विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत: Difference between revisions

Latest revision as of 16:21, 11 October 2022

रीमैन ज़ीटा जटिल तल में ζ(s) कार्य करता है। एक बिंदु s का रंग ζ(s) के मान को एन्कोड करता है: काले रंग के करीब के रंग शून्य के करीब मानों को दर्शाते हैं, जबकि ह्यू मान के तर्क को एन्कोड करता है।

गणित में, विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत संख्या सिद्धांत की एक शाखा है जो गणितीय विश्लेषण से विधियों का उपयोग करते हुए पूर्णांकों की समस्याओं को हल करती है।^[1] यह अक्सर कहा जाता है कि पीटर गुस्ताव लेज्यून डिरिचलेट के 1837 में, समान्तर श्रेणी पर डिरिचलेट के प्रमेय का पहला प्रमाण देने के लिए, डिरिचलेट एल-फलन की प्रस्तावना के साथ शुरू हुआ था।^[1]^[2] यह अभाज्य संख्याओं (अभाज्य संख्या प्रमेय और रीमैन ज़ीटा फलन को शामिल करते हुए) और योगात्मक संख्या सिद्धांत (जैसे गोल्डबैक अनुमान और वारिंग की समस्या) पर अपने परिणामों के लिए जाना जाता है।

विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत की शाखाएँ

विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत को दो प्रमुख भागों में विभाजित किया जा सकता है, तकनीक में मूलभूत अंतर की तुलना में वे जिस प्रकार की समस्याओं को हल करने का प्रयास करते हैं, उससे अधिक विभाजित होते हैं।

गुणात्मक संख्या सिद्धांत अभाज्य संख्याओं के वितरण से संबंधित है, जैसे कि एक अंतराल में अभाज्य संख्याओं की संख्या का अनुमान लगाना, और इसमें अभाज्य संख्या प्रमेय और समान्तर श्रेणी में अभाज्य संख्याओं पर डिरिचलेट प्रमेय शामिल है।
योगात्मक संख्या सिद्धांत का संबंध पूर्णांकों की योगात्मक संरचना से होता है, जैसे कि गोल्डबैक का अनुमान है कि 2 से अधिक प्रत्येक सम संख्या दो अभाज्य संख्याओं का योग होती है। वारिंग की समस्या का हल योगात्मक संख्या सिद्धांत के मुख्य परिणामों में से एक है।

इतिहास

अग्रदूत

विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत का अधिकांश भाग अभाज्य संख्या प्रमेय से प्रेरित होता है। मान लीजिए (x) अभाज्य-गणना फलन है जो किसी भी वास्तविक संख्या x के लिए, x से कम या उसके बराबर अभाज्य संख्याओं की संख्या प्रदान करता है। उदाहरण के लिए, π(10) = 4 क्योंकि चार अभाज्य संख्याएँ (2, 3, 5 और 7) 10 से कम या उसके बराबर हैं। अतः अभाज्य संख्या प्रमेय के अनुसार x / ln(x), π(x) के लिए एक अच्छा सन्निकटन है, इस अर्थ में कि दो फलनों (x) और x / ln(x) के भागफल की सीमा जैसे ही x अनंत की ओर बढ़ने पर 1 होती है:

\lim _{x\to \infty }{\frac {\pi (x)}{x/\ln(x)}}=1,

अभाज्य संख्याओं के वितरण का स्पर्शोन्मुख नियम कहलाता है।

एड्रियन-मैरी लीजेंड्रे ने 1797 या 1798 में अनुमान लगाया कि π(a) फलन a/(A ln(a) + B) द्वारा अनुमानित है, जहां A और B अनिर्दिष्ट स्थिरांक हैं। संख्या सिद्धांत (1808) पर अपनी पुस्तक के दूसरे संस्करण में उन्होंने A = 1 और B -1.08366 के साथ एक अधिक सटीक अनुमान लगाया। कार्ल फ्रेडरिक गॉस ने एक ही प्रश्न पर विचार किया: "आईएम ज़ैर 1792 या 1793", अपने स्वयं के स्मरण के अनुसार लगभग साठ साल बाद एन्के (1849) को उन्होंने एक पत्र में अपनी लघुगणक तालिका में (वह उस समय 15 या 16 वर्ष के थे) "प्रिमज़ाहलेन अनटर $a(=\infty ){\frac {a}{\ln a}}$ " संक्षिप्त नोट लिखा। लेकिन गॉस ने कभी भी इस अनुमान को प्रकाशित नहीं किया। 1838 में पीटर गुस्ताव लेज्यून डिरिचलेट अपने स्वयं के अनुमानित कार्य, लघुगणकीय अभिन्न li (x) (श्रृंखला के थोड़े अलग रूप के तहत, जिसे उन्होंने गॉस को बताया) के साथ आए। लीजेंड्रे और डिरिचलेट के दोनों सूत्र ऊपर बताए गए π(x) और x / ln(x) के समान अनुमानित अनंतस्पर्शी तुल्यता का संकेत देते हैं, हालांकि यह पता चला है कि डिरिचलेट का सन्निकटन काफी बेहतर है यदि कोई भागफल के बजाय अंतरों पर विचार करता है।

डिरिचलेट

जॉन पीटर गुस्ताव लेज्यून डिरिचलेट को विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत के निर्माण का श्रेय दिया जाता है,^[3] ऐसा क्षेत्र जिसमें उन्होंने कई गंभीर परिणाम पाए और उन्हें प्रमाणित करने में कुछ मुख्य उपकरण पेश किए, जिनमें से कई बाद में उनके नाम पर रखे गए। 1837 में उन्होंने समांतर श्रेणी पर डिरिचलेट के प्रमेय को प्रकाशित किया, बीजगणितीय समस्या से निपटने के लिए गणितीय विश्लेषण अवधारणाओं का उपयोग करके और इस प्रकार विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत की शाखा का निर्माण किया। प्रमेय को सिद्ध करने में, उन्होंने डिरिचलेट वर्णों और L-फलन का परिचय दिया।^[3]^[4] 1841 में उन्होंने अपने समांतर श्रेणी प्रमेय को पूर्णांकों से गौसीय पूर्णांकों $\mathbb {Z} [i]$ के वलय तक सामान्यीकृत किया।^[5]

चेबिशेव

1848 और 1850 के दो पत्रों में, रूसी गणितज्ञ पफनटी ल'वोविच चेबीशेव ने अभाज्य संख्याओं के वितरण के स्पर्शोन्मुख नियम को सिद्ध करने का प्रयास किया। उनका काम ज़ीटा फलन ζ(s) (तर्क "s" के वास्तविक मूल्यों के लिए, जैसा कि 1737 की शुरुआत में लियोनहार्ड यूलर के काम हैं) के उपयोग के लिए उल्लेखनीय है, जो 1859 के रीमैन के प्रसिद्ध संस्मरण से पहले का है, और वह स्पर्शोन्मुख नियम के थोड़े कमजोर रूप को प्रमाणित करने में सफल रहा, अर्थात्, यदि π(x)/(x/ln(x)) की सीमा x के रूप में अनंत तक जाती है, तो यह आवश्यक रूप से एक के बराबर होता है।^[6] वह अप्रतिबंधित रूप से प्रमाणित करने में सक्षम था कि यह अनुपात सभी x के लिए 1 के करीब स्पष्ट रूप से दिए गए दो स्थिरांक से ऊपर और नीचे से घिरा है।^[7] हालांकि चेबीशेव का प्रमाण पत्र अभाज्य संख्या प्रमेय को प्रमाणित नहीं करता, π(x) के लिए उनके अनुमान बर्ट्रेंड के इस अभिधारणा को प्रमाणित करने के लिए पर्याप्त थे कि किसी भी पूर्णांक n ≥ 2 के लिए n और 2n के बीच एक अभाज्य संख्या उपस्थित होती है।

रीमैन

"…es ist sehr wahrscheinlich, dass alle Wurzeln reell sind. Hiervon wäre allerdings ein strenger Beweis zu wünschen; ich habe indess die Aufsuchung desselben nach einigen flüchtigen vergeblichen Versuchen vorläufig bei Seite gelassen, da er für den nächsten Zweck meiner Untersuchung entbehrlich schien.

... यह बहुत संभावित है कि सभी जड़ें वास्तविक हैं।बेशक एक कठोर सबूत की इच्छा होगी;मेरे पास कुछ समय के लिए, कुछ क्षणभंगुर व्यर्थ प्रयासों के बाद, अनंतिम रूप से इस के लिए खोज को अलग कर दिया, क्योंकि यह मेरी जांच के अगले उद्देश्य के लिए डिस्पेंसेबल प्रतीत होता है।

बर्नहार्ड रीमैन ने आधुनिक विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत में कुछ प्रसिद्ध योगदान दिए हैं। एक छोटे से पेपर में (संख्या सिद्धांत के विषय पर उन्होंने केवल एक ही प्रकाशित किया था), उन्होंने रीमैन ज़ीटा फलन की जांच की और अभाज्य संख्याओं के वितरण को समझने के लिए इसके महत्व को स्थापित किया। उन्होंने ज़ीटा फलन के गुणों के बारे में कई अनुमान लगाए, जिनमें से एक प्रसिद्ध रीमैन परिकल्पना है।

हैडामार्ड और डे ला वेली-पौसिन

रीमैन के विचारों का विस्तार करते हुए, अभाज्य संख्या प्रमेय के दो प्रमाण स्वतंत्र रूप से जैक्स हैडामार्ड और चार्ल्स जीन डे ला वाली-पौसिन द्वारा प्राप्त किए गए और उसी वर्ष (1896) में दिखाई दिए। दोनों प्रमाणों ने जटिल विश्लेषण के तरीकों का उपयोग किया, इस प्रमाण के एक मुख्य चरण के रूप में स्थापित किया कि रीमैन ज़ीटा फलन ζ (s) चर s के सभी जटिल मूल्यों के लिए अशून्य है, जिसका रूप t > 0 के साथ s = 1 + it है।^[9]

आधुनिक समय

1950 के बाद सबसे बड़ा तकनीकी परिवर्तन चालनी विधि का विकास रहा है,^[10] विशेष रूप से बहुगुणित समस्याओं में। ये प्रकृति में सांयोगिक एवं काफी विविध होते हैं। संयोजक सिद्धांत की चरम शाखा बदले में मात्रात्मक ऊपरी और निचली सीमा पर विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत में रखे गए मूल्य से काफी प्रभावित हुई है। एक अन्य आधुनिक विकास प्रायिकतात्मक संख्या सिद्धांत है,^[11] जो संख्या सैद्धांतिक कार्यों के वितरण का अनुमान लगाने के लिए प्रायिकता सिद्धांत से विधियों का उपयोग करता है, जैसे कि कितने अभाज्य भाजक एक संख्या है।

विशेष रूप से, क्षेत्र में यितांग झांग, जेम्स मेनार्ड, टेरेंस ताओ और बेन ग्रीन द्वारा की गई सफलताओं ने गोल्डस्टन-पिंट्ज़-यल्डिरम पद्धति का उपयोग किया है। जो वे मूल रूप से यह प्रमाणित करते कि ^[12]^[13]^[14]^[15]^[16] ^[17]

