कार्तीय टेंसर

दो अलग-अलग 3डी ऑर्थोनॉर्मल आधार: प्रत्येक आधार में इकाई सदिश होते हैं जो परस्पर लंबवत होते हैं।

ज्यामिति और रैखिक बीजगणित में, एक कार्टेशियन टेंसर घटकों के रूप में यूक्लिडियन स्थान में एक टेंसर का प्रतिनिधित्व करने के लिए एक ऑर्थोनॉर्मल आधार का उपयोग करता है। टेंसर के घटकों को एक ऐसे आधार से दूसरे आधार में परिवर्तित करना एक ऑर्थोगोनल परिवर्तन के माध्यम से किया जाता है।

सबसे परिचित समन्वय प्रणालियाँ समतल (गणित) या द्वि-आयामी और त्रि-आयामी स्थान या त्रि-आयामी कार्टेशियन समन्वय प्रणालियाँ हैं। कार्टेशियन टेंसर का उपयोग किसी भी यूक्लिडियन स्थान के साथ किया जा सकता है, या अधिक तकनीकी रूप से, वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र (गणित) पर किसी भी परिमित-आयामी सदिश स्थल का उपयोग किया जा सकता है जिसमें आंतरिक उत्पाद होता है।

कार्टेशियन टेंसर का उपयोग भौतिकी और अभियांत्रिकी में होता है, जैसे कॉची तनाव टेंसर और कठोर निकाय की गतिशीलता में जड़ता टेंसर का क्षण। कभी-कभी सामान्य वक्ररेखीय निर्देशांक सुविधाजनक होते हैं, जैसे कि उच्च-विरूपण सातत्य यांत्रिकी में, या आवश्यक भी होते हैं, जैसा कि सामान्य सापेक्षता में होता है। जबकि कुछ ऐसे समन्वय प्रणालियों (उदाहरण के लिए गोलाकार समन्वय प्रणाली के स्पर्शरेखा) के लिए ऑर्थोनॉर्मल आधार पाए जा सकते हैं, कार्टेशियन टेंसर उन अनुप्रयोगों के लिए अधिक सरलीकरण प्रदान कर सकते हैं जिनमें रेक्टिलिनियर समन्वय अक्षों के घूर्णन पर्याप्त होते हैं। परिवर्तन एक निष्क्रिय परिवर्तन है, क्योंकि निर्देशांक बदलते हैं, भौतिक प्रणाली नहीं है।

कार्टेशियन आधार और संबंधित शब्दावली

तीन आयामों में सदिश

त्रि-आयामी स्थान में यूक्लिडियन स्थान , $\mathbb {R} ^{3}$, मानक आधार है जो कि e_x, e_y, e_z. प्रत्येक आधार सदिश x-, y-, और z-अक्ष के साथ बिंदु बनाता है, और सदिश सभी इकाई सदिश (या सामान्यीकृत) होते हैं, इसलिए आधार ऑर्थोनॉर्मल है।

कुल मिलाकर, जब तीन आयाम में कार्टेशियन निर्देशांक का संदर्भ दिया जाता है, तो एक दाएं हाथ की प्रणाली मान ली जाती है और यह संबंध में बाएं हाथ की प्रणाली की तुलना में बहुत अधिक सामान्य है, विवरण के लिए अभिविन्यास (सदिश स्थान) देखें।

क्रम 1 के कार्तीय टेंसरों के लिए, एक कार्तीय सदिश a को आधार सदिशों e_x, e_y, e_z के रैखिक संयोजन के रूप में बीजगणितीय रूप से लिखा जा सकता है:

$$\mathbf {a} =a_{\text{x}}\mathbf {e} _{\text{x}}+a_{\text{y}}\mathbf {e} _{\text{y}}+a_{\text{z}}\mathbf {e} _{\text{z}}$$

जहां कार्तीय आधार के संबंध में सदिश के निर्देशांक a_x, a_y, a_z. दर्शाए गए हैं। आधार सदिश को स्तम्भ सदिश के रूप में प्रदर्शित करना समान्य और सहायक है

$$\mathbf {e} _{\text{x}}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}\,,\quad \mathbf {e} _{\text{y}}={\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}\,,\quad \mathbf {e} _{\text{z}}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}$$

जब हमारे पास एक स्तम्भ सदिश प्रतिनिधित्व में एक समन्वय सदिश होता है:

$$\mathbf {a} ={\begin{pmatrix}a_{\text{x}}\\a_{\text{y}}\\a_{\text{z}}\end{pmatrix}}$$

एक पंक्ति सदिश प्रतिनिधित्व भी वैध है, चूँकि सामान्य वक्रीय समन्वय प्रणालियों के संदर्भ में पंक्ति सदिश स्तंभ सदिश प्रतिनिधित्व विशिष्ट कारणों से अलग-अलग उपयोग किए जाते हैं - क्यों आइंस्टीन संकेतन और सदिश के सहप्रसरण और विरोधाभास देखें।

सदिश का शब्द घटक अस्पष्ट है: इसका उल्लेख हो सकता है:

• सदिश का एक विशिष्ट निर्देशांक जैसे a_z (एक अदिश), और इसी तरह x और y के लिए, या
• समन्वय अदिश-संबंधित आधार सदिश को गुणा करना, जिस स्थिति में a का "y-घटक" a_ye_y (एक सदिश ) है, और इसी तरह x और z. के लिए।

एक अधिक सामान्य संकेतन टेंसर सूचकांक संकेतन है, जिसमें निश्चित समन्वय लेबल के अतिरिक्त संख्यात्मक मानों का तन्यकता होता है। कार्टेशियन लेबल को आधार सदिश पूर्व e_x ↦ e₁, e_y ↦ e₂, e_z ↦ e₃ और निर्देशांक a_x ↦ a₁, a_y ↦ a₂, a_z ↦ a₃. में टेंसर सूचकांकों द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। सामान्य रूप से, अंकन e₁, e₂, e₃ किसी भी आधार को संदर्भित करता है, और a₁, a₂, a₃ संबंधित समन्वय प्रणाली को संदर्भित करता है; चूँकि यहाँ वे कार्टेशियन प्रणाली तक ही सीमित हैं। तब:

$$\mathbf {a} =a_{1}\mathbf {e} _{1}+a_{2}\mathbf {e} _{2}+a_{3}\mathbf {e} _{3}=\sum _{i=1}^{3}a_{i}\mathbf {e} _{i}$$

आइंस्टीन संकेतन का उपयोग करना मानक है - एक सूचकांक पर योग के लिए योग चिह्न जो एक शब्द के भीतर ठीक दो बार उपस्थित होता है, उसे सांकेतिक संक्षिप्तता के लिए दबाया जा सकता है:

$$\mathbf {a} =\sum _{i=1}^{3}a_{i}\mathbf {e} _{i}\equiv a_{i}\mathbf {e} _{i}$$

समन्वय-विशिष्ट संकेतन पर सूचकांक संकेतन का एक लाभ अंतर्निहित सदिश स्थान के आयाम की स्वतंत्रता है, अथार्त दाईं ओर एक ही अभिव्यक्ति उच्च आयामों में समान रूप लेती है (नीचे देखें)। पहले, कार्टेशियन लेबल x, y, z केवल लेबल थे, सूचकांक नहीं। (यह कहना अनौपचारिक है कि i = x, y, z )।

तीन आयामों में दूसरे क्रम के टेंसर

एक डायडिक टेंसर टी एक ऑर्डर-2 टेंसर है जो दो कार्टेशियन सदिश a और b के टेंसर उत्पाद ⊗से बनता है, जिसे T = a ⊗ b लिखा जाता है। सदिश के अनुरूप, इसे टेंसर आधार के एक रैखिक संयोजन के रूप में लिखा जा सकता है e_x ⊗ e_x ≡ e_xx, e_x ⊗ e_y ≡ e_xy, ..., e_z ⊗ e_z ≡ e_zz (प्रत्येक पहचान का दाहिना हाथ केवल एक संक्षिप्त नाम है) , और अधिक कुछ नहीं):

$${\begin{aligned}\mathbf {T} =\quad &\left(a_{\text{x}}\mathbf {e} _{\text{x}}+a_{\text{y}}\mathbf {e} _{\text{y}}+a_{\text{z}}\mathbf {e} _{\text{z}}\right)\otimes \left(b_{\text{x}}\mathbf {e} _{\text{x}}+b_{\text{y}}\mathbf {e} _{\text{y}}+b_{\text{z}}\mathbf {e} _{\text{z}}\right)\\[5pt]{}=\quad &a_{\text{x}}b_{\text{x}}\mathbf {e} _{\text{x}}\otimes \mathbf {e} _{\text{x}}+a_{\text{x}}b_{\text{y}}\mathbf {e} _{\text{x}}\otimes \mathbf {e} _{\text{y}}+a_{\text{x}}b_{\text{z}}\mathbf {e} _{\text{x}}\otimes \mathbf {e} _{\text{z}}\\[4pt]{}+{}&a_{\text{y}}b_{\text{x}}\mathbf {e} _{\text{y}}\otimes \mathbf {e} _{\text{x}}+a_{\text{y}}b_{\text{y}}\mathbf {e} _{\text{y}}\otimes \mathbf {e} _{\text{y}}+a_{\text{y}}b_{\text{z}}\mathbf {e} _{\text{y}}\otimes \mathbf {e} _{\text{z}}\\[4pt]{}+{}&a_{\text{z}}b_{\text{x}}\mathbf {e} _{\text{z}}\otimes \mathbf {e} _{\text{x}}+a_{\text{z}}b_{\text{y}}\mathbf {e} _{\text{z}}\otimes \mathbf {e} _{\text{y}}+a_{\text{z}}b_{\text{z}}\mathbf {e} _{\text{z}}\otimes \mathbf {e} _{\text{z}}\end{aligned}}$$

प्रत्येक आधार टेंसर को आव्यूह के रूप में प्रस्तुत करना:

$${\begin{aligned}\mathbf {e} _{\text{x}}\otimes \mathbf {e} _{\text{x}}&\equiv \mathbf {e} _{\text{xx}}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}\,,&\mathbf {e} _{\text{x}}\otimes \mathbf {e} _{\text{y}}&\equiv \mathbf {e} _{\text{xy}}={\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}\,,&\mathbf {e} _{\text{z}}\otimes \mathbf {e} _{\text{z}}&\equiv \mathbf {e} _{\text{zz}}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\end{aligned}}$$

