टेन्सर कैलकुलस: Difference between revisions

Latest revision as of 19:30, 21 July 2023

गणित में, टेन्सर कैलकुलस, टेन्सर विश्लेषण, या रिक्की कैलकुलस, टेंसर फ़ील्ड (टेंसर जो कई गुना भिन्न हो सकते हैं, उदाहरण के लिए अंतरिक्ष समय में) के लिए सदिश कैलकुलस का एक विस्तार है।

ग्रेगोरियो रिक्की-कर्बस्ट्रो और उनके छात्र टुल्लियो लेवी-सिविटा द्वारा विकसित,^[1] इसका उपयोग अल्बर्ट आइंस्टीन ने सामान्य सापेक्षता के अपने सामान्य सिद्धांत को विकसित करने के लिए किया था। इनफिनिटसिमल कैलकुलस के विपरीत, टेंसर कैलकुलस भौतिकी समीकरणों को ऐसे रूप में प्रस्तुत करने की अनुमति देता है जो कई गुना पर निर्देशांक की पसंद से स्वतंत्र होता है।

इनफिनिटसिमल कैलकुलस के विपरीत, टेंसर कैलकुलस कई गुना पर समन्वय चार्ट के प्रकट सहप्रसरण में भौतिकी समीकरणों की प्रस्तुति की अनुमति देता है।

टेन्सर कैलकुलस के भौतिकी, अभियांत्रिकी और कंप्यूटर विज्ञान में कई अनुप्रयोग हैं जिनमें लोच (भौतिकी), सातत्य यांत्रिकी, विद्युत चुंबकत्व (विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र का गणितीय विवरण देखें), सामान्य सापेक्षता (सामान्य सापेक्षता का गणित देखें), क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत और यंत्र अधिगमग सम्मलित हैं।

बाह्य स्वरूप कैलकुलस के मुख्य प्रस्तावक एली कार्टन के साथ काम करते हुए, प्रभावशाली जियोमीटर शिइंग-शेन चेर्न ने टेंसर कैलकुलस की भूमिका का सारांश प्रस्तुत किया है:^[2]

अवकल ज्यामिति के हमारे विषय में, जहां आप मैनिफोल्ड्स के बारे में बात करते हैं, एक कठिनाई यह है कि ज्यामिति का वर्णन निर्देशांक द्वारा किया जाता है, लेकिन निर्देशांक का कोई अर्थ नहीं होता है। उन्हें परिवर्तन से गुजरने की अनुमति होती है। और इस तरह की स्थिति को संभालने के लिए, एक महत्वपूर्ण उपकरण तथाकथित टेंसर विश्लेषण, या रिक्की कैलकुलस है, जो गणितज्ञों के लिए नया था। गणित में आपके पास एक फलन होता है, आप फलन को लिखते हैं, आप गणना करते हैं, या आप जोड़ते हैं, या आप गुणा करते हैं, या आप अंतर कर सकते हैं। ज्यामिति में ज्यामितीय स्थिति का वर्णन संख्याओं द्वारा किया जाता है, लेकिन आप अपनी संख्याओं को स्वेच्छाचारिता ढंग से बदल सकते हैं। तो इसे संभालने के लिए, आपको रिक्की कैलकुलस की आवश्यकता होती है।

वाक्यविन्यास

टेन्सर नोटेशन उन वस्तुओं पर ऊपरी और निचले सूचकांक का उपयोग करता है जिनका उपयोग एक चर वस्तु को सहसंयोजक (निचला सूचकांक), विरोधाभासी (ऊपरी सूचकांक), या मिश्रित सहसंयोजक और विरोधाभासी (ऊपरी और निचले दोनों सूचकांक वाले) के रूप में लेबल करने के लिए किया जाता है। वास्तव में पारंपरिक गणित सिंटैक्स में हम कार्टेशियन समन्वय प्रणालियों से निपटने के दौरान सहसंयोजक सूचकांक का उपयोग करते हैं $(x_{1},x_{2},x_{3})$ अधिकांशतः बिना यह समझे कि यह सहसंयोजक अनुक्रमित घटकों के रूप में टेंसर सिंटैक्स का सीमित उपयोग है।

टेन्सर नोटेशन किसी ऑब्जेक्ट पर ऊपरी सूचकांक की अनुमति देता है जो पारंपरिक गणित सिंटैक्स से सामान्य पावर संचालन के साथ भ्रमित हो सकता है।

मुख्य अवधारणाएँ

सदिश अपघटन

टेंसर नोटेशन एक सदिश की अनुमति देता है ( ${\vec {V}}$ ) को आधार सदिश के टेंसर संकुचन का प्रतिनिधित्व करने वाले आइंस्टीन योग में विघटित किया जाना है ( ${\vec {Z}}_{i}$ या ${\vec {Z}}^{i}$ ) एक घटक सदिश के साथ ( $V_{i}$ या $V^{i}$ ).

${\vec {V}}=V^{i}{\vec {Z}}_{i}=V_{i}{\vec {Z}}^{i}$

प्रत्येक सदिश के दो अलग-अलग प्रतिनिधित्व होते हैं, एक को विरोधाभासी घटक कहा जाता है ( $V^{i}$ ) एक सहसंयोजक आधार के साथ ( ${\vec {Z}}_{i}$ ), और दूसरा एक सहसंयोजक घटक के रूप में ( $V_{i}$ ) एक विरोधाभासी आधार के साथ ( ${\vec {Z}}^{i}$ ). सभी ऊपरी सूचकांकों वाली टेंसर वस्तुओं को विरोधाभासी कहा जाता है, और सभी निचले सूचकांकों वाली टेंसर वस्तुओं को सहसंयोजक कहा जाता है। विरोधाभासी और सहसंयोजक के बीच अंतर करने की आवश्यकता इस तथ्य से उत्पन्न होती है कि जब हम एक विशेष समन्वय प्रणाली से संबंधित आधार सदिश के साथ एक मनमाना सदिश को डॉट करते हैं, तो इस डॉट उत्पाद की व्याख्या करने के दो तरीके हैं, हैं, या हम इसे आधार सदिश पर मनमाने ढंग से सदिश के प्रक्षेपण के रूप में देखते हैं, डॉट उत्पाद के दोनों विचार पूरी तरह से हैं समकक्ष, लेकिन अलग-अलग घटक तत्व और अलग-अलग आधार सदिश हैं:

{\vec {V}}\cdot {\vec {Z}}_{i}=V_{i}={\vec {V}}^{T}{\vec {Z}}_{i}={\vec {Z}}_{i}^{T}{\vec {V}}={\mathrm {proj} _{{\vec {Z}}^{i}}({\vec {V}})}\cdot {\vec {Z}}_{i}={\mathrm {proj} _{\vec {V}}({\vec {Z}}^{i})}\cdot {\vec {V}}

{\vec {V}}\cdot {\vec {Z}}^{i}=V^{i}={\vec {V}}^{T}{\vec {Z}}^{i}={{\vec {Z}}^{i}}^{T}{\vec {V}}={\mathrm {proj} _{{\vec {Z}}_{i}}({\vec {V}})}\cdot {\vec {Z}}^{i}={\mathrm {proj} _{\vec {V}}({\vec {Z}}_{i})}\cdot {\vec {V}}

उदाहरण के लिए, भौतिकी में आप एक सदिश क्षेत्र से शुरू करते हैं, आप इसे सहसंयोजक आधार के संबंध में विघटित करते हैं, और इस तरह आपको विरोधाभासी निर्देशांक मिलते हैं। ऑर्थोनॉर्मल कार्टेशियन निर्देशांक के लिए, सहसंयोजक और विरोधाभासी आधार समान हैं, क्योंकि इस मामले में निर्धारित आधार केवल पहचान आव्यूह है, चूंकि, ध्रुवीय या गोलाकार जैसे गैर-एफ़िन समन्वय प्रणाली के लिए अपघटन के बीच अंतर करने की आवश्यकता है समन्वय प्रणाली के घटकों को उत्पन्न करने के लिए कंट्रावेरिएंट या सहसंयोजक आधार निर्धारित किया गया है।

सहसंयोजक सदिश अपघटन

${\vec {V}}=V^{i}{\vec {Z}}_{i}$

चर	विवरण	प्रकार
${\vec {V}}$	सदिश	अपरिवर्तनीय
$V^{i}$	विरोधाभासी घटक (अदिशों का क्रमबद्ध समूह)	परिवर्तनीय
${\vec {Z}}_{i}$	सहसंयोजक आधार ( सदिशों का क्रमबद्ध समूह)	परिवर्तनीय

विपरीत सदिश अपघटन

${\vec {V}}=V_{i}{\vec {Z}}^{i}$

चर	विवरण	प्रकार
${\vec {V}}$	सदिश	अपरिवर्तनीय
$V_{i}$	सहसंयोजक घटक (अदिशों का क्रमबद्ध समूह)	परिवर्तनीय
${\vec {Z}}^{i}$	विरोधाभासी आधा (सह वैक्टर का ऑर्डर किया गया समूह)	परिवर्तनीय

मीट्रिक टेंसर

मीट्रिक टेंसर अदिश तत्वों वाले एक आव्यूह का प्रतिनिधित्व करता है ( $Z_{ij}$ या $Z^{ij}$ ) और एक टेंसर ऑब्जेक्ट है जिसका उपयोग संकुचन नामक एक संचालन द्वारा किसी अन्य टेंसर ऑब्जेक्ट पर सूचकांक को बढ़ाने या कम करने के लिए किया जाता है, इस प्रकार एक सहसंयोजक टेंसर को एक विरोधाभासी टेंसर में परिवर्तित करने की अनुमति मिलती है, जो इसके विपरीत भी संभव है।

मीट्रिक टेंसर का उपयोग करके सूचकांक कम करने का उदाहरण:

$T_{i}=Z_{ij}T^{j}$

मीट्रिक टेंसर का उपयोग करके सूचकांक बढ़ाने का उदाहरण:

$T^{i}=Z^{ij}T_{j}$

मीट्रिक टेंसर को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

$Z_{ij}={\vec {Z}}_{i}\cdot {\vec {Z}}_{j}$

$Z^{ij}={\vec {Z}}^{i}\cdot {\vec {Z}}^{j}$

इसका तात्पर्य यह है कि यदि हम आधार सदिश समूह के प्रत्येक क्रमपरिवर्तन को लेते हैं और उन्हें एक-दूसरे के विरुद्ध बिंदीदार बनाते हैं, और फिर उन्हें एक वर्ग आव्यूह में व्यवस्थित करते हैं, तो हमारे पास एक मीट्रिक टेंसर होगा। यहां चेतावनी यह है कि क्रमपरिवर्तन में दो सदिश में से किसका उपयोग दूसरे सदिश के खिलाफ प्रक्षेपण के लिए किया जाता है, जो कि विरोधाभासी मीट्रिक टेंसर की तुलना में सहसंयोजक मीट्रिक टेंसर की विशिष्ट संपत्ति है।

मीट्रिक टेंसर के दो प्रकार उपस्थित हैं: (1) विरोधाभासी मीट्रिक टेंसर ( $Z^{ij}$ ), और (2) सहसंयोजक मीट्रिक टेंसर ( $Z_{ij}$ ). मीट्रिक टेंसर के ये दो स्वाद पहचान से संबंधित हैं:

$Z_{ik}Z^{jk}=\delta _{i}^{j}$

एक ऑर्थोनॉर्मल कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के लिए, मीट्रिक टेंसर सिर्फ क्रोनकर डेल्टा है $\delta _{ij}$ या $\delta ^{ij}$ , जो पहचान आव्यूह के बराबर एक टेंसर है, और $\delta _{ij}=\delta ^{ij}=\delta _{j}^{i}$ .

