अंकगणित और डायोफैंटाइन ज्यामिति की शब्दावली: Difference between revisions

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यह गणित में अंकगणित और [[डायोफैंटाइन ज्यामिति]] की एक शब्दावली है, जो [[संख्या सिद्धांत]] और [[बीजगणितीय ज्यामिति]] के बड़े भाग को सम्मिलित करने के लिए [[डायोफैंटाइन समीकरण|डायोफैंटाइन समीकरणों]] के पारंपरिक अध्ययन से विकसित होने वाले क्षेत्र हैं। अधिकांश सिद्धांत प्रस्तावित [[अनुमान|अनुमानों]] के रूप में हैं, जिन्हें व्यापकता के विभिन्न स्तरों पर संबंधित किया जा सकता है।
गणित में '''अंकगणित और डायोफैंटाइन ज्यामिति''' की एक शब्दावली है, जो [[संख्या सिद्धांत]] और [[बीजगणितीय ज्यामिति]] के बड़े भाग को सम्मिलित करने के लिए [[डायोफैंटाइन समीकरण]] के पारंपरिक अध्ययन से विकसित होने वाला क्षेत्र हैं। अधिकांश सिद्धांत प्रस्तावित [[अनुमान|अनुमानों]] के रूप में हैं, जिन्हें व्यापकता के विभिन्न स्तरों पर संबंधित किया जा सकता है।


सामान्य रूप से डायोफैंटाइन ज्यामिति क्षेत्र ''K'' के ऊपर बीजगणितीय प्रकार ''V'' का अध्ययन है जो कि उनके प्रमुख क्षेत्रों पर परिमित रूप से उत्पन्न होते हैं - जिसमें विशेष रुचि वाले संख्या क्षेत्र और परिमित क्षेत्र और [[स्थानीय क्षेत्र]] सम्मिलित है। उनमें से, केवल सम्मिश्र संख्याएँ [[बीजगणितीय रूप से बंद]] हैं; किसी भी अन्य ''K'' की तुलना में ''K'' में निर्देशांक के साथ ''V'' के बिंदुओं का अस्तित्व एक अतिरिक्त विषय के रूप में सिद्ध और अध्ययन किया जाना चाहिए, यहां तक ​​कि ''V'' की ज्यामिति को जानते हुए भी किया जाना चाहिए।
सामान्य रूप से डायोफैंटाइन ज्यामिति क्षेत्र ''K'' के ऊपर बीजगणितीय प्रकार ''V'' का अध्ययन है जो कि उनके प्रमुख क्षेत्रों पर परिमित रूप से उत्पन्न होते हैं - जिसमें विशेष रुचि वाले संख्या क्षेत्र और परिमित क्षेत्र और [[स्थानीय क्षेत्र]] सम्मिलित है। उनमें से, केवल सम्मिश्र संख्याएँ [[बीजगणितीय रूप से बंद|बीजगणितीय रूप से संवृत्त]] हैं; किसी भी अन्य ''K'' की तुलना में ''K'' में निर्देशांक के साथ ''V'' के बिंदुओं का अस्तित्व एक अतिरिक्त विषय के रूप में सिद्ध और अध्ययन किया जाना चाहिए, यहां तक ​​कि ''V'' की ज्यामिति को जानते हुए भी किया जाना चाहिए।


[[अंकगणितीय ज्यामिति]] को सामान्यतः पूर्णांकों के वलय के स्पेक्ट्रम पर परिमित प्रकार की [[योजना (गणित)|योजनाओं]] के अध्ययन के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।<ref>{{nlab|id=arithmetic+geometry|title=Arithmetic geometry}}</ref> अंकगणितीय ज्यामिति को संख्या सिद्धांत में समस्याओं के लिए बीजगणितीय ज्यामिति की तकनीकों के अनुप्रयोग के रूप में भी परिभाषित किया गया है।<ref>{{cite web|title=अंकगणित ज्यामिति का परिचय|last=Sutherland|first=Andrew V.|url=https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-782-introduction-to-arithmetic-geometry-fall-2013/lecture-notes/MIT18_782F13_lec1.pdf|date=September 5, 2013|access-date=22 March 2019}}</ref>
[[अंकगणितीय ज्यामिति]] को सामान्यतः पूर्णांकों के वलय के स्पेक्ट्रम पर परिमित प्रकार की [[योजना (गणित)|योजनाओं]] के अध्ययन के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।<ref>{{nlab|id=arithmetic+geometry|title=Arithmetic geometry}}</ref> अंकगणितीय ज्यामिति को संख्या सिद्धांत में समस्याओं के लिए बीजगणितीय ज्यामिति की तकनीकों के अनुप्रयोग के रूप में भी परिभाषित किया गया है।<ref>{{cite web|title=अंकगणित ज्यामिति का परिचय|last=Sutherland|first=Andrew V.|url=https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-782-introduction-to-arithmetic-geometry-fall-2013/lecture-notes/MIT18_782F13_lec1.pdf|date=September 5, 2013|access-date=22 March 2019}}</ref>
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{{term|आर्टिन L-फलन}}
{{term|आर्टिन L-फलन}}
{{defn|1=[[आर्टिन L-फलन]] को सम्पूर्ण रूप में सामान्य [[गैलोइस प्रतिनिधित्व]] के लिए परिभाषित किया गया है। 1960 के दशक में [[एटेले सह समरूपता]] की प्रारंभ का अर्थ था कि [[हस्से-वेइल L-फलन]] को [[L-एडिक सह समरूपता]] समूहों पर गैलोज़ अभ्यावेदन के लिए आर्टिन L-फलन के रूप में माना जा सकता है।}}
{{defn|1=[[आर्टिन L-फलन]] को सम्पूर्ण रूप में सामान्य [[गैलोइस प्रतिनिधित्व]] के लिए परिभाषित किया गया है। 1960 के दशक में [[एटेले सह समरूपता]] के प्रारंभ का अर्थ था कि [[हस्से-वेइल L-फलन]] को [[L-एडिक सह समरूपता]] समूहों पर गैलोज़ अभ्यावेदन के लिए आर्टिन L-फलन के रूप में माना जा सकता है।}}


==बी==
==बी==
{{glossary}}
{{glossary}}
{{term|अशुध्द कमी}}
{{term|अशुध्द लघुकरण }}
{{defn|1=''अच्छी कमी'' देखें।}}
{{defn|1=''उपयुक्त लघुकरण'' देखें।}}


{{term|बिर्च और स्विनर्टन-डायर अनुमान}}
{{term|बिर्च और स्विनर्टन-डायर अनुमान}}
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{{term|क्रिस्टलीय सह समरूपता}}
{{term|क्रिस्टलीय सह समरूपता}}
{{defn|1=[[क्रिस्टलीय कोहोमोलॉजी]] [[विशेषता p]] में एक p-एडिक कोहोमोलॉजी सिद्धांत है, जिसे [[एटेले कोहोमोलॉजी]] द्वारा छोड़े गए अंतर को भरने के लिए [[अलेक्जेंडर ग्रोथेंडिक]] द्वारा प्रस्तावित किया गया, जो इस प्रकरण में मॉड ''p'' गुणांक का उपयोग करने में कमी है। यह कई सिद्धांतों में से एक है जो किसी न किसी तरह से [[डवर्क की विधि]] से निकला है, और इसमें विशुद्ध रूप से अंकगणितीय प्रश्नों के बाहर भी अनुप्रयोग हैं।}}
{{defn|1=[[क्रिस्टलीय कोहोमोलॉजी]] [[विशेषता p]] में p-एडिक कोहोमोलॉजी सिद्धांत है, जिसे [[एटेले कोहोमोलॉजी]] द्वारा छोड़े गए अंतर को भरने के लिए [[अलेक्जेंडर ग्रोथेंडिक]] द्वारा प्रस्तावित किया गया, जो इस प्रकरण में मॉड ''p'' गुणांक का उपयोग करने में अपूर्ण है। यह कई सिद्धांतों में से एक है जो किसी न किसी तरह से [[डवर्क की विधि]] से निकला है, और इसमें विशुद्ध रूप से अंकगणितीय प्रश्नों के बाहर भी अनुप्रयोग हैं।}}


==डी==
==डी==


{{term|विकर्ण रूप}}
{{term|विकर्ण रूप}}
{{defn|1=[[विकर्ण रूप]] अंकगणितीय दृष्टिकोण [[फर्मेट प्रकार]] से अध्ययन करने के लिए सबसे सरल [[प्रक्षेपी प्रकार]] में से कुछ हैं। उनके स्थानीय ज़ेटा-फलन की गणना जैकोबी जोड़ के संदर्भ में की जाती है। [[वारिंग की समस्या]] सबसे शास्त्रीय प्रकरण है।}}
{{defn|1=[[विकर्ण रूप]] अंकगणितीय दृष्टिकोण [[फर्मेट प्रकार]] से अध्ययन करने के लिए सबसे सरल [[प्रक्षेपी प्रकार]] में से हैं। उनके स्थानीय ज़ेटा-फलन की गणना जैकोबी जोड़ के संदर्भ में की जाती है। [[वारिंग की समस्या]] सबसे शास्त्रीय प्रकरण है।}}


{{term|डायोफैंटाइन आयाम}}
{{term|डायोफैंटाइन आयाम}}
{{defn|1=किसी क्षेत्र का ''डायोफैंटाइन आयाम'' सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या ''k'' है, यदि यह उपस्थित है, तो इसका क्षेत्र वर्ग C<sub>''k''</sub> है: अर्थात्, ''N'' चरों में घात ''d'' वाले किसी भी सजातीय बहुपद में ''N'' &gt; ''d''<sup>''k''</sup> होने पर एक गैर-तुच्छ शून्य होता है। बीजगणितीय रूप से संवृत क्षेत्र डायोफ़ैंटाइन आयाम 0 के हैं; आयाम 1 के अर्ध-बीजगणितीय रूप से संवृत क्षेत्र है।}}
{{defn|1=किसी क्षेत्र का ''डायोफैंटाइन आयाम'' सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या ''k'' है, यदि यह उपस्थित है, तो इसका क्षेत्र वर्ग C<sub>''k''</sub> है: अर्थात्, ''N'' चरों में घात ''d'' वाले किसी भी सजातीय बहुपद में ''N'' &gt; ''d''<sup>''k''</sup> होने पर एक गैर-तुच्छ शून्य होता है। बीजगणितीय रूप से संवृत क्षेत्र डायोफ़ैंटाइन आयाम 0 हैं; आयाम 1 के अर्ध-बीजगणितीय रूप से संवृत क्षेत्र है।}}


{{term|किसी बिंदु का विभेदक}}
{{term|किसी बिंदु का विभेदक}}
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{{term|डवर्क की विधि}}
{{term|डवर्क की विधि}}
{{defn|1=[[बर्नार्ड डवर्क]] ने [[p-एडिक विश्लेषण]], p-एडिक[[बीजगणितीय अंतर समीकरण]], [[कोसज़ुल कॉम्प्लेक्स]] और अन्य तकनीकों के विशिष्ट प्रकार का उपयोग किया, जिन्हें [[क्रिस्टलीय कोहोलॉजी]] जैसे सामान्य सिद्धांतों में अवशोषित नहीं किया गया है। उन्होंने सबसे पहले स्थानीय ज़ेटा-फलन की [[तर्कसंगत फलन|तर्कसंगतता]] को सिद्ध किया, जो कि [[वेइल अनुमान]] की दिशा में प्रारंभिक प्रगति थी।}}
{{defn|1=[[बर्नार्ड डवर्क]] ने [[p-एडिक विश्लेषण]], p-एडिक [[बीजगणितीय अंतर समीकरण]], [[कोसज़ुल कॉम्प्लेक्स]] और अन्य तकनीकों के विशिष्ट प्रकार का उपयोग किया, जिन्हें [[क्रिस्टलीय कोहोलॉजी]] जैसे सामान्य सिद्धांतों में अवशोषित नहीं किया गया है। उन्होंने सबसे पहले स्थानीय ज़ेटा-फलन की [[तर्कसंगत फलन|तर्कसंगतता]] को सिद्ध किया, जो कि [[वेइल अनुमान]] की दिशा में प्रारंभिक प्रगति थी।}}


==ई==
==ई==


{{term|एटले सह समरूपता}}
{{term|एटले सह समरूपता}}
{{defn|1=वेइल कोहोमोलॉजी (क्यू.वी.) की खोज कम से कम आंशिक रूप से [[अलेक्जेंडर ग्रोथेंडिक]] और [[माइकल आर्टिन]] के [[एटेले कोहोमोलॉजी]] सिद्धांत में पूरी हुई थी। इसने स्थानीय ज़ेटा-फलन के लिए कार्यात्मक समीकरण का प्रमाण प्रदान किया, और टेट अनुमान (क्यू.वी.) और कई अन्य सिद्धांतों के निर्माण में बुनियादी था।}}
{{defn|1=वेइल कोहोमोलॉजी (q.v.) की खोज कम से कम आंशिक रूप से [[अलेक्जेंडर ग्रोथेंडिक]] और [[माइकल आर्टिन]] के [[एटेले कोहोमोलॉजी]] सिद्धांत में पूरी हुई थी। इसने स्थानीय ज़ेटा-फलन के लिए कार्यात्मक समीकरण का प्रमाण प्रदान किया, और टेट अनुमान (q.v.) और कई अन्य सिद्धांतों के निर्माण में बुनियादी था।}}


==एफ==
==एफ==
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{{term|समतल सह समरूपता}}
{{term|समतल सह समरूपता}}
{{defn|1=[[समतल सह समरूपता]] ग्रोथेंडिक स्कूल के लिए, विकास का एक अंतिम बिंदु है। इसका हानि यह है कि इसकी गणना करना अत्यन्त कठिन है। योजना सिद्धांत के लिए समतल टोपोलॉजी को 'सही' मूलभूत टोपोस माना गया है, इसका कारण विश्वसनीय समतल अवरोहण के तथ्य पर वापस जाता है, ग्रोथेंडिक की खोज कि प्रतिनिधित्व करने योग्य प्रकार्यक इसके लिए शेव हैं (अर्थात एक बहुत ही सामान्य ग्लूइंग अभिगृहीत मान्य है)।}}
{{defn|1=[[समतल सह समरूपता]] ग्रोथेंडिक स्कूल के लिए, विकास का एक अंतिम बिंदु है। इससे हानि यह है कि इसकी गणना करना अत्यन्त कठिन है। योजना सिद्धांत के लिए समतल टोपोलॉजी को 'सही' मूलभूत टोपोस माना गया है, इसका कारण विश्वसनीय समतल अवरोहण के तथ्य पर वापस जाता है, ग्रोथेंडिक की खोज कि प्रतिनिधित्व करने योग्य प्रकार्यक इसके लिए शीव हैं (अर्थात एक बहुत ही सामान्य ग्लूइंग अभिगृहीत मान्य है)।}}