तब T को आव्यूह के रूप में अधिक व्यवस्थित रूप से दर्शाया जा सकता है:

$$\mathbf {T} ={\begin{pmatrix}a_{\text{x}}b_{\text{x}}&a_{\text{x}}b_{\text{y}}&a_{\text{x}}b_{\text{z}}\\a_{\text{y}}b_{\text{x}}&a_{\text{y}}b_{\text{y}}&a_{\text{y}}b_{\text{z}}\\a_{\text{z}}b_{\text{x}}&a_{\text{z}}b_{\text{y}}&a_{\text{z}}b_{\text{z}}\end{pmatrix}}$$

आव्यूह गुणा या मैट्रिसेस और डॉट और टेंसर उत्पादों के मध्य नोटेशनल पत्राचार के लिए आंतरिक और बाहरी उत्पाद देखें।

अधिक सामान्यतः, चाहे T दो सदिश का एक टेंसर उत्पाद है या नहीं, यह सदैव निर्देशांक T_xx, T_xy, ..., T_zz: के साथ आधार टेंसर का एक रैखिक संयोजन होता है:

$${\begin{aligned}\mathbf {T} =\quad &T_{\text{xx}}\mathbf {e} _{\text{xx}}+T_{\text{xy}}\mathbf {e} _{\text{xy}}+T_{\text{xz}}\mathbf {e} _{\text{xz}}\\[4pt]{}+{}&T_{\text{yx}}\mathbf {e} _{\text{yx}}+T_{\text{yy}}\mathbf {e} _{\text{yy}}+T_{\text{yz}}\mathbf {e} _{\text{yz}}\\[4pt]{}+{}&T_{\text{zx}}\mathbf {e} _{\text{zx}}+T_{\text{zy}}\mathbf {e} _{\text{zy}}+T_{\text{zz}}\mathbf {e} _{\text{zz}}\end{aligned}}$$

जबकि टेंसर सूचकांकों के संदर्भ में:

$$\mathbf {T} =T_{ij}\mathbf {e} _{ij}\equiv \sum _{ij}T_{ij}\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}\,,$$

और आव्यूह रूप में:

$$\mathbf {T} ={\begin{pmatrix}T_{\text{xx}}&T_{\text{xy}}&T_{\text{xz}}\\T_{\text{yx}}&T_{\text{yy}}&T_{\text{yz}}\\T_{\text{zx}}&T_{\text{zy}}&T_{\text{zz}}\end{pmatrix}}$$

दूसरे क्रम के टेंसर भौतिकी और इंजीनियरिंग में स्वाभाविक रूप से होते हैं जब भौतिक मात्राओं की प्रणाली में दिशात्मक निर्भरता होती है, अधिकांशत: "उत्तेजना-प्रतिक्रिया" विधि से। इसे गणितीय रूप से टेंसर के एक विधि के माध्यम से देखा जा सकता है - वे बहुरेखीय कार्य हैं। एक दूसरे क्रम का टेंसर T जो कुछ परिमाण और दिशा का एक सदिश uलेता है, एक सदिश v लौटाएगा; एक अलग परिमाण का और सामान्य रूप से आपके लिए एक अलग दिशा में। गणितीय विश्लेषण में कार्यों के लिए उपयोग किए जाने वाले संकेतन हमें v − T(u) लिखने के लिए प्रेरित करते हैं, जबकि समान विचार क्रमशः आव्यूह और सूचकांक नोटेशन (योग सम्मेलन सहित) में व्यक्त किया जा सकता है:

$${\begin{aligned}{\begin{pmatrix}v_{\text{x}}\\v_{\text{y}}\\v_{\text{z}}\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}T_{\text{xx}}&T_{\text{xy}}&T_{\text{xz}}\\T_{\text{yx}}&T_{\text{yy}}&T_{\text{yz}}\\T_{\text{zx}}&T_{\text{zy}}&T_{\text{zz}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}u_{\text{x}}\\u_{\text{y}}\\u_{\text{z}}\end{pmatrix}}\,,&v_{i}&=T_{ij}u_{j}\end{aligned}}$$

"रैखिक" द्वारा, यदि दो स्केलर ρ और σ और सदिश r और ,s के लिए u = ρr + σs तो फ़ंक्शन और सूचकांक संकेतन में:

$${\begin{aligned}\mathbf {v} &=&&\mathbf {T} (\rho \mathbf {r} +\sigma \mathbf {s} )&=&&\rho \mathbf {T} (\mathbf {r} )+\sigma \mathbf {T} (\mathbf {s} )\\[1ex]v_{i}&=&&T_{ij}(\rho r_{j}+\sigma s_{j})&=&&\rho T_{ij}r_{j}+\sigma T_{ij}s_{j}\end{aligned}}$$

और इसी तरह आव्यूह संकेतन के लिए भी। फ़ंक्शन, आव्यूह और सूचकांक संकेतन सभी का अर्थ एक ही है। आव्यूह रूप घटकों का स्पष्ट प्रदर्शन प्रदान करते हैं, जबकि सूचकांक रूप एक कॉम्पैक्ट विधि से सूत्रों के सरल टेन्सर-बीजगणितीय परिवर्तन की अनुमति देता है। दोनों दिशाओं की भौतिक व्याख्या प्रदान करते हैं; सदिश की एक दिशा होती है, जबकि दूसरे क्रम के टेंसर दो दिशाओं को एक साथ जोड़ते हैं। कोई टेंसर सूचकांक या समन्वय लेबल को आधार सदिश दिशा के साथ जोड़ सकता है।

सदिश के परिमाण और दिशाओं में परिवर्तन का वर्णन करने के लिए दूसरे क्रम के टेंसर का उपयोग न्यूनतम है, क्योंकि दो सदिश का डॉट उत्पाद सदैव एक अदिश होता है, जबकि दो सदिश का क्रॉस उत्पाद सदैव एक छद्मसदिश होता है जो परिभाषित विमान के लंबवत होता है। सदिश , इसलिए अकेले सदिश के ये उत्पाद किसी भी दिशा में किसी भी परिमाण का नया सदिश प्राप्त नहीं कर सकते हैं। (डॉट और क्रॉस उत्पादों पर अधिक जानकारी के लिए नीचे भी देखें)। दो सदिश का टेंसर उत्पाद दूसरे क्रम का टेंसर है, चूँकि इसकी अपने आप में कोई स्पष्ट दिशात्मक व्याख्या नहीं है।

पिछले विचार को जारी रखा जा सकता है: यदि T दो सदिश p और q, लेता है, तो यह एक अदिश r लौटाएगा। फ़ंक्शन संकेतन में हम क्रमशः r = T(p, q)लिखते हैं, जबकि आव्यूह और सूचकांक संकेतन (योग सम्मेलन सहित) में क्रमशः:

$$r={\begin{pmatrix}p_{\text{x}}&p_{\text{y}}&p_{\text{z}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}T_{\text{xx}}&T_{\text{xy}}&T_{\text{xz}}\\T_{\text{yx}}&T_{\text{yy}}&T_{\text{yz}}\\T_{\text{zx}}&T_{\text{zy}}&T_{\text{zz}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}q_{\text{x}}\\q_{\text{y}}\\q_{\text{z}}\end{pmatrix}}=p_{i}T_{ij}q_{j}$$

दोनों इनपुट सदिश में टेंसर टी रैखिक है। जब सदिश और टेंसर घटकों के संदर्भ के बिना लिखे जाते हैं, और सूचकांकों का उपयोग नहीं किया जाता है, तो कभी-कभी एक बिंदु ⋅ लगाया जाता है जहां सूचकांकों पर योग लिया जाता है (जिसे टेंसर संकुचन के रूप में जाना जाता है)। उपरोक्त स्थितियों के लिए:

$${\begin{aligned}\mathbf {v} &=\mathbf {T} \cdot \mathbf {u} \\r&=\mathbf {p} \cdot \mathbf {T} \cdot \mathbf {q} \end{aligned}}$$

डॉट उत्पाद संकेतन से प्रेरित:

$$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} \equiv a_{i}b_{i}$$

अधिक सामान्यतः, क्रम m का एक टेंसर जो n सदिश लेता है (जहां n 0 और m समावेशी के मध्य है) क्रम m − n का टेंसर लौटाएगा, आगे के सामान्यीकरण और विवरण के लिए टेन्सर § बहुरेखीय मानचित्र के रूप में देखें। उपरोक्त अवधारणाएँ छद्मवेक्टरों पर भी उसी तरह प्रयुक्त होती हैं जैसे सदिश के लिए। सदिश और टेंसर स्वयं पूरे अंतरिक्ष में भिन्न हो सकते हैं, इस स्थिति में हमारे पास सदिश क्षेत्र और टेंसर क्षेत्र हैं, और समय पर भी निर्भर हो सकते हैं।

निम्नलिखित कुछ उदाहरण हैं:

एक प्रयुक्त या दिया गया...	...किसी सामग्री या वस्तु के लिए...	...का परिणाम...	{| class="wikitable"	...सामग्री या वस्तु में, द्वारा दिया गया:

|- | यूनिट वेक्टर n || कॉची तनाव टेंसर σ || एक कर्षण बल t || $\mathbf {t} ={\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {n}$ |- | scope="row" rowspan="2"| कोणीय वेग ω | rowspan="2" | जड़ता का क्षण I | एक कोणीय गति J || $\mathbf {J} =\mathbf {I} \cdot {\boldsymbol {\omega }}$ |- | एक घूर्णी गतिज ऊर्जा T || $T={\tfrac {1}{2}}{\boldsymbol {\omega }}\cdot \mathbf {I} \cdot {\boldsymbol {\omega }}$ |- | scope="row" rowspan="2"| विद्युत क्षेत्र E | विद्युत चालकता σ || एक धारा घनत्व प्रवाह J || $\mathbf {J} ={\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {E}$ |- |ध्रुवीकरण α ( परमिटिटिविटी ε और विद्युत संवेदनशीलता χ_E से संबंधित ) | एक प्रेरित ध्रुवीकरण क्षेत्र P || $\mathbf {P} ={\boldsymbol {\alpha }}\cdot \mathbf {E}$ |- | [[magnetic field|चुंबकीय क्षेत्र H]] || चुंबकीय पारगम्यता μ || एक चुंबकीय क्षेत्र [[magnetic field|B]] || $\mathbf {B} ={\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {H}$ |} विद्युत चालन उदाहरण के लिए, सूचकांक और आव्यूह संकेतन होंगे:

$${\begin{aligned}J_{i}&=\sigma _{ij}E_{j}\equiv \sum _{j}\sigma _{ij}E_{j}\\{\begin{pmatrix}J_{\text{x}}\\J_{\text{y}}\\J_{\text{z}}\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}\sigma _{\text{xx}}&\sigma _{\text{xy}}&\sigma _{\text{xz}}\\\sigma _{\text{yx}}&\sigma _{\text{yy}}&\sigma _{\text{yz}}\\\sigma _{\text{zx}}&\sigma _{\text{zy}}&\sigma _{\text{zz}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}E_{\text{x}}\\E_{\text{y}}\\E_{\text{z}}\end{pmatrix}}\end{aligned}}$$

जबकि घूर्णी गतिज ऊर्जा T के लिए:

$${\begin{aligned}T&={\frac {1}{2}}\omega _{i}I_{ij}\omega _{j}\equiv {\frac {1}{2}}\sum _{ij}\omega _{i}I_{ij}\omega _{j}\,,\\&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}\omega _{\text{x}}&\omega _{\text{y}}&\omega _{\text{z}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}I_{\text{xx}}&I_{\text{xy}}&I_{\text{xz}}\\I_{\text{yx}}&I_{\text{yy}}&I_{\text{yz}}\\I_{\text{zx}}&I_{\text{zy}}&I_{\text{zz}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\omega _{\text{x}}\\\omega _{\text{y}}\\\omega _{\text{z}}\end{pmatrix}}\,.\end{aligned}}$$

अधिक विशिष्ट उदाहरणों के लिए संवैधानिक समीकरण भी देखें।

सदिश और टेंसर nआयाम

वास्तविक संख्याओं पर n-आयामी यूक्लिडियन स्थान में, $\mathbb {R} ^{n}$, मानक आधार e1, e2, e3, ... en दर्शाया गया है। प्रत्येक आधार सदिश e_i सकारात्मक x_i अक्ष के साथ इंगित करता है, जिसका आधार ऑर्थोनॉर्मल है। e_i का घटक j क्रोनकर डेल्टा द्वारा दिया गया है:

$$(\mathbf {e} _{i})_{j}=\delta _{ij}$$

$\mathbb {R} ^{n}$ में एक सदिश रूप लेता है:

$$\mathbf {a} =a_{i}\mathbf {e} _{i}\equiv \sum _{i}a_{i}\mathbf {e} _{i}\,.$$

इसी प्रकार उपरोक्त क्रम-2 टेंसर के लिए, $\mathbb {R} ^{n}$ में प्रत्येक सदिश a और b के लिए।

$$\mathbf {T} =a_{i}b_{j}\mathbf {e} _{ij}\equiv \sum _{ij}a_{i}b_{j}\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}\,,$$

या अधिक सामान्यतः:

$$\mathbf {T} =T_{ij}\mathbf {e} _{ij}\equiv \sum _{ij}T_{ij}\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}\,.$$

कार्तीय सदिशों का रूपांतरण (आयामों की कोई भी संख्या)

वही स्थिति सदिश x दो 3डी आयताकार समन्वय प्रणालियों में दर्शाया गया है, जिनमें से प्रत्येक एक ऑर्थोनॉर्मल आधार के साथ है, क्यूबॉइड सदिश घटकों को जोड़ने के लिए समांतर चतुर्भुज नियम को दर्शाते हैं।

समन्वय परिवर्तनों के अंतर्गत अपरिवर्तनीयता का अर्थ

स्थिति सदिश x में $\mathbb {R} ^{n}$ एक सदिश का एक सरल और सामान्य उदाहरण है, और इसे किसी भी समन्वय प्रणाली में दर्शाया जा सकता है। केवल लम्बवत् आधारों वाले आयताकार समन्वय प्रणालियों के स्थिति पर विचार करें। आयताकार ज्यामिति के साथ एक समन्वय प्रणाली का होना संभव है यदि आधार सदिश सभी परस्पर लंबवत हैं और सामान्यीकृत नहीं हैं, उस स्थिति में आधार ऑर्थोगोनल है किन्तु ऑर्थोनॉर्मल नहीं है। चूँकि , ऑर्थोनॉर्मल आधारों में परिवर्तन करना सरल होता है और अधिकांशत: संबंध में उपयोग किया जाता है। निम्नलिखित परिणाम ऑर्थोनॉर्मल आधारों के लिए सत्य हैं, ऑर्थोगोनल आधारों के लिए नहीं है।

एक आयताकार समन्वय प्रणाली में, एक कंट्रासदिश के रूप में x के निर्देशांक xⁱ और आधार सदिश e_i होते हैं, जबकि एक कोसदिश के रूप में इसमें निर्देशांक x_i और आधार कोसदिश ei होते हैं, और हमारे पास है:

$${\begin{aligned}\mathbf {x} &=x^{i}\mathbf {e} _{i}\,,&\mathbf {x} &=x_{i}\mathbf {e} ^{i}\end{aligned}}$$

एक अन्य आयताकार समन्वय प्रणाली में, एक कंट्रासदिश के रूप में x के निर्देशांक xⁱ और आधार e_i हैं, जबकि एक कोसदिश के रूप में इसके निर्देशांक x_i और आधार eⁱ हैं, और हमारे पास है:

$${\begin{aligned}\mathbf {x} &={\bar {x}}^{i}{\bar {\mathbf {e} }}_{i}\,,&\mathbf {x} &={\bar {x}}_{i}{\bar {\mathbf {e} }}^{i}\end{aligned}}$$

प्रत्येक नया निर्देशांक सभी पुराने समन्वयों का एक फलन है, और व्युत्क्रम फलन के लिए इसके विपरीत:

$${\begin{aligned}{\bar {x}}{}^{i}={\bar {x}}{}^{i}\left(x^{1},x^{2},\ldots \right)\quad &\rightleftharpoons \quad x{}^{i}=x{}^{i}\left({\bar {x}}^{1},{\bar {x}}^{2},\ldots \right)\\{\bar {x}}{}_{i}={\bar {x}}{}_{i}\left(x_{1},x_{2},\ldots \right)\quad &\rightleftharpoons \quad x{}_{i}=x{}_{i}\left({\bar {x}}_{1},{\bar {x}}_{2},\ldots \right)\end{aligned}}$$

और इसी प्रकार प्रत्येक नया आधार सदिश सभी पुराने आधार सदिश का एक फ़ंक्शन है, और व्युत्क्रम फ़ंक्शन के लिए इसके विपरीत:

$${\begin{aligned}{\bar {\mathbf {e} }}{}_{j}={\bar {\mathbf {e} }}{}_{j}\left(\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\ldots \right)\quad &\rightleftharpoons \quad \mathbf {e} {}_{j}=\mathbf {e} {}_{j}\left({\bar {\mathbf {e} }}_{1},{\bar {\mathbf {e} }}_{2},\ldots \right)\\{\bar {\mathbf {e} }}{}^{j}={\bar {\mathbf {e} }}{}^{j}\left(\mathbf {e} ^{1},\mathbf {e} ^{2},\ldots \right)\quad &\rightleftharpoons \quad \mathbf {e} {}^{j}=\mathbf {e} {}^{j}\left({\bar {\mathbf {e} }}^{1},{\bar {\mathbf {e} }}^{2},\ldots \right)\end{aligned}}$$

सभी i, j. के लिए .

आधार के किसी भी परिवर्तन के अनुसार एक सदिश अपरिवर्तनीय होता है, इसलिए यदि निर्देशांक परिवर्तन आव्यूह L के अनुसार परिवर्तित होते हैं, तो आधार आव्यूह व्युत्क्रम L⁻¹ के अनुसार रूपांतरित होते हैं, और इसके विपरीत यदि निर्देशांक व्युत्क्रम L⁻¹ के अनुसार परिवर्तित होते हैं, तो आधार इसलिए रूपांतरित होते हैं आव्यूह Lके लिए। इनमें से प्रत्येक परिवर्तन के मध्य का अंतर पारंपरिक रूप से सूचकांकों के माध्यम से विरोधाभास के लिए सुपरस्क्रिप्ट और सहप्रसरण के लिए सबस्क्रिप्ट के रूप में दिखाया जाता है, और निर्देशांक और आधार निम्नलिखित नियमों के अनुसार रैखिक रूप से परिवर्तित होते हैं:

वेक्टर तत्व	विरोधाभासी परिवर्तन नियम	सहसंयोजक परिवर्तन नियम
निर्देशांक	${\bar {x}}^{j}=x^{i}({\boldsymbol {\mathsf {L}}})_{i}{}^{j}=x^{i}{\mathsf {L}}_{i}{}^{j}$	${\bar {x}}_{j}=x_{k}\left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\right)_{j}{}^{k}$
आधार	${\bar {\mathbf {e} }}_{j}=\left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\right)_{j}{}^{k}\mathbf {e} _{k}$	${\bar {\mathbf {e} }}^{j}=({\boldsymbol {\mathsf {L}}})_{i}{}^{j}\mathbf {e} ^{i}={\mathsf {L}}_{i}{}^{j}\mathbf {e} ^{i}$
कोई सदिश	${\bar {x}}^{j}{\bar {\mathbf {e} }}_{j}=x^{i}{\mathsf {L}}_{i}{}^{j}\left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\right)_{j}{}^{k}\mathbf {e} _{k}=x^{i}\delta _{i}{}^{k}\mathbf {e} _{k}=x^{i}\mathbf {e} _{i}$	${\bar {x}}_{j}{\bar {\mathbf {e} }}^{j}=x_{i}\left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\right)_{j}{}^{i}{\mathsf {L}}_{k}{}^{j}\mathbf {e} ^{k}=x_{i}\delta ^{i}{}_{k}\mathbf {e} ^{k}=x_{i}\mathbf {e} ^{i}$

