटता है (चूंकि प्रारंभिक वेग गैर-शून्य होने पर ओवरशूट हो सकता है)। यह अधिकांशतः डोर जैसे प्रणाली की अवमन्दित के लिए वांछित होता है।
• न्यूनअवमंदित (ζ <1): प्रणाली दोलन करता है (अनडम्प्ड केस की तुलना में भिन्न आवृत्ति के साथ) आयाम के साथ निरंतर शून्य हो जाता है। अधपके सरल आवर्ती दोलक की कोणीय आवृत्ति ${\textstyle \omega _{1}=\omega _{0}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}},}$ द्वारा दी जाती है अधपके सरल आवर्ती दोलक का घातीय क्षय $\lambda =\omega _{0}\zeta .$ द्वारा दिया जाता है

अवमन्दित दोलक के Q कारक को परिभाषित किया गया है

$$Q=2\pi \times {\frac {\text{energy stored}}{\text{energy lost per cycle}}}.$$

Q, ${\textstyle Q={\frac {1}{2\zeta }}.}$ द्वारा अवमंदन अनुपात से संबंधित है

संचालित सरल आवर्ती दोलक

संचालित सरल आवर्ती दोलक बाहरी रूप से प्रयुक्त बल F(t) द्वारा आगे प्रभावित होने वाले अवमन्दित दोलक होते हैं।

न्यूटन का दूसरा नियम रूप लेता है

$$F(t)-kx-c{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=m{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}.$$

इसे सामान्यतः फॉर्म में पुनः लिखा जाता है

$${\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}+2\zeta \omega _{0}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}+\omega _{0}^{2}x={\frac {F(t)}{m}}.$$

इस समीकरण को किसी भी प्रेरक बल के लिए हल किया जा सकता है, समाधान z(t) का उपयोग करके जो अप्रभावित समीकरण को संतुष्ट करता है

$${\frac {\mathrm {d} ^{2}z}{\mathrm {d} t^{2}}}+2\zeta \omega _{0}{\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}+\omega _{0}^{2}z=0,$$

और जिसे अवमन्दित साइनसॉइडल दोलनों के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:

$$z(t)=Ae^{-\zeta \omega _{0}t}\sin \left({\sqrt {1-\zeta ^{2}}}\omega _{0}t+\varphi \right),$$

जहां ζ ≤ 1. आयाम A और चरण प्रारंभिक स्थितियों से मेल खाने के लिए आवश्यक व्यवहार निर्धारित करते हैं।

चरण इनपुट

See also: चरण प्रतिक्रिया

यदि ζ < 1 और इकाई चरण इनपुट के साथ x(0) = 0:

$${\frac {F(t)}{m}}={\begin{cases}\omega _{0}^{2}&t\geq 0\\0&t<0\end{cases}}$$

समाधान है

$$x(t)=1-e^{-\zeta \omega _{0}t}{\frac {\sin \left({\sqrt {1-\zeta ^{2}}}\omega _{0}t+\varphi \right)}{\sin(\varphi )}},$$

चरण के साथ φ द्वारा दिया गया

$$\cos \varphi =\zeta .$$

दोलक को परिवर्तित बाहरी परिस्थितियों के अनुकूल होने के लिए जिस समय की आवश्यकता होती है वह τ = 1/(ζω₀) क्रम का होता है। भौतिकी में, अनुकूलन को विश्राम (भौतिकी) कहा जाता है, और τ को विश्राम समय कहा जाता है।

इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग में τ के गुणज को नियंत्रण समय कहा जाता है, अर्थात सिग्नल को सुनिश्चित करने के लिए आवश्यक समय अंतिम मूल्य से निश्चित प्रस्थान के अन्दर है, सामान्यतः 10% के अन्दर ओवरशूट शब्द उस सीमा को संदर्भित करता है जब प्रतिक्रिया अधिकतम अंतिम मूल्य से अधिक हो जाती है, और अंडरशूट उस सीमा को संदर्भित करता है जो प्रतिक्रिया अधिकतम प्रतिक्रिया के पश्चात् के समय के लिए अंतिम मूल्य से नीचे आती है।

