बर्नौली संख्या

बर्नौली संख्याएँ B^±
_n

n	भिन्न	दशमलव
0	1	+1.000000000
1	±1/2	±0.500000000
2	1/6	+0.166666666
3	0	+0.000000000
4	−1/30	−0.033333333
5	0	+0.000000000
6	1/42	+0.023809523
7	0	+0.000000000
8	−1/30	−0.033333333
9	0	+0.000000000
10	5/66	+0.075757575
11	0	+0.000000000
12	−691/2730	−0.253113553
13	0	+0.000000000
14	7/6	+1.166666666
15	0	+0.000000000
16	−3617/510	−7.092156862
17	0	+0.000000000
18	43867/798	+54.97117794
19	0	+0.000000000
20	−174611/330	−529.1242424

गणित में, बर्नौली संख्याएँ B_n परिमेय संख्याओं का एक क्रम है जो गणितीय विश्लेषण में प्रायः होता है। बर्नौली संख्याएँ स्पर्शरेखा और अतिपरवलीय स्पर्शरेखा फलन के टेलर श्रृंखला विस्तार में दिखाई देती है (और इसके द्वारा परिभाषित की जा सकती है) यूलर-मैकलॉरिन सूत्र में, पहले n धनात्मक पूर्णांकों की m-वें घातों के योग के लिए फॉलहैबर के सूत्र में, और रीमैन जीटा फलन के कुछ मानों के लिए व्यंजकों में हैं।

पहले 20 बर्नौली संख्याओं के मान आसन्न तालिका में दिए गए हैं। साहित्य में दो परंपराओं का उपयोग किया जाता है, जिन्हें $B_{n}^{-{}}$ और $B_{n}^{+{}}$ द्वारा यहां दर्शाया गया है; वे केवल n = 1 के लिए भिन्न हैं, जहां $B_{1}^{-{}}=-1/2$ और $B_{1}^{+{}}=+1/2$ है। प्रत्येक विषम n > 1, के लिए B_n = 0 है। प्रत्येक सम n > 0 के लिए, यदि n 4 से विभाज्य है तो B_n ऋणात्मक है और अन्यथा धनात्मक है। बर्नौली संख्याएँ बर्नौली बहुपद $B_{n}(x)$ के विशेष मान हैं, जिनमें$B_{n}^{-{}}=B_{n}(0)$ और $B_{n}^{+}=B_{n}(1)$हैं।

बर्नौली संख्याओं की खोज लगभग उसी समय स्विस गणितज्ञ जैकब बर्नौली द्वारा की गई थी, जिनके नाम पर इनका नाम रखा गया था, और स्वाधीनतः जापानी गणितज्ञ सेकी ताकाकाज़ू द्वारा इसे किया गया। सेकी की खोज को मरणोपरांत 1712 में कात्सुयो संपो में उनके काम को प्रकाशित किया गया था ; बर्नौली ने भी, मरणोपरांत, 1713 के अपने आर्स कॉन्जेक्टैंडी में किया गया था। 1842 से एनालिटिकल इंजन पर एडा लवलेस के नोट्स G में बैबेज की मशीन के साथ बर्नौली नंबर उत्पन्न करने के लिए एक एल्गोरिदम का वर्णन किया गया है।परिणामस्वरूप, बर्नौली संख्याओं को पहले प्रकाशित जटिल कंप्यूटर प्रोग्राम का विषय होने का गौरव प्राप्त है।

नोटेशन

इस आलेख में प्रयुक्त सुपरस्क्रिप्ट ± बर्नौली संख्याओं के लिए दो संकेत कन्वेंशन को अलग करता है। केवल n = 1 पद प्रभावित होता है:

• B⁻
  _n के साथ B⁻
  ₁ = −1/2 (OEIS: A027641 / OEIS: A027642) एनआईएसटी और अधिकांश आधुनिक पाठ्यपुस्तकों द्वारा निर्धारित संकेत कन्वेंशन है।
• B⁺
  _n साथ B⁺
  ₁ = +1/2 (OEIS: A164555 / OEIS: A027642) का उपयोग पुराने साहित्य में किया गया था, और (2022 से) डोनाल्ड नुथ द्वारा पीटर लुश्नी के "बर्नौली घोषणापत्र" का अनुसरण करते हुए किया गया था।

नीचे दिए गए सूत्रों में, कोई भी संबंध के साथ एक संकेत कन्वेंशन से दूसरे में स्विच कर सकता है $B_{n}^{+}=(-1)^{n}B_{n}^{-}$, या पूर्णांक के लिए n = 2 या अधिक, बस इसे अनदेखा करें।

तब से B_n = 0 सभी विषम के लिए n > 1, और कई सूत्रों में केवल सम-सूचकांक बर्नौली संख्याएं सम्मिलित होती हैं, कुछ गणितज्ञ B_2n  के बदले "B_n" लिखते हैं। यह आलेख उस संकेतन का पालन नहीं करता है।

इतिहास

प्रारंभिक इतिहास

बर्नौली संख्याएँ पूर्णांक घातों के योग की गणना के प्रारंभिक इतिहास में निहित हैं, जो प्राचीन काल से गणितज्ञों के लिए रुचिकर रही हैं।

सेकी ताकाकाज़ु के कात्सुयो सानपो (1712) का एक पृष्ठ, द्विपद गुणांक और बर्नौली संख्याओं को सारणीबद्ध करता है

n धनात्मक पूर्णांकों के योग,वर्गों के योग और पहले n धनात्मक पूर्णांकों के घनों के योग की गणना करने के उपाय ज्ञात थे, लेकिन कोई वास्तविक 'सूत्र' नहीं थे, केवल पूरी तरह से शब्दों में दिए गए विवरण थे। इस समस्या पर विचार करने वाले प्राचीन काल के महान गणितज्ञों में पाइथागोरस (लगभग 572-497 ईसा पूर्व, ग्रीस), आर्किमिडीज (287-212 ईसा पूर्व, इटली), आर्यभट्ट (जन्म 476, भारत), अबू बक्र अल-करजी (मृत्यु 1019, फारस) सम्मिलित थे। और अबू अली अल-हसन इब्न अल-हसन इब्न अल हैदम (965-1039, इराक) थे।

सोलहवीं शताब्दी के अंत और सत्रहवीं शताब्दी के प्रारंभ में गणितज्ञों ने महत्वपूर्ण प्रगति की। पश्चिम में इंग्लैंड के थॉमस हैरियट (1560-1621), जर्मनी के जॉन फ़ौल्हाबर (1580-1635), पियरे डी फ़र्मेट (1601-1665) और साथी फ्रांसीसी गणितज्ञ ब्लेस पास्कल (1623-1662) सभी ने महत्वपूर्ण भूमिकाएँ निभाईं।

ऐसा प्रतीत होता है कि थॉमस हैरियट प्रतीकात्मक संकेतन का उपयोग करके घातों के योग के लिए सूत्र प्राप्त करने और लिखने वाले पहले व्यक्ति थे, लेकिन उन्होंने भी केवल चौथी घातों के योग तक की गणना की। जोहान फ़ौल्हाबर ने अपने 1631 एकेडेमिया बीजगणित में 17वीं घात तक की घातों के योग के लिए सूत्र दिए, जो उनसे पहले के किसी भी घात से कहीं अधिक थे, लेकिन उन्होंने कोई सामान्य सूत्र नहीं दिया।

1654 में ब्लेज़ पास्कल ने p = 0, 1, 2, ..., k के लिए पहले n धनात्मक पूर्णांकों की pवी घातों के योग से संबंधित पास्कल की पहचान को सिद्ध किया।

स्विस गणितज्ञ जैकब बर्नौली (1654-1705) ने सबसे पहले स्थिरांक B₀, B₁, B₂,... के एकल अनुक्रम के अस्तित्व को समझने वाले पहले व्यक्ति थे, जो सभी घातों के योग के लिए एक समान सूत्र प्रदान करता है।

जब बर्नौली ने किसी धनात्मक पूर्णांक c के लिए cवी घातों के योग के लिए अपने सूत्र के गुणांकों की त्वरित और आसानी से गणना करने के लिए आवश्यक पैटर्न पर प्रहार किया, तो उन्हें जो खुशी अनुभव हुई, उसे उनकी टिप्पणी से देखा जा सकता है। उन्होंने लिखा है:

"इस तालिका की मदद से, मुझे यह पता लगाने में आधे घंटे से भी कम समय लगा कि पहली 1000 संख्याओं की दसवीं घातों को एक साथ जोड़ने पर योग 91,409,924,241,424,243,424,241,924,242,500 प्राप्त होगा।"

बर्नौली का परिणाम मरणोपरांत 1713 में अर्स कॉन्जेक्टैंडी में प्रकाशित किया गया था। सेकी ताकाकाज़ू ने स्वतंत्र रूप से बर्नौली संख्याओं की खोज की और उनका परिणाम एक साल पहले, मरणोपरांत, 1712 में प्रकाशित किया गया था। हालाँकि, सेकी ने अपनी पद्धति को स्थिरांक के अनुक्रम पर आधारित सूत्र के रूप में प्रस्तुत नहीं किया।

घातों के योग के लिए बर्नौली का सूत्र अब तक का सबसे उपयोगी और सामान्यीकरण योग्य सूत्रीकरण है। अब्राहम डी मोइवरे के संसूचन के बाद, बर्नौली के सूत्र में गुणांक को अब बर्नौली संख्या कहा जाता है।

बर्नौली के सूत्र को कभी-कभी जोहान फौल्हाबर के बाद फाउलहाबर का सूत्र कहा जाता है, जिन्होंने घातों के योग की गणना करने के उल्लेखनीय उपाय खोजे लेकिन बर्नौली के सूत्र से कभी नहीं बताया। नुथ के अनुसार फ़ौल्हाबर के सूत्र का एक कठोर प्रमाण पहली बार 1834 में कार्ल जैकोबी द्वारा प्रकाशित किया गया था। नुथ के फ़ौल्हाबर के सूत्र के गहन अध्ययन का निष्कर्ष है (एलएचएस पर गैरमानक संकेतन को आगे समझाया गया है):

"फ़ौल्हाबर ने कभी बर्नौली संख्याओं की खोज नहीं की; यानी, उन्हें कभी भी यह एहसास नहीं हुआ कि स्थिरांक B₀, B₁, B₂, ... का एक एकल अनुक्रम एक समान प्रदान करेगा

${\textstyle \sum n^{m}={\frac {1}{m+1}}\left(B_{0}n^{m+1}-{\binom {m+1}{1}}B_{1}n^{m}+{\binom {m+1}{2}}B_{2}n^{m-1}-\cdots +(-1)^{m}{\binom {m+1}{m}}B_{m}n\right)}$

सभी घातों के योग के लिए। उदाहरण के लिए, उन्होंने इस तथ्य का कभी उल्लेख नहीं किया कि Σ n^m के लिए अपने सूत्रों को N में बहुपदों से n में बहुपदों में परिवर्तित किया था, तो लगभग आधे गुणांक शून्य थे।"