{{term|फलन क्षेत्र समानता}}
{{term|फलन क्षेत्र समानता}}
{{defn|1=उन्नीसवीं सदी में यह महसूस किया गया कि किसी संख्या क्षेत्र के पूर्णांकों की रिंग में बीजगणितीय वक्र या सघन रीमैन सतह की एफ़िन समन्वय रिंग के साथ समानताएं होती हैं, किसी संख्या क्षेत्र के 'अनंत स्थानों' के अनुरूप एक या अधिक बिंदु हटा दिए जाते है। यह विचार इस सिद्धांत में अधिक सटीक रूप से कूटबद्ध है कि सभी वैश्विक क्षेत्रों को एक ही आधार पर व्यवहार किया जाना चाहिए।विचार और आगे बढ़ता है। इस प्रकार, सम्मिश्र संख्याओं पर दीर्घवृत्तीय सतहों में भी संख्या क्षेत्रों पर दीर्घवृत्तीय वक्रों के साथ कुछ यथार्थ समानताएँ होती हैं।}}
{{defn|1=उन्नीसवीं सदी में यह महसूस किया गया कि किसी संख्या क्षेत्र के पूर्णांकों की रिंग में बीजगणितीय वक्र या सघन रीमैन सतह की एफ़िन समन्वय रिंग के साथ समानताएं होती हैं, किसी संख्या क्षेत्र के 'अनंत स्थानों' के अनुरूप एक या अधिक बिंदु हटा दिए जाते है। यह विचार इस सिद्धांत में अधिक यथार्थतः कूटबद्ध है कि सभी वैश्विक क्षेत्रों को एक ही आधार पर व्यवहार किया जाना चाहिए। विचार और आगे बढ़ता है। इस प्रकार, सम्मिश्र संख्याओं पर दीर्घवृत्तीय सतहों में भी संख्या क्षेत्रों पर दीर्घवृत्तीय वक्रों के साथ कुछ यथार्थ समानताएँ होती हैं।}}


==जी==
==जी==


{{term|<nowiki>[[ज्यामितीय वर्ग क्षेत्र सिद्धांत]</nowiki>}}
{{term|<nowiki>[[ज्यामितीय वर्ग क्षेत्र सिद्धांत]</nowiki>}}
{{defn|1=[[वर्ग क्षेत्र सिद्धांत]]-वर्ग क्षेत्र सिद्धांत [[एबेलियन आवरण]] से कम से कम दो आयामों के प्रकार तक विस्तार को प्रायः ''ज्यामितीय'' वर्ग क्षेत्र सिद्धांत कहा जाता है।}}
{{defn|1=[[वर्ग क्षेत्र सिद्धांत]] [[एबेलियन आवरण]] से कम से कम दो आयामों के प्रकार तक विस्तार को प्रायः ''ज्यामितीय'' वर्ग क्षेत्र सिद्धांत कहा जाता है।}}


{{term|उपयुक्त कमी}}
{{term|उपयुक्त कमी}}
{{defn|1=अंकगणितीय समस्याओं में स्थानीय विश्लेषण के लिए मौलिक रूप से सभी अभाज्य संख्याओं ''p'' या, अधिक सामान्यतः, अभाज्य आदर्शों को कम करना है। सामान्य स्थिति में यह लगभग सभी ''p'' के लिए थोड़ी कठिनाई प्रस्तुत करता है; उदाहरण के लिए, भिन्नों के भाजक कठिन होते हैं, उस कमी मॉड्यूलो में भाजक में एक अभाज्य शून्य से विभाजन जैसा दिखता है, लेकिन यह प्रति अंश केवल सीमित संख्या में ''p'' को ही वर्जित करता है। थोड़े अतिरिक्त परिष्कार के साथ, सजातीय निर्देशांक एक सामान्य अदिश से गुणा करके भाजक को निकास करने की अनुमति देता हैं। किसी दिए गए, एकल बिंदु के लिए कोई ऐसा कर सकता है और एक सामान्य गुणनखंड ''p'' नहीं छोड़ सकता हैं। हालाँकि विलक्षणता सिद्धांत में प्रवेश होता है: एक गैर-एकवचन बिंदु न्यूनीकरण मॉड्यूल ''p'' पर एक विलक्षण बिंदु बन सकता है, क्योंकि ज़ारिस्की स्पर्शरेखा समष्टि बड़ा हो सकता है जब रैखिक शब्द 0 तक कम हो जाते हैं (ज्यामितीय सूत्रीकरण से पता चलता है कि यह निर्देशांक के एक समुच्चय की गलती नहीं है)। अच्छी कमी से तात्पर्य उस कम प्रकार से है जिसमें मूल के समान गुण होते हैं, उदाहरण के लिए, एक बीजगणितीय वक्र जिसमें एक ही जीनस होता है, या एक स्मूथ प्रकार स्मूथ बना हुआ है। सामान्य रूप में किसी दी गई किस्म ''V'' के लिए अभाज्य संख्याओं का एक सीमित समुच्चय ''S'' होगा, सुचारू मान लिया गया है, जैसे कि अन्यथा ''Z/pZ'' पर एक सुचारू रूप से ''Vp'' कम किया गया है। एबेलियन प्रकार के लिए, अच्छी कमी नेरॉन-ओग-शफारेविच मानदंड द्वारा विभाजन बिंदुओं के क्षेत्र में प्रभाव से जुड़ी हुई है। सिद्धांत सूक्ष्म है, इस अर्थ में कि प्रकरणों को सुधारने की कोशिश करने के लिए चर बदलने की स्वतंत्रता स्पष्ट नहीं है: नेरॉन मॉडल, संभावित उपयुक्त कमी, टेट वक्र, सेमीस्टेबल एबेलियन विविधता, सेमीस्टेबल दीर्घवृत्तीय वक्र, सेरे-टेट प्रमेय देखें।<ref>{{cite journal | first1=Jean-Pierre | last1=Serre | author-link1=Jean-Pierre Serre | first2=John | last2=Tate | author-link2=John Tate (mathematician)| title=Good reduction of abelian varieties | journal=[[The Annals of Mathematics]] | series=Second | volume=88 | number=3 | date=November 1968 | pages=492–517 | zbl=0172.46101 | doi=10.2307/1970722 | jstor=1970722}}</ref>}}
{{defn|1=अंकगणितीय समस्याओं में स्थानीय विश्लेषण के लिए मौलिक रूप से सभी अभाज्य संख्याओं ''p'' या, अधिक सामान्यतः, अभाज्य आदर्शों को कम करना है। सामान्य स्थिति में यह लगभग सभी ''p'' के लिए थोड़ी कठिनाई प्रस्तुत करते है; उदाहरण के लिए, भिन्नों के भाजक कठिन होते हैं, उस लघूकरण मॉड्यूलो में भाजक में एक अभाज्य शून्य से विभाजन जैसा दिखता है, लेकिन यह प्रति अंश केवल सीमित संख्या में ''p'' को ही वर्जित करता है। कुछ अतिरिक्त परिष्कार के साथ, सजातीय निर्देशांक एक सामान्य अदिश से गुणा करके भाजक को निकास करने की अनुमति देता हैं। किसी दिए गए, एकल बिंदु के लिए कोई ऐसा कर सकता है और एक सामान्य गुणनखंड ''p'' नहीं छोड़ सकता हैं। हालाँकि विलक्षणता सिद्धांत में प्रवेश होता है: एक गैर-एकवचन बिंदु न्यूनीकरण मॉड्यूल ''p'' पर एक विलक्षण बिंदु बन सकता है, क्योंकि ज़ारिस्की स्पर्शरेखा समष्टि बड़ी हो सकती है जब रैखिक शब्द 0 तक कम हो जाते हैं (ज्यामितीय सूत्रीकरण से पता चलता है कि यह निर्देशांक के एक समुच्चय की गलती नहीं है)। उपयुक्त लघूकरण से तात्पर्य उस कम प्रकार से है जिसमें मूल के समान गुण होते हैं, उदाहरण के लिए, एक बीजगणितीय वक्र जिसमें एक ही जीनस होता है, या एक स्मूथ प्रकार स्मूथ बना होता है। सामान्य रूप में किसी दिए गए प्रकार ''V'' के लिए अभाज्य संख्याओं का एक सीमित समुच्चय ''S'' होगा, सुचारू मान लिया गया है, जैसे कि अन्यथा ''Z/pZ'' पर एक सुचारू रूप से ''Vp'' कम किया गया है। एबेलियन प्रकार के लिए, उपयुक्त लघूकरण नेरॉन-ओग-शफारेविच मानदंड द्वारा विभाजन बिंदुओं के क्षेत्र में प्रभाव से जुड़ा हुआ है। सिद्धांत सूक्ष्म है, इस अर्थ में कि प्रकरणों को उत्कृष्ट करने के प्रयास के लिए चर बदलने की स्वतंत्रता स्पष्ट नहीं है: नेरॉन मॉडल, संभावित उपयुक्त लघूकरण, टेट वक्र, सेमीस्टेबल एबेलियन विविधता, सेमीस्टेबल दीर्घवृत्तीय वक्र, सेरे-टेट प्रमेय देखें।<ref>{{cite journal | first1=Jean-Pierre | last1=Serre | author-link1=Jean-Pierre Serre | first2=John | last2=Tate | author-link2=John Tate (mathematician)| title=Good reduction of abelian varieties | journal=[[The Annals of Mathematics]] | series=Second | volume=88 | number=3 | date=November 1968 | pages=492–517 | zbl=0172.46101 | doi=10.2307/1970722 | jstor=1970722}}</ref>}}


{{term|ग्रोथेंडिक-काट्ज़ अनुमान}}
{{term|ग्रोथेंडिक-काट्ज़ अनुमान}}
{{defn|1=The [[ग्रोथेंडिक-काट्ज़ p-वक्रता अनुमान]] [[बीजीय फलन]] समाधानों पर जानकारी प्राप्त करने के लिए, [[बीजगणितीय अंतर समीकरण]] में कमी मॉड्यूलो अभाज्य को उपयोजित करता है। यह 2016 तक एक विवृत समस्या है। इस प्रकार का प्रारंभिक परिणाम [[आइसेनस्टीन का प्रमेय]] था।}}
{{defn|1=The [[ग्रोथेंडिक-काट्ज़ p-वक्रता अनुमान]] [[बीजीय फलन]] समाधानों पर जानकारी प्राप्त करने के लिए, [[बीजगणितीय अंतर समीकरण]] में लघूकरण मॉड्यूल अभाज्य को उपयोजित करता है। यह 2016 तक एक विवृत समस्या है। इस प्रकार का प्रारंभिक परिणाम [[आइसेनस्टीन का प्रमेय]] था।}}


==एच==
==एच==


{{term|हस्से सिद्धांत}}
{{term|हस्से सिद्धांत}}
{{defn|1=[[हैसे सिद्धांत]] बताता है कि [[वैश्विक क्षेत्र]] के लिए विलेयता सभी प्रासंगिक [[स्थानीय क्षेत्र]] में विलेयता के समान है। डायोफैंटाइन ज्यामिति का एक मुख्य उद्देश्य उन प्रकरणों को वर्गीकृत करना है जहां हस्से सिद्धांत उपयोजित होता है। सामान्यतः यह बड़ी संख्या में चरों के लिए होता है, जब किसी समीकरण की डिग्री निश्चित रखी जाती है। हस्से सिद्धांत प्रायः हार्डी-लिटलवुड वृत्त पद्धति की सफलता से जुड़ा होता है। जब वृत्त पद्धति काम करती है,यह अतिरिक्त, मात्रात्मक जानकारी जैसे समाधानों की स्पर्शोन्मुख संख्या प्रदान कर सकता है। चरों की संख्या कम करने से वृत्त विधि कठिन हो जाती है; इसलिए हैस सिद्धांत की विफलताएं, उदाहरण के लिए छोटी संख्या में चर में घन रूपों के लिए (और विशेष रूप से घन वक्र के रूप में दीर्घवृत्तीय वक्रों के लिए) विश्लेषणात्मक दृष्टिकोण की सीमाओं से जुड़े सामान्य स्तर पर हैं।}}
{{defn|1=[[हैसे सिद्धांत]] बताता है कि [[वैश्विक क्षेत्र]] के लिए विलेयता सभी प्रासंगिक [[स्थानीय क्षेत्र]] में विलेयता के समान है। डायोफैंटाइन ज्यामिति का एक मुख्य उद्देश्य उन प्रकरणों को वर्गीकृत करना है जहां हस्से सिद्धांत उपयोजित होते है। सामान्यतः यह बड़ी संख्या में चरों के लिए होता है, जब किसी समीकरण की डिग्री निश्चित रखी जाती है। हस्से सिद्धांत प्रायः हार्डी-लिटलवुड वृत्त पद्धति की सफलता से जुड़ा होता है। जब वृत्त पद्धति काम करती है, यह अतिरिक्त, मात्रात्मक जानकारी जैसे समाधानों की स्पर्शोन्मुख संख्या प्रदान कर सकता है। चरों की संख्या कम करने से वृत्त विधि कठिन हो जाती है; इसलिए हैस सिद्धांत की विफलताएं, उदाहरण के लिए छोटी संख्या चर में घन रूपों के लिए (और विशेष रूप से घन वक्र के रूप में दीर्घवृत्तीय वक्रों के लिए) विश्लेषणात्मक दृष्टिकोण की सीमाओं से जुड़े सामान्य स्तर पर हैं।}}


{{term|हस्से-वेइल L-फलन }}
{{term|हस्से-वेइल L-फलन }}
{{defn|1=एक [[हैस-वेइल L-फलन]], जिसे कभी-कभी ''वैश्विक'' L-फलन भी कहा जाता है, एक [[यूलर उत्पाद]] है जो स्थानीय ज़ेटा-फलन से बनता है। ऐसे [[L-फलन]] के गुण बड़े पैमाने पर अनुमान के क्षेत्र में रहते हैं, जिसमें [[तानियामा-शिमुरा अनुमान]] का प्रमाण एक सफलता है। [[लैंगलैंड्स दर्शनशास्त्र]] व्यापक रूप से वैश्विक L-फलन के सिद्धांत का पूरक है।}}
{{defn|1=[[हैस-वेइल L-फलन]], जिसे कभी-कभी ''वैश्विक'' L-फलन भी कहा जाता है, एक [[यूलर उत्पाद]] है जो स्थानीय ज़ेटा-फलन से बनता है। ऐसे [[L-फलन]] के गुण बड़े पैमाने पर अनुमान के क्षेत्र में रहते हैं, जिसमें [[तानियामा-शिमुरा अनुमान]] का प्रमाण एक सफलता है। [[लैंगलैंड्स दर्शनशास्त्र]] व्यापक रूप से वैश्विक L-फलन के सिद्धांत का पूरक है।}}