साइनसॉइडल प्रेरक बल

सापेक्ष आवृत्ति के साथ आयाम की स्थिर-अवस्था भिन्नता $\omega /\omega _{0}$ और अवमन्दित $\zeta$ संचालित सरल आवर्ती दोलक। इस भूखंड को सरल आवर्ती दोलक स्पेक्ट्रम या गतिमान स्पेक्ट्रम भी कहा जाता है।

साइनसॉइडल प्रेरक बल के स्थिति में:

$${\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}+2\zeta \omega _{0}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}+\omega _{0}^{2}x={\frac {1}{m}}F_{0}\sin(\omega t),$$

जहाँ पर $F_{0}$ प्रेरक आयाम है, और $\omega$ साइनसॉइडल प्रेरक तंत्र के लिए प्रेरक आवृत्ति है। इस प्रकार की प्रणाली बारी-बारी से प्रारंभ-संचालित आरएलसी परिपथ (विद्युत प्रतिरोध-प्रेरक-संधारित्र) और आंतरिक यांत्रिक प्रतिरोध या बाहरी वायु प्रतिरोध वाले संचालित स्प्रिंग प्रणाली में दिखाई देती है।

सामान्य समाधान क्षणिक (दोलन) समाधान का योग है जो प्रारंभिक स्थितियों पर निर्भर करता है, और स्थिर स्थिति जो प्रारंभिक स्थितियों से स्वतंत्र होती है और केवल प्रेरक आयाम $F_{0}$ प्रेरक आवृत्ति $\omega$ अनडेम्प्ड कोणीय आवृत्ति $\omega _{0}$ और अवमंदन अनुपात $\zeta$ पर निर्भर करता है।

स्थिर-अवस्था समाधान प्रेरित चरण परिवर्तन के साथ प्रेरक बल $\varphi$ के समानुपाती होता है :

$$x(t)={\frac {F_{0}}{mZ_{m}\omega }}\sin(\omega t+\varphi ),$$

जहाँ पर

$$Z_{m}={\sqrt {\left(2\omega _{0}\zeta \right)^{2}+{\frac {1}{\omega ^{2}}}(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})^{2}}}$$

यांत्रिक प्रतिबाधा या रैखिक प्रतिक्रिया फलन का निरपेक्ष मूल्य है, और

$$\varphi =\arctan \left({\frac {2\omega \omega _{0}\zeta }{\omega ^{2}-\omega _{0}^{2}}}\right)+n\pi$$

प्रेरक बल के सापेक्ष दोलन का चरण है। चरण मान को सामान्यतः −180° और 0 के मध्य लिया जाता है (अर्थात, यह आर्कटिक तर्क के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों मानों के लिए चरण अंतराल का प्रतिनिधित्व करता है)।

विशेष प्रेरक आवृत्ति के लिए जिसे प्रतिध्वनि, या प्रतिध्वनित आवृत्ति कहा जाता है ${\textstyle \omega _{r}=\omega _{0}{\sqrt {1-2\zeta ^{2}}}}$, आयाम (दिए गए $F_{0}$ के लिए) अधिकतम है। यह प्रतिध्वनि प्रभाव तभी होता है जब $\zeta <1/{\sqrt {2}}$, अर्थात महत्वपूर्ण रूप से अशक्त प्रणाली के लिए अत्यधिक अंडरडैम्प प्रणाली के लिए, आयाम का मान प्रतिध्वनित आवृत्ति के निकट अधिक बड़ा हो सकता है।

क्षणिक समाधान अप्रत्याशित ($F_{0}=0$) अवमन्दित सरल आवर्ती दोलक के समान हैं और पहले हुई अन्य घटनाओं के लिए प्रणाली प्रतिक्रिया का प्रतिनिधित्व करता है। क्षणिक समाधान सामान्यतः इतनी तीव्रता से समाप्त हो जाते हैं कि उन्हें नजरंदाज किया जा सकता है।

