P-ऐडिक संख्या: Difference between revisions

Latest revision as of 15:07, 13 June 2023

गणित में, किसी भी अभाज्य संख्या $p$ के लिए $p$ -ऐडिक संख्या प्रणाली, परिमेय संख्या प्रणाली के वास्तविक और जटिल संख्या प्रणाली के विस्तार से भिन्न तरीके से परिमेय संख्याओं के सामान्य अंकगणित का विस्तार करती है। विस्तार "निकटता" या पूर्ण मूल्य के सिद्धांत के वैकल्पिक व्याख्या द्वारा प्राप्त किया जाता है। विशेष रूप से, दो $p$ -एडिक संख्याओं को पास माना जाता है जब उनका अंतर $p$ की उच्च घातांक से विभाज्य होता है: घात जितनी अधिक होती है, वे उतने ही निकट होते हैं। यह गुण $p$ -ऐडिक संख्याओं को सर्वांगसमता की जानकारी को इस तरह से सांकेतिक करने में सक्षम बनाता है जो संख्या सिद्धांत में शक्तिशाली अनुप्रयोगों के रूप में सामने आता है - उदाहरण के लिए, एंड्रयू विल्स द्वारा फर्मेट के अंतिम प्रमेय के प्रमाण समिलित है।^[1]

इन संख्याओं को पहली बार 1897 में कर्ट हेन्सेल द्वारा वर्णित किया गया था,^[2] तथापि, पूर्व दृष्टि से, अर्न्स्ट कुमेर के पहले के कुछ कार्यों को $p$ -एडिक संख्याओं का उपयोग करते हुए स्पष्ट रूप से व्याख्या की जा सकती है।^{[note 1]} $p$ -ऐडिक संख्याएँ मुख्य रूप से संख्या सिद्धांत में घात श्रेणी विधियों के विचारों और तकनीकों को लाने के प्रयास से अभिप्रेरित थीं। उनका प्रभाव अब इससे कहीं आगे बढ़ गया है। उदाहरण के लिए, $p$ -ऐडिक विश्लेषण का क्षेत्र विश्लेषण अनिवार्य रूप से कलन (कैलकुलस) का वैकल्पिक रूप प्रदान करता है।

अधिक औपचारिक रूप से, किसी दिए गए अभाज्य $p$ के लिए, $p$ -ऐडिक संख्याओं का क्षेत्र (गणित) $Q p$ परिमेय संख्याओं का पूरा होना है। क्षेत्र $Q p$ को मापीय से प्राप्त एक सांस्थिति भी दी गई है, जो स्वयं $p$ -ऐडिक क्रम से ली गई है, जो परिमेय संख्याओं पर एक वैकल्पिक मूल्यांकन (बीजगणित) है। यह मापीय क्षेत्र इस अर्थ में पूर्ण है कि प्रत्येक कॉची अनुक्रम $Q p$ में एक बिंदु पर अभिसरण करते है। यह वह है जो $Q p$ पर कलन के विकास की अनुमति देता है, और यह विश्लेषणात्मक और बीजगणितीय ज्यामिति संरचना की परस्पर क्रिया है जो $p$ -ऐडिक संख्या प्रणालियाँ को उनकी शक्ति और उपयोगिता देता है।

$p$ -एडिक में $p$ एक परिवर्तनशील (गणित) है और इसे अभाज्य (समर्पण, उदाहरण के लिए, 2-एडिक संख्या) या अभाज्य संख्या का प्रतिनिधित्व करने वाली दूसरी अभिव्यक्ति के साथ प्रतिस्थापित किया जा सकता है। " $p$ -ऐडिक" का "एडिक" डाइएडिक या ट्रायडिक जैसे शब्दों के अंत में पाए जाने वाले शब्द से आता है।

परिमेय संख्याओं का p-ऐडिक विस्तार

एक धनात्मक परिमेय संख्या $r$ का दशमलव प्रसार श्रृंखला (गणित)

$r=\sum _{i=k}^{\infty }a_{i}10^{-i},$

के रूप में इसका निरूपण है जहाँ $k$ एक पूर्णांक है और प्रत्येक $a_{i}$ भी एक पूर्णांक है जैसे कि $0\leq a_{i}<10$ । इस विस्तार की गणना भाजक द्वारा अंश के दीर्घ विभाजन द्वारा की जा सकती है, जो स्वयं निम्नलिखित प्रमेय पर आधारित है: यदि $r={\tfrac {n}{d}}$ एक परिमेय संख्या है जैसे कि $10^{k}\leq r<10^{k+1},$ $a$ एक पूर्णांक है ऐसा कि $0<a<10,$ और $r=a\,10^{k}+r',$ साथ $r'<10^{k}$ । इसे परिणाम को शेषफल $'r'$ पर बार-बार लागू करने से दशमलव प्रसार प्राप्त होता है जो पुनरावृति में मूल परिमेय संख्या $r$ की भूमिका कल्पित करता है।

परिमेय संख्या का $p$ -ऐडिक विस्तार समान रूप से परिभाषित किया गया है, लेकिन भिन्न विभाजन चरण के साथ। अधिक सटीक रूप से, एक निश्चित अभाज्य संख्या $p$ दी गई है, प्रत्येक अशून्य परिमेय संख्या $r$ को विशिष्ट रूप से $r=p^{k}{\tfrac {n}{d}},$ के रूप में लिखा जा सकता है जहाँ $k$ एक (संभवतः ऋणात्मक) पूर्णांक है, $n$ और $d$ सह अभाज्य पूर्णांक हैं, दोनों $p$ के साथ सहअभाज्य हैं, और $d$ धनात्मक है। पूर्णांक $k$ , $r$ का $p$ -ऐडिक मूल्यांकन है, जिसे $v_{p}(r)$ निरूपित किया गया है, और $p^{-k}$ इसका $p$ -ऐडिक पूर्ण मान है, जिसे $|r|_{p}$ निरूपित किया गया है (मूल्यांकन बड़ा होने पर पूर्ण मूल्य छोटा होता है)। विभाजन चरण में

r=a\,p^{k}+r'

लिखना समिलित है जहाँ $a$ एक पूर्णांक है जैसे कि $0\leq a<p,$ और $r'$ या तो शून्य है, या एक परिमेय संख्या है जैसे कि $|r'|_{p}<p^{-k}$ (अर्थात, $v_{p}(r')>k$ )।

$r$ का $p$ -ऐडिक विस्तार क्रमिक शेषफलों पर उपरोक्त विभाजन चरण को अनिश्चित काल तक दोहराकर प्राप्त की गई औपचारिक घातांक श्रृंखला

$r=\sum _{i=k}^{\infty }a_{i}p^{i}$ है।

एक $p$ -ऐडिक प्रसार में, सभी $a_{i}$ ऐसे पूर्णांक हैं कि $0\leq a_{i}<p$ ।

यदि $n>0$ के साथ $r=p^{k}{\tfrac {n}{1}}$ , प्रक्रिया अंततः शून्य शेष के साथ रुक जाती है; इस स्थिति में, श्रृंखला एक शून्य गुणांक के साथ अनुगामी शब्दों द्वारा पूरी की जाती है, और आधार में- $p$ में $r$ का प्रतिनिधित्व है।

परिमेय संख्या के $p$ -ऐडिक विस्तार का अस्तित्व और संगणना निम्नलिखित तरीके से बेज़ाउट की पहचान से उत्पन्न होती है। यदि, ऊपर की तरह, $r=p^{k}{\tfrac {n}{d}},$ और $d$ और $p$ सहअभाज्य हैं, तो ऐसे पूर्णांक $t$ और $u$ उपस्थित हैं कि $td+up=1$ । इसलिए

r=p^{k}{\tfrac {n}{d}}(td+up)=p^{k}nt+p^{k+1}{\frac {un}{d}}.

फिर, $p$ द्वारा $nt$ का यूक्लिडियन विभाजन $0\leq a<p$ के साथ $nt=qp+a$ देता है। यह विभाजन चरण को ${\begin{array}{lcl}r&=&p^{k}(qp+a)+p^{k+1}{\frac {un}{d}}\\&=&ap^{k}+p^{k+1}\,{\frac {qd+un}{d}},\\\end{array}}$

के रूप में देता है ताकि पुनरावृत्ति में $r'=p^{k+1}\,{\frac {qd+un}{d}}$

नई परिमेय संख्या हो।

विभाजन चरण और संपूर्ण की विशिष्टता $p$ -ऐडिक विस्तार आसान है: अगर $p^{k}a_{1}+p^{k+1}s_{1}=p^{k}a_{2}+p^{k+1}s_{2},$ किसी के पास $a_{1}-a_{2}=p(s_{2}-s_{1})$ है। इसका मतलब यह है $p$ , $a_{1}-a_{2}$ को विभाजित करता है। चूंकि $0\leq a_{1}<p$ और $0\leq a_{2}<p,$ निम्नलिखित सत्य होना चाहिए: $0\leq a_{1}$ और $a_{2}<p$ । इस प्रकार, $-p<a_{1}-a_{2}<p$ प्राप्त होता है और चूँकि $p$ , $a_{1}-a_{2}$ को विभाजित करता है, इसलिए यह $a_{1}=a_{2}$ होना चाहिए।

परिमेय संख्या का $p$ -ऐडिक विस्तार एक श्रृंखला है जो परिमेय संख्या में परिवर्तित होती है, यदि कोई $p$ -ऐडिक पूर्ण मान के साथ अभिसरण श्रृंखला की परिभाषा को लागू करता है। मानक $p$ -ऐडिक संकेतन में, अंकों को उसी क्रम में लिखा जाता है जैसे मानक आधार- $p$ प्रणाली में, अर्थात् आधार की घात को बाईं ओर बढ़ाना। इसका मतलब यह है कि अंकों का उत्पादन उल्टा हो जाता है और सीमा बाईं ओर होती है।

परिमेय संख्या का $p$ -ऐडिक विस्तार अंततः आवधिक होता है। इसके विपरीत, $0\leq a_{i}<p$ के साथ श्रृंखला ${\textstyle \sum _{i=k}^{\infty }a_{i}p^{i},}$ एक परिमेय संख्या में ( $p$ -ऐडिक पूर्ण मान के लिए) अभिसरण करती है यदि और केवल यदि यह अंततः आवधिक है; इस स्थिति में, श्रृंखला उस परिमेय संख्या का $p$ -ऐडिक विस्तार है। प्रमाण दोहराए जाने वाले दशमलव के परिणाम के समान है।

उदाहरण

आइए हम ${\frac {1}{3}}$ के 5-एडिक विस्तार की गणना करें। विस्तार की गणना करें 5 के लिए बेज़ाउट की पहचान और भाजक 3 $2\cdot 3+(-1)\cdot 5=1$ है (बड़े उदाहरणों के लिए, इसकी गणना विस्तारित विस्तारित यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म साथ की जा सकती है)। इस प्रकार

{\frac {1}{3}}=2-{\frac {5}{3}}.

अगले चरण के लिए, किसी को "विभाजित" करना होगा $-1/3$ (भिन्न के अंश में गुणनखंड 5 को $p$ -ऐडिक मूल्यांकन के "शिफ्ट" के रूप में देखा जाना चाहिए, और इस प्रकार यह "विभाजन" में समिलित नहीं है)। बेज़ाउट की पहचान को $-1$ से गुणा करने पर

-{\frac {1}{3}}=-2+{\frac {5}{3}}

प्राप्त होता है।

"पूर्णांक भाग" $-2$ सही अंतराल में नहीं है। इसलिए, $-2=3-1\cdot 5$ प्राप्त करने के लिए $5$ से यूक्लिडियन डिवीजन का उपयोग करना होगा जो

-{\frac {1}{3}}=3-5+{\frac {5}{3}}=3-{\frac {10}{3}},

और

{\frac {1}{3}}=2+3\cdot 5+{\frac {-2}{3}}\cdot 5^{2}

देगा।

इसी तरह, एक के पास

-{\frac {2}{3}}=1-{\frac {5}{3}},

और

{\frac {1}{3}}=2+3\cdot 5+1\cdot 5^{2}+{\frac {-1}{3}}\cdot 5^{3}

है।

"शेष" के रूप में $-{\tfrac {1}{3}}$ पहले ही मिल चुका है, गुणांक देते हुए प्रक्रिया को आसानी से जारी रखा जा सकता है, पाँच की विषम घात के लिए गुणांक $3$ और सम घात के लिए $1$ दिया जा सकता है। या मानक 5-एडिक संकेतन ${\frac {1}{3}}=\ldots 1313132_{5}$

में दीर्घवृत्त के साथ $\ldots$ बाएं हाथ की ओर।

p-ऐडिक सीरीज

इस लेख में, एक अभाज्य संख्या $p$ दी गई है, $p$ -ऐडिक श्रृंखला

$\sum _{i=k}^{\infty }a_{i}p^{i},$

रूप की एक औपचारिक श्रृंखला है जहां हर अशून्य $a_{i}$ एक परिमेय संख्या $a_{i}={\tfrac {n_{i}}{d_{i}}},$ है जैसे कि $n_{i}$ और $d_{i}$ में से कोई भी $p$ से विभाज्य नहीं है।

प्रत्येक परिमेय संख्या को एक शब्द के साथ $p$ -ऐडिक श्रृंखला के रूप में देखा जा सकता है, जिसमें $p^{k}{\tfrac {n}{d}},$ के साथ $n$ और $d$ दोनों सहअभाज्य रूप $p$ के गुणनखंड हैं।

$p$ -ऐडिक श्रृंखला सामान्यीकृत होती है, यदि प्रत्येक $a_{i}$ अंतराल $[0,p-1]$ में एक पूर्णांक हो। तो, एक परिमेय संख्या का $p$ -ऐडिक विस्तार एक सामान्यीकृत $p$ -ऐडिक श्रृंखला है।

$p$ -ऐडिक मूल्यांकन, या $p$ -ऐडिक क्रम एक अशून्य $p$ -ऐडिक श्रंखला का निम्नतम पूर्णांक $i$ है जैसे कि $a_{i}\neq 0$ । शून्य श्रृंखला का क्रम अनंत $\infty$ है।

दो $p$ -ऐडिक श्रंखलाएँ तुल्य होती हैं यदि उनका क्रम $k$ समान हो, और यदि प्रत्येक पूर्णांक $n \geq k$ के लिए उनकी आंशिक योगों के बीच का अंतर

\sum _{i=k}^{n}a_{i}p^{i}-\sum _{i=k}^{n}b_{i}p^{i}=\sum _{i=k}^{n}(a_{i}-b_{i})p^{i}

का क्रम $n$ से अधिक हो (अर्थात, $k>n,$ के साथ $p^{k}{\tfrac {a}{b}},$ के रूप की एक परिमेय संख्या है) और $a$ और $b$ दोनों $p$ के साथ सहअभाज्य हैं)।

प्रत्येक $p$ -ऐडिक श्रृंखला $S$ के लिए, एक अद्वितीय सामान्यीकृत श्रृंखला $N$ है जैसे कि $S$ और $N$ समकक्ष हैं। $N$ , $S$ का सामान्यीकरण है। प्रमाण परिमेय संख्या के $p$ -ऐडिक विस्तार के अस्तित्व प्रमाण के समान है। विशेष रूप से, प्रत्येक परिमेय संख्या को गैर-शून्य शब्द के साथ $p$ -ऐडिक श्रृंखला के रूप में माना जा सकता है, और इस श्रृंखला का सामान्यीकरण वास्तव में परिमेय संख्या का तर्कसंगत प्रतिनिधित्व है।

दूसरे शब्दों में, $p$ -ऐडिक श्रृंखला की तुल्यता एक तुल्यता संबंध है, और प्रत्येक तुल्यता वर्ग में ठीक एक सामान्यीकृत $p$ -ऐडिक श्रृंखला होती है।

श्रृंखला के सामान्य संचालन (जोड़, घटाव, गुणा, भाग) $p$ -ऐडिक श्रृंखला को $p$ -ऐडिक श्रृंखला में मानचित्रण करते हैं, और $p$ -ऐडिक श्रृंखला की समानता के साथ संगत होते हैं। अर्थात्, $~$ के साथ तुल्यता को दर्शाते हुए, यदि $S$ , $T$ और $U$ शून्येतर $p$ -ऐडिक श्रृंखला हैं जैसे कि $S\sim T,$ एक में

${\begin{aligned}S\pm U&\sim T\pm U,\\SU&\sim TU,\\1/S&\sim 1/T.\end{aligned}}$ है।

इसके अतिरिक्त, $S$ और $T$ का एक ही क्रम है, और वही पहला पद है।

स्थितीय संकेतन

[[मूलांक |मूलांक $p$ ]] में संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयोग किए जाने वाले समान स्थितीय संकेतन का उपयोग करना संभव है।

मान लीजिए ${\textstyle \sum _{i=k}^{\infty }a_{i}p^{i}}$ एक सामान्यीकृत $p$ -एडिक श्रृंखला है, यानी प्रत्येक $a_{i}$ अंतराल $[0,p-1]$ में एक पूर्णांक है, ऐसा मान सकता है $k\leq 0$ अगर $0\leq i<k$ के लिए $a_{i}=0$ निर्धारित करके (यदि k> 0), और परिणामी शून्य शब्दों को श्रृंखला में जोड़ कर।

यदि $k\geq 0,$ स्थितीय संकेतन में $a_{i}$ को लगातार लिखना समिलित है, $i$ के घटते मूल्यों द्वारा क्रमबद्ध, बार बार $p$ के साथ सूचकांक :

$\ldots a_{n}\ldots a_{1}{a_{0}}_{p}$ के रूप में दाईं ओर दिखाई देता है।

तो, उपरोक्त उदाहरण की गणना से पता चलता है कि

{\frac {1}{3}}=\ldots 1313132_{5},

और

{\frac {25}{3}}=\ldots 131313200_{5}

।

जब $k<0,$ एक पृथक्कारी बिंदु ऋणात्मक सूचकांक वाले अंकों से पहले जोड़ा जाता है, और, यदि सूचकांक $p$ उपस्थित है, तो यह अलग करने वाले बिंदु के ठीक बाद दिखाई देता है। उदाहरण के लिए,

{\frac {1}{15}}=\ldots 3131313._{5}2,

और

{\frac {1}{75}}=\ldots 1313131._{5}32.