{{term|ऊंचाई फलन }}
{{term|ऊंचाई फलन }}
{{defn|1=डायोफैंटाइन ज्यामिति में एक [[ऊंचाई फलन]] डायोफैंटाइन समीकरणों के समाधान के आकार को निर्धारित करता है। <ref>{{harvs|txt|last=Lang|authorlink=Serge Lang|year=1997|pages=43–67}}</ref>}}
{{defn|1=डायोफैंटाइन ज्यामिति में एक [[ऊंचाई फलन]] डायोफैंटाइन समीकरणों के समाधान के आकार को निर्धारित करती है। <ref>{{harvs|txt|last=Lang|authorlink=Serge Lang|year=1997|pages=43–67}}</ref>}}


{{term|हिल्बर्टियन क्षेत्र}}
{{term|हिल्बर्टियन क्षेत्र}}
{{defn|1=[[हिल्बर्टियन क्षेत्र]] ''K'' वह है जिसके लिए ''K'' के ऊपर [[प्रक्षेप्य समष्टि]] जीन-पियरे सेरे के अर्थ में क्षीण समुच्चय नहीं हैं। यह [[हिल्बर्ट की अपरिवर्तनीयता प्रमेय]] पर एक ज्यामितीय विचार है जो दर्शाता है कि तर्कसंगत संख्याएं हिल्बर्टियन हैं। परिणाम व्युत्क्रम गैलोज़ समस्या पर उपयोजित होते हैं। क्षीण समुच्चय (फ़्रेंच शब्द ''मिंस'') कुछ अर्थों में बेयर श्रेणी प्रमेय के अल्प समुच्चय (फ़्रेंच मेग्रे) के अनुरूप हैं।}}
{{defn|1=[[हिल्बर्टियन क्षेत्र]] ''K'' वह है जिसके लिए ''K'' के ऊपर [[प्रक्षेप्य समष्टि]] जीन-पियरे सेरे के अर्थ में क्षीण समुच्चय नहीं हैं। यह [[हिल्बर्ट की अपरिवर्तनीयता प्रमेय]] पर एक ज्यामितीय विचार है जो दर्शाता है कि तर्कसंगत संख्याएं हिल्बर्टियन हैं। परिणाम व्युत्क्रम गैलोज़ समस्या पर उपयोजित होते हैं। क्षीण समुच्चय (फ़्रेंच शब्द ''मिंस'') कुछ अर्थों में बेयर श्रेणी प्रमेय के अल्प समुच्चय (फ़्रेंच मेग्रे) के अनुरूप हैं।}}


==मैं==
==आई==


{{term|Igusa zeta-function}}
{{term|इगुसा जीटा-फलन }}
{{defn|1=An [[Igusa zeta-function]], named for [[Jun-ichi Igusa]], is a [[generating function]] counting numbers of points on an algebraic variety modulo high powers ''p''<sup>''n''</sup> of a fixed prime number ''p''. General [[rational function|rationality theorems]] are now known, drawing on methods of [[mathematical logic]].<ref>{{cite journal |last=Igusa |first=Jun-Ichi |year=1974 |title=Complex powers and asymptotic expansions. I. Functions of certain types |journal=[[Crelle's Journal|Journal für die reine und angewandte Mathematik]] |volume=1974 |issue=268–269 |pages=110–130 |doi=10.1515/crll.1974.268-269.110 | zbl=0287.43007|s2cid=117772856 }}</ref>}}
{{defn|1=एक इगुसा ज़ेटा-फलन, जिसे जून-इची इगुसा नाम दिया गया है, एक निश्चित अभाज्य संख्या p के बीजगणितीय विविधता मोडुल उच्च शक्ति pn पर अंकों की संख्या की गणना करने वाले एक उत्पादक फलन है। सामान्य तर्कसंगतता प्रमेय अब ज्ञात हैं, जो गणितीय तर्क के प्रकार पर आधारित हैं।<ref>{{cite journal |last=Igusa |first=Jun-Ichi |year=1974 |title=Complex powers and asymptotic expansions. I. Functions of certain types |journal=[[Crelle's Journal|Journal für die reine und angewandte Mathematik]] |volume=1974 |issue=268–269 |pages=110–130 |doi=10.1515/crll.1974.268-269.110 | zbl=0287.43007|s2cid=117772856 }}</ref>}}


{{term|Infinite descent}}
{{term|अनंत अवतरण}}
{{defn|1=[[Infinite descent]] was [[Pierre de Fermat]]'s classical method for Diophantine equations. It became one half of the standard proof of the Mordell–Weil theorem, with the other being an argument with height functions (q.v.). Descent is something like division by two in a group of [[principal homogeneous space]]s (often called 'descents', when written out by equations); in more modern terms in a [[Galois cohomology]] group which is to be proved finite. See [[Selmer group]].}}
{{defn|1=[[अनंत अवरोहण]] डायोफैंटाइन समीकरणों के लिए [[पियरे डी फ़र्मेट]] की शास्त्रीय विधि थी। यह मोर्डेल-वेइल प्रमेय के मानक प्रमाण का एक आधा भाग बन गया, जबकि दूसरा ऊंचाई फलनों (q.v.) के साथ एक तर्क था। अवतरण कुछ-कुछ प्रमुख समभावसमष्‍टि के समूह में दो से विभाजन जैसा है (प्रायः इसे 'अवरोहण' कहा जाता है, जब इसे समीकरणों द्वारा लिखा जाता है); गैलोइस कोहोमोलॉजी समूह में अधिक आधुनिक शब्दों में जिसे सीमित सिद्ध किया जाता है। सेल्मर समूह देखें।}}


{{term|Iwasawa theory}}
{{term|इवासावा सिद्धांत}}
{{defn|1=[[Iwasawa theory]] builds up from the [[analytic number theory]] and [[Stickelberger's theorem]] as a theory of [[ideal class group]]s as [[Galois module]]s and [[p-adic L-function]]s (with roots in [[Kummer congruence]] on [[Bernoulli number]]s). In its early days in the late 1960s it was called ''[[Kenkichi Iwasawa|Iwasawa's]] analogue of the Jacobian''. The analogy was with the [[Jacobian variety]] ''J'' of a curve ''C'' over a finite field ''F'' (''qua'' Picard variety), where the finite field has [[roots of unity]] added to make finite field extensions ''{{prime|F}}'' The local zeta-function (q.v.) of ''C'' can be recovered from the points ''J''(''{{prime|F}}'') as Galois module. In the same way, Iwasawa added ''p''<sup>''n''</sup>-power roots of unity for fixed ''p'' and with ''n'' → ∞, for his analogue, to a number field ''K'', and considered the [[inverse limit]] of class groups, finding a ''p''-adic L-function earlier introduced by Kubota and Leopoldt.}}
{{defn|1=[[इवासावा सिद्धांत]] [[विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत]] और [[स्टिकेलबर्गर के प्रमेय]] से गैलोज़ मॉड्यूल और p-एडिक L-फलन (बर्नौली संख्याओं पर कुमेर अनुरूपता में जड़ों के साथ) के रूप में आदर्श वर्ग समूहों के सिद्धांत के रूप में निर्मित होता है। 1960 के दशक के अंत में अपने आरम्भिक दिनों में इसे जैकोबियन का इवासावा एनालॉग कहा जाता था। सादृश्य एक परिमित क्षेत्र ''F'' (क्वा पिकार्ड प्रकार) पर एक वक्र ''C'' के जैकोबियन प्रकार ''J'' के साथ था, जहां परिमित क्षेत्र में परिमित क्षेत्र विस्तार F′ बनाने के लिए एकता की मूल जोड़ी गई हैं, C के स्थानीय ज़ेटा-फलन (q.v.) को गैलोइस मॉड्यूल के रूप में बिंदु J(F′) से पुनर्प्राप्त किया जा सकता है। उसी तरह, इवासावा ने अपने एनालॉग के लिए, निश्चित ''p'' के लिए और ''n'' → ∞ के साथ, एक संख्या क्षेत्र ''K'' में एकता की pn-शक्ति मूल जोड़ा, और वर्ग समूहों की प्रतिलोम सीमा पर विचार किया, कुबोटा और लियोपोल्ड्ट द्वारा पहले प्रस्तावित किया और p-एडिक L-फलन द्वारा प्रस्तुत किया था।}}


==के==
==के==
 
{{term|K-सिद्धांत}}
{{term|K-theory}}
{{defn|1=बीजगणितीय K-सिद्धांत एक ओर अमूर्त बीजगणित अनुमान के साथ अत्यन्त सामान्य सिद्धांत, और दूसरी ओर, अंकगणितीय अनुमानों के कुछ सूत्रों में निहित है। उदाहरण के लिए [[बिर्च-टेट अनुमान]], [[लिक्टेनबाम अनुमान]] देखें।}}
{{defn|1=[[Algebraic K-theory]] is on one hand a quite general theory with an [[abstract algebra]] flavour, and, on the other hand, implicated in some formulations of arithmetic conjectures. See for example [[Birch–Tate conjecture]], [[Lichtenbaum conjecture]].}}


==एल==
==एल==


{{term|Lang conjecture}}
{{term|लैंग अनुमान}}
{{defn|1=[[Enrico Bombieri]] (dimension 2), [[Serge Lang]] and [[Paul Vojta]] (integral points case) and Piotr Blass have conjectured that algebraic varieties of [[general type]] do not have [[Zariski dense]] subsets of ''K''-rational points, for ''K'' a finitely-generated field. This circle of ideas includes the understanding of ''analytic hyperbolicity'' and the Lang conjectures on that, and the Vojta conjectures. An ''analytically hyperbolic algebraic variety'' ''V'' over the complex numbers is one such that no [[holomorphic mapping]] from the whole [[complex plane]] to it exists, that is not constant. Examples include [[compact Riemann surface]]s of genus ''g'' > 1. Lang conjectured that ''V'' is analytically hyperbolic if and only if all subvarieties are of general type.<ref name=HS479/>}}
{{defn|1=एनरिको बॉम्बिएरी (आयाम 2), सर्ज लैंग और पॉल वोज्टा (अभिन्न बिंदु प्रकरण) और पियोट्र ब्लास ने अनुमान लगाया है कि सामान्य प्रकार की बीजगणितीय प्रकार में K-तर्कसंगत बिंदुओं के ज़ारिस्की घने उपसमुच्चय नहीं हैं, K के लिए एक सूक्ष्म रूप से उत्पन्न क्षेत्र हैं। विचारों के इस चक्र में विश्लेषणात्मक अतिशयोक्ति और उस पर लैंग अनुमान और वोज्टा अनुमान की समझ सम्मिलित है। सम्मिश्र संख्याओं पर एक विश्लेषणात्मक रूप से अतिशयोक्तिपूर्ण बीजगणितीय विविधता V ऐसी है जिसमें पूरे सम्मिश्र सतह से कोई होलोमोर्फिक मानचित्रण उपस्थित नहीं है, जो स्थिर नहीं है। उदाहरण में जीनस ''g'' > 1 की सघन रीमैन सतहें सम्मिलित हैं। लैंग ने अनुमान लगाया कि ''V'' विश्लेषणात्मक रूप से अतिशयोक्तिपूर्ण है यदि और केवल तभी जब सभी उप-प्रकार सामान्य प्रकार के हैं।}}


{{term|Linear torus}}
{{term|रैखिक टोरस}}
{{defn|1=A ''linear torus'' is a geometrically irreducible Zariski-closed subgroup of an affine torus (product of multiplicative groups).<ref>Bombieri & Gubler (2006) pp.82–93</ref>}}
{{defn|1=एक ''रैखिक टोरस'' एक एफाइन टोरस (गुणक समूहों का उत्पाद) का एक ज्यामितीय रूप से अपरिवर्तनीय ज़ारिस्की-संवृत उपसमूह है।<ref>Bombieri & Gubler (2006) pp.82–93</ref>}}


{{term|Local zeta-function}}
{{term|स्थानीय जीटा-फलन }}
{{defn|1=A [[local zeta-function]] is a [[generating function]] for the number of points on an algebraic variety ''V'' over a [[finite field]] ''F'', over the finite [[field extension]]s of ''F''. According to the Weil conjectures (q.v.) these functions, for [[Algebraic curve#Singularities|non-singular]] varieties, exhibit properties closely analogous to the [[Riemann zeta-function]], including the [[Riemann hypothesis]].}}
{{defn|1=एक स्थानीय ज़ेटा-फलन एक परिमित क्षेत्र ''F'' पर, ''F'' के परिमित क्षेत्र विस्तार पर बीजगणितीय विविधता ''V'' पर बिंदुओं की संख्या के लिए एक उत्पादक फलन है। वेइल अनुमान (q.v.) के अनुसार, ये फलन, गैर-एकवचन प्रकार के लिए, रीमैन परिकल्पना सहित, रीमैन ज़ेटा-फलन के समान गुण प्रदर्शित करते हैं।}}


==एम==
==एम==


{{term|Manin–Mumford conjecture}}
{{term|मैनिन-ममफोर्ड अनुमान}}
{{defn|1=The [[Manin–Mumford conjecture]], now proved by [[Michel Raynaud]], states that a curve ''C'' in its [[Jacobian variety]] ''J'' can only contain a finite number of points that are of finite order in ''J'', unless ''C'' = ''J''.<ref>{{cite book | first=Michel | last=Raynaud | author-link=Michel Raynaud | chapter=Sous-variétés d'une variété abélienne et points de torsion | language=fr | editor1-last=Artin | editor1-first=Michael | editor1-link=Michael Artin | editor2-last=Tate | editor2-first=John | editor2-link=John Tate (mathematician) | title=Arithmetic and geometry. Papers dedicated to I. R. Shafarevich on the occasion of his sixtieth birthday. Vol. I: Arithmetic | series=Progress in Mathematics | volume=35 | publisher=Birkhauser-Boston | year=1983 | pages= 327–352 | zbl=0581.14031 }}</ref><ref>{{cite book | zbl=1098.14030 | last=Roessler | first=Damian | chapter=A note on the Manin–Mumford conjecture | editor1-last=van der Geer | editor1-first=Gerard | editor2-last=Moonen | editor2-first=Ben | editor3-last=Schoof | editor3-first=René | editor3-link=René Schoof | title=Number fields and function fields — two parallel worlds | publisher=Birkhäuser | series=Progress in Mathematics | volume=239 | pages=311–318 | year=2005 | isbn=0-8176-4397-4 }}</ref>}}
{{defn|1=[[मैनिन-ममफोर्ड अनुमान]], जो अब [[मिशेल रेनॉड]] द्वारा सिद्ध किया गया है, जिसमें कहा गया है कि इसके [[जैकोबियन प्रकार]] ''J'' में एक वक्र ''C'' में केवल सीमित संख्या में बिंदु हो सकते हैं जो ''J'' में सीमित क्रम हैं, जब तक कि ''C'' = ''J'' हैं।}}