जैकोबियन

इसके अतिरिक्त एक टेंसर को आसानी से एक अनबैरर्ड से परिवर्तित किया जा सकता है ( $x$ ) एक वर्जित निर्देशांक के लिए ( ${\bar {x}}$ ) प्रणाली जिसमें आधार सदिश के विभिन्न समूह हैं:

f(x^{1},x^{2},\dots ,x^{n})=f{\bigg (}x^{1}({\bar {x}}),x^{2}({\bar {x}}),\dots ,x^{n}({\bar {x}}){\bigg )}={\bar {f}}({\bar {x}}^{1},{\bar {x}}^{2},\dots ,{\bar {x}}^{n})={\bar {f}}{\bigg (}{\bar {x}}^{1}(x),{\bar {x}}^{2}(x),\dots ,{\bar {x}}^{n}(x){\bigg )}

वर्जित और अप्रतिबंधित समन्वय प्रणाली के बीच जैकोबियन आव्यूह संबंधों के उपयोग से (

{\bar {J}}=J^{-1}

). वर्जित और अप्रतिबंधित प्रणाली के बीच जैकोबियन सहसंयोजक और विरोधाभासी आधार सदिश को परिभाषित करने में सहायक है, इन सदिशों के अस्तित्व के लिए उन्हें वर्जित और अप्रतिबंधित प्रणाली के सापेक्ष निम्नलिखित संबंध को संतुष्ट करने की आवश्यकता है:

विरोधाभासी सदिश को नियमो का पालन करना आवश्यक है:

$v^{i}={\bar {v}}^{r}{\frac {\partial x^{i}({\bar {x}})}{\partial {\bar {x}}^{r}}}$

${\bar {v}}^{i}=v^{r}{\frac {\partial {\bar {x}}^{i}(x)}{\partial x^{r}}}$

सहसंयोजक सदिशों को नियमों का पालन करना आवश्यक है:

$v_{i}={\bar {v}}_{r}{\frac {\partial {\bar {x}}^{i}(x)}{\partial x^{r}}}$

${\bar {v}}_{i}=v_{r}{\frac {\partial x^{r}({\bar {x}})}{\partial {\bar {x}}^{i}}}$

जैकोबियन आव्यूह के दो फ्लेवर हैं:

1. जे आव्यूह अप्रतिबंधित से वर्जित निर्देशांक में परिवर्तन का प्रतिनिधित्व करता है। J को ढूँढ़ने के लिए, हम वर्जित ग्रेडिएंट लेते हैं, अर्थात इसके संबंध में आंशिक व्युत्पन्न ${\bar {x}}^{i}$ :

$J={\bar {\nabla }}f(x({\bar {x}}))$ 2. ${\bar {J}}$ h> आव्यूह, वर्जित से अप्रतिबंधित निर्देशांक में परिवर्तन का प्रतिनिधित्व करता है। ढूँढ़ने के लिए ${\bar {J}}$ , हम अप्रतिबंधित ग्रेडिएंट लेते हैं , i.n. के संबंध में आंशिक व्युत्पन्न $x^{i}$ :

${\bar {J}}=\nabla {\bar {f}}({\bar {x}}(x))$

ग्रेडिएंट सदिश

टेन्सर कैलकुलस मानक कैलकुलस से ग्रेडिएंट सदिश सूत्र को एक सामान्यीकरण प्रदान करता है जो सभी समन्वय प्रणालियों में काम करता है:

$\nabla F=\nabla _{i}F{\vec {Z}}^{i}$

जहां:

$\nabla _{i}F={\frac {\partial F}{\partial Z^{i}}}$

इसके विपरीत, मानक कैलकुलस के लिए, ग्रेडिएंट सदिश फॉर्मूला उपयोग में समन्वय प्रणाली पर निर्भर है (उदाहरण: कार्टेशियन ग्रेडिएंट सदिश सूत्र बनाम ध्रुवीय ग्रेडिएंट सदिश सूत्र बनाम गोलाकार ग्रेडिएंट सदिश सूत्र, आदि)। मानक कैलकुलस में, प्रत्येक समन्वय प्रणाली का अपना विशिष्ट सूत्र होता है, टेंसर कैलकुलस के विपरीत जिसमें केवल एक ग्रेडिएंट सूत्र होता है जो सभी समन्वय प्रणालियों के लिए समतुल्य होता है। यह मीट्रिक टेंसर की समझ से संभव हुआ है जिसका उपयोग टेंसर कैलकुलस करता है।

यह भी देखें

संदर्भ

↑ Ricci, Gregorio; Levi-Civita, Tullio (March 1900). "Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications" [Methods of the absolute differential calculus and their applications]. Mathematische Annalen (in français). Springer. 54 (1–2): 125–201. doi:10.1007/BF01454201. S2CID 120009332.
↑ "Interview with Shiing Shen Chern" (PDF). Notices of the AMS. 45 (7): 860–5. August 1998.

अग्रिम पठन

दिमित्रिन्को, यूरी (2002). टेन्सर विश्लेषण और गैर रेखीय टेन्सर फलन. स्प्रिंगर. ISBN 1-4020-1015-X.
सोकोलनिकॉफ़, इवान एस (1951). टेन्सर विश्लेषण: कॉन्टिनुआ की ज्यामिति और यांत्रिकी के सिद्धांत और अनुप्रयोग. विले. ISBN 0471810525. {{cite book}}: Invalid |url-access=पंजीकरण (help)
बोरिसेंको, ए.आई.; तारापोव, आई.ई. (1979). अनुप्रयोगों के साथ वेक्टर और टेंसर विश्लेषण (2nd ed.). डोवर. ISBN 0486638332.
इत्सकोव, मिखाइल (2015). इंजीनियरों के लिए टेन्सर बीजगणित और टेन्सर विश्लेषण: कॉन्टिनम मैकेनिक्स के अनुप्रयोगों के साथ (2nd ed.). स्प्रिंगर. ISBN 9783319163420.
टिल्डस्ले, जे. आर. (1973). टेन्सर विश्लेषण का परिचय: इंजीनियरों और अनुप्रयुक्त वैज्ञानिकों के लिए. लांगमैन. ISBN 0-582-44355-5.
काय, डी. सी. (1988). टेंसर कैलकुलस. शाउम की रूपरेखा. मैकग्रा हिल. ISBN 0-07-033484-6.
ग्रिनफील्ड, पी. (2014). टेंसर विश्लेषण और चलती सतहों की गणना का परिचय. स्प्रिंगर. ISBN 978-1-4614-7866-9.