पैरामीट्रिक दोलक

Main article: पैरामीट्रिक दोलक

पैरामीट्रिक दोलक संचालित सरल आवर्ती दोलक है जिसमें दोलक के मापदंडों को भिन्न- भिन्न करके प्रेरक ऊर्जा प्रदान की जाती है, जैसे कि अवमन्दित या प्रत्यानयन बल पैरामीट्रिक दोलन का परिचित उदाहरण खेल के मैदान पर पंप करना है।

गतिमान दोलन पर व्यक्ति बिना किसी बाहरी प्रेरक बल के दोलनों के आयाम को बढ़ा सकता है, दोलन की जड़त्व के क्षण को आगे और पीछे हिलाकर (पंपिंग) करके या बारी-बारी से खड़े होकर और लय में बैठकर, स्विंग के दोलनों के आयाम को बढ़ा सकता है। दोलन के कंपन के साथ मापदंडों के भिन्न- भिन्न प्रणाली को चलाते हैं। मापदंडों के उदाहरण जो भिन्न हो सकते हैं, इसकी प्रतिध्वनि आवृत्ति $\omega$ और अवमन्दित $\beta$ हैं

विभिन्न अनुप्रयोगों में पैरामीट्रिक दोलक का उपयोग किया जाता है। जब डायोड की धारिता समय-समय पर परिवर्तित होती रहती है, तो मौलिक सदिश पैरामीट्रिक दोलक दोलन करता है। वह परिपथ जो डायोड की धारिता को परिवर्तित करता है, पंप या चालक कहलाता है। माइक्रोवेव इलेक्ट्रॉनिक्स में, वेवगाइड (इलेक्ट्रोमैग्नेटिज्म) / येट्रियम एल्युमिनियम गार्नेट आधारित पैरामीट्रिक दोलक उसी प्रकार से कार्य करते हैं। डिजाइनर दोलनों को प्रेरित करने के लिए समय-समय पर मापदंड परिवर्तित करता रहता है।

पैरामीट्रिक दोलक को कम ध्वनि वाले एम्पलीफायरों के रूप में विकसित किया गया है, अधिकांशतः रेडियो और सूक्ष्म तरंग आवृत्ति सीमा में तापीय ध्वनि न्यूनतम है, क्योंकि प्रतिक्रिया (प्रतिरोध नहीं) विविध है। अन्य सामान्य उपयोग आवृत्ति रूपांतरण है, उदाहरण के लिए, ऑडियो से रेडियो आवृत्तियों में रूपांतरण होता है। उदाहरण के लिए, ऑप्टिकल पैरामीट्रिक दोलक इनपुट लेजर तरंग को कम आवृत्ति की दो आउटपुट तरंगों ($\omega _{s},\omega _{i}$) में परिवर्तित करता है

यांत्रिक प्रणाली में पैरामीट्रिक प्रतिध्वनि तब होती है जब प्रणाली पैरामीट्रिक रूप से उत्तेजित होती है और इसके प्रतिध्वनित आवृत्तियों में से पर दोलन करती है। पैरामीट्रिक उत्तेजना अशक्त करने से भिन्न है, क्योंकि क्रिया प्रणाली मापदंड पर समय परिवर्तित संशोधन के रूप में प्रकट होती है। यह प्रभाव नियमित प्रतिध्वनि से भिन्न है क्योंकि यह अस्थिरता की घटना को प्रदर्शित करता है।

सार्वभौमिक दोलक समीकरण

समीकरण

$${\frac {\mathrm {d} ^{2}q}{\mathrm {d} \tau ^{2}}}+2\zeta {\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} \tau }}+q=0$$

सार्वभौमिक दोलक समीकरण के रूप में जाना जाता है, क्योंकि सभी दूसरे क्रम के रैखिक दोलक प्रणालियों को इस रूप में कम किया जा सकता है। यह गैर-आयामीकरण के माध्यम से किया जाता है।

यदि फोर्सिंग कार्य f(t) = cos(ωt) = cos(ωt_cτ) = cos(ωτ) है, जहां ω = ωt_c है, तो समीकरण बन जाता है

$${\frac {\mathrm {d} ^{2}q}{\mathrm {d} \tau ^{2}}}+2\zeta {\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} \tau }}+q=\cos(\omega \tau ).$$