जहां L_i^j परिवर्तन आव्यूह की प्रविष्टियों को दर्शाता है (पंक्ति संख्या i है और स्तंभ संख्या j है) और (L⁻¹)ik आव्यूह L_i^k के व्युत्क्रम आव्यूह की प्रविष्टियों को दर्शाता है।

यदि L एक ऑर्थोगोनल ट्रांसफॉर्मेशन (ऑर्थोगोनल आव्यूह ) है, इसके द्वारा रूपांतरित होने वाली वस्तुओं को कार्टेशियन टेंसर के रूप में परिभाषित किया गया है। इसकी ज्यामितीय व्याख्या यह है कि एक आयताकार समन्वय प्रणाली को दूसरे आयताकार समन्वय प्रणाली में मैप किया जाता है, जिसमें सदिश का नॉर्म (गणित) x संरक्षित है (और दूरियाँ संरक्षित हैं)।

L का निर्धारक det(L) = ±1 है, जो दो प्रकार के ऑर्थोगोनल परिवर्तन से मेल खाता है: घूर्णन के लिए (+1) और अनुचित घुमाव (प्रतिबिंब सहित) के लिए (−1) है ।

अधिक बीजगणितीय सरलीकरण हैं, आव्यूह स्थानान्तरण एक ऑर्थोगोनल परिवर्तन की परिभाषा से विपरीत आव्यूह है:

$${\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{\textsf {T}}={\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\Rightarrow \left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\right)_{i}{}^{j}=\left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{\textsf {T}}\right)_{i}{}^{j}=({\boldsymbol {\mathsf {L}}})^{j}{}_{i}={\mathsf {L}}^{j}{}_{i}$$

पिछली तालिका से, कोसदिश और कंट्रासदिश के ऑर्थोगोनल परिवर्तन समान हैं। सूचकांकों को बढ़ाने और घटाने के मध्य अंतर करने की कोई आवश्यकता नहीं है, और इस संदर्भ में और भौतिकी और इंजीनियरिंग के अनुप्रयोगों में सूचकांकों को आमरूप से प्रतिपादक के अस्पष्टता को दूर करने के लिए सबस्क्रिप्ट किया जाता है। इस लेख के शेष भाग में सभी सूचकांकों को नीचे कर दिया जाएगा। कौन सी मात्राएँ कोसदिश या कंट्रासदिश हैं, और प्रासंगिक परिवर्तन नियमों पर विचार करके कोई वास्तविक उठाए गए और कम किए गए सूचकांकों को निर्धारित कर सकता है।

बिल्कुल वही परिवर्तन नियम किसी भी सदिश a पर प्रयुक्त होते हैं, न कि केवल स्थिति सदिश पर। यदि इसके घटक a_i नियमों के अनुसार परिवर्तित नहीं होते हैं, तो a एक सदिश नहीं है।

उपरोक्त अभिव्यक्तियों के बीच समानता के अतिरिक्त , x^j = L_i^jxⁱज ैसे निर्देशांक के परिवर्तन के लिए, और b_i = T_ij a_jजैसे सदिश पर टेंसर की क्रिया के लिए, L एक टेंसर नहीं है, किन्तु L है। निर्देशांक के परिवर्तन में, L एक आव्यूह है, जिसका उपयोग ऑर्थोनॉर्मल आधारों वाले दो आयताकार समन्वय प्रणालियों को एक साथ जोड़ने के लिए किया जाता है। एक सदिश को एक सदिश से संबंधित टेंसर के लिए, पूरे समीकरण में सदिश और टेंसर सभी एक ही समन्वय प्रणाली और आधार से संबंधित होते हैं।

डेरिवेटिव और जैकोबियन आव्यूह तत्व

L की प्रविष्टियाँ क्रमशः पुराने या नए निर्देशांक के संबंध में नए या पुराने निर्देशांक के आंशिक व्युत्पन्न हैं।

x_k के संबंध में x_i को विभेदित करना:

$${\frac {\partial {\bar {x}}_{i}}{\partial x_{k}}}={\frac {\partial }{\partial x_{k}}}(x_{j}{\mathsf {L}}_{ji})={\mathsf {L}}_{ji}{\frac {\partial x_{j}}{\partial x_{k}}}=\delta _{kj}{\mathsf {L}}_{ji}={\mathsf {L}}_{ki}$$

इसलिए

$${{\mathsf {L}}_{i}}^{j}\equiv {\mathsf {L}}_{ij}={\frac {\partial {\bar {x}}_{j}}{\partial x_{i}}}$$

जैकोबियन आव्यूह का एक अवयव है। एल से जुड़ी सूचकांक स्थितियों और आंशिक व्युत्पन्न में एक (आंशिक रूप से स्मरणीय) पत्राचार है: शीर्ष पर i और नीचे, प्रत्येक स्थिति में, चूँकि कार्टेशियन टेंसर के लिए सूचकांक हो सकते हैं उतारा गया.

इसके विपरीत, x_j को x_i के संबंध में विभेदित करना:

$${\frac {\partial x_{j}}{\partial {\bar {x}}_{k}}}={\frac {\partial }{\partial {\bar {x}}_{k}}}\left({\bar {x}}_{i}\left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\right)_{ij}\right)={\frac {\partial {\bar {x}}_{i}}{\partial {\bar {x}}_{k}}}\left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\right)_{ij}=\delta _{ki}\left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\right)_{ij}=\left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\right)_{kj}$$

इसलिए

$$\left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\right)_{i}{}^{j}\equiv \left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\right)_{ij}={\frac {\partial x_{j}}{\partial {\bar {x}}_{i}}}$$

एक समान सूचकांक पत्राचार के साथ व्युत्क्रम जैकोबियन आव्यूह का एक अवयव है।

विभिन्न स्रोत आंशिक व्युत्पन्न के संदर्भ में परिवर्तन बताते हैं:

${\begin{array}{c}\displaystyle {\bar {x}}_{j}=x_{i}{\frac {\partial {\bar {x}}_{j}}{\partial x_{i}}}\\[3pt]\upharpoonleft \downharpoonright \\[3pt]\displaystyle x_{j}={\bar {x}}_{i}{\frac {\partial x_{j}}{\partial {\bar {x}}_{i}}}\end{array}}$

और 3डी में स्पष्ट आव्यूह समीकरण हैं:

$${\begin{aligned}{\bar {\mathbf {x} }}&={\boldsymbol {\mathsf {L}}}\mathbf {x} \\{\begin{pmatrix}{\bar {x}}_{1}\\{\bar {x}}_{2}\\{\bar {x}}_{3}\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}{\frac {\partial {\bar {x}}_{1}}{\partial x_{1}}}&{\frac {\partial {\bar {x}}_{1}}{\partial x_{2}}}&{\frac {\partial {\bar {x}}_{1}}{\partial x_{3}}}\\{\frac {\partial {\bar {x}}_{2}}{\partial x_{1}}}&{\frac {\partial {\bar {x}}_{2}}{\partial x_{2}}}&{\frac {\partial {\bar {x}}_{2}}{\partial x_{3}}}\\{\frac {\partial {\bar {x}}_{3}}{\partial x_{1}}}&{\frac {\partial {\bar {x}}_{3}}{\partial x_{2}}}&{\frac {\partial {\bar {x}}_{3}}{\partial x_{3}}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}\end{aligned}}$$

इसी तरह के लिए

$$\mathbf {x} ={\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}{\bar {\mathbf {x} }}={\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{\textsf {T}}{\bar {\mathbf {x} }}$$

निर्देशांक अक्षों के अनुदिश प्रक्षेपण

शीर्ष: से कोण x_i कुल्हाड़ियों को x_i कुल्हाड़ियाँ. नीचे: इसके विपरीत.

सभी रैखिक परिवर्तनों की तरह, L चुने गए आधार पर निर्भर करता है। दो लम्बवत् आधारों के लिए

$${\begin{aligned}{\bar {\mathbf {e} }}_{i}\cdot {\bar {\mathbf {e} }}_{j}&=\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=\delta _{ij}\,,&\left|\mathbf {e} _{i}\right|&=\left|{\bar {\mathbf {e} }}_{i}\right|=1\,,\end{aligned}}$$

• प्रक्षेपित करना x तक x अक्ष: ${\bar {x}}_{i}={\bar {\mathbf {e} }}_{i}\cdot \mathbf {x} ={\bar {\mathbf {e} }}_{i}\cdot x_{j}\mathbf {e} _{j}=x_{i}{\mathsf {L}}_{ij}\,,$
• प्रक्षेपित करना x तक x अक्ष: $x_{i}=\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {x} =\mathbf {e} _{i}\cdot {\bar {x}}_{j}{\bar {\mathbf {e} }}_{j}={\bar {x}}_{j}\left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\right)_{ji}\,.$

इसलिए घटक x_i और x_j अक्षों के बीच दिशा कोसाइन में कम हो जाते हैं:

$${\begin{aligned}{\mathsf {L}}_{ij}&={\bar {\mathbf {e} }}_{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=\cos \theta _{ij}\\\left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\right)_{ij}&=\mathbf {e} _{i}\cdot {\bar {\mathbf {e} }}_{j}=\cos \theta _{ji}\end{aligned}}$$

जहां θ_ij और θ_ji , x_i और x_j अक्षों के बीच के कोण हैं। सामान्य तौर पर, θ_ij, θ_jiके समान नहीं है, क्योंकि उदाहरण के लिए θ₁₂ और θ₂₁दो अलग-अलग कोण हैं।

निर्देशांक का परिवर्तन लिखा जा सकता है:

${\begin{array}{c}{\bar {x}}_{j}=x_{i}\left({\bar {\mathbf {e} }}_{i}\cdot \mathbf {e} _{j}\right)=x_{i}\cos \theta _{ij}\\[3pt]\upharpoonleft \downharpoonright \\[3pt]x_{j}={\bar {x}}_{i}\left(\mathbf {e} _{i}\cdot {\bar {\mathbf {e} }}_{j}\right)={\bar {x}}_{i}\cos \theta _{ji}\end{array}}$