यदि एक $p$ -ऐडिक प्रतिनिधित्व बाईं ओर परिमित है (अर्थात, $i$ के बड़े मानों के लिए $a_{i}=0$ ), तो इसमें $n,v$ पूर्णांकों के साथ $np^{v},$ के रूप की गैर-ऋणात्मक परिमेय संख्या का मान होता है। ये परिमेय संख्याएँ वास्तव में गैर-नकारात्मक परिमेय संख्याएँ हैं जिनका मूलांक $p$ में परिमित प्रतिनिधित्व है। इन परिमेय संख्याओं के लिए, दो निरूपण समान हैं।

परिभाषा

$p$ -एडिक संख्याओं की कई समतुल्य परिभाषाएँ हैं। जो यहाँ दिया गया है वह अपेक्षाकृत प्रारंभिक है, क्योंकि इसमें पिछले अनुभागों में निवेदित की गई सिद्धांतओं के अतिरिक्त कोई अन्य गणितीय सिद्धांतएँ समिलित नहीं हैं। अन्य समतुल्य परिभाषाएँ असतत मूल्यांकन वलय (§ p-ऐडिक पूर्णांक, देखें), एक मापीय क्षेत्र की समाप्ति (§ टोपोलॉजिकल गुण, देखें), या व्युत्क्रम सीमाएँ (§ प्रमापीय गुण, देखें) के पूरा होने का उपयोग करती हैं।

$p$ -ऐडिक संख्या को सामान्यीकृत $p$ -ऐडिक श्रृंखला के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। चूँकि अन्य समान परिभाषाएँ हैं जो आमतौर पर उपयोग की जाती हैं, एक अक्सर कहता है कि एक सामान्यीकृत $p$ -ऐडिक श्रृंखला एक $p$ -ऐडिक संख्या का प्रतिनिधित्व करती है, यह कहने के बजाय कि यह एक $p$ -ऐडिक संख्या है।

कोई यह भी कह सकता है कि कोई $p$ -ऐडिक श्रृंखला एक $p$ -ऐडिक संख्या का प्रतिनिधित्व करती है, क्योंकि प्रत्येक $p$ -ऐडिक श्रृंखला एक अद्वितीय सामान्यीकृत $p$ -ऐडिक श्रृंखला के बराबर है। यह $p$ -एडिक संख्याओं के संचालन (जोड़, घटाव, गुणा, भाग) को परिभाषित करने के लिए उपयोगी है: इस तरह के संचालन का परिणाम श्रृंखला पर संबंधित संचालन के परिणाम को सामान्य करके प्राप्त किया जाता है। यह $p$ -ऐडिक श्रृंखला पर संचालन को अच्छी तरह से परिभाषित करता है, चूँकि श्रृंखला संचालन $p$ -ऐडिक श्रृंखला तुल्यता के अनुकूल हैं।

इन संचालनों के साथ, $p$ -ऐडिक संख्याएँ एक क्षेत्र (गणित) बनाती हैं जिसे $p$ -एडिक संख्याओं का क्षेत्र कहा जाता है और $\mathbb {Q} _{p}$ या $\mathbf {Q} _{p}$ को निरूपित किया जाता है। परिमेय संख्याओं से $p$ -ऐडिक संख्याओं में एक अद्वितीय क्षेत्र समाकारिता है, जो एक परिमेय संख्या को इसके $p$ -ऐडिक विस्तार के लिए मानचित्रण करता है। इस समरूपता की छवि (गणित) को आमतौर पर परिमेय संख्याओं के क्षेत्र से पहचाना जाता है। यह $p$ -ऐडिक संख्याएँ को परिमेय संख्याओं के विस्तार क्षेत्र के रूप में, और परिमेय संख्याएँ परिमेय संख्याओं को $p$ -ऐडिक संख्याओं के उपक्षेत्र (गणित) के रूप में विचार करने की अनुमति देता है।

अशून्य $p$ -ऐडिक संख्या $x$ का मूल्यांकन, जिसे आमतौर पर $v_{p}(x)$ के रूप में दर्शाया जाता है, $x$ का प्रतिनिधित्व करने वाली प्रत्येक $p$ -ऐडिक श्रृंखला के पहले अशून्य पद में $p$ का घातांक है। परिपाटी के अनुसार, $v_{p}(0)=\infty ;$ अर्थात् शून्य का मान $\infty$ होता है। यह मूल्यांकन असतत मूल्यांकन है। परिमेय संख्याओं के लिए इस मूल्यांकन का प्रतिबंध $\mathbb {Q}$ का $p$ -ऐडिक मूल्यांकन, अर्थात, $p$ के साथ $n$ और $d$ सहअभाज्य दोनों के साथ ${\dfrac {a}{n}}dp^{v},$ के रूप में एक परिमेय संख्या के गुणनखंड में घातांक $v$ ।

पी-एडिक पूर्णांक

$p$ -ऐडिक पूर्णांक $p$ -ऐडिक संख्याएँ होती हैं जिनका मूल्यांकन अऋणात्मक होता है।

एक $p$ -ऐडिक पूर्णांक को प्रत्येक पूर्णांक $e$ के लिए अवशेषों $x e$ mod $p e$ के अनुक्रम

x=(x_{1}\operatorname {mod} p,~x_{2}\operatorname {mod} p^{2},~x_{3}\operatorname {mod} p^{3},~\ldots )

के रूप में दर्शाया जा सकता है, $i < j$ के लिए अनुकूलता संबंधों $x_{i}\equiv x_{j}~(\operatorname {mod} p^{i})$ को संतुष्ट करता है।

प्रत्येक पूर्णांक एक $p$ -ऐडिक पूर्णांक होता है (शून्य सहित, चूंकि $0<\infty$ )। $p$ और $k\geq 0$ के साथ सह अभाज्य $d$ के साथ ${\textstyle {\tfrac {n}{d}}p^{k}}$ के रूप की परिमेय संख्याएँ भी $p$ -ऐडिक पूर्णांक हैं (इस कारण से कि $d$ में प्रत्येक $e$ के लिए व्युत्क्रम mod $p e$ है)।

वह $p$ -ऐडिक पूर्णांक एक क्रमविनिमेय वलय बनाते हैं, जिसे $\mathbb {Z} _{p}$ या $\mathbf {Z} _{p}$ से निरूपित किया जाता है , जिसके निम्नलिखित गुण हैं।

यह एक अभिन्न डोमेन है, क्योंकि यह एक क्षेत्र का उप वलय है, या दो गैर शून्य $p$ -एडिक श्रृंखला के उत्पाद की श्रृंखला के उत्पाद की श्रृंखला प्रतिनिधित्व का पहला पद उनके प्रथम पदों का गुणनफल है।
$\mathbb {Z} _{p}$ की इकाई (वलय थ्योरी) मूल्यांकन शून्य की $p$ -ऐडिक संख्याएं हैं।
यह एक प्रमुख आदर्श डोमेन है, जैसे कि प्रत्येक आदर्श $p$ (वलय थ्योरी) की घात द्वारा उत्पन्न होता है।
यह क्रुल आयाम वन का एक क्षेत्रीय वलय है, क्योंकि इसके एकमात्र प्रमुख आदर्श शून्य आदर्श हैं और $p$ द्वारा उत्पन्न आदर्श, अद्वितीय अधिकतम आदर्श।
यह एक असतत मूल्यांकन वलय है, क्योंकि यह पिछले गुणों से उत्पन्न होता है।
यह क्षेत्रीय वलय $\mathbb {Z} _{(p)}=\{{\tfrac {n}{d}}\mid n,d\in \mathbb {Z} ,\,d\not \in p\mathbb {Z} \},$ के वलय का समापन होना है, $\mathbb {Z}$ प्रधान आदर्श पर जो $p\mathbb {Z}$ का क्षेत्रीयकरण (कम्यूटेटिव बीजगणित) है।

अंतिम गुण $p$ -ऐडिक संख्याएँ की परिभाषा प्रदान करती है जो उपरोक्त के समतुल्य हैं: $p$ -ऐडिक संख्या का क्षेत्र $p$ द्वारा उत्पन्न प्रमुख आदर्श पर पूर्णांकों के क्षेत्रीयकरण के पूरा होने के अंशों का क्षेत्र है।

सामयिक गुण

$p$ -ऐडिक मूल्यांकन $p$ -एडिक संख्या पर पूर्ण मान (बीजगणित) को परिभाषित करने की अनुमति देता है: $p$ -ऐडिक पूर्ण मूल्य एक अशून्य $p$ -एडिक संख्या v का

$|x|_{p}=p^{-v_{p}(x)},$ है

जहां $v_{p}(x)$ $x$ का $p$ -ऐडिक मूल्यांकन है। $0$ का पूर्ण $p$ -ऐडिक मान $|0|_{p}=0$ है। यह एक पूर्ण मूल्य है जो प्रत्येक के लिए मजबूत त्रिभुज असमानता को संतुष्ट करता है चूँकि प्रत्येक $x$ और $y$ के लिए

$|x|_{p}=0$ अगर और केवल अगर $x=0;$
$|x|_{p}\cdot |y|_{p}=|xy|_{p}$ * $|x+y|_{p}\leq \max(|x|_{p},|y|_{p})\leq |x|_{p}+|y|_{p}$ है।

इसके अतिरिक्त, अगर $|x|_{p}\neq |y|_{p},$ किसी के पास $|x+y|_{p}=\max(|x|_{p},|y|_{p}).$

यह $p$ -ऐडिक संख्या को एक मापीय क्षेत्र बनाता है, और यहां तक कि एक अल्ट्रामेट्रिक स्पेस, $d_{p}(x,y)=|x-y|_{p}$ द्वारा परिभाषित $p$ -ऐडिक दूरी के साथ।

एक मापीय क्षेत्र के रूप में, $p$ -ऐडिक संख्याएँ p-ऐडिक पूर्ण मान से सुसज्जित परिमेय संख्याओं के समापन का निर्माण करती हैं। यह $p$ -एडिक संख्याओं को परिभाषित करने का एक और तरीका प्रदान करता है। तथापि, इस स्थिति में पूर्णता के सामान्य निर्माण को सरल बनाया जा सकता है, क्योंकि मापीय को असतत मूल्यांकन द्वारा परिभाषित किया गया है (संक्षेप में, कोई भी प्रत्येक कॉची अनुक्रम से एक अनुक्रम निकाल सकता है जैसे कि लगातार दो शब्दों के बीच के अंतरों में सख्ती से पूर्ण मूल्य घट रहे हैं ; इस तरह की अनुवर्तीता p-ऐडिक श्रृंखला के आंशिक योगों का क्रम है, और इस प्रकार अद्वितीय सामान्यीकृत p-ऐडिक श्रृंखला कॉची अनुक्रमों के प्रत्येक तुल्यता वर्ग से जुड़ी हो सकती है; इसलिए, पूर्णता के निर्माण के लिए, यह सामान्यीकृत विचार करने के लिए पर्याप्त है कॉची अनुक्रमों के तुल्यता वर्गों के बजाय $p$ -एडिक श्रृंखला)।

जैसा कि मापीय को असतत मूल्यांकन से परिभाषित किया गया है, प्रत्येक खुली गेंद भी बंद गेंद है। अधिक सटीक, खुली गेंद $B_{r}(x)=\{y\mid d_{p}(x,y)<r\}$ बंद गेंद $B_{p^{-v}}[x]=\{y\mid d_{p}(x,y)\leq p^{-v}\},$ के बराबर है, जहां $v$ ऐसा सबसे छोटा पूर्णांक है जैसे कि $p^{-v}<r$ । इसी प्रकार, $B_{r}[x]=B_{p^{-w}}(x),$ जहां $w$ सबसे बड़ा पूर्णांक है जैसे कि $p^{-w}>r.$

इसका तात्पर्य यह है कि $p$ -ऐडिक संख्या एक क्षेत्रीय रूप क्षेत्रीय रूप से सघन क्षेत्र बनाते हैं, और $p$ -ऐडिक पूर्णांक—अर्थात् बॉल $B_{1}[0]=B_{p}(0)$ - एक सघन जगह बनाते हैं।

मॉड्यूलर गुण

भागफल की अंगूठी $\mathbb {Z} _{p}/p^{n}\mathbb {Z} _{p}$ अंगूठी से पहचाना जा सकता है (गणित) $\mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z}$ पूर्णांकों का मॉड्यूलर अंकगणित $p^{n}.$ यह टिप्पणी करके दिखाया जा सकता है कि हर $p$ -ऐडिक पूर्णांक, इसके सामान्यीकृत द्वारा दर्शाया गया है $p$ -यानी, श्रृंखला, यह मॉड्यूल से मेल खाती है $p^{n}$ इसके आंशिक योग के साथ ${\textstyle \sum _{i=0}^{n-1}a_{i}p^{i},}$ जिसका मान अंतराल में एक पूर्णांक है $[0,p^{n}-1].$ एक सीधा सत्यापन दिखाता है कि यह वलय समरूपता को परिभाषित करता है $\mathbb {Z} _{p}/p^{n}\mathbb {Z} _{p}$ को $\mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} .$ छल्लों की व्युत्क्रम सीमा $\mathbb {Z} _{p}/p^{n}\mathbb {Z} _{p}$ अनुक्रमों द्वारा गठित वलय के रूप में परिभाषित किया गया है $a_{0},a_{1},\ldots$ ऐसा है कि $a_{i}\in \mathbb {Z} /p^{i}\mathbb {Z}$ और ${\textstyle a_{i}\equiv a_{i+1}{\pmod {p^{i}}}}$ हरएक के लिए $i$ .

मानचित्रण जो एक सामान्यीकृत $p$ -ऐडिक श्रृंखला को उसके आंशिक योगों के अनुक्रम में मानचित्रित करती है, वह $\mathbb {Z} _{p}$ से $\mathbb {Z} _{p}/p^{n}\mathbb {Z} _{p}$ की व्युत्क्रम सीमा तक एक वलय समाकृतिकता है। यह $p$ -ऐडिक पूर्णांक (एक समाकृतिकता तक) को परिभाषित करने का एक और तरीका प्रदान करता है।

$p$ -ऐडिक पूर्णांकों की यह परिभाषा विशेष रूप से व्यावहारिक संगणनाओं के लिए उपयोगी है, क्योंकि $p$ -ऐडिक पूर्णांकों को क्रमबद्ध सन्निकटन द्वारा बनाने की अनुमति है।

उदाहरण के लिए, पूर्णांक के $p$ -ऐडिक (गुणात्मक) व्युत्क्रम की गणना के लिए, न्यूटन की विधि का उपयोग किया जा सकता है, जो व्युत्क्रम मॉड्यूलो $p$ से आरंभ होता है; फिर, प्रत्येक न्यूटन कदम व्युत्क्रम मॉड्यूलो ${\textstyle p^{n}}$ से व्युत्क्रम मॉड्यूलो ${\textstyle p^{n^{2}}}$ की गणना करता है।

उसी विधि का उपयोग एक पूर्णांक के $p$ -ऐडिक वर्गमूल की गणना के लिए किया जा सकता है जो एक द्विघात अवशेष मॉड्यूलो $p$ है। यह परीक्षण के लिए सबसे तेज़ ज्ञात विधि प्रतीत होती है कि क्या एक बड़ा पूर्णांक एक वर्ग है: यह परीक्षण करने के लिए पर्याप्त है कि क्या दिया गया पूर्णांक $\mathbb {Z} _{p}/p^{n}\mathbb {Z} _{p}$ में पाए जाने वाले मान का वर्ग है या नहीं। वर्गमूल ज्ञात करने के लिए न्यूटन की विधि को लागू करने के लिए ${\textstyle p^{n}}$ को दिए गए पूर्णांक के दोगुने से बड़ा होना आवश्यक है, जो जल्दी संतुष्ट हो जाता है।

हेंसल उठाना एक ऐसी ही विधि है जो $n$ के बड़े मूल्यों के लिए पूर्णांक गुणांक वाले बहुपद के गुणनखंड मॉड्यूल ${\textstyle p^{n}}$ को "उठाने" की अनुमति देती है। यह आमतौर पर बहुपद गुणनखंड कलन विधि द्वारा उपयोग किया जाता है।

संकेतन

$p$ -ऐडिक विस्तार लिखने के लिए कई अलग-अलग सम्मेलन हैं। अभी तक इस लेख में $p$ -ऐडिक विस्तार के लिए एक अंकन का उपयोग किया गया है जिसमें $p$ की घातांक दाएँ से बाएँ बढ़ती हैं। इस दाएं-से-बाएं अंकन के साथ 1⁄5 का 3-एडिक विस्तार , उदाहरण के लिए,

{\dfrac {1}{5}}=\dots 121012102_{3}

के रूप में लिखा गया है।

इस संकेतन में अंकगणित करते समय, अंकों को बाईं ओर ले जाया जाता है। $p$ -ऐडिक विस्तार लिखना भी संभव है ताकि $p$ की शक्तियाँ बाएँ से दाएँ बढ़ता है, और अंकों को दाईं ओर ले जाए जाते हैं। इस बाएँ से दाएँ संकेतन के साथ 1⁄5 का 3-ऐडिक विस्तार है -

{\dfrac {1}{5}}=2.01210121\dots _{3}{\mbox{ or }}{\dfrac {1}{15}}=20.1210121\dots _{3}.

$p$ -ऐडिक विस्तार को {0, 1, ..., $p - 1$ } के बजाय हस्ताक्षरित अंकों के प्रतिनिधित्व के साथ लिखा जा सकता है। उदाहरण के लिए, ¹/₅ का 3-एडिक विस्तार को संतुलित त्रिअंकीय अंकों {1,0,1} का उपयोग करके लिखा जा सकता है

{\dfrac {1}{5}}=\dots {\underline {1}}11{\underline {11}}11{\underline {11}}11{\underline {1}}_{\text{3}}.

