अनियमित परिवर्तनशील वस्तु

यादृच्छिक चर (जिसे यादृच्छिक मात्रा, सहायक चर या स्टोकेस्टिक चर भी कहा जाता है) मात्रा या वस्तु का गणितीय औपचारिकरण है जो यादृच्छिक घटनाओं पर निर्भर करता है। यह संभावित परिणाम (संभाव्यता) का मैपिंग या फलन है (उदाहरण के लिए, फ़्लिप किए गए सिक्के के संभावित ऊपरी भाग जैसे कि हेड $H$ और टेल $T$ है) प्रारूप स्थान में (जैसे, समुच्चय $\{H,T\}$) मापने योग्य स्थान (उदा., $\{-1,1\}$ जिसमें 1 के अनुरूप $H$ और -1 के अनुरूप $T$ है), प्रायः वास्तविक संख्या के लिए होता है।

यह ग्राफ दिखाता है कि कैसे यादृच्छिक चर सभी संभावित परिणामों से लेकर वास्तविक मानों तक फलन है। यह यह भी दर्शाता है कि संभाव्यता द्रव्यमान कार्यों को परिभाषित करने के लिए यादृच्छिक चर का उपयोग कैसे किया जाता है।

अनौपचारिक रूप से, यादृच्छिकता सामान्यतः संयोग के कुछ मौलिक तत्व का प्रतिनिधित्व करती है, जैसे कि पासा के रोल में; यह माप त्रुटि जैसी अनिश्चितता का भी प्रतिनिधित्व कर सकता है।चूँकि, संभाव्यता की व्याख्या दार्शनिक रूप से जटिल है, और विशिष्ट स्थितियों में भी सदैव सरल नहीं होती है। यादृच्छिक चरों का विशुद्ध रूप से गणितीय विश्लेषण ऐसी व्याख्यात्मक कठिनाइयों से स्वतंत्र है, और कठोर स्वयंसिद्ध व्यवस्था पर आधारित हो सकता है।

माप सिद्धांत की औपचारिक गणितीय भाषा में, यादृच्छिक चर को मापने योग्य फलन के रूप में परिभाषित किया जाता है जो संभावना माप स्थान (प्रारूप स्थान कहा जाता है) से मापने योग्य स्थान तक होता है। यह पुशफॉरवर्ड माप पर विचार करने की अनुमति देता है, जिसे यादृच्छिक चर का वितरण कहा जाता है; वितरण इस प्रकार यादृच्छिक चर के सभी संभावित मूल्यों के समुच्चय पर संभाव्यता माप है। दो यादृच्छिक चरों के लिए समान वितरण होना संभव है किन्तु महत्वपूर्ण प्रकारों से भिन्न होना संभव है; उदाहरण के लिए, वे स्वतंत्र (संभावना सिद्धांत) हो सकते हैं।

असतत यादृच्छिक चर और प्रत्येक प्रकार से निरंतर यादृच्छिक चर की विशेष स्थितियों पर विचार करना सामान्य है, यादृच्छिक चर का मूल्य असतत समुच्चय (जैसे परिमित समुच्चय) या वास्तविक संख्याओं के अंतराल में हो। अन्य महत्वपूर्ण संभावनाएँ हैं, विशेष रूप से स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं के सिद्धांत में, जिसमें यादृच्छिक क्रम या यादृच्छिक कार्यों पर विचार करना स्वाभाविक है। कभी-कभी यादृच्छिक चर को वास्तविक संख्या में स्वचालित रूप से मान लिया जाता है, इसके अतिरिक्त अधिक सामान्य यादृच्छिक मात्रा को यादृच्छिक तत्व कहा जाता है।

जॉर्ज मैके के अनुसार, यादृच्छिक चर के संदर्भ में व्यवस्थित रूप से सोचने वाले प्रथम व्यक्ति पफन्युटी चेबीशेव थे।

परिभाषा

यादृच्छिक चर $X$ मापने योग्य कार्य $X\colon \Omega \to E$ प्रारूप स्थान से $\Omega$ मापने योग्य स्थान के संभावित परिणाम (संभावना) के समुच्चय के रूप में $E$ है, प्रौद्योगिकी स्वयंसिद्ध परिभाषा के लिए प्रारूप स्थान की आवश्यकता होती है $\Omega$ प्रायिकता स्थान का प्रारूप होना $(\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {P} )$ (माप-सैद्धांतिक परिभाषा देखें)। यादृच्छिक चर को प्रायः कैपिटल रोमन अक्षरों द्वारा निरूपित किया जाता है जैसे $X$, $Y$, $Z$, $T$ है।

संभावना है कि $X$ मापने योग्य समुच्चय में मान लेता है। $S\subseteq E$ के रूप में लिखा गया है

$\operatorname {P} (X\in S)=\operatorname {P} (\{\omega \in \Omega \mid X(\omega )\in S\})$

मानक स्थिति

अनेक स्थितियों में, $X$ वास्तविक-मूल्यवान है, अर्थात $E=\mathbb {R}$ कुछ संदर्भों में, शब्द यादृच्छिक तत्व (विस्तार देखें) का उपयोग इस रूप के यादृच्छिक चर को निरूपित करने के लिए किया जाता है।

जब कि छवि (गणित) (या श्रेणी) $X$ गणना योग्य है, यादृच्छिक चर को असतत यादृच्छिक चर कहा जाता है और इसका वितरण असतत संभाव्यता वितरण है, अर्थात इसे प्रायिकता द्रव्यमान फलन द्वारा वर्णित किया जा सकता है जो छवि में प्रत्येक मान $X$ के लिए प्रायिकता प्रदान करता है, यदि छवि अनगिनत रूप से अनंत है (सामान्यतः अंतराल (गणित)) तो $X$ सतत को यादृच्छिक चर कहा जाता है। विशेष स्थिति में यह बिल्कुल निरंतर है, इसके वितरण को संभाव्यता घनत्व फलन द्वारा वर्णित किया जा सकता है, जो अंतरालों को संभावनाएं प्रदान करता है; विशेष रूप से, प्रत्येक भिन्न-भिन्न बिंदु में बिल्कुल निरंतर यादृच्छिक चर के लिए आवश्यक रूप से शून्य प्रायिकता होनी चाहिए। सभी निरंतर यादृच्छिक चर बिल्कुल निरंतर नहीं होते हैं, मिश्रण वितरण ऐसा ही उदाहरण है; ऐसे यादृच्छिक चरों को प्रायिकता घनत्व या प्रायिकता द्रव्यमान फलन द्वारा वर्णित नहीं किया जा सकता है।