इस अंतर समीकरण के समाधान में दो भाग क्षणिक और स्थिर-अवस्था होते हैं।

क्षणिक समाधान

साधारण अवकल समीकरण को हल करने पर आधारित समाधान स्वेच्छ स्थिरांक c₁ और c₂ के लिए है

$$q_{t}(\tau )={\begin{cases}e^{-\zeta \tau }\left(c_{1}e^{\tau {\sqrt {\zeta ^{2}-1}}}+c_{2}e^{-\tau {\sqrt {\zeta ^{2}-1}}}\right)&\zeta >1{\text{ (overdamping)}}\\e^{-\zeta \tau }(c_{1}+c_{2}\tau )=e^{-\tau }(c_{1}+c_{2}\tau )&\zeta =1{\text{ (critical damping)}}\\e^{-\zeta \tau }\left[c_{1}\cos \left({\sqrt {1-\zeta ^{2}}}\tau \right)+c_{2}\sin \left({\sqrt {1-\zeta ^{2}}}\tau \right)\right]&\zeta <1{\text{ (underdamping)}}\end{cases}}$$

क्षणिक समाधान फोर्सिंग कार्य से स्वतंत्र है।

स्थिर-स्थिति समाधान

नीचे दिए गए सहायक समीकरण को हल करके और उसके समाधान के वास्तविक भाग को खोजकर सम्मिश्र विश्लेषण पद्धति को प्रयुक्त करें:

$${\frac {\mathrm {d} ^{2}q}{\mathrm {d} \tau ^{2}}}+2\zeta {\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} \tau }}+q=\cos(\omega \tau )+i\sin(\omega \tau )=e^{i\omega \tau }.$$

मान लीजिए कि समाधान फॉर्म का है

$$q_{s}(\tau )=Ae^{i(\omega \tau +\varphi )}.$$

शून्य से दूसरे क्रम तक इसके अवकलज हैं

$$q_{s}=Ae^{i(\omega \tau +\varphi )},\quad {\frac {\mathrm {d} q_{s}}{\mathrm {d} \tau }}=i\omega Ae^{i(\omega \tau +\varphi )},\quad {\frac {\mathrm {d} ^{2}q_{s}}{\mathrm {d} \tau ^{2}}}=-\omega ^{2}Ae^{i(\omega \tau +\varphi )}.$$

इन राशियों को अवकल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है

$$-\omega ^{2}Ae^{i(\omega \tau +\varphi )}+2\zeta i\omega Ae^{i(\omega \tau +\varphi )}+Ae^{i(\omega \tau +\varphi )}=(-\omega ^{2}A+2\zeta i\omega A+A)e^{i(\omega \tau +\varphi )}=e^{i\omega \tau }.$$

बाईं ओर के घातांक पद से भाग देने पर परिणाम होता है

$$-\omega ^{2}A+2\zeta i\omega A+A=e^{-i\varphi }=\cos \varphi -i\sin \varphi .$$

वास्तविक और काल्पनिक भागों की समानता करने से दो स्वतंत्र समीकरण बनते हैं

$$A(1-\omega ^{2})=\cos \varphi ,\quad 2\zeta \omega A=-\sin \varphi .$$

आयाम भाग

आदर्श सरल आवर्ती दोलक की आवृत्ति प्रतिक्रिया का बोड प्लॉट

दोनों समीकरणों का वर्ग करने और उन्हें साथ जोड़ने पर प्राप्त होता है

$$\left.{\begin{aligned}A^{2}(1-\omega ^{2})^{2}&=\cos ^{2}\varphi \\(2\zeta \omega A)^{2}&=\sin ^{2}\varphi \end{aligned}}\right\}\Rightarrow A^{2}[(1-\omega ^{2})^{2}+(2\zeta \omega )^{2}]=1.$$

इसलिए,

$$A=A(\zeta ,\omega )=\operatorname {sgn} \left({\frac {-\sin \varphi }{2\zeta \omega }}\right){\frac {1}{\sqrt {(1-\omega ^{2})^{2}+(2\zeta \omega )^{2}}}}.$$