वास्तव में $p$ पूर्णांक का कोई समुच्चय जो अलग-अलग अवशेष वर्ग मॉड्यूलो $p$ में हैं, उन्हें $p$ -ऐडिक अंकों के रूप में उपयोग किया जा सकता है। संख्या सिद्धांत में, टीकमुलर प्रतिनिधियों को कभी-कभी अंकों के रूप में उपयोग किया जाता है।^[3]

उद्धरण संकेतन परिमेय संख्याओं के $p$ -ऐडिक का एक प्रकार है जिसे 1979 में एरिक हेनर और निगेल हॉर्सपूल द्वारा कंप्यूटर पर इन संख्याओं के साथ (सटीक) अंकगणित को लागू करने के लिए प्रस्तावित किया गया था।^[4]

गणनांक

दोनों $\mathbb {Z} _{p}$ और $\mathbb {Q} _{p}$ अगणनीय हैं और सातत्य का गणनांक रखते हैं।^[5] $\mathbb {Z} _{p}$ के लिए यह $p$ -ऐडिक निरूपण का परिणाम है, जो घात समुच्चय $\{0,\ldots ,p-1\}^{\mathbb {N} }$ पर $\mathbb {Z} _{p}$ के आक्षेप (बायजेस्टियन) को परिभाषित करता है। $\mathbb {Q} _{p}$ के लिए यह $\mathbb {Z} _{p}$ की प्रतियों के अनगिनत अनंत संघ (समुच्चय सिद्धांत) के रूप में अपनी अभिव्यक्ति से परिणाम देता है :

\mathbb {Q} _{p}=\bigcup _{i=0}^{\infty }{\frac {1}{p^{i}}}\mathbb {Z} _{p}.

बीजगणितीय समापन

$Q p$ में $Q$ होता है और यह विशेषता $0$ का क्षेत्र है (बीजगणित)।

क्योंकि $0$ को वर्गों के योग के रूप में लिखा जा सकता है,^[6] $Q p$ को क्रमवार क्षेत्र में नहीं बदला जा सकता।

$R$ में केवल एक उचित बीजगणितीय विस्तार है: $C$ ; दूसरे शब्दों में, यह द्विघात विस्तार पहले से ही बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र है। इसके विपरीत, का बीजगणितीय समापन $Q p$ , निरूपित ${\overline {\mathbf {Q} _{p}}},$ अनंत डिग्री है,^[7] वह है, $Q p$ के असीम रूप से कई असमान बीजगणितीय विस्तार हैं। वास्तविक संख्याओं के स्थिति के विपरीत भी, तथापि इसका एक अनूठा विस्तार है $p$ -ऐडिक मूल्यांकन करने के लिए ${\overline {\mathbf {Q} _{p}}},$ उत्तरार्द्ध (मापीय रूप से) पूर्ण नहीं है।^[8]^[9] इसकी (मापीय) समापन कहलाती है $C p$ या $Ω p$ .^[9]^[10] यहाँ एक अंत तक पहुँच गया है, के रूप में $C p$ बीजगणितीय रूप से बंद है।^[9]^[11] तथापि इसके विपरीत $C$ यह क्षेत्र क्षेत्रीय रूप से कॉम्पैक्ट नहीं है।^[10]

$C p$ और $C$ वलय के रूप में समरूपी हैं, इसलिए हम $C p$ को एक विदेशी मापीय के साथ संपन्न $C$ के रूप में मान सकते हैं। इस तरह के क्षेत्र समरूपता के अस्तित्व का प्रमाण पसंद के स्वयंसिद्ध पर निर्भर करता है, और इस तरह के समरूपता का एक स्पष्ट उदाहरण प्रदान नहीं करता है (अर्थात, यह रचनात्मक प्रमाण नहीं है)।

अगर $K$ $Q p$ का परिमित गाल्वा विस्तार है, तो गाल्वा समूह $\operatorname {Gal} \left(\mathbf {K} /\mathbf {Q} _{p}\right)$ हल करने योग्य समूह है। इस प्रकार, गैलोज़ समूह $\operatorname {Gal} \left({\overline {\mathbf {Q} _{p}}}/\mathbf {Q} _{p}\right)$ साध्य है।

गुणक समूह

$Q p$ में $n$ -वां चक्रवातीय क्षेत्र ( $n > 2$ ) होता है यदि और केवल यदि $n | p - 1$ ।^[12] उदाहरण के लिए, $n$ -वाँ चक्रवातीय क्षेत्र $Q 13$ का एक उपक्षेत्र है अगर और केवल अगर $n = 1, 2, 3, 4, 6$ , या $12$ । विशेष रूप से, $Q p$ में कोई $p$ -मरोड़ (बीजगणित) गुणक नहीं है, अगर $p > 2$ । साथ ही, $Q 2$ में एकमात्र असतहीय मरोड़ तत्व $-1$ है।

एक प्राकृतिक संख्या $k$ दी गई है, $Q p$ में $\mathbf {Q} _{p}^{\times }$ के अशून्य तत्वों के $k$ -वें घात के गुणक समूह का सूचकांक (समूह सिद्धांत) परिमित है।

क्रमगुणितअ के व्युत्क्रम के योग के रूप में परिभाषित संख्या $e$ , किसी भी $p$ -ऐडिक क्षेत्र का सदस्य नहीं है; लेकिन $e p \in Q p (p \neq 2)$ । $p = 2$ के लिए व्यक्ति को कम से कम चौथा घात लेना चाहिए।^[13] (इस प्रकार $e$ के समान गुणों वाली एक संख्या - अर्थात् $e p$ की $p$ -वीं जड़ — सभी $p$ के लिए ${\overline {\mathbf {Q} _{p}}}$ का सदस्य है।)

क्षेत्रीय-वैश्विक सिद्धांत

हेल्मुट हास के क्षेत्रीय-वैश्विक सिद्धांत को एक समीकरण के लिए धारण करने के लिए कहा जाता है यदि इसे परिमेय संख्याओं पर हल किया जा सकता है यदि और केवल वास्तविक संख्याओं पर और प्रत्येक अभाज्य $p$ के लिए $p$ -ऐडिक संख्याओं पर इसे हल किया जा सकता है। यह सिद्धांत, उदाहरण के लिए, द्विघात रूपों द्वारा दिए गए समीकरणों के लिए है, लेकिन कई अनिश्चितताओं में उच्च बहुपदों के लिए विफल रहता है।

हेन्सेल लिफ्टिंग के साथ परिमेय अंकगणित

सामान्यीकरण और संबंधित सिद्धांतएं

वास्तविक और $p$ -ऐडिक संख्याएँ परिमेय संख्याओं की समापनएँ हैं; यह अन्य क्षेत्रों को समापन करना भी संभव है, उदाहरण के लिए समवृत्तिक से सामान्य बीजगणितीय संख्या क्षेत्र। यह अब वर्णित किया जाएगा।

मान लीजिए कि D एक डेडेकिंड डोमेन है और E इसके अंशों का क्षेत्र है। D के अशून्य अभाज्य अनुकूल P को चुनें। यदि x E का अशून्य तत्व है, तो xD एक आंशिक आदर्श है और इसे D के अशून्य अभाज्य आदर्शों की धनात्मक और ऋणात्मक घात के उत्पाद के रूप में विशिष्ट रूप से तथ्यपूर्ण बनाया जा सकता है। हम इस गुणनखंड में P के घातांक के लिए ordP(x) लिखते हैं, और 1 से बड़ी संख्या c के किसी भी विकल्प के लिए हम

|x|_{P}=c^{-\!\operatorname {ord} _{P}(x)}

निर्धारित कर सकते हैं।

इस पूर्ण मान | . |_P के संबंध में समापन करने से क्षेत्र E_P प्राप्त होता है, इस समायोजना के लिए p-ऐडिक संख्याओं के क्षेत्र का उचित सामान्यीकरण। c का चुनाव समापन को नहीं बदलता है (विभिन्न विकल्पों से कॉची अनुक्रम की समान सिद्धांत प्राप्त होती है, इसलिए वही समापन है)। यह सुविधाजनक है, जब अवशेष क्षेत्र D/P सीमित है, D/P के आकार को c के लिए लेना।

उदाहरण के लिए, जब E एक संख्या क्षेत्र है, ओस्ट्रोव्स्की के प्रमेय का कहना है कि E पर प्रत्येक असतहीय गैर-आर्किमिडीयन पूर्ण मूल्य कुछ | . |_P. के रूप में उत्पन्न होता है। ई पर शेष असतहीय पूर्ण मान E के विभिन्न अंतःस्थापन से वास्तविक या जटिल संख्याओं में उत्पन्न होते हैं। (वास्तव में, गैर-आर्किमिडीयन पूर्ण मानों को क्षेत्र 'c_p' में E के विभिन्न अंतःस्थापन के रूप में माना जा सकता है, इस प्रकार सामान्य आधार पर किसी संख्या क्षेत्र के सभी असतहीय पूर्ण मूल्यों का विवरण डालते हैं।)

जब E एक संख्या क्षेत्र (या अधिक आम तौर पर एक वैश्विक क्षेत्र) होता है, जिन्हें "क्षेत्रीय" सूचना के कूटलेखन के रूप में देखा जाता है, तो प्रायः, एक व्यक्ति को उपरोक्त सभी समापन की समकालिकत ध्यान रखने की आवश्यकता है। यह एडेल वलय्स और आइडल समूहों द्वारा पूरा किया जाता है।

p-ऐडिक पूर्णांकों को p-ऐडिक परिनालिका $\mathbb {T} _{p}$ तक विस्तारित किया जा सकता है। $\mathbb {T} _{p}$ से एक मानचित्र है वृत्त समूह के लिए जिसके तंतु p-ऐडिक पूर्णांक $\mathbb {Z} _{p}$ हैं, सादृश्य में $\mathbb {R}$ से उस वृत्त तक का मानचित्र कैसे है जिसके तंतु $\mathbb {Z}$ हैं।

यह भी देखें

गैर-अभिलेखागार
पी-एडिक क्वांटम यांत्रिकी
पी-एडिक हॉज सिद्धांत
पी-एडिक टेचमुलर थ्योरी
पी-एडिक विश्लेषण
1 + 2 + 4 + 8 + ...
विशेषण संख्या | k-adic संकेतन
सी-न्यूनतम सिद्धांत
हेंसल की लेम्मा
स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट क्षेत्र
महलर की प्रमेय
अनंत पूर्णांक
Volkenborn अभिन्न

फुटनोट्स

उद्धरण

↑ (Gouvêa 1994, pp. 203–222)
↑ (Hensel 1897)
↑ (Hazewinkel 2009, p. 342)
↑ (Hehner & Horspool 1979, pp. 124–134)
↑ (Robert 2000, Chapter 1 Section 1.1)
↑ According to Hensel's lemma $Q 2$ contains a square root of $-7$ , so that $2^{2}+1^{2}+1^{2}+1^{2}+\left({\sqrt {-7}}\right)^{2}=0,$ and if $p > 2$ then also by Hensel's lemma $Q p$ contains a square root of $1 - p$ , thus $(p-1)\times 1^{2}+\left({\sqrt {1-p}}\right)^{2}=0.$
↑ (Gouvêa 1997, Corollary 5.3.10)
↑ (Gouvêa 1997, Theorem 5.7.4)
↑ ^9.0 ^9.1 ^9.2 (Cassels 1986, p. 149)
↑ ^10.0 ^10.1 (Koblitz 1980, p. 13)
↑ (Gouvêa 1997, Proposition 5.7.8)
↑ (Gouvêa 1997, Proposition 3.4.2)
↑ (Robert 2000, Section 4.1)

संदर्भ

Cassels, J. W. S. (1986), Local Fields, London Mathematical Society Student Texts, vol. 3, Cambridge University Press, ISBN 0-521-31525-5, Zbl 0595.12006
Dedekind, Richard; Weber, Heinrich (2012), Theory of Algebraic Functions of One Variable, History of mathematics, vol. 39, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-8330-3. — Translation into English by John Stillwell of Theorie der algebraischen Functionen einer Veränderlichen (1882).
Gouvêa, F. Q. (March 1994), "A Marvelous Proof", American Mathematical Monthly, 101 (3): 203–222, doi:10.2307/2975598, JSTOR 2975598
Gouvêa, Fernando Q. (1997), p-adic Numbers: An Introduction (2nd ed.), Springer, ISBN 3-540-62911-4, Zbl 0874.11002
Hazewinkel, M., ed. (2009), Handbook of Algebra, vol. 6, North Holland, p. 342, ISBN 978-0-444-53257-2
Hehner, Eric C. R.; Horspool, R. Nigel (1979), "A new representation of the rational numbers for fast easy arithmetic", SIAM Journal on Computing, 8 (2): 124–134, CiteSeerX 10.1.1.64.7714, doi:10.1137/0208011
Hensel, Kurt (1897), "Über eine neue Begründung der Theorie der algebraischen Zahlen", Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, 6 (3): 83–88
Kelley, John L. (2008) [1955], General Topology, New York: Ishi Press, ISBN 978-0-923891-55-8
Koblitz, Neal (1980), p-adic analysis: a short course on recent work, London Mathematical Society Lecture Note Series, vol. 46, Cambridge University Press, ISBN 0-521-28060-5, Zbl 0439.12011
Robert, Alain M. (2000), A Course in p-adic Analysis, Springer, ISBN 0-387-98669-3

अग्रिम पठन

Bachman, George (1964), Introduction to p-adic Numbers and Valuation Theory, Academic Press, ISBN 0-12-070268-1
Borevich, Z. I.; Shafarevich, I. R. (1986), Number Theory, Pure and Applied Mathematics, vol. 20, Boston, MA: Academic Press, ISBN 978-0-12-117851-2, MR 0195803
Koblitz, Neal (1984), p-adic Numbers, p-adic Analysis, and Zeta-Functions, Graduate Texts in Mathematics, vol. 58 (2nd ed.), Springer, ISBN 0-387-96017-1
Mahler, Kurt (1981), p-adic numbers and their functions, Cambridge Tracts in Mathematics, vol. 76 (2nd ed.), Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-23102-7, Zbl 0444.12013
Steen, Lynn Arthur (1978), Counterexamples in Topology, Dover, ISBN 0-486-68735-X

बाहरी संबंध

Weisstein, Eric W. "p-adic Number". MathWorld.
p-ऐडिक number at Springer On-line Encyclopaedia of Mathematics
Completion of Algebraic Closure – on-line lecture notes by Brian Conrad
An Introduction to p-ऐडिक Numbers and p-ऐडिक Analysis - on-line lecture notes by Andrew Baker, 2007
Efficient p-ऐडिक arithmetic (slides)
Introduction to p-ऐडिक numbers
Houston-Edwards, Kelsey (October 19, 2020), An Infinite Universe of Number Systems, Quanta Magazine

[3] Translator's introduction, page 35: "Indeed, with hindsight it becomes apparent that a discrete valuation is behind Kummer's concept of ideal numbers."(Dedekind & Weber 2012, p. 35)

[1] (Gouvêa 1994, pp. 203–222)

[2] (Hensel 1897)

[4] (Hazewinkel 2009, p. 342)

[5] (Hehner & Horspool 1979, pp. 124–134)

[6] (Robert 2000, Chapter 1 Section 1.1)

[7] According to Hensel's lemma $Q 2$ contains a square root of $-7$ , so that $2^{2}+1^{2}+1^{2}+1^{2}+\left({\sqrt {-7}}\right)^{2}=0,$ and if $p > 2$ then also by Hensel's lemma $Q p$ contains a square root of $1 - p$ , thus $(p-1)\times 1^{2}+\left({\sqrt {1-p}}\right)^{2}=0.$

[8] (Gouvêa 1997, Corollary 5.3.10)

[9] (Gouvêa 1997, Theorem 5.7.4)

[C149-10] 9.0 ^9.1 ^9.2 (Cassels 1986, p. 149)

[K13-11] 10.0 ^10.1 (Koblitz 1980, p. 13)

[12] (Gouvêa 1997, Proposition 5.7.8)

[13] (Gouvêa 1997, Proposition 3.4.2)

[14] (Robert 2000, Section 4.1)

[1]

[2]

[note 1]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

v t e संख्या प्रणाली
गणना योग्य सेट	प्राकृतिक संख्या ( $\mathbb {N}$ ) पूर्णांक ( $\mathbb {Z}$ ) तर्कसंगत संख्या ( $\mathbb {Q}$ ) निर्माण योग्य संख्या बीजगणितीय संख्या ( $\mathbb {A}$ ) अवधि कम्प्यूटेबल नंबर अंकगणितीय संख्या सेट-सिद्धांत रूप से निश्चित संख्या गाऊसी पूर्णांक
रचना बीजगणित	विभाजन बीजगणित: वास्तविक संख्या ( $\mathbb {R}$ ) जटिल संख्या ( $\mathbb {C}$ ) चतुर्भुज ( $\mathbb {H}$ ) ऑक्टोनियन ( $\mathbb {O}$ )
विभाजित करना प्रकार	ऊपर $\mathbb {R}$ : स्प्लिट-कॉम्प्लेक्स नंबर स्प्लिट-क्वैटरन स्प्लिट-फैक्टियन ऊपर $\mathbb {C}$ : $\mathbb {C}$ : BICOMPLEX नंबर Biquaternion Bioctonion
अन्य हाइपरकम्प्लेक्स	दोहरी संख्या दोहरी चतुर्भुज दोहरी-कॉम्प्लेक्स नंबर हाइपरबोलिक चतुर्भुज सेडेनियन ( $\mathbb {S}$ ) स्प्लिट-ब्यूकटरन मल्टीकोम्प्लेक्स नंबर ज्यामितीय बीजगणित/क्लिफोर्ड बीजगणित भौतिक अंतरिक्ष का बीजगणित स्पेसटाइम बीजगणित
अन्य प्रकार	बुनियादी संख्या विस्तारित प्राकृतिक संख्या अपरिमेय संख्या फजी नंबर हाइपरियल नंबर लेवी-सिविटा फील्ड असली संख्या ट्रांसेंडेंटल नंबर क्रमसूचक संख्या [[पी-एडिक नंबर \|p-adicसंख्या]]p-adicसोलेनोइड्स]] अलौकिक संख्या सुपररेल नंबर सामान्य संख्या बंद-फॉर्म नंबर
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Contents