किसी भी यादृच्छिक चर को उसके संचयी वितरण फलन द्वारा वर्णित किया जा सकता है, जो इस संभावना का वर्णन करता है कि यादृच्छिक चर निश्चित मान से अल्प या उसके समान होगा।

विस्तार

आँकड़ों में यादृच्छिक चर शब्द पारंपरिक रूप से वास्तविक-मूल्य वाले स्थिति ($E=\mathbb {R}$) तक सीमित है। इस स्थिति में, वास्तविक संख्याओं की संरचना मात्राओं को परिभाषित करना संभव बनाती है जैसे कि यादृच्छिक चर का अपेक्षित मूल्य और विचरण, इसका संचयी वितरण फलन और इसके वितरण का क्षण (गणित) होता है।

चूँकि, ऊपर दी गई परिभाषा किसी भी मापने योग्य स्थान $E$ मूल्यों के लिए मान्य है। इस प्रकार अन्य समुच्चयों के यादृच्छिक तत्वों $E$ पर विचार कर सकता है, जैसे यादृच्छिक बूलियन मान, श्रेणीबद्ध मान, जटिल संख्याएं, यादृच्छिक सदिश, आव्यूह, अनुक्रम, ट्री (ग्राफ़ थ्योरी), समुच्चय, आकार, अनेक गुना और कार्य है। तब विशेष रूप से डेटा प्रकार के यादृच्छिक चर $E$ या $E$- मूल्यवान का उल्लेख कर सकता है।

यादृच्छिक तत्व की यह अधिक सामान्य अवधारणा विशेष रूप से ग्राफ सिद्धांत, मशीन सीखने, प्राकृतिक भाषा प्रसंस्करण, असतत गणित और कंप्यूटर विज्ञान के अन्य क्षेत्रों जैसे विषयों में उपयोगी है, जहां प्रायः अन्य-संख्यात्मक डेटा के यादृच्छिक भिन्नता को मॉडलिंग करने में रुचि होती है। कुछ स्थितियों में, इसके प्रत्येक तत्व $E$ का प्रतिनिधित्व करना अभी भी सुविधाजनक है, या अधिक वास्तविक संख्याओं का उपयोग करता है। इस स्थिति में, यादृच्छिक तत्व को वैकल्पिक रूप से यादृच्छिक सदिश के रूप में दर्शाया जा सकता है। वास्तविक-मूल्यवान यादृच्छिक चर के सदिश (सभी समान अंतर्निहित संभाव्यता स्थान पर परिभाषित) $\Omega$, जो भिन्न -भिन्न यादृच्छिक चर को पारस्परिक जानकारी की अनुमति देता है) है। उदाहरण के लिए:

• यादृच्छिक शब्द को यादृच्छिक पूर्णांक के रूप में दर्शाया जा सकता है जो संभावित शब्दों की शब्दावली में सूचकांक के रूप में कार्य करता है। वैकल्पिक रूप से, इसे यादृच्छिक संकेतक सदिश के रूप में दर्शाया जा सकता है, जिसकी लंबाई शब्दावली के आकार के समान होती है, जहां केवल सकारात्मक संभाव्यता के मान $(1\ 0\ 0\ 0\ \cdots )$, $(0\ 1\ 0\ 0\ \cdots )$, $(0\ 0\ 1\ 0\ \cdots )$ होते हैं और 1 की स्थिति शब्द को प्रदर्शित करती है।
• दी गई लंबाई का यादृच्छिक वाक्य $N$ के सदिश के रूप में दर्शाया जा सकता है $N$ रैंडम शब्द है।
• यादृच्छिक ग्राफ पर $N$ दिए गए शीर्षों को a के रूप में दर्शाया जा सकता है $N\times N$ यादृच्छिक चर का आव्यूह है, जिनके मान यादृच्छिक ग्राफ के आसन्न आव्यूह को निर्दिष्ट करते हैं।
• यादृच्छिक कार्य $F$ यादृच्छिक चर के संग्रह के रूप $F(x)$ में प्रदर्शित किया जा सकता है, विभिन्न बिंदुओं पर फलन के मान दे रहा है $x$ फलन के डोमेन में है। $F(x)$ h> साधारण वास्तविक-मूल्यवान यादृच्छिक चर हैं, नियम यह है कि फलन वास्तविक-मूल्यवान हो। उदाहरण के लिए, स्टोकेस्टिक प्रक्रिया समय का यादृच्छिक कार्य है, यादृच्छिक सदिश कुछ सूचकांक समुच्चय का यादृच्छिक कार्य है जैसे कि $1,2,\ldots ,n$, और यादृच्छिक क्षेत्र किसी भी समुच्चय (सामान्यतः समय, स्थान, या असतत समुच्चय) पर यादृच्छिक कार्य है।

वितरण कार्य

यदि यादृच्छिक चर $X\colon \Omega \to \mathbb {R}$ संभाव्यता स्थान पर परिभाषित $(\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {P} )$ किया गया है, तो हम इस प्रकार के प्रश्न पूछ सकते हैं कि इसकी कितनी संभावना है कि इसका मान $X$ 2 के समान है? यह घटना की संभावना के समान है $\{\omega :X(\omega )=2\}\,\!$ जिसे प्रायः $P(X=2)\,\!$ या $p_{X}(2)$ के रूप में लिखा जाता है।

यादृच्छिक चर के आउटपुट की इन सभी संभावनाओं को रिकॉर्ड करना $X$ का संभाव्यता वितरण देता है $X$ संभाव्यता वितरण परिभाषित करने के लिए उपयोग की जाने वाली विशेष संभावना स्थान के बारे में भूल जाता है $X$ और केवल के विभिन्न आउटपुट मूल्यों की $X$ संभावनाओं को रिकॉर्ड करता है, ऐसा संभाव्यता वितरण, यदि $X$ वास्तविक-मूल्यवान है, तो सदैव इसके संचयी वितरण फलन द्वारा कैप्चर किया जा सकता है