$p_{n+1}-p_{n}\geq o(\log p_{n}).$

विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत के विकास अक्सर पहले की तकनीकों के परिशोधन होते हैं, जो त्रुटि शर्तों को कम करते हैं और उनकी प्रयोज्यता को बढ़ाते हैं। उदाहरण के लिए, हार्डी और लिटिलवुड की वृत्त पद्धति को जटिल तल में एकक वृत्त के पास घात श्रेणी पर लागू करने के रूप में माना गया था, अब इसे परिमित घातांक राशि के रूप में माना जाता है (अर्थात, इकाई चक्र पर, लेकिन घात श्रेणी को छोटा कर दिया जाता है)। डायोफैंटाइन सन्निकटन की ज़रूरतें पूरक फलन के लिए होती है जो फलन उत्पन्न नहीं कर रहे हैं-उनके गुणांक एक कोष्ठ सिद्धांत के उपयोग से निर्मित होते हैं- और कई सम्मिश्र चर शामिल होते हैं। डायोफैंटाइन सन्निकटन और ज्ञानातीत्व (ट्रान्सेंडेंस) सिद्धांत के क्षेत्र का विस्तार हुआ है, इस बिंदु तक कि तकनीकों को मोर्डेल अनुमान पर लागू किया गया है।

समस्याएं और परिणाम

विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत में प्रमेय और परिणाम पूर्णांकों के बारे में सटीक संरचनात्मक परिणाम नहीं होते हैं, जिसके लिए बीजीय और ज्यामितीय उपकरण अधिक उपयुक्त होते हैं। इसके बजाय, वे विभिन्न संख्या सैद्धांतिक कार्यों के लिए अनुमानित सीमा और अनुमान देते हैं, जैसा कि निम्नलिखित उदाहरण दिखाते हैं।

गुणक संख्या सिद्धांत

यूक्लिड ने दिखाया कि अपरिमित रूप से कई अभाज्य संख्याएँ होती हैं। अभाज्य संख्याओं के स्पर्शोन्मुख वितरण को निर्धारित करना एक महत्वपूर्ण प्रश्न है, अर्थात्, किसी दी गई संख्या से कितने अभाज्य संख्याएँ छोटी हैं, इसका एक मोटा विवरण। गॉस ने, दूसरों के बीच, अभाज्य संख्याओं की एक बड़ी सूची की गणना करने के बाद, अनुमान लगाया कि बड़ी संख्या N से कम या उसके बराबर अभाज्य संख्याओं की संख्या अभिन्न के मान के करीब है

\int _{2}^{N}{\frac {1}{\log t}}\,dt.

1859 में बर्नहार्ड रीमैन ने वास्तविक संख्या x से कम या उसके बराबर अभाज्य संख्याओं के लिए एक विश्लेषणात्मक व्यंजक प्राप्त करने के लिए जटिल विश्लेषण और एक विशेष मेरोमॉर्फिक फलन का उपयोग किया जिसे अब रीमैन ज़ीटा फलन के रूप में जाना जाता है। उल्लेखनीय रूप से, रीमैन के सूत्र में मुख्य शब्द बिल्कुल उपरोक्त अभिन्न था, गॉस के अनुमान के लिए पर्याप्त भार देता है। रीमैन ने पाया कि इस अभिव्यक्ति में त्रुटि शब्द, और इसलिए जिस तरीके से अभाज्य वितरित किए जाते हैं, वे ज़ीटा फलन के जटिल शून्य से निकटता से संबंधित हैं। रीमैन के विचारों का उपयोग करते हुए और ज़ीटा फलन के शून्य के बारे में अधिक जानकारी प्राप्त करके, जैक्स हैडामार्ड और चार्ल्स जीन डे ला वेली-पॉसिन गॉस के अनुमान के प्रमाण को पूरा करने में सफल रहे। विशेष रूप से, उन्होंने प्रमाणित किया कि यदि

\pi (x)=({\text{number of primes }}\leq x),

फिर

\lim _{x\to \infty }{\frac {\pi (x)}{x/\log x}}=1.

इस उल्लेखनीय परिणाम को अब अभाज्य संख्या प्रमेय के रूप में जाना जाता है। विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत में यह एक केंद्रीय परिणाम है। संक्षेप में, यह बताता है कि बड़ी संख्या में N दिया गया है, N से कम या उसके बराबर अभाज्य संख्याओं की संख्या लगभग N/log(N) है।

आम तौर पर, किसी भी पूर्णांक n के लिए किसी भी समान्तर श्रेणी a+nq में अभाज्य संख्याओं के बारे में एक ही प्रश्न पूछा जा सकता है। संख्या सिद्धांत के लिए विश्लेषणात्मक तकनीकों के पहले अनुप्रयोगों में से एक में, डिरिचलेट ने प्रमाणित किया कि a और q सह अभाज्य के साथ किसी भी समान्तर श्रेणी में असीम रूप से कई अभाज्य हैं। अभाज्य संख्या प्रमेय को इस समस्या के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है;

\pi (x,a,q)=({\text{number of primes }}\leq x{\text{ such that }}p{\text{ is in the arithmetic progression }}a+nq,n\in \mathbf {Z} ),

तब यदि a और q सह अभाज्य हैं,

\lim _{x\to \infty }{\frac {\pi (x,a,q)\phi (q)}{x/\log x}}=1.

संख्या सिद्धांत में कई गंभीर और व्यापक अनुमान भी हैं जिनके प्रमाण वर्तमान तकनीकों के लिए बहुत कठिन प्रतीत होते हैं, जैसे कि युगल अभाज्य अनुमान जो पूछता है कि क्या असीम रूप से कई अभाज्य p हैं जैसे कि p + 2 अभाज्य है। इलियट-हैलबर्स्टम अनुमान की धारणा पर यह हाल ही में प्रमाणित हुआ है कि असीम रूप से कई अभाज्य p हैं जैसे कि p + k कुछ धनात्मक सम k के लिए अधिकतम 12 है। साथ ही, यह बिना शर्त सिद्ध किया गया है (अर्थात अप्रमाणित अनुमानों के आधार पर नहीं) कि असीम रूप से कई अभाज्य p ऐसे हैं कि p + k कुछ अधिकतम 246 पर धनात्मक सम k के लिए अभाज्य है।

योगात्मक संख्या सिद्धांत

योगात्मक संख्या सिद्धांत में सबसे महत्वपूर्ण समस्याओं में से एक वारिंग की समस्या है, जो पूछती है कि क्या किसी भी k ≥ 2 के लिए, k घात की सीमित संख्या के योग के रूप में किसी भी धनात्मक पूर्णांक को लिखना संभव है,

n=x_{1}^{k}+\cdots +x_{\ell }^{k}.

वर्गों के लिए स्थिति, k = 2, का उत्तर लैग्रेंजे ने 1770 में दिया, जिन्होंने प्रमाणित किया कि प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक अधिकतम चार वर्गों का योग होता है। 1909 में हिल्बर्ट ने बीजगणितीय तकनीकों का उपयोग करते हुए सामान्य स्थिति को प्रमाणित किया, जिसमें कोई स्पष्ट सीमा नहीं थी। महत्वपूर्ण सफलता हार्डी और लिटिलवुड द्वारा समस्या के लिए विश्लेषणात्मक उपकरणों का अनुप्रयोग था। इन तकनीकों को वृत्त विधि के रूप में जाना जाता है, और फलन G(k) के लिए स्पष्ट ऊपरी सीमाएं प्रदान करते हैं, जो कि विनोग्रादोव की बाध्यता के रूप में आवश्यक k घात की न्यूनतम संख्या है।

G(k)\leq k(3\log k+11).

डायोफेंटाइन समस्याएं

डायोफैंटाइन की समस्याएं बहुपद समीकरणों के पूर्णांक समाधानों से संबंधित हैं: कोई समाधान के वितरण का अध्ययन कर सकता है, अर्थात, "आकार" या ऊंचाई के कुछ माप के अनुसार समाधान की गणना कर सकता है।

एक महत्वपूर्ण उदाहरण गॉस वृत्त समस्या है, जो पूर्णांक बिंदुओं (x y) के लिए पूछता है जो संतुष्ट करते हैं

x^{2}+y^{2}\leq r^{2}.

ज्यामितीय शब्दों में, त्रिज्या r के साथ तल में मूल बिंदु के इतस्ततः केंद्रित एक वृत्त दिया गया है, समस्या पूछती है कि कितने पूर्णांक जलक बिंदु वृत्त पर या उसके अंदर स्थित होते हैं। यह सिद्ध करना कठिन नहीं है कि उत्तर $\pi r^{2}+E(r)$ है, जहाँ $E(r)/r^{2}\to 0$ , $r\to \infty$ है। फिर से, विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत का कठिन हिस्सा और एक बड़ी उपलब्धि त्रुटि शब्द E(r) पर विशिष्ट ऊपरी सीमा प्राप्त करना है।

गॉस के द्वारा $E(r)=O(r)$ प्राप्त किया गया। सामान्य तौर पर, इकाई वृत्त (या, अधिक ठीक से, संकुचित एकक डिस्क) के साथ O(r) त्रुटि शब्द संभव होगा, जिसे किसी भी बंधे हुए समतलीय क्षेत्र के खंडशः चिकनी सीमा के साथ बदल दिया जाएगा। इसके अलावा, इकाई वृत्त को इकाई वर्ग द्वारा प्रतिस्थापित करते हुए, सामान्य समस्या के लिए त्रुटि शब्द r के रैखिक फलन जितना बड़ा हो सकता है।इसलिए, वृत्त की स्थिति में कुछ $\delta <1$ के लिए $O(r^{\delta })$ रूप की त्रुटि सीमा प्राप्त करना एक महत्वपूर्ण सुधार है। इसे प्राप्त करने वाले पहले व्यक्ति 1906 में सिएरपिंस्की थे, जिन्होंने $E(r)=O(r^{2/3})$ दिखाया। 1915 में, हार्डी और लैंडौ प्रत्येक ने दिखाया कि एक के पास $E(r)=O(r^{1/2})$ नहीं है। तब से लक्ष्य यह दिखाना रहा है कि प्रत्येक निश्चित $\epsilon >0$ के लिए वास्तविक संख्या $C(\epsilon )$ मौजूद है जैसे कि $E(r)\leq C(\epsilon )r^{1/2+\epsilon }$ ।

2000 में हक्सले ने उस $E(r)=O(r^{131/208})$ को दिखाया,^[18] जो सबसे अच्छा प्रकाशित परिणाम है।

विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत की विधियाँ

डिरिचलेट श्रृंखला

गुणक संख्या सिद्धांत में सबसे उपयोगी उपकरणों में से एक डिरिचलेट श्रृंखला है, जो कि फॉर्म की एक अनंत श्रृंखला द्वारा परिभाषित समिश्र चर के फलन हैं।

f(s)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}n^{-s}.