परिमेय संख्याओं का p-ऐडिक विस्तार

उदाहरण

p-ऐडिक सीरीज

स्थितीय संकेतन

परिभाषा

पी-एडिक पूर्णांक

सामयिक गुण

मॉड्यूलर गुण

संकेतन

गणनांक

बीजगणितीय समापन

गुणक समूह

क्षेत्रीय-वैश्विक सिद्धांत

हेन्सेल लिफ्टिंग के साथ परिमेय अंकगणित

सामान्यीकरण और संबंधित सिद्धांतएं

यह भी देखें

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@@ Line 1: / Line 1: @@
 {{short description|Number system for a prime p which extends the rationals, defining closeness differently}}
 {{DISPLAYTITLE:''p''-adic number}}
-[[Image:3-adic integers with dual colorings.svg|thumb|3-एडिक पूर्णांक, उनके पोंट्रीगिन दोहरे समूह पर चयनित संबंधित वर्णों के साथ]]गणित में, द{{mvar|p}}-ऐडिक संख्या प्रणाली किसी भी [[अभाज्य संख्या]] के लिए{{mvar|p}} परिमेय [[संख्या प्रणाली]] के विस्तार से लेकर [[वास्तविक संख्या]] और [[जटिल संख्या]] प्रणाली तक परिमेय संख्याओं के सामान्य [[अंकगणित]] को एक अलग तरीके से विस्तारित करता है। निकटता या पूर्ण मूल्य की अवधारणा की वैकल्पिक व्याख्या के द्वारा विस्तार प्राप्त किया जाता है। विशेष रूप से, दो {{mvar|p}}-एडिक नंबरों को करीब माना जाता है जब उनका अंतर उच्च [[घातांक]] से वि[[भाज्य]] होता है {{mvar|p}}: शक्ति जितनी अधिक होती है, वे उतने ही निकट होते हैं। यह गुण सक्षम बनाता है {{mvar|p}}-ऐडिक नंबर [[मॉड्यूलर अंकगणित]]ीय जानकारी को इस तरह से एनकोड करने के लिए जो [[संख्या सिद्धांत]] में शक्तिशाली अनुप्रयोगों के रूप में निकलता है - उदाहरण के लिए, [[एंड्रयू विल्स]] द्वारा फर्मेट के अंतिम प्रमेय के फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय के विल्स के प्रमाण में शामिल है।<ref>{{Harv|Gouvêa|1994|pp=203–222}}</ref>
+गणित में, किसी भी [[अभाज्य संख्या]] {{mvar|p}} के लिए {{mvar|p}}-ऐडिक संख्या प्रणाली, परिमेय [[संख्या प्रणाली]] के [[वास्तविक संख्या|वास्तविक]] और [[जटिल संख्या]] प्रणाली के विस्तार से भिन्न तरीके से परिमेय संख्याओं के सामान्य [[अंकगणित]] का विस्तार करती है। विस्तार "निकटता" या पूर्ण मूल्य के सिद्धांत के वैकल्पिक व्याख्या द्वारा प्राप्त किया जाता है। विशेष रूप से, दो {{mvar|p}}-एडिक संख्याओं को पास माना जाता है जब उनका अंतर {{mvar|p}} की उच्च [[घातांक]] से वि[[भाज्य]] होता है: घात जितनी अधिक होती है, वे उतने ही निकट होते हैं। यह गुण {{mvar|p}}-ऐडिक संख्याओं को [[मॉड्यूलर अंकगणित|सर्वांगसमता]] की जानकारी को इस तरह से सांकेतिक करने में सक्षम बनाता है जो [[संख्या सिद्धांत]] में शक्तिशाली अनुप्रयोगों के रूप में सामने आता है - उदाहरण के लिए, [[एंड्रयू विल्स]] द्वारा फर्मेट के अंतिम प्रमेय के प्रमाण समिलित है।<ref>{{Harv|Gouvêa|1994|pp=203–222}}</ref>
-इन नंबरों को सबसे पहले 1897 में [[कर्ट हेन्सेल]] द्वारा वर्णित किया गया था,<ref>{{Harv|Hensel|1897}}</ref> हालांकि, पूर्व दृष्टि से, अर्नस्ट कुमेर|अर्नस्ट कुमेर के पहले के कुछ कार्यों की व्याख्या अप्रत्यक्ष रूप से निम्नलिखित का उपयोग करके की जा सकती है: {{mvar|p}}-एडिक नंबर।<ref group="note">Translator's introduction, [https://books.google.com/books?id=Qxte2mhlEOYC&pg=PA35 page 35]: "Indeed, with hindsight it becomes apparent that a [[discrete valuation]] is behind Kummer's concept of ideal numbers."{{Harv|Dedekind|Weber|2012|p=35}}</ref>  {{mvar|p}|p}}-ऐडिक संख्याएँ मुख्य रूप से संख्या सिद्धांत में शक्ति श्रृंखला विधियों के विचारों और तकनीकों को लाने के प्रयास से प्रेरित थीं। उनका प्रभाव अब इससे कहीं आगे बढ़ गया है। उदाहरण के लिए, पी-एडिक विश्लेषण का क्षेत्र|{{mvar|p}}-ऐडिक विश्लेषण अनिवार्य रूप से कलन का एक वैकल्पिक रूप प्रदान करता है।
+इन संख्याओं को पहली बार 1897 में [[कर्ट हेन्सेल]] द्वारा वर्णित किया गया था,<ref>{{Harv|Hensel|1897}}</ref> तथापि, पूर्व दृष्टि से, अर्न्स्ट कुमेर के पहले के कुछ कार्यों को {{mvar|p}}-एडिक संख्याओं का उपयोग करते हुए स्पष्ट रूप से व्याख्या की जा सकती है।<ref group="note">Translator's introduction, [https://books.google.com/books?id=Qxte2mhlEOYC&pg=PA35 page 35]: "Indeed, with hindsight it becomes apparent that a [[discrete valuation]] is behind Kummer's concept of ideal numbers."{{Harv|Dedekind|Weber|2012|p=35}}</ref>  {{mvar|p}}-ऐडिक संख्याएँ मुख्य रूप से संख्या सिद्धांत में घात श्रेणी विधियों के विचारों और तकनीकों को लाने के प्रयास से अभिप्रेरित थीं। उनका प्रभाव अब इससे कहीं आगे बढ़ गया है। उदाहरण के लिए, {{mvar|p}}-ऐडिक विश्लेषण का क्षेत्र विश्लेषण अनिवार्य रूप से कलन (कैलकुलस) का वैकल्पिक रूप प्रदान करता है।
 {{Ring theory sidebar}}
-अधिक औपचारिक रूप से, किसी दिए गए प्राइम के लिए{{mvar|p}}, [[क्षेत्र (गणित)]] {{math|'''Q'''<sub>''p''</sub>}} का {{mvar|p}}-ऐडिक संख्याएँ परिमेय संख्याओं का एक पूर्ण स्थान है। फील्ड {{math|'''Q'''<sub>''p''</sub>}} को [[ मीट्रिक स्थान ]] से प्राप्त एक [[टोपोलॉजिकल स्पेस]] भी दिया जाता है, जो स्वयं पी-एडिक ऑर्डर से प्राप्त होता है|{{math|''p''}}-ऐडिक क्रम, परिमेय संख्याओं पर एक वैकल्पिक [[मूल्यांकन (बीजगणित)]]। यह मीट्रिक स्थान इस अर्थ में [[पूर्णता (टोपोलॉजी)|समापन (टोपोलॉजी)]] है कि प्रत्येक [[कॉची अनुक्रम]] [[अभिसरण अनुक्रम]] को एक बिंदु में जोड़ता है {{math|'''Q'''<sub>''p''</sub>}}. यह वह है जो कलन के विकास की अनुमति देता है {{math|'''Q'''<sub>''p''</sub>}}, और यह इस विश्लेषणात्मक और [[बीजगणितीय ज्यामिति]] संरचना की परस्पर क्रिया है जो देता है {{mvar|p}}-ऐडिक संख्या प्रणालियाँ उनकी शक्ति और उपयोगिता। वह {{mvar|p}} में{{mvar|p}}-एडिक एक वेरिएबल (गणित) है और इसे एक प्राइम (उपज, उदाहरण के लिए, 2-एडिक नंबर) या एक अन्य [[अभिव्यक्ति (गणित)]] के साथ बदला जा सकता है जो प्राइम नंबर का प्रतिनिधित्व करता है। का एडिक{{mvar|p}}-ऐडिक शब्दों में पाए जाने वाले अंत से आता है जैसे कि [[डाइएडिक अंश]] या [[ त्रिक संबंध ]]।
+अधिक औपचारिक रूप से, किसी दिए गए अभाज्य {{mvar|p}} के लिए, {{mvar|p}}-ऐडिक संख्याओं का [[क्षेत्र (गणित)]] {{math|'''Q'''<sub>''p''</sub>}} परिमेय संख्याओं का पूरा होना है। क्षेत्र {{math|'''Q'''<sub>''p''</sub>}} को [[ मीट्रिक स्थान |मापीय]] से प्राप्त एक [[टोपोलॉजिकल स्पेस|सांस्थिति]] भी दी गई है, जो स्वयं {{math|''p''}}-ऐडिक क्रम से ली गई है, जो परिमेय संख्याओं पर एक वैकल्पिक [[मूल्यांकन (बीजगणित)]] है। यह मापीय क्षेत्र इस अर्थ में पूर्ण है कि प्रत्येक [[कॉची अनुक्रम]] {{math|'''Q'''<sub>''p''</sub>}} में एक बिंदु पर [[अभिसरण अनुक्रम|अभिसरण]] करते है। यह वह है जो {{math|'''Q'''<sub>''p''</sub>}} पर कलन के विकास की अनुमति देता है, और यह विश्लेषणात्मक और [[बीजगणितीय ज्यामिति]] संरचना की परस्पर क्रिया है जो {{mvar|p}}-ऐडिक संख्या प्रणालियाँ को उनकी शक्ति और उपयोगिता देता है।
+{{mvar|p}}-एडिक में {{mvar|p}} एक परिवर्तनशील (गणित) है और इसे अभाज्य (समर्पण, उदाहरण के लिए, 2-एडिक संख्या) या अभाज्य संख्या का प्रतिनिधित्व करने वाली दूसरी [[अभिव्यक्ति (गणित)|अभिव्यक्ति]] के साथ प्रतिस्थापित किया जा सकता है।  "{{mvar|p}}-ऐडिक" का "एडिक" [[डाइएडिक अंश|डाइएडिक]] या [[ त्रिक संबंध |ट्रायडिक]] जैसे शब्दों के अंत में पाए जाने वाले शब्द से आता है।
 == परिमेय संख्याओं का p-ऐडिक विस्तार ==
-एक धनात्मक परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार <math>r</math> एक [[श्रृंखला (गणित)]] के रूप में इसका प्रतिनिधित्व है
+एक धनात्मक परिमेय संख्या <math>r</math> का दशमलव प्रसार [[श्रृंखला (गणित)]]
-:<math>r = \sum_{i=k}^\infty a_i 10^{-i},</math>
-कहाँ <math>k</math> एक पूर्णांक है और प्रत्येक <math>a_i</math> भी एक [[पूर्णांक]] है जैसे कि <math>0\le a_i <10.</math> इस विस्तार की गणना भाजक द्वारा अंश के दीर्घ विभाजन द्वारा की जा सकती है, जो स्वयं निम्नलिखित प्रमेय पर आधारित है: <math>r=\tfrac n d</math> एक परिमेय संख्या है जैसे कि <math>10^k\le r <10^{k+1},</math> एक पूर्णांक है <math>a</math> ऐसा है कि <math>0< a <10,</math> और <math>r = a\,10^k +r',</math> साथ <math>r'<10^k.</math> इस परिणाम को शेषफल पर बार-बार लागू करने से दशमलव प्रसार प्राप्त होता है <math>r'</math> जो पुनरावृति में मूल परिमेय संख्या की भूमिका ग्रहण करता है <math>r</math>. {{mvar|p}|p}}- एक परिमेय संख्या के आदिक विस्तार को इसी तरह परिभाषित किया गया है, लेकिन एक अलग विभाजन चरण के साथ। अधिक सटीक रूप से, एक निश्चित अभाज्य संख्या दी गई है <math>p</math>, प्रत्येक अशून्य परिमेय संख्या <math>r</math> के रूप में विशिष्ट रूप से लिखा जा सकता है <math>r=p^k\tfrac n d,</math> कहाँ <math>k</math> एक (संभवतः ऋणात्मक) पूर्णांक है, <math>n</math> और <math>d</math> सह अभाज्य पूर्णांक हैं दोनों सह अभाज्य हैं <math>p</math>, और <math>d</math> सकारात्मक है। पूर्णांक <math>k</math> है{{mvar|p}}-ऐडिक मूल्यांकन <math>r</math>, निरूपित <math>v_p(r),</math> और <math>p^{-k}</math> क्या ऐसी बात है{{mvar|p}}-ऐडिक निरपेक्ष मान, निरूपित <math>|r|_p</math> (मूल्यांकन बड़ा होने पर पूर्ण मूल्य छोटा होता है)। विभाजन चरण में लेखन शामिल है
+<math>r = \sum_{i=k}^\infty a_i 10^{-i},</math>
-:{{anchor|division_step}}<math>r = a\,p^k + r'</math>
-कहाँ <math>a</math> एक पूर्णांक ऐसा है <math>0\le a <p,</math> और <math>r'</math> या तो शून्य है, या एक परिमेय संख्या है जैसे कि <math>|r'|_p < p^{-k}</math> (वह है, <math>v_p(r')>k</math>). <math>p</math>वें>-ऐडिक विस्तार की <math>r</math> [[औपचारिक शक्ति श्रृंखला]] है
+के रूप में इसका निरूपण है जहाँ <math>k</math> एक पूर्णांक है और प्रत्येक <math>a_i</math> भी एक [[पूर्णांक]] है जैसे कि <math>0\le a_i <10</math>। इस विस्तार की गणना भाजक द्वारा अंश के दीर्घ विभाजन द्वारा की जा सकती है, जो स्वयं निम्नलिखित प्रमेय पर आधारित है: यदि  <math>r=\tfrac n d</math> एक परिमेय संख्या है जैसे कि <math>10^k\le r <10^{k+1},</math> <math>a</math> एक पूर्णांक है ऐसा कि <math>0< a <10,</math> और <math>r = a\,10^k +r',</math> साथ <math>r'<10^k</math>। इसे परिणाम को शेषफल <math>'r'</math> पर बार-बार लागू करने से दशमलव प्रसार प्राप्त होता है जो पुनरावृति में मूल परिमेय संख्या <math>r</math> की भूमिका कल्पित करता है।
-:<math>r = \sum_{i=k}^\infty a_i p^i</math>
-उत्तरोत्तर शेषफलों पर #विभाजन_चरण विभाजन चरण को अनिश्चित काल तक दोहराकर प्राप्त किया जाता है। में एक {{mvar|p}}-ऐडिक विस्तार, सब <math>a_i</math> ऐसे पूर्णांक हैं <math>0\le a_i <p.</math>
+परिमेय संख्या का {{mvar|p}}-ऐडिक विस्तार समान रूप से परिभाषित किया गया है, लेकिन भिन्न विभाजन चरण के साथ। अधिक सटीक रूप से, एक निश्चित अभाज्य संख्या <math>p</math> दी गई है, प्रत्येक अशून्य परिमेय संख्या <math>r</math> को विशिष्ट रूप से <math>r=p^k\tfrac n d,</math> के रूप में लिखा जा सकता है जहाँ <math>k</math> एक (संभवतः ऋणात्मक) पूर्णांक है, <math>n</math> और <math>d</math> सह अभाज्य पूर्णांक हैं, दोनों <math>p</math> के साथ सहअभाज्य हैं, और <math>d</math> धनात्मक है। पूर्णांक <math>k</math>, <math>r</math> का {{mvar|p}}-ऐडिक मूल्यांकन है, जिसे <math>v_p(r)</math> निरूपित किया गया है, और  <math>p^{-k}</math> इसका {{mvar|p}}-ऐडिक पूर्ण मान है, जिसे  <math>|r|_p</math> निरूपित किया गया है (मूल्यांकन बड़ा होने पर पूर्ण मूल्य छोटा होता है)। विभाजन चरण में
-अगर <math>r=p^k \tfrac n 1</math> साथ <math>n > 0</math>, प्रक्रिया अंततः शून्य शेष के साथ रुक जाती है; इस मामले में, श्रृंखला एक शून्य गुणांक के साथ अनुगामी शब्दों द्वारा पूरी की जाती है, और इसका प्रतिनिधित्व है <math>r</math> आधार-एन|आधार में-{{mvar|p}}.
+:<math>r = a\,p^k + r'</math>
+लिखना समिलित है जहाँ <math>a</math> एक पूर्णांक है जैसे कि <math>0\le a <p,</math> और <math>r'</math> या तो शून्य है, या एक परिमेय संख्या है जैसे कि <math>|r'|_p < p^{-k}</math> (अर्थात, <math>v_p(r')>k</math>)।
+<math>r</math> का <math>p</math>-ऐडिक विस्तार क्रमिक शेषफलों पर उपरोक्त विभाजन चरण को अनिश्चित काल तक दोहराकर प्राप्त की गई [[औपचारिक शक्ति श्रृंखला|औपचारिक]] [[घातांक]] श्रृंखला
+<math>r = \sum_{i=k}^\infty a_i p^i</math> है।
+एक {{mvar|p}}-ऐडिक प्रसार में, सभी <math>a_i</math> ऐसे पूर्णांक हैं कि <math>0\le a_i <p</math> ।