$F_{X}(x)=\operatorname {P} (X\leq x)$

और कभी-कभी संभाव्यता घनत्व फलन का उपयोग करके भी, $f_{X}$ माप-सैद्धांतिक शब्दों में, हम यादृच्छिक चर $X$ का उपयोग करते हैं, उपाय को आगे बढ़ाने के लिए $P$ पर $\Omega$ उपाय के लिए $p_{X}$ पर $\mathbb {R}$ स्तर $p_{X}$ को (संभाव्यता) वितरण कहा जाता है। $X$ का यह नियम $X$ है।

घनत्व $f_{X}=dp_{X}/d\mu$, रेडॉन-निकोडिम का व्युत्पन्न $p_{X}$ कुछ संदर्भ उपाय के संबंध में $\mu$ पर $\mathbb {R}$ है (प्रायः, यह संदर्भ उपाय निरंतर यादृच्छिक चर के स्थिति में लेबेसेग उपाय है, या असतत यादृच्छिक चर के स्थिति में गिनती के उपाय)।

अंतर्निहित संभाव्यता स्थान $\Omega$ प्रौद्योगिकी उपकरण है जिसका उपयोग यादृच्छिक चर के अस्तित्व की आश्वासन देने के लिए किया जाता है, कभी-कभी उनका निर्माण करने के लिए, और समान संभाव्यता स्थान पर दो या दो से अधिक यादृच्छिक चर के संयुक्त वितरण के आधार पर सहसंबंध और निर्भरता या स्वतंत्रता (संभाव्यता सिद्धांत) जैसी धारणाओं को परिभाषित करने के लिए होता है। व्यवहार में, प्रायः अंतरिक्ष का निवारण करता है $\Omega$ प्रत्येक प्रकार से उपाय करता है $\mathbb {R}$ जो संपूर्ण वास्तविक रेखा को माप 1 प्रदान करता है, अर्थात, यादृच्छिक चर के अतिरिक्त संभाव्यता वितरण के साथ कार्य करता है। पूर्ण विकास के लिए मात्रात्मक फलन पर आलेख देखें।

उदाहरण

असतत यादृच्छिक चर

प्रयोग में व्यक्ति को यादृच्छिक रूप से चयन किया जा सकता है, और यादृच्छिक चर व्यक्ति की ऊंचाई हो सकती है। गणितीय रूप से, यादृच्छिक चर की व्याख्या ऐसे फलन के रूप में की जाती है जो व्यक्ति की ऊंचाई को मैप करता है। यादृच्छिक चर के साथ संबद्ध संभाव्यता वितरण है जो संभावना की गणना की अनुमति देता है कि ऊंचाई संभावित मूल्यों के किसी भी उपसमुच्चय में है, जैसे संभावना है कि ऊंचाई 180 और 190 सेमी के मध्य है, या संभावना है कि ऊंचाई या तो अल्प है, 150 से 200 सेमी से अधिक है।

अन्य यादृच्छिक चर व्यक्ति के बच्चों की संख्या हो सकती है; यह अन्य-नकारात्मक पूर्णांक मानों वाला असतत यादृच्छिक चर है। यह भिन्न-भिन्न पूर्णांक मानों के लिए संभावनाओं की गणना की अनुमति देता है - संभाव्यता द्रव्यमान फलन (पीएमएफ) - या अनंत समुच्चय सहित मूल्यों के समुच्चय के लिए होता है। उदाहरण के लिए, रुचि की घटना बच्चों की सम संख्या हो सकती है। दोनों परिमित और अनंत घटना समुच्चयों के लिए, तत्वों के पीएमएफ को जोड़कर उनकी संभावनाएं पाई जा सकती हैं; अर्थात्, बच्चों की सम संख्या की संभावना अनंत योग $\operatorname {PMF} (0)+\operatorname {PMF} (2)+\operatorname {PMF} (4)+\cdots$ है।

ऐसे उदाहरणों में, प्रारूप स्थान को प्रायः दबा दिया जाता है, क्योंकि इसका वर्णन करना गणितीय रूप से कठिन है, और यादृच्छिक चर के संभावित मूल्यों को तब प्रारूप स्थान के रूप में माना जाता है। किन्तु जब दो यादृच्छिक चर परिणामों के ही प्रारूप स्थान पर मापा जाता है, जैसे कि यादृच्छिक व्यक्तियों पर बच्चों की ऊंचाई और संख्या की गणना की जाती है, तो उनके संबंध को ट्रैक करना सरल होता है यदि यह स्वीकार किया जाता है कि बच्चों की ऊंचाई और संख्या दोनों एक ही यादृच्छिक व्यक्ति से आते हैं, उदाहरण के लिए जिससे कि इस प्रकार के यादृच्छिक चर सहसंबद्ध हैं या नहीं, के प्रश्न प्रस्तुत किए जा सकते हैं।

यदि ${\textstyle \{a_{n}\},\{b_{n}\}}$ वास्तविक संख्याओं ${\textstyle b_{n}>0}$ और ${\textstyle \sum _{n}b_{n}=1}$ के गणनीय समुच्चय हैं, तब ${\textstyle F=\sum _{n}b_{n}\delta _{a_{n}}(x)}$ असतत वितरण फलन है। जहाँ $\delta _{t}(x)=0$ के लिए $x<t$, $\delta _{t}(x)=1$ का मान $x\geq t$ हैं, उदाहरण के लिए सभी परिमेय संख्याओं की गणना करते हुए $\{a_{n}\}$, किसी को असतत कार्य मिलता है जो आवश्यक नहीं कि चरण कार्य (टुकड़ावार स्थिर) हो।

सिक्का टॉस

सिक्का उछालने के संभावित परिणामों को प्रारूप स्थान $\Omega =\{{\text{heads}},{\text{tails}}\}$ द्वारा वर्णित किया जा सकता है, हम वास्तविक-मूल्यवान यादृच्छिक चर प्रस्तुत कर सकते हैं $Y$ जो सिर पर सफल बेट के लिए $1 भुगतान को निम्नानुसार प्रारूप करता है:

$$Y(\omega )={\begin{cases}1,&{\text{if }}\omega ={\text{heads}},\\[6pt]0,&{\text{if }}\omega ={\text{tails}}.\end{cases}}$$

यदि सिक्का निष्पक्ष है, तो Y का प्रायिकता द्रव्यमान कार्य है $f_{Y}$ द्वारा दिए गए मान हैं:

$$f_{Y}(y)={\begin{cases}{\tfrac {1}{2}},&{\text{if }}y=1,\\[6pt]{\tfrac {1}{2}},&{\text{if }}y=0,\end{cases}}$$