बाहरी संबंध

डुलमोंड, कीज़; पीटर्स, कैस्पर (1991–2010). ""टेंसर कैलकुलस का परिचय" (पीडीएफ) ।" (PDF). Retrieved 17 मई 2018. {{cite web}}: Check date values in: |access-date= (help)

[1] Ricci, Gregorio; Levi-Civita, Tullio (March 1900). "Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications" [Methods of the absolute differential calculus and their applications]. Mathematische Annalen (in français). Springer. 54 (1–2): 125–201. doi:10.1007/BF01454201. S2CID 120009332.

[2] "Interview with Shiing Shen Chern" (PDF). Notices of the AMS. 45 (7): 860–5. August 1998.

[1]

[2]

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 {{Short description|Extension of vector calculus to tensors}}
 {{Calculus |Multivariable}}
-{{mergeto|date=June 2023|Ricci calculus|discuss=Talk:Tensor calculus}}
+{{mergeto|date=जून 2023|रिक्की कैलकुलस|discuss=बात करें: टेंसर कैलकुलस}}
 गणित में, '''[[टेन्सर]] कैलकुलस''', टेन्सर विश्लेषण, या [[घुंघराले कलन|रिक्की कैलकुलस]], [[टेंसर फ़ील्ड]] (टेंसर जो [[कई गुना]] भिन्न हो सकते हैं, उदाहरण के लिए [[ अंतरिक्ष समय |अंतरिक्ष समय]] में) के लिए [[वेक्टर कैलकुलस|सदिश कैलकुलस]] का एक विस्तार है।
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 बाह्य स्वरूप कैलकुलस के मुख्य प्रस्तावक [[ेलिए कर्तन|एली कार्टन]] के साथ काम करते हुए, प्रभावशाली जियोमीटर [[शिंग-शेन चेर्न|शिइंग-शेन चेर्न]] ने टेंसर कैलकुलस की भूमिका का सारांश प्रस्तुत किया है:<ref>{{Cite journal |journal=Notices of the AMS |volume=45 |issue=7 |pages=860–5 |date=August 1998 |url=https://www.ams.org/notices/199807/chern.pdf|title=Interview with Shiing Shen Chern}}</ref>
-अवकल ज्यामिति के हमारे विषय में, जहां आप मैनिफोल्ड्स के बारे में बात करते हैं, एक कठिनाई यह है कि ज्यामिति का वर्णन निर्देशांक द्वारा किया जाता है, लेकिन निर्देशांक का कोई अर्थ नहीं होता है। उन्हें परिवर्तन से गुजरने की अनुमति है। और इस तरह की स्थिति को संभालने के लिए, एक महत्वपूर्ण उपकरण तथाकथित टेंसर विश्लेषण, या रिक्की कैलकुलस है, जो गणितज्ञों के लिए नया था। गणित में आपके पास एक फलन होता है, आप फलन को लिखते हैं, आप गणना करते हैं, या आप जोड़ते हैं, या आप गुणा करते हैं, या आप अंतर कर सकते हैं। ज्यामिति में ज्यामितीय स्थिति का वर्णन संख्याओं द्वारा किया जाता है, लेकिन आप अपनी संख्याओं को स्वेच्छाचारिता ढंग से बदल सकते हैं। तो इसे संभालने के लिए, आपको रिक्की कैलकुलस की आवश्यकता होती है।
+अवकल ज्यामिति के हमारे विषय में, जहां आप मैनिफोल्ड्स के बारे में बात करते हैं, एक कठिनाई यह है कि ज्यामिति का वर्णन निर्देशांक द्वारा किया जाता है, लेकिन निर्देशांक का कोई अर्थ नहीं होता है। उन्हें परिवर्तन से गुजरने की अनुमति होती है। और इस तरह की स्थिति को संभालने के लिए, एक महत्वपूर्ण उपकरण तथाकथित टेंसर विश्लेषण, या रिक्की कैलकुलस है, जो गणितज्ञों के लिए नया था। गणित में आपके पास एक फलन होता है, आप फलन को लिखते हैं, आप गणना करते हैं, या आप जोड़ते हैं, या आप गुणा करते हैं, या आप अंतर कर सकते हैं। ज्यामिति में ज्यामितीय स्थिति का वर्णन संख्याओं द्वारा किया जाता है, लेकिन आप अपनी संख्याओं को स्वेच्छाचारिता ढंग से बदल सकते हैं। तो इसे संभालने के लिए, आपको रिक्की कैलकुलस की आवश्यकता होती है।
 ==वाक्यविन्यास==
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 <math>\vec{V} = V^i \vec{Z}_i = V_i \vec{Z}^i</math>
-प्रत्येक  सदिश के दो अलग-अलग प्रतिनिधित्व होते हैं, एक को विरोधाभासी घटक कहा जाता है (<math>V^i</math>) एक सहसंयोजक आधार के साथ  (<math>\vec{Z}_i</math>), और दूसरा एक सहसंयोजक घटक के रूप में (<math>V_i</math>) एक विरोधाभासी आधार के साथ (<math>\vec{Z}^i</math>). सभी ऊपरी सूचकांकों वाली टेंसर वस्तुओं को विरोधाभासी कहा जाता है, और सभी निचले सूचकांकों वाली टेंसर वस्तुओं को सहसंयोजक कहा जाता है। विरोधाभासी और सहसंयोजक के बीच अंतर करने की आवश्यकता इस तथ्य से उत्पन्न होती है कि जब हम एक विशेष समन्वय प्रणाली से संबंधित आधार  सदिश के साथ एक मनमाना सदिश को डॉट करते हैं, तो इस [[डॉट उत्पाद]] की व्याख्या करने के दो तरीके हैं, या तो हम इसे आधार के प्रक्षेपण के रूप में देखते हैं। स्वेच्छाचारिता सदिश पर सदिश, या हम इसे आधार सदिश पर मनमाना  सदिश के प्रक्षेपण के रूप में देखते हैं, डॉट उत्पाद के दोनों दृश्य पूरी तरह से बराबर हैं, लेकिन अलग-अलग घटक तत्व और अलग-अलग आधार सदिश हैं:
+प्रत्येक  सदिश के दो अलग-अलग प्रतिनिधित्व होते हैं, एक को विरोधाभासी घटक कहा जाता है (<math>V^i</math>) एक सहसंयोजक आधार के साथ  (<math>\vec{Z}_i</math>), और दूसरा एक सहसंयोजक घटक के रूप में (<math>V_i</math>) एक विरोधाभासी आधार के साथ (<math>\vec{Z}^i</math>). सभी ऊपरी सूचकांकों वाली टेंसर वस्तुओं को विरोधाभासी कहा जाता है, और सभी निचले सूचकांकों वाली टेंसर वस्तुओं को सहसंयोजक कहा जाता है। विरोधाभासी और सहसंयोजक के बीच अंतर करने की आवश्यकता इस तथ्य से उत्पन्न होती है कि जब हम एक विशेष समन्वय प्रणाली से संबंधित आधार  सदिश के साथ एक मनमाना सदिश को डॉट करते हैं, तो इस [[डॉट उत्पाद]] की व्याख्या करने के दो तरीके हैं, हैं, या हम इसे आधार सदिश पर मनमाने ढंग से सदिश के प्रक्षेपण के रूप में देखते हैं, डॉट उत्पाद के दोनों विचार पूरी तरह से हैं समकक्ष, लेकिन अलग-अलग घटक तत्व और अलग-अलग आधार सदिश हैं:
 <math display="block">\vec{V} \cdot \vec{Z}_i = V_i =  \vec{V}^T \vec{Z}_i = \vec{Z}_i^T \vec{V} = {\mathrm{proj}_{\vec{Z}^i}(\vec{V})} \cdot \vec{Z}_i = {\mathrm{proj}_{\vec{V}}(\vec{Z}^i)} \cdot \vec{V}</math><math display="block">\vec{V} \cdot \vec{Z}^i = V^i =  \vec{V}^T \vec{Z}^i = {\vec{Z}^i}^T \vec{V} = {\mathrm{proj}_{\vec{Z}_i}(\vec{V})} \cdot \vec{Z}^i = {\mathrm{proj}_{\vec{V}}(\vec{Z}_i)} \cdot \vec{V}</math>
-उदाहरण के लिए, भौतिकी में आप एक सदिश क्षेत्र से शुरू करते हैं, आप इसे सहसंयोजक आधार के संबंध में विघटित करते हैं, और इस तरह आपको विरोधाभासी निर्देशांक मिलते हैं। ऑर्थोनॉर्मल कार्टेशियन निर्देशांक के लिए, सहसंयोजक और विरोधाभासी आधार समान हैं, क्योंकि इस मामले में निर्धारित आधार केवल पहचान मैट्रिक्स है,  चूंकि, ध्रुवीय या गोलाकार जैसे गैर-एफ़िन समन्वय प्रणाली के लिए अपघटन के बीच अंतर करने की आवश्यकता है समन्वय प्रणाली के घटकों को उत्पन्न करने के लिए कंट्रावेरिएंट या सहसंयोजक आधार निर्धारित किया गया है।
+उदाहरण के लिए, भौतिकी में आप एक सदिश क्षेत्र से शुरू करते हैं, आप इसे सहसंयोजक आधार के संबंध में विघटित करते हैं, और इस तरह आपको विरोधाभासी निर्देशांक मिलते हैं। ऑर्थोनॉर्मल कार्टेशियन निर्देशांक के लिए, सहसंयोजक और विरोधाभासी आधार समान हैं, क्योंकि इस मामले में निर्धारित आधार केवल पहचान आव्यूह है,  चूंकि, ध्रुवीय या गोलाकार जैसे गैर-एफ़िन समन्वय प्रणाली के लिए अपघटन के बीच अंतर करने की आवश्यकता है समन्वय प्रणाली के घटकों को उत्पन्न करने के लिए कंट्रावेरिएंट या सहसंयोजक आधार निर्धारित किया गया है।
 ====सहसंयोजक  सदिश अपघटन====
@@ Line 48: / Line 48: @@
 |-
 | <math>V^i</math>
-| विरोधाभासी घटक (अदिशों का क्रमबद्ध सेट)
+| विरोधाभासी घटक (अदिशों का क्रमबद्ध समूह)
 | परिवर्तनीय
 |-
 |  <math>\vec{Z}_i</math>
-| सहसंयोजक आधार ( सदिशों का क्रमबद्ध सेट)
+| सहसंयोजक आधार ( सदिशों का क्रमबद्ध समूह)
 | परिवर्तनीय
 |}
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 |-
 | <math>V_i</math>
-| सहसंयोजक घटक (अदिशों का क्रमबद्ध सेट)
+| सहसंयोजक घटक (अदिशों का क्रमबद्ध समूह)
 | परिवर्तनीय
 |-
 | <math>\vec{Z}^i</math>
-| विरोधाभासी आधा ([[covector|सह वैक्टर]] का ऑर्डर किया गया सेट)
+| विरोधाभासी आधा ([[covector|सह वैक्टर]] का ऑर्डर किया गया समूह)
 | परिवर्तनीय
 |}
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 ===मीट्रिक टेंसर===