उपरोक्त में नुथ का तात्पर्य $B_{1}^{-}$ था; इसके बदले $B_{1}^{+}$का उपयोग करने से सूत्र घटाव से बचाता है:

${\textstyle \sum n^{m}={\frac {1}{m+1}}\left(B_{0}n^{m+1}+{\binom {m+1}{1}}B_{1}^{+}n^{m}+{\binom {m+1}{2}}B_{2}n^{m-1}+\cdots +{\binom {m+1}{m}}B_{m}n\right).}$

''सुम्मा पोटेस्टैटम'' का पुनर्निर्माण

जैकब बर्नौली की ''सुम्मा पोटेस्टैटम'', 1713

बर्नौली संख्याएँ OEIS: A164555(एन)/OEIS: A027642(एन) को जैकब बर्नौली द्वारा 1713 पृष्ठ 97 में मरणोपरांत प्रकाशित पुस्तक आर्स कॉन्जेक्टैंडी में प्रस्तुत किया गया था। मुख्य सूत्र को संबंधित प्रतिकृति के दूसरे भाग में देखा जा सकता है। निरंतर गुणांक निरूपित A, B, C और D बर्नौली द्वारा उस अंकन में मैप किया गया है जो अब A = B₂, B = B₄, C = B₆, D = B₈ के रूप में प्रचलित है। अभिव्यक्तिc·c−1·c−2·c−3 का अर्थ है c·(c−1)·(c−2)·(c−3) - छोटे बिंदुओं का उपयोग समूहीकरण प्रतीकों के रूप में किया जाता है। आज की शब्दावली का प्रयोग करते हुए ये अभिव्यक्तियाँ घटती हुई भाज्य घात c^k हैं। भाज्य संकेतन k! 1 × 2 × ... × k के शॉर्टकट के रूप में 100 साल बाद तक प्रस्तुत नहीं किया गया था। बायीं ओर का अभिन्न चिह्न 1675 में गॉटफ्राइड विल्हेम लीबनिज़ के समय का है, जिन्होंने इसे "सुम्मा" (योग) एक लंबे अक्षर S के रूप में उपयोग किया था। अक्षर n बाईं ओर योग का सूचकांक नहीं है बल्कि योग की सीमा की ऊपरी सीमा दी गई है जिसे 1, 2, ..., n इस प्रकार समझा जाना चाहिए। चीजों को एक साथ रखकर, धनात्मकता c के लिए, आज एक गणितज्ञ के बर्नौली के सूत्र को इस प्रकार लिखने की संभावना है:

$\sum _{k=1}^{n}k^{c}={\frac {n^{c+1}}{c+1}}+{\frac {1}{2}}n^{c}+\sum _{k=2}^{c}{\frac {B_{k}}{k!}}c^{\underline {k-1}}n^{c-k+1}.$

यह सूत्र तथाकथित 'पुरातन' गणना से स्विच करते समय B₁ = 1/2 सेट करने का संसूचन देता है जो केवल सम सूचकांक 2, 4, 6... का उपयोग आधुनिक रूप में करता है (अगले पैराग्राफ में विभिन्न कन्वेंशन पर अधिक)। इस संदर्भ में सबसे चौंकाने वाला तथ्य यह है घटते फैक्टोरियल c^k−1 में k = 0 के लिए मान 1/c + 1 है। इस प्रकार बर्नौली का सूत्र लिखा जा सकता है

$\sum _{k=1}^{n}k^{c}=\sum _{k=0}^{c}{\frac {B_{k}}{k!}}c^{\underline {k-1}}n^{c-k+1}$

यदि B₁ = 1/2, बर्नौली द्वारा उस स्थिति में गुणांक को दिए गए मान को पुनः प्राप्त करना।

उपरोक्त बर्नौली द्वारा उद्धरण के पहले भाग में $\textstyle \sum _{k=1}^{n}k^{9}$ के लिए सूत्र अंतिम पद पर एक त्रुटि है; यह $-{\tfrac {1}{12}}n^{2}$ के बदले $-{\tfrac {3}{20}}n^{2}$ होना चाहिए।

परिभाषाएँ

पिछले 300 वर्षों में बर्नौली संख्याओं के कई लक्षण पाए गए हैं, और प्रत्येक का उपयोग इन संख्याओं को प्रस्तुत करने के लिए किया जा सकता है। यहां केवल तीन सबसे उपयोगी का उल्लेख किया गया है:

• एक पुनरावर्ती समीकरण,
• एक स्पष्ट सूत्र,
• एक जनरेटिंग फलन।

तीन दृष्टिकोणों की तार्किक तुल्यता के प्रमाण के लिए।

पुनरावर्ती परिभाषा

बर्नौली संख्याएँ योग सूत्रों का पालन करती हैं

${\begin{aligned}\sum _{k=0}^{m}{\binom {m+1}{k}}B_{k}^{-{}}&=\delta _{m,0}\\\sum _{k=0}^{m}{\binom {m+1}{k}}B_{k}^{+{}}&=m+1\end{aligned}}$

जहां $m=0,1,2...$ और δ क्रोनकर डेल्टा को दर्शाता है। $B_{m}^{\mp {}}$ को हल करने पर पुनरावर्ती सूत्र प्राप्त होते हैं

${\begin{aligned}B_{m}^{-{}}&=\delta _{m,0}-\sum _{k=0}^{m-1}{\binom {m}{k}}{\frac {B_{k}^{-{}}}{m-k+1}}\\B_{m}^{+}&=1-\sum _{k=0}^{m-1}{\binom {m}{k}}{\frac {B_{k}^{+}}{m-k+1}}.\end{aligned}}$

स्पष्ट परिभाषा

1893 में लुई साल्सचुट्ज़ ने बर्नौली संख्याओं के लिए कुल 38 स्पष्ट सूत्र सूचीबद्ध किए, प्रायः पुराने साहित्य में कुछ संदर्भ दिए गए। उनमें से एक है ($m\geq 1$ के लिए ):

${\begin{aligned}B_{m}^{-{}}&=\sum _{k=0}^{m}\sum _{v=0}^{k}(-1)^{v}{\binom {k}{v}}{\frac {v^{m}}{k+1}}\\B_{m}^{+}&=\sum _{k=0}^{m}\sum _{v=0}^{k}(-1)^{v}{\binom {k}{v}}{\frac {(v+1)^{m}}{k+1}}.\end{aligned}}$

जनरेटिंग फलन

घातीय फलन हैं

${\begin{alignedat}{3}{\frac {t}{e^{t}-1}}&={\frac {t}{2}}\left(\operatorname {coth} {\frac {t}{2}}-1\right)&&=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {B_{m}^{-{}}t^{m}}{m!}}\\{\frac {t}{1-e^{-t}}}&={\frac {t}{2}}\left(\operatorname {coth} {\frac {t}{2}}+1\right)&&=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {B_{m}^{+}t^{m}}{m!}}.\end{alignedat}}$

जहां प्रतिस्थापन $t\to -t$ है। यदि हम $F(t)=\sum _{i=1}^{\infty }f_{i}t^{i}$ और $G(t)=1/(1+F(t))=\sum _{i=0}^{\infty }g_{i}t^{i}$ मान लें तब

$G(t)=1-F(t)G(t).$

तब $g_{0}=1$ और $m>0$ के लिए $G(t)$की श्रृंखला में mवाँ पद है:

$g_{m}t^{i}=-\sum _{j=0}^{m-1}f_{m-j}g_{j}t^{m}$

यदि

$F(t)={\frac {e^{t}-1}{t}}-1=\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {t^{i}}{(i+1)!}}$

तब हम उसे पाते हैं

$G(t)=t/(e^{t}-1)$

${\begin{aligned}m!g_{m}&=-\sum _{j=0}^{m-1}{\frac {m!}{j!}}{\frac {j!g_{j}}{(m-j+1)!}}\\&=-{\frac {1}{m+1}}\sum _{j=0}^{m-1}{\binom {m+1}{j}}j!g_{j}\\\end{aligned}}$

यह दर्शाता है कि $i!g_{i}$ के मान बर्नौली संख्या $B_{i}^{-}$ के लिए पुनरावर्ती सूत्र का पालन करते हैं।

(साधारण) जनक फलन

$z^{-1}\psi _{1}(z^{-1})=\sum _{m=0}^{\infty }B_{m}^{+}z^{m}$

एक स्पर्शोन्मुख श्रृंखला है। इसमें ट्राइगामा फलन ψ₁ सम्मिलित है।

बर्नौली संख्या और रीमैन जीटा फलन

रीमैन जीटा फलन द्वारा दिए गए बर्नौली नंबर।

बर्नौली संख्याओं को रीमैन जीटा फलन के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है:

B⁺
_n = −nζ(1 − n) n ≥ 1 के लिए है।

यहां जीटा फलन का तर्क 0 या ऋणात्मक है।

जीटा कार्यात्मक समीकरण और गामा प्रतिबिंब सूत्र के माध्यम से निम्नलिखित संबंध प्राप्त किया जा सकता है:

$B_{2n}={\frac {(-1)^{n+1}2(2n)!}{(2\pi )^{2n}}}\zeta (2n)\quad$n ≥ 1 के लिए है।

अब जीटा फलन का तर्क धनात्मक है।

इसके बाद यह ζ → 1 (n → ∞) और स्टर्लिंग के सूत्र से निकलता है कि

$|B_{2n}|\sim 4{\sqrt {\pi n}}\left({\frac {n}{\pi e}}\right)^{2n}\quad$ n → ∞ के लिए है।

बर्नौली संख्याओं की कुशल गणना

कुछ अनुप्रयोगों में बर्नौली संख्या B₀ से B_{p − 3} मापांक p की गणना करने में सक्षम होना उपयोगी है, जहां p एक अभाज्य है; उदाहरण के लिए यह परीक्षण करने के लिए कि क्या वैंडिवर का अनुमान p के लिए सही है, या यहां तक ​​कि सिर्फ यह निर्धारित करने के लिए कि क्या p एक अनियमित अभाज्य है। उपरोक्त पुनरावर्ती सूत्रों का उपयोग करके ऐसी गणना करना संभव नहीं है, क्योंकि कम से कम (एक निरंतर गुणक) p² अंकगणितीय संक्रियाओं की आवश्यकता होगी। सौभाग्य से, तेज़ विधियाँ विकसित की गई हैं जिसके लिए केवल O(p (log p)²) संक्रिया की आवश्यकता होती है (बड़ा O संकेतन देखें)।