पासा रोल

यदि प्रारूप स्थान दो पासों पर लुढ़की संभावित संख्याओं का समूह है, और ब्याज का यादृच्छिक चर दो पासों पर संख्याओं का योग S है, तो S असतत यादृच्छिक चर है जिसका वितरण संभाव्यता द्रव्यमान फलन द्वारा प्लॉट किया गया है यहाँ चित्र स्तंभों की ऊँचाई के रूप में है।

रोलिंग पासा की प्रक्रिया और संभावित परिणामों का वर्णन करने के लिए यादृच्छिक चर का भी उपयोग किया जा सकता है। दो-पासा स्थिति के लिए स्पष्ट प्रतिनिधित्व प्रारूप स्थान के रूप में {1, 2, 3, 4, 5, 6} (दो पासों पर संख्याओं का प्रतिनिधित्व) से संख्या n₁और n₂ के जोड़े के समुच्चय को लिया जाता है। रोल की गई कुल संख्या (प्रत्येक जोड़ी में संख्याओं का योग) तब फलन द्वारा दिया गया यादृच्छिक चर X है जो जोड़ी को योग में मैप करता है:

$$X((n_{1},n_{2}))=n_{1}+n_{2}$$

और (यदि पासा निष्पक्ष हैं) प्रायिकता द्रव्यमान फलन f_X द्वारा दिए गए है:

$$f_{X}(S)={\frac {\min(S-1,13-S)}{36}},{\text{ for }}S\in \{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12\}$$

सतत यादृच्छिक चर

औपचारिक रूप से, सतत यादृच्छिक चर होता है जिसका संचयी वितरण फलन प्रत्येक स्थान पर सतत होता है। कोई "अंतराल" नहीं है, जो उन संख्याओं के अनुरूप होगी जिनके परिणाम (संभावना) की परिमित संभावना है। इसके अतिरिक्त, निरंतर यादृच्छिक चर लगभग कभी भी त्रुटिहीन निर्धारित मान c नहीं लेते हैं (औपचारिक रूप से, ${\textstyle \forall c\in \mathbb {R} :\;\Pr(X=c)=0}$) किन्तु सकारात्मक संभावना है कि इसका मूल्य विशेष अंतराल (गणित) में होगा जो इच्छानुसार छोटा हो सकता है। सतत यादृच्छिक चर सामान्यतः संभाव्यता घनत्व कार्यों (पीडीएफ) को स्वीकार करते हैं, जो उनके सीडीएफ और संभाव्यता उपायों की विशेषता है;

ऐसे वितरणों को पूर्णतया सतत यादृच्छिक चर भी कहा जाता है; किन्तु कुछ निरंतर वचन वितरण होते हैं, या बिल्कुल निरंतर भाग और वचन भाग का मिश्रण होता है।

सतत यादृच्छिक चर का उदाहरण स्पिनर पर आधारित होगा जो क्षैतिज दिशा का चयन कर सकता है। पुनः यादृच्छिक चर द्वारा लिए गए मान दिशाएँ हैं। हम इन दिशाओं को उत्तर, पश्चिम, पूर्व, दक्षिण, दक्षिण पूर्व आदि द्वारा प्रदर्शित कर सकते हैं। चूँकि, सामान्यतः प्रारूप स्थान को यादृच्छिक चर पर मैप करना अधिक सुविधाजनक होता है जो वास्तविक संख्या का मान है। उदाहरण के लिए, उत्तर से घड़ी की दिशा में डिग्री में दिशा को मैप करते हैं। यादृच्छिक चर तब मान लेता है, जो अंतराल [0, 360) से वास्तविक संख्याएं होती हैं, जिसमें सीमा के सभी भाग समान रूप से होने की संभावना होती है। इस स्थिति में, 'X ' = कोण घूमता है। किसी भी वास्तविक संख्या में चयन किये जाने की प्रायिकता शून्य होती है, किन्तु मूल्यों की किसी भी श्रेणी को सकारात्मक प्रायिकता प्रदान की जा सकती है। उदाहरण के लिए, [0, 180] में किसी संख्या का चयन करने की प्रायिकता 1⁄2 है, प्रायिकता द्रव्यमान फलन के विचार करने के अतिरिक्त, हम कहते हैं कि 'X' का प्रायिकता घनत्व 1/360 है। [0, 360) के उपसमुच्चय की प्रायिकता की गणना समुच्चय के माप को 1/360 से गुणा करके प्राप्त की जा सकती है। सामान्यतः, दिए गए निरंतर यादृच्छिक चर के लिए समुच्चय की संभावना की गणना किए गए समुच्चय पर घनत्व को एकीकृत करके की जा सकती है।

अधिक औपचारिक रूप से, कोई भी अंतराल (गणित) ${\textstyle I=[a,b]=\{x\in \mathbb {R} :a\leq x\leq b\}}$ दिया गया, यादृच्छिक चर $X_{I}\sim \operatorname {U} (I)=\operatorname {U} [a,b]$ को सतत समान वितरण यादृच्छिक चर (वक्र) कहा जाता है यदि संभावना है कि यह उपअंतराल में मान लेता है कि केवल उपअंतराल की लंबाई पर निर्भर करता है। इसका तात्पर्य है कि की संभावना $X_{I}$ किसी उपअंतराल में गिरना $[c,d]\subseteq [a,b]$ सबइंटरवल के लेबेसेग माप के लिए आनुपातिकता (गणित) है, अर्थात, यदि a ≤ c ≤ d ≤ b, किसी के निकट

$$\Pr \left(X_{I}\in [c,d]\right)={\frac {d-c}{b-a}}$$

जहां अंतिम समानता प्रायिकता स्वयंसिद्ध संभाव्यता की एकात्मकता से उत्पन्न होती है। वक्र का प्रायिकता घनत्व फलन $X\sim \operatorname {U} [a,b]$ अंतराल की लंबाई से सामान्यीकृत समर्थन (गणित) के अंतराल के सूचक फलन द्वारा दिया जाता है:

$$f_{X}(x)={\begin{cases}\displaystyle {1 \over b-a},&a\leq x\leq b\\0,&{\text{otherwise}}.\end{cases}}$$