गुणांक $a_{n}$ की पसंद के आधार पर, यह श्रृंखला हर जगह, कहीं भी, या किसी अर्ध तल पर परिवर्तित हो सकती है। कई स्थितियों में, यहां तक कि जहां श्रृंखला हर जगह अभिसरण नहीं करती है, पूर्णसममितिक (होलोमोर्फिक) फलन जो इसे परिभाषित करता है, विश्लेषणात्मक रूप से पूरे सम्मिश्र समतल पर एक मेरोमोर्फिक फलन के लिए जारी रह सकता है। गुणनात्मक समस्याओं में इस प्रकार के फलनों की उपयोगिता औपचारिक पहचान में देखी जा सकती है

\left(\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}n^{-s}\right)\left(\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}n^{-s}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\left(\sum _{k\ell =n}a_{k}b_{\ell }\right)n^{-s};

इसलिए दो डिरिचलेट श्रृंखला के गुणनफल के गुणांक मूल गुणांकों के गुणनात्मक संकल्प हैं I इसके अलावा, डिरिचलेट श्रृंखला के बारे में विश्लेषणात्मक जानकारी से गुणांकों के बारे में जानकारी प्राप्त करने के लिए आंशिक योग और टौबेरियन प्रमेय जैसी तकनीकों का उपयोग किया जाता है। इस प्रकार एक गुणक फलन का आकलन करने के लिए एक सामान्य तरीका यह है कि इसे एक डिरिचलेट श्रृंखला (या सरल डिरिचलेट श्रृंखला के उत्पाद के रूप में संवलन पहचान का उपयोग करके) के रूप में व्यक्त किया जाए, इस श्रृंखला को एक जटिल फलन के रूप में जांचें और फिर इस विश्लेषणात्मक जानकारी को मूल फलन के बारे में जानकारी में परिवर्तित करें।

रीमैन ज़ीटा फलन

यूलर ने दिखाया कि अंकगणित के मूल प्रमेय का अर्थ है (कम से कम औपचारिक रूप से) यूलर गुणनफल

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=\prod _{p}^{\infty }{\frac {1}{1-p^{-s}}}{\text{ for }}s>1

जहां गुणनफल को सभी अभाज्य संख्याओं p पर लिया जाता है।

अभाज्य संख्याओं की अनंतता का यूलर का प्रमाण s = 1 (तथाकथित हार्मोनिक श्रृंखला) के लिए बाईं ओर के शब्द के विचलन का उपयोग करता है, जो एक विशुद्ध विश्लेषणात्मक परिणाम है। यूलर भी सबसे पहले विश्लेषणात्मक तर्कों का उपयोग पूर्णांकों के गुणों का अध्ययन करने के उद्देश्य से किया गया था, विशेष रूप से बिजली श्रृंखला बनाने के द्वारा। यह विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत की शुरुआत थी।^[19]

बाद में, रीमैन ने s के जटिल मानों के लिए इस फलन पर विचार किया और दिखाया कि इस फलन को s = 1 पर एक साधारण ध्रुव के साथ पूरे तल पर एक मेरोमॉर्फिक फलन तक बढ़ाया जा सकता है। इस फलन को अब रीमैन ज़ीटा फलन के रूप में जाना जाता है और इसे ζ (s) द्वारा निरूपित किया जाता है। इस समारोह पर साहित्य की अधिकता है और यह कार्य अधिक सामान्य डिरिचलेट एल-फ़ंक्शंस का एक विशेष मामला है।

विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांतवादी अक्सर अनुमानों की त्रुटि में रुचि रखते हैं जैसे कि अभाज्य संख्या प्रमेय। इस मामले में, त्रुटि x/log x से छोटी है। Π (x) के लिए रीमैन का सूत्र दर्शाता है कि इस सन्निकटन में त्रुटि पद को ज़ीटा फलन के शून्यों के पदों में व्यक्त किया जा सकता है। अपने 185 9 के पेपर में, रीमैन ने अनुमान लगाया कि ζ के सभी "गैर-तुच्छ" शून्य रेखा $\Re (s)=1/2$ पर स्थित हैं लेकिन इस कथन का सबूत कभी नहीं दिया। इस प्रसिद्ध और लंबे समय से चली आ रही धारणा को रीमैन परिकल्पना के रूप में जाना जाता है और संख्या सिद्धांत में इसके कई गहरे निहितार्थ हैं; वास्तव में, कई महत्वपूर्ण प्रमेय इस धारणा के तहत सिद्ध हुए हैं कि परिकल्पना सत्य है। उदाहरण के लिए, रीमैन हाइपोथिसिस की धारणा के तहत, अभाज्य संख्या प्रमेय में त्रुटि शब्द $O(x^{1/2+\varepsilon })$ है।

20वीं सदी की शुरुआत में जी.एच. हार्डी और लिटलवुड ने रीमैन परिकल्पना को प्रमाणित करने के प्रयास में ज़ीटा फलन के बारे में कई परिणाम प्रमाणित किए। वास्तव में, 1914 में, हार्डी ने प्रमाणित कर दिया कि क्रिटिकल लाइन पर ज़ीटा फलन के असीमित कई शून्य थे।

\Re (z)=1/2.

इसके कारण क्रांतिक रेखा पर शून्यों के घनत्व का वर्णन करने वाले कई प्रमेयों का जन्म हुआ।

यह भी देखें

स्वसमाकृतिक (ऑटोमोर्फिक) L-फलन
स्वसमाकृतिक रूप
लैंगलैंड्स कार्यक्रम
मैयर की आव्यूह विधि

↑ ^1.0 ^1.1 Apostol 1976, p. 7.
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संदर्भ

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Davenport, Harold (2000), Multiplicative number theory, Graduate Texts in Mathematics, vol. 74 (3rd revised ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95097-6, MR 1790423
Edwards, H. M. (1974), Riemann's Zeta Function, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-41740-0, MR 0466039
Tenenbaum, Gérald (1995), Introduction to Analytic and Probabilistic Number Theory, Cambridge studies in advanced mathematics, vol. 46, Cambridge University Press, ISBN 0-521-41261-7

अग्रिम पठन

Ayoub, Introduction to the Analytic Theory of Numbers
H. L. Montgomery and R. C. Vaughan, Multiplicative Number Theory I : Classical Theory
H. Iwaniec and E. Kowalski, Analytic Number Theory.
D. J. Newman, Analytic number theory, Springer, 1998

On specialized aspects the following books have become especially well-known:

Titchmarsh, Edward Charles (1986), The Theory of the Riemann Zeta Function (2nd ed.), Oxford University Press
H. Halberstam and H. E. Richert, Sieve Methods
R. C. Vaughan, The Hardy–Littlewood method, 2nd. edn.

Certain topics have not yet reached book form in any depth. Some examples are (i) Montgomery's pair correlation conjecture and the work that initiated from it, (ii) the new results of Goldston, pintz and Yilidrim on small gaps between primes, and (iii) the Green–Tao theorem showing that arbitrarily long arithmetic progressions of primes exist.

[FOOTNOTEApostol19767-1] 1.0 ^1.1 Apostol 1976, p. 7.

[FOOTNOTEDavenport20001-2] Davenport 2000, p. 1.

[Princeton-3] 3.0 ^3.1 Gowers, Timothy; June Barrow-Green; Imre Leader (2008). The Princeton companion to mathematics. Princeton University Press. pp. 764–765. ISBN 978-0-691-11880-2.

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[Elstrodt-5] Elstrodt, Jürgen (2007). "The Life and Work of Gustav Lejeune Dirichlet (1805–1859)" (PDF). Clay Mathematics Proceedings. Retrieved 2007-12-25.

[6] N. Costa Pereira (August–September 1985). "A Short Proof of Chebyshev's Theorem". American Mathematical Monthly. 92 (7): 494–495. doi:10.2307/2322510. JSTOR 2322510.

[7] M. Nair (February 1982). "On Chebyshev-Type Inequalities for Primes". American Mathematical Monthly. 89 (2): 126–129. doi:10.2307/2320934. JSTOR 2320934.

[Riemann1859-8] Riemann, Bernhard (1859), "Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse", Monatsberichte der Berliner Akademie. In Gesammelte Werke, Teubner, Leipzig (1892), Reprinted by Dover, New York (1953). Original manuscript Archived May 23, 2013, at the Wayback Machine (with English translation). Reprinted in (Borwein et al. 2008) and (Edwards 1974)

[9] Ingham, A.E. (1990). The Distribution of Prime Numbers. Cambridge University Press. pp. 2–5. ISBN 0-521-39789-8.

[FOOTNOTETenenbaum199556-10] Tenenbaum 1995, p. 56.

[FOOTNOTETenenbaum1995267-11] Tenenbaum 1995, p. 267.

[12] Green, Ben (2014-02-22). "Bounded gaps between primes". arXiv:1402.4849. {{cite journal}}: Cite journal requires |journal= (help)

[13] Maynard, James (2019-10-28). "Primes with restricted digits". arXiv:1604.01041. {{cite journal}}: Cite journal requires |journal= (help)

[14] Green, Ben; Tao, Terence (2007-09-22). "The primes contain arbitrarily long arithmetic progressions". arXiv:math/0404188. {{cite journal}}: Cite journal requires |journal= (help)

[15] "Bounded gaps between primes - Polymath Wiki". asone.ai. Retrieved 2022-07-14.

[16] Terence Tao - Large and Small Gaps in the Primes [2015] (in English), retrieved 2022-07-14

[:0-17] Iwaniec & Kowalski: Analytic Number Theory, AMS Colloquium Pub. Vol. 53, 2004

[18] M.N. Huxley, Integer points, exponential sums and the Riemann zeta function, Number theory for the millennium, II (Urbana, IL, 2000) pp.275–290, A K Peters, Natick, MA, 2002, MR1956254.

[19] Iwaniec & Kowalski: Analytic Number Theory, AMS Colloquium Pub. Vol. 53, 2004