डेविड हार्वे कई छोटे अभाज्य संख्याओं p के लिए B_n मापांक p की गणना करके और फिर चीनी शेषफल प्रमेय के माध्यम से B_n का पुनर्निर्माण करके बर्नौली संख्याओं की गणना के लिए एक एल्गोरिदम का वर्णन करता है। हार्वे लिखते हैं कि इस एल्गोरिदम की स्पर्शोन्मुख कम्प्यूटेशनल जटिलता O(n² log(n)^{2 + ε}) है और दावा करते हैं कि यह कार्यान्वयन अन्य तरीकों पर आधारित कार्यान्वयन की तुलना में काफी तेज़ है। इस कार्यान्वयन का उपयोग करके हार्वे ने n = 10⁸ के लिए B_n गणना की। हार्वे के कार्यान्वयन को संस्करण 3.1 से सेजमैथ में सम्मिलित किया गया है। उनसे पहले, बर्नड केल्नर ने दिसंबर 2002 में n = 10⁶ के लिए पूर्ण परिशुद्धता के साथ B_n की गणना की थी और अप्रैल 2008 में मेथेमेटिका के साथ ऑलेक्ज़ेंडर पावलिक ने n = 10⁷ के लिए B_n की गणना की थी।

परिकलक	साल	n	अंक *
जे. बर्नौली	~1689	10	1
एल. यूलर	1748	30	8
जे. सी. एडम्स	1878	62	36
डी. ई. नुथ, टी. जे. बखोल्ट्ज़	1967	1672	3330
जी. फी, एस. प्लौफ़े	1996	10000	27677
जी. फी, एस. प्लौफ़े	1996	100000	376755
बी. सी. केल्नर	2002	1000000	4767529
ओ. पावलिक	2008	10000000	57675260
डी. हार्वे	2008	100000000	676752569

* जब B_n को सामान्यीकृत वैज्ञानिक संकेतन में वास्तविक संख्या के रूप में लिखा जाता है अंकों को 10 के घातांक के रूप में समझा जाना जाता है।

जूलिया प्रोग्रामिंग भाषा में बर्नौली संख्याओं की गणना के लिए एक संभावित एल्गोरिदम दिया गया है

b    = Array{Float64}(undef, n+1)
b[1] = 1
b[2] = -0.5
for m=2:n 
    for k=0:m
        for v=0:k
            b[m+1] += (-1)^v * binomial(k,v) * v^(m) / (k+1)
        end
    end
end
return b

बर्नौली संख्या के अनुप्रयोग

स्पर्शोन्मुख विश्लेषण

गणित में बर्नौली संख्याओं का संभवतः सबसे महत्वपूर्ण अनुप्रयोग यूलर-मैकलॉरिन सूत्र में उनका उपयोग है। ये मानते हुए f एक पर्याप्त रूप से प्रायः विभेदित फलन है जिसे यूलर-मैकलॉरिन सूत्र के रूप में लिखा जा सकता है

$\sum _{k=a}^{b-1}f(k)=\int _{a}^{b}f(x)\,dx+\sum _{k=1}^{m}{\frac {B_{k}^{-}}{k!}}(f^{(k-1)}(b)-f^{(k-1)}(a))+R_{-}(f,m).$

यह सूत्रीकरण कन्वेंशन B⁻
₁ = −1/2 को मानता है। कन्वेंशन B⁺
₁ = +1/2 का उपयोग करना सूत्र बन जाता है

$\sum _{k=a+1}^{b}f(k)=\int _{a}^{b}f(x)\,dx+\sum _{k=1}^{m}{\frac {B_{k}^{+}}{k!}}(f^{(k-1)}(b)-f^{(k-1)}(a))+R_{+}(f,m).$

यहाँ $f^{(0)}=f$ (यानी $f$ का शून्य-क्रम अवकलज केवल $f$ है)। इसके अलावा, मान लीजिए कि $f^{(-1)}$ $f$ के एक प्रतिअवकलज को दर्शाता है। कलन के मौलिक प्रमेय द्वारा,

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx=f^{(-1)}(b)-f^{(-1)}(a).$

इस प्रकार अंतिम सूत्र को यूलर-मैकलॉरिन सूत्र के निम्नलिखित संक्षिप्त रूप में और सरल बनाया जा सकता है

$\sum _{k=a}^{b}f(k)=\sum _{k=0}^{m}{\frac {B_{k}}{k!}}(f^{(k-1)}(b)-f^{(k-1)}(a))+R(f,m).$

उदाहरण के लिए, यह फॉर्म जीटा फलन के महत्वपूर्ण यूलर-मैकलॉरिन विस्तार का स्रोत है

${\begin{aligned}\zeta (s)&=\sum _{k=0}^{m}{\frac {B_{k}^{+}}{k!}}s^{\overline {k-1}}+R(s,m)\\&={\frac {B_{0}}{0!}}s^{\overline {-1}}+{\frac {B_{1}^{+}}{1!}}s^{\overline {0}}+{\frac {B_{2}}{2!}}s^{\overline {1}}+\cdots +R(s,m)\\&={\frac {1}{s-1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{12}}s+\cdots +R(s,m).\end{aligned}}$

यहाँ s^k बढ़ती भाज्य घात को दर्शाता है।

बर्नौली संख्याओं का उपयोग प्रायः अन्य प्रकार के स्पर्शोन्मुख विस्तारों में भी किया जाता है। निम्नलिखित उदाहरण डिगामा फलन ψ का चिरप्रतिष्ठित पोंकारे-प्रकार का स्पर्शोन्मुख विस्तार है।

$\psi (z)\sim \ln z-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{k}^{+}}{kz^{k}}}$

घातों का योग

Main article: फ़ौल्हेबर का सूत्र

बर्नौली संख्याएँ पहले n धनात्मक पूर्णांकों की mवीं घातों के योग की बंद-रूप अभिव्यक्ति में प्रमुखता से प्रदर्शित होती हैं। m, n ≥ 0 के लिए परिभाषित करना

$S_{m}(n)=\sum _{k=1}^{n}k^{m}=1^{m}+2^{m}+\cdots +n^{m}$है।

इस अभिव्यक्ति को हमेशा n डिग्री m + 1 में एक बहुपद के रूप में फिर से लिखा जा सकता है। इन बहुपदों के गुणांक बर्नौली के सूत्र द्वारा बर्नौली संख्याओं से संबंधित हैं:

$S_{m}(n)={\frac {1}{m+1}}\sum _{k=0}^{m}{\binom {m+1}{k}}B_{k}^{+}n^{m+1-k}=m!\sum _{k=0}^{m}{\frac {B_{k}^{+}n^{m+1-k}}{k!(m+1-k)!}},$

जहां (^{m + 1}
_k) द्विपद गुणांक को दर्शाता है।

उदाहरण के लिए, लेना m को 1 मानने से त्रिकोणीय संख्याएँ 0, 1, 3, 6, ... OEIS: A000217 प्राप्त होती हैं।

$1+2+\cdots +n={\frac {1}{2}}(B_{0}n^{2}+2B_{1}^{+}n^{1})={\tfrac {1}{2}}(n^{2}+n).$

m को 2 मानने पर वर्गाकार पिरामिड संख्याएँ 0, 1, 5, 14, ... OEIS: A000330 प्राप्त होती हैं।

$1^{2}+2^{2}+\cdots +n^{2}={\frac {1}{3}}(B_{0}n^{3}+3B_{1}^{+}n^{2}+3B_{2}n^{1})={\tfrac {1}{3}}\left(n^{3}+{\tfrac {3}{2}}n^{2}+{\tfrac {1}{2}}n\right).$

कुछ गणितज्ञ बर्नौली संख्याओं के लिए वैकल्पिक परंपरा का उपयोग करते हैं और बर्नौली के सूत्र को इस प्रकार बताते हैं:

$S_{m}(n)={\frac {1}{m+1}}\sum _{k=0}^{m}(-1)^{k}{\binom {m+1}{k}}B_{k}^{-{}}n^{m+1-k}.$

बर्नौली के सूत्र को कभी-कभी जोहान फ़ौल्हाबर के बाद फ़ौल्हाबर का सूत्र भी कहा जाता है, जिन्होंने घातों के योग की गणना करने के उल्लेखनीय उपाय भी खोजे थे।

फ़ौल्हाबर के सूत्र को वी. गुओ और जे. ज़ेंग द्वारा q-एनालॉग में सामान्यीकृत किया गया था।

टेलर श्रृंखला

बर्नौली संख्याएँ कई त्रिकोणमितीय फलनों और अतिपरवलीय फलनों के टेलर श्रृंखला विस्तार में दिखाई देती हैं।

स्पर्शरेखा

${\begin{aligned}\tan x&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}}{(2n)!}}\;x^{2n-1},&\left|x\right|&<{\frac {\pi }{2}}\\\end{aligned}}$

कोटैंजेंट

${\begin{aligned}\cot x&{}={\frac {1}{x}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}B_{2n}(2x)^{2n}}{(2n)!}},&\qquad 0<|x|<\pi .\end{aligned}}$

अतिपरवलीय स्पर्शज्या

${\begin{aligned}\tanh x&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}}{(2n)!}}\;x^{2n-1},&|x|&<{\frac {\pi }{2}}.\end{aligned}}$

अतिपरवलीय कोटैंजेंट

${\begin{aligned}\coth x&{}={\frac {1}{x}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{2n}(2x)^{2n}}{(2n)!}},&\qquad \qquad 0<|x|<\pi .\end{aligned}}$

लॉरेंट श्रृंखला

बर्नौली संख्याएँ निम्नलिखित लॉरेंट श्रृंखला में दिखाई देती हैं: }

दिगम्मा फलन: $\psi (z)=\ln z-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{k}^{+{}}}{kz^{k}}}$

टोपोलॉजी में उपयोग

विजातीय (4n − 1)-क्षेत्रों के भिन्नरूपता वर्गों के चक्रीय समूह के क्रम के लिए केरवायर-मिल्नोर सूत्र, जो समानांतर मैनिफोल्ड्स को बांधता है, में बर्नौली संख्याएं सम्मिलित हैं। मान लीजिए कि n ≥ 2 के लिए ES_n ऐसे विजातीय क्षेत्रों की संख्या हो,

${\textit {ES}}_{n}=(2^{2n-2}-2^{4n-3})\operatorname {Numerator} \left({\frac {B_{4n}}{4n}}\right).$

आयाम 4एन के एक चिकनी उन्मुख बंद मैनिफोल्ड के L श्रेणी के लिए हिरज़ेब्रुक हस्ताक्षर प्रमेय में बर्नौली संख्याएं भी सम्मिलित हैं।

संयोजक संख्याओं के साथ संबंध

विभिन्न प्रकार के संयोजन संख्याओं के साथ बर्नौली संख्या का संबंध परिमित अंतर के चिरप्रतिष्ठित सिद्धांत और एक मौलिक संयोजन सिद्धांत, समावेशन-बहिष्करण सिद्धांत के उदाहरण के रूप में बर्नौली संख्याओं की संयोजन व्याख्या पर आधारित है।

वर्पिट्ज़की संख्याओं के साथ संबंध

आगे बढ़ने की परिभाषा 1883 में जूलियस वर्पिट्ज़की द्वारा विकसित की गई थी। प्रारंभिक अंकगणित के अलावा केवल फैक्टोरियल फलन n! और घात फलन k^m कार्यरत है। साइनलेस वर्पिट्ज़की संख्याओं को इस प्रकार परिभाषित किया गया है