{{term|Mordell conjecture}}
{{term|मोर्डेल अनुमान}}
{{defn|1=The [[Mordell conjecture]] is now the [[Faltings theorem]], and states that a curve of genus at least two has only finitely many rational points. The [[Uniformity conjecture]] states that there should be a uniform bound on the number of such points, depending only on the genus and the field of definition.}}
{{defn|1=[[मोर्डेल अनुमान]] अब [[फाल्टिंग्स प्रमेय]] है, और बताता है कि कम से कम दो जीनस के एक वक्र में केवल सीमित रूप से कई तर्कसंगत बिंदु होते हैं। [[एकरूपता अनुमान]] में कहा गया है कि ऐसे बिंदुओं की संख्या पर एक समान सीमा होनी चाहिए, जो केवल जीनस और परिभाषा के क्षेत्र पर निर्भर करती है।}}


{{term|Mordell–Lang conjecture}}
{{term|मोर्डेल-लैंग अनुमान}}
{{defn|1=The Mordell–Lang conjecture, now proved by [[Michael McQuillan (mathematician)|McQuillan]] following work of Laurent, [[Michel Raynaud|Raynaud]], Hindry, [[Paul Vojta|Vojta]], and [[Gerd Faltings|Faltings]], is a conjecture of [[Serge Lang|Lang]] unifying the Mordell conjecture and [[Manin–Mumford conjecture]] in an [[abelian variety]] or [[semiabelian variety]].<ref>{{cite journal |last1=McQuillan |first1=Michael |title=Division points on semi-abelian varieties |journal=Invent. Math. |date=1995 |volume=120 |issue=1 |pages=143–159 |doi=10.1007/BF01241125|bibcode=1995InMat.120..143M |s2cid=120053132 }}</ref><ref>[http://www.math.harvard.edu/~mazur/preprints/Lang.mem.pdf 2 page exposition of the Mordell–Lang conjecture by B. Mazur, 3 Nov. 2005]</ref>}}
{{defn|1=मोर्डेल-लैंग अनुमान, जो अब लॉरेंट, रेनॉड, हिंड्री, वोज्टा और फाल्टिंग्स के काम के बाद मैकक्विलन द्वारा सिद्ध किया गया है, लैंग का एक अनुमान है जो मोर्डेल अनुमान और मैनिन-ममफोर्ड अनुमान को एबेलियन प्रकार या सेमीएबेलियन प्रकार में एकीकृत करता है।}}


{{term|Mordell–Weil theorem}}
{{term|मोर्डेल-वेइल प्रमेय}}
{{defn|1=The [[Mordell–Weil theorem]] is a foundational result stating that for an abelian variety ''A'' over a number field ''K'' the group ''A''(''K'') is a [[finitely-generated abelian group]]. This was proved initially for number fields ''K'', but extends to all finitely-generated fields.}}
{{defn|1=[[मोर्डेल-वेइल प्रमेय]] एक मूलभूत परिणाम है जो बताता है कि एक संख्या क्षेत्र ''K'' पर एबेलियन प्रकार ''A'' के लिए समूह ''A''(''K'') एक अंतिम रूप से उत्पन्न एबेलियन समूह है। यह प्रारंभ में संख्या क्षेत्र ''K'' के लिए सिद्ध हुआ था, लेकिन सभी अंतिम रूप से उत्पन्न क्षेत्र तक विस्तारित है।}}


{{term|Mordellic variety}}
{{term|मोर्डेलिक प्रकार}}
{{defn|1=A [[Mordellic variety]] is an algebraic variety which has only finitely many points in any finitely generated field.<ref>Lang (1997) p.15</ref>}}
{{defn|1=[[मोर्डेलिक प्रकार]] एक बीजगणितीय प्रकार है जिसके किसी भी अंतिम रूप से उत्पन्न क्षेत्र में केवल सीमित संख्या में बिंदु होते हैं।<ref>Lang (1997) p.15</ref>}}


==एन==
==एन==


{{term|Naive height}}
{{term|नैवे ऊंचाई}}


{{defn|1=The [[Height function#Naive height|naive height]] or classical height of a vector of rational numbers is the maximum absolute value of the vector of coprime integers obtained by multiplying through by a [[lowest common denominator]]. This may be used to define height on a point in projective space over '''Q''', or of a polynomial, regarded as a vector of coefficients, or of an algebraic number, from the height of its minimal polynomial.<ref>{{cite book | first1=Alan | last1=Baker | author-link1=Alan Baker (mathematician)| first2=Gisbert | last2= Wüstholz | author-link2=Gisbert Wüstholz | title=Logarithmic Forms and Diophantine Geometry | series=New Mathematical Monographs | volume=9 | publisher=[[Cambridge University Press]] | year=2007 | isbn=978-0-521-88268-2 | zbl=1145.11004 | page=3 }}</ref>}}
{{defn|1=परिमेय संख्याओं के सदिश की अनुभवहीन ऊँचाई या शास्त्रीय ऊँचाई, न्यूनतम सामान्य भाजक से गुणा करके प्राप्त सहअभाज्य पूर्णांकों के सदिश का अधिकतम निरपेक्ष मान है। इसका उपयोग ''Q'' के ऊपर प्रक्षेप्य समष्टि में एक बिंदु पर ऊंचाई को परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है, इसे इसके न्यूनतम बहुपद की ऊंचाई से गुणांकों या बीजगणितीय संख्या के सदिश के रूप में माना जाता है। <ref>{{cite book | first1=Alan | last1=Baker | author-link1=Alan Baker (mathematician)| first2=Gisbert | last2= Wüstholz | author-link2=Gisbert Wüstholz | title=Logarithmic Forms and Diophantine Geometry | series=New Mathematical Monographs | volume=9 | publisher=[[Cambridge University Press]] | year=2007 | isbn=978-0-521-88268-2 | zbl=1145.11004 | page=3 }}</ref>}}


{{term|Néron symbol}}
{{term|नेरॉन प्रतीक}}
{{defn|1=The ''Néron symbol'' is a bimultiplicative pairing between divisors and [[algebraic cycles]] on an [[Abelian variety]] used in Néron's formulation of the [[Néron–Tate height]] as a sum of local contributions.<ref name=BG301>Bombieri & Gubler (2006) pp.301–314</ref><ref>Lang (1988) pp.66–69</ref><ref name=L212>Lang (1997) p.212</ref> The global Néron symbol, which is the sum of the local symbols, is just the negative of the height pairing.<ref name=L8877>Lang (1988) p.77</ref>}}
{{defn|1=नेरॉन प्रतीक स्थानीय योगदान के योग के रूप में नेरॉन के नेरॉन-टेट ऊंचाई के निर्माण में उपयोग किए जाने वाले एबेलियन प्रकार पर भाजक और बीजगणितीय चक्रों के मध्य एक द्विगुणात्मक युग्मन है। वैश्विक नेरॉन प्रतीक, जो स्थानीय प्रतीकों का योग है, ऊंचाई युग्म का केवल ऋणात्मक है।<ref name=BG301>Bombieri & Gubler (2006) pp.301–314</ref><ref>Lang (1988) pp.66–69</ref><ref name=L212>Lang (1997) p.212</ref> <ref name=L8877>Lang (1988) p.77</ref>}}


{{term|Néron–Tate height}}
{{term|नेरॉन-टेट ऊंचाई}}


{{defn|1=The [[Néron–Tate height]] (also often referred to as the [[canonical height]]) on an [[abelian variety]] ''A'' is a height function (q.v.) that is essentially intrinsic, and an exact [[quadratic form]], rather than approximately quadratic with respect to the addition on ''A'' as provided by the general theory of heights. It can be defined from a general height by a limiting process; there are also formulae, in the sense that it is a sum of local contributions.<ref name=L8877/>}}
{{defn|1=एबेलियन प्रकार ''A'' पर नेरॉन-टेट ऊंचाई (जिसे प्रायः विहित ऊंचाई भी कहा जाता है) एक ऊंचाई फलन (q.v.) है जो अनिवार्य रूप से आंतरिक है, और ऊंचाई के सामान्य सिद्धांत द्वारा प्रदान किए गए ''A'' पर जोड़ के संबंध में लगभग द्विघात के बदले एक यथार्थ द्विघात रूप है। इसे एक सीमित प्रक्रिया द्वारा सामान्य ऊंचाई से परिभाषित किया जा सकता है; ऐसे सूत्र भी हैं, इस अर्थ में कि यह स्थानीय योगदान का योग है। <ref name=L8877/>}}


{{term|Nevanlinna invariant}}
{{term|नेवानलिन्ना निश्चर }}
{{defn|1= The ''[[Nevanlinna invariant]]'' of an [[ample divisor]] ''D'' on a [[normal variety|normal]] [[projective variety]] ''X'' is a real number which describes the rate of growth of the number of rational points on the variety with respect to the embedding defined by the divisor.<ref>Hindry & Silverman (2000) p.488</ref> It has similar formal properties to the abscissa of convergence of the [[height zeta function]] and it is conjectured that they are essentially the same.<ref>{{cite journal | zbl=0679.14008 | last1=Batyrev | first1=V.V. | last2=Manin | first2=Yu.I. | author2-link=Yuri I. Manin | title=On the number of rational points of bounded height on algebraic varieties | journal=Math. Ann. | volume=286 | pages=27–43 | year=1990 | doi = 10.1007/bf01453564 | s2cid=119945673 }}</ref>}}
{{defn|1= एक सामान्य प्रक्षेप्य विविधता ''X'' पर एक पर्याप्त भाजक ''D'' का नेवानलिन्ना निश्चर एक वास्तविक संख्या है जो भाजक द्वारा परिभाषित एम्बेडिंग के संबंध में विविधता पर तर्कसंगत बिंदुओं की संख्या की वृद्धि दर का वर्णन करता है। इसमें ऊंचाई ज़ेटा फलन के अभिसरण के भुज के समान औपचारिक गुण हैं और यह अनुमान लगाया गया है कि वे अनिवार्य रूप में समान हैं।<ref>Hindry & Silverman (2000) p.488</ref> <ref>{{cite journal | zbl=0679.14008 | last1=Batyrev | first1=V.V. | last2=Manin | first2=Yu.I. | author2-link=Yuri I. Manin | title=On the number of rational points of bounded height on algebraic varieties | journal=Math. Ann. | volume=286 | pages=27–43 | year=1990 | doi = 10.1007/bf01453564 | s2cid=119945673 }}</ref>}}


==ओ==
==ओ==


{{term|Ordinary reduction}}
{{term|सामान्य लघूकरण}}
{{defn|1=An Abelian variety ''A'' of dimension ''d'' has ''ordinary reduction'' at a prime ''p'' if it has [[good reduction]] at ''p'' and in addition the ''p''-torsion has rank ''d''.<ref>Lang (1997) pp.161–162</ref>}}
{{defn|1=आयाम ''d'' की एक एबेलियन प्रकार ''A'' में मूल ''p'' पर सामान्य लघूकरण होता है यदि इसमें ''p'' पर उपयुक्त लघूकरण होता है और इसके अलावा ''p''-टोरसन की श्रेणी ''d'' होता है।<ref>Lang (1997) pp.161–162</ref>}}


==क्यू==
==क्यू==


{{term|Quasi-algebraic closure}}
{{term|क्वासि-बीजगणितीय समापन}}
{{defn|1=The topic of [[quasi-algebraic closure]], i.e. solubility guaranteed by a number of variables polynomial in the degree of an equation, grew out of studies of the [[Brauer group]] and the [[Chevalley–Warning theorem]]. It stalled in the face of [[counterexample]]s; but see [[Ax–Kochen theorem]] from [[mathematical logic]].}}
{{defn|1=अर्ध-बीजगणितीय समापन का विषय, अर्थात एक समीकरण की डिग्री में कई चर बहुपद द्वारा गारंटीकृत विलेयता, ब्रूयर समूह और शेवेल्ली-चेतावनी प्रमेय के अध्ययन से विकसित होते है। प्रति उदाहरणों के सामने यह अवरुद्ध; लेकिन गणितीय तर्क से Ax-कोचेन प्रमेय देखें।}}


==आर==
==आर==


{{term|Reduction ''modulo'' a prime number or ideal}}
{{term|लघूकरण ''मॉड्यूल'' एक अभाज्य संख्या या आदर्श}}
{{defn|1=See ''good reduction''.}}
{{defn|1=''उपयुक्त कमी'' देखें।}}


{{term|Replete ideal}}
{{term|परिपूर्ण आदर्श}}
{{defn|1=A ''replete ideal'' in a number field ''K'' is a formal product of a [[fractional ideal]] of ''K'' and a vector of positive real numbers with components indexed by the infinite places of ''K''.<ref>Neukirch (1999) p.185</ref> A ''replete divisor'' is an [[Arakelov divisor]].<ref name=Neukirch189>Neukirch (1999) p.189</ref>}}
{{defn|1=संख्या क्षेत्र ''K'' में एक परिपूर्ण आदर्श, ''K'' के भिन्नात्मक आदर्श का एक औपचारिक उत्पाद है और ''K'' के अनंत स्थानों द्वारा अनुक्रमित घटकों के साथ धनात्मक वास्तविक संख्याओं का एक सदिश है। एक पूर्ण भाजक एक अराकेलोव भाजक है। <ref>Neukirch (1999) p.185</ref> <ref name=Neukirch189>Neukirch (1999) p.189</ref>}}


==एस==
==एस==


{{term|Sato–Tate conjecture}}
{{term|सातो-टेट अनुमान}}
{{defn|1=The [[Sato–Tate conjecture]] describes the distribution of [[Frobenius element]]s in the [[Tate module]]s of the [[elliptic curve]]s over [[finite field]]s obtained from reducing a given elliptic curve over the rationals. [[Mikio Sato]] and, independently, [[John Tate (mathematician)|John Tate]]<ref>It is mentioned in J. Tate, ''Algebraic cycles and poles of zeta functions'' in the volume (O. F. G. Schilling, editor), ''Arithmetical Algebraic Geometry'', pages 93–110 (1965).</ref> suggested it around 1960. It is a prototype for [[Galois representation]]s in general.}}
{{defn|1=सातो-टेट अनुमान परिमेय पर दिए गए दीर्घवृत्तीय वक्र को कम करने से प्राप्त परिमित क्षेत्रों पर दीर्घवृत्तीय वक्रों के टेट मॉड्यूल में फ्रोबेनियस अवयव के वितरण का वर्णन करते है। मिकियो सातो और, स्वतंत्र रूप से, जॉन टेट ने 1960 के आसपास इसका सुझाव दिया था। यह सामान्य रूप से गैलोज़ प्रतिनिधित्व के लिए एक आदिप्ररूप है।}}


{{term|Skolem's method}}
{{term|स्कोलेम की विधि}}
{{defn|1=See ''Chabauty's method''.}}
{{defn|1=''चाबाउटी की विधि'' देखें।}}