इकाई अंतराल पर समान वितरण $[0,1]$ विशेष रुचि का है, किसी भी वांछित संभाव्यता वितरण के प्रारूप $\operatorname {D}$ के क्वांटाइल फंक्शन की गणना करके $\operatorname {D}$ यादृच्छिक संख्या पीढ़ी पर उत्पन्न किया जा सकता है। यादृच्छिक रूप से उत्पन्न संख्या इकाई अंतराल पर समान रूप से वितरित की जाती है। यह संचयी वितरण फलन गुण का शोषण करता है, जो सभी यादृच्छिक चर के लिए एकीकृत प्रारूप है।

मिश्रित प्रकार

मिश्रित ऐसा यादृच्छिक चर है जिसका संचयी वितरण कार्य न तो असतत यादृच्छिक चर और न ही प्रत्येक स्थान पर निरंतर है। इसे असतत यादृच्छिक चर और सतत यादृच्छिक चर के मिश्रण के रूप में ज्ञात किया जा सकता है; किस स्थिति में सीडीएफ घटक चरों के सीडीएफ का भारित औसत होगा।

मिश्रित प्रकार के यादृच्छिक चर का उदाहरण प्रयोग पर आधारित होगा जहां सिक्का फ़्लिप किया जाता है और स्पिनर को केवल तभी उछाला जाता है जब सिक्के के टॉस का परिणाम हेड हो। यदि परिणाम टेल है, तो X = −1; अन्यथा X = पूर्व उदाहरण के अनुसार स्पिनर का मान 1⁄2 की संभावना है कि इस यादृच्छिक चर का मान -1 होगा। मूल्यों की अन्य श्रेणियों में पूर्व उदाहरण की आधी संभावनाएँ होंगी।

सामान्यतः, वास्तविक रेखा पर प्रत्येक संभाव्यता वितरण असतत भाग, वचन भाग और बिल्कुल निरंतर भाग का मिश्रण होता है; लेबेस्ग्यू के अपघटन प्रमेय § शोधन देखें। असतत भाग गणनीय समुच्चय पर केंद्रित है, किन्तु यह समुच्चय सघन हो सकता है।

माप-सैद्धांतिक परिभाषा

यादृच्छिक चर की सबसे औपचारिक, स्वयंसिद्ध परिभाषा में माप सिद्धांत सम्मिलित है। निरंतर यादृच्छिक चर को संख्याओं के समुच्चय (गणित) के संदर्भ में परिभाषित किया जाता है, साथ ही ऐसे समुच्चयों को संभावनाओं के लिए मैप किया जाता है। विभिन्न कठिनाइयों के कारण (उदाहरण के लिए बनच-तर्स्की विरोधाभास) जो उत्पन्न होते हैं यदि ऐसे समुच्चय अपर्याप्त रूप से विवश हैं, तो संभावित समुच्चयों को सीमित करने के लिए सिग्मा-बीजगणित का उपयोग किया जाता है, जिस पर संभावनाओं को परिभाषित किया जा सकता है। सामान्यतः, इस प्रकार के विशेष सिग्मा-बीजगणित का उपयोग किया जाता है, बोरेल σ-बीजगणित, जो संभावनाओं को किसी भी समुच्चय पर परिभाषित करने की अनुमति देता है जो या तो सीधे संख्याओं के निरंतर अंतराल से या परिमित या गणनीय रूप से अनंत संघ (समुच्चय) से प्राप्त किया जा सकता है। ऐसे अंतरालों का सिद्धांत या प्रतिच्छेदन (समुच्चय सिद्धांत) होता है।

माप-सिद्धांत की परिभाषा इस प्रकार है।

माना $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ संभावना स्थान हो और $(E,{\mathcal {E}})$ मापने योग्य स्थान हो। पुनः $(E,{\mathcal {E}})$- मूल्यवान यादृच्छिक चर मापने योग्य कार्य है $X\colon \Omega \to E$, जिसका अर्थ है कि, प्रत्येक उपसमुच्चय के लिए $B\in {\mathcal {E}}$, इसकी पूर्व कल्पना है ${\mathcal {F}}$- मापने योग्य; $X^{-1}(B)\in {\mathcal {F}}$, जहाँ $X^{-1}(B)=\{\omega :X(\omega )\in B\}$ यह परिभाषा हमें किसी भी उपसमुच्चय को मापने में सक्षम बनाती है $B\in {\mathcal {E}}$ लक्ष्य स्थान में इसकी पूर्व छवि को देखकर, जो अनुमान के अनुसार औसत को अंकित किया जाता है।

अधिक सहज शब्दों में, $\Omega$ संभावित परिणाम है, सदस्य ${\mathcal {F}}$ संभावित परिणामों का औसत अंकित करने का उपसमुच्चय है, फलन $P$ ऐसे प्रत्येक मापने योग्य उपसमुच्चय की संभावना देता है, $E$ उन मानों के समुच्चय का प्रतिनिधित्व करता है जो यादृच्छिक चर ले सकते हैं (जैसे वास्तविक संख्याओं का समुच्चय ), और इसका सदस्य ${\mathcal {E}}$ का उत्तम व्यवहार $E$ (जिनके लिए संभावना निर्धारित की जा सकती है) उपसमुच्चय है। यादृच्छिक चर तब किसी भी परिणाम से मात्रा तक कार्य होता है, जैसे कि यादृच्छिक चर के लिए मात्राओं के किसी भी उपयोगी उपसमुच्चय के परिणाम में उत्तम प्रकार से परिभाषित संभावना होती है।

तब $E$ सामयिक स्थान है, तो σ-बीजगणित के लिए सबसे सामान्य विकल्प है ${\mathcal {E}}$ बोरेल σ-बीजगणित है ${\mathcal {B}}(E)$, जो सभी खुले समुच्चयों के संग्रह द्वारा उत्पन्न σ-बीजगणित है $E$. ऐसे स्थिति में $(E,{\mathcal {E}})$- मान वाले यादृच्छिक चर को $E$-मूल्यवान यादृच्छिक चर कहा जाता है। इसके अतिरिक्त, जब अंतरिक्ष $E$ वास्तविक रेखा $\mathbb {R}$ है, तो ऐसे वास्तविक-मूल्य वाले यादृच्छिक चर को केवल यादृच्छिक चर कहा जाता है।

वास्तविक-मूल्यवान यादृच्छिक चर

इस स्थिति में अवलोकन स्थान वास्तविक संख्याओं का समूह है। याद करना, $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ संभाव्यता स्थान है। वास्तविक अवलोकन स्थान के लिए, फलन $X\colon \Omega \rightarrow \mathbb {R}$ वास्तविक-मूल्यवान यादृच्छिक चर है यदि