$W_{n,k}=\sum _{v=0}^{k}(-1)^{v+k}(v+1)^{n}{\frac {k!}{v!(k-v)!}}.$

इन्हें दूसरे प्रकार के स्टर्लिंग संख्याओं के माध्यम से भी व्यक्त किया जा सकता है

$W_{n,k}=k!\left\{{n+1 \atop k+1}\right\}.$

फिर एक बर्नौली संख्या को हार्मोनिक अनुक्रम 1, 1/2, 1/3,... द्वारा भारित वर्पिट्ज़की संख्याओं के समावेशन-बहिष्करण योग के रूप में प्रस्तुत किया जाता है। 

$B_{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\frac {W_{n,k}}{k+1}}\ =\ \sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{k+1}}\sum _{v=0}^{k}(-1)^{v}(v+1)^{n}{k \choose v}\ .$

B₀ = 1

B₁ = 1 − 1/2

B₂ = 1 − 3/2 + 2/3

B₃ = 1 − 7/2 + 12/3 − 6/4

B₄ = 1 − 15/2 + 50/3 − 60/4 + 24/5

B₅ = 1 − 31/2 + 180/3 − 390/4 + 360/5 − 120/6

B₆ = 1 − 63/2 + 602/3 − 2100/4 + 3360/5 − 2520/6 + 720/7

यह निरूपण में B⁺
₁ = +1/2 है।

अनुक्रम s_n, n ≥ 0 पर विचार करें। वर्पिट्ज़की की संख्याओं से OEIS: A028246, OEIS: A163626, s₀, s₀, s₁, s₀, s₁, s₂, s₀, s₁, s₂, s₃, ... s_n पर अनुप्रयुक्त अकीयामा-तानिगावा परिवर्तन के समान है (हली तरह की स्टर्लिंग संख्याओं के साथ कनेक्शन देखें)। इसे तालिका के माध्यम से देखा जा सकता है:

वर्पिट्ज़की के निरूपण और अकीयामा-तानिगावा परिवर्तन की पहचान

1						0	1					0	0	1				0	0	0	1			0	0	0	0	1
1	−1					0	2	−2				0	0	3	−3			0	0	0	4	−4
1	−3	2				0	4	−10	6			0	0	9	−21	12
1	−7	12	−6			0	8	−38	54	−24
1	−15	50	−60	24

पहली पंक्ति s₀, s₁, s₂, s₃, s₄ का निरूपण करती है।

इसलिए दूसरे भिन्नात्मक यूलर संख्याओं के लिए OEIS: A198631 (n) / OEIS: A006519 (n + 1) है:

E₀ = 1

E₁ = 1 − 1/2

E₂ = 1 − 3/2 + 2/4

E₃ = 1 − 7/2 + 12/4 − 6/8

E₄ = 1 − 15/2 + 50/4 − 60/8 + 24/16

E₅ = 1 − 31/2 + 180/4 − 390/8 + 360/16 − 120/32

E₆ = 1 − 63/2 + 602/4 − 2100/8 + 3360/16 − 2520/32 + 720/64

वर्पिट्ज़की संख्याओं द्वारा बर्नौली संख्याओं का निरूपण करने वाला दूसरा सूत्र n ≥ 1 के लिए है

$B_{n}={\frac {n}{2^{n+1}-2}}\sum _{k=0}^{n-1}(-2)^{-k}\,W_{n-1,k}.$

दूसरे बर्नौली संख्याओं का सरलीकृत दूसरा वर्पिट्ज़की का निरूपण है:

OEIS: A164555 (n + 1) / OEIS: A027642(n + 1) = n + 1/2^{n + 2} − 2 × OEIS: A198631(n) / OEIS: A006519(n + 1)

जो दूसरे बर्नौली संख्याओं को दूसरे भिन्नात्मक यूलर संख्याओं से जोड़ता है। प्रारम्भ है:

1/2, 1/6, 0, −1/30, 0, 1/42, ... = (1/2, 1/3, 3/14, 2/15, 5/62, 1/21, ...) × (1, 1/2, 0, −1/4, 0, 1/2, ...)

प्रथम कोष्ठक के अंश OEIS: A111701 हैं (पहली तरह के स्टर्लिंग संख्याओं के साथ कनेक्शन देखें)।

दूसरे प्रकार के स्टर्लिंग संख्याओं के साथ संबंध

यदि कोई बर्नौली बहुपद B_k(j) को इस प्रकार परिभाषित करता है:

$B_{k}(j)=k\sum _{m=0}^{k-1}{\binom {j}{m+1}}S(k-1,m)m!+B_{k}$

जहां k = 0, 1, 2,... के लिए B_k बर्नौली संख्याएं हैं।

बर्नौली बहुपदों के लिए निम्नलिखित भी निहित है,

$B_{k}(j)=\sum _{n=0}^{k}{\binom {k}{n}}B_{n}j^{k-n}.$

(^j
_{m + 1}) में j का गुणांक (−1)^m/m + 1 है।

बर्नौली बहुपद के दो पदों में j के गुणांक की तुलना करने पर, एक यह है:

$B_{k}=\sum _{m=0}^{k}(-1)^{m}{\frac {m!}{m+1}}S(k,m)$

(जिसके परिणामस्वरूप B₁ = +1/2) जो बर्नौली संख्याओं के लिए एक स्पष्ट सूत्र है और इसका उपयोग वॉन-स्टॉड क्लॉसन प्रमेय को सिद्ध करने के लिए किया जा सकता है।

पहली तरह के स्टर्लिंग संख्याओं के साथ संबंध

पहली तरह के अहस्ताक्षरित स्टर्लिंग संख्याओं [ⁿ
_m] को बर्नौली संख्याओं ( B₁ = +1/2 के साथ) से संबंधित दो मुख्य सूत्र हैं

${\frac {1}{m!}}\sum _{k=0}^{m}(-1)^{k}\left[{m+1 \atop k+1}\right]B_{k}={\frac {1}{m+1}},$

और इस योग का व्युत्क्रम (n ≥ 0, m ≥ 0 के लिए)

${\frac {1}{m!}}\sum _{k=0}^{m}(-1)^{k}\left[{m+1 \atop k+1}\right]B_{n+k}=A_{n,m}.$

यहाँ संख्या A_n,m परिमेय अकीयामा-तानिगावा संख्याएं हैं, जिनमें से पहले कुछ निम्नलिखित तालिका में प्रदर्शित किए गए हैं।

अकीयामा–तनिगावा संख्या

m n	0	1	2	3	4
0	1	1/2	1/3	1/4	1/5
1	1/2	1/3	1/4	1/5	...
2	1/6	1/6	3/20	...	...
3	0	1/30	...	...	...
4	−1/30	...	...	...	...

अकियामा-तानिगावा संख्याएँ एक सरल पुनरावृत्ति संबंध को संतुष्ट करती हैं जिसका उपयोग बर्नौली संख्याओं की पुनरावृत्तीय गणना के लिए किया जा सकता है। यह उपरोक्त अनुभाग 'एल्गोरिदमिक विवरण' में दिखाए गए एल्गोरिदम की ओर ले जाता है। OEIS: A051714/OEIS: A051715 देखें।

ऑटोसीक्वेंस एक अनुक्रम है जिसका व्युत्क्रम द्विपद परिवर्तन हस्ताक्षरित अनुक्रम के बराबर होता है। यदि मुख्य विकर्ण शून्य = OEIS: A000004 है, तो स्वत: अनुक्रम पहली तरह का है। उदाहरण: OEIS: A000045, फाइबोनैचि संख्याएँ है। यदि मुख्य विकर्ण पहले ऊपरी विकर्ण को 2 से गुणा किया जाता है, तो यह दूसरे प्रकार का होता है। उदाहरण: OEIS: A164555/OEIS: A027642, दूसरा बर्नौली संख्या (देखें OEIS: A190339) है। 2⁻ⁿ = 1/OEIS: A000079 पर अनुप्रयुक्त अकीयामा-तानिगावा परिवर्तन OEIS: A198631 (n) / OEIS: A06519 (n+ 1) की ओर ले जाता है। इस तरह:

दूसरे यूलर संख्याओं के लिए अकियामा-तानिगावा परिवर्तन

m n	0	1	2	3	4
0	1	1/2	1/4	1/8	1/16
1	1/2	1/2	3/8	1/4	...
2	0	1/4	3/8	...	...
3	−1/4	−1/4	...	...	...
4	0	...	...	...	...

OEIS: A209308 और OEIS: A227577 देखें। OEIS: A198631 (n) / OEIS: A006519 (n + 1) दूसरे (आंशिक) यूलर संख्या और दूसरे प्रकार का एक ऑटोसेक्वेंस हैं।

(OEIS: A164555 (n + 2)/OEIS: A027642 (n + 2) = 1/6, 0, −1/30, 0, 1/42, ...) × ( 2^{n + 3} − 2/n + 2 = 3, 14/3, 15/2, 62/5, 21, ...) = OEIS: A198631 (n + 1)/OEIS: A006519 (n + 2) = 1/2, 0, −1/4, 0, 1/2, ....

के लिए भी मूल्यवान OEIS: A027641 / OEIS: A027642 (वॉरपिट्ज़की संख्याओं के साथ कनेक्शन देखें)।

पास्कल के त्रिकोण के साथ संबंध

पास्कल के त्रिभुज को बर्नौली संख्याओं से जोड़ने वाले सूत्र हैं

$B_{n}^{+}={\frac {|A_{n}|}{(n+1)!}}~~~$

जहां $|A_{n}|$ पास्कल त्रिभुज के n-by-n हेसेनबर्ग मैट्रिक्स भाग का निर्धारक है जिसके तत्व हैं: $a_{i,k}={\begin{cases}0&{\text{if }}k>1+i\\{i+1 \choose k-1}&{\text{otherwise}}\end{cases}}$

उदाहरण:

$B_{6}^{+}={\frac {\det {\begin{pmatrix}1&2&0&0&0&0\\1&3&3&0&0&0\\1&4&6&4&0&0\\1&5&10&10&5&0\\1&6&15&20&15&6\\1&7&21&35&35&21\end{pmatrix}}}{7!}}={\frac {120}{5040}}={\frac {1}{42}}$

यूलेरियन संख्याओं के साथ संबंध

यूलेरियन संख्याओं ⟨ⁿ
_m⟩ को बर्नौली संख्याओं से जोड़ने वाले सूत्र हैं:

${\begin{aligned}\sum _{m=0}^{n}(-1)^{m}\left\langle {n \atop m}\right\rangle &=2^{n+1}(2^{n+1}-1){\frac {B_{n+1}}{n+1}},\\\sum _{m=0}^{n}(-1)^{m}\left\langle {n \atop m}\right\rangle {\binom {n}{m}}^{-1}&=(n+1)B_{n}.\end{aligned}}$

यदि B₁ को 1/2 पर सेट किया गया है तो दोनों सूत्र n ≥ 0 के लिए मान्य हैं। यदि B₁ को -1/2 पर सेट किया गया है तो वे क्रमशः n ≥ 1 और n ≥ 2 क्रमशः के लिए ही मान्य हैं।