{{term|Special set}}
{{term|विशेष समुच्चय}}
{{defn|1=The ''special set'' in an algebraic variety is the subset in which one might expect to find many rational points. The precise definition varies according to context. One definition is the [[Zariski closure]] of the union of images of algebraic groups under non-trivial rational maps; alternatively one may take images of abelian varieties;<ref>Lang (1997) pp.17–23</ref> another definition is the union of all subvarieties that are not of general type.<ref name=HS479>Hindry & Silverman (2000) p.479</ref> For abelian varieties the definition would be the union of all translates of proper abelian subvarieties.<ref name=HS480>Hindry & Silverman (2000) p.480</ref> For a complex variety, the ''holomorphic special set'' is the Zariski closure of the images of all non-constant holomorphic maps from '''C'''. Lang conjectured that the analytic and algebraic special sets are equal.<ref>Lang (1997) p.179</ref>}}
{{defn|1=बीजगणितीय विविधता में विशेष समुच्चय वह उपसमुच्चय है जिसमें कोई व्यक्ति कई तर्कसंगत बिंदुओं को खोजने की उम्मीद कर सकता है। परिशुद्ध परिभाषा संदर्भ के अनुसार बदलती रहती है। एक परिभाषा गैर-तुच्छ तर्कसंगत प्रतिबिंब के अंतर्गत बीजीय समूहों की छवियों के जोड़ को ज़ारिस्की द्वारा समापन करती है; वैकल्पिक रूप से कोई एबेलियन प्रकार के प्रतिबिंब ले सकते है; एक अन्य परिभाषा उन सभी उप-प्रकार का संघ है जो सामान्य प्रकार का नहीं हैं। एबेलियन प्रकार के लिए परिभाषा उचित एबेलियन उप-प्रकार के सभी अनुवादों का संघ है। एक सम्मिश्र विविधता के लिए, होलोमोर्फिक विशेष समुच्चय C से सभी गैर-स्थिर होलोमोर्फिक मानचित्रों की छवियों का ज़ारिस्की क्लोजर है। लैंग ने अनुमान लगाया कि विश्लेषणात्मक और बीजगणितीय विशेष समुच्चय समान हैं।}}


{{term|Subspace theorem}}
{{term|उपसमष्‍टि प्रमेय}}
{{defn|1=Schmidt's '''[[subspace theorem]]''' shows that points of small height in projective space lie in a finite number of hyperplanes. A quantitative form of the theorem, in which the number of subspaces containing all solutions, was also obtained by Schmidt, and the theorem was generalised by Schlickewei (1977) to allow more general [[absolute value (algebra)|absolute values]] on [[number field]]s. The theorem may be used to obtain results on [[Diophantine equation]]s such as [[Siegel's theorem on integral points]] and solution of the [[S-unit equation]].<ref>Bombieri & Gubler (2006) pp.176–230</ref>}}
{{defn|1=श्मिट के उपसमष्‍टि प्रमेय से पता चलता है कि प्रक्षेप्य समष्‍टि में छोटी ऊंचाई के बिंदु सीमित संख्या में अधिसमतल में स्थित होते हैं। प्रमेय का एक मात्रात्मक रूप, जिसमें सभी समाधानों वाले उपसमष्‍टि की संख्या भी श्मिट द्वारा प्राप्त की गई थी, और संख्या क्षेत्रों पर अधिक सामान्य निरपेक्ष मानों की अनुमति देने के लिए प्रमेय को श्लिकवेई (1977) द्वारा सामान्यीकृत किया गया था। प्रमेय का उपयोग डायोफैंटाइन समीकरणों पर परिणाम प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है जैसे कि अभिन्न बिंदुओं पर सीगल का प्रमेय और S-इकाई समीकरण का समाधान हैं।<ref>Bombieri & Gubler (2006) pp.176–230</ref>}}


==टी==
==टी==


{{term|Tamagawa numbers}}
{{term|तमागावा संख्या}}
{{defn|1=The direct [[Tamagawa number]] definition works well only for [[linear algebraic group]]s. There the [[Weil conjecture on Tamagawa numbers]] was eventually proved. For abelian varieties, and in particular the Birch–Swinnerton-Dyer conjecture (q.v.), the Tamagawa number approach to a [[local–global principle]] fails on a direct attempt, though it has had heuristic value over many years. Now a sophisticated [[equivariant Tamagawa number conjecture]] is a major research problem.}}
{{defn|1=प्रत्यक्ष तमागावा संख्या परिभाषा केवल रैखिक बीजगणितीय समूहों के लिए अच्छी तरह से काम करती है। वहां तमागावा संख्या पर वेइल अनुमान अंततः सिद्ध हुआ है। एबेलियन प्रकार के लिए, और विशेष रूप से बर्च-स्विनर्टन-डायर अनुमान (q.v.) के लिए, स्थानीय-वैश्विक सिद्धांत के लिए तमागावा संख्या दृष्टिकोण प्रत्यक्ष प्रयास में विफल रहती है, हालांकि कई वर्षों से इसका अनुमानी मूल्य रहता है। अब एक परिष्कृत समतुल्य तमागावा संख्या अनुमान एक प्रमुख शोध समस्या है।}}


{{term|Tate conjecture}}
{{term|टेट अनुमान}}
{{defn|1=The [[Tate conjecture]] ([[John Tate (mathematician)|John Tate]], 1963) provided an analogue to the [[Hodge conjecture]], also on [[algebraic cycle]]s, but well within arithmetic geometry. It also gave, for [[elliptic surface]]s, an analogue of the Birch–Swinnerton-Dyer conjecture (q.v.), leading quickly to a clarification of the latter and a recognition of its importance.}}
{{defn|1=टेट अनुमान (जॉन टेट, 1963) ने हॉज अनुमान को एक एनालॉग प्रदान किया, वह भी बीजगणितीय चक्रों पर लेकिन अंकगणितीय ज्यामिति के अंतर्गत है। इसने, दीर्घवृत्तीय सतहों के लिए, बिर्च-स्विनर्टन-डायर अनुमान (q.v.) का एक एनालॉग भी दिया, जिससे उत्तरार्द्ध का स्पष्टीकरण और इसके महत्व की पहचान हुई।}}


{{term|Tate curve}}
{{term|टेट वक्र}}
{{defn|1=The [[Tate curve]] is a particular elliptic curve over the [[p-adic number]]s introduced by John Tate to study bad reduction (see ''good reduction'').}}
{{defn|1=टेट वक्र गलत लघूकरण (उपयुक्त लघूकरण देखें) का अध्ययन करने के लिए जॉन टेट द्वारा प्रस्तुत p-एडिक संख्याओं पर एक विशेष दीर्घवृत्तीय वक्र है।}}


{{term|Tsen rank}}
{{term|त्सेन श्रेणी}}
{{defn|1=The [[Tsen rank]] of a field, named for [[C. C. Tsen]] who introduced their study in 1936,<ref>{{cite journal | first=C. | last=Tsen | author-link=C. C. Tsen | title=Zur Stufentheorie der Quasi-algebraisch-Abgeschlossenheit kommutativer Körper | journal=J. Chinese Math. Soc. | volume=171 | year=1936 | pages=81–92 | zbl=0015.38803 }}</ref> is the smallest natural number ''i'', if it exists, such that the field is of class T<sub>''i''</sub>: that is, such that any system of polynomials with no constant term of degree ''d<sub>j</sub>'' in ''n'' variables has a non-trivial zero whenever ''n'' &gt; Σ ''d''<sub>''j''</sub><sup>''i''</sup>. Algebraically closed fields are of Tsen rank zero. The Tsen rank is greater or equal to the [[Diophantine dimension]] but it is not known if they are equal except in the case of rank zero.<ref>{{cite book | first=Falko | last=Lorenz | title=Algebra. Volume II: Fields with Structure, Algebras and Advanced Topics | year=2008 | publisher=Springer | isbn=978-0-387-72487-4 | pages=109–126 }}</ref>}}
{{defn|1=किसी क्षेत्र की Tsen श्रेणी, जिसका नाम C. C. Tsen के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने 1936 में अपना अध्ययन प्रारंभ किया था, सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या ''i'' है, यदि यह उपस्थित है, जैसे कि क्षेत्र ''Ti'' वर्ग का है: अर्थात्, ''n'' चरों में घात ''dj'' का कोई स्थिर पद न रखने वाले बहुपदों की किसी भी प्रणाली में ''n > Σ dji'' होने पर एक गैर-तुच्छ शून्य होता है।}}


==यू==
==यू==


{{term|Uniformity conjecture}}
{{term|एकरूपता अनुमान}}
{{defn|1=The [[uniform boundedness conjecture for rational points|uniformity conjecture]] states that for any number field ''K'' and ''g'' > 2, there is a uniform bound ''B''(''g'',''K'') on the number of ''K''-rational points on any curve of genus ''g''. The conjecture would follow from the [[Bombieri–Lang conjecture]].<ref>{{cite journal | zbl=0872.14017 | last1=Caporaso | first1=Lucia | author1-link = Lucia Caporaso | last2=Harris | first2=Joe | author2-link = Joe Harris (mathematician) | last3=Mazur | first3=Barry | author3-link = Barry Mazur | title=Uniformity of rational points | journal=[[Journal of the American Mathematical Society]] | volume=10 | number=1 | year=1997 | pages=1–35 | doi=10.1090/S0894-0347-97-00195-1 | url=https://www.ams.org/journals/jams/1997-10-01/S0894-0347-97-00195-1/home.html | jstor=2152901 | doi-access=free }}</ref>}}
{{defn|1=एकरूपता अनुमान बताता है कि किसी भी संख्या क्षेत्र ''K'' और ''g'' > 2 के लिए, जीनस ''g'' के किसी भी वक्र पर ''K''-तर्कसंगत बिंदुओं की संख्या पर एक समान सीमा ''B(g,K)'' होती है। यह अनुमान बॉम्बिएरी-लैंग अनुमान का अनुसरण करता है।}}


{{term|Unlikely intersection}}
{{term|असंभावित प्रतिच्छेदन }}
{{defn|1=An ''unlikely intersection'' is an algebraic subgroup intersecting a subvariety of a torus or abelian variety in a set of unusually large dimension, such as is involved in the [[Mordell–Lang conjecture]].<ref>{{cite book | title=Some Problems of Unlikely Intersections in Arithmetic and Geometry | series=Annals of Mathematics Studies | volume=181 | first=Umberto | last=Zannier | isbn=978-0-691-15371-1 | publisher=[[Princeton University Press]] | year=2012 }}</ref>}}
{{defn|1=एक ''असंभावित प्रतिच्छेदन'' एक बीजगणितीय उपसमूह है जो असामान्य रूप से बड़े आयाम के एक समुच्चय में टोरस या एबेलियन प्रकार की उप-विविधता को प्रतिच्छेद करता है, जैसे कि [[मोर्डेल-लैंग अनुमान]] में सम्मिलित है।<ref>{{cite book | title=Some Problems of Unlikely Intersections in Arithmetic and Geometry | series=Annals of Mathematics Studies | volume=181 | first=Umberto | last=Zannier | isbn=978-0-691-15371-1 | publisher=[[Princeton University Press]] | year=2012 }}</ref>}}


==वी==
==वी==


{{term|Vojta conjecture}}
{{term|वोज्टा अनुमान}}
{{defn|1=The [[Vojta conjecture]] is a complex of conjectures by [[Paul Vojta]], making analogies between [[Diophantine approximation]] and [[Nevanlinna theory]].}}
{{defn|1=वोज्टा अनुमान पॉल वोज्टा के अनुमानों का एक सम्मिश्र है, जो डायोफैंटाइन सन्निकटन और नेवानलिन्ना सिद्धांत के मध्य समानताएं बनाता है।}}


==डब्ल्यू==
==डब्ल्यू==


{{term|Weights}}
{{term|वज़न}}
{{defn|1=The [[yoga of weights]] is a formulation by [[Alexander Grothendieck]] of analogies between [[Hodge theory]] and [[l-adic cohomology]].<ref>[[Pierre Deligne]], ''Poids dans la cohomologie des variétés algébriques'', Actes ICM, Vancouver, 1974, 79–85.</ref>}}
{{defn|1=[[वजन का योग]] [[अलेक्जेंडर ग्रोथेंडिक]] द्वारा [[हॉज सिद्धांत]] और [[l-एडिक सह समरूपता]] के मध्य समानता का एक सूत्रीकरण है।<ref>[[Pierre Deligne]], ''Poids dans la cohomologie des variétés algébriques'', Actes ICM, Vancouver, 1974, 79–85.</ref>}}


{{term|Weil cohomology}}
{{term|वेइल सह समरूपता}}
{{defn|1=The initial idea, later somewhat modified, for proving the Weil conjectures (q.v.), was to construct a [[cohomology theory]] applying to algebraic varieties over [[finite field]]s that would both be as good as [[singular homology]] at detecting topological structure, and have [[Frobenius mapping]]s acting in such a way that the [[Lefschetz fixed-point theorem]] could be applied to the counting in [[local zeta-function]]s. For later history see [[motive (algebraic geometry)]], [[motivic cohomology]].}}
{{defn|1=प्रारंभिक विचार, बाद में कुछ संशोधित, वेइल अनुमान (q.v.) को सिद्ध करने के लिए, परिमित क्षेत्रों में बीजगणितीय प्रकार पर उपयोजित होने वाले एक कोहोमोलॉजी सिद्धांत का निर्माण करना था जो टोपोलॉजिकल संरचना का पता लगाने में एकवचन होमोलॉजी जितना अच्छा होगा, और फ्रोबेनियस मानचित्रण इस तरह से कार्य कर रहा है कि लेफ्शेट्ज़ निश्चित-बिंदु प्रमेय को स्थानीय ज़ेटा-फलन में गिनती के लिए उपयोजित किया जा सकता है। बाद के इतिहास के लिए मोटिव (बीजगणितीय ज्यामिति), मोटिविक सह समरूपता देखें।}}


{{term|Weil conjectures}}
{{term|वील अनुमान}}
{{defn|1=The [[Weil conjectures]] were three highly influential conjectures of [[André Weil]], made public around 1949, on local zeta-functions. The proof was completed in 1973. Those being proved, there remain extensions of the [[Chevalley–Warning theorem]] congruence, which comes from an elementary method, and [[improvements of Weil bounds]], e.g. better estimates for curves of the number of points than come from Weil's basic theorem of 1940. The latter turn out to be of interest for [[Algebraic geometry code]]s.}}
{{defn|1=[[वेइल अनुमान]] [[आंद्रे वेइल]] के तीन अत्यधिक प्रभावशाली अनुमान थे, जिन्हें 1949 के आसपास स्थानीय ज़ेटा-फलन पर सार्वजनिक किया गया था। प्रमाण 1973 में पूरा हुआ था। जिन्हें सिद्ध किया जा रहा है, शेवेल्ली-चेतावनी प्रमेय सर्वांगसमता के विस्तार बने हुए हैं, जो एक प्राथमिक विधि से आते है, और वेइल सीमा में सुधार, जैसे 1940 के वेइल के मूल प्रमेय की तुलना में अंकों की संख्या के वक्रों के लिए श्रेष्ठतर अनुमान है। उत्तरार्द्ध बीजगणितीय ज्यामिति कोड के लिए रुचिकर सिद्ध हुआ है।}}