इस परिणाम की तुलना प्रतिध्वनि पर सिद्धांत खंड के साथ-साथ आरएलसी परिपथ के परिमाण भाग से करें। दूसरे क्रम के प्रणाली की आवृत्ति प्रतिक्रिया के विश्लेषण और समझ में यह आयाम कार्य विशेष रूप से महत्वपूर्ण है।

चरण भाग

φ को हल करने के लिए दोनों समीकरणों को विभाजित करें

$$\tan \varphi =-{\frac {2\zeta \omega }{1-\omega ^{2}}}={\frac {2\zeta \omega }{\omega ^{2}-1}}~~\implies ~~\varphi \equiv \varphi (\zeta ,\omega )=\arctan \left({\frac {2\zeta \omega }{\omega ^{2}-1}}\right)+n\pi .$$

दूसरे क्रम के प्रणाली की आवृत्ति प्रतिक्रिया के विश्लेषण और समझ में यह चरण कार्य विशेष रूप से महत्वपूर्ण है।

पूर्ण समाधान

आयाम और चरण भागों के संयोजन से स्थिर-स्थिति समाधान प्राप्त होता है

$$q_{s}(\tau )=A(\zeta ,\omega )\cos(\omega \tau +\varphi (\zeta ,\omega ))=A\cos(\omega \tau +\varphi ).$$

मूल सार्वभौमिक दोलक समीकरण का समाधान क्षणिक और स्थिर-स्थिति समाधानों का सुपरपोजिशन सिद्धांत (योग) है:

$$q(\tau )=q_{t}(\tau )+q_{s}(\tau ).$$

उपरोक्त समीकरण को हल करने के तरीके के बारे में अधिक संपूर्ण विवरण के लिए, सामान्य अंतर समीकरण या स्थिर गुणांक वाले रैखिक ओडीई देखें।

समतुल्य प्रणाली

Main article: प्रणाली तुल्यता

इंजीनियरिंग के विभिन्न क्षेत्रों में होने वाले सरल आवर्ती दोलक इस अर्थ में समतुल्य हैं कि उनके गणितीय मॉडल समान हैं (ऊपर सार्वभौमिक दोलक समीकरण देखें)। नीचे यांत्रिकी और इलेक्ट्रॉनिक्स में चार सरल आवर्ती दोलक प्रणालियों में समान मात्रा दिखाने वाली तालिका है। यदि तालिका में ही पंक्ति के अनुरूप मापदंडों को संख्यात्मक रूप से समान मान दिया जाता है, तो दोलक का व्यवहार – उनके आउटपुट तरंग, प्रतिध्वनित आवृत्ति, अवमन्दित कारक, आदि। – समान हैं।

अनुवादात्मक यांत्रिक	घूर्णी यांत्रिक	श्रृंखला आरएलसी परिपथ	समानांतर आरएलसी परिपथ
पद $x$	कोण $\theta$	चार्ज $q$	फ्लक्स लिंकेज $\varphi$
वेग ${\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}$	कोणीय वेग ${\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}$	धारा ${\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} t}}$	वोल्टेज ${\frac {\mathrm {d} \varphi }{\mathrm {d} t}}$
द्रव्यमान $m$	जड़त्व का समय $I$	प्रेरकत्व $L$	धारिता $C$
संवेग $p$	कोणीय संवेग $L$	फ्लक्स लिंकेज $\varphi$	चार्ज $q$
स्प्रिंग स्थिरांक $k$	टोर्सन स्थिरांक $\mu$	इलास्टेंस $1/C$	चुंबकीय रेलेक्टेंस $1/L$
अवमंदन $c$	घूर्णी घर्षण $\Gamma$	प्रतिरोध $R$	प्रवाहकत्त्व $G=1/R$
प्रेरक बल $F(t)$	ड्राइव टॉर्क $\tau (t)$	वोल्टेज $e$	धारा $i$
अवमंदित प्रतिध्वनित आवृत्ति $f_{n}$:
${\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {k}{m}}}$	${\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {\mu }{I}}}$	${\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {1}{LC}}}$	${\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {1}{LC}}}$
अवमंदन अनुपात $\zeta$:
${\frac {c}{2}}{\sqrt {\frac {1}{km}}}$	${\frac {\Gamma }{2}}{\sqrt {\frac {1}{I\mu }}}$	${\frac {R}{2}}{\sqrt {\frac {C}{L}}}$	${\frac {G}{2}}{\sqrt {\frac {L}{C}}}$
अवकल समीकरण:
$m{\ddot {x}}+c{\dot {x}}+kx=F$	$I{\ddot {\theta }}+\Gamma {\dot {\theta }}+\mu \theta =\tau$	$L{\ddot {q}}+R{\dot {q}}+q/C=e$	$C{\ddot {\varphi }}+G{\dot {\varphi }}+\varphi /L=i$