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-{{Short description|Exploring properties of the integers with complex analysis}}[[Image:Complex zeta.jpg|right|thumb|300px|रिमेंन ज़ीटा जटिल तल में ζ(s) कार्य करता है। एक बिंदु s का रंग ζ(s) के मान को एन्कोड करता है: काले रंग के करीब के रंग शून्य के करीब मानों को दर्शाते हैं, जबकि ह्यू मान के तर्क को एन्कोड करता है।]]
+{{Short description|Exploring properties of the integers with complex analysis}}[[Image:Complex zeta.jpg|right|thumb|300px|रीमैन ज़ीटा जटिल तल में ζ(s) कार्य करता है। एक बिंदु s का रंग ζ(s) के मान को एन्कोड करता है: काले रंग के करीब के रंग शून्य के करीब मानों को दर्शाते हैं, जबकि ह्यू मान के तर्क को एन्कोड करता है।]]
 गणित में, विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत संख्या सिद्धांत की एक शाखा है जो गणितीय विश्लेषण से विधियों का उपयोग करते हुए  पूर्णांकों की समस्याओं को हल करती है।{{sfn|Apostol|1976|p=7|ignore-err=yes}} यह अक्सर कहा जाता है कि पीटर गुस्ताव लेज्यून डिरिचलेट के 1837 में, समान्तर श्रेणी पर डिरिचलेट के प्रमेय का पहला प्रमाण देने के लिए, डिरिचलेट एल-फलन की प्रस्तावना के साथ शुरू हुआ था।{{sfn|Apostol|1976|p=7|ignore-err=yes}}{{sfn|Davenport|2000|p=1}} यह अभाज्य संख्याओं (अभाज्य संख्या प्रमेय और रीमैन ज़ीटा फलन को शामिल करते हुए) और योगात्मक संख्या सिद्धांत (जैसे गोल्डबैक अनुमान और वारिंग की समस्या) पर अपने परिणामों के लिए जाना जाता है।
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 === डिरिचलेट ===
-{{main|जोहान पीटर गुस्ताव लेज्यून डिरिचलेट}}
+{{main|जॉन पीटर गुस्ताव लेज्यून डिरिचलेट}}
-जोहान पीटर गुस्ताव लेज्यून डिरिचलेट को विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत के निर्माण का श्रेय दिया जाता है,<ref name="Princeton">{{cite book| last = Gowers| first = Timothy |author1-link=Timothy Gowers|author2-link = June Barrow-Green| author3-link = Imre Leader|author2=June Barrow-Green |author3=Imre Leader | title=The Princeton companion to mathematics| url = https://archive.org/details/princetoncompanio00gowe| year=2008| publisher=Princeton University Press| isbn= 978-0-691-11880-2| pages= 764–765}}</ref> एक ऐसा क्षेत्र जिसमें उन्होंने कई गहरे परिणाम पाए और उन्हें साबित करने में कुछ मौलिक उपकरण पेश किए, जिनमें से कई बाद में उनके नाम पर रखे गए। 1837 में उन्होंने अंकगणितीय प्रगति पर डिरिचलेट के प्रमेय को प्रकाशित किया, एक बीजीय समस्या से निपटने के लिए गणितीय विश्लेषण अवधारणाओं का उपयोग करके और इस प्रकार विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत की शाखा का निर्माण किया। प्रमेय को सिद्ध करने में, उन्होंने डिरिचलेट वर्णों और एल-फ़ंक्शंस का परिचय दिया।<ref name=Princeton/><ref name="Kanemitsu">{{cite book| last = Kanemitsu| first = Shigeru|author2=Chaohua Jia| title=Number theoretic methods: future trends | year=2002| publisher=Springer| isbn= 978-1-4020-1080-4| pages= 271–274}}</ref> 1841 में उन्होंने अपने अंकगणितीय प्रगति प्रमेय को पूर्णांकों से गाऊसी पूर्णांकों <math>\mathbb{Z}[i]</math> के वलय तक सामान्यीकृत किया।<ref name="Elstrodt">{{cite journal | last = Elstrodt | first = Jürgen | journal = Clay Mathematics Proceedings
+जॉन पीटर गुस्ताव लेज्यून डिरिचलेट को विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत के निर्माण का श्रेय दिया जाता है,<ref name="Princeton">{{cite book| last = Gowers| first = Timothy |author1-link=Timothy Gowers|author2-link = June Barrow-Green| author3-link = Imre Leader|author2=June Barrow-Green |author3=Imre Leader | title=The Princeton companion to mathematics| url = https://archive.org/details/princetoncompanio00gowe| year=2008| publisher=Princeton University Press| isbn= 978-0-691-11880-2| pages= 764–765}}</ref> ऐसा क्षेत्र जिसमें उन्होंने कई गंभीर परिणाम पाए और उन्हें प्रमाणित करने में कुछ मुख्य उपकरण पेश किए, जिनमें से कई बाद में उनके नाम पर रखे गए। 1837 में उन्होंने समांतर श्रेणी पर डिरिचलेट के प्रमेय को प्रकाशित किया, बीजगणितीय समस्या से निपटने के लिए गणितीय विश्लेषण अवधारणाओं का उपयोग करके और इस प्रकार विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत की शाखा का निर्माण किया। प्रमेय को सिद्ध करने में, उन्होंने डिरिचलेट वर्णों और L-फलन का परिचय दिया।<ref name=Princeton/><ref name="Kanemitsu">{{cite book| last = Kanemitsu| first = Shigeru|author2=Chaohua Jia| title=Number theoretic methods: future trends | year=2002| publisher=Springer| isbn= 978-1-4020-1080-4| pages= 271–274}}</ref> 1841 में उन्होंने अपने समांतर श्रेणी प्रमेय को पूर्णांकों से गौसीय पूर्णांकों <math>\mathbb{Z}[i]</math> के वलय तक सामान्यीकृत किया।<ref name="Elstrodt">{{cite journal | last = Elstrodt | first = Jürgen | journal = Clay Mathematics Proceedings
    | title = The Life and Work of Gustav Lejeune Dirichlet (1805–1859) | year = 2007
    | url = http://www.uni-math.gwdg.de/tschinkel/gauss-dirichlet/elstrodt-new.pdf | access-date = 2007-12-25}}</ref>
-=== Chebyshev ===
+=== चेबिशेव ===
-{{main|Pafnuty Chebyshev}}
+{{main|पफनटी चेबिशेव}}
-और 1850 के दो पत्रों में, रूसी गणितज्ञ पफनुटी ल'वोविच चेबीशेव ने अभाज्य संख्याओं के वितरण के स्पर्शोन्मुख नियम को सिद्ध करने का प्रयास किया। उनका काम जीटा फंक्शन ζ(s) (तर्क "s" के वास्तविक मूल्यों के लिए, जैसा कि 1737 की शुरुआत में लियोनहार्ड यूलर के काम हैं) के उपयोग के लिए उल्लेखनीय है, जो 1859 के रीमैन के प्रसिद्ध संस्मरण से पहले का है, और वह स्पर्शोन्मुख कानून के थोड़े कमजोर रूप को साबित करने में सफल रहा, अर्थात्, यदि (x)/(x/ln(x)) की सीमा x के रूप में अनंत तक जाती है, तो यह आवश्यक रूप से एक के बराबर है।<ref>{{cite journal |author=N. Costa Pereira |jstor=2322510 |title=A Short Proof of Chebyshev's Theorem |journal=American Mathematical Monthly|date=August–September 1985|pages=494–495|volume=92|doi=10.2307/2322510|issue=7}}</ref> वह बिना शर्त साबित करने में सक्षम था कि यह अनुपात सभी x के लिए 1 के करीब स्पष्ट रूप से दिए गए दो स्थिरांक से ऊपर और नीचे से घिरा है।<ref>{{cite journal |author=M. Nair |jstor=2320934 |title=On Chebyshev-Type Inequalities for Primes |journal=American Mathematical Monthly |date=February 1982 |pages=126–129 |volume=89  |doi=10.2307/2320934 |issue=2}}</ref> हालांकि चेबीशेव का पेपर अभाज्य संख्या प्रमेय को साबित नहीं करता था, (x) के लिए उनके अनुमान बर्ट्रेंड के इस अभिधारणा को साबित करने के लिए पर्याप्त थे कि किसी भी पूर्णांक n 2 के लिए n और 2n के बीच एक अभाज्य संख्या मौजूद है।
+और 1850 के दो पत्रों में, रूसी गणितज्ञ पफनटी ल'वोविच चेबीशेव ने अभाज्य संख्याओं के वितरण के स्पर्शोन्मुख नियम को सिद्ध करने का प्रयास किया। उनका काम ज़ीटा फलन ζ(s) (तर्क "s" के वास्तविक मूल्यों के लिए, जैसा कि 1737 की शुरुआत में लियोनहार्ड यूलर के काम हैं) के उपयोग के लिए उल्लेखनीय है, जो 1859 के रीमैन के प्रसिद्ध संस्मरण से पहले का है, और वह स्पर्शोन्मुख नियम के थोड़े कमजोर रूप को प्रमाणित करने में सफल रहा, अर्थात्, यदि π(''x'')/(''x''/ln(''x'')) की सीमा x के रूप में अनंत तक जाती है, तो यह आवश्यक रूप से एक के बराबर होता है।<ref>{{cite journal |author=N. Costa Pereira |jstor=2322510 |title=A Short Proof of Chebyshev's Theorem |journal=American Mathematical Monthly|date=August–September 1985|pages=494–495|volume=92|doi=10.2307/2322510|issue=7}}</ref> वह अप्रतिबंधित रूप से प्रमाणित करने में सक्षम था कि यह अनुपात सभी x के लिए 1 के करीब स्पष्ट रूप से दिए गए दो स्थिरांक से ऊपर और नीचे से घिरा है।<ref>{{cite journal |author=M. Nair |jstor=2320934 |title=On Chebyshev-Type Inequalities for Primes |journal=American Mathematical Monthly |date=February 1982 |pages=126–129 |volume=89  |doi=10.2307/2320934 |issue=2}}</ref> हालांकि चेबीशेव का प्रमाण पत्र अभाज्य संख्या प्रमेय को प्रमाणित नहीं करता, π(''x'') के लिए उनके अनुमान बर्ट्रेंड के इस अभिधारणा को प्रमाणित करने के लिए पर्याप्त थे कि किसी भी पूर्णांक ''n'' ≥ 2 के लिए ''n'' और ''2n'' के बीच एक अभाज्य संख्या उपस्थित होती है।
 === रीमैन===
 {{main|बर्नहार्ड रिमेंन}}
-{{quote box |align=right |width=30% |quote="{{lang|de|…es ist sehr wahrscheinlich, dass alle Wurzeln reell sind. Hiervon wäre allerdings ein strenger Beweis zu wünschen; ich habe indess die Aufsuchung desselben nach einigen flüchtigen vergeblichen Versuchen vorläufig bei Seite gelassen, da er für den nächsten Zweck meiner Untersuchung entbehrlich schien.}}<br /> <br /> ... यह बहुत संभावित है कि सभी जड़ें वास्तविक हैं।बेशक एक कठोर सबूत की इच्छा होगी;मेरे पास कुछ समय के लिए, कुछ क्षणभंगुर व्यर्थ प्रयासों के बाद, अनंतिम रूप से इस के लिए खोज को अलग कर दिया, क्योंकि यह मेरी जांच के अगले उद्देश्य के लिए डिस्पेंसेबल प्रतीत होता है।| स्रोत = रीमैन के रीमैन की परिकल्पना का बयान, उनके 1859 के पेपर से।<ref name="Riemann1859">{{citation|first=Bernhard |last=Riemann |author-link=Bernhard Riemann |url=http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Riemann/Zeta/ |title={{sic|hide=y|Ueber}} die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen {{sic|hide=y|Grösse}} |year=1859 |journal=Monatsberichte der Berliner Akademie }}. In ''Gesammelte Werke'', Teubner, Leipzig (1892), Reprinted by Dover, New York (1953). [http://www.claymath.org/millennium/Riemann_Hypothesis/1859_manuscript/ Original manuscript] {{webarchive |url=https://web.archive.org/web/20130523061451/http://www.claymath.org/millennium/Riemann_Hypothesis/1859_manuscript/ |date=May 23, 2013 }} (with English translation). Reprinted in {{harv|Borwein|Choi|Rooney|Weirathmueller|2008}} and {{harv|Edwards|1974}}</ref> (वह ज़ेटा फ़ंक्शन के एक संस्करण पर चर्चा कर रहा था, संशोधित किया गया था ताकि इसकी जड़ें महत्वपूर्ण रेखा के बजाय वास्तविक हों।)}}बर्नहार्ड रीमैन ने आधुनिक विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत में कुछ प्रसिद्ध योगदान दिए हैं। एक छोटे से पेपर में (संख्या सिद्धांत के विषय पर उन्होंने केवल एक ही प्रकाशित किया था), उन्होंने रिमेंन जीटा फ़ंक्शन की जांच की और अभाज्य संख्याओं के वितरण को समझने के लिए इसके महत्व को स्थापित किया। उन्होंने जीटा फंक्शन के गुणों के बारे में कई अनुमान लगाए, जिनमें से एक प्रसिद्ध रीमैन परिकल्पना है।