+यदि <math>n > 0</math> के साथ <math>r=p^k \tfrac n 1</math>, प्रक्रिया अंततः शून्य शेष के साथ रुक जाती है; इस स्थिति में, श्रृंखला एक शून्य गुणांक के साथ अनुगामी शब्दों द्वारा पूरी की जाती है, और आधार में-{{mvar|p}} में <math>r</math> का प्रतिनिधित्व है।
-अस्तित्व और गणना {{mvar|p}}-बेज़ाउट की पहचान से एक परिमेय संख्या के परिणामों का विस्तार निम्नलिखित तरीके से होता है। यदि ऊपर की तरह, <math>r=p^k \tfrac n d,</math> और <math>d</math> और <math>p</math> कोप्राइम हैं, वहाँ पूर्णांक मौजूद हैं <math>t</math> और <math>u</math> ऐसा है कि <math>t d+u p=1.</math> इसलिए
+परिमेय संख्या के {{mvar|p}}-ऐडिक विस्तार का अस्तित्व और संगणना निम्नलिखित तरीके से बेज़ाउट की पहचान से उत्पन्न होती है। यदि, ऊपर की तरह, <math>r=p^k \tfrac n d,</math> और <math>d</math> और <math>p</math> सहअभाज्य हैं, तो ऐसे पूर्णांक <math>t</math> और <math>u</math> उपस्थित  हैं कि <math>t d+u p=1</math>। इसलिए
 :<math>r=p^k \tfrac n d(t d+u p)=p^k n t + p^{k+1}\frac{u n}d.</math>
-फिर, का [[यूक्लिडियन विभाजन]] <math>n t</math> द्वारा <math>p</math> देता है
+फिर, <math>p</math> द्वारा <math>n t</math> का [[यूक्लिडियन विभाजन]] <math>0\le a <p</math> के साथ <math>n t=q p+a</math> देता है। यह विभाजन चरण को <math>\begin{array}{lcl}
-:<math>n t=q p+a,</math>
-साथ <math>0\le a <p.</math>
-यह विभाजन चरण को इस प्रकार देता है
-:<math>\begin{array}{lcl}
 r & = & p^k(q p+a) + p^{k+1}\frac {u n}d \\
 & = & a p^k +p^{k+1}\,\frac{q d+u n} d, \\
 \end{array}</math>
-ताकि पुनरावृत्ति में
-:<math>r' = p^{k+1}\,\frac{q d+u n} d</math>
-नई परिमेय संख्या है।
-विभाजन चरण और संपूर्ण की विशिष्टता {{mvar|p}}-ऐडिक विस्तार आसान है: अगर <math>p^k a_1 + p^{k+1}s_1=p^k a_2 + p^{k+1}s_2,</math> किसी के पास <math>a_1-a_2=p(s_2-s_1).</math> इसका मतलब यह है <math>p</math> विभाजित <math>a_1-a_2.</math> तब से <math>0\le a_1 <p</math> और <math>0\le a_2 <p,</math> निम्नलिखित सत्य होना चाहिए: <math>0\le a_1</math> और <math>a_2<p.</math> इस प्रकार, एक प्राप्त करता है <math>-p < a_1-a_2 < p,</math> और तबसे <math>p</math> विभाजित <math>a_1-a_2</math> यह वह होना चाहिए <math>a_1=a_2.</math>
+के रूप में देता है ताकि पुनरावृत्ति में <math>r' = p^{k+1}\,\frac{q d+u n} d</math>
+नई परिमेय संख्या हो।
- {{mvar|p}|p}}-एक परिमेय संख्या का आदिक विस्तार एक श्रृंखला है जो परिमेय संख्या में परिवर्तित होती है, यदि कोई [[अभिसरण श्रृंखला]] की परिभाषा को लागू करता है {{mvar|p}}-ऐडिक निरपेक्ष मूल्य।
+विभाजन चरण और संपूर्ण की विशिष्टता {{mvar|p}}-ऐडिक विस्तार आसान है: अगर <math>p^k a_1 + p^{k+1}s_1=p^k a_2 + p^{k+1}s_2,</math> किसी के पास <math>a_1-a_2=p(s_2-s_1)</math> है। इसका मतलब यह है <math>p</math>,  <math>a_1-a_2</math> को विभाजित करता है। चूंकि <math>0\le a_1 <p</math> और <math>0\le a_2 <p,</math> निम्नलिखित सत्य होना चाहिए: <math>0\le a_1</math> और <math>a_2<p</math>। इस प्रकार, <math>-p < a_1-a_2 < p</math> प्राप्त होता है और चूँकि  <math>p</math>,  <math>a_1-a_2</math> को विभाजित करता है, इसलिए यह <math>a_1=a_2</math> होना चाहिए।
-मानक में {{mvar|p}}-ऐडिक संकेतन, अंकों को उसी क्रम में लिखा जाता है जैसा कि स्थितीय संकेतन में होता है#अंक प्रणाली का आधार|मानक आधार-{{mvar|p}} प्रणाली, अर्थात् आधार की शक्तियों के बाईं ओर बढ़ने के साथ। इसका मतलब यह है कि अंकों का उत्पादन उल्टा हो जाता है और सीमा बाईं ओर होती है। वह {{mvar|p}}-परिमेय संख्या का विशेष विस्तार अंततः आवधिक कार्य है। [[बातचीत (तर्क)]], एक श्रृंखला <math display=inline>\sum_{i=k}^\infty a_i p^i,</math> साथ <math>0\le a_i <p</math> अभिसरण (के लिए {{mvar|p}}-ऐडिक निरपेक्ष मान) एक परिमेय संख्या के लिए [[अगर और केवल अगर]] यह अंततः आवधिक है; इस मामले में, श्रृंखला है {{mvar|p}}-उस परिमेय संख्या का आदिम विस्तार। [[गणितीय प्रमाण]] दोहराए जाने वाले दशमलव के समान परिणाम के समान है।
+परिमेय संख्या का {{mvar|p}}-ऐडिक विस्तार एक श्रृंखला है जो परिमेय संख्या में परिवर्तित होती है, यदि कोई {{mvar|p}}-ऐडिक पूर्ण मान के साथ [[अभिसरण श्रृंखला]] की परिभाषा को लागू करता है। मानक {{mvar|p}}-ऐडिक संकेतन में, अंकों को उसी क्रम में लिखा जाता है जैसे मानक आधार-{{mvar|p}} प्रणाली में, अर्थात् आधार की घात को बाईं ओर बढ़ाना। इसका मतलब यह है कि अंकों का उत्पादन उल्टा हो जाता है और सीमा बाईं ओर होती है।
+परिमेय संख्या का {{mvar|p}}-ऐडिक विस्तार अंततः आवधिक होता है। इसके विपरीत, <math>0\le a_i <p</math> के साथ श्रृंखला <math display="inline">\sum_{i=k}^\infty a_i p^i,</math> एक परिमेय संख्या में ({{mvar|p}}-ऐडिक पूर्ण मान के लिए) अभिसरण करती है यदि और केवल यदि यह अंततः आवधिक है; इस स्थिति में, श्रृंखला उस परिमेय संख्या का {{mvar|p}}-ऐडिक विस्तार है। प्रमाण दोहराए जाने वाले दशमलव के परिणाम के समान है।
 === उदाहरण ===
-आइए हम 5-एडिक विस्तार की गणना करें <math>\frac 13.</math> 5 के लिए बेज़ाउट की तत्समक और हर 3 है <math>2\cdot 3 + (-1)\cdot 5 =1</math> (बड़े उदाहरणों के लिए, इसकी गणना विस्तारित [[विस्तारित यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म]] साथ की जा सकती है)। इस प्रकार
+आइए हम <math>\frac 13</math> के 5-एडिक विस्तार की गणना करें।  विस्तार की गणना करें 5 के लिए बेज़ाउट की पहचान और भाजक 3  <math>2\cdot 3 + (-1)\cdot 5 =1</math> है (बड़े उदाहरणों के लिए, इसकी गणना विस्तारित [[विस्तारित यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म]] साथ की जा सकती है)। इस प्रकार
 :<math>\frac 13= 2-\frac 53.</math>
-अगले चरण के लिए, विभाजित करना होगा <math>-1/3</math> (अंश के अंश में कारक 5 को अंकगणितीय बदलाव के रूप में देखा जाना चाहिए {{mvar|p}}-ऐडिक मूल्यांकन, और इस प्रकार यह विभाजन में शामिल नहीं है)। बेज़ाउट की पहचान को इससे गुणा करना <math>-1</math> देता है
+अगले चरण के लिए, किसी को "विभाजित" करना होगा <math>-1/3</math> (भिन्न के अंश में गुणनखंड 5 को  {{mvar|p}}-ऐडिक मूल्यांकन के "शिफ्ट" के रूप में देखा जाना चाहिए, और इस प्रकार यह "विभाजन" में समिलित नहीं है)। बेज़ाउट की पहचान को <math>-1</math> से गुणा करने पर
-:<math>-\frac 13=-2+\frac 53.</math>
+:<math>-\frac 13=-2+\frac 53</math> प्राप्त होता है।
-पूर्णांक भाग <math>-2</math> सही अंतराल में नहीं है। इसलिए, यूक्लिडियन डिवीजन का उपयोग करना होगा <math>5</math> प्राप्त करने के लिए <math>-2= 3-1\cdot 5,</math> दे रही है
+"पूर्णांक भाग" <math>-2</math> सही अंतराल में नहीं है। इसलिए, <math>-2= 3-1\cdot 5</math> प्राप्त करने के लिए <math>5</math> से यूक्लिडियन डिवीजन का उपयोग करना होगा जो
 :<math>-\frac 13=3-5+\frac 53 = 3-\frac {10}3,</math>
 और
-:<math>\frac 13= 2+3\cdot 5 + \frac {-2}3\cdot 5^2.</math>
+:<math>\frac 13= 2+3\cdot 5 + \frac {-2}3\cdot 5^2</math> देगा।
-इसी तरह, एक है
+इसी तरह, एक के पास
 :<math>-\frac 23=1-\frac 53,</math>
 और
-:<math>\frac 13=2+3\cdot 5 + 1\cdot 5^2 +\frac {-1}3\cdot 5^3.</math>
+:<math>\frac 13=2+3\cdot 5 + 1\cdot 5^2 +\frac {-1}3\cdot 5^3</math> है।
-शेष के रूप में <math>-\tfrac 13</math> पहले ही मिल चुका है, गुणांक देते हुए प्रक्रिया को आसानी से जारी रखा जा सकता है <math>3</math> [[समता (गणित)]] के लिए पाँच की शक्तियाँ, और <math>1</math> समता (गणित) शक्तियों के लिए।
+"शेष" के रूप में <math>-\tfrac 13</math> पहले ही मिल चुका है, गुणांक देते हुए प्रक्रिया को आसानी से जारी रखा जा सकता है, पाँच की विषम घात के लिए गुणांक <math>3</math> और [[समता (गणित)|सम]] घात के लिए <math>1</math> दिया जा सकता है। या मानक 5-एडिक संकेतन <math>\frac 13= \ldots 1313132_5 </math>
-या मानक 5-एडिक संकेतन में
-:<math>\frac 13= \ldots 1313132_5 </math>
+में [[अंडाकार|दीर्घवृत्त]] के साथ <math> \ldots </math> बाएं हाथ की ओर।
-[[अंडाकार]] के साथ <math> \ldots </math> बाएं हाथ की ओर।
 ==p-ऐडिक सीरीज==
-इस लेख में, एक प्रमुख संख्या दी गई है {{mvar|p}}, ए{{mvar|p}}-ऐडिक श्रृंखला रूप की एक [[औपचारिक श्रृंखला]] है
+इस लेख में, एक अभाज्य संख्या {{mvar|p}} दी गई है,  {{mvar|p}}-ऐडिक श्रृंखला
-:<math>\sum_{i=k}^\infty a_i p^i,</math>
-जहां हर अशून्य  <math>a_i</math> एक परिमेय संख्या है <math>a_i=\tfrac {n_i}{d_i},</math> ऐसा कि कोई नहीं <math>n_i</math> और <math>d_i</math> से विभाज्य है {{mvar|p}}.
+<math>\sum_{i=k}^\infty a_i p^i,</math>
+रूप की एक [[औपचारिक श्रृंखला]] है जहां हर अशून्य <math>a_i</math> एक परिमेय संख्या <math>a_i=\tfrac {n_i}{d_i},</math> है जैसे कि <math>n_i</math> और <math>d_i</math> में से कोई भी {{mvar|p}} से विभाज्य नहीं है।
+प्रत्येक परिमेय संख्या को एक शब्द के साथ {{mvar|p}}-ऐडिक श्रृंखला के रूप में देखा जा सकता है, जिसमें <math>p^k\tfrac nd,</math> के साथ {{mvar|n}} और {{mvar|d}} दोनों सहअभाज्य रूप {{mvar|p}} के गुणनखंड हैं।
-प्रत्येक परिमेय संख्या को एक के रूप में देखा जा सकता है {{mvar|p}}-ऐडिक श्रंखला एक शब्द के साथ, जिसमें इसके रूप का गुणनखंड शामिल है <math>p^k\tfrac nd,</math> साथ {{mvar|n}} और {{mvar|d}} दोनों साथ coprime {{mvar|p}}.
+{{mvar|p}}-ऐडिक श्रृंखला सामान्यीकृत होती है, यदि प्रत्येक <math>a_i</math> अंतराल <math>[0,p-1]</math> में एक पूर्णांक हो। तो, एक परिमेय संख्या का {{mvar|p}}-ऐडिक विस्तार एक सामान्यीकृत {{mvar|p}}-ऐडिक श्रृंखला है।
-ए {{mvar|p}}-ऐडिक श्रृंखला सामान्यीकृत होती है यदि प्रत्येक <math>a_i</math> अंतराल में एक पूर्णांक है (गणित) <math>[0,p-1].</math> इतना {{mvar|p}एक परिमेय संख्या का }-ऐडिक विस्तार एक सामान्यीकृत है {{mvar|p}}-ऐडिक श्रृंखला।
+{{mvar|p}}-ऐडिक मूल्यांकन, या {{mvar|p}}-ऐडिक क्रम एक अशून्य {{mvar|p}}-ऐडिक श्रंखला का निम्नतम पूर्णांक {{mvar|i}} है जैसे कि <math>a_i\ne 0</math>। शून्य श्रृंखला का क्रम अनंत <math>\infty</math> है।
-पी-एडिक वैल्यूएशन |{{mvar|p}}-ऐडिक मूल्यांकन, या {{mvar|p}}-अशून्य का आदिम क्रम {{mvar|p}}-ऐडिक श्रंखला सबसे छोटा पूर्णांक है {{mvar|i}} ऐसा है कि <math>a_i\ne 0.</math> शून्य श्रृंखला का क्रम अनंत है <math>\infty.</math>
+दो {{mvar|p}}-ऐडिक श्रंखलाएँ तुल्य होती हैं यदि उनका क्रम {{mvar|k}} समान हो, और यदि प्रत्येक पूर्णांक {{math|''n'' ≥ ''k''}} के लिए उनकी आंशिक योगों के बीच का अंतर
-दो {{mvar|p}}-ऐडिक श्रंखलाएँ तुल्य होती हैं यदि उनका क्रम समान हो {{mvar|k}}, और यदि प्रत्येक पूर्णांक के लिए {{math|''n'' ≥ ''k''}} उनकी आंशिक रकम के बीच का अंतर
 :<math>\sum_{i=k}^n a_ip^i-\sum_{i=k}^n b_ip^i=\sum_{i=k}^n (a_i-b_i)p^i</math>
-से अधिक का आदेश है {{mvar|n}} (अर्थात, रूप की एक परिमेय संख्या है <math>p^k\tfrac ab,</math> साथ <math>k>n,</math> और {{mvar|a}} और {{mvar|b}} दोनों साथ coprime {{mvar|p}}).
+का क्रम {{mvar|n}} से अधिक हो (अर्थात, <math>k>n,</math> के साथ <math>p^k\tfrac ab,</math> के रूप की एक परिमेय संख्या है) और {{mvar|a}} और {{mvar|b}} दोनों {{mvar|p}} के साथ सहअभाज्य हैं)।
+प्रत्येक {{mvar|p}}-ऐडिक श्रृंखला <math>S</math> के लिए, एक अद्वितीय सामान्यीकृत श्रृंखला <math>N</math> है जैसे कि <math>S</math> और <math>N</math> समकक्ष हैं। <math>N</math>, <math>S</math> का सामान्यीकरण है। प्रमाण परिमेय संख्या के {{mvar|p}}-ऐडिक विस्तार के अस्तित्व प्रमाण के समान है। विशेष रूप से, प्रत्येक परिमेय संख्या को गैर-शून्य शब्द के साथ {{mvar|p}}-ऐडिक श्रृंखला के रूप में माना जा सकता है, और इस श्रृंखला का सामान्यीकरण वास्तव में परिमेय संख्या का तर्कसंगत प्रतिनिधित्व है।
-हरएक के लिए {{mvar|p}}-ऐडिक श्रृंखला <math>S</math>, एक अनूठी सामान्यीकृत श्रृंखला है <math>N</math> ऐसा है कि <math>S</math> और <math>N</math> समकक्ष हैं। <math>N</math> का सामान्यीकरण है <math>S.</math> प्रमाण के अस्तित्व प्रमाण के समान है {{mvar|p}}-एक परिमेय संख्या का आदिम विस्तार। विशेष रूप से, प्रत्येक परिमेय संख्या को एक के रूप में माना जा सकता है {{mvar|p}}-ऐडिक श्रृंखला एक एकल अशून्यशब्द के साथ, और इस श्रृंखला का सामान्यीकरण वास्तव में परिमेय संख्या का परिमेय प्रतिनिधित्व है।
+दूसरे शब्दों में, {{mvar|p}}-ऐडिक श्रृंखला की तुल्यता एक [[तुल्यता संबंध]] है, और प्रत्येक [[तुल्यता वर्ग]] में ठीक एक सामान्यीकृत {{mvar|p}}-ऐडिक श्रृंखला होती है।