-मीट्रिक टेंसर अदिश तत्वों वाले एक मैट्रिक्स का प्रतिनिधित्व करता है (<math>Z_{ij}</math> या <math>Z^{ij}</math>) और एक टेंसर ऑब्जेक्ट है जिसका उपयोग संकुचन नामक एक ऑपरेशन द्वारा किसी अन्य टेंसर ऑब्जेक्ट पर इंडेक्स को बढ़ाने या कम करने के लिए किया जाता है, इस प्रकार एक सहसंयोजक टेंसर को एक विरोधाभासी टेंसर में परिवर्तित करने की अनुमति मिलती है, जो इसके विपरीत भी संभव है।
+मीट्रिक टेंसर अदिश तत्वों वाले एक आव्यूह का प्रतिनिधित्व करता है (<math>Z_{ij}</math> या <math>Z^{ij}</math>) और एक टेंसर ऑब्जेक्ट है जिसका उपयोग संकुचन नामक एक संचालन द्वारा किसी अन्य टेंसर ऑब्जेक्ट पर सूचकांक को बढ़ाने या कम करने के लिए किया जाता है, इस प्रकार एक सहसंयोजक टेंसर को एक विरोधाभासी टेंसर में परिवर्तित करने की अनुमति मिलती है, जो इसके विपरीत भी संभव है।
 मीट्रिक टेंसर का उपयोग करके सूचकांक कम करने का उदाहरण:
@@ Line 96: / Line 96: @@
 <math>Z^{ij} = \vec{Z}^i \cdot \vec{Z}^j</math>
-इसका मतलब यह है कि यदि हम आधार  सदिश सेट के प्रत्येक क्रमपरिवर्तन को लेते हैं और उन्हें एक-दूसरे के विरुद्ध बिंदीदार बनाते हैं, और फिर उन्हें एक वर्ग मैट्रिक्स में व्यवस्थित करते हैं, तो हमारे पास एक मीट्रिक टेंसर होगा। यहां चेतावनी यह है कि क्रमपरिवर्तन में दो वैक्टरों में से किसका उपयोग दूसरे  सदिश के खिलाफ प्रक्षेपण के लिए किया जाता है, जो कि विरोधाभासी मीट्रिक टेंसर की तुलना में सहसंयोजक मीट्रिक टेंसर की विशिष्ट संपत्ति है।
+इसका तात्पर्य यह है कि यदि हम आधार  सदिश समूह के प्रत्येक क्रमपरिवर्तन को लेते हैं और उन्हें एक-दूसरे के विरुद्ध बिंदीदार बनाते हैं, और फिर उन्हें एक वर्ग आव्यूह में व्यवस्थित करते हैं, तो हमारे पास एक मीट्रिक टेंसर होगा। यहां चेतावनी यह है कि क्रमपरिवर्तन में दो सदिश में से किसका उपयोग दूसरे  सदिश के खिलाफ प्रक्षेपण के लिए किया जाता है, जो कि विरोधाभासी मीट्रिक टेंसर की तुलना में सहसंयोजक मीट्रिक टेंसर की विशिष्ट संपत्ति है।
-मीट्रिक टेंसर के दो प्रकार उपस्थित हैं: (1) कंट्रावेरिएंट मीट्रिक टेंसर (<math>Z^{ij}</math>), और (2) सहसंयोजक मीट्रिक टेंसर (<math>Z_{ij}</math>). मीट्रिक टेंसर के ये दो स्वाद पहचान से संबंधित हैं:
+मीट्रिक टेंसर के दो प्रकार उपस्थित हैं: (1) विरोधाभासी मीट्रिक टेंसर (<math>Z^{ij}</math>), और (2) सहसंयोजक मीट्रिक टेंसर (<math>Z_{ij}</math>). मीट्रिक टेंसर के ये दो स्वाद पहचान से संबंधित हैं:
 <math>Z_{ik}Z^{jk} = \delta^j_i</math>
-एक [[ऑर्थोनॉर्मल]] कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के लिए, मीट्रिक टेंसर सिर्फ [[ क्रोनकर डेल्टा | क्रोनकर डेल्टा]] है <math>\delta_{ij}</math> या <math>\delta^{ij}</math>, जो पहचान मैट्रिक्स के बराबर एक टेंसर है, और <math>\delta_{ij} = \delta^{ij} = \delta^i_j</math>.
+एक [[ऑर्थोनॉर्मल]] कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के लिए, मीट्रिक टेंसर सिर्फ [[ क्रोनकर डेल्टा | क्रोनकर डेल्टा]] है <math>\delta_{ij}</math> या <math>\delta^{ij}</math>, जो पहचान आव्यूह के बराबर एक टेंसर है, और <math>\delta_{ij} = \delta^{ij} = \delta^i_j</math>.
 ===जैकोबियन===
-इसके अतिरिक्त एक टेंसर को आसानी से एक अनबैरर्ड से परिवर्तित किया जा सकता है (<math>x</math>) एक वर्जित निर्देशांक के लिए (<math>\bar{x}</math>) प्रणाली जिसमें आधार वैक्टर के विभिन्न सेट हैं:
+इसके अतिरिक्त एक टेंसर को आसानी से एक अनबैरर्ड से परिवर्तित किया जा सकता है (<math>x</math>) एक वर्जित निर्देशांक के लिए (<math>\bar{x}</math>) प्रणाली जिसमें आधार सदिश के विभिन्न समूह हैं:
 <math display="block">f(x^1, x^2, \dots, x^n) = f\bigg(x^1(\bar{x}), x^2(\bar{x}), \dots, x^n(\bar{x})\bigg) = \bar{f}(\bar{x}^1, \bar{x}^2, \dots, \bar{x}^n)= \bar{f}\bigg(\bar{x}^1(x), \bar{x}^2(x), \dots, \bar{x}^n(x)\bigg)</math>
-वर्जित और अप्रतिबंधित समन्वय प्रणाली के बीच [[जैकोबियन मैट्रिक्स]] संबंधों के उपयोग से (<math>\bar{J}=J^{-1}</math>). वर्जित और अप्रतिबंधित प्रणाली के बीच जैकोबियन सहसंयोजक और विरोधाभासी आधार वैक्टर को परिभाषित करने में सहायक है, इन वैक्टरों के अस्तित्व के लिए उन्हें वर्जित और अप्रतिबंधित प्रणाली के सापेक्ष निम्नलिखित संबंध को संतुष्ट करने की आवश्यकता है:
+वर्जित और अप्रतिबंधित समन्वय प्रणाली के बीच [[जैकोबियन मैट्रिक्स|जैकोबियन आव्यूह]] संबंधों के उपयोग से (<math>\bar{J}=J^{-1}</math>). वर्जित और अप्रतिबंधित प्रणाली के बीच जैकोबियन सहसंयोजक और विरोधाभासी आधार सदिश को परिभाषित करने में सहायक है, इन सदिशों के अस्तित्व के लिए उन्हें वर्जित और अप्रतिबंधित प्रणाली के सापेक्ष निम्नलिखित संबंध को संतुष्ट करने की आवश्यकता है:
-विरोधाभासी वैक्टर को नियमो का पालन करना आवश्यक है:
+विरोधाभासी सदिश को नियमो का पालन करना आवश्यक है:
 <math>v^i = \bar{v}^r\frac{\partial x^i(\bar{x})}{\partial \bar{x}^r}</math>
@@ Line 123: / Line 123: @@
 <math>\bar{v}_i = v_r\frac{\partial x^r(\bar{x})}{\partial \bar{x}^i}</math>
-जैकोबियन मैट्रिक्स के दो फ्लेवर हैं:
+जैकोबियन आव्यूह के दो फ्लेवर हैं:
-. जे मैट्रिक्स अप्रतिबंधित से वर्जित निर्देशांक में परिवर्तन का प्रतिनिधित्व करता है। J को ढूँढ़ने के लिए, हम वर्जित ग्रेडिएंट लेते हैं, अर्थात इसके संबंध में आंशिक व्युत्पन्न <math>\bar{x}^i</math>:
+. जे आव्यूह अप्रतिबंधित से वर्जित निर्देशांक में परिवर्तन का प्रतिनिधित्व करता है। J को ढूँढ़ने के लिए, हम वर्जित ग्रेडिएंट लेते हैं, अर्थात इसके संबंध में आंशिक व्युत्पन्न <math>\bar{x}^i</math>:
 <math>J = \bar{\nabla} f(x(\bar{x}))</math>
-. <math>\bar{J}</math> h> मैट्रिक्स, वर्जित से अप्रतिबंधित निर्देशांक में परिवर्तन का प्रतिनिधित्व करता है। ढूँढ़ने के लिए <math>\bar{J}</math>, हम अप्रतिबंधित ग्रेडिएंट लेते हैं , i.n. के संबंध में आंशिक व्युत्पन्न <math>x^i</math>:
+. <math>\bar{J}</math> h> आव्यूह, वर्जित से अप्रतिबंधित निर्देशांक में परिवर्तन का प्रतिनिधित्व करता है। ढूँढ़ने के लिए <math>\bar{J}</math>, हम अप्रतिबंधित ग्रेडिएंट लेते हैं , i.n. के संबंध में आंशिक व्युत्पन्न <math>x^i</math>:
 <math>\bar{J} = \nabla \bar{f}(\bar{x}(x))</math>
 ===ग्रेडिएंट  सदिश===
-टेन्सर कैलकुलस मानक कैलकुलस से ग्रेडिएंट  सदिश सूत्र को एक सामान्यीकरण प्रदान करता है जो सभी समन्वय प्रणालियों में काम करता है:
+टेन्सर कैलकुलस मानक कैलकुलस से ग्रेडिएंट सदिश सूत्र को एक सामान्यीकरण प्रदान करता है जो सभी समन्वय प्रणालियों में काम करता है:
 <math> \nabla F = \nabla_i F \vec{Z}^i </math>
@@ Line 141: / Line 141: @@
 <math>\nabla_i F = \frac{\partial F}{\partial Z^i}</math>
-इसके विपरीत, मानक कैलकुलस के लिए, ग्रेडिएंट  सदिश फॉर्मूला उपयोग में समन्वय प्रणाली पर निर्भर है (उदाहरण: कार्टेशियन ग्रेडिएंट  सदिश फॉर्मूला बनाम ध्रुवीय ग्रेडिएंट  सदिश फॉर्मूला बनाम गोलाकार ग्रेडिएंट  सदिश फॉर्मूला, आदि)। मानक कैलकुलस में, प्रत्येक समन्वय प्रणाली का अपना विशिष्ट सूत्र होता है, टेंसर कैलकुलस के विपरीत जिसमें केवल एक ग्रेडिएंट सूत्र होता है जो सभी समन्वय प्रणालियों के लिए समतुल्य होता है। यह मीट्रिक टेंसर की समझ से संभव हुआ है जिसका उपयोग टेंसर कैलकुलस करता है।
+इसके विपरीत, मानक कैलकुलस के लिए, ग्रेडिएंट  सदिश फॉर्मूला उपयोग में समन्वय प्रणाली पर निर्भर है (उदाहरण: कार्टेशियन ग्रेडिएंट  सदिश सूत्र बनाम ध्रुवीय ग्रेडिएंट सदिश सूत्र बनाम गोलाकार ग्रेडिएंट  सदिश सूत्र, आदि)। मानक कैलकुलस में, प्रत्येक समन्वय प्रणाली का अपना विशिष्ट सूत्र होता है, टेंसर कैलकुलस के विपरीत जिसमें केवल एक ग्रेडिएंट सूत्र होता है जो सभी समन्वय प्रणालियों के लिए समतुल्य होता है। यह मीट्रिक टेंसर की समझ से संभव हुआ है जिसका उपयोग टेंसर कैलकुलस करता है।
 == यह भी देखें ==
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 * [[वेक्टर विश्लेषण|सदिश विश्लेषण]]
-*[[मैट्रिक्स कैलकुलस]]
+*[[मैट्रिक्स कैलकुलस|आव्यूह कैलकुलस]]
 *रिक्की कैलकुलस
 *[[वक्ररेखीय निर्देशांक]]
@@ Line 174: / Line 174: @@
 {{Analysis-footer}}
 {{Authority control}}
-[[Category: गणना]] [[Category: टेंसर]]
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+[[Category:टेंसर]]

