प्वासों ब्रेकेट

शिमोन डेनिस पोइसन

गणित और शास्त्रीय यांत्रिकी में, पोइसन ब्रैकेट हैमिल्टनियन यांत्रिकी में एक महत्वपूर्ण द्विआधारी संक्रिया है, जो हैमिल्टन के गति के समीकरणों में एक केंद्रीय भूमिका निभाता है और जो हैमिल्टनियन गतिशील प्रणाली के समय के विकास को नियंत्रित करता है। पोइसन ब्रैकेट समन्वय परिवर्तनों के एक निश्चित वर्ग को भी अलग करता है, जिसे विहित परिवर्तन कहा जाता है, जो कैननिकल निर्देशांक को कैनोनिकल समन्वय प्रणालियों में प्रतिचित्र करता है। एक विहित समन्वय प्रणाली में विहित स्थिति और संवेग चर होते हैं (नीचे प्रतीक द्वारा $q_{i}$ और $p_{i}$, क्रमशः) जो कैनोनिकल पॉइसन ब्रैकेट संबंधों को संतुष्ट करते हैं। संभावित विहित परिवर्तनों का सम्मुच्चय हमेशा बहुत समृद्ध होता है। उदाहरण के लिए, हैमिल्टनियन को नए विहित संवेग में से एक के रूप $H=H(q,p,t)$ में ही चुनना प्रायः संभव होता है।

अधिक सामान्य अर्थ में, पॉसॉन ब्रैकेट का उपयोग पॉसॉन बीजगणित को परिभाषित करने के लिए किया जाता है, जिसमें प्वाइजन बहुविध पर कार्यों का बीजगणित एक विशेष स्तिथि है। अन्य सामान्य उदाहरण भी हैं: यह लाई बीजगणित के सिद्धांत में पाया जाता है, जहां लाई बीजगणित का प्रदिश बीजगणित पॉइसन बीजगणित बनाता है; यह कैसे होता है इसका एक विस्तृत निर्माण सार्वभौमिक आवरण बीजगणित लेख में दिया गया है। सार्वभौमिक आवरण बीजगणित की परिमाण विकृति परिमाण समूहों की धारणा को उत्पन्न करती है।

इन सभी वस्तुओं का नाम शिमोन डेनिस पोइसन के सम्मान में रखा गया है।

गुण

दो दिए गए प्रकार्य f और g जो चरण स्थान और समय पर निर्भर करता है, उनके पॉसॉन ब्रैकेट $\{f,g\}$ एक अन्य कार्य है जो चरण स्थान और समय पर निर्भर करता है। निम्नलिखित नियम किसी भी तीन प्रकार्य $f,\,g,\,h$ के लिए मान्य हैं चरण स्थान और समय का:

एंटीकम्यूटेटिविटी

$\{f,g\}=-\{g,f\}$

द्विरेखीयता

$\{af+bg,h\}=a\{f,h\}+b\{g,h\},\quad \{h,af+bg\}=a\{h,f\}+b\{h,g\},\quad a,b\in \mathbb {R}$

लीबनिज का नियम

$\{fg,h\}=\{f,h\}g+f\{g,h\}$

जैकोबी सर्वसमिका

$\{f,\{g,h\}\}+\{g,\{h,f\}\}+\{h,\{f,g\}\}=0$

साथ ही, यदि कोई प्रकार्य $k$ चरण स्थान पर स्थिर है (लेकिन समय पर निर्भर हो सकता है), फिर किसी $f$ के लिए $\{f,\,k\}=0$।

विहित निर्देशांक में परिभाषा

विहित निर्देशांक में (जिसे डार्बौक्स निर्देशांक भी कहा जाता है) $(q_{i},\,p_{i})$ चरण स्थान पर, दो कार्य $f(p_{i},\,q_{i},t)$ और $g(p_{i},\,q_{i},t)$ दिए गए हैं , प्वासों कोष्ठक रूप ले लेता है

$$\{f,g\}=\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {\partial f}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial f}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial q_{i}}}\right).$$

विहित निर्देशांकों के प्वासों कोष्ठक हैं

$${\begin{aligned}\{q_{i},q_{j}\}&=0\\\{p_{i},p_{j}\}&=0\\\{q_{i},p_{j}\}&=\delta _{ij}\end{aligned}}$$