+{{quote box |align=right |width=30% |quote="{{lang|de|…es ist sehr wahrscheinlich, dass alle Wurzeln reell sind. Hiervon wäre allerdings ein strenger Beweis zu wünschen; ich habe indess die Aufsuchung desselben nach einigen flüchtigen vergeblichen Versuchen vorläufig bei Seite gelassen, da er für den nächsten Zweck meiner Untersuchung entbehrlich schien.}}<br /> <br /> ... यह बहुत संभावित है कि सभी जड़ें वास्तविक हैं।बेशक एक कठोर सबूत की इच्छा होगी;मेरे पास कुछ समय के लिए, कुछ क्षणभंगुर व्यर्थ प्रयासों के बाद, अनंतिम रूप से इस के लिए खोज को अलग कर दिया, क्योंकि यह मेरी जांच के अगले उद्देश्य के लिए डिस्पेंसेबल प्रतीत होता है।| स्रोत = रीमैन के रीमैन की परिकल्पना का बयान, उनके 1859 के पेपर से।<ref name="Riemann1859">{{citation|first=Bernhard |last=Riemann |author-link=Bernhard Riemann |url=http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Riemann/Zeta/ |title={{sic|hide=y|Ueber}} die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen {{sic|hide=y|Grösse}} |year=1859 |journal=Monatsberichte der Berliner Akademie }}. In ''Gesammelte Werke'', Teubner, Leipzig (1892), Reprinted by Dover, New York (1953). [http://www.claymath.org/millennium/Riemann_Hypothesis/1859_manuscript/ Original manuscript] {{webarchive |url=https://web.archive.org/web/20130523061451/http://www.claymath.org/millennium/Riemann_Hypothesis/1859_manuscript/ |date=May 23, 2013 }} (with English translation). Reprinted in {{harv|Borwein|Choi|Rooney|Weirathmueller|2008}} and {{harv|Edwards|1974}}</ref> (वह ज़ेटा फ़ंक्शन के एक संस्करण पर चर्चा कर रहा था, संशोधित किया गया था ताकि इसकी जड़ें महत्वपूर्ण रेखा के बजाय वास्तविक हों।)}}बर्नहार्ड रीमैन ने आधुनिक विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत में कुछ प्रसिद्ध योगदान दिए हैं। एक छोटे से पेपर में (संख्या सिद्धांत के विषय पर उन्होंने केवल एक ही प्रकाशित किया था), उन्होंने रीमैन ज़ीटा फलन की जांच की और अभाज्य संख्याओं के वितरण को समझने के लिए इसके महत्व को स्थापित किया। उन्होंने ज़ीटा फलन के गुणों के बारे में कई अनुमान लगाए, जिनमें से एक प्रसिद्ध रीमैन परिकल्पना है।
 === हैडामार्ड और डे ला वेली-पौसिन===
 {{main|जैक्स हैडामर्ड|चार्ल्स जीन डे ला वल्ली-पौसिन}}
-रीमैन के विचारों का विस्तार करते हुए, अभाज्य संख्या प्रमेय के दो प्रमाण स्वतंत्र रूप से जैक्स हैडामार्ड और चार्ल्स जीन डे ला वाली-पौसिन द्वारा प्राप्त किए गए और उसी वर्ष (1896) में दिखाई दिए। दोनों सबूतों ने जटिल विश्लेषण के तरीकों का इस्तेमाल किया, इस सबूत के एक मुख्य चरण के रूप में स्थापित किया कि रिमेंन जेटा फ़ंक्शन ζ (s) चर के सभी जटिल मूल्यों के लिए गैर-शून्य है, जिसका फॉर्म एस = 1 + टी> 0 के साथ है।<ref>{{cite book |last = Ingham |first = A.E. |title = The Distribution of Prime Numbers |publisher = Cambridge University Press| year = 1990 |pages = 2–5 |isbn = 0-521-39789-8}}</ref>
+रीमैन के विचारों का विस्तार करते हुए, अभाज्य संख्या प्रमेय के दो प्रमाण स्वतंत्र रूप से जैक्स हैडामार्ड और चार्ल्स जीन डे ला वाली-पौसिन द्वारा प्राप्त किए गए और उसी वर्ष (1896) में दिखाई दिए। दोनों प्रमाणों ने जटिल विश्लेषण के तरीकों का उपयोग किया, इस प्रमाण के एक मुख्य चरण के रूप में स्थापित किया कि रीमैन ज़ीटा फलन ζ (s) चर s के सभी जटिल मूल्यों के लिए अशून्य है, जिसका रूप ''t'' > 0 के साथ ''s'' = 1 + ''it'' है।<ref>{{cite book |last = Ingham |first = A.E. |title = The Distribution of Prime Numbers |publisher = Cambridge University Press| year = 1990 |pages = 2–5 |isbn = 0-521-39789-8}}</ref>
 === आधुनिक समय ===
-के बाद सबसे बड़ा तकनीकी परिवर्तन छलनी के तरीकों का विकास रहा है,{{sfn|Tenenbaum|1995|p=56}} विशेष रूप से गुणक समस्याओं में।ये प्रकृति में कॉम्बीनेटरियल हैं, और काफी विविध हैं।कॉम्बिनेटरियल सिद्धांत की चरम शाखा बदले में मात्रात्मक ऊपरी और निचले सीमा पर विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत में रखे गए मूल्य से बहुत प्रभावित हुई है।एक और हालिया विकास संभाव्य संख्या सिद्धांत है,{{sfn|Tenenbaum|1995|p=267}} जो संख्या सिद्धांत कार्यों के वितरण का अनुमान लगाने के लिए संभाव्यता सिद्धांत से तरीकों का उपयोग करता है, जैसे कि कितने प्राइम डिवीर्स ए नंबर है।
+के बाद सबसे बड़ा तकनीकी परिवर्तन चालनी विधि का विकास रहा है,{{sfn|Tenenbaum|1995|p=56}} विशेष रूप से बहुगुणित समस्याओं में। ये प्रकृति में सांयोगिक एवं काफी विविध होते हैं। संयोजक सिद्धांत की चरम शाखा बदले में मात्रात्मक ऊपरी और निचली सीमा पर विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत में रखे गए मूल्य से काफी प्रभावित हुई है। एक अन्य आधुनिक विकास प्रायिकतात्मक संख्या सिद्धांत है,{{sfn|Tenenbaum|1995|p=267}} जो संख्या सैद्धांतिक कार्यों के वितरण का अनुमान लगाने के लिए प्रायिकता सिद्धांत से विधियों का उपयोग करता है, जैसे कि कितने अभाज्य भाजक एक संख्या है।
-विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत के भीतर विकास अक्सर पहले की तकनीकों के शोधन होते हैं, जो त्रुटि की शर्तों को कम करते हैं और उनकी प्रयोज्यता को चौड़ा करते हैं।उदाहरण के लिए, हार्डी -लिटिलवुड सर्कल विधि | जी। एच। हार्डी की सर्कल विधि | हार्डी और लिटिलवुड को जटिल विमान में यूनिट सर्कल के पास पावर सीरीज़ के लिए आवेदन करने के रूप में कल्पना की गई थी;अब यह परिमित घातीय रकम (यानी यूनिट सर्कल पर, लेकिन पावर सीरीज़ के साथ छंटनी के साथ) के संदर्भ में सोचा जाता है।डायोफेंटाइन सन्निकटन की आवश्यकताएं सहायक कार्यों के लिए हैं जो कार्यों को उत्पन्न नहीं कर रहे हैं - उनके गुणांक का निर्माण एक कबूतर सिद्धांत के उपयोग से किया जाता है - और कई जटिल चर शामिल होते हैं।डायोफेंटाइन सन्निकटन और पारगमन सिद्धांत के क्षेत्रों का विस्तार किया गया है, इस बिंदु पर कि तकनीकों को मोर्डेल अनुमान के लिए लागू किया गया है।
+विशेष रूप से, क्षेत्र में यितांग झांग, जेम्स मेनार्ड, टेरेंस ताओ और बेन ग्रीन द्वारा की गई सफलताओं ने गोल्डस्टन-पिंट्ज़-यल्डिरम पद्धति का उपयोग किया है। जो वे मूल रूप से यह प्रमाणित करते कि <ref>{{Cite journal|last=Green|first=Ben|date=2014-02-22|title=Bounded gaps between primes|url=http://arxiv.org/abs/1402.4849|arxiv=1402.4849}}</ref><ref>{{Cite journal|last=Maynard|first=James|date=2019-10-28|title=Primes with restricted digits|url=http://arxiv.org/abs/1604.01041|arxiv=1604.01041}}</ref><ref>{{Cite journal|last1=Green|first1=Ben|last2=Tao|first2=Terence|date=2007-09-22|title=The primes contain arbitrarily long arithmetic progressions|url=http://arxiv.org/abs/math/0404188|arxiv=math/0404188}}</ref><ref>{{Cite web|title=Bounded gaps between primes - Polymath Wiki|url=https://asone.ai/polymath/index.php?title=Bounded_gaps_between_primes|access-date=2022-07-14|website=asone.ai}}</ref><ref>{{Citation |title=Terence Tao - Large and Small Gaps in the Primes [2015] |url=https://www.youtube.com/watch?v=LikuKTZzgoU |language=en |access-date=2022-07-14}}</ref> <ref name=":0">Iwaniec & Kowalski: Analytic Number Theory, AMS Colloquium Pub. Vol. 53, 2004</ref>
+<math>p_{n+1}-p_n \geq o(\log p_n).</math>
+विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत के विकास अक्सर पहले की तकनीकों के परिशोधन होते हैं, जो त्रुटि शर्तों को कम करते हैं और उनकी प्रयोज्यता को बढ़ाते हैं। उदाहरण के लिए, हार्डी और लिटिलवुड की वृत्त पद्धति को जटिल तल में एकक वृत्त के पास घात श्रेणी पर लागू करने के रूप में माना गया था, अब इसे परिमित घातांक राशि के रूप में माना जाता है (अर्थात, इकाई चक्र पर, लेकिन घात श्रेणी को छोटा कर दिया जाता है)। डायोफैंटाइन सन्निकटन की ज़रूरतें पूरक फलन के लिए होती है जो फलन उत्पन्न नहीं कर रहे हैं-उनके गुणांक एक कोष्ठ सिद्धांत के उपयोग से निर्मित होते हैं- और कई सम्मिश्र चर शामिल होते हैं। डायोफैंटाइन सन्निकटन और ज्ञानातीत्व (ट्रान्सेंडेंस) सिद्धांत के क्षेत्र का विस्तार हुआ है, इस बिंदु तक कि तकनीकों को मोर्डेल अनुमान पर लागू किया गया है।
 == समस्याएं और परिणाम ==
-विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत के भीतर प्रमेय और परिणाम पूर्णांक के बारे में सटीक संरचनात्मक परिणाम नहीं हैं, जिसके लिए बीजगणितीय और ज्यामितीय उपकरण अधिक उपयुक्त हैं।इसके बजाय, वे विभिन्न संख्या सैद्धांतिक कार्यों के लिए अनुमानित सीमा और अनुमान देते हैं, जैसा कि निम्नलिखित उदाहरण बताते हैं।
+विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत में प्रमेय और परिणाम पूर्णांकों के बारे में सटीक संरचनात्मक परिणाम नहीं होते हैं, जिसके लिए बीजीय और ज्यामितीय उपकरण अधिक उपयुक्त होते हैं। इसके बजाय, वे विभिन्न संख्या सैद्धांतिक कार्यों के लिए अनुमानित सीमा और अनुमान देते हैं, जैसा कि निम्नलिखित उदाहरण दिखाते हैं।
 === गुणक संख्या सिद्धांत ===
-{{main|Multiplicative number theory}}
+{{main|गुणक संख्या सिद्धांत}}
-यूक्लिड ने दिखाया कि असीम रूप से कई प्रमुख संख्याएं हैं।एक महत्वपूर्ण प्रश्न प्रमुख संख्याओं के स्पर्शोन्मुख वितरण को निर्धारित करना है;यही है, किसी दिए गए नंबर से कितने प्राइम छोटे हैं, इसका एक मोटा विवरण।गॉस, दूसरों के बीच, प्राइम्स की एक बड़ी सूची की गणना करने के बाद, अनुमान लगाया गया कि बड़ी संख्या n के बराबर या बराबर प्राइम की संख्या अभिन्न के मूल्य के करीब है
+यूक्लिड ने दिखाया कि अपरिमित रूप से कई अभाज्य संख्याएँ होती हैं। अभाज्य संख्याओं के स्पर्शोन्मुख वितरण को निर्धारित करना एक महत्वपूर्ण प्रश्न है, अर्थात्, किसी दी गई संख्या से कितने अभाज्य संख्याएँ छोटी हैं, इसका एक मोटा विवरण। गॉस ने, दूसरों के बीच, अभाज्य संख्याओं की एक बड़ी सूची की गणना करने के बाद, अनुमान लगाया कि बड़ी संख्या N से कम या उसके बराबर अभाज्य संख्याओं की संख्या अभिन्न के मान के करीब है
 : <math>\int^N_2 \frac{1}{\log t} \, dt.</math>