{{term|Weil distributions on algebraic varieties}}
{{term|बीजगणितीय प्रकार पर वील वितरण}}
{{defn|1=André Weil proposed a theory in the 1920s and 1930s on [[prime ideal]] decomposition of algebraic numbers in coordinates of points on algebraic varieties. It has remained somewhat under-developed.}}
{{defn|1=आंद्रे वेइल ने 1920 और 1930 के दशक में बीजगणितीय प्रकार पर बिंदुओं के निर्देशांक में बीजगणितीय संख्याओं के अपघटन पर एक सिद्धांत प्रस्तावित किया था। यह कुछ अविकसित रह गया था।}}


{{term|Weil function}}
{{term|वेइल फलन }}
{{defn|1=A ''Weil function'' on an algebraic variety is a real-valued function defined off some [[Cartier divisor]] which generalises the concept of [[Green's function]] in [[Arakelov theory]].<ref>Lang (1988) pp.1–9</ref> They are used in the construction of the local components of the [[Néron–Tate height]].<ref name=L164>Lang (1997) pp.164,212</ref>}}
{{defn|1=बीजगणितीय विविधता पर एक ''वेइल फलन'' कुछ [[कार्टियर विभाजक]] से परिभाषित एक वास्तविक-मूल्यवान फलन है जो [[अराकेलोव सिद्धांत]] में [[ग्रीन के फलन]] की अवधारणा को सामान्यीकृत करता है।<ref>Lang (1988) pp.1–9</ref> इनका उपयोग नेरॉन-टेट ऊंचाई के स्थानीय घटकों के निर्माण में किया जाता है। <ref name=L164>Lang (1997) pp.164,212</ref>}}


{{term|Weil height machine}}
{{term|वेइल ऊंचाई मशीन}}


{{defn|1=The ''Weil height machine'' is an effective procedure for assigning a height function to any divisor on smooth projective variety over a number field (or to [[Cartier divisor]]s on non-smooth varieties).<ref>Hindry & Silverman (2000) 184–185</ref>}}
{{defn|1=वेइल हाइट मशीन किसी संख्या क्षेत्र पर सुचारू प्रक्षेप्य विविधता पर किसी भी विभाजक (या गैर-सुचारू प्रकार पर कार्टियर विभाजक) को ऊंचाई फलन निर्दिष्ट करने के लिए एक प्रभावी प्रक्रिया है।<ref>Hindry & Silverman (2000) 184–185</ref>}}


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Latest revision as of 11:01, 12 August 2023

गणित में अंकगणित और डायोफैंटाइन ज्यामिति की एक शब्दावली है, जो संख्या सिद्धांत और बीजगणितीय ज्यामिति के बड़े भाग को सम्मिलित करने के लिए डायोफैंटाइन समीकरण के पारंपरिक अध्ययन से विकसित होने वाला क्षेत्र हैं। अधिकांश सिद्धांत प्रस्तावित अनुमानों के रूप में हैं, जिन्हें व्यापकता के विभिन्न स्तरों पर संबंधित किया जा सकता है।

सामान्य रूप से डायोफैंटाइन ज्यामिति क्षेत्र K के ऊपर बीजगणितीय प्रकार V का अध्ययन है जो कि उनके प्रमुख क्षेत्रों पर परिमित रूप से उत्पन्न होते हैं - जिसमें विशेष रुचि वाले संख्या क्षेत्र और परिमित क्षेत्र और स्थानीय क्षेत्र सम्मिलित है। उनमें से, केवल सम्मिश्र संख्याएँ बीजगणितीय रूप से संवृत्त हैं; किसी भी अन्य K की तुलना में K में निर्देशांक के साथ V के बिंदुओं का अस्तित्व एक अतिरिक्त विषय के रूप में सिद्ध और अध्ययन किया जाना चाहिए, यहां तक ​​कि V की ज्यामिति को जानते हुए भी किया जाना चाहिए।

अंकगणितीय ज्यामिति को सामान्यतः पूर्णांकों के वलय के स्पेक्ट्रम पर परिमित प्रकार की योजनाओं के अध्ययन के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।[1] अंकगणितीय ज्यामिति को संख्या सिद्धांत में समस्याओं के लिए बीजगणितीय ज्यामिति की तकनीकों के अनुप्रयोग के रूप में भी परिभाषित किया गया है।[2]


ए

एबीसी अनुमान
मैसर और ओस्टरले का एबीसी अनुमान एक समीकरण a + b = c में दोहराए गए अभाज्य कारकों के बारे में जितना संभव हो उतना बताने का प्रयास करता है। उदाहरण के लिए 3 + 125 = 128 लेकिन यहाँ की प्रमुख शक्तियाँ असाधारण हैं।
अराकेलोव वर्ग समूह
अरकेलोव वर्ग समूह अरकेलोव विभाजकों के लिए आदर्श वर्ग समूह या विभाजक वर्ग समूह का एनालॉग है।
अराकेलोव विभाजक
वैश्विक क्षेत्र पर एक अराकेलोव भाजक (या पूर्ण भाजक) भाजक या भिन्नात्मक आदर्श की अवधारणा का विस्तार है। यह क्षेत्र के स्थानों का एक औपचारिक रैखिक संयोजन है जिसमें पूर्णांक गुणांक वाले परिमित स्थान और वास्तविक गुणांक वाले अनंत स्थान होते हैं।
अराकेलोव ऊंचाई
बीजगणितीय संख्याओं के क्षेत्र में एक प्रक्षेप्य स्थान पर अराकेलोव ऊंचाई एक वैश्विक ऊंचाई फलन है जिसमें आर्किमिडीयन क्षेत्रों पर फ़ुबिनी-अध्ययन मापन और गैर-आर्किमिडीयन क्षेत्रों पर सामान्य मापन से स्थानीय योगदान आता है।
अराकेलोव सिद्धांत
अराकेलोव सिद्धांत अंकगणितीय ज्यामिति का एक दृष्टिकोण है जिसमें स्पष्ट रूप से 'अनंत अभाज्य' सम्मिलित हैं।
एबेलियन प्रकार का अंकगणित
मुख्य लेख देखें एबेलियन प्रकार का अंकगणित
आर्टिन L-फलन
आर्टिन L-फलन को सम्पूर्ण रूप में सामान्य गैलोइस प्रतिनिधित्व के लिए परिभाषित किया गया है। 1960 के दशक में एटेले सह समरूपता के प्रारंभ का अर्थ था कि हस्से-वेइल L-फलन को L-एडिक सह समरूपता समूहों पर गैलोज़ अभ्यावेदन के लिए आर्टिन L-फलन के रूप में माना जा सकता है।

बी

अशुध्द लघुकरण
उपयुक्त लघुकरण देखें।
बिर्च और स्विनर्टन-डायर अनुमान
बिर्च और स्विनर्टन-डायर अनुमान दीर्घवृत्तीय वक्र पर एक दीर्घवृत्तीय वक्र की श्रेणी और इसके हासे-वेइल L-फलन के ध्रुव के क्रम के मध्य एक संबंध बताता है। कोट्स-विल्स प्रमेय, ग्रॉस-ज़ैगियर प्रमेय और कोलाइविन प्रमेय जैसे परिणामों के साथ, यह 1960 के दशक के मध्य से डायोफैंटाइन ज्यामिति में एक महत्वपूर्ण ऐतिहासिक स्थल रहा है।[3]

सी

विहित ऊंचाई
एबेलियन किस्म पर विहित ऊंचाई एक ऊंचाई फलन है जो एक विशिष्ट द्विघात रूप है। नेरॉन-टेट ऊंचाई देखें।
चाबाउटी की विधि
चबाउटी की विधि, p-एडिक विश्लेषणात्मक फलनों पर आधारित, एक विशेष अनुप्रयोग है लेकिन उन वक्रों के लिए मोर्डेल अनुमान के प्रकरणों को सिद्ध करने में सक्षम है जिनकी जैकोबियन की श्रेणी उसके आयाम से कम है। इसने बीजगणितीय टोरस के लिए थोरलफ स्कोलेम की विधि से विचार विकसित किया है। (डायोफैंटाइन समस्याओं के लिए अन्य पुराने विधि में रंज की विधि सम्मिलित है।)
कोट्स-विल्स प्रमेय
कोट्स-विल्स प्रमेय में कहा गया है कि वर्ग संख्या 1 और सकारात्मक श्रेणी के एक काल्पनिक द्विघात क्षेत्र द्वारा सम्मिश्र गुणन के साथ एक दीर्घवृत्तीय वक्र में s = 1 पर शून्य के साथ L-फलन होता है। यह बिर्च और स्विनर्टन-डायर अनुमान का एक विशेष प्रकरण है।
क्रिस्टलीय सह समरूपता
क्रिस्टलीय कोहोमोलॉजी विशेषता p में p-एडिक कोहोमोलॉजी सिद्धांत है, जिसे एटेले कोहोमोलॉजी द्वारा छोड़े गए अंतर को भरने के लिए अलेक्जेंडर ग्रोथेंडिक द्वारा प्रस्तावित किया गया, जो इस प्रकरण में मॉड p गुणांक का उपयोग करने में अपूर्ण है। यह कई सिद्धांतों में से एक है जो किसी न किसी तरह से डवर्क की विधि से निकला है, और इसमें विशुद्ध रूप से अंकगणितीय प्रश्नों के बाहर भी अनुप्रयोग हैं।

डी

विकर्ण रूप
विकर्ण रूप अंकगणितीय दृष्टिकोण फर्मेट प्रकार से अध्ययन करने के लिए सबसे सरल प्रक्षेपी प्रकार में से हैं। उनके स्थानीय ज़ेटा-फलन की गणना जैकोबी जोड़ के संदर्भ में की जाती है। वारिंग की समस्या सबसे शास्त्रीय प्रकरण है।
डायोफैंटाइन आयाम
किसी क्षेत्र का डायोफैंटाइन आयाम सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या k है, यदि यह उपस्थित है, तो इसका क्षेत्र वर्ग Ck है: अर्थात्, N चरों में घात d वाले किसी भी सजातीय बहुपद में N > dk होने पर एक गैर-तुच्छ शून्य होता है। बीजगणितीय रूप से संवृत क्षेत्र डायोफ़ैंटाइन आयाम 0 हैं; आयाम 1 के अर्ध-बीजगणितीय रूप से संवृत क्षेत्र है।
किसी बिंदु का विभेदक
एक बिंदु का विभेदक एक संख्या क्षेत्र K पर परिभाषित बीजगणितीय विविधता V पर एक बिंदु P से संबंधित दो संबंधित अवधारणाओं को संदर्भित करता है: ज्यामितीय (लघुगणकीय) विभेदक [4] d(P) और अंकगणितीय विभेदक, वोज्टा द्वारा परिभाषित है।[5] दोनों के मध्य के अंतर की तुलना एकवचन वक्र के अंकगणितीय जीनस और डीसिंगुलराइज़ेशन के ज्यामितीय जीनस के मध्य के अंतर से की जा सकती है।[5] अंकगणितीय जीनस ज्यामितीय जीनस से बड़ा है, और एक बिंदु की ऊंचाई अंकगणितीय जीनस के संदर्भ में सीमित हो सकती है। ज्यामितीय जीनस को सम्मिलित करते हुए समान सीमाएँ प्राप्त करने के महत्वपूर्ण परिणाम होते है।[5]
डवर्क की विधि
बर्नार्ड डवर्क ने p-एडिक विश्लेषण, p-एडिक बीजगणितीय अंतर समीकरण, कोसज़ुल कॉम्प्लेक्स और अन्य तकनीकों के विशिष्ट प्रकार का उपयोग किया, जिन्हें क्रिस्टलीय कोहोलॉजी जैसे सामान्य सिद्धांतों में अवशोषित नहीं किया गया है। उन्होंने सबसे पहले स्थानीय ज़ेटा-फलन की तर्कसंगतता को सिद्ध किया, जो कि वेइल अनुमान की दिशा में प्रारंभिक प्रगति थी।

ई

एटले सह समरूपता
वेइल कोहोमोलॉजी (q.v.) की खोज कम से कम आंशिक रूप से अलेक्जेंडर ग्रोथेंडिक और माइकल आर्टिन के एटेले कोहोमोलॉजी सिद्धांत में पूरी हुई थी। इसने स्थानीय ज़ेटा-फलन के लिए कार्यात्मक समीकरण का प्रमाण प्रदान किया, और टेट अनुमान (q.v.) और कई अन्य सिद्धांतों के निर्माण में बुनियादी था।

एफ

फाल्टिंग की ऊंचाई
एक संख्या क्षेत्र पर परिभाषित दीर्घवृत्तीय वक्र या एबेलियन विविधता की फाल्टिंग्स ऊंचाई मोर्डेल अनुमान के अपने प्रमाण में फाल्टिंग्स द्वारा प्रस्तावित की गई इसकी सम्मिश्रता का एक माप है।[6][7]
फ़र्मेट का अंतिम प्रमेय
फ़र्मेट अंतिम प्रमेय, डायोफैंटाइन ज्यामिति का सबसे प्रसिद्ध अनुमान, एंड्रयू विल्स और रिचर्ड टेलर द्वारा सिद्ध किया गया था।
समतल सह समरूपता
समतल सह समरूपता ग्रोथेंडिक स्कूल के लिए, विकास का एक अंतिम बिंदु है। इससे हानि यह है कि इसकी गणना करना अत्यन्त कठिन है। योजना सिद्धांत के लिए समतल टोपोलॉजी को 'सही' मूलभूत टोपोस माना गया है, इसका कारण विश्वसनीय समतल अवरोहण के तथ्य पर वापस जाता है, ग्रोथेंडिक की खोज कि प्रतिनिधित्व करने योग्य प्रकार्यक इसके लिए शीव हैं (अर्थात एक बहुत ही सामान्य ग्लूइंग अभिगृहीत मान्य है)।
फलन क्षेत्र समानता
उन्नीसवीं सदी में यह महसूस किया गया कि किसी संख्या क्षेत्र के पूर्णांकों की रिंग में बीजगणितीय वक्र या सघन रीमैन सतह की एफ़िन समन्वय रिंग के साथ समानताएं होती हैं, किसी संख्या क्षेत्र के 'अनंत स्थानों' के अनुरूप एक या अधिक बिंदु हटा दिए जाते है। यह विचार इस सिद्धांत में अधिक यथार्थतः कूटबद्ध है कि सभी वैश्विक क्षेत्रों को एक ही आधार पर व्यवहार किया जाना चाहिए। विचार और आगे बढ़ता है। इस प्रकार, सम्मिश्र संख्याओं पर दीर्घवृत्तीय सतहों में भी संख्या क्षेत्रों पर दीर्घवृत्तीय वक्रों के साथ कुछ यथार्थ समानताएँ होती हैं।

