एक मॉड्यूल का समर्थन: Difference between revisions

Latest revision as of 17:13, 1 August 2023

क्रमविनिमेय बीजगणित में, एक क्रमविनिमेय वलय A पर एक मॉड्यूल M का सपोर्ट, A के सभी अभाज्य आदर्शों ${\mathfrak {p}}$ का समुच्चय है, जैसे कि $M_{\mathfrak {p}}\neq 0$ (अर्थात्, $M_{\mathfrak {p}}\neq 0$ पर M का स्थानीयकरण ${\mathfrak {p}}$ शून्य के समान नहीं है)।^[1] इस प्रकार इसे $\operatorname {Supp} M$ से दर्शाया जाता है. परिभाषा के अनुसार सपोर्ट A के स्पेक्ट्रम का एक उपसमुच्चय है।

गुण

$M=0$ यदि और केवल यदि इसका सपोर्ट रिक्त समुच्चय है।
मान लीजिए $0\to M'\to M\to M''\to 0$ A-मॉड्यूल का संक्षिप्त स्पष्ट अनुक्रम बनें। तब
$\operatorname {Supp} M=\operatorname {Supp} M'\cup \operatorname {Supp} M''.$

ध्यान दें कि यह फेडरेशन असंयुक्त फेडरेशन नहीं हो सकता है।

यदि $M$ सबमॉड्यूल $M_{\lambda }$ का योग है , तब $\operatorname {Supp} M=\bigcup _{\lambda }\operatorname {Supp} M_{\lambda }.$
यदि $M$ एक अंतिम रूप से उत्पन्न ए-मॉड्यूल है तो $\operatorname {Supp} M$ M के एनीहिलेटर वाले सभी प्रमुख आदर्शों का समूह है। विशेष रूप से, यह स्पेक ए पर ज़ारिस्की टोपोलॉजी में विवृत है।
यदि $M,N$ फिर, अंतिम रूप से ए-मॉड्यूल उत्पन्न होते हैं
$\operatorname {Supp} (M\otimes _{A}N)=\operatorname {Supp} M\cap \operatorname {Supp} N.$
यदि $M$ एक अंतिम रूप से उत्पन्न A-मॉड्यूल है और I, A का एक आदर्श (वलय सिद्धांत) है, तो $\operatorname {Supp} (M/IM)$ $I+\operatorname {Ann} M.$ वाले सभी अभाज्य आदर्शों का समुच्चय है, यह $V(I)\cap \operatorname {Supp} M$ है

क्वासिकोहेरेंट शीफ़ का सपोर्ट

यदि f स्कीम (गणित) x पर क्वासिकोहेरेंट शीफ है, तो f का सपोर्ट x में सभी बिंदुओं x का समुच्चय है जैसे कि डंठल (शीफ) f_x शून्येतर है इस प्रकार यह परिभाषा स्पेस x पर सपोर्ट (गणित) की परिभाषा के समान है, और यह सपोर्ट शब्द का उपयोग करने के लिए प्रेरणा है। सपोर्ट के अधिकांश गुण मॉड्यूल से शब्द दर शब्द क्वासिकोहेरेंट शीव्स तक सामान्यीकृत होते हैं। उदाहरण के लिए, संबंधित शीफ (या अधिक सामान्यतः, परिमित प्रकार का शीफ) का सपोर्ट x का विवृत उपस्थान है।^[2]

यदि M वलय A के ऊपर मॉड्यूल है, तो मॉड्यूल के रूप में M का सपोर्ट मॉड्यूल क्वासिकोहेरेंट शीफ ${\tilde {M}}$ एफ़िन स्कीम Spec A पर से जुड़े शीफ के सपोर्ट से मेल खाता है । इसके अतिरिक्त, यदि $\{U_{\alpha }=\operatorname {Spec} (A_{\alpha })\}$ एक स्कीम x का एक एफ़िन आवरण है, तो एक क्वासिकोहेरेंट शीफ़ f का सपोर्ट प्रत्येक A_α पर संबंधित मॉड्यूल m_α के सपोर्ट के फेडरेशन के समान है।.^[3]

उदाहरण

जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, एक प्रमुख आदर्श ${\mathfrak {p}}$ तभी सपोर्ट में है जब इसमें $M$ का एन्निहिलेटर सम्मिलित होता है।^[4] उदाहरण के लिए $R=\mathbb {C} [x,y,z,w]$ से अधिक, मॉड्यूल का एन्निहिलेटर है