-में बर्नहार्ड रिमैन ने जटिल विश्लेषण और एक विशेष मेरोमोर्फिक फ़ंक्शन का उपयोग किया, जिसे अब रिमैन ज़ेटा फ़ंक्शन के रूप में जाना जाता है, जो वास्तविक संख्या & nbsp; x से कम या उससे कम प्राइम की संख्या के लिए एक विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति प्राप्त करने के लिए।उल्लेखनीय रूप से, रीमैन के सूत्र में मुख्य शब्द ठीक उपरोक्त अभिन्न था, गॉस के अनुमान के लिए पर्याप्त वजन उधार देता था।रीमैन ने पाया कि इस अभिव्यक्ति में त्रुटि की शर्तें, और इसलिए जिस तरह से प्राइम्स वितरित किए जाते हैं, वह ज़ेटा फ़ंक्शन के जटिल शून्य से निकटता से संबंधित हैं।रिमैन के विचारों का उपयोग करते हुए और ज़ेटा फ़ंक्शन के शून्य पर अधिक जानकारी प्राप्त करके, जैक्स हडामार्ड और चार्ल्स जीन डी ला वले-प्यूसिन ने गॉस के अनुमान के प्रमाण को पूरा करने में कामयाबी हासिल की।विशेष रूप से, उन्होंने साबित किया कि अगर
+में बर्नहार्ड रीमैन ने वास्तविक संख्या x से कम या उसके बराबर अभाज्य संख्याओं के लिए एक विश्लेषणात्मक व्यंजक प्राप्त करने के लिए जटिल विश्लेषण और एक विशेष मेरोमॉर्फिक फलन का उपयोग किया जिसे अब रीमैन ज़ीटा फलन के रूप में जाना जाता है। उल्लेखनीय रूप से, रीमैन के सूत्र में मुख्य शब्द बिल्कुल उपरोक्त अभिन्न था, गॉस के अनुमान के लिए पर्याप्त भार देता है। रीमैन ने पाया कि इस अभिव्यक्ति में त्रुटि शब्द, और इसलिए जिस तरीके से अभाज्य वितरित किए जाते हैं, वे ज़ीटा फलन के जटिल शून्य से निकटता से संबंधित हैं। रीमैन के विचारों का उपयोग करते हुए और ज़ीटा फलन के शून्य के बारे में अधिक जानकारी प्राप्त करके, जैक्स हैडामार्ड और चार्ल्स जीन डे ला वेली-पॉसिन गॉस के अनुमान के प्रमाण को पूरा करने में सफल रहे। विशेष रूप से, उन्होंने प्रमाणित किया कि यदि
 :<math>\pi(x) = (\text{number of primes }\leq x),</math>
 फिर
 :<math>\lim_{x \to \infty} \frac{\pi(x)}{x/\log x} = 1.</math>
-यह उल्लेखनीय परिणाम है जिसे अब प्राइम नंबर प्रमेय के रूप में जाना जाता है।यह विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत में एक केंद्रीय परिणाम है।शिथिल रूप से, यह बताता है कि एक बड़ी संख्या n को देखते हुए, n से कम या बराबर प्राइम की संख्या n/लॉग (n) के बारे में है।
+इस उल्लेखनीय परिणाम को अब अभाज्य संख्या प्रमेय के रूप में जाना जाता है। विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत में यह एक केंद्रीय परिणाम है। संक्षेप में, यह बताता है कि बड़ी संख्या में ''N'' दिया गया है, ''N'' से कम या उसके बराबर अभाज्य संख्याओं की संख्या लगभग ''N''/log(''N'') है।
-अधिक आम तौर पर, किसी भी अंकगणितीय प्रगति ए+एनक्यू में किसी भी पूर्णांक n के लिए PRIMES की संख्या के बारे में एक ही प्रश्न पूछा जा सकता है।संख्या सिद्धांत के लिए विश्लेषणात्मक तकनीकों के पहले अनुप्रयोगों में से एक में, Dirichlet ने साबित किया कि A और Q Coprime के साथ किसी भी अंकगणितीय प्रगति में असीम रूप से कई primes होते हैं।प्राइम नंबर प्रमेय को इस समस्या के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है;दे
+आम तौर पर, किसी भी पूर्णांक ''n'' के लिए किसी भी समान्तर श्रेणी a+nq में अभाज्य संख्याओं के बारे में एक ही प्रश्न पूछा जा सकता है। संख्या सिद्धांत के लिए विश्लेषणात्मक तकनीकों के पहले अनुप्रयोगों में से एक में, डिरिचलेट ने प्रमाणित किया कि a और q सह अभाज्य के साथ किसी भी समान्तर श्रेणी में असीम रूप से कई अभाज्य हैं। अभाज्य संख्या प्रमेय को इस समस्या के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है;
 :<math>\pi(x, a, q) = (\text {number of primes } \leq x \text{ such that } p \text{ is in the arithmetic progression } a + nq, n \in \mathbf Z), </math>
-फिर अगर ए और क्यू कॉपरीम हैं,
+तब यदि a और q सह अभाज्य हैं,
 :<math>\lim_{x \to \infty} \frac{\pi(x,a,q)\phi(q)}{x/\log x} = 1.</math>
-संख्या सिद्धांत में कई गहरे और व्यापक अनुमान हैं, जिनके प्रमाण वर्तमान तकनीकों के लिए बहुत मुश्किल लगते हैं, जैसे कि ट्विन प्राइम कॉन्फिनेचर जो पूछता है कि क्या असीम रूप से कई प्राइम पी जैसे कि पी एंड एनबीएसपी;+& एनबीएसपी; 2 प्राइम है।इलियट -हैलबर्स्टम अनुमान की धारणा पर यह हाल ही में साबित हुआ है कि असीम रूप से कई primes p हैं जैसे कि p & nbsp;+& nbsp; k कुछ सकारात्मक के लिए प्राइम है, यहां तक कि सबसे अधिक & nbsp; 12 पर।इसके अलावा, यह बिना शर्त साबित किया गया है (यानी अप्रमाणित अनुमानों के आधार पर नहीं) कि असीम रूप से कई primes p हैं जैसे कि p & nbsp;+& nbsp; k कुछ सकारात्मक के लिए प्राइम है, यहां तक कि k पर भी & nbsp; 246।
+संख्या सिद्धांत में कई गंभीर और व्यापक अनुमान भी हैं जिनके प्रमाण वर्तमान तकनीकों के लिए बहुत कठिन प्रतीत होते हैं, जैसे कि युगल अभाज्य अनुमान जो पूछता है कि क्या असीम रूप से कई अभाज्य ''p'' हैं जैसे कि ''p'' + 2 अभाज्य है। इलियट-हैलबर्स्टम अनुमान की धारणा पर यह हाल ही में प्रमाणित हुआ है कि असीम रूप से कई अभाज्य ''p'' हैं जैसे कि ''p'' + ''k'' कुछ धनात्मक सम ''k'' के लिए अधिकतम 12 है। साथ ही, यह बिना शर्त सिद्ध किया गया है (अर्थात अप्रमाणित अनुमानों के आधार पर नहीं) कि असीम रूप से कई अभाज्य ''p'' ऐसे हैं कि ''p'' + ''k'' कुछ अधिकतम 246 पर धनात्मक सम ''k'' के लिए अभाज्य है।
+=== योगात्मक संख्या सिद्धांत ===
+{{main|योगात्मक संख्या सिद्धांत}}
-=== एडिटिव नंबर थ्योरी ===
+योगात्मक संख्या सिद्धांत में सबसे महत्वपूर्ण समस्याओं में से एक वारिंग की समस्या है, जो पूछती है कि क्या किसी भी ''k'' ≥ 2 के लिए, k घात की सीमित संख्या के योग के रूप में किसी भी धनात्मक पूर्णांक को लिखना संभव है,
-{{main|Additive number theory}}
-Additive संख्या सिद्धांत में सबसे महत्वपूर्ण समस्याओं में से एक वारिंग की समस्या है, जो पूछती है कि क्या यह संभव है, किसी भी k & nbsp के लिए; and & nbsp; 2, किसी भी सकारात्मक पूर्णांक को kth शक्तियों की एक बंधी संख्या के योग के रूप में लिखने के लिए,
 :<math>n=x_1^k+\cdots+x_\ell^k.</math>
-वर्गों के लिए मामला, k & nbsp; = & nbsp; 2, Lagrange का चार-वर्ग प्रमेय था। 1770 में Lagrange द्वारा उत्तर दिया गया, जिसने साबित किया कि प्रत्येक सकारात्मक पूर्णांक अधिकांश चार वर्गों का योग है।1909 में हिल्बर्ट द्वारा सामान्य मामला साबित किया गया था, बीजगणितीय तकनीकों का उपयोग करते हुए जिसने कोई स्पष्ट सीमा नहीं दी।एक महत्वपूर्ण सफलता जी। एच। हार्डी | हार्डी और लिटिलवुड द्वारा समस्या के लिए विश्लेषणात्मक उपकरणों का अनुप्रयोग था।इन तकनीकों को सर्कल विधि के रूप में जाना जाता है, और फ़ंक्शन G (k) के लिए स्पष्ट ऊपरी सीमाएं देते हैं, KTH शक्तियों की सबसे छोटी संख्या, जैसे कि विनोग्रादोव की बाउंड
+वर्गों के लिए स्थिति, ''k'' = 2, का उत्तर लैग्रेंजे ने 1770 में दिया, जिन्होंने प्रमाणित किया कि प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक अधिकतम चार वर्गों का योग होता है। 1909 में हिल्बर्ट ने बीजगणितीय तकनीकों का उपयोग करते हुए सामान्य स्थिति को प्रमाणित किया, जिसमें कोई स्पष्ट सीमा नहीं थी। महत्वपूर्ण सफलता हार्डी और लिटिलवुड द्वारा समस्या के लिए विश्लेषणात्मक उपकरणों का अनुप्रयोग था। इन तकनीकों को वृत्त विधि के रूप में जाना जाता है, और फलन ''G''(''k'') के लिए स्पष्ट ऊपरी सीमाएं प्रदान करते हैं, जो कि विनोग्रादोव की बाध्यता के रूप में आवश्यक k घात की न्यूनतम संख्या है।
 :<math>G(k)\leq k(3\log k+11).</math>
 === डायोफेंटाइन समस्याएं ===
-{{main|Diophantine problem}}
+{{main|डायोफैंटाइन समस्या}}
-डायोफेंटाइन की समस्याएं बहुपद समीकरणों के पूर्णांक समाधान से संबंधित हैं: कोई समाधान के वितरण का अध्ययन कर सकता है, अर्थात् आकार या ऊंचाई के कुछ माप के अनुसार समाधानों की गिनती करना।
-एक महत्वपूर्ण उदाहरण गॉस सर्कल समस्या है, जो पूर्णांक बिंदुओं (x & nbsp; y) के लिए पूछती है जो संतुष्ट करती है
+डायोफैंटाइन की समस्याएं बहुपद समीकरणों के पूर्णांक समाधानों से संबंधित हैं: कोई समाधान के वितरण का अध्ययन कर सकता है, अर्थात, "आकार" या ऊंचाई के कुछ माप के अनुसार समाधान की गणना कर सकता है।
+एक महत्वपूर्ण उदाहरण गॉस वृत्त समस्या है, जो पूर्णांक बिंदुओं (''x'' ''y'') के लिए पूछता है जो संतुष्ट करते हैं
 :<math>x^2+y^2\leq r^2.</math>
-ज्यामितीय शब्दों में, त्रिज्या आर के साथ विमान में उत्पत्ति के बारे में केंद्रित एक सर्कल को देखते हुए, समस्या पूछती है कि कितने पूर्णांक जाली बिंदु सर्कल के अंदर या अंदर झूठ बोलते हैं।यह साबित करना मुश्किल नहीं है कि उत्तर है <math>\pi r^2 + E(r)</math>, कहाँ पे <math>E(r)/r^2 \to 0</math> जैसा <math>r \to \infty</math>।फिर से, कठिन हिस्सा और विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत की एक महान उपलब्धि त्रुटि शब्द & nbsp; ई (आर) पर विशिष्ट ऊपरी सीमा प्राप्त कर रही है।
+ज्यामितीय शब्दों में, त्रिज्या r के साथ तल में मूल बिंदु के इतस्ततः केंद्रित एक वृत्त दिया गया है, समस्या पूछती है कि कितने पूर्णांक जलक बिंदु वृत्त पर या उसके अंदर स्थित होते हैं। यह सिद्ध करना कठिन नहीं है कि उत्तर <math>\pi r^2 + E(r)</math> है, जहाँ <math>E(r)/r^2 \to 0</math>, <math>r \to \infty</math> है। फिर से, विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत का कठिन हिस्सा और एक बड़ी उपलब्धि त्रुटि शब्द ''E''(''r'') पर विशिष्ट ऊपरी सीमा प्राप्त करना है।
-यह गॉस द्वारा दिखाया गया था कि <math> E(r) = O(r)</math>।सामान्य तौर पर, एक ओ (आर) त्रुटि शब्द यूनिट सर्कल (या, अधिक ठीक से, बंद यूनिट डिस्क) के साथ संभव होगा, जिसे किसी भी बंधे हुए प्लानर क्षेत्र के टुकड़े को टुकड़े -टुकड़े चिकनी सीमा के साथ बदल दिया जाता है।इसके अलावा, यूनिट स्क्वायर द्वारा यूनिट सर्कल की जगह, सामान्य समस्या के लिए त्रुटि शब्द & nbsp; r के रैखिक कार्य के रूप में बड़ा हो सकता है।इसलिए, फॉर्म की एक त्रुटि को प्राप्त करना <math>O(r^{\delta})</math>
+गॉस के द्वारा <math> E(r) = O(r)</math> प्राप्त किया गया। सामान्य तौर पर, इकाई वृत्त (या, अधिक ठीक से, संकुचित एकक डिस्क) के साथ ''O''(''r'') त्रुटि शब्द संभव होगा, जिसे किसी भी बंधे हुए समतलीय क्षेत्र के खंडशः चिकनी सीमा के साथ बदल दिया जाएगा। इसके अलावा, इकाई वृत्त को इकाई वर्ग द्वारा प्रतिस्थापित करते हुए, सामान्य समस्या के लिए त्रुटि शब्द ''r'' के रैखिक फलन जितना बड़ा हो सकता है।इसलिए, वृत्त की स्थिति में कुछ <math>\delta < 1</math> के लिए <math>O(r^{\delta})</math> रूप की त्रुटि सीमा प्राप्त करना एक महत्वपूर्ण सुधार है। इसे प्राप्त करने वाले पहले व्यक्ति 1906 में सिएरपिंस्की थे, जिन्होंने <math> E(r) = O(r^{2/3})</math> दिखाया। 1915 में, हार्डी और लैंडौ प्रत्येक ने दिखाया कि एक के पास <math>E(r) = O(r^{1/2})</math> नहीं है। तब से लक्ष्य यह दिखाना रहा है कि प्रत्येक निश्चित <math>\epsilon > 0</math> के लिए वास्तविक संख्या <math>C(\epsilon)</math> मौजूद है जैसे कि <math>E(r) \leq C(\epsilon) r^{1/2 + \epsilon}</math>।
-कुछ के लिए <math>\delta < 1</math> सर्कल के मामले में एक महत्वपूर्ण सुधार है।इसे प्राप्त करने के लिए पहला था