जहाँ $\delta _{ij}$ क्रोनकर डेल्टा है।

हैमिल्टन की गति के समीकरण

हैमिल्टन के गति के समीकरणों में पोइसन ब्रैकेट के संदर्भ में एक समान अभिव्यक्ति है। यह एक स्पष्ट समन्वय फ्रेम में सबसे प्रत्यक्ष रूप से प्रदर्शित किया जा सकता है। मान लीजिये $f(p,q,t)$ समाधान के प्रक्षेपवक्र-कई गुना पर एक फलन है। फिर बहुभिन्नरूपी श्रृंखला नियम से,

$${\frac {d}{dt}}f(p,q,t)={\frac {\partial f}{\partial q}}{\frac {dq}{dt}}+{\frac {\partial f}{\partial p}}{\frac {dp}{dt}}+{\frac {\partial f}{\partial t}}.$$

आगे कोई $p=p(t)$ और $q=q(t)$ को हैमिल्टन के समीकरणों के समाधान के लिए ले सकता है;

$${\begin{cases}{\dot {q}}={\frac {\partial H}{\partial p}}=\{q,H\};\\{\dot {p}}=-{\frac {\partial H}{\partial q}}=\{p,H\}.\end{cases}}$$

तब

$${\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}f(p,q,t)&={\frac {\partial f}{\partial q}}{\frac {\partial H}{\partial p}}-{\frac {\partial f}{\partial p}}{\frac {\partial H}{\partial q}}+{\frac {\partial f}{\partial t}}\\&=\{f,H\}+{\frac {\partial f}{\partial t}}~.\end{aligned}}$$

इस प्रकार, एक सिम्पेक्टिक बहुविध पर एक प्रकार्य $f$ का समय विकास सिम्प्लेक्टोमोर्फिम्स के एक-मापदण्ड श्रेणी के रूप में दिया जा सकता है (यानी, विहित परिवर्तन, क्षेत्र-संरक्षण डिफोमोर्फिज्म), समय $t$ मापदण्ड होने के नाते: हैमिल्टनियन गति हैमिल्टनियन द्वारा उत्पन्न एक विहित परिवर्तन है। यानी पॉइसन ब्रैकेट इसमें संरक्षित हैं, ताकि किसी भी समय $t$ हैमिल्टन के समीकरणों के समाधान में,

$$q(t)=\exp(-t\{H,\cdot \})q(0),\quad p(t)=\exp(-t\{H,\cdot \})p(0),$$

ब्रैकेट निर्देशांक के रूप में सेवा कर सकते हैं। प्वासों कोष्ठक विहित परिवर्तन हैं।

निम्न निर्देशांक,

$${\frac {d}{dt}}f=\left({\frac {\partial }{\partial t}}-\{H,\cdot \}\right)f.$$

व्युत्पन्न के संवहन भाग में संकारक, $i{\hat {L}}=-\{H,\cdot \}$, को कभी-कभी लिउविलियन के रूप में संदर्भित किया जाता है (लिउविल के प्रमेय (हैमिल्टनियन) देखें)।

गति के स्थिरांक

एक एकीकृत गतिशील प्रणाली में ऊर्जा के अतिरिक्त गति के स्थिरांक होंगे। गति के ऐसे स्थिरांक हैमिल्टनियन के साथ पोइसन ब्रैकेट के तहत आवागमन करेंगे। मान लीजिए कुछ फलन $f(p,q)$ गति का एक स्थिरांक है। इसका तात्पर्य यह है कि यदि $p(t),q(t)$ हैमिल्टन के गति के समीकरणों का एक प्रक्षेपवक्र या समाधान है, फिर

$$0={\frac {df}{dt}}$$

उस पथ के साथ। तब

$$0={\frac {d}{dt}}f(p,q)=\{f,H\}$$

जहां, ऊपर के रूप में, मध्यवर्ती चरण गति के समीकरणों को लागू करने के बाद होता है और हम इसे मानते हैं कि $f$ स्पष्ट रूप से समय पर निर्भर नहीं करता है। इस समीकरण को लिउविल के प्रमेय (हैमिल्टनियन) के रूप में जाना जाता है। लिउविल के प्रमेय की विषय सूची यह है कि एक वितरण फलन (भौतिकी) द्वारा दिए गए माप (गणित) का समय विकास $f$ उपरोक्त समीकरण द्वारा दिया गया है।