v t e पथरी
Prealculus	द्विपद प्रमेय अवतल कार्य निरंतर कार्य फैक्टरियल परिमित अंतर मुक्त चर और बाध्य चर एक फ़ंक्शन का ग्राफ रैखिक प्रकार्य रेडियन रोले का प्रमेय सेकंट ढलान स्पर्शरेखा
सीमा	अनिश्चित रूप एक फ़ंक्शन की सीमा एकतरफा सीमा एक अनुक्रम की सीमा सन्निकटन का आदेश ((, Δ)-सीमा की सीमा
अंतर कलन	व्युत्पन्न दूसरा व्युत्पन्न आंशिक व्युत्पन्न अंतर विभेदक ऑपरेटर मतलब मान प्रमेय संकेतन Leibniz का अंकन न्यूटन की संकेतन भेदभाव के नियम रैखिकता शक्ति योग चेन l'hôpital's उत्पाद जनरल लीबनिज़ का नियम भागफल अन्य तकनीकें निहित भेदभाव उलटा कार्य और भेदभाव लॉगरिदमिक व्युत्पन्न संबंधित दरें स्थिर बिंदु पहला व्युत्पन्न परीक्षण दूसरा व्युत्पन्न परीक्षण चरम मूल्य प्रमेय मैक्सिमा और मिनिमा आगे के आवेदन न्यूटन की विधि टेलर का प्रमेय अंतर समीकरण साधारण अंतर समीकरण आंशिक विभेदक समीकरण स्टोचस्टिक डिफरेंशियल इक्वेशन
समाकलन गणित	Antiderivative Arc length Riemann integral Basic properties Constant of integration Fundamental theorem of calculus Differentiating under the integral sign Integration by parts Integration by substitution trigonometric Euler Tangent half-angle substitution Partial fractions in integration Quadratic integral Trapezoidal rule Volumes Washer method Shell method Integral equation Integro-differential equation
वेक्टर कैलकुलस	डेरिवेटिव कर्ल दिशात्मक व्युत्पन्न विचलन ढाल लाप्लासियन बुनियादी प्रमेय लाइन इंटीग्रल ग्रीन स्टोक्स' गॉस '
बहुक्रियाशील पथरी	विचलन प्रमेय ज्यामितीय हेसियन मैट्रिक्स जैकबियन मैट्रिक्स और निर्धारक Lagrange गुणक लाइन इंटीग्रल मैट्रिक्स एकाधिक अभिन्न आंशिक व्युत्पन्न सतह अभिन्न वॉल्यूम इंटीग्रल उन्नत विषय विभेदक रूप बाहरी व्युत्पन्न सामान्यीकृत स्टोक्स 'प्रमेय टेंसर कैलकुलस
अनुक्रम और श्रृंखला	अंकगणित-ज्यामितीय अनुक्रम श्रृंखला के प्रकार वैकल्पिक द्विपद फूरियर ज्यामितीय हार्मोनिक अनंत पावर Maclaurin टेलर दूरबीन अभिसरण के परीक्षण हाबिल अल्टरनेटिंग सीरीज़ Cauchy संघनन प्रत्यक्ष तुलना Dirichlet's अभिन्न सीमा तुलना अनुपात रूट शब्द
विशेष कार्य और संख्या	बर्नौली नंबर ई (गणितीय स्थिरांक) घातांक प्रकार्य प्राकृतिक स्टर्लिंग का अनुमान
कैलकुलस का इतिहास	पर्याप्तता ब्रुक टेलर कॉलिन मैक्लोरिन बीजगणित की सामान्यता गॉटफ्रीड विल्हेम लीबनिज़ Infinitesimal Infinitesimal galulus आइजैक न्यूटन फ्लक्सियन निरंतरता का नियम लियोनहार्ड यूलर प्रवाह की विधि यांत्रिक प्रमेय की विधि
सूचियों	भेदभाव नियम घातीय कार्यों के अभिन्न अंग की सूची हाइपरबोलिक कार्यों के अभिन्न अंग की सूची उलटा हाइपरबोलिक कार्यों के अभिन्न अंग की सूची उलटा त्रिकोणमितीय कार्यों के अभिन्न अंग की सूची तर्कहीन कार्यों के अभिन्न अंग की सूची लघुगणक कार्यों के अभिन्न अंग की सूची तर्कसंगत कार्यों के अभिन्न अंग की सूची त्रिकोणमितीय कार्यों के अभिन्न अंग की सूची सेकंट सेकेंट क्यूबेड सीमाओं की सूची अभिन्न की सूची
विविध विषय	जटिल पथरी समोच्च अभिन्न अंतर ज्यामिति कई गुना वक्रता घटता सतहों का टेंसर यूलर -मेक्लॉरिन फॉर्मूला गेब्रियल का सींग एकीकरण मधुमक्खी प्रमाण है कि 22/7 से अधिक Regiomontanus 'कोण अधिकतमकरण समस्या स्टाइनमेट्ज़ सॉलिड

v t e गणितीय विश्लेषण में प्रमुख विषय
'पथरी' : एकीकरण भेदभाव अंतर समीकरण साधारण आंशिक स्टोचस्टिक कैलकुलस का मौलिक प्रमेय भिन्नता का पथरी वेक्टर कैलकुलस टेंसर कैलकुलस मैट्रिक्स कैलकुलस अभिन्न की सूची डेरिवेटिव की तालिका
वास्तविक विश्लेषण जटिल विश्लेषण हाइपरकम्प्लेक्स विश्लेषण (चतुर्भुज विश्लेषण) कार्यात्मक विश्लेषण फूरियर विश्लेषण सबसे कम-वर्ग वर्णक्रमीय विश्लेषण हार्मोनिक विश्लेषण पी-एडिक विश्लेषण (पी-एडिक नंबर) माप सिद्धांत प्रतिनिधित्व सिद्धांत कार्य निरंतर कार्य विशेष कार्य सीमा श्रृंखला अनंतता
' गणित पोर्टल' '

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