-में waclaw sierpiński | Sierpiński, जिसने दिखाया <math> E(r) = O(r^{2/3})</math>।1915 में, हार्डी और लैंडौ प्रत्येक ने दिखाया कि एक नहीं है <math>E(r) = O(r^{1/2})</math>।तब से लक्ष्य यह दिखाने के लिए है कि प्रत्येक निश्चित के लिए <math>\epsilon > 0</math> एक वास्तविक संख्या मौजूद है <math>C(\epsilon)</math> ऐसा है कि <math>E(r) \leq C(\epsilon) r^{1/2 + \epsilon}</math>।
-में हक्सले ने दिखाया<ref>M.N. Huxley, ''Integer points, exponential sums and the Riemann zeta function'', Number theory for the millennium, II (Urbana, IL, 2000) pp.275–290, A K Peters, Natick, MA, 2002, {{MR|1956254}}.</ref> वह <math>E(r) = O(r^{131/208})</math>, जो सबसे अच्छा प्रकाशित परिणाम है।
+में हक्सले ने उस <math>E(r) = O(r^{131/208})</math> को दिखाया,<ref>M.N. Huxley, ''Integer points, exponential sums and the Riemann zeta function'', Number theory for the millennium, II (Urbana, IL, 2000) pp.275–290, A K Peters, Natick, MA, 2002, {{MR|1956254}}.</ref> जो सबसे अच्छा प्रकाशित परिणाम है।
-== विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत के तरीके ==
+== विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत की विधियाँ ==
 === डिरिचलेट श्रृंखला ===
-{{main|Dirichlet series}}
+{{main|डिरिचलेट श्रृंखला}}
-गुणक संख्या सिद्धांत में सबसे उपयोगी उपकरणों में से एक डिरिचलेट श्रृंखला है, जो एक अनंत श्रृंखला द्वारा परिभाषित एक जटिल चर के कार्य हैं।
+गुणक संख्या सिद्धांत में सबसे उपयोगी उपकरणों में से एक डिरिचलेट श्रृंखला है, जो कि फॉर्म की एक अनंत श्रृंखला द्वारा परिभाषित समिश्र चर के फलन हैं।
 :<math>f(s)=\sum_{n=1}^\infty a_nn^{-s}.</math>
-गुणांक की पसंद पर निर्भर करता है <math>a_n</math>, यह श्रृंखला हर जगह, कहीं नहीं, या कुछ आधे विमान पर अभिसरण कर सकती है।कई मामलों में, यहां तक कि जहां श्रृंखला हर जगह परिवर्तित नहीं होती है, होलोमोर्फिक फ़ंक्शन इसे परिभाषित करता है, पूरे जटिल विमान पर एक मेरोमोर्फिक फ़ंक्शन के लिए विश्लेषणात्मक रूप से जारी रखा जा सकता है।औपचारिक समस्याओं में इस तरह के कार्यों की उपयोगिता को औपचारिक पहचान में देखा जा सकता है
+गुणांक <math>a_n</math> की पसंद के आधार पर, यह श्रृंखला हर जगह, कहीं भी, या किसी अर्ध तल पर परिवर्तित हो सकती है। कई स्थितियों में, यहां तक कि जहां श्रृंखला हर जगह अभिसरण नहीं करती है, पूर्णसममितिक (होलोमोर्फिक) फलन जो इसे परिभाषित करता है, विश्लेषणात्मक रूप से पूरे सम्मिश्र समतल पर एक मेरोमोर्फिक फलन के लिए जारी रह सकता है। गुणनात्मक समस्याओं में इस प्रकार के फलनों की उपयोगिता औपचारिक पहचान में देखी जा सकती है
 :<math>\left(\sum_{n=1}^\infty a_nn^{-s}\right)\left(\sum_{n=1}^\infty b_nn^{-s}\right)=\sum_{n=1}^\infty\left(\sum_{k\ell=n}a_kb_\ell\right)n^{-s};</math>
-इसलिए दो Dirichlet श्रृंखला के उत्पाद के गुणांक मूल गुणांक के गुणक संकल्प हैं।इसके अलावा, आंशिक सारांश और टाउबेरियन प्रमेय जैसी तकनीकों का उपयोग डिरिचलेट श्रृंखला के बारे में विश्लेषणात्मक जानकारी से गुणांक के बारे में जानकारी प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है।इस प्रकार एक गुणात्मक फ़ंक्शन का अनुमान लगाने के लिए एक सामान्य विधि इसे एक डिरिचलेट श्रृंखला (या कन्व्यूशन पहचान का उपयोग करके सरल डिरिचलेट श्रृंखला का एक उत्पाद) के रूप में व्यक्त करना है, इस श्रृंखला को एक जटिल फ़ंक्शन के रूप में जांचें और फिर इस विश्लेषणात्मक जानकारी को मूल फ़ंक्शन के बारे में जानकारी में वापस बदलें।
+इसलिए दो डिरिचलेट श्रृंखला के गुणनफल के गुणांक मूल गुणांकों के गुणनात्मक संकल्प हैं I इसके अलावा, डिरिचलेट श्रृंखला के बारे में विश्लेषणात्मक जानकारी से गुणांकों के बारे में जानकारी प्राप्त करने के लिए आंशिक योग और टौबेरियन प्रमेय जैसी तकनीकों का उपयोग किया जाता है। इस प्रकार एक गुणक फलन का आकलन करने के लिए एक सामान्य तरीका यह है कि इसे एक डिरिचलेट श्रृंखला (या सरल डिरिचलेट श्रृंखला के उत्पाद के रूप में संवलन पहचान का उपयोग करके) के रूप में व्यक्त किया जाए, इस श्रृंखला को एक जटिल फलन के रूप में जांचें और फिर इस विश्लेषणात्मक जानकारी को मूल फलन के बारे में जानकारी में परिवर्तित करें।
-=== Riemann Zeta फ़ंक्शन ===
+=== रीमैन ज़ीटा फलन ===
-{{Main|Riemann zeta function}}
+{{Main|रीमैन ज़ीटा फलन}}
-यूलर ने दिखाया कि अंकगणित के मौलिक प्रमेय का अर्थ है (कम से कम औपचारिक रूप से) यूलर उत्पाद
+यूलर ने दिखाया कि अंकगणित के मूल प्रमेय का अर्थ है (कम से कम औपचारिक रूप से) यूलर गुणनफल
 : <math> \sum_{n=1}^\infty \frac {1}{n^s} = \prod_p^\infty \frac {1}{1-p^{-s}}\text{ for }s > 1</math>
-जहां उत्पाद को सभी प्राइम नंबरों पर ले लिया जाता है।
+जहां गुणनफल को सभी अभाज्य संख्याओं p पर लिया जाता है।
-प्राइम नंबरों की अनंतता का यूलर का प्रमाण S = 1 (तथाकथित हार्मोनिक श्रृंखला) के लिए बाएं हाथ की ओर शब्द के विचलन का उपयोग करता है, जो विशुद्ध रूप से विश्लेषणात्मक परिणाम है।यूलर भी पूर्णांक के गुणों का अध्ययन करने के उद्देश्य से विश्लेषणात्मक तर्कों का उपयोग करने वाले पहले व्यक्ति थे, विशेष रूप से उत्पन्न बिजली श्रृंखला का निर्माण करके।यह विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत की शुरुआत थी।<ref>Iwaniec & Kowalski: Analytic Number Theory, AMS Colloquium Pub. Vol. 53, 2004</ref>
+अभाज्य संख्याओं की अनंतता का यूलर का प्रमाण s = 1 (तथाकथित हार्मोनिक श्रृंखला) के लिए बाईं ओर के शब्द के विचलन का उपयोग करता है, जो एक विशुद्ध विश्लेषणात्मक परिणाम है। यूलर भी सबसे पहले विश्लेषणात्मक तर्कों का उपयोग पूर्णांकों के गुणों का अध्ययन करने के उद्देश्य से किया गया था, विशेष रूप से बिजली श्रृंखला बनाने के द्वारा। यह विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत की शुरुआत थी।<ref>Iwaniec & Kowalski: Analytic Number Theory, AMS Colloquium Pub. Vol. 53, 2004</ref>
-बाद में, रीमैन ने एस के जटिल मूल्यों के लिए इस फ़ंक्शन पर विचार किया और दिखाया कि इस फ़ंक्शन को पूरे विमान पर एक साधारण पोल के साथ एक मेरोमोर्फिक फ़ंक्शन तक बढ़ाया जा सकता है, जो कि & nbsp; = & nbsp; 1 पर एक साधारण ध्रुव के साथ है।इस फ़ंक्शन को अब Riemann Zeta फ़ंक्शन के रूप में जाना जाता है और इसे ζ (s) द्वारा निरूपित किया जाता है।इस फ़ंक्शन पर साहित्य का ढेर है और फ़ंक्शन अधिक सामान्य Dirichlet L-Functions का एक विशेष मामला है।
-विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांतकार अक्सर प्राइम नंबर प्रमेय जैसे अनुमानों की त्रुटि में रुचि रखते हैं।इस मामले में, त्रुटि x/लॉग & nbsp; x से छोटी है।Π (x) के लिए Riemann के सूत्र से पता चलता है कि इस सन्निकटन में त्रुटि शब्द ज़ेटा फ़ंक्शन के शून्य के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है।अपने 1859 के पेपर में, रीमैन ने अनुमान लगाया कि लाइन पर ζ के सभी गैर-तुच्छ शून्य हैं <math> \Re(s) = 1/2 </math> लेकिन कभी भी इस कथन का प्रमाण नहीं दिया।यह प्रसिद्ध और लंबे समय से चली आ रही अनुमान को रीमैन परिकल्पना के रूप में जाना जाता है और संख्या सिद्धांत में कई गहरे निहितार्थ हैं;वास्तव में, कई महत्वपूर्ण प्रमेय इस धारणा के तहत साबित हुए हैं कि परिकल्पना सच है।उदाहरण के लिए, रीमैन परिकल्पना की धारणा के तहत, प्राइम नंबर प्रमेय में त्रुटि शब्द है {{nowrap|<math> O(x^{1/2+\varepsilon})</math>.}}
+बाद में, रीमैन ने s के जटिल मानों के लिए इस फलन पर विचार किया और दिखाया कि इस फलन को s = 1 पर एक साधारण ध्रुव के साथ पूरे तल पर एक मेरोमॉर्फिक फलन तक बढ़ाया जा सकता है। इस फलन को अब रीमैन ज़ीटा फलन के रूप में जाना जाता है और इसे ζ (s) द्वारा निरूपित किया जाता है। इस समारोह पर साहित्य की अधिकता है और यह कार्य अधिक सामान्य डिरिचलेट एल-फ़ंक्शंस का एक विशेष मामला है।
-वीं शताब्दी की शुरुआत में जी। एच। हार्डी और लिटिलवुड ने रीमैन परिकल्पना को साबित करने के प्रयास में ज़ेटा फ़ंक्शन के बारे में कई परिणाम साबित किए।वास्तव में, 1914 में,
-हार्डी ने साबित कर दिया कि महत्वपूर्ण रेखा पर ज़ेटा फ़ंक्शन के कई शून्य थे
+विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांतवादी अक्सर अनुमानों की त्रुटि में रुचि रखते हैं जैसे कि अभाज्य संख्या प्रमेय। इस मामले में, त्रुटि x/log x से छोटी है। Π (x) के लिए रीमैन का सूत्र दर्शाता है कि इस सन्निकटन में त्रुटि पद को ज़ीटा फलन के शून्यों के पदों में व्यक्त किया जा सकता है। अपने 185 9 के पेपर में, रीमैन ने अनुमान लगाया कि ζ के सभी "गैर-तुच्छ" शून्य रेखा <math> \Re(s) = 1/2 </math> पर स्थित हैं लेकिन इस कथन का सबूत कभी नहीं दिया। इस प्रसिद्ध और लंबे समय से चली आ रही धारणा को रीमैन परिकल्पना के रूप में जाना जाता है और संख्या सिद्धांत में इसके कई गहरे निहितार्थ हैं; वास्तव में, कई महत्वपूर्ण प्रमेय इस धारणा के तहत सिद्ध हुए हैं कि परिकल्पना सत्य है। उदाहरण के लिए, रीमैन हाइपोथिसिस की धारणा के तहत, अभाज्य संख्या प्रमेय में त्रुटि शब्द {{nowrap|<math> O(x^{1/2+\varepsilon})</math>}} है।
+वीं सदी की शुरुआत में जी.एच. हार्डी और लिटलवुड ने रीमैन परिकल्पना को प्रमाणित करने के प्रयास में ज़ीटा फलन के बारे में कई परिणाम प्रमाणित किए। वास्तव में, 1914 में, हार्डी ने प्रमाणित कर दिया कि क्रिटिकल लाइन पर ज़ीटा फलन के असीमित कई शून्य थे।
 :<math> \Re(z) = 1/2. </math>
-इसके कारण कई प्रमेय महत्वपूर्ण रेखा पर शून्य के घनत्व का वर्णन करते हैं।
+इसके कारण क्रांतिक रेखा पर शून्यों के घनत्व का वर्णन करने वाले कई प्रमेयों का जन्म हुआ।
 == यह भी देखें ==
-* ऑटोमोर्फिक एल-फंक्शन
+* स्वसमाकृतिक (ऑटोमोर्फिक) L-फलन
-* ऑटोमोर्फिक फॉर्म
+* स्वसमाकृतिक रूप
 * लैंगलैंड्स कार्यक्रम
-* मैयर की मैट्रिक्स विधि
+* मैयर की आव्यूह विधि
 ==टिप्पणियाँ==
@@ Line 146: / Line 154: @@
 Certain topics have not yet reached book form in any depth. Some examples are
 (i) [[Montgomery's pair correlation conjecture]] and the work that initiated from it,
-(ii) the new results of Goldston, Pintz and Yilidrim on [[Twin prime|small gaps between primes]], and
+(ii) the new results of Goldston, pintz and Yilidrim on [[Twin prime|small gaps between primes]], and
 (iii) the [[Green–Tao theorem]] showing that arbitrarily long arithmetic progressions of primes exist.
 {{Number theory-footer}}
-{{DEFAULTSORT:Analytic number theory}}[[Category: विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत | विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत ]]
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+[[Category:विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत| विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत ]]