यदि प्वासों कोष्ठक $f$ और $g$ ($\{f,g\}=0$) को गायब कर देता है, तब $f$ और $g$ को प्रत्यावर्तन कहा जाता है। हैमिल्टनियन प्रणाली को पूरी तरह से एकीकृत करने के लिए, $n$ गति के स्वतंत्र स्थिरांक वितरण में होना चाहिए , जहां $n$ स्वातंत्र्य कोटि की संख्या है।

इसके अलावा, पॉसों के प्रमेय के अनुसार, यदि दो मात्राएँ $A$ और $B$ स्पष्ट रूप से समय स्वतंत्र ($A(p,q),B(p,q)$) गति के स्थिरांक हैं, तो उनका पॉइसन ब्रैकेट $\{A,\,B\}$ है। यह हमेशा एक उपयोगी परिणाम प्रदान नहीं करता है, हालांकि, गति के संभावित स्थिरांक की संख्या सीमित है ($2n-1$ के साथ एक प्रणाली के लिए $n$ स्वातंत्र्य कोटि), और इसलिए परिणाम तुच्छ हो सकता है (एक स्थिर, या का एक कार्य $A$ और $B$.)

समन्वय-मुक्त भाषा में पॉइसन ब्रैकेट

मान लीजिए कि M एक सिम्पलेक्टिक बहुविध है, यानी, एक सिम्पलेक्टिक बहुविध से सुसज्जित बहुविध: एक 2-विधि $\omega$ जो दोनों बंद है (यानी, इसका बाहरी व्युत्पन्न $d\omega$ गायब हो जाता है) और गैर-पतित है। उदाहरण के लिए ऊपर दिए गए उपचार में लें $M$ होना $\mathbb {R} ^{2n}$ और ले लो

$$\omega =\sum _{i=1}^{n}dp_{i}\wedge dq_{i}.$$

अगर $\iota _{v}\omega$ द्वारा परिभाषित आंतरिक उत्पाद या टेन्सर संकुचन ऑपरेशन है $(\iota _{v}\omega )(w)=\omega (v,\,w)$, तो गैर-पतन यह कहने के बराबर है कि हर एक रूप के लिए $\alpha$ एक अद्वितीय वेक्टर क्षेत्र है $\Omega _{\alpha }$ ऐसा है कि $\iota _{\Omega _{\alpha }}\omega =\alpha$. वैकल्पिक रूप से, $\Omega _{dH}=\omega ^{-1}(dH)$. तो अगर $H$ एक सुचारू कार्य है $M$, हैमिल्टनियन वेक्टर क्षेत्र $X_{H}$ के रूप में परिभाषित किया जा सकता है $\Omega _{dH}$. इसे देखना आसान है

$${\begin{aligned}X_{p_{i}}&={\frac {\partial }{\partial q_{i}}}\\X_{q_{i}}&=-{\frac {\partial }{\partial p_{i}}}.\end{aligned}}$$

पोइसन ब्रैकेट $\ \{\cdot ,\,\cdot \}$ पर (M, ω) अलग-अलग कार्यों पर एक बिलिनियर मानचित्र है, जिसे परिभाषित किया गया है $\{f,\,g\}\;=\;\omega (X_{f},\,X_{g})$; दो कार्यों के प्वासों ब्रैकेट पर M अपने आप में एक फंक्शन है M. पोइसन ब्रैकेट एंटीसिमेट्रिक है क्योंकि:

$$\{f,g\}=\omega (X_{f},X_{g})=-\omega (X_{g},X_{f})=-\{g,f\}.$$

आगे,

$${\begin{aligned}\{f,g\}&=\omega (X_{f},X_{g})=\omega (\Omega _{df},X_{g})\\&=(\iota _{\Omega _{df}}\omega )(X_{g})=df(X_{g})\\&=X_{g}f={\mathcal {L}}_{X_{g}}f.\end{aligned}}$$

(1)

यहाँ X_gf वेक्टर क्षेत्र को दर्शाता है X_g प्रकार्य पर लागू होता है f एक दिशात्मक व्युत्पन्न के रूप में, और ${\mathcal {L}}_{X_{g}}f$ प्रकार्य के व्युत्पन्न (पूरी तरह से समतुल्य) को दर्शाता है f.