$\{\omega :X(\omega )\leq r\}\in {\mathcal {F}}\qquad \forall r\in \mathbb {R} .$

यह परिभाषा उपरोक्त की विशेष स्थिति है क्योंकि समुच्चय $\{(-\infty ,r]:r\in \mathbb {R} \}$ वास्तविक संख्याओं के समुच्चय पर बोरेल σ-बीजगणित उत्पन्न करता है, और यह किसी भी जनरेटिंग समुच्चय पर मापनीयता का परिक्षण करने के लिए पर्याप्त है। जहाँ हम इस तथ्य का उपयोग करके इस जनरेटिंग समुच्चय पर मापनीयता सिद्ध कर सकते हैं कि

$\{\omega :X(\omega )\leq r\}=X^{-1}((-\infty ,r])$

क्षण

यादृच्छिक चर के संभाव्यता वितरण को प्रायः अल्प संख्या में मापदंडों की विशेषता होती है, जिसकी व्यावहारिक व्याख्या भी होती है। उदाहरण के लिए, प्रायः यह जानना पर्याप्त होता है कि इसका औसत मूल्य क्या है। यह निरूपित यादृच्छिक चर के अपेक्षित मूल्य $\operatorname {E} [X]$ की गणितीय अवधारणा द्वारा अधिकारकिया जाता है, और इसे प्रथम क्षण (गणित) भी कहा जाता है। सामान्य रूप में, $\operatorname {E} [f(X)]$ के समान नहीं है $f(\operatorname {E} [X])$ बार औसत मूल्य ज्ञात हो जाने के पश्चात, कोई यह पूछ सकता है कि इस औसत मूल्य $X$ के मूल्यों से कितना दूर है, सामान्यतः, ऐसा प्रश्न है जिसका उत्तर यादृच्छिक चर के भिन्नता और मानक विचलन द्वारा दिया जाता है। $\operatorname {E} [X]$ सहज रूप से अनंत जनसंख्या से प्राप्त औसत के रूप में देखा जा सकता है, जिसके $X$ सदस्य विशेष मूल्यांकन कर रहे हैं।

गणितीय रूप से, इसे क्षणों की (सामान्यीकृत) समस्या के रूप में जाना जाता है: यादृच्छिक चर के दिए गए वर्ग के लिए $X$, का संग्रह $\{f_{i}\}$ ऐसे कार्यों की अपेक्षा मान $\operatorname {E} [f_{i}(X)]$ यादृच्छिक चर के संभाव्यता वितरण $X$ को प्रत्येक प्रकार से चिह्नित करते हैं।

क्षणों को केवल यादृच्छिक चर (या जटिल-मूल्यवान, आदि) के वास्तविक-मूल्यवान कार्यों के लिए परिभाषित किया जा सकता है। यदि यादृच्छिक चर स्वयं वास्तविक-मूल्यवान है, तो चर के क्षण स्वयं लिए जा सकते हैं, जो पहचान फलन $f(X)=X$ यादृच्छिक चर के क्षणों के समान हैं। चूँकि, अन्य -वास्तविक-मूल्यवान यादृच्छिक चर के लिए भी, उन चरों के वास्तविक-मूल्यवान कार्यों के क्षण लिए जा सकते हैं। उदाहरण के लिए, श्रेणीगत चर यादृच्छिक चर X के लिए जो नाममात्र आँकड़ों के मान का रंग लाल, नीला या हरा ले सकता है, वास्तविक-मूल्यवान फलन $[X={\text{green}}]$ बनाया जा सकता है; यह आइवरसन ब्रैकेट का उपयोग करता है, और इसका मान 1 है $X$ मान हरा है, 0 अन्यथा है। फिर, इस फलन के अपेक्षित मान और अन्य क्षणों को निर्धारित किया जा सकता है।

यादृच्छिक चर के कार्य

वास्तविक मापनीय फलन द्वारा नया यादृच्छिक चर Y को फलन रचना को परिभाषित किया जा सकता है $g\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ वास्तविक-मूल्यवान यादृच्छिक चर के परिणामों के लिए $X$ है वह $Y=g(X)$. का संचयी वितरण फलन $Y$ तब है जब

$F_{Y}(y)=\operatorname {P} (g(X)\leq y).$

यदि कार्य करता है $g$ विपरीत है (अर्थात, $h=g^{-1}$ उपस्थित है, जहां $h$ है $g$का उलटा कार्य) और या तो मोनोटोनिक फलन है, तो पूर्व संबंध को प्राप्त करने के लिए बढ़ाया जा सकता है

$F_{Y}(y)=\operatorname {P} (g(X)\leq y)={\begin{cases}\operatorname {P} (X\leq h(y))=F_{X}(h(y)),&{\text{if }}h=g^{-1}{\text{ increasing}},\\\\\operatorname {P} (X\geq h(y))=1-F_{X}(h(y)),&{\text{if }}h=g^{-1}{\text{ decreasing}}.\end{cases}}$

विपरीत की परिकल्पना के साथ $g$, भिन्नता को भी मानते हुए, संभाव्यता घनत्व कार्यों के मध्य संबंध उपरोक्त अभिव्यक्ति के दोनों पक्षों को भिन्न -भिन्न करके पाया जा सकता है $y$, प्राप्त करने के लिए

$f_{Y}(y)=f_{X}{\bigl (}h(y){\bigr )}\left|{\frac {dh(y)}{dy}}\right|.$

यदि कोई विपरीत नहीं है $g$ किन्तु प्रत्येक $y$ अधिक से अधिक जड़ों की गणनीय संख्या को स्वीकार करता है (अर्थात, परिमित, या गणनीय रूप से अनंत, की संख्या $x_{i}$ ऐसा है कि $y=g(x_{i})$) तो संभाव्यता घनत्व कार्यों के मध्य पूर्व संबंध को सामान्यीकृत किया जा सकता है

$f_{Y}(y)=\sum _{i}f_{X}(g_{i}^{-1}(y))\left|{\frac {dg_{i}^{-1}(y)}{dy}}\right|$

जहाँ $x_{i}=g_{i}^{-1}(y)$ विपरीत कार्य प्रमेय के अनुसार घनत्व के सूत्र की आवश्यकता नहीं होती हैं, $g$ की वृद्धि होती है।