M=R/I={\frac {\mathbb {C} [x,y,z,w]}{(x^{4}+y^{4}+z^{4}+w^{4})}}

आदर्श $I=(f)=(x^{4}+y^{4}+z^{4}+w^{4})$ है. इसका तात्पर्य यह है कि $\operatorname {Supp} M\cong \operatorname {Spec} (R/I)$ , बहुपद f का लुप्त बिंदु है। संक्षिप्त स्पष्ट अनुक्रम को देखते हुए

0\to I\to R\to R/I\to 0

इस प्रकार हम गलती से अनुमान लगा सकते हैं कि I = (f) का सपोर्ट Spec(R_(f)) है, जो बहुपद f के लुप्त बिंदु का पूरक है। वास्तव में, चूँकि R एक अभिन्न डोमेन है, आदर्श I = (f) = Rf एक मॉड्यूल के रूप में R के समरूपी है, इसलिए इसका सपोर्ट संपूर्ण स्थान Supp(I) = Spec(R) है।

नोथेरियन वलय पर परिमित मॉड्यूल का सपोर्ट सदैव विशेषज्ञता के अनुसार विवृत रहता है।

अब, यदि हम एक अभिन्न डोमेन में दो बहुपद $f_{1},f_{2}\in R$ लेते हैं जो एक पूर्ण प्रतिच्छेदन आदर्श $(f_{1},f_{2})$ बनाते हैं तो टेंसर गुण हमें दिखाता है

\operatorname {Supp} \left(R/(f_{1})\otimes _{R}R/(f_{2})\right)=\,\operatorname {Supp} \left(R/(f_{1})\right)\cap \,\operatorname {Supp} \left(R/(f_{2})\right)\cong \,\operatorname {Spec} (R/(f_{1},f_{2})).

यह भी देखें

एन्निहिलेटर (वलय सिद्धांत)
एसोसिएटेड प्राइम
सपोर्ट (गणित)

संदर्भ

↑ EGA 0_I, 1.7.1.
↑ The Stacks Project authors (2017). Stacks Project, Tag 01B4.
↑ The Stacks Project authors (2017). स्टैक प्रोजेक्ट, टैग 01एएस.
↑ Eisenbud, David. बीजगणितीय ज्यामिति की ओर एक दृष्टिकोण के साथ क्रमविनिमेय बीजगणित. corollary 2.7. p. 67.{{cite book}}: CS1 maint: location (link)

Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1960). "Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas". Publications Mathématiques de l'IHÉS. 4. doi:10.1007/bf02684778. MR 0217083.
Atiyah, M. F., and I. G. Macdonald, Introduction to Commutative Algebra, Perseus Books, 1969, ISBN 0-201-00361-9 MR242802

[1] EGA 0_I, 1.7.1.

[2] The Stacks Project authors (2017). Stacks Project, Tag 01B4.

[3] The Stacks Project authors (2017). स्टैक प्रोजेक्ट, टैग 01एएस.

[4] Eisenbud, David. बीजगणितीय ज्यामिति की ओर एक दृष्टिकोण के साथ क्रमविनिमेय बीजगणित. corollary 2.7. p. 67.{{cite book}}: CS1 maint: location (link)