अगर α एक मनमाना एक-रूप है M, सदिश क्षेत्र Ω_α एक प्रवाह (गणित) उत्पन्न करता है (कम से कम स्थानीय रूप से) $\phi _{x}(t)$ सीमा की स्थिति को संतुष्ट करना $\phi _{x}(0)=x$ और प्रथम-क्रम अंतर समीकरण

$${\frac {d\phi _{x}}{dt}}=\left.\Omega _{\alpha }\right|_{\phi _{x}(t)}.$$

$\phi _{x}(t)$ h> प्रत्येक के लिए symplectomorphisms (विहित परिवर्तन) होगा t के कार्य के रूप में x अगर और केवल अगर ${\mathcal {L}}_{\Omega _{\alpha }}\omega \;=\;0$; जब यह सच है, Ωα को सहानुभूति वेक्टर क्षेत्र कहा जाता है। कार्टन की पहचान को याद करते हुए ${\mathcal {L}}_{X}\omega \;=\;d(\iota _{X}\omega )\,+\,\iota _{X}d\omega$ और dω = 0, यह इस प्रकार है कि ${\mathcal {L}}_{\Omega _{\alpha }}\omega \;=\;d\left(\iota _{\Omega _{\alpha }}\omega \right)\;=\;d\alpha$. इसलिए, Ωα एक सहानुभूति सदिश क्षेत्र है अगर और केवल अगर α एक बंद और सटीक अंतर रूप है। तब से $d(df)\;=\;d^{2}f\;=\;0$, यह इस प्रकार है कि प्रत्येक हैमिल्टनियन वेक्टर क्षेत्र Xf एक सहानुभूति सदिश क्षेत्र है, और यह कि हैमिल्टनियन प्रवाह में विहित परिवर्तन होते हैं। से (1) ऊपर, हैमिल्टनियन प्रवाह के तहत XH,

$${\frac {d}{dt}}f(\phi _{x}(t))=X_{H}f=\{f,H\}.$$

यह हेमिल्टनियन यांत्रिकी में एक मौलिक परिणाम है, जो चरण स्थान पर परिभाषित कार्यों के समय के विकास को नियंत्रित करता है। जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, कब {f,H} = 0, f सिस्टम की गति का एक स्थिरांक है। इसके अलावा, विहित निर्देशांक में (के साथ $\{p_{i},\,p_{j}\}\;=\;\{q_{i},q_{j}\}\;=\;0$ और $\{q_{i},\,p_{j}\}\;=\;\delta _{ij}$), सिस्टम के समय के विकास के लिए हैमिल्टन के समीकरण इस सूत्र से तुरंत अनुसरण करते हैं।

से भी होता है (1) कि प्वासों कोष्ठक एक व्युत्पत्ति (अमूर्त बीजगणित) है; अर्थात्, यह लीबनिज के उत्पाद नियम के एक गैर-कम्यूटेटिव संस्करण को संतुष्ट करता है:

$$\{fg,h\}=f\{g,h\}+g\{f,h\},$$ and $$\{f,gh\}=g\{f,h\}+h\{f,g\}.$$

(2)

पोइसन ब्रैकेट हैमिल्टनियन वेक्टर फ़ील्ड्स के वेक्टर फ़ील्ड्स के लाई ब्रैकेट से घनिष्ठ रूप से जुड़ा हुआ है। क्योंकि लाई डेरिवेटिव एक व्युत्पत्ति है,

$${\mathcal {L}}_{v}\iota _{w}\omega =\iota _{{\mathcal {L}}_{v}w}\omega +\iota _{w}{\mathcal {L}}_{v}\omega =\iota _{[v,w]}\omega +\iota _{w}{\mathcal {L}}_{v}\omega .$$

इस प्रकार यदि v और w सहानुभूतिपूर्ण हैं, उपयोग कर रहे हैं ${\mathcal {L}}_{v}\omega \;=\;0$, कार्टन की पहचान, और तथ्य यह है कि $\iota _{w}\omega$ बंद रूप है,

$$\iota _{[v,w]}\omega ={\mathcal {L}}_{v}\iota _{w}\omega =d(\iota _{v}\iota _{w}\omega )+\iota _{v}d(\iota _{w}\omega )=d(\iota _{v}\iota _{w}\omega )=d(\omega (w,v)).$$