-दूसरे शब्दों में, की समानता {{mvar|p}}-ऐडिक श्रृंखला एक [[तुल्यता संबंध]] है, और प्रत्येक [[तुल्यता वर्ग]] में ठीक एक सामान्यीकृत होता है {{mvar|p}}-ऐडिक श्रृंखला।
+श्रृंखला के सामान्य संचालन (जोड़, घटाव, गुणा, भाग) {{mvar|p}}-ऐडिक श्रृंखला को {{mvar|p}}-ऐडिक श्रृंखला में मानचित्रण करते हैं, और {{mvar|p}}-ऐडिक श्रृंखला की समानता के साथ संगत होते हैं। अर्थात्, {{math|~}} के साथ तुल्यता को दर्शाते हुए, यदि {{mvar|S}}, {{mvar|T}} और {{mvar|U}}  शून्येतर {{mvar|p}}-ऐडिक श्रृंखला हैं जैसे कि <math>S\sim T,</math> एक में
-श्रृंखला के सामान्य संचालन (जोड़, घटाव, गुणा, भाग) मानचित्र {{mvar|p}}-ऐडिक श्रृंखला के लिए {{mvar|p}}-ऐडिक श्रृंखला, और की समानता के साथ संगत हैं {{mvar|p}}-ऐडिक श्रृंखला। अर्थात्, के साथ समानता को दर्शाते हुए {{math|~}}, अगर {{mvar|S}}, {{mvar|T}} और {{mvar|U}} अशून्य हैं {{mvar|p}}-ऐडिक श्रृंखला ऐसी है कि <math>S\sim T,</math> किसी के पास
+<math>\begin{align}
-:<math>\begin{align}
 S\pm U&\sim T\pm U,\\
 SU&\sim TU,\\
 /S&\sim 1/T.
-\end{align}</math>
+\end{align}</math> है।
+:
 इसके अतिरिक्त, {{mvar|S}} और {{mvar|T}} का एक ही क्रम है, और वही पहला पद है।
 === [[स्थितीय संकेतन]] ===
-[[ मूलांक ]] में संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयोग किए जाने वाले समान स्थितीय संकेतन का उपयोग करना संभव है {{mvar|p}}.
+[[ मूलांक |मूलांक {{mvar|p}}]] में संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयोग किए जाने वाले समान स्थितीय संकेतन का उपयोग करना संभव है।
-होने देना <math display = inline>\sum_{i=k}^\infty a_i p^i</math> एक सामान्यीकृत हो {{mvar|p}}-एडिक सीरीज़, यानी प्रत्येक <math>a_i</math> अंतराल में एक पूर्णांक है <math>[0,p-1].</math> कोई ऐसा मान सकता है <math>k\le 0</math> व्यवस्थित करके <math>a_i=0</math> के लिए <math>0\le i <k</math> (अगर <math>k>0</math>), और परिणामी शून्य शब्दों को श्रृंखला में जोड़ना।
+मान लीजिए  <math display = inline>\sum_{i=k}^\infty a_i p^i</math> एक सामान्यीकृत  {{mvar|p}}-एडिक श्रृंखला है, यानी प्रत्येक <math>a_i</math> अंतराल <math>[0,p-1]</math> में एक पूर्णांक है, ऐसा मान सकता है <math>k\le 0</math> अगर  <math>0\le i <k</math> के लिए <math>a_i=0</math> निर्धारित करके (यदि k> 0), और परिणामी शून्य शब्दों को श्रृंखला में जोड़ कर।
-अगर <math>k\ge 0,</math> स्थितीय संकेतन में लिखना शामिल है <math>a_i</math> लगातार, के घटते मूल्यों द्वारा आदेश दिया गया {{mvar|i}}, अक्सर साथ {{mvar|p}} दाईं ओर एक अनुक्रमणिका के रूप में दिखाई दे रहा है:
+यदि <math>k\ge 0,</math> स्थितीय संकेतन में <math>a_i</math> को लगातार लिखना समिलित है, {{mvar|i}} के घटते मूल्यों द्वारा क्रमबद्ध, बार बार {{mvar|p}} के साथ सूचकांक :
-:<math>\ldots a_n \ldots a_1{a_0}_p</math>
-तो, #example की गणना से पता चलता है
+<math>\ldots a_n \ldots a_1{a_0}_p</math> के रूप में दाईं ओर दिखाई देता है।
+तो, उपरोक्त उदाहरण की गणना से पता चलता है कि
 :<math>\frac 13= \ldots 1313132_5,</math>
 और
-:<math>\frac {25}3= \ldots 131313200_5.</math>
+:<math>\frac {25}3= \ldots 131313200_5</math> ।
-कब <math>k<0,</math> नकारात्मक सूचकांक वाले अंकों से पहले एक अलग बिंदु जोड़ा जाता है, और, यदि index {{mvar|p}} मौजूद है, यह अलग करने वाले बिंदु के ठीक बाद दिखाई देता है। उदाहरण के लिए,
+जब <math>k<0,</math> एक पृथक्कारी बिंदु ऋणात्मक सूचकांक वाले अंकों से पहले जोड़ा जाता है, और, यदि सूचकांक {{mvar|p}} उपस्थित है, तो यह अलग करने वाले बिंदु के ठीक बाद दिखाई देता है। उदाहरण के लिए,
 :<math>\frac 1{15}= \ldots 3131313._52,</math>
 और
 :<math>\frac 1{75}= \ldots 1313131._532.</math>
-यदि एक {{mvar|p}}-ऐडिक प्रतिनिधित्व बाईं ओर परिमित है (अर्थात, <math>a_i=0</math> बड़े मूल्यों के लिए {{mvar|i}}), तो इसमें फॉर्म की गैर-ऋणात्मक परिमेय संख्या का मान होता है <math>n p^v,</math> साथ <math>n,v</math> पूर्णांक। ये परिमेय संख्याएँ वास्तव में गैर-नकारात्मक परिमेय संख्याएँ हैं जिनका मूलांक में परिमित प्रतिनिधित्व है {{mvar|p}}. इन परिमेय संख्याओं के लिए, दो निरूपण समान हैं।
+यदि एक {{mvar|p}}-ऐडिक प्रतिनिधित्व बाईं ओर परिमित है (अर्थात, {{mvar|i}} के बड़े मानों के लिए  <math>a_i=0</math>), तो इसमें <math>n,v</math> पूर्णांकों के साथ <math>n p^v,</math> के रूप की गैर-ऋणात्मक परिमेय संख्या का मान होता है। ये परिमेय संख्याएँ वास्तव में गैर-नकारात्मक परिमेय संख्याएँ हैं जिनका मूलांक {{mvar|p}} में परिमित प्रतिनिधित्व है। इन परिमेय संख्याओं के लिए, दो निरूपण समान हैं।
 == परिभाषा ==
-की कई समतुल्य परिभाषाएँ हैं {{mvar|p}}-एडिक नंबर। जो यहाँ दिया गया है वह अपेक्षाकृत प्रारंभिक है, क्योंकि इसमें पिछले अनुभागों में पेश की गई अवधारणाओं के अलावा कोई अन्य गणितीय अवधारणाएँ शामिल नहीं हैं। अन्य समतुल्य परिभाषाएँ असतत मूल्यांकन रिंग के एक रिंग के समापन होने का उपयोग करती हैं (देखें {{slink||''p''-adic integers}}), एक मीट्रिक स्थान का समापन होना (देखें {{slink||Topological properties}}), या व्युत्क्रम सीमाएँ (देखें {{slink||Modular properties}}).
+{{mvar|p}}-एडिक संख्याओं की कई समतुल्य परिभाषाएँ हैं। जो यहाँ दिया गया है वह अपेक्षाकृत प्रारंभिक है, क्योंकि इसमें पिछले अनुभागों में निवेदित की गई सिद्धांतओं के अतिरिक्त कोई अन्य गणितीय सिद्धांतएँ समिलित नहीं हैं। अन्य समतुल्य परिभाषाएँ असतत मूल्यांकन वलय ({{slink||''p''-ऐडिक पूर्णांक}}, देखें), एक मापीय क्षेत्र की समाप्ति ({{slink||टोपोलॉजिकल गुण}}, देखें), या व्युत्क्रम सीमाएँ ({{slink||प्रमापीय गुण}}, देखें) के पूरा होने का उपयोग करती हैं।
-ए {{mvar|p}}-ऐडिक संख्या को सामान्यीकृत के रूप में परिभाषित किया जा सकता है {{mvar|p}}-ऐडिक श्रृंखला। चूँकि अन्य समान परिभाषाएँ हैं जो आमतौर पर उपयोग की जाती हैं, एक अक्सर कहता है कि एक सामान्यीकृत {{mvar|p}}-ऐडिक श्रेणी दर्शाती है a {{mvar|p}}-ऐडिक संख्या, यह कहने के बजाय कि यह एक है {{mvar|p}}-ऐडिक संख्या।
+{{mvar|p}}-ऐडिक संख्या को सामान्यीकृत {{mvar|p}}-ऐडिक श्रृंखला के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। चूँकि अन्य समान परिभाषाएँ हैं जो आमतौर पर उपयोग की जाती हैं, एक अक्सर कहता है कि एक सामान्यीकृत {{mvar|p}}-ऐडिक श्रृंखला एक {{mvar|p}}-ऐडिक संख्या का प्रतिनिधित्व करती है, यह कहने के बजाय कि यह एक {{mvar|p}}-ऐडिक संख्या है।
-कोई यह भी कह सकता है कि कोई {{mvar|p}}-ऐडिक श्रेणी दर्शाती है a {{mvar|p}}-ऐडिक संख्या, प्रत्येक के बाद से {{mvar|p}}-ऐडिक श्रृंखला एक अद्वितीय सामान्यीकृत के बराबर है {{mvar|p}}-ऐडिक श्रृंखला। यह के संचालन (जोड़, घटाव, गुणा, भाग) को परिभाषित करने के लिए उपयोगी है {{mvar|p}}-एडिक संख्याएँ: इस तरह के ऑपरेशन का परिणाम श्रृंखला पर संबंधित ऑपरेशन के परिणाम को सामान्य करके प्राप्त किया जाता है। यह अच्छी तरह से संचालन को परिभाषित करता है {{mvar|p}}-ऐडिक संख्याएँ, चूँकि श्रृंखला संक्रियाएँ की तुल्यता के अनुकूल हैं {{mvar|p}}-ऐडिक श्रृंखला।
+कोई यह भी कह सकता है कि कोई {{mvar|p}}-ऐडिक श्रृंखला एक {{mvar|p}}-ऐडिक संख्या का प्रतिनिधित्व करती है, क्योंकि प्रत्येक {{mvar|p}}-ऐडिक श्रृंखला एक अद्वितीय सामान्यीकृत {{mvar|p}}-ऐडिक श्रृंखला के बराबर है। यह {{mvar|p}}-एडिक संख्याओं के संचालन (जोड़, घटाव, गुणा, भाग) को परिभाषित करने के लिए उपयोगी है: इस तरह के संचालन का परिणाम श्रृंखला पर संबंधित संचालन के परिणाम को सामान्य करके प्राप्त किया जाता है। यह {{mvar|p}}-ऐडिक श्रृंखला पर संचालन को अच्छी तरह से परिभाषित करता है, चूँकि श्रृंखला संचालन {{mvar|p}}-ऐडिक श्रृंखला तुल्यता के अनुकूल हैं।
-{{anchor|Field of p-adic numbers}}
+इन संचालनों के साथ, {{mvar|p}}-ऐडिक संख्याएँ एक क्षेत्र (गणित) बनाती हैं जिसे {{math|''p''}}-एडिक संख्याओं का क्षेत्र कहा जाता है और  <math>\Q_p</math> या <math>\mathbf Q_p</math> को निरूपित किया जाता है। परिमेय संख्याओं से {{mvar|p}}-ऐडिक संख्याओं में एक अद्वितीय क्षेत्र समाकारिता है, जो एक परिमेय संख्या को इसके {{mvar|p}}-ऐडिक विस्तार के लिए मानचित्रण करता है। इस समरूपता की [[छवि (गणित)]] को आमतौर पर परिमेय संख्याओं के क्षेत्र से पहचाना जाता है। यह {{math|''p''}}-ऐडिक संख्याएँ को परिमेय संख्याओं के [[विस्तार क्षेत्र]] के रूप में, और परिमेय संख्याएँ परिमेय संख्याओं को {{math|''p''}}-ऐडिक संख्याओं के [[उपक्षेत्र (गणित)]] के रूप में विचार करने की अनुमति देता है।
-इन ऑपरेशनों के साथ, {{mvar|p}}-ऐडिक संख्याएँ एक क्षेत्र (गणित) बनाती हैं जिसे का क्षेत्र कहा जाता है {{math|''p''}}-एडिक नंबर और निरूपित <math>\Q_p</math> या <math>\mathbf Q_p.</math> में परिमेय संख्याओं से एक अद्वितीय क्षेत्र समाकारिता है {{mvar|p}}-ऐडिक नंबर, जो इसके लिए एक परिमेय संख्या को मैप करता है {{mvar|p}}-ऐडिक विस्तार। इस समरूपता की [[छवि (गणित)]] को आमतौर पर परिमेय संख्याओं के क्षेत्र से पहचाना जाता है। यह विचार करने की अनुमति देता है {{math|''p''}}-ऐडिक संख्याएँ परिमेय संख्याओं के [[विस्तार क्षेत्र]] के रूप में, और परिमेय संख्याएँ परिमेय संख्याओं के एक [[उपक्षेत्र (गणित)]] के रूप में {{math|''p''}}-एडिक नंबर।
-एक अशून्य का मूल्यांकन {{mvar|p}}-यानी संख्या {{mvar|x}}, आमतौर पर निरूपित <math>v_p(x),</math> का प्रतिपादक है {{mvar|p}} प्रत्येक के पहले अशून्य पद में {{mvar|p}}-ऐडिक श्रृंखला जो प्रतिनिधित्व करती है {{mvar|x}}. रिवाज के सन्दर्भ मे, <math>v_p(0)=\infty;</math> अर्थात् शून्य का मान है <math>\infty.</math> यह मूल्यांकन [[असतत मूल्यांकन]] है। परिमेय संख्याओं के लिए इस मूल्यांकन का प्रतिबंध है {{mvar|p}}-ऐडिक मूल्यांकन <math>\Q,</math> वह है, प्रतिपादक {{mvar|v}} किसी परिमेय संख्या के गुणनखंड में <math display=inline≝>\dfrac and p^v,</math> दोनों के साथ {{mvar|n}} और {{mvar|d}} साथ [[coprime]] {{mvar|p}}.
+अशून्य {{mvar|p}}-ऐडिक संख्या {{mvar|x}} का मूल्यांकन, जिसे आमतौर पर <math>v_p(x)</math> के रूप में दर्शाया जाता है, {{mvar|x}} का प्रतिनिधित्व करने वाली प्रत्येक {{mvar|p}}-ऐडिक श्रृंखला के पहले अशून्य पद में {{mvar|p}} का घातांक है। परिपाटी के अनुसार, <math>v_p(0)=\infty;</math> अर्थात् शून्य का मान <math>\infty</math> होता है। यह मूल्यांकन [[असतत मूल्यांकन]] है। परिमेय संख्याओं के लिए इस मूल्यांकन का प्रतिबंध <math>\Q</math> का {{mvar|p}}-ऐडिक मूल्यांकन, अर्थात, {{mvar|p}} के साथ {{mvar|n}} और {{mvar|d}} सहअभाज्य दोनों के साथ <math display="inline≝">\dfrac and p^v,</math> के रूप में एक परिमेय संख्या के गुणनखंड में घातांक {{mvar|v}}।
 == पी-एडिक पूर्णांक ==
-'{{mvar|p}}-ऐडिक पूर्णांक हैं {{mvar|p}}-एडिक नंबर एक गैर-नकारात्मक मूल्यांकन के साथ।
+{{mvar|p}}-ऐडिक पूर्णांक {{mvar|p}}-ऐडिक संख्याएँ होती हैं जिनका मूल्यांकन अऋणात्मक होता है।
-ए {{mvar|p}}-ऐडिक पूर्णांक को अनुक्रम के रूप में दर्शाया जा सकता है
+एक {{mvar|p}}-ऐडिक पूर्णांक को प्रत्येक पूर्णांक {{mvar|e}} के लिए अवशेषों {{mvar|x<sub>e</sub>}} mod {{mvar|p<sup>e</sup>}} के अनुक्रम
 : <math> x = (x_1 \operatorname{mod} p, ~ x_2 \operatorname{mod} p^2, ~ x_3 \operatorname{mod} p^3, ~ \ldots)</math>
-अवशेषों की {{mvar|x<sub>e</sub>}} ख़िलाफ़ {{mvar|p<sup>e</sup>}} प्रत्येक पूर्णांक के लिए {{mvar|e}}, संगतता संबंधों को संतुष्ट करना <math>x_i \equiv x_j ~ (\operatorname{mod} p^i)</math> के लिए {{mvar| i < j}}.
+के रूप में दर्शाया जा सकता है, {{mvar| i < j}} के लिए अनुकूलता संबंधों <math>x_i \equiv x_j ~ (\operatorname{mod} p^i)</math> को संतुष्ट करता है।
-प्रत्येक पूर्णांक एक है {{mvar|p}}-ऐडिक पूर्णांक (शून्य सहित, चूंकि <math>0<\infty</math>). प्रपत्र की परिमेय संख्या <math display=inline> \tfrac nd p^k</math> साथ {{mvar|d}} साथ coprime {{mvar|p}} और <math>k\ge 0</math> भी हैं {{mvar|p}}-ऐडिक पूर्णांक (इस कारण से कि {{mvar|d}} में उलटा मोड है {{mvar|p<sup>e</sup>}} हरएक के लिए {{mvar|e}}). वह {{mvar|p}}-ऐडिक पूर्णांक एक क्रमविनिमेय वलय बनाते हैं, जिसे निरूपित किया जाता है <math>\Z_p</math> या <math>\mathbf Z_p</math>, जिसके निम्नलिखित गुण हैं।