एक बाइनरी ट्री निरूपण

स्टर्लिंग बहुपद σ_n(x) बर्नौली संख्याओं से B_n = n!σ_n(1) द्वारा संबंधित हैं। एस. सी. वून ने एक बाइनरी ट्री के रूप में σ_n(1) की गणना करने के लिए एक एल्गोरिदम का वर्णन किया:

वून का पुनरावर्ती एल्गोरिदम (n ≥ 1 के लिए) रूट नोड N = [1,2] को निर्दिष्ट करके प्रारंभ होता है। ट्री के एक नोड N = [a₁, a₂, ..., a_k] को देखते हुए, नोड का बायां बच्चा L(N) = [−a₁, a₂ + 1, a₃, ..., a_k] है और दायाँ बच्चा R(N) = [a₁, 2, a₂, ..., a_k] है। एक नोड N = [a₁, a₂, ..., a_k] को ऊपर दर्शाए गए ट्री के प्रारंभिक भाग में ±[a₂, ..., a_k] के रूप में लिखा जाता है, जिसमें ± a₁ के चिह्न को दर्शाता है।

एक नोड N को देखते हुए N के फैक्टोरियल को इस प्रकार परिभाषित किया गया है

$N!=a_{1}\prod _{k=2}^{\operatorname {length} (N)}a_{k}!.$

एक निश्चित वृक्ष-स्तर n के नोड्स N तक सीमित, 1/N! का योग σ_n(1) है, इस प्रकार

$B_{n}=\sum _{\stackrel {N{\text{ node of}}}{{\text{ tree-level }}n}}{\frac {n!}{N!}}.$

उदाहरण के लिए:

B₁ = 1!(1/2!)

B₂ = 2!(−1/3! + 1/2!2!)

B₃ = 3!(1/4! − 1/2!3! − 1/3!2! + 1/2!2!2!)

समाकल निरूपण और निरंतरता

n > 0 के लिए समाकल

$b(s)=2e^{si\pi /2}\int _{0}^{\infty }{\frac {st^{s}}{1-e^{2\pi t}}}{\frac {dt}{t}}={\frac {s!}{2^{s-1}}}{\frac {\zeta (s)}{{}\pi ^{s}{}}}(-i)^{s}={\frac {2s!\zeta (s)}{(2\pi i)^{s}}}$

का विशेष मान b(2n) = B_2n है।

उदाहरण के लिए, b(3) = 3/2ζ(3)π⁻³i और b(5) = −15/2ζ(5)π⁻⁵i है। यहाँ, ζ रीमैन जीटा फलन है, और i काल्पनिक इकाई है। लियोनहार्ड यूलर (ओपेरा ओमनिया, क्रमांक 1, खंड 10, पृष्ठ 351) ने इन संख्याओं पर विचार किया और गणना की

${\begin{aligned}p&={\frac {3}{2\pi ^{3}}}\left(1+{\frac {1}{2^{3}}}+{\frac {1}{3^{3}}}+\cdots \right)=0.0581522\ldots \\q&={\frac {15}{2\pi ^{5}}}\left(1+{\frac {1}{2^{5}}}+{\frac {1}{3^{5}}}+\cdots \right)=0.0254132\ldots \end{aligned}}$

एक और समान समाकल निरूपण है

$b(s)=-{\frac {e^{si\pi /2}}{2^{s}-1}}\int _{0}^{\infty }{\frac {st^{s}}{\sinh \pi t}}{\frac {dt}{t}}={\frac {2e^{si\pi /2}}{2^{s}-1}}\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{\pi t}st^{s}}{1-e^{2\pi t}}}{\frac {dt}{t}}.$

यूलर संख्याओं और π से संबंध

यूलर संख्याएँ पूर्णांकों का एक क्रम है जो बर्नौली संख्याओं के साथ घनिष्ठ रूप से जुड़ा हुआ है। बर्नौली और यूलर संख्याओं के स्पर्शोन्मुख विस्तार की तुलना करने से पता चलता है कि यूलर संख्या E_2n का परिमाण बर्नौली संख्या B_2n से लगभग 2/π(4²ⁿ − 2²ⁿ) गुना बड़ा है। परिणामस्वरूप:

$\pi \sim 2(2^{2n}-4^{2n}){\frac {B_{2n}}{E_{2n}}}.$

इस स्पर्शोन्मुख समीकरण से पता चलता है कि π बर्नौली और यूलर दोनों संख्याओं की सामान्य जड़ में निहित है। वस्तुत: π की गणना इन परिमेय अनुमानों से की जा सकती है।

बर्नौली संख्याओं को यूलर संख्याओं के माध्यम से व्यक्त किया जा सकता है और इसके विपरीत व्यक्त किया जा सकता है। चूँकि, विषम n के लिए, B_n = E_n = 0 (अपवाद B₁ के साथ), यह उस स्थिति पर विचार करने के लिए पर्याप्त है जब n सम है।

${\begin{aligned}B_{n}&=\sum _{k=0}^{n-1}{\binom {n-1}{k}}{\frac {n}{4^{n}-2^{n}}}E_{k}&n&=2,4,6,\ldots \\[6pt]E_{n}&=\sum _{k=1}^{n}{\binom {n}{k-1}}{\frac {2^{k}-4^{k}}{k}}B_{k}&n&=2,4,6,\ldots \end{aligned}}$

ये रूपांतरण सूत्र बर्नौली और यूलर संख्याओं के बीच संबंध व्यक्त करते हैं। लेकिन इससे भी अधिक महत्वपूर्ण बात यह है कि दोनों प्रकार की संख्याओं के लिए एक गहरा अंकगणितीय मूल है, जिसे संख्याओं के अधिक मौलिक अनुक्रम के माध्यम से व्यक्त किया जा सकता है, जो कि π से भी निकटता से जुड़ा हुआ है। इन संख्याओं को n > 1 के रूप में परिभाषित किया गया है

$S_{n}=2\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{n}\sum _{k=-\infty }^{\infty }(4k+1)^{-n}\qquad k=0,-1,1,-2,2,\ldots$

और परंपरा के अनुसार S₁ = 1 है। इन संख्याओं का जादू इस तथ्य में निहित है कि ये परिमेय संख्याएँ बन जाती हैं। यह पहली बार लियोनहार्ड यूलर ने एक ऐतिहासिक पेपर डी सुमिस सेरीरम रेसिप्रोकैरम (पारस्परिक श्रृंखलाओं के योग पर) में सिद्ध किया गया था और तब से इसने गणितज्ञों को आकर्षित किया है। इनमें से पहली कुछ संख्याएँ हैं

$S_{n}=1,1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},{\frac {5}{24}},{\frac {2}{15}},{\frac {61}{720}},{\frac {17}{315}},{\frac {277}{8064}},{\frac {62}{2835}},\ldots$ (OEIS: A099612 / OEIS: A099617)

ये sec x + tan x के विस्तार में गुणांक हैं।

बर्नौली संख्या और यूलर संख्या को अइन संख्याओं के विशेष दृश्यों के रूप में समझा जा सकता है, जिन्हें अनुक्रम S_n से चुना गया है और विशेष अनुप्रयोगों में उपयोग के लिए स्केल किया गया है।

${\begin{aligned}B_{n}&=(-1)^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }[n{\text{ even}}]{\frac {n!}{2^{n}-4^{n}}}\,S_{n}\ ,&n&=2,3,\ldots \\E_{n}&=(-1)^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }[n{\text{ even}}]n!\,S_{n+1}&n&=0,1,\ldots \end{aligned}}$

यदि n सम है तो अभिव्यक्ति [सम n] का मान 1 है और अन्यथा (इवरसन कोष्ठक) 0 है।

इन पहचानों से पता चलता है कि इस खंड की प्रारम्भ में बर्नौली और यूलर संख्याओं का भागफल केवल R_n = 2S_n/S_{n + 1} का विशेष स्थिति है जब n सम है। R_n, π का परिमेय सन्निकटन है और दो क्रमिक पद हमेशा π का सही मान दर्शाते हैं। n = 1 से प्रारंभ होकर अनुक्रम प्रारंभ होता है (OEIS: A132049 / OEIS: A132050):

$2,4,3,{\frac {16}{5}},{\frac {25}{8}},{\frac {192}{61}},{\frac {427}{136}},{\frac {4352}{1385}},{\frac {12465}{3968}},{\frac {158720}{50521}},\ldots \quad \longrightarrow \pi .$

ये परिमेय संख्याएँ ऊपर उद्धृत यूलर के पेपर के अंतिम पैराग्राफ में भी दिखाई देती हैं।

अनुक्रम OEIS: A046978 (n + 2) / OEIS: A016116 (n + 1) के लिए अकियामा-तानिगावा परिवर्तन पर विचार करें :

0	1	1/2	0	−1/4	−1/4	−1/8	0
1	1/2	1	3/4	0	−5/8	−3/4
2	−1/2	1/2	9/4	5/2	5/8
3	−1	−7/2	−3/4	15/2
4	5/2	−11/2	−99/4
5	8	77/2
6	−61/2

दूसरे से, पहले कॉलम के अंश यूलर के सूत्र के हर हैं। पहला कॉलम है -1/2 × OEIS: A163982 है।

एक एल्गोरिथम दृश्य: सीडेल त्रिकोण

अनुक्रम S_n में एक और अप्रत्याशित लेकिन महत्वपूर्ण गुण है: S_n के हर भाज्य (n − 1)! को विभाजित करते हैं! दूसरे शब्दों में: संख्याएँ T_n = S_n(n − 1)!, जिन्हें कभी-कभी यूलर ज़िगज़ैग संख्याएँ भी कहा जाता है, पूर्णांक हैं।

$T_{n}=1,\,1,\,1,\,2,\,5,\,16,\,61,\,272,\,1385,\,7936,\,50521,\,353792,\ldots \quad n=0,1,2,3,\ldots$ (OEIS: A000111). देखना (OEIS: A253671).