यह इस प्रकार है कि $[v,w]=X_{\omega (w,v)}$, ताकि

$$[X_{f},X_{g}]=X_{\omega (X_{g},X_{f})}=-X_{\omega (X_{f},X_{g})}=-X_{\{f,g\}}.$$

(3)

इस प्रकार, प्रकार्य पर पोइसन ब्रैकेट संबंधित हैमिल्टनियन वेक्टर फ़ील्ड के लाई ब्रैकेट से मेल खाता है। हमने यह भी दिखाया है कि दो सिम्प्लेक्टिक वेक्टर फ़ील्ड्स का लाइ ब्रैकेट एक हैमिल्टनियन वेक्टर फ़ील्ड है और इसलिए यह सिम्प्लेक्टिक भी है। सार बीजगणित की भाषा में, सहानुभूति सदिश क्षेत्र चिकनी सदिश क्षेत्रों के लाई बीजगणित का एक उपलजगणित बनाते हैं M, और हैमिल्टनियन सदिश क्षेत्र इस सबलजेब्रा का एक बीजगणितीय आदर्श बनाते हैं। सहानुभूति सदिश क्षेत्र (अनंत-आयामी) के झूठ बीजगणित हैं M.

यह व्यापक रूप से माना जाता है कि प्वासों ब्रैकेट के लिए जैकोबी पहचान,

$$\{f,\{g,h\}\}+\{g,\{h,f\}\}+\{h,\{f,g\}\}=0$$

सदिश क्षेत्रों के लाइ ब्रैकेट के लिए संबंधित पहचान से अनुसरण करता है, लेकिन यह केवल स्थानीय रूप से स्थिर प्रकार्य तक ही सही है। हालांकि, पोइसन ब्रैकेट के लिए जैकोबी पहचान साबित करने के लिए, यह दिखाने के लिए जैकोबी पहचान # उदाहरण है:

$$\operatorname {ad} _{\{g,f\}}=\operatorname {ad} _{-\{f,g\}}=[\operatorname {ad} _{f},\operatorname {ad} _{g}]$$

जहां ऑपरेटर $\operatorname {ad} _{g}$ सुचारू कार्यों पर M द्वारा परिभाषित किया गया है $\operatorname {ad} _{g}(\cdot )\;=\;\{\cdot ,\,g\}$ और दाहिनी ओर का ब्रैकेट ऑपरेटरों का कम्यूटेटर है, $[\operatorname {A} ,\,\operatorname {B} ]\;=\;\operatorname {A} \operatorname {B} -\operatorname {B} \operatorname {A}$. द्वारा (1), परिचालक $\operatorname {ad} _{g}$ ऑपरेटर के बराबर है X_g. जैकोबी पहचान का प्रमाण इस प्रकार है (3) क्योंकि, -1 के गुणक तक, सदिश क्षेत्रों का लाई कोष्ठक अंतर संचालकों के रूप में केवल उनका कम्यूटेटर है।

एम पर चिकनी कार्यों के एक क्षेत्र पर बीजगणित, पोइसन ब्रैकेट के साथ एक पॉसॉन बीजगणित बनाता है, क्योंकि यह पॉसॉन ब्रैकेट के तहत एक लेट बीजगणित है, जो अतिरिक्त रूप से लीबनिज के नियम को संतुष्ट करता है (2). हमने दिखाया है कि प्रत्येक सिम्प्लेक्टिक बहुविध एक पोइज़न बहुविध है, जो कि एक कर्ली-ब्रैकेट ऑपरेटर के साथ कई गुना है, जो सुचारू कार्यों पर होता है, जैसे कि सुचारू कार्य एक पॉइज़न बीजगणित बनाते हैं। हालांकि, प्रत्येक पॉइसन बहुविध इस तरह से उत्पन्न नहीं होता है, क्योंकि पॉइसन बहुविध अध: पतन की अनुमति देता है जो सहानुभूतिपूर्ण मामले में उत्पन्न नहीं हो सकता है।