+प्रत्येक पूर्णांक एक {{mvar|p}}-ऐडिक पूर्णांक होता है (शून्य सहित, चूंकि <math>0<\infty</math>)। {{mvar|p}} और <math>k\ge 0</math> के साथ सह अभाज्य {{mvar|d}} के साथ <math display="inline"> \tfrac nd p^k</math> के रूप की परिमेय संख्याएँ भी {{mvar|p}}-ऐडिक पूर्णांक हैं (इस कारण से कि {{mvar|d}} में प्रत्येक {{mvar|e}} के लिए व्युत्क्रम mod {{mvar|p<sup>e</sup>}} है)।
-* यह एक [[अभिन्न डोमेन]] है, क्योंकि यह एक क्षेत्र का [[सबरिंग]] है, या दो गैर शून्य के उत्पाद की श्रृंखला प्रतिनिधित्व की पहली अवधि के बाद से {{mvar|p}}-एडिक श्रेणी उनके प्रथम पदों का गुणनफल है।
-* की इकाई (रिंग थ्योरी) (उलटा तत्व)। <math>\Z_p</math> हैं {{mvar|p}}-ऐडिक नंबर वैल्यूएशन जीरो।
+वह {{mvar|p}}-ऐडिक पूर्णांक एक क्रमविनिमेय वलय बनाते हैं, जिसे <math>\Z_p</math> या <math>\mathbf Z_p</math> से निरूपित किया जाता है , जिसके निम्नलिखित गुण हैं।
-* यह एक [[प्रमुख आदर्श डोमेन]] है, जैसे कि प्रत्येक आदर्श (रिंग थ्योरी) की शक्ति द्वारा उत्पन्न होता है {{mvar|p}}.
+* यह एक [[अभिन्न डोमेन]] है, क्योंकि यह एक क्षेत्र का [[सबरिंग|उप वलय]] है, या दो गैर शून्य {{mvar|p}}-एडिक श्रृंखला के उत्पाद की श्रृंखला के उत्पाद की श्रृंखला प्रतिनिधित्व का पहला पद उनके प्रथम पदों का गुणनफल है।
-* यह [[क्रुल आयाम]] वन का एक स्थानीय वलय है, क्योंकि इसके एकमात्र प्रमुख आदर्श [[शून्य आदर्श]] हैं और इसके द्वारा उत्पन्न आदर्श हैं {{mvar|p}}, अद्वितीय [[अधिकतम आदर्श]]।
+* <math>\Z_p</math> की इकाई (वलय थ्योरी) मूल्यांकन शून्य की {{mvar|p}}-ऐडिक संख्याएं हैं।
+* यह एक [[प्रमुख आदर्श डोमेन]] है, जैसे कि प्रत्येक आदर्श {{mvar|p}} (वलय थ्योरी) की घात द्वारा उत्पन्न होता है।
+* यह [[क्रुल आयाम]] वन का एक क्षेत्रीय वलय है, क्योंकि इसके एकमात्र प्रमुख आदर्श [[शून्य आदर्श]] हैं और {{mvar|p}} द्वारा उत्पन्न आदर्श, अद्वितीय [[अधिकतम आदर्श]]।
 * यह एक असतत मूल्यांकन वलय है, क्योंकि यह पिछले गुणों से उत्पन्न होता है।
-* यह स्थानीय रिंग के एक रिंग का समापन होना है <math>\Z_{(p)} = \{\tfrac nd \mid n, d \in \Z,\, d \not\in p\Z \},</math> जो का [[स्थानीयकरण (कम्यूटेटिव बीजगणित)]] है <math>\Z</math> प्रधान आदर्श पर <math>p\Z.</math>
+* यह क्षेत्रीय वलय <math>\Z_{(p)} = \{\tfrac nd \mid n, d \in \Z,\, d \not\in p\Z \},</math> के वलय का समापन होना है, <math>\Z</math> प्रधान आदर्श पर जो <math>p\Z</math> का [[स्थानीयकरण (कम्यूटेटिव बीजगणित)|क्षेत्रीयकरण (कम्यूटेटिव बीजगणित)]] है।
-अंतिम संपत्ति की परिभाषा प्रदान करती है {{mvar|p}}-ऐडिक संख्याएँ जो उपरोक्त के समतुल्य हैं: का क्षेत्र {{mvar|p}}-ऐडिक संख्या पूर्णांकों के स्थानीयकरण के समापन होने के [[अंशों का क्षेत्र]] है, जिसके द्वारा उत्पन्न प्रधान आदर्श पर {{mvar|p}}.
+अंतिम गुण {{mvar|p}}-ऐडिक संख्याएँ की परिभाषा प्रदान करती है जो उपरोक्त के समतुल्य हैं:  {{mvar|p}}-ऐडिक संख्या का क्षेत्र {{mvar|p}} द्वारा उत्पन्न प्रमुख आदर्श पर पूर्णांकों के क्षेत्रीयकरण के पूरा होने के अंशों का क्षेत्र है।
+== सामयिक गुण ==
+{{mvar|p}}-ऐडिक मूल्यांकन {{mvar|p}}-एडिक संख्या पर पूर्ण मान (बीजगणित) को परिभाषित करने की अनुमति देता है:  {{mvar|p}}-ऐडिक पूर्ण मूल्य एक अशून्य  {{mvar|p}}-एडिक संख्या v का
+<math>|x|_p = p^{-v_p(x)},</math> है
-== सामयिक गुण == {{mvar|p}|p}}-ऐडिक मूल्यांकन एक निरपेक्ष मान (बीजगणित) को परिभाषित करने की अनुमति देता है {{mvar|p}}-एडिक नंबर: द {{mvar|p}}-एक अशून्य का आदिम निरपेक्ष मान {{mvar|p}}-यानी संख्या {{mvar|x}} है
+जहां <math>v_p(x)</math> {{mvar|x}} का {{mvar|p}}-ऐडिक मूल्यांकन है। <math>0</math> का पूर्ण  {{mvar|p}}-ऐडिक मान  <math>|0|_p = 0</math> है। यह एक पूर्ण मूल्य है जो प्रत्येक के लिए मजबूत त्रिभुज असमानता को संतुष्ट करता है चूँकि प्रत्येक {{mvar|x}} और {{mvar|y}} के लिए
-:<math>|x|_p = p^{-v_p(x)},</math>
-कहाँ <math>v_p(x)</math> है {{mvar|p}}-ऐडिक मूल्यांकन {{mvar|x}}. वह {{mvar|p}}-ऐडिक का निरपेक्ष मान <math>0</math> है <math>|0|_p = 0.</math> यह एक पूर्ण मूल्य है जो प्रत्येक के लिए मजबूत त्रिभुज असमानता को संतुष्ट करता है {{mvar|x}} और {{mvar|y}} किसी के पास
 * <math>|x|_p = 0</math> अगर और केवल अगर <math>x=0;</math>
-* <math>|x|_p\cdot |y|_p = |xy|_p</math> *<math>|x+y|_p\le \max(|x|_p,|y|_p) \le |x|_p + |y|_p.</math>
+* <math>|x|_p\cdot |y|_p = |xy|_p</math> *<math>|x+y|_p\le \max(|x|_p,|y|_p) \le |x|_p + |y|_p</math> है।
-इसके अलावा, अगर <math>|x|_p \ne |y|_p,</math> किसी के पास <math>|x+y|_p = \max(|x|_p,|y|_p).</math>
+इसके अतिरिक्त, अगर <math>|x|_p \ne |y|_p,</math> किसी के पास <math>|x+y|_p = \max(|x|_p,|y|_p).</math>
-यह बनाता है {{mvar|p}}-ऐडिक नंबर एक मीट्रिक स्पेस, और यहां तक कि एक [[अल्ट्रामेट्रिक स्पेस]], के साथ {{mvar|p}}-ऐडिक दूरी द्वारा परिभाषित
-<math>d_p(x,y)=|x-y|_p.</math>
+यह {{mvar|p}}-ऐडिक संख्या को एक मापीय क्षेत्र बनाता है, और यहां तक कि एक [[अल्ट्रामेट्रिक स्पेस]], <math>d_p(x,y)=|x-y|_p</math> द्वारा परिभाषित {{mvar|p}}-ऐडिक दूरी के साथ।
-एक मीट्रिक स्थान के रूप में, {{mvar|p}}-ऐडिक संख्याएँ परिमेय संख्याओं की समापन (मीट्रिक स्थान) बनाती हैं {{mvar|p}}-ऐडिक निरपेक्ष मूल्य। यह परिभाषित करने का एक और तरीका प्रदान करता है {{mvar|p}}-एडिक नंबर। हालांकि, इस मामले में समापन के सामान्य निर्माण को सरल बनाया जा सकता है, क्योंकि मीट्रिक को असतत मूल्यांकन द्वारा परिभाषित किया गया है (संक्षेप में, कोई भी प्रत्येक कॉची अनुक्रम से एक अनुक्रम निकाल सकता है जैसे कि लगातार दो शब्दों के बीच के अंतरों में पूर्ण मूल्यों में सख्ती से कमी आई है ; इस प्रकार का अनुक्रम a के [[आंशिक योग]]ों का क्रम है {{mvar|p}}-ऐडिक श्रृंखला, और इस प्रकार एक अद्वितीय सामान्यीकृत {{mvar|p}}-ऐडिक श्रंखला को कौशी अनुक्रमों के प्रत्येक तुल्यता वर्ग से जोड़ा जा सकता है; इसलिए, समापन के निर्माण के लिए, यह सामान्यीकृत विचार करने के लिए पर्याप्त है {{mvar|p}}-कौची अनुक्रमों के तुल्यता वर्गों के बजाय एडिक श्रृंखला)।
+एक मापीय क्षेत्र के रूप में, {{mvar|p}}-ऐडिक संख्याएँ p-ऐडिक पूर्ण मान से सुसज्जित परिमेय संख्याओं के समापन का निर्माण करती हैं। यह {{mvar|p}}-एडिक संख्याओं को परिभाषित करने का एक और तरीका प्रदान करता है। तथापि, इस स्थिति  में पूर्णता के सामान्य निर्माण को सरल बनाया जा सकता है, क्योंकि मापीय को असतत मूल्यांकन द्वारा परिभाषित किया गया है (संक्षेप में, कोई भी प्रत्येक कॉची अनुक्रम से एक अनुक्रम निकाल सकता है जैसे कि लगातार दो शब्दों के बीच के अंतरों में सख्ती से पूर्ण मूल्य घट रहे हैं ; इस तरह की अनुवर्तीता p-ऐडिक श्रृंखला के [[आंशिक योग|आंशिक]] योगों का क्रम है, और इस प्रकार अद्वितीय सामान्यीकृत p-ऐडिक श्रृंखला कॉची अनुक्रमों के प्रत्येक तुल्यता वर्ग से जुड़ी हो सकती है; इसलिए, पूर्णता के निर्माण के लिए, यह सामान्यीकृत विचार करने के लिए पर्याप्त है कॉची अनुक्रमों के तुल्यता वर्गों के बजाय {{mvar|p}}-एडिक श्रृंखला)।
-जैसा कि मीट्रिक को असतत मूल्यांकन से परिभाषित किया गया है, प्रत्येक [[खुली गेंद]] भी [[बंद गेंद]] है। अधिक सटीक, खुली गेंद <math>B_r(x) =\{y\mid d_p(x,y)<r\}</math> बंद गेंद के बराबर <math>B_{p^{-v}}[x] =\{y\mid d_p(x,y)\le p^{-v}\},</math> कहाँ {{mvar|v}} ऐसा सबसे छोटा पूर्णांक है <math>p^{-v}< r.</math> इसी प्रकार, <math>B_r[x] = B_{p^{-w}}(x),</math> कहाँ {{mvar|w}} सबसे बड़ा पूर्णांक है जैसे कि <math>p^{-w}>r.</math>
+जैसा कि मापीय को असतत मूल्यांकन से परिभाषित किया गया है, प्रत्येक [[खुली गेंद]] भी [[बंद गेंद]] है। अधिक सटीक, खुली गेंद <math>B_r(x) =\{y\mid d_p(x,y)<r\}</math> बंद गेंद <math>B_{p^{-v}}[x] =\{y\mid d_p(x,y)\le p^{-v}\},</math>के बराबर है, जहां {{mvar|v}} ऐसा सबसे छोटा पूर्णांक है जैसे कि  <math>p^{-v}< r</math>। इसी प्रकार, <math>B_r[x] = B_{p^{-w}}(x),</math> जहां {{mvar|w}} सबसे बड़ा पूर्णांक है जैसे कि <math>p^{-w}>r.</math>
-इसका तात्पर्य यह है कि {{mvar|p}}-ऐडिक नंबर एक स्थानीय रूप [[स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट स्थान]] बनाते हैं, और {{mvar|p}}-ऐडिक पूर्णांक—अर्थात् गेंद <math>B_1[0]=B_p(0)</math>- एक [[ कॉम्पैक्ट जगह ]] बनाएं।
+इसका तात्पर्य यह है कि {{mvar|p}}-ऐडिक संख्या एक क्षेत्रीय रूप [[स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट स्थान|क्षेत्रीय रूप से]] [[ कॉम्पैक्ट जगह |सघन]] क्षेत्र बनाते हैं, और {{mvar|p}}-ऐडिक पूर्णांक—अर्थात् बॉल <math>B_1[0]=B_p(0)</math>- एक [[ कॉम्पैक्ट जगह |सघन जगह]] बनाते हैं।
 == मॉड्यूलर गुण ==
-[[भागफल की अंगूठी]] <math>\Z_p/p^n\Z_p</math> अंगूठी से पहचाना जा सकता है (गणित) <math>\Z/p^n\Z</math> पूर्णांकों का मॉड्यूलर अंकगणित <math>p^n.</math> यह टिप्पणी करके दिखाया जा सकता है कि हर {{mvar|p}}-ऐडिक पूर्णांक, इसके सामान्यीकृत द्वारा दर्शाया गया है {{mvar|p}}-यानी, श्रृंखला, यह मॉड्यूल से मेल खाती है <math>p^n</math> इसके आंशिक योग के साथ <math display = inline>\sum_{i=0}^{n-1}a_ip^i,</math> जिसका मान अंतराल में एक पूर्णांक है <math>[0,p^n-1].</math> एक सीधा सत्यापन दिखाता है कि यह रिंग समरूपता को परिभाषित करता है <math>\Z_p/p^n\Z_p</math> को <math>\Z/p^n\Z.</math>
+[[भागफल की अंगूठी]] <math>\Z_p/p^n\Z_p</math> अंगूठी से पहचाना जा सकता है (गणित) <math>\Z/p^n\Z</math> पूर्णांकों का मॉड्यूलर अंकगणित <math>p^n.</math> यह टिप्पणी करके दिखाया जा सकता है कि हर {{mvar|p}}-ऐडिक पूर्णांक, इसके सामान्यीकृत द्वारा दर्शाया गया है {{mvar|p}}-यानी, श्रृंखला, यह मॉड्यूल से मेल खाती है <math>p^n</math> इसके आंशिक योग के साथ <math display = inline>\sum_{i=0}^{n-1}a_ip^i,</math> जिसका मान अंतराल में एक पूर्णांक है <math>[0,p^n-1].</math> एक सीधा सत्यापन दिखाता है कि यह वलय समरूपता को परिभाषित करता है <math>\Z_p/p^n\Z_p</math> को <math>\Z/p^n\Z.</math>
 छल्लों की व्युत्क्रम सीमा <math>\Z_p/p^n\Z_p</math> अनुक्रमों द्वारा गठित वलय के रूप में परिभाषित किया गया है <math>a_0, a_1, \ldots</math> ऐसा है कि <math>a_i \in \Z/p^i \Z</math> और <math display = inline>a_i \equiv a_{i+1} \pmod {p^i}</math> हरएक के लिए {{mvar|i}}.
-मानचित्रण जो एक सामान्यीकृत मानचित्र करता है {{mvar|p}}-ऐडिक श्रृंखला अपने आंशिक रकम के अनुक्रम के लिए एक अंगूठी तुल्याकारिता है <math>\Z_p</math> की व्युत्क्रम सीमा तक <math>\Z_p/p^n\Z_p.</math> यह परिभाषित करने का एक और तरीका प्रदान करता है {{mvar|p}}-ऐडिक पूर्णांक (एक समरूपता [[तक]])।
+मानचित्रण जो एक सामान्यीकृत {{mvar|p}}-ऐडिक श्रृंखला को उसके आंशिक योगों के अनुक्रम में मानचित्रित करती है, वह <math>\Z_p</math> से <math>\Z_p/p^n\Z_p</math> की व्युत्क्रम सीमा तक एक वलय समाकृतिकता है। यह {{mvar|p}}-ऐडिक पूर्णांक (एक  समाकृतिकता तक) को परिभाषित करने का एक और तरीका प्रदान करता है।
-यह परिभाषा {{mvar|p}}-ऐडिक पूर्णांक विशेष रूप से व्यावहारिक संगणनाओं के लिए उपयोगी होते हैं, क्योंकि निर्माण की अनुमति होती है {{mvar|p}}-ऐडिक पूर्णांक लगातार सन्निकटन द्वारा।
+{{mvar|p}}-ऐडिक पूर्णांकों की यह परिभाषा विशेष रूप से व्यावहारिक संगणनाओं के लिए उपयोगी है, क्योंकि {{mvar|p}}-ऐडिक पूर्णांकों को क्रमबद्ध सन्निकटन द्वारा बनाने की अनुमति है।
-उदाहरण के लिए, कंप्यूटिंग के लिए {{mvar|p}}-ऐडिक (गुणात्मक) एक पूर्णांक का व्युत्क्रम, कोई न्यूटन की विधि का उपयोग कर सकता है, व्युत्क्रम मॉड्यूल से शुरू होता है {{mvar|p}}; फिर, प्रत्येक न्यूटन चरण प्रतिलोम मॉड्यूलो की गणना करता है <math display = inline>p^{n^2}</math> उलटा मॉड्यूलो से <math display = inline>p^n.</math> गणना के लिए उसी विधि का उपयोग किया जा सकता है {{mvar|p}}-ऐडिक [[वर्गमूल]] एक पूर्णांक का जो एक [[द्विघात अवशेष]] मॉडुलो है {{mvar|p}}. यह परीक्षण के लिए सबसे तेज़ ज्ञात विधि प्रतीत होती है कि क्या एक बड़ा पूर्णांक एक वर्ग है: यह परीक्षण करने के लिए पर्याप्त है कि दिया गया पूर्णांक मान का वर्ग है या नहीं <math>\Z_p/p^n\Z_p</math>. वर्गमूल ज्ञात करने के लिए न्यूटन की विधि को लागू करने की आवश्यकता है <math display = inline>p^n</math> दिए गए पूर्णांक के दोगुने से बड़ा होना, जो जल्दी संतुष्ट हो जाता है।
+उदाहरण के लिए, पूर्णांक के {{mvar|p}}-ऐडिक (गुणात्मक) व्युत्क्रम की गणना के लिए, न्यूटन की विधि का उपयोग किया जा सकता है, जो व्युत्क्रम मॉड्यूलो {{mvar|p}} से आरंभ होता है; फिर, प्रत्येक न्यूटन कदम व्युत्क्रम मॉड्यूलो <math display="inline">p^n</math> से व्युत्क्रम मॉड्यूलो <math display="inline">p^{n^2}</math>की गणना करता है।