और 3डी में स्पष्ट आव्यूह समीकरण हैं:

$${\begin{aligned}{\bar {\mathbf {x} }}&={\boldsymbol {\mathsf {L}}}\mathbf {x} \\{\begin{pmatrix}{\bar {x}}_{1}\\{\bar {x}}_{2}\\{\bar {x}}_{3}\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}{\bar {\mathbf {e} }}_{1}\cdot \mathbf {e} _{1}&{\bar {\mathbf {e} }}_{1}\cdot \mathbf {e} _{2}&{\bar {\mathbf {e} }}_{1}\cdot \mathbf {e} _{3}\\{\bar {\mathbf {e} }}_{2}\cdot \mathbf {e} _{1}&{\bar {\mathbf {e} }}_{2}\cdot \mathbf {e} _{2}&{\bar {\mathbf {e} }}_{2}\cdot \mathbf {e} _{3}\\{\bar {\mathbf {e} }}_{3}\cdot \mathbf {e} _{1}&{\bar {\mathbf {e} }}_{3}\cdot \mathbf {e} _{2}&{\bar {\mathbf {e} }}_{3}\cdot \mathbf {e} _{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \theta _{11}&\cos \theta _{12}&\cos \theta _{13}\\\cos \theta _{21}&\cos \theta _{22}&\cos \theta _{23}\\\cos \theta _{31}&\cos \theta _{32}&\cos \theta _{33}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}\end{aligned}}$$

इसी तरह के लिए

$$\mathbf {x} ={\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}{\bar {\mathbf {x} }}={\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{\textsf {T}}{\bar {\mathbf {x} }}$$

ज्यामितीय व्याख्या x_i घटकों को x_j अक्षों पर प्रक्षेपित करने के योग के समान x_j घटक है।

आव्यूह में व्यवस्थित संख्या e_i⋅e_j डॉट उत्पादों में समरूपता के कारण एक सममित आव्यूह (अपने स्वयं के स्थानान्तरण के बराबर एक मैट्रिक्स) बनाएगी, वास्तव में यह मीट्रिक टेंसर g है। इसके विपरीत, e_i⋅e_j या e_i⋅e_j सामान्य रूप से सममित आव्यूह नहीं बनाते हैं, जैसा कि ऊपर दिखाया गया है। इसलिए, जबकि L आव्यूह अभी भी ऑर्थोगोनल हैं, वे सममित नहीं हैं।

किसी एक अक्ष के चारों ओर घूमने के अतिरिक्त , जिसमें x_i और x_i कुछ के लिए i संपाती, कोण यूलर कोण के समान नहीं हैं, और इसलिए L आव्यूह घूर्णन आव्यूह के समान नहीं हैं।

डॉट और क्रॉस उत्पादों का परिवर्तन (केवल तीन आयाम)

भौतिकी और इंजीनियरिंग में सदिश विश्लेषण के अनुप्रयोगों में डॉट उत्पाद और क्रॉस उत्पाद बहुत बार होते हैं, उदाहरणों में सम्मिलित हैं:

• एक सीधी रेखा के पथ पर v वेग के साथ बल F लगाते हुए किसी वस्तु द्वारा P स्थानांतरित की गई शक्ति:
  $$P=\mathbf {v} \cdot \mathbf {F}$$
• कोणीय वेग ω के साथ घूमते कठोर पिंड के बिंदु x पर स्पर्शरेखीय वेग v:
  $$\mathbf {v} ={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {x}$$
• एकसमान बाह्य चुंबकीय क्षेत्र B में चुंबकीय क्षण m के चुंबकीय द्विध्रुव की स्थितिज ऊर्जा U:
  $$U=-\mathbf {m} \cdot \mathbf {B}$$
• स्थिति सदिश r और संवेग p वाले कण के लिए कोणीय संवेग J:
  $$\mathbf {J} =\mathbf {r} \times \mathbf {p}$$
• एकसमान बाह्य विद्युत क्षेत्र E में विद्युत द्विध्रुव आघूर्ण p के विद्युत द्विध्रुव पर कार्य करने वाला बलाघूर्ण τ:
  $${\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {p} \times \mathbf {E}$$
• इकाई सामान्य n वाली सतह पर चुंबकीयकरण M के चुंबकीय पदार्थ में प्रेरित सतह धारा घनत्व j_S:
  $$\mathbf {j} _{\mathrm {S} }=\mathbf {M} \times \mathbf {n}$$

ऑर्थोगोनल परिवर्तनों के अनुसार ये उत्पाद कैसे बदलते हैं, इसका वर्णन नीचे दिया गया है।

डॉट उत्पाद, क्रोनकर डेल्टा, और मीट्रिक टेंसर

आधार सदिश की प्रत्येक संभावित जोड़ी का डॉट उत्पाद ⋅ आधार के ऑर्थोनॉर्मल होने से होता है। लंबवत युग्मों के लिए हमारे पास है

$${\begin{array}{llll}\mathbf {e} _{\text{x}}\cdot \mathbf {e} _{\text{y}}&=\mathbf {e} _{\text{y}}\cdot \mathbf {e} _{\text{z}}&=\mathbf {e} _{\text{z}}\cdot \mathbf {e} _{\text{x}}&=\\\mathbf {e} _{\text{y}}\cdot \mathbf {e} _{\text{x}}&=\mathbf {e} _{\text{z}}\cdot \mathbf {e} _{\text{y}}&=\mathbf {e} _{\text{x}}\cdot \mathbf {e} _{\text{z}}&=0\end{array}}$$

जबकि समानांतर जोड़ियों के लिए हमारे पास है

$$\mathbf {e} _{\text{x}}\cdot \mathbf {e} _{\text{x}}=\mathbf {e} _{\text{y}}\cdot \mathbf {e} _{\text{y}}=\mathbf {e} _{\text{z}}\cdot \mathbf {e} _{\text{z}}=1.$$

कार्टेशियन लेबल को सूचकांक संकेतन द्वारा प्रतिस्थापित करना जैसा कि दिखाया गया है या सूचकांक लेबल को प्रतिस्थापित करते हैं, इन परिणामों को संक्षेप में प्रस्तुत किया जा सकता है

$$\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=\delta _{ij}$$

जहां δ_ij क्रोनकर डेल्टा के घटक हैं। कार्टेशियन आधार का उपयोग इस तरह से δ का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जा सकता है।

इसके अतिरिक्त , प्रत्येक मीट्रिक टेंसर घटक g_ij किसी भी आधार के संबंध में आधार सदिश की जोड़ी का डॉट उत्पाद है:

$$g_{ij}=\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}.$$

कार्टेशियन आधार के लिए आव्यूह में व्यवस्थित घटक हैं:

$$\mathbf {g} ={\begin{pmatrix}g_{\text{xx}}&g_{\text{xy}}&g_{\text{xz}}\\g_{\text{yx}}&g_{\text{yy}}&g_{\text{yz}}\\g_{\text{zx}}&g_{\text{zy}}&g_{\text{zz}}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\mathbf {e} _{\text{x}}\cdot \mathbf {e} _{\text{x}}&\mathbf {e} _{\text{x}}\cdot \mathbf {e} _{\text{y}}&\mathbf {e} _{\text{x}}\cdot \mathbf {e} _{\text{z}}\\\mathbf {e} _{\text{y}}\cdot \mathbf {e} _{\text{x}}&\mathbf {e} _{\text{y}}\cdot \mathbf {e} _{\text{y}}&\mathbf {e} _{\text{y}}\cdot \mathbf {e} _{\text{z}}\\\mathbf {e} _{\text{z}}\cdot \mathbf {e} _{\text{x}}&\mathbf {e} _{\text{z}}\cdot \mathbf {e} _{\text{y}}&\mathbf {e} _{\text{z}}\cdot \mathbf {e} _{\text{z}}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}$$

तो मीट्रिक टेंसर के लिए सबसे सरल संभव है, अर्थात् δ:

$$g_{ij}=\delta _{ij}$$

यह सामान्य आधारों के लिए सच नहीं है: ऑर्थोगोनल निर्देशांक में विकर्ण आव्यूह आव्यूह होते हैं जिनमें विभिन्न मापदंड के कारक होते हैं (अथार्त जरूरी नहीं कि 1), जबकि सामान्य वक्रीय निर्देशांक में ऑफ-विकर्ण घटकों के लिए गैर-शून्य प्रविष्टियां भी हो सकती हैं।

दो सदिश का डॉट उत्पाद a और b के अनुसार रूपांतरित होता है

$$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} ={\bar {a}}_{j}{\bar {b}}_{j}=a_{i}{\mathsf {L}}_{ij}b_{k}\left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\right)_{jk}=a_{i}\delta _{i}{}_{k}b_{k}=a_{i}b_{i}$$

जो सहज है, क्योंकि दो सदिश का डॉट उत्पाद किसी भी निर्देशांक से स्वतंत्र एक एकल अदिश है। यह समान्य रूप से किसी भी समन्वय प्रणाली पर प्रयुक्त होता है, जो न कि केवल आयताकार प्रणालियों पर; एक समन्वय प्रणाली में डॉट उत्पाद किसी अन्य में समान है।

क्रॉस उत्पाद, लेवी-सिविटा प्रतीक, और छद्मसदिश

Cyclic permutations of index values and positively oriented cubic volume.

Anticyclic permutations of index values and negatively oriented cubic volume.

Non-zero values of the Levi-Civita symbol ε_ijk as the volume e_i ⋅ e_j × e_k of a cube spanned by the 3d orthonormal basis.