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-[[क्रमविनिमेय बीजगणित]] में, [[क्रमविनिमेय वलय]] ''ए'' पर एक [[मॉड्यूल (गणित)]] ''एम'' का समर्थन सभी अभाज्य आदर्शों का समुच्चय है <math>\mathfrak{p}</math> ए का ऐसा कि <math>M_\mathfrak{p} \ne 0</math> (अर्थात, एम का स्थानीयकरण (कम्यूटेटिव बीजगणित) <math>\mathfrak{p}</math> शून्य के बराबर नहीं है)।<ref>EGA 0<sub>I</sub>, 1.7.1.</ref> द्वारा निरूपित किया जाता है <math>\operatorname{Supp}M</math>. समर्थन, परिभाषा के अनुसार, ए की अंगूठी के स्पेक्ट्रम का एक उपसमूह है।
+[[क्रमविनिमेय बीजगणित]] में, एक [[क्रमविनिमेय वलय]] A पर एक मॉड्यूल M का '''सपोर्ट''', A के सभी अभाज्य आदर्शों <math>\mathfrak{p}</math> का समुच्चय है, जैसे कि <math>M_\mathfrak{p} \ne 0</math> (अर्थात्, <math>M_\mathfrak{p} \ne 0</math> पर '''M''' का स्थानीयकरण <math>\mathfrak{p}</math> शून्य के समान नहीं है)।<ref>EGA 0<sub>I</sub>, 1.7.1.</ref> इस प्रकार इसे <math>\operatorname{Supp}M</math> से दर्शाया जाता है. परिभाषा के अनुसार सपोर्ट '''A''' के स्पेक्ट्रम का एक उपसमुच्चय है।
 == गुण ==
-* <math>M = 0</math> यदि और केवल यदि इसका समर्थन [[खाली सेट]] है।
+* <math>M = 0</math> यदि और केवल यदि इसका सपोर्ट [[खाली सेट|रिक्त समुच्चय]] है।
-* होने देना <math>0 \to M' \to M \to M'' \to 0</math> ए-मॉड्यूल का एक संक्षिप्त सटीक अनुक्रम बनें। तब
+* मान लीजिए <math>0 \to M' \to M \to M'' \to 0</math> '''A'''-मॉड्यूल का संक्षिप्त स्पष्ट अनुक्रम बनें। तब
 *:<math>\operatorname{Supp}M = \operatorname{Supp}M' \cup \operatorname{Supp}M''.</math>
-:ध्यान दें कि यह संघ एक [[असंयुक्त संघ]] नहीं हो सकता है।
+:ध्यान दें कि यह फेडरेशन [[असंयुक्त संघ|असंयुक्त फेडरेशन]] नहीं हो सकता है।
-* अगर <math>M</math> [[सबमॉड्यूल]] का योग है <math>M_\lambda</math>, तब <math>\operatorname{Supp}M = \bigcup_\lambda \operatorname{Supp}M_\lambda.</math>
+* यदि <math>M</math> [[सबमॉड्यूल]] <math>M_\lambda</math> का योग है , तब <math>\operatorname{Supp}M = \bigcup_\lambda \operatorname{Supp}M_\lambda.</math>
-* अगर <math>M</math> तो, एक [[अंतिम रूप से उत्पन्न मॉड्यूल]] ए-मॉड्यूल है <math>\operatorname{Supp}M</math> एम के एनीहिलेटर (रिंग सिद्धांत) वाले सभी प्रमुख आदर्शों का समूह है। विशेष रूप से, यह स्पेक ए पर [[ज़ारिस्की टोपोलॉजी]] में बंद है।
+* यदि <math>M</math> एक अंतिम रूप से [[अंतिम रूप से उत्पन्न मॉड्यूल|उत्पन्न ए-मॉड्यूल]] है तो <math>\operatorname{Supp}M</math> '''M''' के एनीहिलेटर वाले सभी प्रमुख आदर्शों का समूह है। विशेष रूप से, यह स्पेक ए पर [[ज़ारिस्की टोपोलॉजी]] में विवृत है।
-*अगर <math>M, N</math> फिर, अंतिम रूप से ए-मॉड्यूल उत्पन्न होते हैं
+*यदि <math>M, N</math> फिर, अंतिम रूप से ए-मॉड्यूल उत्पन्न होते हैं
+*
 *:<math>\operatorname{Supp}(M \otimes_A N) = \operatorname{Supp}M \cap \operatorname{Supp}N.</math>
-*अगर <math>M</math> एक अंतिम रूप से उत्पन्न ए-मॉड्यूल है और मैं, ए का एक [[आदर्श (रिंग सिद्धांत)]] हूं <math>\operatorname{Supp}(M/IM)</math> सभी प्रमुख आदर्शों का समुच्चय है <math>I + \operatorname{Ann}M.</math> यह है <math>V(I) \cap \operatorname{Supp}M</math>.
+*यदि <math>M</math> एक अंतिम रूप से उत्पन्न A-मॉड्यूल है और I, A का एक [[आदर्श (रिंग सिद्धांत)|आदर्श (वलय सिद्धांत)]] है, तो <math>\operatorname{Supp}(M/IM)</math> <math>I + \operatorname{Ann}M.</math> वाले सभी अभाज्य आदर्शों का समुच्चय है, यह <math>V(I) \cap \operatorname{Supp}M</math> है