-[[ हेंसल उठाना ]] एक ऐसी ही विधि है जो गुणनखंडन मोडुलो को उठाने की अनुमति देती है {{mvar|p}गुणनखंड मॉड्यूल के लिए पूर्णांक गुणांक वाले बहुपद का } <math display = inline>p^n</math> बड़े मूल्यों के लिए {{mvar|n}}. यह आमतौर पर बहुपद कारककरण एल्गोरिदम द्वारा उपयोग किया जाता है।
+उसी विधि का उपयोग एक पूर्णांक के {{mvar|p}}-ऐडिक [[वर्गमूल]] की गणना के लिए किया जा सकता है जो एक [[द्विघात अवशेष]] मॉड्यूलो {{mvar|p}} है। यह परीक्षण के लिए सबसे तेज़ ज्ञात विधि प्रतीत होती है कि क्या एक बड़ा पूर्णांक एक वर्ग है: यह परीक्षण करने के लिए पर्याप्त है कि क्या दिया गया पूर्णांक <math>\Z_p/p^n\Z_p</math> में पाए जाने वाले मान का वर्ग है या नहीं। वर्गमूल ज्ञात करने के लिए न्यूटन की विधि को लागू करने के लिए  <math display="inline">p^n</math> को दिए गए पूर्णांक के दोगुने से बड़ा होना आवश्यक है, जो जल्दी संतुष्ट हो जाता है।
+[[ हेंसल उठाना |हेंसल उठाना]] एक ऐसी ही विधि है जो {{mvar|n}} के बड़े मूल्यों के लिए पूर्णांक गुणांक वाले बहुपद के गुणनखंड मॉड्यूल <math display="inline">p^n</math> को "उठाने" की अनुमति देती है। यह आमतौर पर बहुपद गुणनखंड कलन विधि द्वारा उपयोग किया जाता है।
 == संकेतन ==
@@ Line 175: / Line 199: @@
 <math>(p-1)\times 1^2 +\left(\sqrt{1-p}\right)^2 = 0 .</math></ref> {{math|'''Q'''<sub>''p''</sub>}} को क्रमवार क्षेत्र में नहीं बदला जा सकता।
-{{math|[[real number|'''R''']]}} में केवल एक उचित [[बीजगणितीय विस्तार]] है: {{math|[[complex number|'''C''']]}}; दूसरे शब्दों में, यह [[द्विघात विस्तार]] पहले से ही बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र है। इसके विपरीत, का [[बीजगणितीय समापन]] {{math|'''Q'''<sub>''p''</sub>}}, निरूपित <math>\overline{\mathbf{Q}_p},</math> अनंत डिग्री है,<ref>{{Harv|Gouvêa|1997|loc=Corollary 5.3.10}}</ref> वह है, {{math|'''Q'''<sub>''p''</sub>}} के असीम रूप से कई असमान बीजगणितीय विस्तार हैं। वास्तविक संख्याओं के मामले के विपरीत भी, हालांकि इसका एक अनूठा विस्तार है {{mvar|p}}-ऐडिक मूल्यांकन करने के लिए <math>\overline{\mathbf{Q}_p},</math> उत्तरार्द्ध (मीट्रिक रूप से) पूर्ण नहीं है।<ref>{{Harv|Gouvêa|1997|loc=Theorem 5.7.4}}</ref><ref name=C149>{{Harv|Cassels|1986|p=149}}</ref> इसकी (मीट्रिक) समापन कहलाती है {{math|'''C'''<sub>''p''</sub>}} या {{math|Ω<sub>''p''</sub>}}.<ref name=C149/><ref name=K13>{{Harv|Koblitz|1980|p=13}}</ref> यहाँ एक अंत तक पहुँच गया है, के रूप में {{math|'''C'''<sub>''p''</sub>}} बीजगणितीय रूप से बंद है।<ref name=C149/><ref>{{Harv|Gouvêa|1997|loc=Proposition 5.7.8}}</ref> हालांकि इसके विपरीत {{math|'''C'''}} यह क्षेत्र [[स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट]] नहीं है।<ref name=K13/>
+{{math|[[real number|'''R''']]}} में केवल एक उचित [[बीजगणितीय विस्तार]] है: {{math|[[complex number|'''C''']]}}; दूसरे शब्दों में, यह [[द्विघात विस्तार]] पहले से ही बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र है। इसके विपरीत, का [[बीजगणितीय समापन]] {{math|'''Q'''<sub>''p''</sub>}}, निरूपित <math>\overline{\mathbf{Q}_p},</math> अनंत डिग्री है,<ref>{{Harv|Gouvêa|1997|loc=Corollary 5.3.10}}</ref> वह है, {{math|'''Q'''<sub>''p''</sub>}} के असीम रूप से कई असमान बीजगणितीय विस्तार हैं। वास्तविक संख्याओं के स्थिति के विपरीत भी, तथापि इसका एक अनूठा विस्तार है {{mvar|p}}-ऐडिक मूल्यांकन करने के लिए <math>\overline{\mathbf{Q}_p},</math> उत्तरार्द्ध (मापीय रूप से) पूर्ण नहीं है।<ref>{{Harv|Gouvêa|1997|loc=Theorem 5.7.4}}</ref><ref name=C149>{{Harv|Cassels|1986|p=149}}</ref> इसकी (मापीय) समापन कहलाती है {{math|'''C'''<sub>''p''</sub>}} या {{math|Ω<sub>''p''</sub>}}.<ref name=C149/><ref name=K13>{{Harv|Koblitz|1980|p=13}}</ref> यहाँ एक अंत तक पहुँच गया है, के रूप में {{math|'''C'''<sub>''p''</sub>}} बीजगणितीय रूप से बंद है।<ref name=C149/><ref>{{Harv|Gouvêa|1997|loc=Proposition 5.7.8}}</ref> तथापि इसके विपरीत {{math|'''C'''}} यह क्षेत्र [[स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट|क्षेत्रीय रूप से कॉम्पैक्ट]] नहीं है।<ref name=K13/>
-{{math|'''C'''<sub>''p''</sub>}} और {{math|'''C'''}} रिंग के रूप में समरूपी हैं, इसलिए हम {{math|'''C'''<sub>''p''</sub>}} को एक विदेशी मीट्रिक के साथ संपन्न {{math|'''C'''}} के रूप में मान सकते हैं। इस तरह के क्षेत्र समरूपता के अस्तित्व का प्रमाण पसंद के स्वयंसिद्ध पर निर्भर करता है, और इस तरह के समरूपता का एक स्पष्ट उदाहरण प्रदान नहीं करता है (अर्थात, यह [[रचनात्मक प्रमाण]] नहीं है)।
+{{math|'''C'''<sub>''p''</sub>}} और {{math|'''C'''}} वलय के रूप में समरूपी हैं, इसलिए हम {{math|'''C'''<sub>''p''</sub>}} को एक विदेशी मापीय के साथ संपन्न {{math|'''C'''}} के रूप में मान सकते हैं। इस तरह के क्षेत्र समरूपता के अस्तित्व का प्रमाण पसंद के स्वयंसिद्ध पर निर्भर करता है, और इस तरह के समरूपता का एक स्पष्ट उदाहरण प्रदान नहीं करता है (अर्थात, यह [[रचनात्मक प्रमाण]] नहीं है)।
 अगर {{math|'''K'''}} {{math|'''Q'''<sub>''p''</sub>}} का परिमित [[गाल्वा विस्तार]] है, तो [[गाल्वा समूह]] <math>\operatorname{Gal} \left(\mathbf{K}/ \mathbf{Q}_p \right)</math> [[हल करने योग्य समूह]] है। इस प्रकार, गैलोज़ समूह <math>\operatorname{Gal} \left(\overline{\mathbf{Q}_p}/ \mathbf{Q}_p \right)</math> [[साध्य]] है।
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 क्रमगुणितअ के व्युत्क्रम के योग के रूप में परिभाषित संख्या {{mvar|[[e (mathematical constant)|e]]}}, किसी भी  {{mvar|p}}-ऐडिक क्षेत्र का सदस्य नहीं है; लेकिन {{math|''e''<sup>&thinsp;''p''</sup> ∈ '''Q'''<sub>''p''</sub> (''p'' ≠ 2)}}।  {{math|''p'' {{=}} 2}} के लिए व्यक्ति को कम से कम चौथा घात लेना चाहिए।<ref>{{Harv|Robert|2000|loc=Section 4.1}}</ref> (इस प्रकार {{mvar|e}} के समान गुणों वाली एक संख्या  - अर्थात्  {{math|''e<sup>p</sup>''}} की {{mvar|p}}-वीं जड़ — सभी {{mvar|p}} के लिए <math>\overline{\mathbf{Q}_p}</math> का सदस्य है।)
-== स्थानीय-वैश्विक सिद्धांत ==
+== क्षेत्रीय-वैश्विक सिद्धांत ==
-हेल्मुट हास के स्थानीय-वैश्विक सिद्धांत को एक समीकरण के लिए धारण करने के लिए कहा जाता है यदि इसे परिमेय संख्याओं पर हल किया जा सकता है यदि और केवल वास्तविक संख्याओं पर और प्रत्येक अभाज्य {{mvar|p}} के लिए  {{mvar|p}}-ऐडिक संख्याओं पर इसे हल किया जा सकता है। यह सिद्धांत, उदाहरण के लिए, [[द्विघात रूप|द्विघात रूपों]] द्वारा दिए गए समीकरणों के लिए है, लेकिन कई अनिश्चितताओं में उच्च बहुपदों के लिए विफल रहता है।
+हेल्मुट हास के क्षेत्रीय-वैश्विक सिद्धांत को एक समीकरण के लिए धारण करने के लिए कहा जाता है यदि इसे परिमेय संख्याओं पर हल किया जा सकता है यदि और केवल वास्तविक संख्याओं पर और प्रत्येक अभाज्य {{mvar|p}} के लिए  {{mvar|p}}-ऐडिक संख्याओं पर इसे हल किया जा सकता है। यह सिद्धांत, उदाहरण के लिए, [[द्विघात रूप|द्विघात रूपों]] द्वारा दिए गए समीकरणों के लिए है, लेकिन कई अनिश्चितताओं में उच्च बहुपदों के लिए विफल रहता है।
 == हेन्सेल लिफ्टिंग के साथ परिमेय अंकगणित ==
 {{main|Hensel lifting}}
-== सामान्यीकरण और संबंधित अवधारणाएं ==
+== सामान्यीकरण और संबंधित सिद्धांतएं ==
 वास्तविक और {{mvar|p}}-ऐडिक संख्याएँ परिमेय संख्याओं की समापनएँ हैं; यह अन्य क्षेत्रों को समापन करना भी संभव है, उदाहरण के लिए समवृत्तिक से सामान्य बीजगणितीय संख्या क्षेत्र। यह अब वर्णित किया जाएगा।
 मान लीजिए कि D एक [[डेडेकिंड डोमेन]] है और E इसके अंशों का क्षेत्र है। D के अशून्य अभाज्य अनुकूल P को चुनें। यदि x E का अशून्य तत्व है, तो xD एक [[आंशिक आदर्श]] है और इसे D के अशून्य अभाज्य आदर्शों की धनात्मक और ऋणात्मक घात के उत्पाद के रूप में विशिष्ट रूप से तथ्यपूर्ण बनाया जा सकता है। हम  इस गुणनखंड में P के घातांक के लिए ordP(x) लिखते हैं, और 1 से बड़ी संख्या c के किसी भी विकल्प के लिए हम
 :<math>|x|_P = c^{-\!\operatorname{ord}_P(x)}</math> निर्धारित कर सकते हैं।
-इस निरपेक्ष मान | . |<sub>''P''</sub>  के संबंध में समापन करने से क्षेत्र E<sub>''P''</sub>  प्राप्त होता है, इस समायोजना के लिए p-ऐडिक नंबरों के क्षेत्र का उचित सामान्यीकरण। c का चुनाव समापन को नहीं बदलता है (विभिन्न विकल्पों से कॉची अनुक्रम की समान अवधारणा प्राप्त होती है, इसलिए वही समापन है)। यह सुविधाजनक है, जब [[अवशेष क्षेत्र]] D/P सीमित है, D/P के आकार को c के लिए लेना।
+इस पूर्ण मान | . |<sub>''P''</sub>  के संबंध में समापन करने से क्षेत्र E<sub>''P''</sub>  प्राप्त होता है, इस समायोजना के लिए p-ऐडिक संख्याओं के क्षेत्र का उचित सामान्यीकरण। c का चुनाव समापन को नहीं बदलता है (विभिन्न विकल्पों से कॉची अनुक्रम की समान सिद्धांत प्राप्त होती है, इसलिए वही समापन है)। यह सुविधाजनक है, जब [[अवशेष क्षेत्र]] D/P सीमित है, D/P के आकार को c के लिए लेना।
-उदाहरण के लिए, जब E एक [[संख्या क्षेत्र]] है, ओस्ट्रोव्स्की के प्रमेय का कहना है कि E पर प्रत्येक असतहीय गैर-आर्किमिडीयन निरपेक्ष मूल्य कुछ | . |<sub>''P''</sub>. के रूप में उत्पन्न होता है। ई पर शेष असतहीय निरपेक्ष मान E के विभिन्न अंतःस्थापन से वास्तविक या जटिल संख्याओं में उत्पन्न होते हैं। (वास्तव में, गैर-आर्किमिडीयन निरपेक्ष मानों को क्षेत्र 'c<sub>''p''</sub>' में E के विभिन्न अंतःस्थापन के रूप में माना जा सकता है, इस प्रकार सामान्य आधार पर किसी संख्या क्षेत्र के सभी असतहीय पूर्ण मूल्यों का विवरण डालते हैं।)
+उदाहरण के लिए, जब E एक [[संख्या क्षेत्र]] है, ओस्ट्रोव्स्की के प्रमेय का कहना है कि E पर प्रत्येक असतहीय गैर-आर्किमिडीयन पूर्ण मूल्य कुछ | . |<sub>''P''</sub>. के रूप में उत्पन्न होता है। ई पर शेष असतहीय पूर्ण मान E के विभिन्न अंतःस्थापन से वास्तविक या जटिल संख्याओं में उत्पन्न होते हैं। (वास्तव में, गैर-आर्किमिडीयन पूर्ण मानों को क्षेत्र 'c<sub>''p''</sub>' में E के विभिन्न अंतःस्थापन के रूप में माना जा सकता है, इस प्रकार सामान्य आधार पर किसी संख्या क्षेत्र के सभी असतहीय पूर्ण मूल्यों का विवरण डालते हैं।)
-जब E एक संख्या क्षेत्र (या अधिक आम तौर पर एक [[वैश्विक क्षेत्र]]) होता है, जिन्हें "स्थानीय" सूचना के कूटलेखन के रूप में देखा जाता है, तो प्रायः, एक व्यक्ति को उपरोक्त सभी समापन की समकालिकत ध्यान रखने की आवश्यकता है। यह [[एडेल रिंग|एडेल रिंग्स]] और आइडल समूहों द्वारा पूरा किया जाता है।
+जब E एक संख्या क्षेत्र (या अधिक आम तौर पर एक [[वैश्विक क्षेत्र]]) होता है, जिन्हें "क्षेत्रीय" सूचना के कूटलेखन के रूप में देखा जाता है, तो प्रायः, एक व्यक्ति को उपरोक्त सभी समापन की समकालिकत ध्यान रखने की आवश्यकता है। यह [[एडेल रिंग|एडेल वलय्स]] और आइडल समूहों द्वारा पूरा किया जाता है।
 p-ऐडिक पूर्णांकों को p-ऐडिक परिनालिका <math>\mathbb{T}_p</math> तक विस्तारित किया जा सकता है।  <math>\mathbb{T}_p</math> से एक मानचित्र है वृत्त समूह के लिए जिसके तंतु p-ऐडिक पूर्णांक <math>\mathbb{Z}_p</math> हैं, सादृश्य में <math>\mathbb{R}</math> से उस वृत्त तक का मानचित्र कैसे है जिसके तंतु <math>\mathbb{Z}</math> हैं।
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 {{Number systems}}
-{{DEFAULTSORT:P-Adic Number}}[[Category: क्षेत्र (गणित)]] [[Category: संख्या सिद्धांत]] [[Category: पी-एडिक नंबर | पी-एडिक नंबर ]]
+{{DEFAULTSORT:P-Adic Number}}
-[[Category: Machine Translated Page]]
+[[Category:Articles with hatnote templates targeting a nonexistent page|P-Adic Number]]
-[[Category:Created On 26/04/2023]]
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P-ऐडिक संख्या: Difference between revisions

Latest revision as of 15:07, 13 June 2023

परिमेय संख्याओं का p-ऐडिक विस्तार

उदाहरण

p-ऐडिक सीरीज

स्थितीय संकेतन

परिभाषा

पी-एडिक पूर्णांक

सामयिक गुण

मॉड्यूलर गुण

संकेतन

गणनांक

बीजगणितीय समापन

गुणक समूह

क्षेत्रीय-वैश्विक सिद्धांत

हेन्सेल लिफ्टिंग के साथ परिमेय अंकगणित

सामान्यीकरण और संबंधित सिद्धांतएं

यह भी देखें

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