क्रॉस उत्पाद के लिए (×) दो सदिशों के, परिणाम (लगभग) विपरीत होते हैं। फिर से, दाएं हाथ के 3डी कार्टेशियन समन्वय प्रणाली को मानते हुए, लंबवत दिशाओं में चक्रीय क्रमपरिवर्तन से सदिश के चक्रीय संग्रह में अगला सदिश प्राप्त होता है:

$${\begin{aligned}\mathbf {e} _{\text{x}}\times \mathbf {e} _{\text{y}}&=\mathbf {e} _{\text{z}}&\mathbf {e} _{\text{y}}\times \mathbf {e} _{\text{z}}&=\mathbf {e} _{\text{x}}&\mathbf {e} _{\text{z}}\times \mathbf {e} _{\text{x}}&=\mathbf {e} _{\text{y}}\\[1ex]\mathbf {e} _{\text{y}}\times \mathbf {e} _{\text{x}}&=-\mathbf {e} _{\text{z}}&\mathbf {e} _{\text{z}}\times \mathbf {e} _{\text{y}}&=-\mathbf {e} _{\text{x}}&\mathbf {e} _{\text{x}}\times \mathbf {e} _{\text{z}}&=-\mathbf {e} _{\text{y}}\end{aligned}}$$

जबकि समानांतर सदिश स्पष्ट रूप से गायब हो जाते हैं:

$$\mathbf {e} _{\text{x}}\times \mathbf {e} _{\text{x}}=\mathbf {e} _{\text{y}}\times \mathbf {e} _{\text{y}}=\mathbf {e} _{\text{z}}\times \mathbf {e} _{\text{z}}={\boldsymbol {0}}$$

और कार्टेशियन लेबलों को सूचकांक संकेतन द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है क्योंकि या सूचकांक लेबल को प्रतिस्थापित करते हैं, इन्हें संक्षेप में प्रस्तुत किया जा सकता है:

$$\mathbf {e} _{i}\times \mathbf {e} _{j}={\begin{cases}+\mathbf {e} _{k}&{\text{cyclic permutations: }}(i,j,k)=(1,2,3),(2,3,1),(3,1,2)\\[2pt]-\mathbf {e} _{k}&{\text{anticyclic permutations: }}(i,j,k)=(2,1,3),(3,2,1),(1,3,2)\\[2pt]{\boldsymbol {0}}&i=j\end{cases}}$$

जहाँ i, j, k वे सूचकांक हैं जो 1, 2, 3 मान लेते हैं। यह इस प्रकार है:

$${\mathbf {e} _{k}\cdot \mathbf {e} _{i}\times \mathbf {e} _{j}}={\begin{cases}+1&{\text{cyclic permutations: }}(i,j,k)=(1,2,3),(2,3,1),(3,1,2)\\[2pt]-1&{\text{anticyclic permutations: }}(i,j,k)=(2,1,3),(3,2,1),(1,3,2)\\[2pt]0&i=j{\text{ or }}j=k{\text{ or }}k=i\end{cases}}$$

ये क्रमपरिवर्तन संबंध और उनके संबंधित मूल्य महत्वपूर्ण हैं, और इस गुण के साथ मेल खाने वाली एक वस्तु है: लेवी-सिविटा प्रतीक, द्वारा दर्शाया गया ε. लेवी-सिविटा प्रतीक प्रविष्टियों को कार्टेशियन आधार द्वारा दर्शाया जा सकता है:

$$\varepsilon _{ijk}=\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}\times \mathbf {e} _{k}$$

जो ज्यामितीय रूप से ऑर्थोनॉर्मल आधार सदिश द्वारा फैलाए गए घन के आयतन से मेल खाता है, जिसमें अभिविन्यास का संकेत देने वाला चिह्न होता है (और "सकारात्मक या ऋणात्मक आयतन" नहीं)। यहां, दाएं हाथ वाले प्रणाली के लिए अभिविन्यास ε₁₂₃ = +1 द्वारा तय किया गया है। एक बाएं हाथ की प्रणाली ε₁₂₃ = −1या समकक्ष ε₃₂₁ = +1 को ठीक करेगी।

अदिश त्रिगुण गुणनफल अब लिखा जा सकता है:

$$\mathbf {c} \cdot \mathbf {a} \times \mathbf {b} =c_{i}\mathbf {e} _{i}\cdot a_{j}\mathbf {e} _{j}\times b_{k}\mathbf {e} _{k}=\varepsilon _{ijk}c_{i}a_{j}b_{k}$$

आयतन की ज्यामितीय व्याख्या के साथ (a, b, c) द्वारा फैलाए गए समानांतर चतुर्भुज की) और बीजगणितीय रूप से एक निर्धारक है:

$$\mathbf {c} \cdot \mathbf {a} \times \mathbf {b} ={\begin{vmatrix}c_{\text{x}}&a_{\text{x}}&b_{\text{x}}\\c_{\text{y}}&a_{\text{y}}&b_{\text{y}}\\c_{\text{z}}&a_{\text{z}}&b_{\text{z}}\end{vmatrix}}$$

विपरीत में इसका उपयोग दो सदिश के क्रॉस उत्पाद को निम्नानुसार फिर से लिखने के लिए किया जा सकता है:

$${\begin{aligned}(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )_{i}={\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {a} \times \mathbf {b} }&=\varepsilon _{\ell jk}{(\mathbf {e} _{i})}_{\ell }a_{j}b_{k}=\varepsilon _{\ell jk}\delta _{i\ell }a_{j}b_{k}=\varepsilon _{ijk}a_{j}b_{k}\\\Rightarrow \quad {\mathbf {a} \times \mathbf {b} }=(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )_{i}\mathbf {e} _{i}&=\varepsilon _{ijk}a_{j}b_{k}\mathbf {e} _{i}\end{aligned}}$$

अपनी उपस्थिति के विपरीत, लेवी-सिविटा प्रतीक एक टेंसर नहीं है, किन्तु एक स्यूडोटेन्सर है, घटक इसके अनुसार बदलते हैं:

$${\bar {\varepsilon }}_{pqr}=\det({\boldsymbol {\mathsf {L}}})\varepsilon _{ijk}{\mathsf {L}}_{ip}{\mathsf {L}}_{jq}{\mathsf {L}}_{kr}\,.$$

इसलिए, के पार उत्पाद का परिवर्तन a और b है:

$${\begin{aligned}&\left({\bar {\mathbf {a} }}\times {\bar {\mathbf {b} }}\right)_{i}\\[1ex]{}={}&{\bar {\varepsilon }}_{ijk}{\bar {a}}_{j}{\bar {b}}_{k}\\[1ex]{}={}&\det({\boldsymbol {\mathsf {L}}})\;\;\varepsilon _{pqr}\;\;{\mathsf {L}}_{pi}{\mathsf {L}}_{qj}{\mathsf {L}}_{rk}\;\;a_{m}{\mathsf {L}}_{mj}\;\;b_{n}{\mathsf {L}}_{nk}\\[1ex]{}={}&\det({\boldsymbol {\mathsf {L}}})\;\;\varepsilon _{pqr}\;\;{\mathsf {L}}_{pi}\;\;{\mathsf {L}}_{qj}\left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\right)_{jm}\;\;{\mathsf {L}}_{rk}\left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\right)_{kn}\;\;a_{m}\;\;b_{n}\\[1ex]{}={}&\det({\boldsymbol {\mathsf {L}}})\;\;\varepsilon _{pqr}\;\;{\mathsf {L}}_{pi}\;\;\delta _{qm}\;\;\delta _{rn}\;\;a_{m}\;\;b_{n}\\[1ex]{}={}&\det({\boldsymbol {\mathsf {L}}})\;\;{\mathsf {L}}_{pi}\;\;\varepsilon _{pqr}a_{q}b_{r}\\[1ex]{}={}&\det({\boldsymbol {\mathsf {L}}})\;\;(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )_{p}{\mathsf {L}}_{pi}\end{aligned}}$$

'इसलिए a × b निर्धारक कारक के कारण छद्मसदिश के रूप में परिवर्तित हो जाता है।'

टेंसर सूचकांक संकेतन किसी भी ऑब्जेक्ट पर प्रयुक्त होता है जिसमें ऐसी इकाइयाँ होती हैं जो बहुआयामी सरणियाँ बनाती हैं - सूचकांक वाली हर चीज़ डिफ़ॉल्ट रूप से टेंसर नहीं होती है। इसके अतिरिक्त , टेंसर को इस आधार पर परिभाषित किया जाता है कि एक समन्वय प्रणाली से दूसरे में परिवर्तन के अनुसार उनके निर्देशांक और आधार अवयव कैसे बदलते हैं।

ध्यान दें कि दो सदिश का क्रॉस उत्पाद एक छद्मसदिश है, जबकि एक सदिश के साथ छद्मसदिश का क्रॉस उत्पाद एक अन्य सदिश है।

δ टेंसर और ε स्यूडोटेंसर के अनुप्रयोग

अन्य पहचान δ टेंसर और ε स्यूडोटेंसर से बनाई जा सकती है, एक उल्लेखनीय और बहुत उपयोगी पहचान वह है जो दो सूचकांकों पर आसन्न रूप से अनुबंधित दो लेवी-सिविटा प्रतीकों को क्रोनकर डेल्टा के एक एंटीसिमेट्रिज्ड संयोजन में परिवर्तित करती है:

$$\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{pqk}=\delta _{ip}\delta _{jq}-\delta _{iq}\delta _{jp}$$

डॉट और क्रॉस उत्पादों के सूचकांक रूप, इस पहचान के साथ मिलकर, अन्य सदिश गणना पहचान और बीजगणित के परिवर्तन और व्युत्पत्ति की सुविधा प्रदान करते हैं, जो बदले में भौतिकी और इंजीनियरिंग में बड़े मापदंड पर उपयोग किए जाते हैं। उदाहरण के लिए, यह स्पष्ट है कि डॉट और क्रॉस उत्पाद सदिश जोड़ पर वितरणात्मक हैं:

$${\begin{aligned}\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} +\mathbf {c} )&=a_{i}(b_{i}+c_{i})=a_{i}b_{i}+a_{i}c_{i}=\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} +\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} \\[1ex]\mathbf {a} \times (\mathbf {b} +\mathbf {c} )&=\mathbf {e} _{i}\varepsilon _{ijk}a_{j}(b_{k}+c_{k})=\mathbf {e} _{i}\varepsilon _{ijk}a_{j}b_{k}+\mathbf {e} _{i}\varepsilon _{ijk}a_{j}c_{k}=\mathbf {a} \times \mathbf {b} +\mathbf {a} \times \mathbf {c} \end{aligned}}$$