जी

[[ज्यामितीय वर्ग क्षेत्र सिद्धांत]
वर्ग क्षेत्र सिद्धांत एबेलियन आवरण से कम से कम दो आयामों के प्रकार तक विस्तार को प्रायः ज्यामितीय वर्ग क्षेत्र सिद्धांत कहा जाता है।
उपयुक्त कमी
अंकगणितीय समस्याओं में स्थानीय विश्लेषण के लिए मौलिक रूप से सभी अभाज्य संख्याओं p या, अधिक सामान्यतः, अभाज्य आदर्शों को कम करना है। सामान्य स्थिति में यह लगभग सभी p के लिए थोड़ी कठिनाई प्रस्तुत करते है; उदाहरण के लिए, भिन्नों के भाजक कठिन होते हैं, उस लघूकरण मॉड्यूलो में भाजक में एक अभाज्य शून्य से विभाजन जैसा दिखता है, लेकिन यह प्रति अंश केवल सीमित संख्या में p को ही वर्जित करता है। कुछ अतिरिक्त परिष्कार के साथ, सजातीय निर्देशांक एक सामान्य अदिश से गुणा करके भाजक को निकास करने की अनुमति देता हैं। किसी दिए गए, एकल बिंदु के लिए कोई ऐसा कर सकता है और एक सामान्य गुणनखंड p नहीं छोड़ सकता हैं। हालाँकि विलक्षणता सिद्धांत में प्रवेश होता है: एक गैर-एकवचन बिंदु न्यूनीकरण मॉड्यूल p पर एक विलक्षण बिंदु बन सकता है, क्योंकि ज़ारिस्की स्पर्शरेखा समष्टि बड़ी हो सकती है जब रैखिक शब्द 0 तक कम हो जाते हैं (ज्यामितीय सूत्रीकरण से पता चलता है कि यह निर्देशांक के एक समुच्चय की गलती नहीं है)। उपयुक्त लघूकरण से तात्पर्य उस कम प्रकार से है जिसमें मूल के समान गुण होते हैं, उदाहरण के लिए, एक बीजगणितीय वक्र जिसमें एक ही जीनस होता है, या एक स्मूथ प्रकार स्मूथ बना होता है। सामान्य रूप में किसी दिए गए प्रकार V के लिए अभाज्य संख्याओं का एक सीमित समुच्चय S होगा, सुचारू मान लिया गया है, जैसे कि अन्यथा Z/pZ पर एक सुचारू रूप से Vp कम किया गया है। एबेलियन प्रकार के लिए, उपयुक्त लघूकरण नेरॉन-ओग-शफारेविच मानदंड द्वारा विभाजन बिंदुओं के क्षेत्र में प्रभाव से जुड़ा हुआ है। सिद्धांत सूक्ष्म है, इस अर्थ में कि प्रकरणों को उत्कृष्ट करने के प्रयास के लिए चर बदलने की स्वतंत्रता स्पष्ट नहीं है: नेरॉन मॉडल, संभावित उपयुक्त लघूकरण, टेट वक्र, सेमीस्टेबल एबेलियन विविधता, सेमीस्टेबल दीर्घवृत्तीय वक्र, सेरे-टेट प्रमेय देखें।[8]
ग्रोथेंडिक-काट्ज़ अनुमान
The ग्रोथेंडिक-काट्ज़ p-वक्रता अनुमान बीजीय फलन समाधानों पर जानकारी प्राप्त करने के लिए, बीजगणितीय अंतर समीकरण में लघूकरण मॉड्यूल अभाज्य को उपयोजित करता है। यह 2016 तक एक विवृत समस्या है। इस प्रकार का प्रारंभिक परिणाम आइसेनस्टीन का प्रमेय था।

एच

हस्से सिद्धांत
हैसे सिद्धांत बताता है कि वैश्विक क्षेत्र के लिए विलेयता सभी प्रासंगिक स्थानीय क्षेत्र में विलेयता के समान है। डायोफैंटाइन ज्यामिति का एक मुख्य उद्देश्य उन प्रकरणों को वर्गीकृत करना है जहां हस्से सिद्धांत उपयोजित होते है। सामान्यतः यह बड़ी संख्या में चरों के लिए होता है, जब किसी समीकरण की डिग्री निश्चित रखी जाती है। हस्से सिद्धांत प्रायः हार्डी-लिटलवुड वृत्त पद्धति की सफलता से जुड़ा होता है। जब वृत्त पद्धति काम करती है, यह अतिरिक्त, मात्रात्मक जानकारी जैसे समाधानों की स्पर्शोन्मुख संख्या प्रदान कर सकता है। चरों की संख्या कम करने से वृत्त विधि कठिन हो जाती है; इसलिए हैस सिद्धांत की विफलताएं, उदाहरण के लिए छोटी संख्या चर में घन रूपों के लिए (और विशेष रूप से घन वक्र के रूप में दीर्घवृत्तीय वक्रों के लिए) विश्लेषणात्मक दृष्टिकोण की सीमाओं से जुड़े सामान्य स्तर पर हैं।
हस्से-वेइल L-फलन
हैस-वेइल L-फलन, जिसे कभी-कभी वैश्विक L-फलन भी कहा जाता है, एक यूलर उत्पाद है जो स्थानीय ज़ेटा-फलन से बनता है। ऐसे L-फलन के गुण बड़े पैमाने पर अनुमान के क्षेत्र में रहते हैं, जिसमें तानियामा-शिमुरा अनुमान का प्रमाण एक सफलता है। लैंगलैंड्स दर्शनशास्त्र व्यापक रूप से वैश्विक L-फलन के सिद्धांत का पूरक है।
ऊंचाई फलन
डायोफैंटाइन ज्यामिति में एक ऊंचाई फलन डायोफैंटाइन समीकरणों के समाधान के आकार को निर्धारित करती है। [9]
हिल्बर्टियन क्षेत्र
हिल्बर्टियन क्षेत्र K वह है जिसके लिए K के ऊपर प्रक्षेप्य समष्टि जीन-पियरे सेरे के अर्थ में क्षीण समुच्चय नहीं हैं। यह हिल्बर्ट की अपरिवर्तनीयता प्रमेय पर एक ज्यामितीय विचार है जो दर्शाता है कि तर्कसंगत संख्याएं हिल्बर्टियन हैं। परिणाम व्युत्क्रम गैलोज़ समस्या पर उपयोजित होते हैं। क्षीण समुच्चय (फ़्रेंच शब्द मिंस) कुछ अर्थों में बेयर श्रेणी प्रमेय के अल्प समुच्चय (फ़्रेंच मेग्रे) के अनुरूप हैं।

आई

इगुसा जीटा-फलन
एक इगुसा ज़ेटा-फलन, जिसे जून-इची इगुसा नाम दिया गया है, एक निश्चित अभाज्य संख्या p के बीजगणितीय विविधता मोडुल उच्च शक्ति pn पर अंकों की संख्या की गणना करने वाले एक उत्पादक फलन है। सामान्य तर्कसंगतता प्रमेय अब ज्ञात हैं, जो गणितीय तर्क के प्रकार पर आधारित हैं।[10]
अनंत अवतरण
अनंत अवरोहण डायोफैंटाइन समीकरणों के लिए पियरे डी फ़र्मेट की शास्त्रीय विधि थी। यह मोर्डेल-वेइल प्रमेय के मानक प्रमाण का एक आधा भाग बन गया, जबकि दूसरा ऊंचाई फलनों (q.v.) के साथ एक तर्क था। अवतरण कुछ-कुछ प्रमुख समभावसमष्‍टि के समूह में दो से विभाजन जैसा है (प्रायः इसे 'अवरोहण' कहा जाता है, जब इसे समीकरणों द्वारा लिखा जाता है); गैलोइस कोहोमोलॉजी समूह में अधिक आधुनिक शब्दों में जिसे सीमित सिद्ध किया जाता है। सेल्मर समूह देखें।
इवासावा सिद्धांत
इवासावा सिद्धांत विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत और स्टिकेलबर्गर के प्रमेय से गैलोज़ मॉड्यूल और p-एडिक L-फलन (बर्नौली संख्याओं पर कुमेर अनुरूपता में जड़ों के साथ) के रूप में आदर्श वर्ग समूहों के सिद्धांत के रूप में निर्मित होता है। 1960 के दशक के अंत में अपने आरम्भिक दिनों में इसे जैकोबियन का इवासावा एनालॉग कहा जाता था। सादृश्य एक परिमित क्षेत्र F (क्वा पिकार्ड प्रकार) पर एक वक्र C के जैकोबियन प्रकार J के साथ था, जहां परिमित क्षेत्र में परिमित क्षेत्र विस्तार F′ बनाने के लिए एकता की मूल जोड़ी गई हैं, C के स्थानीय ज़ेटा-फलन (q.v.) को गैलोइस मॉड्यूल के रूप में बिंदु J(F′) से पुनर्प्राप्त किया जा सकता है। उसी तरह, इवासावा ने अपने एनालॉग के लिए, निश्चित p के लिए और n → ∞ के साथ, एक संख्या क्षेत्र K में एकता की pn-शक्ति मूल जोड़ा, और वर्ग समूहों की प्रतिलोम सीमा पर विचार किया, कुबोटा और लियोपोल्ड्ट द्वारा पहले प्रस्तावित किया और p-एडिक L-फलन द्वारा प्रस्तुत किया था।

के

K-सिद्धांत
बीजगणितीय K-सिद्धांत एक ओर अमूर्त बीजगणित अनुमान के साथ अत्यन्त सामान्य सिद्धांत, और दूसरी ओर, अंकगणितीय अनुमानों के कुछ सूत्रों में निहित है। उदाहरण के लिए बिर्च-टेट अनुमान, लिक्टेनबाम अनुमान देखें।

एल

लैंग अनुमान
एनरिको बॉम्बिएरी (आयाम 2), सर्ज लैंग और पॉल वोज्टा (अभिन्न बिंदु प्रकरण) और पियोट्र ब्लास ने अनुमान लगाया है कि सामान्य प्रकार की बीजगणितीय प्रकार में K-तर्कसंगत बिंदुओं के ज़ारिस्की घने उपसमुच्चय नहीं हैं, K के लिए एक सूक्ष्म रूप से उत्पन्न क्षेत्र हैं। विचारों के इस चक्र में विश्लेषणात्मक अतिशयोक्ति और उस पर लैंग अनुमान और वोज्टा अनुमान की समझ सम्मिलित है। सम्मिश्र संख्याओं पर एक विश्लेषणात्मक रूप से अतिशयोक्तिपूर्ण बीजगणितीय विविधता V ऐसी है जिसमें पूरे सम्मिश्र सतह से कोई होलोमोर्फिक मानचित्रण उपस्थित नहीं है, जो स्थिर नहीं है। उदाहरण में जीनस g > 1 की सघन रीमैन सतहें सम्मिलित हैं। लैंग ने अनुमान लगाया कि V विश्लेषणात्मक रूप से अतिशयोक्तिपूर्ण है यदि और केवल तभी जब सभी उप-प्रकार सामान्य प्रकार के हैं।
रैखिक टोरस
एक रैखिक टोरस एक एफाइन टोरस (गुणक समूहों का उत्पाद) का एक ज्यामितीय रूप से अपरिवर्तनीय ज़ारिस्की-संवृत उपसमूह है।[11]
स्थानीय जीटा-फलन
एक स्थानीय ज़ेटा-फलन एक परिमित क्षेत्र F पर, F के परिमित क्षेत्र विस्तार पर बीजगणितीय विविधता V पर बिंदुओं की संख्या के लिए एक उत्पादक फलन है। वेइल अनुमान (q.v.) के अनुसार, ये फलन, गैर-एकवचन प्रकार के लिए, रीमैन परिकल्पना सहित, रीमैन ज़ेटा-फलन के समान गुण प्रदर्शित करते हैं।

एम

मैनिन-ममफोर्ड अनुमान
मैनिन-ममफोर्ड अनुमान, जो अब मिशेल रेनॉड द्वारा सिद्ध किया गया है, जिसमें कहा गया है कि इसके जैकोबियन प्रकार J में एक वक्र C में केवल सीमित संख्या में बिंदु हो सकते हैं जो J में सीमित क्रम हैं, जब तक कि C = J हैं।
मोर्डेल अनुमान
मोर्डेल अनुमान अब फाल्टिंग्स प्रमेय है, और बताता है कि कम से कम दो जीनस के एक वक्र में केवल सीमित रूप से कई तर्कसंगत बिंदु होते हैं। एकरूपता अनुमान में कहा गया है कि ऐसे बिंदुओं की संख्या पर एक समान सीमा होनी चाहिए, जो केवल जीनस और परिभाषा के क्षेत्र पर निर्भर करती है।
मोर्डेल-लैंग अनुमान
मोर्डेल-लैंग अनुमान, जो अब लॉरेंट, रेनॉड, हिंड्री, वोज्टा और फाल्टिंग्स के काम के बाद मैकक्विलन द्वारा सिद्ध किया गया है, लैंग का एक अनुमान है जो मोर्डेल अनुमान और मैनिन-ममफोर्ड अनुमान को एबेलियन प्रकार या सेमीएबेलियन प्रकार में एकीकृत करता है।
मोर्डेल-वेइल प्रमेय
मोर्डेल-वेइल प्रमेय एक मूलभूत परिणाम है जो बताता है कि एक संख्या क्षेत्र K पर एबेलियन प्रकार A के लिए समूह A(K) एक अंतिम रूप से उत्पन्न एबेलियन समूह है। यह प्रारंभ में संख्या क्षेत्र K के लिए सिद्ध हुआ था, लेकिन सभी अंतिम रूप से उत्पन्न क्षेत्र तक विस्तारित है।
मोर्डेलिक प्रकार
मोर्डेलिक प्रकार एक बीजगणितीय प्रकार है जिसके किसी भी अंतिम रूप से उत्पन्न क्षेत्र में केवल सीमित संख्या में बिंदु होते हैं।[12]