संरक्षी बल के लिए आवेदन

सरल सरल आवर्ती दोलक की समस्या अधिकांशतः भौतिकी में होती है, क्योंकि किसी भी संरक्षी बल के प्रभाव में संतुलन पर द्रव्यमान, छोटी गति की सीमा में, साधारण सरल आवर्ती दोलक के रूप में व्यवहार करता है।

संरक्षी बल वह है जो संभावित ऊर्जा से जुड़ा होता है। सरल आवर्ती दोलक का संभावित-ऊर्जा कार्य है

$$V(x)={\tfrac {1}{2}}kx^{2}.$$

इच्छानुसार संभावित-ऊर्जा कार्य $V(x)$ को देखते हुए, कोई टेलर श्रृंखला $x$ के संदर्भ में कर सकता है न्यूनतम ऊर्जा के निकट ($x=x_{0}$) संतुलन से लघु विक्षोभों के व्यवहार का मॉडल तैयार करना होता है।

$$V(x)=V(x_{0})+V'(x_{0})\cdot (x-x_{0})+{\tfrac {1}{2}}V''(x_{0})\cdot (x-x_{0})^{2}+O(x-x_{0})^{3}.$$

क्योंकि $V(x_{0})$ न्यूनतम है, $V(x_{0})$ पर मूल्यांकन किया गया पहला व्युत्पन्न शून्य होना चाहिए, इसलिए रैखिक शब्द समाप्त हो जाता है:

$$V(x)=V(x_{0})+{\tfrac {1}{2}}V''(x_{0})\cdot (x-x_{0})^{2}+O(x-x_{0})^{3}.$$

स्थिर पद V(x₀) इच्छानुसार है और इस प्रकार निरस्त जा सकता है, और समन्वय परिवर्तन सरल सरल आवर्ती दोलक के रूप को पुनः प्राप्त करने की अनुमति देता है:

$$V(x)\approx {\tfrac {1}{2}}V''(0)\cdot x^{2}={\tfrac {1}{2}}kx^{2}.$$

इस प्रकार, गैर-लुप्त होने वाले दूसरे व्युत्पन्न के साथ इच्छानुसार संभावित-ऊर्जा कार्य $V(x)$ दिया गया है , कोई भी सरल सरल आवर्ती दोलक के समाधान का उपयोग संतुलन बिंदु के निकट छोटे अस्तव्यस्तता के लिए अनुमानित समाधान प्रदान करने के लिए कर सकता है।

उदाहरण

सरल लोलक

साधारण लोलक बिना अवमंदन और छोटे आयाम की स्थितियों में प्रायः सरल आवर्त गति प्रदर्शित करता है।

यह मानते हुए कि कोई अवमंदन नहीं है, लंबाई $l$ के एक सरल लोलक को नियंत्रित करने वाला अंतर समीकरण है जहां $g$ गुरुत्वाकर्षण का स्थानीय त्वरण है

$${\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+{\frac {g}{l}}\sin \theta =0.$$

यदि लोलक का अधिकतम विस्थापन लघु है तो हम सन्निकटन $\sin \theta \approx \theta$ का उपयोग कर सकते हैं और इसके अतिरिक्त समीकरण पर विचार कर सकते हैं

$${\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+{\frac {g}{l}}\theta =0.$$