माप-सिद्धांत में, संभाव्यता स्वयंसिद्ध दृष्टिकोण है, यदि यादृच्छिक चर $X$ पर $\Omega$ और मापने योग्य कार्य $g\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ है, तब $Y=g(X)$ यादृच्छिक चर $\Omega$ भी है, औसत अंकित के कार्यों की संरचना के पश्चात से क्लोजर (गणित) है। (चूँकि, यह आवश्यक नहीं है कि उचित हो यदि $g$ लेबेस्ग्यू मापने योग्य है।) वही प्रक्रिया जिसने किसी को प्रायिकता स्थान से जाने की अनुमति दी थी $(\Omega ,P)$ को $(\mathbb {R} ,dF_{X})$ का वितरण $Y$ प्राप्त करने के लिए उपयोग किया जा सकता है।

उदाहरण 1

माना $X$ वास्तविक-मूल्यवान, निरंतर यादृच्छिक चर हो और $Y=X^{2}$

$F_{Y}(y)=\operatorname {P} (X^{2}\leq y).$

यदि $y<0$, तब $P(X^{2}\leq y)=0$, इसलिए

$F_{Y}(y)=0\qquad {\hbox{if}}\quad y<0.$

यदि $y\geq 0$, तब

$\operatorname {P} (X^{2}\leq y)=\operatorname {P} (|X|\leq {\sqrt {y}})=\operatorname {P} (-{\sqrt {y}}\leq X\leq {\sqrt {y}}),$

इसलिए

$F_{Y}(y)=F_{X}({\sqrt {y}})-F_{X}(-{\sqrt {y}})\qquad {\hbox{if}}\quad y\geq 0.$

उदाहरण 2

कल्पना करें कि $X$ संचयी वितरण के साथ यादृच्छिक चर है

$F_{X}(x)=P(X\leq x)={\frac {1}{(1+e^{-x})^{\theta }}}$

जहाँ, $\theta >0$ निश्चित पैरामीटर है। यादृच्छिक चर पर विचार करें $Y=\mathrm {log} (1+e^{-X})$ तब,

$F_{Y}(y)=P(Y\leq y)=P(\mathrm {log} (1+e^{-X})\leq y)=P(X\geq -\mathrm {log} (e^{y}-1)).\,$

अंतिम व्यंजक की गणना संचयी बंटन $X$ के रूप में की जा सकती है, इसलिए

${\begin{aligned}F_{Y}(y)&=1-F_{X}(-\log(e^{y}-1))\\[5pt]&=1-{\frac {1}{(1+e^{\log(e^{y}-1)})^{\theta }}}\\[5pt]&=1-{\frac {1}{(1+e^{y}-1)^{\theta }}}\\[5pt]&=1-e^{-y\theta }.\end{aligned}}$

जो चरघातांकी बंटन का संचयी बंटन फलन (सीडीएफ) है।

उदाहरण 3

कल्पना करें कि $X$ मानक सामान्य बंटन वाला यादृच्छिक चर है, जिसका घनत्व है:

$f_{X}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-x^{2}/2}.$

यादृच्छिक चर पर विचार करें $Y=X^{2}.$ चर में परिवर्तन के लिए उपरोक्त सूत्र का उपयोग करके हम घनत्व पा सकते हैं:

$f_{Y}(y)=\sum _{i}f_{X}(g_{i}^{-1}(y))\left|{\frac {dg_{i}^{-1}(y)}{dy}}\right|.$

इस स्थिति में परिवर्तन मोनोटोनिक फलन नहीं है, क्योंकि प्रत्येक मान $Y$ के दो संगत मान हैं $X$ ( सकारात्मक और नकारात्मक)। चूँकि, समरूपता के कारण, दोनों आधे समान रूप से रूपांतरित होंगे, अर्थात,

$f_{Y}(y)=2f_{X}(g^{-1}(y))\left|{\frac {dg^{-1}(y)}{dy}}\right|.$

विपरीत परिवर्तन है:

$x=g^{-1}(y)={\sqrt {y}}$

और इसका व्युत्पन्न है:

${\frac {dg^{-1}(y)}{dy}}={\frac {1}{2{\sqrt {y}}}}.$

तब,

$f_{Y}(y)=2{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-y/2}{\frac {1}{2{\sqrt {y}}}}={\frac {1}{\sqrt {2\pi y}}}e^{-y/2}.$

यह स्वतंत्रता की डिग्री (सांख्यिकी) के साथ ची-वर्ग वितरण है।

उदाहरण 4

कल्पना करें कि $X$ सामान्य बंटन वाला यादृच्छिक चर है, जिसका घनत्व है:

$f_{X}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}e^{-(x-\mu )^{2}/(2\sigma ^{2})}.$

यादृच्छिक चर पर विचार करें $Y=X^{2}.$ चर में परिवर्तन के लिए उपरोक्त सूत्र का उपयोग करके हम घनत्व पा सकते हैं:

$f_{Y}(y)=\sum _{i}f_{X}(g_{i}^{-1}(y))\left|{\frac {dg_{i}^{-1}(y)}{dy}}\right|.$

इस स्थिति में परिवर्तन दिष्ट नहीं है, क्योंकि प्रत्येक मान $Y$ के दो संगत मान हैं $X$ ( सकारात्मक और नकारात्मक)। पूर्व उदाहरण से भिन्न, इस स्थिति में, कोई समरूपता नहीं है और हमें दो भिन्न-भिन्न शब्दों की गणना करनी है:

$f_{Y}(y)=f_{X}(g_{1}^{-1}(y))\left|{\frac {dg_{1}^{-1}(y)}{dy}}\right|+f_{X}(g_{2}^{-1}(y))\left|{\frac {dg_{2}^{-1}(y)}{dy}}\right|.$

विपरीत परिवर्तन है:

$x=g_{1,2}^{-1}(y)=\pm {\sqrt {y}}$

और इसका व्युत्पन्न है:

${\frac {dg_{1,2}^{-1}(y)}{dy}}=\pm {\frac {1}{2{\sqrt {y}}}}.$

तब,

$f_{Y}(y)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}{\frac {1}{2{\sqrt {y}}}}(e^{-({\sqrt {y}}-\mu )^{2}/(2\sigma ^{2})}+e^{-(-{\sqrt {y}}-\mu )^{2}/(2\sigma ^{2})}).$