== संयुग्म संवेग == पर परिणाम एक चिकने वेक्टर क्षेत्र को देखते हुए $X$ कॉन्फ़िगरेशन स्थान पर, चलो $P_{X}$ इसका संयुग्मी संवेग हो। संयुग्म संवेग मानचित्रण सदिश क्षेत्रों के ले ब्रैकेट से पोइसन ब्रैकेट तक एक झूठ बीजगणित विरोधी होमोमोर्फिज्म है:

$$\{P_{X},P_{Y}\}=-P_{[X,Y]}.$$

यह महत्वपूर्ण परिणाम एक संक्षिप्त प्रमाण के लायक है। सदिश क्षेत्र लिखिए $X$ बिंदु पर $q$ विन्यास स्थान (भौतिकी) में के रूप में

$$X_{q}=\sum _{i}X^{i}(q){\frac {\partial }{\partial q^{i}}}$$

कहाँ ${\textstyle {\frac {\partial }{\partial q^{i}}}}$ स्थानीय समन्वय फ्रेम है। करने के लिए संयुग्मी गति $X$ अभिव्यक्ति है

$$P_{X}(q,p)=\sum _{i}X^{i}(q)\;p_{i}$$

जहां $p_{i}$ गति कार्य निर्देशांक के संयुग्म हैं। एक तो एक बिंदु के लिए है $(q,p)$ चरण अंतरिक्ष में,

$${\begin{aligned}\{P_{X},P_{Y}\}(q,p)&=\sum _{i}\sum _{j}\left\{X^{i}(q)\;p_{i},Y^{j}(q)\;p_{j}\right\}\\&=\sum _{ij}p_{i}Y^{j}(q){\frac {\partial X^{i}}{\partial q^{j}}}-p_{j}X^{i}(q){\frac {\partial Y^{j}}{\partial q^{i}}}\\&=-\sum _{i}p_{i}\;[X,Y]^{i}(q)\\&=-P_{[X,Y]}(q,p).\end{aligned}}$$

उपरोक्त सभी के लिए है $(q,p)$, वांछित परिणाम दे रहा है।

परिमाणीकरण

पोइसन कोष्ठक विरूपण सिद्धांत को वेइल परिमाणीकरण पर मोयल कोष्ठकों के लिए, अर्थात्, वे एक अलग लाइ बीजगणित, मोयल ब्रैकेट, या, हिल्बर्ट अंतरिक्ष में समान रूप से, परिमाण कम्यूटेटर के लिए सामान्यीकृत करते हैं। इनमें से विग्नेर-इनोनू समूह संकुचन (शास्त्रीय सीमा, ħ → 0) उपरोक्त झूठ बीजगणित उत्पन्न करता है।

इसे अधिक स्पष्ट और सटीक रूप से बताने के लिए, हाइजेनबर्ग बीजगणित का सार्वभौमिक आवरण बीजगणित वेइल बीजगणित है (मॉड्यूलो संबंध है कि केंद्र इकाई है)। मोयल उत्पाद तब प्रतीकों के बीजगणित पर स्टार उत्पाद का एक विशेष मामला है। प्रतीकों के बीजगणित की एक स्पष्ट परिभाषा, और तारकीय गुणनफल सार्वभौम घेरने वाले बीजगणित पर लेख में दिया गया है।

यह भी देखें

• कम्यूटेटर
• डायराक ब्रैकेट
• लैग्रेंज ब्रैकेट
• मोयल ब्रैकेट
• पीयरल्स ब्रैकेट
• चरण स्थान
• पोइसन बीजगणित
• ज़हर की अंगूठी
• पोइसन सुपरएलजेब्रा
• पोइसन सुपरब्रैकेट

संदर्भ

• Arnold, Vladimir I. (1989). Mathematical Methods of Classical Mechanics (2nd ed.). New York: Springer. ISBN 978-0-387-96890-2.
• Landau, Lev D.; Lifshitz, Evegeny M. (1982). Mechanics. Course of Theoretical Physics. Vol. 1 (3rd ed.). Butterworth-Heinemann. ISBN 978-0-7506-2896-9.
• Karasëv, Mikhail V.; Maslov, Victor P. (1993). Nonlinear Poisson brackets, Geometry and Quantization. Translations of Mathematical Monographs. Vol. 119. Translated by Sossinsky, Alexey; Shishkova, M.A. Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 978-0821887967. MR 1214142.

बाहरी संबंध

• "Poisson brackets", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Eric W. Weisstein. "Poisson bracket". MathWorld.