इस अंतर समीकरण का सामान्य हल है

$$\theta (t)=A\cos \left({\sqrt {\frac {g}{l}}}t+\varphi \right),$$

जहाँ पर $A$ तथा $\varphi$ स्थिरांक हैं जो प्रारंभिक स्थितियों पर निर्भर करते हैं। प्रारंभिक स्थितियों के रूप में $\theta (0)=\theta _{0}$ तथा ${\dot {\theta }}(0)=0$, का उपयोग करके समाधान द्वारा दिया गया है

$$\theta (t)=\theta _{0}\cos \left({\sqrt {\frac {g}{l}}}t\right),$$

जहाँ पर $\theta _{0}$ लोलक द्वारा प्राप्त सबसे बड़ा कोण है (अर्थात, $\theta _{0}$ लोलक का आयाम है)। साइन, पूर्ण दोलन का समय, व्यंजक द्वारा दिया जाता है

$$\tau =2\pi {\sqrt {\frac {l}{g}}}={\frac {2\pi }{\omega }},$$

जो वास्तविक अवधि का अच्छा सन्निकटन है जब $\theta _{0}$ लघु है। ध्यान दें कि इस सन्निकटन में अवधि $\tau$ आयाम $\theta _{0}$ से स्वतंत्र है . उपरोक्त समीकरण में, $\omega$ कोणीय आवृत्ति का प्रतिनिधित्व करता है।

स्प्रिंग/द्रव्यमान प्रणाली

स्प्रिंग-मास प्रणाली संतुलन में (A), संपीड़ित (b) और विस्तृत हुआ (c) स्थिति

जब स्प्रिंग को किसी द्रव्यमान द्वारा खींचा या संकुचित किया जाता है, तो स्प्रिंग प्रत्यानयन बल विकसित करता है। हुक का नियम स्प्रिंग द्वारा लगाए गए बल का संबंध देता है जब स्प्रिंग को संकुचित या निश्चित लंबाई तक बढ़ाया जाता है:

$$F(t)=-kx(t),$$

जहां F बल है, k स्प्रिंग स्थिरांक है, और एक्स संतुलन की स्थिति के संबंध में द्रव्यमान का विस्थापन है। समीकरण में ऋण चिह्न इंगित करता है कि स्प्रिंग द्वारा लगाया गया बल सदैव विस्थापन के विपरीत दिशा में कार्य करता है (अर्थात बल सदैव शून्य स्थिति की ओर कार्य करता है), और इसलिए द्रव्यमान को अनंत तक उड़ने से रोकता है।

बल संतुलन या ऊर्जा विधि का उपयोग करके, यह सरलता से दिखाया जा सकता है कि इस प्रणाली की गति निम्नलिखित अंतर समीकरण द्वारा दी गई है:

$$F(t)=-kx(t)=m{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} t^{2}}}x(t)=ma,$$

दूसरा न्यूटन का गति का नियम है ।

यदि प्रारंभिक विस्थापन A है, और कोई प्रारंभिक वेग नहीं है, तो इस समीकरण का हल द्वारा दिया गया है

$$x(t)=A\cos \left({\sqrt {\frac {k}{m}}}t\right).$$

आदर्श द्रव्यमान रहित स्प्रिंग को देखते हुए, $m$ स्प्रिंग के अंत में द्रव्यमान है। यदि स्प्रिंग में ही द्रव्यमान है, तो इसका प्रभावी द्रव्यमान (स्प्रिंग-द्रव्यमान प्रणाली) $m$ में सम्मिलित किया जाना चाहिए .

स्प्रिंग-अवमन्दित प्रणाली में ऊर्जा भिन्नता

ऊर्जा के संदर्भ में, सभी प्रणालियों में दो प्रकार की ऊर्जा होती है: संभावित ऊर्जा और गतिज ऊर्जा जब स्प्रिंग को खींचा या संकुचित किया जाता है, तो यह लोचदार स्थितिज ऊर्जा को संचित करता है, जिसे पश्चात् में गतिज ऊर्जा में स्थानांतरित कर दिया जाता है। स्प्रिंग के अन्दर स्थितिज ऊर्जा समीकरण ${\textstyle U={\frac {1}{2}}kx^{2}.}$ द्वारा निर्धारित की जाती है