यह स्वतंत्रता की डिग्री (सांख्यिकी) के साथ अन्य-केंद्रीय ची-वर्ग वितरण है।

कुछ गुण

• दो स्वतंत्र यादृच्छिक चरों के योग का प्रायिकता बंटन उनके प्रत्येक बंटन का कनवल्शन है।
• संभाव्यता वितरण सदिश स्थान नहीं हैं - वे रैखिक संयोजनों के अंतर्गत बंद नहीं होते हैं, क्योंकि ये अन्य-नकारात्मकता या कुल अभिन्न 1 को संरक्षित नहीं करते हैं - किन्तु वे उत्तल संयोजन के अंतर्गत बंद होते हैं, इस प्रकार कार्यों (या उपायों) के स्थान का उत्तल उपसमुच्चय बनाते हैं।

यादृच्छिक चर की समानता

अनेक भिन्न-भिन्न इंद्रियां हैं जिनमें यादृच्छिक चर को समतुल्य माना जा सकता है। दो यादृच्छिक चर समान हो सकते हैं, लगभग निश्चित रूप से या वितरण में समान हो सकते हैं।

सामर्थ्य के बढ़ते क्रम में, तुल्यता की इन धारणाओं की त्रुटिहीन परिभाषा नीचे दी गई है।

वितरण में समानता

यदि प्रारूप स्थान वास्तविक रेखा का उपसमुच्चय है, तो यादृच्छिक चर X और Y वितरण में समान हैं (निरूपित $X{\stackrel {d}{=}}Y$) यदि उनके समान वितरण कार्य हैं:

$\operatorname {P} (X\leq x)=\operatorname {P} (Y\leq x)\quad {\text{for all }}x.$

वितरण में समान होने के लिए, यादृच्छिक चर को समान संभावना स्थान पर परिभाषित करने की आवश्यकता नहीं है। समान आघूर्ण जनक फलन वाले दो यादृच्छिक चरों का वितरण समान है। यह, उदाहरण के लिए, स्वतंत्र और समान रूप से वितरित (आईआईडी) यादृच्छिक चर के कुछ कार्यों की समानता की परिक्षण करने की उपयोगी विधि प्रदान करता है। चूँकि, क्षण उत्पन्न करने वाला कार्य केवल उन वितरणों के लिए उपस्थित होता है जिनमें परिभाषित लाप्लास परिवर्तन होता है।

लगभग सुनिश्चित समानता

दो यादृच्छिक चर X और Y लगभग निश्चित रूप से समान हैं (निरूपित $X\;{\stackrel {\text{a.s.}}{=}}\;Y$) यदि केवल उनके भिन्न होने की संभावना शून्य है:

$\operatorname {P} (X\neq Y)=0.$

संभाव्यता सिद्धांत में सभी व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए, यह धारणा वास्तविक समानता जितनी ही जटिल है। यह निम्न दूरी से संबंधित है:

$d_{\infty }(X,Y)=\operatorname {ess} \sup _{\omega }|X(\omega )-Y(\omega )|,$

जहां "इएएसएस सुपर" माप सिद्धांत के अर्थ में आवश्यक सर्वोच्चता का प्रतिनिधित्व करता है।

समानता

अंत में, दो यादृच्छिक चर X और Y समान हैं यदि वे उनके मापने योग्य स्थान पर कार्यों के समान हैं:

$X(\omega )=Y(\omega )\qquad {\hbox{for all }}\omega .$

यह धारणा सामान्यतः संभाव्यता सिद्धांत में सबसे अल्प उपयोगी है क्योंकि व्यवहार और सिद्धांत में, प्रयोग (संभावना सिद्धांत) के अंतर्निहित माप स्थान को संभवतः कभी स्पष्ट रूप से चित्रित किया जाता है, यहां तक ​​कि लक्षण वर्णन भी किया जाता है।

अभिसरण

Main article: यादृच्छिक चर का अभिसरण

गणितीय आँकड़ों में महत्वपूर्ण विषय में यादृच्छिक चर के कुछ अनुक्रमों के लिए अभिसरण परिणाम प्राप्त करना सम्मिलित है; उदाहरण के लिए बड़ी संख्या का नियम और केंद्रीय सीमा प्रमेय है।

विभिन्न इंद्रियां जिनमें अनुक्रम है यादृच्छिक चर का $X_{n}$ द्वारा $X$ में परिवर्तित हो सकता है, इन्हें यादृच्छिक चरों के अभिसरण पर लेख में अध्ययन किया गया है।

यह भी देखें

• अलटोरिसिस्म
• यादृच्छिक चर का बीजगणित
• घटना (संभावना सिद्धांत)
• बहुभिन्नरूपी यादृच्छिक चर
• जोड़ीदार स्वतंत्रता
• प्रारूप चर
• रैंडम कॉम्पैक्ट सेट
• यादृच्छिक तत्व
• रैंडम फंक्शन
• यादृच्छिक उपाय
• यादृच्छिक संख्या जनरेटर एक यादृच्छिक मान उत्पन्न करता है
• यादृच्छिक विविधता
• रैंडम वेक्टर
• यादृच्छिकता
• अनेक संभावनाओं में से चयन की गई प्रक्रिया
• संभाव्यता वितरण के मध्य संबंध

संदर्भ

साहित्य

• Fristedt, Bert; Gray, Lawrence (1996). संभाव्यता सिद्धांत के लिए एक आधुनिक दृष्टिकोण. Boston: Birkhäuser. ISBN 3-7643-3807-5.
• Billingsley, Patrick (1995). संभावना और उपाय. New York: Wiley. ISBN 8126517719.
• Kallenberg, Olav (1986). यादृच्छिक उपाय (4th ed.). Berlin: Akademie Verlag. ISBN 0-12-394960-2. MR 0854102.
• Kallenberg, Olav (2001). आधुनिक संभाव्यता की नींव (2nd ed.). Berlin: Springer Verlag. ISBN 0-387-95313-2.
• Papoulis, Athanasios (1965). संभाव्यता, यादृच्छिक चर और स्टोकेस्टिक प्रक्रियाएं (9th ed.). Tokyo: McGraw–Hill. ISBN 0-07-119981-0.

बाहरी संबंध

• "Random variable", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Zukerman, Moshe (2014), Introduction to Queueing Theory and Stochastic Teletraffic Models (PDF), arXiv:1307.2968
• Zukerman, Moshe (2014), Basic Probability Topics (PDF)