एन

नैवे ऊंचाई
परिमेय संख्याओं के सदिश की अनुभवहीन ऊँचाई या शास्त्रीय ऊँचाई, न्यूनतम सामान्य भाजक से गुणा करके प्राप्त सहअभाज्य पूर्णांकों के सदिश का अधिकतम निरपेक्ष मान है। इसका उपयोग Q के ऊपर प्रक्षेप्य समष्टि में एक बिंदु पर ऊंचाई को परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है, इसे इसके न्यूनतम बहुपद की ऊंचाई से गुणांकों या बीजगणितीय संख्या के सदिश के रूप में माना जाता है। [13]
नेरॉन प्रतीक
नेरॉन प्रतीक स्थानीय योगदान के योग के रूप में नेरॉन के नेरॉन-टेट ऊंचाई के निर्माण में उपयोग किए जाने वाले एबेलियन प्रकार पर भाजक और बीजगणितीय चक्रों के मध्य एक द्विगुणात्मक युग्मन है। वैश्विक नेरॉन प्रतीक, जो स्थानीय प्रतीकों का योग है, ऊंचाई युग्म का केवल ऋणात्मक है।[14][15][16] [17]
नेरॉन-टेट ऊंचाई
एबेलियन प्रकार A पर नेरॉन-टेट ऊंचाई (जिसे प्रायः विहित ऊंचाई भी कहा जाता है) एक ऊंचाई फलन (q.v.) है जो अनिवार्य रूप से आंतरिक है, और ऊंचाई के सामान्य सिद्धांत द्वारा प्रदान किए गए A पर जोड़ के संबंध में लगभग द्विघात के बदले एक यथार्थ द्विघात रूप है। इसे एक सीमित प्रक्रिया द्वारा सामान्य ऊंचाई से परिभाषित किया जा सकता है; ऐसे सूत्र भी हैं, इस अर्थ में कि यह स्थानीय योगदान का योग है। [17]
नेवानलिन्ना निश्चर
एक सामान्य प्रक्षेप्य विविधता X पर एक पर्याप्त भाजक D का नेवानलिन्ना निश्चर एक वास्तविक संख्या है जो भाजक द्वारा परिभाषित एम्बेडिंग के संबंध में विविधता पर तर्कसंगत बिंदुओं की संख्या की वृद्धि दर का वर्णन करता है। इसमें ऊंचाई ज़ेटा फलन के अभिसरण के भुज के समान औपचारिक गुण हैं और यह अनुमान लगाया गया है कि वे अनिवार्य रूप में समान हैं।[18] [19]

ओ

सामान्य लघूकरण
आयाम d की एक एबेलियन प्रकार A में मूल p पर सामान्य लघूकरण होता है यदि इसमें p पर उपयुक्त लघूकरण होता है और इसके अलावा p-टोरसन की श्रेणी d होता है।[20]

क्यू

क्वासि-बीजगणितीय समापन
अर्ध-बीजगणितीय समापन का विषय, अर्थात एक समीकरण की डिग्री में कई चर बहुपद द्वारा गारंटीकृत विलेयता, ब्रूयर समूह और शेवेल्ली-चेतावनी प्रमेय के अध्ययन से विकसित होते है। प्रति उदाहरणों के सामने यह अवरुद्ध; लेकिन गणितीय तर्क से Ax-कोचेन प्रमेय देखें।

आर

लघूकरण मॉड्यूल एक अभाज्य संख्या या आदर्श
उपयुक्त कमी देखें।
परिपूर्ण आदर्श
संख्या क्षेत्र K में एक परिपूर्ण आदर्श, K के भिन्नात्मक आदर्श का एक औपचारिक उत्पाद है और K के अनंत स्थानों द्वारा अनुक्रमित घटकों के साथ धनात्मक वास्तविक संख्याओं का एक सदिश है। एक पूर्ण भाजक एक अराकेलोव भाजक है। [21] [22]

एस

सातो-टेट अनुमान
सातो-टेट अनुमान परिमेय पर दिए गए दीर्घवृत्तीय वक्र को कम करने से प्राप्त परिमित क्षेत्रों पर दीर्घवृत्तीय वक्रों के टेट मॉड्यूल में फ्रोबेनियस अवयव के वितरण का वर्णन करते है। मिकियो सातो और, स्वतंत्र रूप से, जॉन टेट ने 1960 के आसपास इसका सुझाव दिया था। यह सामान्य रूप से गैलोज़ प्रतिनिधित्व के लिए एक आदिप्ररूप है।
स्कोलेम की विधि
चाबाउटी की विधि देखें।
विशेष समुच्चय
बीजगणितीय विविधता में विशेष समुच्चय वह उपसमुच्चय है जिसमें कोई व्यक्ति कई तर्कसंगत बिंदुओं को खोजने की उम्मीद कर सकता है। परिशुद्ध परिभाषा संदर्भ के अनुसार बदलती रहती है। एक परिभाषा गैर-तुच्छ तर्कसंगत प्रतिबिंब के अंतर्गत बीजीय समूहों की छवियों के जोड़ को ज़ारिस्की द्वारा समापन करती है; वैकल्पिक रूप से कोई एबेलियन प्रकार के प्रतिबिंब ले सकते है; एक अन्य परिभाषा उन सभी उप-प्रकार का संघ है जो सामान्य प्रकार का नहीं हैं। एबेलियन प्रकार के लिए परिभाषा उचित एबेलियन उप-प्रकार के सभी अनुवादों का संघ है। एक सम्मिश्र विविधता के लिए, होलोमोर्फिक विशेष समुच्चय C से सभी गैर-स्थिर होलोमोर्फिक मानचित्रों की छवियों का ज़ारिस्की क्लोजर है। लैंग ने अनुमान लगाया कि विश्लेषणात्मक और बीजगणितीय विशेष समुच्चय समान हैं।
उपसमष्‍टि प्रमेय
श्मिट के उपसमष्‍टि प्रमेय से पता चलता है कि प्रक्षेप्य समष्‍टि में छोटी ऊंचाई के बिंदु सीमित संख्या में अधिसमतल में स्थित होते हैं। प्रमेय का एक मात्रात्मक रूप, जिसमें सभी समाधानों वाले उपसमष्‍टि की संख्या भी श्मिट द्वारा प्राप्त की गई थी, और संख्या क्षेत्रों पर अधिक सामान्य निरपेक्ष मानों की अनुमति देने के लिए प्रमेय को श्लिकवेई (1977) द्वारा सामान्यीकृत किया गया था। प्रमेय का उपयोग डायोफैंटाइन समीकरणों पर परिणाम प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है जैसे कि अभिन्न बिंदुओं पर सीगल का प्रमेय और S-इकाई समीकरण का समाधान हैं।[23]

टी

तमागावा संख्या
प्रत्यक्ष तमागावा संख्या परिभाषा केवल रैखिक बीजगणितीय समूहों के लिए अच्छी तरह से काम करती है। वहां तमागावा संख्या पर वेइल अनुमान अंततः सिद्ध हुआ है। एबेलियन प्रकार के लिए, और विशेष रूप से बर्च-स्विनर्टन-डायर अनुमान (q.v.) के लिए, स्थानीय-वैश्विक सिद्धांत के लिए तमागावा संख्या दृष्टिकोण प्रत्यक्ष प्रयास में विफल रहती है, हालांकि कई वर्षों से इसका अनुमानी मूल्य रहता है। अब एक परिष्कृत समतुल्य तमागावा संख्या अनुमान एक प्रमुख शोध समस्या है।
टेट अनुमान
टेट अनुमान (जॉन टेट, 1963) ने हॉज अनुमान को एक एनालॉग प्रदान किया, वह भी बीजगणितीय चक्रों पर लेकिन अंकगणितीय ज्यामिति के अंतर्गत है। इसने, दीर्घवृत्तीय सतहों के लिए, बिर्च-स्विनर्टन-डायर अनुमान (q.v.) का एक एनालॉग भी दिया, जिससे उत्तरार्द्ध का स्पष्टीकरण और इसके महत्व की पहचान हुई।
टेट वक्र
टेट वक्र गलत लघूकरण (उपयुक्त लघूकरण देखें) का अध्ययन करने के लिए जॉन टेट द्वारा प्रस्तुत p-एडिक संख्याओं पर एक विशेष दीर्घवृत्तीय वक्र है।
त्सेन श्रेणी
किसी क्षेत्र की Tsen श्रेणी, जिसका नाम C. C. Tsen के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने 1936 में अपना अध्ययन प्रारंभ किया था, सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या i है, यदि यह उपस्थित है, जैसे कि क्षेत्र Ti वर्ग का है: अर्थात्, n चरों में घात dj का कोई स्थिर पद न रखने वाले बहुपदों की किसी भी प्रणाली में n > Σ dji होने पर एक गैर-तुच्छ शून्य होता है।

यू

एकरूपता अनुमान
एकरूपता अनुमान बताता है कि किसी भी संख्या क्षेत्र K और g > 2 के लिए, जीनस g के किसी भी वक्र पर K-तर्कसंगत बिंदुओं की संख्या पर एक समान सीमा B(g,K) होती है। यह अनुमान बॉम्बिएरी-लैंग अनुमान का अनुसरण करता है।
असंभावित प्रतिच्छेदन
एक असंभावित प्रतिच्छेदन एक बीजगणितीय उपसमूह है जो असामान्य रूप से बड़े आयाम के एक समुच्चय में टोरस या एबेलियन प्रकार की उप-विविधता को प्रतिच्छेद करता है, जैसे कि मोर्डेल-लैंग अनुमान में सम्मिलित है।[24]

वी

वोज्टा अनुमान
वोज्टा अनुमान पॉल वोज्टा के अनुमानों का एक सम्मिश्र है, जो डायोफैंटाइन सन्निकटन और नेवानलिन्ना सिद्धांत के मध्य समानताएं बनाता है।

डब्ल्यू

वज़न
वजन का योग अलेक्जेंडर ग्रोथेंडिक द्वारा हॉज सिद्धांत और l-एडिक सह समरूपता के मध्य समानता का एक सूत्रीकरण है।[25]
वेइल सह समरूपता
प्रारंभिक विचार, बाद में कुछ संशोधित, वेइल अनुमान (q.v.) को सिद्ध करने के लिए, परिमित क्षेत्रों में बीजगणितीय प्रकार पर उपयोजित होने वाले एक कोहोमोलॉजी सिद्धांत का निर्माण करना था जो टोपोलॉजिकल संरचना का पता लगाने में एकवचन होमोलॉजी जितना अच्छा होगा, और फ्रोबेनियस मानचित्रण इस तरह से कार्य कर रहा है कि लेफ्शेट्ज़ निश्चित-बिंदु प्रमेय को स्थानीय ज़ेटा-फलन में गिनती के लिए उपयोजित किया जा सकता है। बाद के इतिहास के लिए मोटिव (बीजगणितीय ज्यामिति), मोटिविक सह समरूपता देखें।
वील अनुमान
वेइल अनुमान आंद्रे वेइल के तीन अत्यधिक प्रभावशाली अनुमान थे, जिन्हें 1949 के आसपास स्थानीय ज़ेटा-फलन पर सार्वजनिक किया गया था। प्रमाण 1973 में पूरा हुआ था। जिन्हें सिद्ध किया जा रहा है, शेवेल्ली-चेतावनी प्रमेय सर्वांगसमता के विस्तार बने हुए हैं, जो एक प्राथमिक विधि से आते है, और वेइल सीमा में सुधार, जैसे 1940 के वेइल के मूल प्रमेय की तुलना में अंकों की संख्या के वक्रों के लिए श्रेष्ठतर अनुमान है। उत्तरार्द्ध बीजगणितीय ज्यामिति कोड के लिए रुचिकर सिद्ध हुआ है।
बीजगणितीय प्रकार पर वील वितरण
आंद्रे वेइल ने 1920 और 1930 के दशक में बीजगणितीय प्रकार पर बिंदुओं के निर्देशांक में बीजगणितीय संख्याओं के अपघटन पर एक सिद्धांत प्रस्तावित किया था। यह कुछ अविकसित रह गया था।
वेइल फलन
बीजगणितीय विविधता पर एक वेइल फलन कुछ कार्टियर विभाजक से परिभाषित एक वास्तविक-मूल्यवान फलन है जो अराकेलोव सिद्धांत में ग्रीन के फलन की अवधारणा को सामान्यीकृत करता है।[26] इनका उपयोग नेरॉन-टेट ऊंचाई के स्थानीय घटकों के निर्माण में किया जाता है। [27]
वेइल ऊंचाई मशीन
वेइल हाइट मशीन किसी संख्या क्षेत्र पर सुचारू प्रक्षेप्य विविधता पर किसी भी विभाजक (या गैर-सुचारू प्रकार पर कार्टियर विभाजक) को ऊंचाई फलन निर्दिष्ट करने के लिए एक प्रभावी प्रक्रिया है।[28]

यह भी देखें

संदर्भ

  1. ↑ Arithmetic geometry at the nLab
  2. ↑ Sutherland, Andrew V. (September 5, 2013). "अंकगणित ज्यामिति का परिचय" (PDF). Retrieved 22 March 2019.
  3. ↑ Lang (1997) pp.91–96
  4. ↑ Lang (1997) p.146
  5. ↑ 5.0 5.1 5.2 Lang (1997) p.171
  6. ↑ Faltings, Gerd (1983). "Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern". Inventiones Mathematicae. 73 (3): 349–366. Bibcode:1983InMat..73..349F. doi:10.1007/BF01388432. S2CID 121049418.
  7. ↑ Cornell, Gary; Silverman, Joseph H. (1986). Arithmetic geometry. New York: Springer. ISBN 0-387-96311-1. → Contains an English translation of Faltings (1983)
  8. ↑ Serre, Jean-Pierre; Tate, John (November 1968). "Good reduction of abelian varieties". The Annals of Mathematics. Second. 88 (3): 492–517. doi:10.2307/1970722. JSTOR 1970722. Zbl 0172.46101.
  9. ↑ Lang (1997)
  10. ↑ Igusa, Jun-Ichi (1974). "Complex powers and asymptotic expansions. I. Functions of certain types". Journal für die reine und angewandte Mathematik. 1974 (268–269): 110–130. doi:10.1515/crll.1974.268-269.110. S2CID 117772856. Zbl 0287.43007.
  11. ↑ Bombieri & Gubler (2006) pp.82–93
  12. ↑ Lang (1997) p.15
  13. ↑ Baker, Alan; Wüstholz, Gisbert (2007). Logarithmic Forms and Diophantine Geometry. New Mathematical Monographs. Vol. 9. Cambridge University Press. p. 3. ISBN 978-0-521-88268-2. Zbl 1145.11004.
  14. ↑ Bombieri & Gubler (2006) pp.301–314
  15. ↑ Lang (1988) pp.66–69
  16. ↑ Lang (1997) p.212
  17. ↑ 17.0 17.1 Lang (1988) p.77
  18. ↑ Hindry & Silverman (2000) p.488
  19. ↑ Batyrev, V.V.; Manin, Yu.I. (1990). "On the number of rational points of bounded height on algebraic varieties". Math. Ann. 286: 27–43. doi:10.1007/bf01453564. S2CID 119945673. Zbl 0679.14008.
  20. ↑ Lang (1997) pp.161–162
  21. ↑ Neukirch (1999) p.185
  22. ↑ Neukirch (1999) p.189
  23. ↑ Bombieri & Gubler (2006) pp.176–230
  24. ↑ Zannier, Umberto (2012). Some Problems of Unlikely Intersections in Arithmetic and Geometry. Annals of Mathematics Studies. Vol. 181. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-15371-1.
  25. ↑ Pierre Deligne, Poids dans la cohomologie des variétés algébriques, Actes ICM, Vancouver, 1974, 79–85.
  26. ↑ Lang (1988) pp.1–9
  27. ↑ Lang (1997) pp.164,212
  28. ↑ Hindry & Silverman (2000) 184–185


अग्रिम पठन

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