इस प्रकार बर्नौली और यूलर संख्याओं के उपरोक्त निरूपण को इस अनुक्रम के संदर्भ में फिर से लिखा जा सकता है

${\begin{aligned}B_{n}&=(-1)^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }[n{\text{ even}}]{\frac {n}{2^{n}-4^{n}}}\,T_{n-1}\ &n&=2,3,\ldots \\E_{n}&=(-1)^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }[n{\text{ even}}]T_{n+1}&n&=0,1,\ldots \end{aligned}}$

ये पहचान बर्नौली और यूलर संख्याओं की गणना करना आसान बनाती हैं: यूलर संख्या E_n को तुरंत T_{2n + 1} द्वारा दिया जाता है और बर्नौली संख्या B_2n को परिमेय अंकगणित से बचते हुए, कुछ आसान स्थानांतरण द्वारा T_2n से प्राप्त किया जाता है।

संख्याओं T_n की गणना करने का एक सुविधाजनक तरीका ढूंढना बाकी है। हालाँकि, पहले से ही 1877 में फिलिप लुडविग वॉन सीडेल ने एक सरल एल्गोरिदम प्रकाशित किया था, जो T_n की गणना करना आसान बनाता है।

${\begin{array}{crrrcc}{}&{}&{\color {red}1}&{}&{}&{}\\{}&{\rightarrow }&{\color {blue}1}&{\color {red}1}&{}\\{}&{\color {red}2}&{\color {blue}2}&{\color {blue}1}&{\leftarrow }\\{\rightarrow }&{\color {blue}2}&{\color {blue}4}&{\color {blue}5}&{\color {red}5}\\{\color {red}16}&{\color {blue}16}&{\color {blue}14}&{\color {blue}10}&{\color {blue}5}&{\leftarrow }\end{array}}$

Seidel's algorithm for T_n

1. पंक्ति 0 में 1 डालकर प्रारंभ करें और k को वर्तमान में भरी जा रही पंक्ति की संख्या को दर्शाने दें
2. यदि k विषम है, तो पंक्ति k के पहले स्थान पर पंक्ति k − 1 के बाएं छोर पर संख्या रखें, और पंक्ति को बाईं से दाईं ओर भरें, प्रत्येक प्रविष्टि में संख्या का योग हो बाएँ और ऊपर की संख्या हो
3. पंक्ति के अंत में अंतिम संख्या को डुप्लिकेट करें।
4. यदि k सम है, दूसरी दिशा में भी समान रूप से आगे बढ़ें।

सीडेल का एल्गोरिदम असल में बहुत अधिक सामान्य है (डोमिनिक ड्यूमॉन्ट की व्याख्या देखें)। ) और उसके बाद कई बार पुनः खोजा गया।

सीडेल के दृष्टिकोण के समान डी. ई. नुथ और टी. जे. बखोल्ट्ज़ ने संख्याओं T_2n के लिए एक पुनरावृत्ति समीकरण दिया और 'केवल पूर्णांकों पर सरल संचालन का उपयोग करके इलेक्ट्रॉनिक कंप्यूटरों पर B_2n और E_2n की गणना के लिए इस विधि की प्रशंसा की।'

वी. आई. अर्नोल्ड ने सीडेल के एल्गोरिदम को फिर से खोजा गया और बाद में मिलर, स्लोएन और यंग ने सीडेल के एल्गोरिदम को बुस्ट्रोफेडन ट्रांसफॉर्म नाम से लोकप्रिय बनाया।

त्रिकोणीय रूप:

						1
					1		1
				2		2		1
			2		4		5		5
		16		16		14		10		5
	16		32		46		56		61		61
272		272		256		224		178		122		61

केवल OEIS: A000657, एक 1 के साथ, और OEIS: A214267, दो 1 के साथ, OEIS में हैं।

निम्नलिखित पंक्तियों में एक पूरक 1 और एक 0 के साथ वितरण:

						1
					0		1
				−1		−1		0
			0		−1		−2		−2
		5		5		4		2		0
	0		5		10		14		16		16
−61		−61		−56		−46		−32		−16		0

यह OEIS: A239005, OEIS: A008280 का एक हस्ताक्षरित संस्करण है। मुख्य एंडियगोनल OEIS: A122045 है। मुख्य विकर्ण OEIS: A155585 है। केन्द्रीय स्तम्भ OEIS: A099023 है। पंक्ति योग: 1, 1, −2, −5, 16, 61...देखें OEIS: A163747। नीचे 1, 1, 0, −2, 0, 16, 0 से प्रारम्भ होने वाली सरणी देखें।

अकीयामा-तानिगावा एल्गोरिदम OEIS: A046978 पर अनुप्रयुक्त होता है: (n + 1) / OEIS: A016116(n) उत्पाद :

1	1	1/2	0	−1/4	−1/4	−1/8
0	1	3/2	1	0	−3/4
−1	−1	3/2	4	15/4
0	−5	−15/2	1
5	5	−51/2
0	61
−61

1. पहला कॉलम है OEIS: A122045. इसके द्विपद परिवर्तन की ओर जाता है:

1	1	0	−2	0	16	0
0	−1	−2	2	16	−16
−1	−1	4	14	−32
0	5	10	−46
5	5	−56
0	−61
−61

इस सारणी की पहली पंक्ति OEIS: A155585 है।

बढ़ते प्रतिविकर्णों के निरपेक्ष मान OEIS: A008280 हैं। प्रतिविकर्णों का योग है।

2. दूसरा स्तंभ 1 1 −1 −5 5 61 −61 −1385 1385.... है। इसकी द्विपद परिवर्तन प्राप्त होता है:

1	2	2	−4	−16	32	272
1	0	−6	−12	48	240
−1	−6	−6	60	192
−5	0	66	32
5	66	66
61	0
−61

इस सारणी की पहली पंक्ति 1 2 2 −4 −16 32 272 544 −7936 15872 353792 −707584.... है। दूसरे द्विखंड के निरपेक्ष मान पहले द्विखंड के निरपेक्ष मान के दोगुने हैं।

OEIS पर अनुप्रयुक्त अकियामा-तानिगावा एल्गोरिथ्म पर विचार करें: OEIS: A046978 (n) / (OEIS: A158780 (n + 1) = abs(OEIS: A117575 (n)) + 1 = 1, 2, 2, 3/2, 1, 3/4, 3/4, 7/8, 1, 17/16, 17/16, 33/32....

1	2	2	3/2	1	3/4	3/4
−1	0	3/2	2	5/4	0
−1	−3	−3/2	3	25/4
2	−3	−27/2	−13
5	21	−3/2
−16	45
−61

पहला स्तंभ जिसका निरपेक्ष मान OEIS: A000111 हैं, त्रिकोणमितीय फलन का अंश हो सकता है।

OEIS: A163747 पहली तरह का एक ऑटोसीक्वेंस है (मुख्य विकर्ण है OEIS: A000004 है)। संबंधित सरणी है:

0	−1	−1	2	5	−16	−61
−1	0	3	3	−21	−45
1	3	0	−24	−24
2	−3	−24	0
−5	−21	24
−16	45
−61

पहले दो ऊपरी विकर्ण −1 3 −24 402... = (−1)^{n + 1} × OEIS: A002832 हैं।

प्रतिविकर्णों का योग 0 −2 0 10... = 2 × OEIS: A122045(n+1) है।

−OEIS: A163982 दूसरे प्रकार का एक स्वत: अनुक्रम है, उदाहरण के लिए, OEIS: A164555 / OEIS: A027642। इसलिए सरणी:

2	1	−1	−2	5	16	−61
−1	−2	−1	7	11	−77
−1	1	8	4	−88
2	7	−4	−92
5	−11	−88
−16	−77
−61

मुख्य विकर्ण, यहाँ 2 −2 8 −92..., पहले ऊपरी विकर्ण का दोगुना है, यहाँ OEIS: A099023 है। प्रतिविकर्णों का योग 2 0 −4 0... = 2 × OEIS: A155585(n + 1) है। OEIS: A163747 − OEIS: A163982 = 2 × OEIS: A122045.

एक संयुक्त दृश्य: वैकल्पिक क्रमपरिवर्तन

Main article: वैकल्पिक क्रमचय

1880 के आसपास, सीडेल के एल्गोरिदम के प्रकाशन के तीन साल बाद, डेसिरे आंद्रे ने संयोजन विश्लेषण का अब एक उत्कृष्ट परिणाम सिद्ध किया। त्रिकोणमितीय फलनों tan x और sec x के टेलर विस्तार के प्रथम पदों को देखते हुए आंद्रे ने एक चौंकाने वाली खोज की।

${\begin{aligned}\tan x&=x+{\frac {2x^{3}}{3!}}+{\frac {16x^{5}}{5!}}+{\frac {272x^{7}}{7!}}+{\frac {7936x^{9}}{9!}}+\cdots \\[6pt]\sec x&=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {5x^{4}}{4!}}+{\frac {61x^{6}}{6!}}+{\frac {1385x^{8}}{8!}}+{\frac {50521x^{10}}{10!}}+\cdots \end{aligned}}$

गुणांक क्रमशः विषम और सम सूचकांक की यूलर संख्याएँ हैं। परिणामस्वरूप tan x + sec x के सामान्य विस्तार में गुणांक के रूप में परिमेय संख्याएँ S_n होती हैं।

$\tan x+\sec x=1+x+{\tfrac {1}{2}}x^{2}+{\tfrac {1}{3}}x^{3}+{\tfrac {5}{24}}x^{4}+{\tfrac {2}{15}}x^{5}+{\tfrac {61}{720}}x^{6}+\cdots$

इसके बाद आंद्रे एक पुनरावृत्ति तर्क के माध्यम से यह दिखाने में सफल हुए कि विषम आकार के वैकल्पिक क्रमपरिवर्तन को विषम सूचकांक के यूलर संख्याओं द्वारा गिना जाता है (जिसे स्पर्शरेखा संख्या भी कहा जाता है) और सम आकार के वैकल्पिक क्रमपरिवर्तन को सम सूचकांक के यूलर संख्याओं द्वारा गिना जाता है (जिन्हें छेदक संख्याएँ भी कहा जाता है)।

संबंधित क्रम

पहले और दूसरे बर्नौली संख्याओं का अंकगणित माध्य सहयोगी बर्नौली संख्याएँ हैं:

B₀ = 1, B₁ = 0, B₂ = 1/6, B₃ = 0, B₄ = −1/30, OEIS: A176327 / OEIS: A027642। इसके व्युत्क्रम अकीयामा-तानिगावा परिवर्तन OEIS: A177427 की दूसरी पंक्ति के माध्यम से, वे बामर श्रृंखला OEIS: A061037 / OEIS: A061038 की ओर ले जाते हैं

OEIS पर अनुप्रयुक्त अकीयामा-तानिगावा एल्गोरिथ्म: OEIS: A060819 (n + 4) / OEIS: A145979 (n) बर्नौली संख्याओं की ओर ले जाता है OEIS: A027641 / OEIS: A027642, OEIS: A164555 / OEIS: A027642, या OEIS: A176327 OEIS: A176289 B₁ के बिना, आंतरिक बर्नौली संख्या B_i(n) नामित दिया गया है।

1	5/6	3/4	7/10	2/3
1/6	1/6	3/20	2/15	5/42
0	1/30	1/20	2/35	5/84
−1/30	−1/30	−3/140	−1/105	0
0	−1/42	−1/28	−4/105	−1/28

इसलिए OEIS: A145979 (n) के माध्यम से आंतरिक बर्नौली संख्याओं और बामर श्रृंखला के बीच एक और लिंक है।

OEIS: A145979 (n − 2) = 0, 2, 1, 6,... गैर-ऋणात्मक संख्याओं का क्रमपरिवर्तन है।

पहली पंक्ति के पद f(n) = 1/2 + 1/n + 2 हैं। 2, f(n) दूसरी तरह का एक स्वत:अनुक्रम है। 3/2, f(n) अपने व्युत्क्रम द्विपद परिवर्तन से 3/2 −1/2 1/3 −1/4 1/5 ... = 1/2 + लघुगणक 2 की ओर जाता है।

g(n) = 1/2 - 1 / (n+2) = 0, 1/6, 1/4, 3/10, 1/3 पर विचार करें। अकियामा-तनागिवा परिवर्तन देता है:

0	1/6	1/4	3/10	1/3	5/14	...
−1/6	−1/6	−3/20	−2/15	−5/42	−3/28	...
0	−1/30	−1/20	−2/35	−5/84	−5/84	...
1/30	1/30	3/140	1/105	0	−1/140	...