-== एक अर्ध सुसंगत शीफ़ का समर्थन ==
+== क्वासिकोहेरेंट शीफ़ का सपोर्ट ==
-यदि एफ एक [[योजना (गणित)]] एक्स पर एक अर्ध सुसंगत शीफ है, तो एफ का समर्थन एक्स में सभी बिंदुओं x का सेट है जैसे कि डंठल (शीफ) एफ<sub>''x''</sub> शून्येतर है. यह परिभाषा स्पेस एक्स पर [[समर्थन (गणित)]] की परिभाषा के समान है, और यह समर्थन शब्द का उपयोग करने के लिए प्रेरणा है। समर्थन के अधिकांश गुण मॉड्यूल से शब्द दर शब्द क्वासिकोहेरेंट शीव्स तक सामान्यीकृत होते हैं। उदाहरण के लिए, एक [[सुसंगत शीफ]] (या अधिक सामान्यतः, एक परिमित प्रकार का शीफ) का समर्थन एक्स का एक बंद उपस्थान है।<ref>{{cite book|author=The Stacks Project authors |title=Stacks Project, Tag 01B4|year=2017|url=http://stacks.math.columbia.edu/tag/01B4}}</ref>
+यदि f [[योजना (गणित)|स्कीम (गणित)]] x पर क्वासिकोहेरेंट शीफ है, तो f का सपोर्ट x में सभी बिंदुओं x का समुच्चय है जैसे कि डंठल (शीफ) f<sub>''x''</sub> शून्येतर है इस प्रकार यह परिभाषा स्पेस x पर [[समर्थन (गणित)|सपोर्ट (गणित)]] की परिभाषा के समान है, और यह सपोर्ट शब्द का उपयोग करने के लिए प्रेरणा है। सपोर्ट के अधिकांश गुण मॉड्यूल से शब्द दर शब्द क्वासिकोहेरेंट शीव्स तक सामान्यीकृत होते हैं। उदाहरण के लिए, [[सुसंगत शीफ|संबंधित शीफ]] (या अधिक सामान्यतः, परिमित प्रकार का शीफ) का सपोर्ट x का विवृत उपस्थान है।<ref>{{cite book|author=The Stacks Project authors |title=Stacks Project, Tag 01B4|year=2017|url=http://stacks.math.columbia.edu/tag/01B4}}</ref>
-यदि एम रिंग ए के ऊपर एक मॉड्यूल है, तो मॉड्यूल के रूप में एम का समर्थन मॉड्यूल क्वासिकोहेरेंट शीफ से जुड़े शीफ के समर्थन से मेल खाता है <math>\tilde{M}</math> एफ़िन स्कीम Spec A पर। इसके अलावा, यदि <math>\{ U_\alpha = \operatorname{Spec}(A_\alpha) \}</math> एक योजना<sub>α</sub> प्रत्येक ए के ऊपर<sub>α</sub>.<ref>{{cite book|author=The Stacks Project authors |title=स्टैक प्रोजेक्ट, टैग 01एएस|year=2017|url=http://stacks.math.columbia.edu/tag/01AS}}</ref><!-- This seems unrelated.
-Using the exact sequence
-:<math>0 \to \mathcal{O}_X(-D) \to \mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_D \to 0</math>
-for a [[divisor (algebraic geometry)|divisor]] ''D'' in a [[smooth scheme|smooth]] [[projective variety]] <math>X</math>, if we look at the open subset <math>U = X-D</math> we have
-:<math>\mathcal{O}_X(-D)(U) \cong \mathcal{O}_X(U)</math>
-from the definition of the associated line bundle (this is because <math>U \cap D = \varnothing </math>).-->
+यदि M वलय A के ऊपर मॉड्यूल है, तो मॉड्यूल के रूप में M का सपोर्ट मॉड्यूल क्वासिकोहेरेंट शीफ <math>\tilde{M}</math> एफ़िन स्कीम Spec A पर से जुड़े शीफ के सपोर्ट से मेल खाता है । इसके अतिरिक्त, यदि <math>\{ U_\alpha = \operatorname{Spec}(A_\alpha) \}</math> एक स्कीम x का एक एफ़िन आवरण है, तो एक क्वासिकोहेरेंट शीफ़ f का सपोर्ट प्रत्येक A<sub>α</sub> पर संबंधित मॉड्यूल m<sub>α</sub> के सपोर्ट के फेडरेशन के समान है।.<ref>{{cite book|author=The Stacks Project authors |title=स्टैक प्रोजेक्ट, टैग 01एएस|year=2017|url=http://stacks.math.columbia.edu/tag/01AS}}</ref>
 == उदाहरण ==
-जैसा कि ऊपर बताया गया है, एक प्रमुख आदर्श <math>\mathfrak{p}</math> समर्थन में है यदि और केवल तभी जब इसमें विनाशक शामिल हो <math>M</math>.<ref>{{cite book|last1=Eisenbud|first1=David|title=बीजगणितीय ज्यामिति की ओर एक दृष्टिकोण के साथ क्रमविनिमेय बीजगणित|location=corollary 2.7|page=67}}</ref> उदाहरण के लिए, ऊपर <math>R = \mathbb{C}[x,y,z,w]</math>, मॉड्यूल का विनाशक
+जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, एक प्रमुख आदर्श <math>\mathfrak{p}</math> तभी सपोर्ट में है जब इसमें <math>M</math> का एन्निहिलेटर सम्मिलित होता है।<ref>{{cite book|last1=Eisenbud|first1=David|title=बीजगणितीय ज्यामिति की ओर एक दृष्टिकोण के साथ क्रमविनिमेय बीजगणित|location=corollary 2.7|page=67}}</ref> उदाहरण के लिए <math>R = \mathbb{C}[x,y,z,w]</math> से अधिक, मॉड्यूल का एन्निहिलेटर है
 :<math>M = R/I = \frac{\mathbb{C}[x,y,z,w]}{(x^4 + y^4 + z^4 + w^4)}</math>
-आदर्श है <math>I = (f) =  (x^4+ y^4 + z^4 + w^4)</math>. इसका अर्थ यह है कि <math>\operatorname{Supp}M \cong \operatorname{Spec}(R/I)</math>, [[बहुपद]] f का लुप्त हो रहा स्थान। संक्षिप्त सटीक अनुक्रम को देखते हुए
+आदर्श <math>I = (f) =  (x^4+ y^4 + z^4 + w^4)</math> है. इसका तात्पर्य यह है कि <math>\operatorname{Supp}M \cong \operatorname{Spec}(R/I)</math>, बहुपद f का लुप्त बिंदु है। संक्षिप्त स्पष्ट अनुक्रम को देखते हुए
 :<math>0 \to I \to R \to R/I \to 0</math>
-हम गलती से यह अनुमान लगा सकते हैं कि I = (f) का समर्थन Spec(R) है<sub>(''f'')</sub>), जो बहुपद f के लुप्त बिंदु का पूरक है। वास्तव में, चूँकि R एक [[अभिन्न डोमेन]] है, आदर्श I = (f) = Rf एक मॉड्यूल के रूप में R के समरूपी है, इसलिए इसका समर्थन संपूर्ण स्थान है: Supp(I) = Spec(R)।
+इस प्रकार हम गलती से अनुमान लगा सकते हैं कि I = (f) का सपोर्ट Spec(R<sub>(''f'')</sub>) है, जो बहुपद f के लुप्त बिंदु का पूरक है। वास्तव में, चूँकि R एक [[अभिन्न डोमेन]] है, आदर्श I = (f) = Rf एक मॉड्यूल के रूप में R के समरूपी है, इसलिए इसका सपोर्ट संपूर्ण स्थान Supp(I) = Spec(R) है।
-[[नोथेरियन अंगूठी]] पर एक परिमित मॉड्यूल का समर्थन हमेशा विशेषज्ञता के तहत बंद रहता है।{{citation needed|date=October 2018}}
+[[नोथेरियन अंगूठी|नोथेरियन वलय]] पर परिमित मॉड्यूल का सपोर्ट सदैव विशेषज्ञता के अनुसार विवृत रहता है।
-अब, यदि हम दो बहुपद लें <math>f_1,f_2 \in R</math> एक अभिन्न डोमेन में जो एक पूर्ण प्रतिच्छेदन आदर्श बनाता है <math>(f_1,f_2)</math>, टेंसर संपत्ति हमें वह दिखाती है
+अब, यदि हम एक अभिन्न डोमेन में दो बहुपद <math>f_1,f_2 \in R</math> लेते हैं जो एक पूर्ण प्रतिच्छेदन आदर्श <math>(f_1,f_2)</math> बनाते हैं तो टेंसर गुण हमें दिखाता है
 :<math>\operatorname{Supp}\left( R/(f_1)\otimes_R R/(f_2) \right) =\, \operatorname{Supp}\left( R/(f_1)\right) \cap\, \operatorname{Supp}\left( R/(f_2)\right) \cong\, \operatorname{Spec}(R/(f_1,f_2)).</math>
+==यह भी देखें                                                                                                                                                                                                                                                                                                                      ==
-==यह भी देखें==
+*एन्निहिलेटर (वलय सिद्धांत)
-*विनाशकारी (रिंग सिद्धांत)
+*[[ संबद्ध प्रधान | एसोसिएटेड प्राइम]]
-*[[ संबद्ध प्रधान ]]
+*सपोर्ट (गणित)
-*समर्थन (गणित)
 == संदर्भ ==
@@ Line 45: / Line 39: @@
 *{{EGA|book=I}}
 * [[Michael Atiyah|Atiyah, M. F.]], and [[I. G. Macdonald]], ''Introduction to Commutative Algebra'', Perseus Books, 1969, {{isbn|0-201-00361-9}} {{MR|242802}}
-[[Category: मॉड्यूल सिद्धांत]]
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 [[Category:Created On 10/07/2023]]
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