किसी भी ज्यामितीय निर्माण का सहारा लिए बिना - प्रत्येक स्थिति में व्युत्पत्ति बीजगणित की एक त्वरित रेखा है। चूँकि प्रक्रिया कम स्पष्ट है, सदिश ट्रिपल उत्पाद भी प्राप्त किया जा सकता है। सूचकांक संकेतन में पुनर्लेखन:

$$\left[\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )\right]_{i}=\varepsilon _{ijk}a_{j}(\varepsilon _{k\ell m}b_{\ell }c_{m})=(\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{k\ell m})a_{j}b_{\ell }c_{m}$$

और क्योंकि ε प्रतीक में सूचकांकों के चक्रीय क्रमपरिवर्तन से इसका मूल्य नहीं बदलता है, ε_kℓm प्राप्त करने के लिए ε_ℓmk में सूचकांकों को चक्रीय रूप से क्रमपरिवर्तित करने से हमें ε प्रतीकों को δ टेंसर में परिवर्तित करने के लिए उपरोक्त δ-ε पहचान का उपयोग करने की अनुमति मिलती है:

$${\begin{aligned}\left[\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )\right]_{i}{}={}&\left(\delta _{i\ell }\delta _{jm}-\delta _{im}\delta _{j\ell }\right)a_{j}b_{\ell }c_{m}\\{}={}&\delta _{i\ell }\delta _{jm}a_{j}b_{\ell }c_{m}-\delta _{im}\delta _{j\ell }a_{j}b_{\ell }c_{m}\\{}={}&a_{j}b_{i}c_{j}-a_{j}b_{j}c_{i}\\{}={}&\left[(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )\mathbf {b} -(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )\mathbf {c} \right]_{i}\end{aligned}}$$

इस प्रकार:

$$\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )\mathbf {b} -(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )\mathbf {c}$$

ध्यान दें कि यह b और c में एंटीसिमेट्रिक है, जैसा कि बाईं ओर से अपेक्षित है। इसी तरह, सूचकांक संकेतन के माध्यम से या यहां तक कि पिछले परिणाम में a, b, और c को चक्रीय रूप से पुनः लेबल करना और ऋणात्मक लेना:

$$(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times \mathbf {c} =(\mathbf {c} \cdot \mathbf {a} )\mathbf {b} -(\mathbf {c} \cdot \mathbf {b} )\mathbf {a}$$

और परिणामों में अंतर दर्शाता है कि क्रॉस उत्पाद साहचर्य नहीं है। अधिक जटिल पहचान, जैसे चौगुनी उत्पाद;

$$(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {d} ),\quad (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times (\mathbf {c} \times \mathbf {d} ),\quad \ldots$$

और इसी तरह, समान विधि से प्राप्त किया जा सकता है।

कार्टेशियन टेंसर का रूपांतरण (आयामों की कोई भी संख्या)

टेंसर को उन मात्राओं के रूप में परिभाषित किया जाता है जो निर्देशांक के रैखिक परिवर्तनों के अनुसार एक निश्चित विधि से परिवर्तित होती हैं।

दूसरा क्रम

होने देना a = a_ie_i और b = b_ie_i दो सदिश बनें, ताकि वे इसके अनुसार रूपांतरित हो जाएं a_j = a_iL_ij, b_j = b_iL_ij.

मान लीजिए कि a = a_ie_i और b = b_ie_i दो सदिश हैं, जिससे वे a_j = a_iL_ij, b_j = b_iL_ij के अनुसार रूपांतरित हो जाएं।

टेंसर उत्पाद लेने से मिलता है:

$$\mathbf {a} \otimes \mathbf {b} =a_{i}\mathbf {e} _{i}\otimes b_{j}\mathbf {e} _{j}=a_{i}b_{j}\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}$$

फिर घटकों में परिवर्तन प्रयुक्त करना

$${\bar {a}}_{p}{\bar {b}}_{q}=a_{i}{\mathsf {L}}_{i}{}_{p}b_{j}{\mathsf {L}}_{j}{}_{q}={\mathsf {L}}_{i}{}_{p}{\mathsf {L}}_{j}{}_{q}a_{i}b_{j}$$

और ठिकानों तक

$${\bar {\mathbf {e} }}_{p}\otimes {\bar {\mathbf {e} }}_{q}=\left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\right)_{pi}\mathbf {e} _{i}\otimes \left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\right)_{qj}\mathbf {e} _{j}=\left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\right)_{pi}\left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\right)_{qj}\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}={\mathsf {L}}_{ip}{\mathsf {L}}_{jq}\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}$$

ऑर्डर-2 टेंसर का परिवर्तन नियम देता है। टेंसर a⊗b इस परिवर्तन के अनुसार अपरिवर्तनीय है:

$${\begin{aligned}{\bar {a}}_{p}{\bar {b}}_{q}{\bar {\mathbf {e} }}_{p}\otimes {\bar {\mathbf {e} }}_{q}{}={}&{\mathsf {L}}_{kp}{\mathsf {L}}_{\ell q}a_{k}b_{\ell }\,\left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\right)_{pi}\left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\right)_{qj}\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}\\[1ex]{}={}&{\mathsf {L}}_{kp}\left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\right)_{pi}{\mathsf {L}}_{\ell q}\left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\right)_{qj}\,a_{k}b_{\ell }\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}\\[1ex]{}={}&\delta _{k}{}_{i}\delta _{\ell j}\,a_{k}b_{\ell }\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}\\[1ex]{}={}&a_{i}b_{j}\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}\end{aligned}}$$

अधिक सामान्यतः, किसी भी ऑर्डर-2 टेंसर के लिए

$$\mathbf {R} =R_{ij}\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}\,,$$

घटक इसलिए रूपांतरित होते हैं;

$${\bar {R}}_{pq}={\mathsf {L}}_{i}{}_{p}{\mathsf {L}}_{j}{}_{q}R_{ij},$$

और आधार बदल जाता है:

$${\bar {\mathbf {e} }}_{p}\otimes {\bar {\mathbf {e} }}_{q}=\left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\right)_{ip}\mathbf {e} _{i}\otimes \left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\right)_{jq}\mathbf {e} _{j}$$

यदि R इस नियम के अनुसार रूपांतरित नहीं होता - चाहे कोई भी मात्रा हो R हो सकता है - यह ऑर्डर-2 टेंसर नहीं है।

कोई आदेश

अधिक सामान्यतः, किसी भी क्रम p टेंसर के लिए

$$\mathbf {T} =T_{j_{1}j_{2}\cdots j_{p}}\mathbf {e} _{j_{1}}\otimes \mathbf {e} _{j_{2}}\otimes \cdots \mathbf {e} _{j_{p}}$$

घटक इसलिए रूपांतरित होते हैं;

$${\bar {T}}_{j_{1}j_{2}\cdots j_{p}}={\mathsf {L}}_{i_{1}j_{1}}{\mathsf {L}}_{i_{2}j_{2}}\cdots {\mathsf {L}}_{i_{p}j_{p}}T_{i_{1}i_{2}\cdots i_{p}}$$

और आधार बदल जाता है:

$${\bar {\mathbf {e} }}_{j_{1}}\otimes {\bar {\mathbf {e} }}_{j_{2}}\cdots \otimes {\bar {\mathbf {e} }}_{j_{p}}=\left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\right)_{j_{1}i_{1}}\mathbf {e} _{i_{1}}\otimes \left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\right)_{j_{2}i_{2}}\mathbf {e} _{i_{2}}\cdots \otimes \left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\right)_{j_{p}i_{p}}\mathbf {e} _{i_{p}}$$

क्रम p के एक स्यूडोटेंसर S के लिए, घटक इसके अनुसार बदलते हैं;

$${\bar {S}}_{j_{1}j_{2}\cdots j_{p}}=\det({\boldsymbol {\mathsf {L}}}){\mathsf {L}}_{i_{1}j_{1}}{\mathsf {L}}_{i_{2}j_{2}}\cdots {\mathsf {L}}_{i_{p}j_{p}}S_{i_{1}i_{2}\cdots i_{p}}\,.$$

एंटीसिमेट्रिक सेकेंड क्रम टेंसर के रूप में छद्मसदिश

क्रॉस उत्पाद की एंटीसिमेट्रिक प्रकृति को निम्न प्रकार से एक टेंसोरियल रूप में पुनर्गठित किया जा सकता है। मान लीजिए कि c एक सदिश है, a एक छद्मसदिश है, b एक अन्य सदिश है, और T एक दूसरे क्रम का टेंसर है जैसे:

$$\mathbf {c} =\mathbf {a} \times \mathbf {b} =\mathbf {T} \cdot \mathbf {b}$$

चूंकि क्रॉस उत्पाद रैखिक है जो कि a और b, के घटक T निरीक्षण द्वारा पाया जा सकता है, और वे हैं:

$$\mathbf {T} ={\begin{pmatrix}0&-a_{\text{z}}&a_{\text{y}}\\a_{\text{z}}&0&-a_{\text{x}}\\-a_{\text{y}}&a_{\text{x}}&0\\\end{pmatrix}}$$

इसलिए स्यूडोसदिश a को एंटीसिमेट्रिक टेंसर के रूप में लिखा जा सकता है। यह एक टेन्सर के रूप में परिवर्तित होता है, स्यूडोटेन्सर के रूप में नहीं। एक कठोर पिंड के स्पर्शरेखा वेग के लिए उपरोक्त यांत्रिक उदाहरण के लिए, v = ω × x द्वारा दिए गए, इसे v = Ω ⋅ x के रूप में फिर से लिखा जा सकता है जहां Ω छद्मसदिश ω के अनुरूप टेंसर है:

$${\boldsymbol {\Omega }}={\begin{pmatrix}0&-\omega _{\text{z}}&\omega _{\text{y}}\\\omega _{\text{z}}&0&-\omega _{\text{x}}\\-\omega _{\text{y}}&\omega _{\text{x}}&0\\\end{pmatrix}}$$

विद्युत चुंबकत्व में एक उदाहरण के लिए, जबकि विद्युत क्षेत्र E एक सदिश क्षेत्र है, चुंबकीय क्षेत्र B एक छद्मसदिश क्षेत्र है। इन क्षेत्रों को वेग v से यात्रा करने वाले विद्युत आवेश q के एक कण के लिए लोरेंत्ज़ बल से परिभाषित किया गया है:

$$\mathbf {F} =q(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )=q(\mathbf {E} -\mathbf {B} \times \mathbf {v} )$$