0, g(n), दूसरे प्रकार का स्वत:अनुक्रम है।

यूलर OEIS: A198631 (n) / OEIS: A006519 (n + 1) दूसरे पद (1/2) के बिना भिन्नात्मक आंतरिक यूलर संख्याएँ E_i(n) = 1, 0, −1/4, 0, 1/2, 0, −17/8, 0, ...हैं। संगत अकियामा परिवर्तन है:

1	1	7/8	3/4	21/32
0	1/4	3/8	3/8	5/16
−1/4	−1/4	0	1/4	25/64
0	−1/2	−3/4	−9/16	−5/32
1/2	1/2	−9/16	−13/8	−125/64

पहली पंक्ति है Eu(n) है। Eu(n) के पहले शून्य आना पहली तरह का स्वत:अनुक्रम है। यह ओरेस्मे संख्याओं से जुड़ा हुआ है। दूसरी पंक्ति के अंश OEIS: A069834 हैं जिसके पहले 0 है। अंतर तालिका है:

0	1	1	7/8	3/4	21/32	19/32
1	0	−1/8	−1/8	−3/32	−1/16	−5/128
−1	−1/8	0	1/32	1/32	3/128	1/64

बर्नौली संख्याओं के अंकगणितीय गुण

बर्नौली संख्याओं को रीमैन जीटा फलन के संदर्भ में पूर्णांक n ≥ 0 के लिए B_n = −nζ(1 − n) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, बशर्ते n = 0 के लिए अभिव्यक्ति −nζ(1 − n) को सीमित मान के रूप में समझा जाता है और कन्वेंशन B₁ = 1/2 का प्रयोग किया जाता है। यह उन्हें ऋणात्मक पूर्णांकों पर जीटा फलन के मानों से घनिष्ठ रूप से जोड़ता है। इस प्रकार, उनसे गहन अंकगणितीय गुण होने की उम्मीद की जा सकती है और होती भी है। उदाहरण के लिए, अगोह-गिउगा अनुमान यह बताता है p एक अभाज्य संख्या है यदि और केवल यदि pB_{p − 1} −1 मॉड्यूलो p के सर्वांगसम है। बर्नौली संख्याओं की विभाज्यता गुण कुमेर के प्रमेय द्वारा साइक्लोटोमिक क्षेत्रों के आदर्श वर्ग समूहों से संबंधित हैं और हर्ब्रांड-रिबेट प्रमेय में इसकी मजबूती, और एंकेनी-आर्टिन-चौला द्वारा वास्तविक द्विघात क्षेत्रों की वर्ग संख्याओं से संबंधित हैं।

कुमेर प्रमेय

बर्नौली संख्याएँ कुमेर के प्रमेय द्वारा फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय (FLT) से संबंधित हैं, जो कहते हैं:

यदि विषम अभाज्य p बर्नौली संख्या B₂, B₄, ..., B_{p − 3} के किसी भी अंश को विभाजित नहीं करता है तब x^p + y^p + z^p = 0 का गैर-शून्य पूर्णांकों में कोई समाधान नहीं है।

इस गुण वाली अभाज्य संख्याओं को नियमित अभाज्य संख्याएँ कहा जाता है। कुमेर का एक अन्य चिरप्रतिष्ठित परिणाम निम्नलिखित सर्वांगसमताएँ है।

Main article: कुमेर की सर्वांगसमता

मान लीजिए कि p एक विषम अभाज्य संख्या है और b एक सम संख्या है जिससे p − 1, b को विभाजित नहीं करता है। फिर किसी भी गैर-ऋणात्मक पूर्णांक k के लिए

${\frac {B_{k(p-1)+b}}{k(p-1)+b}}\equiv {\frac {B_{b}}{b}}{\pmod {p}}$ है।

इन सर्वांगसमताओं का सामान्यीकरण p-एडिक निरंतरता के नाम से जाना जाता है।

p-एडिक निरंतरता

यदि b, m और n ऐसे धनात्मक पूर्णांक हैं जैसे कि m और n, p − 1 और m ≡ n (mod p^{b − 1} (p − 1)) से विभाज्य नहीं हैं, तब

$(1-p^{m-1}){\frac {B_{m}}{m}}\equiv (1-p^{n-1}){\frac {B_{n}}{n}}{\pmod {p^{b}}}.$

चूँकि B_n = −nζ(1 − n), यह भी लिखा जा सकता है

$\left(1-p^{-u}\right)\zeta (u)\equiv \left(1-p^{-v}\right)\zeta (v){\pmod {p^{b}}},$

जहां u = 1 − m और v = 1 − n, ताकि u और v गैर-धनात्मक हैं और 1 मॉड्यूलो p − 1 के अनुरूप नहीं हैं। यह हमें बताता है कि रीमैन जीटा फलन, के साथ 1 − p^−s को यूलर से बाहर ले जाता है उत्पाद सूत्र, किसी विशेष a ≢ 1 mod (p − 1) के लिए विषम ऋणात्मक पूर्णांक सर्वांगसम मॉड्यूल p − 1 पर पी-एडिक संख्याओं में निरंतर है, और इसलिए इसे सभी p के लिए एक निरंतर फलन ζ_p(s) तक बढ़ाया जा सकता है। एडिक पूर्णांक $\mathbb {Z} _{p},$ p-एडिक जीटा फलन है।

रामानुजन की सर्वांगसमताएँ

निम्नलिखित संबंध, रामानुजन के कारण, बर्नौली संख्याओं की गणना के लिए एक विधि प्रदान करते हैं जो उनकी मूल पुनरावर्ती परिभाषा द्वारा दी गई तुलना में अधिक कुशल है:

${\binom {m+3}{m}}B_{m}={\begin{cases}{\frac {m+3}{3}}-\sum \limits _{j=1}^{\frac {m}{6}}{\binom {m+3}{m-6j}}B_{m-6j},&{\text{if }}m\equiv 0{\pmod {6}};\\{\frac {m+3}{3}}-\sum \limits _{j=1}^{\frac {m-2}{6}}{\binom {m+3}{m-6j}}B_{m-6j},&{\text{if }}m\equiv 2{\pmod {6}};\\-{\frac {m+3}{6}}-\sum \limits _{j=1}^{\frac {m-4}{6}}{\binom {m+3}{m-6j}}B_{m-6j},&{\text{if }}m\equiv 4{\pmod {6}}.\end{cases}}$

वॉन स्टॉड्ट-क्लॉसेन प्रमेय

Main article: वॉन स्टॉड्ट-क्लॉसेन प्रमेय

वॉन स्टॉड-क्लॉसन प्रमेय कार्ल जॉर्ज क्रिश्चियन वॉन स्टौड्ट और थॉमस क्लॉसन द्वारा स्वतंत्र रूप से 1840 में दिया गया था। प्रमेय में कहा गया है कि प्रत्येक n > 0 के लिए ,

$B_{2n}+\sum _{(p-1)\,\mid \,2n}{\frac {1}{p}}$

एक पूर्णांक है। योग सभी अभाज्य संख्याओं p पर विस्तारित होता है जिसके लिए p − 1 2n को विभाजित करता है।

इसका एक परिणाम यह है कि B_2n का हर सभी अभाज्य संख्याओं p के गुणनफल द्वारा दिया जाता है जिसके लिए p − 1, 2n को विभाजित करता है। विशेष रूप से, ये हर वर्ग-मुक्त हैं और 6 से विभाज्य हैं।

विषम बर्नौली संख्याएँ क्यों लुप्त हो जाती हैं?

योग

$\varphi _{k}(n)=\sum _{i=0}^{n}i^{k}-{\frac {n^{k}}{2}}$

सूचकांक n के ऋणात्मक मूल्यों के लिए मूल्यांकन किया जा सकता है। ऐसा करने से पता चलेगा कि यह k सम मानों के लिए एक विषम फलन है, जिसका अर्थ है कि योग में केवल विषम सूचकांक के पद हैं। यह और बर्नौली योग के सूत्र का अर्थ है कि B_{2k + 1 − m}, m सम के लिए 0 है और 2k + 1 − m > 1; और यह कि B₁ का पद घटाव द्वारा रद्द कर दिया गया है। वॉर्पिट्ज़की के निरूपण के साथ संयुक्त वॉन स्टॉड्ट-क्लॉसन प्रमेय भी इस प्रश्न का एक संयुक्त उत्तर देता है (n > 1 के लिए मान्य)।

वॉन स्टॉड्ट-क्लॉसन प्रमेय से यह ज्ञात होता है कि विषम के लिए n > 1 के लिए संख्या 2B_n एक पूर्णांक है। यदि कोई पहले से जानता है कि प्रश्न में पूर्णांक शून्य है तो यह मामूली लगता है। हालाँकि, वर्पिट्ज़की का निरूपण को अनुप्रयुक्त करने से कोई भी प्राप्त कर सकता है

$2B_{n}=\sum _{m=0}^{n}(-1)^{m}{\frac {2}{m+1}}m!\left\{{n+1 \atop m+1}\right\}=0\quad (n>1{\text{ is odd}})$

पूर्णांकों के योग के रूप में, जो नगण्य नहीं है। यहां एक संयुक्त तथ्य सामने आता है जो विषम सूचकांक पर बर्नौली संख्याओं के लुप्त होने की व्याख्या करता है। मान लीजिए S_n,m {1, 2, ..., n} से {1, 2, ..., m} तक विशेषण मानचित्रों की संख्या हो, तब S_n,m = m!{ⁿ
_m}है। अंतिम समीकरण केवल तभी कायम रह सकता है यदि

$\sum _{{\text{odd }}m=1}^{n-1}{\frac {2}{m^{2}}}S_{n,m}=\sum _{{\text{even }}m=2}^{n}{\frac {2}{m^{2}}}S_{n,m}\quad (n>2{\text{ is even}}).$

इस समीकरण को प्रेरण द्वारा सिद्ध किया जा सकता है। इस समीकरण के पहले दो उदाहरण हैं

n = 4: 2 + 8 = 7 + 3,

n = 6: 2 + 120 + 144 = 31 + 195 + 40.