v t e संख्या सिद्धांत
खेत	बीजगणितीय संख्या सिद्धांत) विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत ज्यामितीय संख्या सिद्धांत कम्प्यूटेशनल संख्या सिद्धांत ट्रांसेंडेंटल नंबर थ्योरी डायोफेंटाइन ज्यामिति अंकगणित कॉम्बिनेटरिक्स (एडिटिव नंबर थ्योरी) अंकगणित ज्यामिति (एनाबेलियन ज्यामिति, पी-एडिक हॉज थ्योरी) अंकगणित टोपोलॉजी अंकगणित गतिशीलता
महत्वपूर्ण अवधारणाएं	संख्या प्राकृतिक संख्या अभाज्य संख्या तर्कसंगत संख्या अपरिमेय संख्या बीजगणितीय संख्या ट्रांसेंडेंटल नंबर पी-एडिक नंबर (पी-एडिक विश्लेषण) अंकगणित मॉड्यूलर अंकगणित चीनी शेष प्रमेय अंकगणित कार्य
उन्नत अवधारणाएँ	द्विघात रूप मॉड्यूलर रूप एल-फंक्शन डायोफेंटाइन समीकरण डायोफेंटाइन सन्निकटन निरंतर अंश
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अग्रदूत

डिरिचलेट

चेबिशेव

रीमैन

हैडामार्ड और डे ला वेली-पौसिन

आधुनिक समय

समस्याएं और परिणाम

गुणक संख्या सिद्धांत

योगात्मक संख्या सिद्धांत

डायोफेंटाइन समस्याएं

विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत की विधियाँ

डिरिचलेट श्रृंखला

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