जब स्प्रिंग को खींचा या संकुचित किया जाता है, तो द्रव्यमान की गतिज ऊर्जा स्प्रिंग की स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है। ऊर्जा के संरक्षण से, यह मानते हुए कि डेटम को संतुलन की स्थिति में परिभाषित किया गया है, जब स्प्रिंग अपनी अधिकतम संभावित ऊर्जा तक पहुंच जाता है, तो द्रव्यमान की गतिज ऊर्जा शून्य होती है। जब स्प्रिंग को छोड़ा जाता है, तो यह संतुलन में लौटने का प्रयास करता है, और इसकी सभी संभावित ऊर्जा द्रव्यमान की गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।

शब्दों की परिभाषा

प्रतीक	परिभाषा	आयाम	एसआई इकाइयाँ
$a$	द्रव्यमान का त्वरण	${\mathsf {LT^{-2}}}$	m/s2
$A$	दोलन का चरम आयाम	${\mathsf {L}}$	m
$c$	श्यान अवमंदन गुणांक	${\mathsf {MT^{-1}}}$	N·s/m
$f$	आवृत्ति	${\mathsf {T^{-1}}}$	Hz
$F$	प्रेरक बल	${\mathsf {MLT^{-2}}}$	N
$g$	पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वाकर्षण का त्वरण	${\mathsf {LT^{-2}}}$	m/s2
$i$	काल्पनिक इकाई, $i^{2}=-1$	—	—
$k$	स्प्रिंग स्थिरांक	${\mathsf {MT^{-2}}}$	N/m
$m,M$	द्रव्यमान	${\mathsf {M}}$	kg
$Q$	गुणवत्ता कारक	—	—
$T$	दोलन काल	${\mathsf {T}}$	s
$t$	समय	${\mathsf {T}}$	s
$U$	दोलक में संग्रहीत संभावित ऊर्जा	${\mathsf {ML^{2}T^{-2}}}$	J
$x$	द्रव्यमान की स्थिति	${\mathsf {L}}$	m
$\zeta$	अवमंदन अनुपात	—	—
$\varphi$	चरण परिवर्तन	—	rad
$\omega$	कोणीय आवृत्ति	${\mathsf {T^{-1}}}$	rad/s
$\omega _{0}$	प्राकृतिक प्रतिध्वनित कोणीय आवृत्ति	${\mathsf {T^{-1}}}$	rad/s

यह भी देखें

• एनहार्मोनिक दोलक
• क्रिटिकल स्पीड
• प्रभावी द्रव्यमान (स्प्रिंग-द्रव्यमान प्रणाली)
• सामान्य मोड
• पैरामीट्रिक दोलक
• फासोर
• क्यू फैक्टर
• क्वांटम सरल आवर्ती दोलक

• बर्ट्रेंड की प्रमेय या रेडियल हार्मोनिक दोलक
• लोचदार लोलक

संदर्भ

• Fowles, Grant R.; Cassiday, George L. (1986), Analytic Mechanics (5th ed.), Fort Worth: Saunders College Publishing, ISBN 0-03-089725-4, LCCN 93085193
• Hayek, Sabih I. (15 Apr 2003). "Mechanical Vibration and Damping". Encyclopedia of Applied Physics. WILEY-VCH Verlag GmbH & Co KGaA. doi:10.1002/3527600434.eap231. ISBN 9783527600434.
• Kreyszig, Erwin (1972), Advanced Engineering Mathematics (3rd ed.), New York: Wiley, ISBN 0-471-50728-8
• Serway, Raymond A.; Jewett, John W. (2003). Physics for Scientists and Engineers. Brooks/Cole. ISBN 0-534-40842-7.
• Tipler, Paul (1998). Physics for Scientists and Engineers: Vol. 1 (4th ed.). W. H. Freeman. ISBN 1-57259-492-6.
• Wylie, C. R. (1975). Advanced Engineering Mathematics (4th ed.). McGraw-Hill. ISBN 0-07-072180-7.

बाहरी संबंध

• The Harmonic Oscillator from The Feynman Lectures on Physics