इस प्रकार बर्नौली संख्याएं विषम सूचकांक पर लुप्‍त हो जाती हैं क्योंकि कुछ गैर-स्पष्ट संयोजक पहचान बर्नौली संख्याओं में सन्निहित हैं।

रीमैन परिकल्पना का पुनर्कथन

बर्नौली संख्याओं और रीमैन जीटा फलन के बीच का संबंध रीमैन परिकल्पना (आरएच) का एक वैकल्पिक सूत्रीकरण प्रदान करने के लिए पर्याप्त मजबूत है जो केवल बर्नौली संख्याओं का उपयोग करता है। वस्तुत: मार्सेल रिज़्ज़ ने सिद्ध किया कि आरएच निम्नलिखित दावे के बराबर है:

प्रत्येक ε > 1/4 के लिए एक स्थिरांक C_ε > 0 निहित होता है (ε पर निर्भर करता है) जैसे कि |R(x)| < C_εx^ε जैसा x → ∞ है।

यहाँ R(x) रिज़्ज़ फलन है

$R(x)=2\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{\overline {k}}x^{k}}{(2\pi )^{2k}\left({\frac {B_{2k}}{2k}}\right)}}=2\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{\overline {k}}x^{k}}{(2\pi )^{2k}\beta _{2k}}}.$

डी. ई. नुथ के नोटेशन में n^k बढ़ती फैक्टोरियल घात को दर्शाता है। संख्या β_n = B_n/n जीटा फलन के अध्ययन में प्रायः होते हैं और इसलिए महत्वपूर्ण हैं क्योंकि β_n अभाज्य संख्या p के लिए एक p- पूर्णांक है जहाँ p − 1 n को विभाजित नहीं करता है। β_n को विभाजित बर्नौली संख्या कहा जाता है।

सामान्यीकृत बर्नौली संख्या

सामान्यीकृत बर्नौली संख्याएँ कुछ बीजगणितीय संख्याएँ हैं, जिन्हें बर्नौली संख्याओं के समान परिभाषित किया गया है, जो कि डिरिचलेट एल-फलन के विशेष मूल्यों से संबंधित हैं। जैसे बर्नौली संख्याएं रीमैन जीटा फलन के विशेष मूल्यों से संबंधित हैं।

मान लीजिए χ एक डिरिचलेट वर्ण मॉड्यूलो f है। χ से जुड़ी सामान्यीकृत बर्नौली संख्याओं को परिभाषित किया गया है

$\sum _{a=1}^{f}\chi (a){\frac {te^{at}}{e^{ft}-1}}=\sum _{k=0}^{\infty }B_{k,\chi }{\frac {t^{k}}{k!}}.$

असाधारण B_1,1 = 1/2 के अलावा, हमारे पास किसी भी डिरिचलेट वर्ण χ के लिए, वह B_k,χ = 0 है यदि χ(−1) ≠ (−1)^k है।

गैर-धनात्मक पूर्णांकों पर बर्नौली संख्याओं और रीमैन जीटा फलन के मानों के बीच संबंध को सामान्यीकृत करते हुए, सभी पूर्णांकों के लिए k ≥ 1 है :

$L(1-k,\chi )=-{\frac {B_{k,\chi }}{k}},$

जहां L(s,χ) χ का डिरिचलेट L -फलन है।

आइसेनस्टीन-क्रोनकर संख्या

Main article: आइसेनस्टीन-क्रोनकर संख्या

ईसेनस्टीन-क्रोनकर संख्याएँ काल्पनिक द्विघात क्षेत्रों के लिए सामान्यीकृत बर्नौली संख्याओं का एक एनालॉग हैं। वे हेके वर्णों के महत्वपूर्ण एल-मूल्यों से संबंधित हैं।

अनुबंध

मिश्रित पहचान

• अम्ब्रल कैलकुलस एक अमूर्त प्रतीक B का उपयोग करके बर्नौली के सूत्र का एक संक्षिप्त रूप देता है:

  $S_{m}(n)={\frac {1}{m+1}}((\mathbf {B} +n)^{m+1}-B_{m+1})$

  जहां प्रतीक B^k जो कोष्ठक में रखे गए पद के द्विपद विस्तार के दौरान दिखाई देता है, उसे बर्नौली संख्या B_k (और B₁ = +1/2) द्वारा प्रतिस्थापित किया जाना है। अधिक सुझावात्मक और स्मरणीय रूप से, इसे एक निश्चित अभिन्न अंग के रूप में लिखा जा सकता है:

  $S_{m}(n)=\int _{0}^{n}(\mathbf {B} +x)^{m}\,dx$

  कई अन्य बर्नौली पहचानों को इस प्रतीक के साथ संक्षिप्त रूप से लिखा जा सकता है, जैसे

  $(1-2\mathbf {B} )^{m}=(2-2^{m})B_{m}$

• मान लीजिए n गैर-ऋणात्मक और सम है

  $\zeta (n)={\frac {(-1)^{{\frac {n}{2}}-1}B_{n}(2\pi )^{n}}{2(n!)}}$

• अंतराल [−1, 0] पर एकसमान संभाव्यता वितरण का nवाँ संचयी B_n/n है।
• मान लीजिए n? = 1/n! और n ≥ 1 है। तब B_n निम्नलिखित (n + 1) × (n + 1) निर्धारक है:

  ${\begin{aligned}B_{n}&=n!{\begin{vmatrix}1&0&\cdots &0&1\\2?&1&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &&\vdots &\vdots \\n?&(n-1)?&\cdots &1&0\\(n+1)?&n?&\cdots &2?&0\end{vmatrix}}\\[8pt]&=n!{\begin{vmatrix}1&0&\cdots &0&1\\{\frac {1}{2!}}&1&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &&\vdots &\vdots \\{\frac {1}{n!}}&{\frac {1}{(n-1)!}}&\cdots &1&0\\{\frac {1}{(n+1)!}}&{\frac {1}{n!}}&\cdots &{\frac {1}{2!}}&0\end{vmatrix}}\end{aligned}}$

  इस प्रकार निर्धारक σ_n(1) है, x = 1 पर स्टर्लिंग बहुपद है।
• सम-संख्या वाले बर्नौली संख्याओं के लिए, B_2p (p + 1) × (p + 1) निर्धारक द्वारा दिया जाता है::

  $B_{2p}=-{\frac {(2p)!}{2^{2p}-2}}{\begin{vmatrix}1&0&0&\cdots &0&1\\{\frac {1}{3!}}&1&0&\cdots &0&0\\{\frac {1}{5!}}&{\frac {1}{3!}}&1&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots &\vdots \\{\frac {1}{(2p+1)!}}&{\frac {1}{(2p-1)!}}&{\frac {1}{(2p-3)!}}&\cdots &{\frac {1}{3!}}&0\end{vmatrix}}$

• मान लीजिए n ≥ 1 है। फिर(लियोनहार्ड यूलर)

  ${\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}{\binom {n}{k}}B_{k}B_{n-k}+B_{n-1}=-B_{n}$

• मान लीजिए n ≥ 1 है। फिर

  $\sum _{k=0}^{n}{\binom {n+1}{k}}(n+k+1)B_{n+k}=0$

• मान लीजिए n ≥ 0 है। फिर (लियोपोल्ड क्रोनकर 1883)

  $B_{n}=-\sum _{k=1}^{n+1}{\frac {(-1)^{k}}{k}}{\binom {n+1}{k}}\sum _{j=1}^{k}j^{n}$

• मान लीजिए n ≥ 1 और m ≥ 1 है। फिर

  $(-1)^{m}\sum _{r=0}^{m}{\binom {m}{r}}B_{n+r}=(-1)^{n}\sum _{s=0}^{n}{\binom {n}{s}}B_{m+s}$

• मान लीजिए n ≥ 4 और

  $H_{n}=\sum _{k=1}^{n}k^{-1}$

  हार्मोनिक संख्या है। फिर ( एच. मिकी 1978)

  ${\frac {n}{2}}\sum _{k=2}^{n-2}{\frac {B_{n-k}}{n-k}}{\frac {B_{k}}{k}}-\sum _{k=2}^{n-2}{\binom {n}{k}}{\frac {B_{n-k}}{n-k}}B_{k}=H_{n}B_{n}$

• मान लीजिए n ≥ 4 है। यूरी मटियासेविच ने पाया(1997)

  $(n+2)\sum _{k=2}^{n-2}B_{k}B_{n-k}-2\sum _{l=2}^{n-2}{\binom {n+2}{l}}B_{l}B_{n-l}=n(n+1)B_{n}$

• फैबर–पंढरीपांडे–ज़ैगियर–गेसल पहचान : n ≥ 1 के लिए,,

  ${\frac {n}{2}}\left(B_{n-1}(x)+\sum _{k=1}^{n-1}{\frac {B_{k}(x)}{k}}{\frac {B_{n-k}(x)}{n-k}}\right)-\sum _{k=0}^{n-1}{\binom {n}{k}}{\frac {B_{n-k}}{n-k}}B_{k}(x)=H_{n-1}B_{n}(x).$

  x = 0 या x = 1 चुनने से किसी न किसी परिपाटी में बर्नौली संख्या की पहचान हो जाती है।
• अगला सूत्र n ≥ 0 के लिए सत्य है यदि B₁ = B₁(1) = 1/2, लेकिन केवल n ≥ 1 के लिए यदि B₁ = B₁(0) = −1/2 है।

  $\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {B_{k}}{n-k+2}}={\frac {B_{n+1}}{n+1}}$

• मान लीजिए n ≥ 0 है। फिर

  $-1+\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {2^{n-k+1}}{n-k+1}}B_{k}(1)=2^{n}$

  और

  $-1+\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {2^{n-k+1}}{n-k+1}}B_{k}(0)=\delta _{n,0}$

• एम. बी. गेलफैंड का पारस्परिक संबंध:

  $(-1)^{m+1}\sum _{j=0}^{k}{\binom {k}{j}}{\frac {B_{m+1+j}}{m+1+j}}+(-1)^{k+1}\sum _{j=0}^{m}{\binom {m}{j}}{\frac {B_{k+1+j}}{k+1+j}}={\frac {k!m!}{(k+m+1)!}}$

यह भी देखें

• बर्नौली बहुपद
• दूसरे प्रकार के बर्नौली बहुपद
• बेल नंबर
• यूलर संख्या
• जेनोची संख्या
• कुमेर की सर्वांगसमताएँ
• पॉली-बर्नौली संख्या
• हर्विट्ज़ जीटा फलन
• यूलर योग
• स्टर्लिंग बहुपद
• घातों का योग

संदर्भ

• Abramowitz, M.; Stegun, I. A. (1972), "§23.1: Bernoulli and Euler Polynomials and the Euler-Maclaurin Formula", Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables (9th printing ed.), New York: Dover Publications, pp. 804–806.
• Arfken, George (1970). Mathematical methods for physicists (2nd ed.). Academic Press. ISBN 978-0120598519.
• Arlettaz, D. (1998), "Die Bernoulli-Zahlen: eine Beziehung zwischen Topologie und Gruppentheorie", Math. Semesterber, 45: 61–75, doi:10.1007/s005910050037, S2CID 121753654.
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Footnotes

बाहरी संबंध

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• The first 498 Bernoulli Numbers from Project Gutenberg
• A multimodular algorithm for computing Bernoulli numbers
• The Bernoulli Number Page
• Bernoulli number programs at LiteratePrograms
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• P. Luschny. "The Computation of Irregular Primes".
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