और छद्मसदिश B और वेग सदिश v के क्रॉस उत्पाद वाले दूसरे शब्द पर विचार करते हुए, इसे आव्यूह रूप में लिखा जा सकता है, F, E, और v को स्तम्भ सदिश के रूप में और B को एंटीसिमेट्रिक आव्यूह के रूप में लिखा जा सकता है:

$${\begin{pmatrix}F_{\text{x}}\\F_{\text{y}}\\F_{\text{z}}\\\end{pmatrix}}=q{\begin{pmatrix}E_{\text{x}}\\E_{\text{y}}\\E_{\text{z}}\\\end{pmatrix}}-q{\begin{pmatrix}0&-B_{\text{z}}&B_{\text{y}}\\B_{\text{z}}&0&-B_{\text{x}}\\-B_{\text{y}}&B_{\text{x}}&0\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{\text{x}}\\v_{\text{y}}\\v_{\text{z}}\\\end{pmatrix}}$$

यदि एक छद्मसदिश स्पष्ट रूप से दो सदिश के क्रॉस उत्पाद द्वारा दिया जाता है (दूसरे सदिश के साथ क्रॉस उत्पाद में प्रवेश करने के विपरीत), तो ऐसे छद्मवेक्टरों को दूसरे क्रम के एंटीसिमेट्रिक टेंसर के रूप में भी लिखा जा सकता है, प्रत्येक प्रविष्टि क्रॉस उत्पाद का एक घटक है। J = x × p द्वारा परिभाषित एक अक्ष के चारों ओर परिक्रमा करने वाले एक मौलिक बिंदु जैसे कण का कोणीय संवेग, एक छद्मसदिश का एक और उदाहरण है, जिसमें संबंधित एंटीसिमेट्रिक टेंसर होता है:

$$\mathbf {J} ={\begin{pmatrix}0&-J_{\text{z}}&J_{\text{y}}\\J_{\text{z}}&0&-J_{\text{x}}\\-J_{\text{y}}&J_{\text{x}}&0\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&-(xp_{\text{y}}-yp_{\text{x}})&(zp_{\text{x}}-xp_{\text{z}})\\(xp_{\text{y}}-yp_{\text{x}})&0&-(yp_{\text{z}}-zp_{\text{y}})\\-(zp_{\text{x}}-xp_{\text{z}})&(yp_{\text{z}}-zp_{\text{y}})&0\\\end{pmatrix}}$$

चूँकि कार्टेशियन टेंसर सापेक्षता के सिद्धांत में नहीं पाए जाते हैं; कक्षीय कोणीय गति J का टेंसर रूप सापेक्ष कोणीय गति टेंसर के अंतरिक्षीय भाग में प्रवेश करता है, और चुंबकीय क्षेत्र B का उपरोक्त टेंसर रूप विद्युत चुम्बकीय टेंसर के अंतरिक्षीय भाग में प्रवेश करता है।

सदिश और टेंसर गणना

कार्टेशियन निर्देशांक में निम्नलिखित सूत्र केवल इतने सरल हैं - सामान्य वक्रीय निर्देशांक में मीट्रिक और उसके निर्धारक के कारक होते हैं - अधिक सामान्य विश्लेषण के लिए वक्रीय निर्देशांक में टेंसर देखें।

सदिश कलन

सदिश गणना के विभेदक संचालक निम्नलिखित हैं। कुल मिलाकर, मान लीजिए कि Φ(r, t)एक अदिश क्षेत्र है, और

$${\begin{aligned}\mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)&=A_{\text{x}}(\mathbf {r} ,t)\mathbf {e} _{\text{x}}+A_{\text{y}}(\mathbf {r} ,t)\mathbf {e} _{\text{y}}+A_{\text{z}}(\mathbf {r} ,t)\mathbf {e} _{\text{z}}\\[1ex]\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)&=B_{\text{x}}(\mathbf {r} ,t)\mathbf {e} _{\text{x}}+B_{\text{y}}(\mathbf {r} ,t)\mathbf {e} _{\text{y}}+B_{\text{z}}(\mathbf {r} ,t)\mathbf {e} _{\text{z}}\end{aligned}}$$

सदिश क्षेत्र बनें, जिसमें सभी स्केलर और सदिश क्षेत्र स्थिति सदिश r और समय t के कार्य हैं।

कार्टेशियन निर्देशांक में ग्रेडियेंट ऑपरेटर निम्न द्वारा दिया गया है:

$$\nabla =\mathbf {e} _{\text{x}}{\frac {\partial }{\partial x}}+\mathbf {e} _{\text{y}}{\frac {\partial }{\partial y}}+\mathbf {e} _{\text{z}}{\frac {\partial }{\partial z}}$$

और सूचकांक संकेतन में, इसे समान्य रूप से विभिन्न विधियों से संक्षिप्त किया जाता है:

$$\nabla _{i}\equiv \partial _{i}\equiv {\frac {\partial }{\partial x_{i}}}$$

यह ऑपरेटर Φ की वृद्धि की अधिकतम दर में निर्देशित सदिश क्षेत्र प्राप्त करने के लिए एक अदिश क्षेत्र Φ पर कार्य करता है:

$$\left(\nabla \Phi \right)_{i}=\nabla _{i}\Phi$$

डॉट और क्रॉस उत्पादों के लिए सूचकांक संकेतन सदिश गणना के अंतर ऑपरेटरों तक ले जाता है।

एक अदिश क्षेत्र Φ का दिशात्मक व्युत्पन्न कुछ दिशा सदिश a (जरूरी नहीं कि एक इकाई वेक्टर) के साथ Φ के परिवर्तन की दर है, जो a और ग्रेडिएंट के घटकों से बना है:

$$\mathbf {a} \cdot (\nabla \Phi )=a_{j}(\nabla \Phi )_{j}$$

एक सदिश क्षेत्र का विचलन A है:

$$\nabla \cdot \mathbf {A} =\nabla _{i}A_{i}$$

ध्यान दें कि ग्रेडिएंट और सदिश क्षेत्र के घटकों के आदान-प्रदान से एक अलग अंतर ऑपरेटर प्राप्त होता है

$$\mathbf {A} \cdot \nabla =A_{i}\nabla _{i}$$

जो अदिश या सदिश क्षेत्रों पर कार्य कर सकता है। वास्तव में, यदि A को तरल पदार्थ के वेग क्षेत्र u(r, t) द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, तो यह सातत्य यांत्रिकी के सामग्री व्युत्पन्न (विभिन्न अन्य नामों के साथ) में एक शब्द है, एक अन्य शब्द आंशिक समय व्युत्पन्न है:

$${\frac {D}{Dt}}={\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla$$

जो समान्य रूप से वेग क्षेत्र पर कार्य करता है जिससे नेवियर-स्टोक्स समीकरण में गैर-रैखिकता उत्पन्न होती है।

जहां तक सदिश क्षेत्र Aके कर्ल का सवाल है, इसे ε प्रतीक के माध्यम से एक छद्मसदिश क्षेत्र के रूप में परिभाषित किया जा सकता है:

$$\left(\nabla \times \mathbf {A} \right)_{i}=\varepsilon _{ijk}\nabla _{j}A_{k}$$

जो केवल तीन आयामों में मान्य है, या सूचकांकों के एंटीसिमेट्रिज़ेशन के माध्यम से दूसरे क्रम के एक एंटीसिमेट्रिक टेन्सर क्षेत्र में, वर्ग कोष्ठक द्वारा एंटीसिमेट्रिज़्ड सूचकांकों को परिसीमित करके दर्शाया गया है (कर्ल कलन देखें):

$$\left(\nabla \times \mathbf {A} \right)_{ij}=\nabla _{i}A_{j}-\nabla _{j}A_{i}=2\nabla _{[i}A_{j]}$$

जो किसी भी संख्या में आयामों में मान्य है। प्रत्येक स्थिति में, ग्रेडिएंट और सदिश क्षेत्र घटकों के क्रम को आपस में नहीं बदला जाना चाहिए क्योंकि इसके परिणामस्वरूप एक अलग अंतर ऑपरेटर होगा:

$$\varepsilon _{ijk}A_{j}\nabla _{k}=A_{i}\nabla _{j}-A_{j}\nabla _{i}=2A_{[i}\nabla _{j]}$$

जो अदिश या सदिश क्षेत्रों पर कार्य कर सकता है।

अंत में, लाप्लासियन संचालिका को दो विधियों से परिभाषित किया गया है, एक अदिश क्षेत्र के ग्रेडिएंट का विचलन Φ है :

$$\nabla \cdot (\nabla \Phi )=\nabla _{i}(\nabla _{i}\Phi )$$

या ग्रेडिएंट ऑपरेटर का वर्ग, जो एक अदिश क्षेत्र Φ या एक सदिश क्षेत्र A पर कार्य करता है:

$${\begin{aligned}(\nabla \cdot \nabla )\Phi &=(\nabla _{i}\nabla _{i})\Phi \\(\nabla \cdot \nabla )\mathbf {A} &=(\nabla _{i}\nabla _{i})\mathbf {A} \end{aligned}}$$

भौतिकी और इंजीनियरिंग में, द्रव यांत्रिकी, न्यूटोनियन गुरुत्वाकर्षण, विद्युत चुंबकत्व, ताप चालन और यहां तक ​​कि क्वांटम यांत्रिकी में ग्रेडिएंट, डाइवर्जेंस, कर्ल और लैप्लासियन ऑपरेटर अनिवार्य रूप से उत्पन्न होते हैं।

सदिश गणना पहचान सदिश डॉट और क्रॉस उत्पादों और संयोजनों के समान तरीके से प्राप्त की जा सकती है। उदाहरण के लिए, तीन आयामों में, दो सदिश क्षेत्र A और B:बी के क्रॉस उत्पाद का कर्ल:

$$\nabla \times (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )=(\mathbf {B} \cdot \nabla )\mathbf {A} +\mathbf {A} (\nabla \cdot \mathbf {B} )-\mathbf {B} (\nabla \cdot \mathbf {A} )-(\mathbf {A} \cdot \nabla )\mathbf {B}$$